Teorema.

Există infinit de numere prime.

Dovada.

Să presupunem că nu este. Adică, să presupunem că există numai n numere prime, iar aceste numere prime sunt p 1 , p 2 , …, p n . Să arătăm că putem găsi întotdeauna un număr prim diferit de cele indicate.

Se consideră un număr p egal cu p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Este clar că acest număr este diferit de fiecare dintre numerele prime p 1 , p 2 , …, p n . Dacă numărul p este prim, atunci se demonstrează teorema. Dacă acest număr este compus, atunci, în virtutea teoremei anterioare, există un divizor prim al acestui număr (să-l notăm p n+1 ). Să arătăm că acest divizor nu coincide cu niciunul dintre numerele p 1 , p 2 , …, p n .

Dacă nu ar fi așa, atunci după proprietățile divizibilității, produsul p 1 ·p 2 ·…·p n ar fi divizibil cu p n+1 . Dar numărul p este și divizibil cu p n+1, egal cu suma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Aceasta implică faptul că al doilea termen al acestei sume, care este egal cu unu, trebuie să fie divizibil cu p n+1, iar acest lucru este imposibil.

Astfel, se demonstrează că întotdeauna se poate găsi un număr prim nou, care nu este cuprins între niciun număr de numere prime date în prealabil. Prin urmare, există infinit de numere prime.

Deci, datorită faptului că există infinit de numere prime, atunci când alcătuiesc tabele cu numere prime, ele se limitează întotdeauna de sus la un număr, de obicei 100, 1.000, 10.000 etc.

Sita lui Eratosthenes

Acum vom discuta modalități de compilare a tabelelor de numere prime. Să presupunem că trebuie să facem un tabel cu numere prime până la 100.

Cea mai evidentă metodă de rezolvare a acestei probleme este verificarea succesivă a numerelor întregi pozitive, începând cu 2 și terminând cu 100 , pentru prezența unui divizor pozitiv care este mai mare decât 1 și mai mic decât numărul verificat (din proprietățile divizibilității, avem să știți că valoarea absolută a divizorului nu depășește valoarea absolută a dividendului, diferită de zero). Dacă nu se găsește un astfel de divizor, atunci numărul verificat este prim și este introdus în tabelul numerelor prime. Dacă se găsește un astfel de divizor, atunci numărul care se verifică este compus, NU este introdus în tabelul numerelor prime. După aceea, există o tranziție la următorul număr, care este verificat în mod similar pentru prezența unui divizor.

Să descriem primii pași.

Începem cu numărul 2. Numărul 2 nu are alți divizori pozitivi decât 1 și 2. Prin urmare, este prim, prin urmare, îl introducem în tabelul numerelor prime. Aici trebuie spus că 2 este cel mai mic număr prim. Să trecem la numărul 3. Posibilul său divizor pozitiv, altul decât 1 și 3, este 2. Dar 3 nu este divizibil cu 2, prin urmare, 3 este un număr prim și, de asemenea, trebuie introdus în tabelul numerelor prime. Să trecem la numărul 4. Divizorii săi pozitivi, alții decât 1 și 4, pot fi 2 și 3, să-i verificăm. Numărul 4 este divizibil cu 2, prin urmare, 4 este un număr compus și nu trebuie să fie introdus în tabelul numerelor prime. Rețineți că 4 este cel mai mic număr compus. Să trecem la numărul 5. Verificăm dacă cel puțin unul dintre numerele 2 , 3 , 4 este divizorul său. Deoarece 5 nu este divizibil nici cu 2, nici cu 3, nici cu 4, este prim și trebuie scris în tabelul numerelor prime. Apoi, există o tranziție la numerele 6, 7 și așa mai departe până la 100.

Această abordare pentru compilarea unui tabel de numere prime este departe de a fi ideală. Într-un fel sau altul, el are dreptul să existe. Rețineți că, cu această metodă de construire a unui tabel de numere întregi, puteți utiliza criterii de divizibilitate, care vor accelera ușor procesul de găsire a divizorilor.

Există o modalitate mai convenabilă de a compila un tabel de numere prime numite . Cuvântul „sită” prezent în nume nu este întâmplător, deoarece acțiunile acestei metode ajută, parcă, la „cernerea” prin sita numerelor întregi din Eratosthenes, unități mari, pentru a separa cele simple de cele compuse.

Să arătăm sita lui Eratostene în acțiune atunci când alcătuim un tabel cu numere prime până la 50.

În primul rând, notăm numerele 2, 3, 4, ..., 50 în ordine.

Primul număr scris 2 este prim. Acum, de la numărul 2, ne deplasăm succesiv la dreapta cu două numere și tăiem aceste numere până ajungem la sfârșitul tabelului de numere compilat. Deci, toate numerele care sunt multipli ai doi vor fi tăiate.

Primul număr netașat după 2 este 3. Acest număr este prim. Acum, de la numărul 3, ne deplasăm succesiv la dreapta cu trei numere (ținând cont de numerele deja tăiate) și le tăiem. Deci, toate numerele care sunt multipli de trei vor fi tăiate.

Primul număr netașat după 3 este 5. Acest număr este prim. Acum, de la numărul 5, ne deplasăm succesiv la dreapta cu 5 numere (luăm în considerare și numerele tăiate mai devreme) și le barăm. Deci, toate numerele care sunt multipli de cinci vor fi tăiate.

Apoi, tăiem numerele care sunt multiplii lui 7, apoi multiplii lui 11 și așa mai departe. Procesul se termină când nu mai sunt numere de tăiat. Mai jos este un tabel completat al primelor până la 50 obținute folosind sita lui Eratosthenes. Toate numerele neîncrucișate sunt prime și toate numerele tăiate sunt compuse.

Să formulăm și să demonstrăm o teoremă care va grăbi procesul de compilare a unui tabel de numere prime folosind sita lui Eratostene.

Teorema.

Cel mai mic divizor non-unic pozitiv al unui număr compus a nu depășește , unde este de la a .

Dovada.

Notăm cu litera b cel mai mic divizor al numărului compus a care diferă de unitate (numărul b este prim, ceea ce decurge din teorema demonstrată chiar la începutul paragrafului precedent). Atunci există un număr întreg q astfel încât a=b q (aici q este un număr întreg pozitiv, care decurge din regulile de înmulțire a numerelor întregi) și (când b>q, condiția ca b este cel mai mic divizor al lui a este încălcată, deoarece q este și divizor al lui a datorită egalității a=q b ). Înmulțind ambele părți ale inegalității cu un număr pozitiv și mai mare decât un întreg b (ne este permis să facem acest lucru), obținem , de unde și .

Ce ne oferă teorema demonstrată cu privire la sita lui Eratostene?

În primul rând, ștergerea numerelor compuse care sunt multipli ai unui număr prim b ar trebui să înceapă cu un număr egal cu (aceasta rezultă din inegalitatea ). De exemplu, tăierea numerelor care sunt multipli de doi ar trebui să înceapă cu numărul 4, multiplii de trei - cu numărul 9, multiplii de cinci - cu numărul 25 și așa mai departe.

În al doilea rând, compilarea unui tabel de numere prime până la numărul n folosind sita lui Eratostene poate fi considerată completă atunci când toate numerele compuse care sunt multipli de numere prime care nu depășesc sunt tăiate. În exemplul nostru, n=50 (pentru că tabulăm numere prime până la 50 ) și , deci sita lui Eratostene trebuie să elimine toți multiplii compuși ai primelor 2 , 3 , 5 și 7 care nu depășesc rădăcina pătrată aritmetică a lui 50 . Adică, nu mai trebuie să căutăm și să tăiem numerele care sunt multipli de numere prime 11 , 13 , 17 , 19 , 23 și așa mai departe până la 47 , deoarece acestea vor fi deja tăiate ca multipli ai numerelor prime mai mici 2 , 3 , 5 și 7 .

Acest număr este prim sau compus?

Unele sarcini necesită a afla dacă un anumit număr este prim sau compus. În cazul general, această sarcină este departe de a fi simplă, mai ales pentru numerele a căror înregistrare constă dintr-un număr semnificativ de caractere. În cele mai multe cazuri, trebuie să căutați o modalitate specifică de a o rezolva. Cu toate acestea, vom încerca să dăm direcție trenului de gândire pentru cazuri simple.

Fără îndoială, se poate încerca să folosească criterii de divizibilitate pentru a demonstra că un anumit număr este compus. Dacă, de exemplu, un criteriu de divizibilitate arată că numărul dat este divizibil cu un număr întreg pozitiv mai mare decât unu, atunci numărul inițial este compus.

Exemplu.

Demonstrați că numărul 898 989 898 989 898 989 este compus.

Soluţie.

Suma cifrelor acestui număr este 9 8+9 9=9 17 . Deoarece numărul egal cu 9 17 este divizibil cu 9, atunci după criteriul divizibilității cu 9 se poate susține că numărul inițial este și divizibil cu 9. Prin urmare, este compozit.

Un dezavantaj semnificativ al acestei abordări este că criteriile de divizibilitate nu ne permit să dovedim simplitatea unui număr. Prin urmare, atunci când verificați un număr dacă este prim sau compus, trebuie să procedați diferit.

Cea mai logică abordare este de a enumera toți divizorii posibili ai unui număr dat. Dacă niciunul dintre divizorii posibili nu este un divizor adevărat al unui număr dat, atunci acel număr este prim; în caz contrar, este compus. Din teoremele demonstrate în paragraful precedent rezultă că divizorii unui număr dat a trebuie căutați între numerele prime care nu depășesc . Astfel, numărul dat a poate fi împărțit succesiv la numere prime (care sunt convenabile de luat din tabelul numerelor prime), încercând să găsim divizorul numărului a. Dacă se găsește un divizor, atunci numărul a este compus. Dacă printre numerele prime care nu depășesc , nu există niciun divizor al numărului a, atunci numărul a este prim.

Exemplu.

Număr 11 723 simplu sau compus?

Soluţie.

Să aflăm la ce număr prim pot fi divizorii numărului 11 723. Pentru aceasta, estimam.

Este destul de evident că , din 200 2 \u003d 40 000 și 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью compararea numerelor). Astfel, posibilii divizori primi ai lui 11.723 sunt mai mici de 200. Acest lucru ne simplifică deja mult sarcina. Dacă nu am ști acest lucru, atunci ar trebui să sortăm toate numerele prime nu până la 200, ci până la numărul 11 ​​723 .

Dacă doriți, puteți estima mai precis. Din moment ce 108 2 \u003d 11 664 și 109 2 \u003d 11 881, apoi 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Astfel, oricare dintre numerele prime mai mici de 109 este potențial un divizor prim al numărului dat 11.723.

Acum vom împărți succesiv numărul 11 ​​723 în numere prime 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 43 , 47 , 53 , 7 1 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Dacă numărul 11 ​​723 este împărțit în întregime la unul dintre numerele prime scrise, atunci va fi compus. Dacă nu este divizibil cu niciunul dintre numerele prime scrise, atunci numărul inițial este prim.

Nu vom descrie întreg acest proces monoton și monoton de divizare. Să spunem doar că 11 723

În momentul de față, algoritmii polinomi pentru factorizarea numerelor sunt necunoscuți, deși nu s-a dovedit că astfel de algoritmi nu există. Criptosistemul RSA și unele altele se bazează pe presupusa complexitate mare de calcul a problemei de factorizare. Factorizarea cu complexitate polinomială este teoretic posibilă pe un computer cuantic folosind algoritmul lui Shor.

Algoritmi pentru căutarea și recunoașterea numerelor prime

Modalități simple de a găsi o listă inițială de numere prime până la o anumită valoare oferă sita lui Eratosthenes, sita lui Sundaram și sita lui Atkin.

Cu toate acestea, în practică, în loc de a obține o listă de numere prime, este adesea necesar să se verifice dacă un anumit număr este prim. Algoritmii care rezolvă această problemă se numesc teste de primalitate. Există multe teste de primalitate polinomială, dar cele mai multe dintre ele sunt probabiliste (de exemplu, testul Miller-Rabin) și sunt folosite pentru nevoile criptografiei. În 2002, s-a dovedit că problema verificării primalității în general este rezolvabilă polinomial, dar testul determinist Agrawal-Kayal-Saksena propus are o complexitate computațională destul de mare, ceea ce face dificilă aplicarea lui în practică.

Pentru unele clase de numere, există teste de primalitate eficiente specializate (vezi mai jos).

Infinitul numerelor prime

Există infinit de numere prime. Cea mai veche dovadă cunoscută a acestui fapt a fost dată de Euclid în Elementele (cartea IX, afirmația 20). Dovada lui poate fi reprodusă pe scurt după cum urmează:

Matematicienii au oferit alte dovezi. Una dintre ele (dată de Euler) arată că suma reciprocelor primei n numere prime, crește la nesfârșit odată cu creșterea n.

Numerele Mersenne se compară favorabil cu celelalte, având un test de primalitate eficient: testul Luc-Lehmer. Datorită lui, numerele prime Mersenne au deținut de mult recordul ca cele mai mari numere prime cunoscute.

Pentru găsirea numerelor prime din peste 100.000.000 și 1.000.000.000 de cifre zecimale, EFF a acordat premii în bani de 150.000 USD și, respectiv, 250.000 USD. EFF a acordat anterior premii pentru găsirea numerelor prime de 1.000.000 și 10.000.000 de cifre zecimale.

Numere prime de un fel special

Există un număr de numere a căror primalitate poate fi stabilită eficient folosind algoritmi specializați.

Pentru a căuta numere prime de tipuri desemnate, sunt utilizate în prezent proiectele de calcul distribuite GIMPS, PrimeGrid. [email protected], Şaptesprezece sau Bust , Riesel Sieve , [email protected].

Unele proprietăți

• Dacă p este prim și p împarte ab , atunci p împarte a sau b . Dovada acestui fapt a fost dată de Euclid și este cunoscută sub numele de Lema lui Euclid. Este folosit în demonstrarea teoremei fundamentale a aritmeticii.
• inel de deduceri $\backslash mathbb(Z)\_n$ este un câmp dacă și numai dacă $n$- simplu.
• Caracteristica fiecărui câmp este zero sau un număr prim.
• În cazul în care un $p$- simplu și $A$- firesc, atunci $a^p-a$ impartit de $p$(Mica teoremă a lui Fermat).
• În cazul în care un $G$ este un grup finit a cărui ordine $|G|$ impartit de $p$, apoi $G$ conține elementul de comandă $p$(teorema lui Cauchy).
• În cazul în care un $G$ este un grup finit și $p^n$- gradul maxim $p$, care desparte $|G|$, apoi $G$ are un subgrup de ordine $p^n$, numit subgrup Sylow , în plus, numărul de subgrupuri Sylow este egal cu $pk+1$ pentru un număr întreg $k$(teoremele lui Sylow).
• natural $p\; >\; 1$ este simplu dacă și numai dacă $(p-1)!\; +1$ impartit de $p$(teorema lui Wilson).
• În cazul în care un $n\; >\; 1$ este firesc, atunci există un simplu $p$, astfel încât (postulatul lui Bertrand).
• O serie de numere inverse numerelor prime diverge. Mai mult, la $x\backslash la\backslash infty$
• Orice progresie aritmetică a formei $a,\; a\; +\; q,\; a\; +\; 2\; q,\; a\; +\; 3\; q,\; ...$, Unde $a,\; q\; >\; 1$- numere întregi coprime, conțin infinit de numere prime (teorema lui Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică).
• Orice număr prim mai mare de 3 poate fi reprezentat ca $6k+1$ sau $6k-1$, Unde $k$ este un număr natural. Prin urmare, dacă diferența dintre mai multe numere prime consecutive (pentru k>1) este aceeași, atunci este neapărat un multiplu de 6 - de exemplu: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• În cazul în care un $p\; >\; 3$- simplu, atunci $p^2-1$ divizibil cu 24 (valabil și pentru toate numerele impare care nu sunt divizibile cu 3) .
• Teorema Green-Tao. Există progresii aritmetice finite arbitrar lungi, constând din numere prime.
• $n^k-1$, Unde n>2, k>1. Cu alte cuvinte, numărul care urmează unui număr prim nu poate fi un pătrat sau o putere mai mare cu baza mai mare decât 2. De asemenea, rezultă că dacă un număr prim are forma $2^k-1$, apoi k- prim (vezi numerele Mersenne).
• Niciun număr prim nu poate avea forma $n^(2k+1)+1$, Unde n>1, k>0. Cu alte cuvinte, numărul care precede un prim nu poate fi un cub sau o putere impară mai mare cu o bază mai mare de 1.

Formule pentru găsirea numerelor prime

În diferite momente, s-au încercat să se specifice o expresie ale cărei valori, când sensuri diferite variabilele sale constitutive ar fi numere prime. L. Euler a punctat polinomul $\backslash textstyle\; n^2-n+41,$ luând valori prime la n = 0, 1, 2, …, 40. Cu toate acestea, când n=41 valoarea polinomului este un număr compus. Se poate dovedi că nu există un polinom într-o variabilă n care să ia valori prime pentru toate numerele întregi n. P. Fermat a sugerat că toate numerele de forma 2 2 k + 1 simplu; cu toate acestea, Euler a respins această presupunere demonstrând că numărul 2 2 5 + 1 = 4 294 967 297 - compozit.

Cu toate acestea, există polinoame, al căror set de valori pozitive, pentru valorile nenegative ale variabilelor, coincide cu setul de numere prime. Un exemplu este polinomul

• $\backslash begin(align)$

&(k+2) (1 - ^2 - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]^2 - ^2 - \\ &^2 - ^2 - [(a ^2 - 1)y^2 + 1 - x^2]^2 - \\ &^2 - [((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy) ^2 + 1 - (x + cu)^2]^2 - ^2 - \\ &[(a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2]^2 - ^2 - ^2 - \ \ &^2 - ^2) \end(align) conţinând 26 de variabile şi având un grad de 25. Cel mai mic grad pentru polinoamele cunoscute de acest tip este 5 cu 42 de variabile; cel mai mic număr de variabile este 10 cu un grad de aproximativ 1,6·10 45 . Acest rezultat este un caz special al proprietății diofantine a oricărui set enumerabil dovedit de Yuri Matiyasevich.

Întrebări deschise

Există încă multe întrebări deschise cu privire la numerele prime, dintre care cele mai faimoase au fost enumerate de Edmund Landau la cel de-al cincilea Congres Internațional de Matematică:

O problemă deschisă este și existența unui număr infinit de numere prime în multe secvențe întregi, inclusiv numere Mersenne, numere Fibonacci, numere Fermat și altele.

Aplicații

Numerele prime mari (de ordinul a 10.300) sunt folosite în criptografia cu cheie publică. Numerele prime sunt, de asemenea, folosite în tabelele hash și pentru generarea de numere pseudoaleatoare (în special, în Mersenne Whirlwind PRNG).

Variații și generalizări

• În teoria inelelor, o ramură a algebrei generale, sunt definite conceptele de element prim și ideal prim.
• În teoria nodurilor, conceptul de nod simplu este definit ca un nod non-trivial care nu poate fi reprezentat ca o sumă conexă de noduri non-triviale.

Vezi si

Scrieți o recenzie la articolul „Număr prim”

Note

Un fragment care caracterizează numărul prim

Natasha era mai calmă, dar nu mai veselă. Ea nu numai că a evitat toate condițiile exterioare de bucurie: baluri, patinaj, concerte, teatru; dar nu a râs niciodată pentru ca lacrimile ei să nu se audă din cauza râsului ei. Ea nu putea să cânte. De îndată ce a început să râdă sau a încercat să cânte singură cu ea însăși, lacrimile o sufocau: lacrimi de remuşcare, lacrimi de amintiri ale acelui timp irevocabil, pur; lacrimi de supărare că așa, degeaba, și-a stricat viața tânără, care ar fi putut fi atât de fericită. Râsul și cântatul i se păreau mai ales o blasfemie împotriva durerii ei. Nu s-a gândit niciodată la cochetărie; nici nu trebuia să se abțină. Ea a spus și a simțit că la vremea aceea toți bărbații erau pentru ea exact la fel ca bufonul Nastasia Ivanovna. Garda interioară i-a interzis ferm orice bucurie. Și ea nu avea toate interesele anterioare ale vieții din acel mod de viață de fetiță, fără griji și plin de speranță. Mai des și mai dureros, își amintea lunile de toamnă, vânătoarea, unchiul ei și perioada de Crăciun petrecută cu Nicolas la Otradnoe. Ce ar da ea să aducă înapoi chiar și într-o zi din acel moment! Dar s-a terminat pentru totdeauna. Presumul nu a înșelat-o atunci că acea stare de libertate și deschidere către toate bucuriile nu se va mai întoarce niciodată. Dar trebuia să trăiesc.
Era mângâietor pentru ea să creadă că nu era mai bună, așa cum crezuse înainte, ci mai rea și mult mai rea decât toată lumea, toată lumea, care există doar pe lume. Dar acest lucru nu a fost suficient. Ea știa asta și și-a întrebat: „Ce mai departe? Și apoi nu a mai fost nimic. Nu era bucurie în viață, iar viața a trecut. Natasha, se pare, a încercat doar să nu fie o povară pentru nimeni și să nu interfereze cu nimeni, dar pentru ea însăși nu avea nevoie de nimic. S-a îndepărtat de toată lumea de acasă și numai cu fratele ei Petya i-a fost ușor. Îi plăcea să fie cu el mai mult decât cu ceilalți; iar uneori, când era cu el ochi în ochi, râdea. Abia a ieșit din casă, iar dintre cei care au venit să-i vadă, s-a bucurat doar de Pierre. Era imposibil să o tratezi mai tandru, mai atent și, în același timp, mai serios decât a tratat-o ​​contele Bezuhov. Natasha Osss a simțit în mod conștient această tandrețe a tratamentului și, prin urmare, a găsit o mare plăcere în compania lui. Dar nici măcar nu îi era recunoscătoare pentru tandrețea lui; nimic bun din partea lui Pierre nu i se părea un efort. Părea atât de firesc pentru Pierre să fie amabil cu toată lumea, încât nu avea niciun merit în bunătatea lui. Uneori, Natasha observa jena și stinghereala lui Pierre în prezența ei, mai ales când voia să facă ceva plăcut pentru ea sau când îi era teamă că ceva din conversație o va aduce pe Natasha în amintiri dureroase. Ea a observat acest lucru și a atribuit-o bunătății și timidității sale generale, care, potrivit ei, la fel ca și cu ea, ar fi trebuit să fie cu toată lumea. După acele cuvinte neatenționate pe care, dacă ar fi liber, i-ar cere mâinile și dragostea în genunchi, spuse într-un moment de entuziasm atât de puternic pentru ea, Pierre nu a spus niciodată nimic despre sentimentele lui pentru Natasha; și pentru ea era evident că acele cuvinte, care atunci o mângâiau atât de mult, erau rostite, așa cum se rostesc tot felul de cuvinte fără sens pentru a mângâia un copil care plânge. Nu pentru că Pierre era un bărbat căsătorit, ci pentru că Natasha simțea între ea și el în cel mai înalt grad acea forță a barierelor morale - a căror absență o simțea cu Kyragin - nu i-a trecut niciodată prin minte că ar putea ieși din relația cu Pierre. nu numai iubirea din partea ei, sau cu atât mai puțin din partea lui, ci chiar și acel fel de prietenie tandră, mărturisită, poetică dintre un bărbat și o femeie, din care știa câteva exemple.
La sfârșitul postului Petrovsky, Agrafena Ivanovna Belova, vecina Otradnenskaya a Rostovilor, a venit la Moscova pentru a se închina în fața sfinților moscoviți. Ea a invitat-o ​​pe Natasha să se culce, iar Natasha a preluat această idee cu bucurie. În ciuda interdicției medicului de a ieși dimineața devreme, Natașa a insistat să postească, și nu să posteze ca de obicei în casa rostovilor, adică să asculte trei slujbe acasă, ci pentru a postește așa cum obișnuia Agrafena Ivanovna, că este, toată săptămâna fără să lipsească o singură Vecernie, Liturghie sau Utrenie.
Contesei îi plăcea zelul Natașei; în sufletul ei, după un tratament medical nereușit, spera că rugăciunea o va ajuta cu mai multe medicamente și, deși cu frică și ascunzătoare de medic, a acceptat dorința Natașei și a încredințat-o lui Belova. Agrafena Ivanovna a venit la ora trei dimineața să o trezească pe Natașa și, în cea mai mare parte, a găsit-o că nu mai dormea. Natasha îi era frică să nu doarmă peste timpul utreniei. Spălându-se în grabă și îmbrăcându-se cu umilință în cea mai proastă rochie și o mantilă veche, tremurând de prospețime, Natasha a ieșit pe străzile pustii, luminate transparent de zorii dimineții. La sfatul lui Agrafena Ivanovna, Natasha nu a mers la biserică în parohia ei, ci în biserică, în care, după cuviosul Belova, era un preot foarte strict și viata la nivel inalt. Întotdeauna erau puțini oameni în biserică; Natasha și Belova și-au ocupat locul obișnuit în fața icoanei Maicii Domnului, încastrate în spatele corului din stânga, iar noul simț al smereniei al Natașei în fața marelui, de neînțeles, a cuprins-o când ea, la această oră neobișnuită. dimineața, privind chipul negru al Maicii Domnului, luminat de lumânări care ardeau în fața lui, și lumina dimineții căzând de la fereastră, ea asculta sunetele slujbei, pe care încerca să le urmeze, înțelegându-le. Când le-a înțeles, sentimentul ei personal cu nuanțele ei i s-a alăturat rugăciunii; când nu înțelegea, îi era și mai dulce să creadă că dorința de a înțelege totul este mândrie, că este imposibil să înțelegi totul, că nu trebuie decât să crezi și să se predea lui Dumnezeu, care în acel moment — simțea ea — conducea. sufletul ei. Ea și-a făcut cruce, s-a închinat și, când nu a înțeles, ea numai, îngrozită de urâciunea ei, a cerut lui Dumnezeu să o ierte pentru toate, pentru toate și să-i fie milă. Rugăciunile cărora s-a dedicat cel mai mult au fost rugăciunile de pocăință. Întorcându-se acasă la prima oră a dimineții, când erau doar zidari care mergeau la muncă, servitorii care măturau strada și toată lumea încă dormea ​​în case, Natasha a experimentat pentru ea un nou sentiment de posibilitatea de a se corecta de viciile ei și posibilitatea unei vieți noi, pure și fericirii.
Pe parcursul întregii săptămâni în care a dus această viață, acest sentiment a crescut în fiecare zi. Iar fericirea comunicării sau a comunicării, precum i-a spus Agrafena Ivanovna jucându-se cu bucurie cu acest cuvânt, i s-a părut atât de mare, încât i se părea că nu va trăi pentru a vedea această duminica binecuvântată.
Dar a venit ziua fericită, iar când Natasha, în acea duminică memorabilă, într-o rochie albă de muselină, s-a întors de la împărtășanie, pentru prima dată după multe luni s-a simțit liniștită și neîmpovărată de viața care o avea în față.
Medicul care a venit în acea zi a examinat-o pe Natasha și a ordonat să continue ultimele pulberi pe care le-a prescris acum două săptămâni.
„Este imperativ să continuăm – dimineața și seara”, a spus el, evident mulțumit în mod conștiincios de succesul său. „Te rog să fii atent. Fii liniștită, contesă, - spuse în glumă doctorul, ridicându-l cu dibăcie pe cel de aur în carnea mâinii, - în curând va cânta din nou și va deveni zburdalnic. Foarte, foarte mult în favoarea ultimului ei remediu. S-a înseninat mult.
Contesa se uită la unghii și scuipă, întorcându-se în sufragerie cu o față veselă.

La începutul lunii iulie, la Moscova s-au răspândit zvonuri din ce în ce mai tulburătoare despre mersul războiului: se vorbeau despre apelul suveranului către popor, despre sosirea suveranului însuși din armată la Moscova. Și din moment ce manifestul și apelul nu fuseseră primite înainte de 11 iulie, au circulat zvonuri exagerate despre ei și despre situația din Rusia. Au spus că suveranul pleacă pentru că armata este în pericol, au spus că Smolensk a fost predat, că Napoleon are un milion de soldați și că doar un miracol ar putea salva Rusia.
11 iulie, sâmbătă, manifestul a fost primit, dar încă nu a fost tipărit; iar Pierre, care era cu Rostovii, a promis a doua zi, duminică, să vină la cină și să aducă un manifest și un apel, pe care le va primi de la contele Rostopchin.
În această duminică, rostovenii, ca de obicei, au mers la Liturghie la biserica de casă a soților Razumovsky. Era o zi fierbinte de iulie. Deja la ora zece, când rostovenii au coborât din trăsura din fața bisericii, în aerul fierbinte, în strigătele vânzătorilor ambulanți, în rochiile luminoase și ușoare de vară ale mulțimii, în frunzele prăfuite ale copacilor. a bulevardului, în sunetele muzicii și în pantalonii albi ai batalionului care a trecut pentru divorț, în tunetul pavajului și În strălucirea strălucitoare a soarelui fierbinte se simțea acea langoură de vară, mulțumire și nemulțumire față de prezent, care este resimțită în mod deosebit într-o zi caldă senină în oraș. În biserica Razumovsky se afla toată nobilimea Moscovei, toți cunoscuții Rostovilor (anul acesta, parcă s-ar aștepta la ceva, au rămas în oraș o mulțime de familii înstărite, de obicei mutate prin sate). Trecând în spatele lacheului de livree, care despărțea mulțimea lângă mama ei, Natasha auzi o voce. tânăr, care a vorbit despre ea într-o șoaptă prea tare:
- Acesta este Rostov, același...
- Ce subțire, dar totuși bună!
A auzit, sau i s-a părut că au fost menționate numele lui Kuragin și Bolkonsky. Totuși, i s-a părut mereu. Întotdeauna i s-a părut că toată lumea, uitându-se la ea, se gândește doar la ce i se întâmplase. Suferind și murind în suflet, ca întotdeauna în mulțime, Natasha a umblat în rochia ei de mătase mov, cu dantelă neagră, așa cum știu să meargă femeile - cu cât se simțea mai calmă și mai maiestuoasă, cu atât mai dureroasă și mai rușinată se simțea în sufletul ei. Ea știa și nu se înșela că este bună, dar asta nu-i plăcea acum, ca înainte. Dimpotrivă, a chinuit-o cel mai mult în ultima vreme, și mai ales în această zi luminoasă și fierbinte de vară în oraș. „Încă o duminică, încă o săptămână”, își spuse ea, amintindu-și cum fusese aici în acea duminică, „și încă aceeași viață fără viață și toate aceleași condiții în care înainte era atât de ușor să trăiești. E bună, tânără, și știu că acum sunt bună, înainte eram rea, dar acum sunt bună, știu, se gândi ea, dar cei mai buni ani trec în zadar, pentru nimeni. Ea a stat lângă mama ei și a schimbat relații cu cunoscuți apropiați. Natasha, din obișnuință, s-a uitat la toaletele doamnelor, a condamnat tenue [comportamentul] și modul indecent de a se însemna cu mâna în spațiul mic al uneia care stătea lângă, din nou crezut cu supărare că o judecă, că judeca și deodată, auzind sunetele slujbei, s-a îngrozit de ticăloșia ei, îngrozită de faptul că fosta ei puritate a fost din nou pierdută de ea.
Bătrânul chipeș și liniștit a slujit cu acea solemnitate blândă care are un efect atât de maiestuos și liniştitor asupra sufletelor celor care se roagă. Ușile regale se închiseră, vălul se trase încet înapoi; o voce tăcută misterioasă a spus ceva de acolo. Lacrimile, de neînțeles pentru ea, stăteau în pieptul Natașei și un sentiment vesel și chinuitor o agita.
„Învață-mă ce să fac, cum să mă îmbunătățesc pentru totdeauna, pentru totdeauna, cum să mă descurc cu viața mea…” s-a gândit ea.
Diaconul a ieşit la amvon, l-a îndreptat larg deget mare, părul lung de sub surplis și, punându-și o cruce pe piept, a început cu voce tare și solemn să citească cuvintele rugăciunii:
„Să ne rugăm Domnului pentru pace.”
„În pace, toți împreună, fără deosebire de clasă, fără vrăjmășie și uniți prin dragoste frățească, ne vom ruga”, a gândit Natasha.
- Despre pacea de sus și despre mântuirea sufletelor noastre!
„Despre lumea îngerilor și a sufletelor tuturor ființelor necorporale care trăiesc deasupra noastră”, s-a rugat Natasha.
Când s-au rugat pentru armată, ea și-a amintit de fratele ei și de Denisov. Când s-au rugat pentru marinari și călători, ea și-a adus aminte de prințul Andrei și s-a rugat pentru el și s-a rugat ca Dumnezeu să o ierte răul pe care i-a făcut. Când s-au rugat pentru cei care ne iubesc, ea s-a rugat pentru familia ei, pentru tatăl ei, mama ei, Sonya, pentru prima dată acum realizându-și toată vinovăția în fața lor și simțind toată puterea dragostei ei pentru ei. Când ne-am rugat pentru cei care ne urăsc, ea și-a inventat dușmani și urători pentru a se ruga pentru ei. Ea număra printre dușmani creditorii și toți cei care se ocupaseră de tatăl ei și, de fiecare dată când se gândea la dușmani și la urători, își aducea aminte de Anatole, care îi făcuse atât de mult rău și, deși nu era un urător, se ruga cu bucurie pentru el ca pentru inamic. Numai în timpul rugăciunii s-a simțit în stare să-și amintească clar și calm atât pe prințul Andrei, cât și pe Anatole, ca oameni pentru care sentimentele i-au fost distruse în comparație cu sentimentul ei de frică și evlavie față de Dumnezeu. Când s-au rugat pentru familia regală și pentru Sinod, ea s-a închinat deosebit de jos și și-a făcut cruce, spunându-și că, dacă nu înțelege, nu se poate îndoi și încă iubește Sinodul conducător și se roagă pentru el.
După ce a terminat ectenia, diaconul a trecut orarionul în jurul pieptului și a spus:
„Să ne angajăm pe noi înșine și viețile noastre lui Hristos Dumnezeul nostru.”
„Ne vom trăda lui Dumnezeu”, a repetat Natasha în sufletul ei. Doamne, mă angajez în voia ta, se gândi ea. - Nu vreau nimic, nu vreau; învață-mă ce să fac, unde să-mi folosesc voința! Da, ia-mă, ia-mă! – spuse Natasha cu o nerăbdare emoționantă în suflet, fără să-și facă cruce, coborând mâinile subțiri și parcă s-ar aștepta ca o forță invizibilă să o ia și să o salveze de ea însăși, de regretele, dorințele, reproșurile, speranțele și viciile ei.
Contesa a privit de mai multe ori în timpul slujbei gingașa, cu ochii strălucitori, chipul fiicei sale și s-a rugat lui Dumnezeu să o ajute.

Răspunsul lui Ilya este corect, dar nu foarte detaliat. În secolul al XVIII-lea, apropo, unul era considerat încă un număr prim. De exemplu, matematicieni importanți precum Euler și Goldbach. Goldbach este autorul uneia dintre cele șapte sarcini ale mileniului - ipoteza Goldbach. Formularea originală afirmă că orice număr par poate fi reprezentat ca suma a două numere prime. Mai mult, inițial 1 a fost luat în considerare ca număr prim și vedem așa: 2 = 1 + 1. Acesta este cel mai mic exemplu care satisface formularea originală a ipotezei. Ulterior a fost corectată, iar formularea a căpătat un aspect modern: „fiecare număr par, începând de la 4, poate fi reprezentat ca suma a două numere prime”.

Să ne amintim definiția. Un număr prim p este un număr natural p care are doar 2 divizori naturali diferiți: p însuși și 1. Un corolar din definiție: un număr prim p are un singur divizor prim - p însuși.

Acum să presupunem că 1 este un număr prim. Prin definiție, un număr prim are un singur divizor prim - el însuși. Apoi se dovedește că orice număr prim mai mare decât 1 este divizibil cu un număr prim care diferă de acesta (cu 1). Dar două numere prime distincte nu pot fi divizibile între ele, deoarece altfel nu sunt numere prime, ci numere compuse, iar acest lucru contrazice definiția. Cu această abordare, se dovedește că există doar un număr prim - unitatea în sine. Dar acest lucru este absurd. Prin urmare, 1 nu este un număr prim.

1, precum și 0, formează o altă clasă de numere - clasa de elemente neutre în ceea ce privește operațiile n-are dintr-o anumită submulțime câmp algebric. Mai mult, în ceea ce privește operația de adăugare, 1 este, de asemenea, un element generator pentru inelul de numere întregi.

Având în vedere acest lucru, nu este dificil să găsești analogi ai numerelor prime în alte structuri algebrice. Să presupunem că avem grup multiplicativ, format din puteri de 2 incepand de la 1: 2, 4, 8, 16, ... etc. 2 acţionează aici ca element de formare. Un număr prim din acest grup este un număr care este mai mare decât cel mai mic element și divizibil numai cu el însuși și cel mai mic element. În grupul nostru, doar 4 au astfel de proprietăți. Nu mai există numere prime în grupul nostru.

Dacă 2 ar fi, de asemenea, un număr prim în grupul nostru, atunci vezi primul paragraf - din nou s-ar dovedi că doar 2 este un număr prim.

Care are doar 2 divizori naturali diferiți. Cu alte cuvinte, numărul p atunci va fi simplu când este mai mare decât unitatea și poate fi divizat doar de unitate și de sine - p.

Se numesc numere naturale, numere mari și numere care nu sunt prime numere compuse. Astfel, toate numerele naturale sunt împărțite în 3 clase: unitate (are 1 divizor), numere prime(au 2 separatoare) si numere compuse(au mai mult de 2 divizori).

Începe p succesiuni de numere prime arata asa:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, …

Dacă reprezentăm numerele naturale ca produs de numere prime, atunci aceasta se va numi descompunere în numere prime sau factorizarea unui număr.

Cel mai mare număr prim cunoscut.

Cel mai mare număr prim cunoscut este 2 57885161 - 1. Acest număr este format din 17 425 170 de cifre zecimale și se numește prim numărul Mersenne(M57885161).

Unele proprietăți ale numerelor prime.

Sa spunem p- simplu, și p desparte ab, apoi p desparte A sau b.

inel de deduceri Zn va fi numit câmp numai dacă n- simplu.

Caracteristica tuturor câmpurilor este zero sau un număr prim.

Când p- simplu și A- mijloace naturale un p-a poate fi împărțit în p (teoremă mică Fermă).

Când G este un grup finit a cărui ordine |G|împarte la p, deci la G există un element de ordine p (teorema lui Cauchy).

Când G este un grup finit și p n- cel mai înalt grad pîmpărțind |G|, deci la G există un subgrup de ordine p n, care se numește subgrup Sylow, în plus, numărul de subgrupuri Sylow îi corespunde pk+1 pentru un întreg k(teoremele lui Sylow).

natural p > 1 va fi simplu doar dacă (p-1)! +1 poți sufla mai departe p (teorema lui Wilson).

Când n > 1- natural, ceea ce înseamnă că există un simplu p: n< p < 2 n (postulatul lui Bertrand).

O serie de numere care sunt inverse numerelor prime diverge. În plus, la .

Orice progresie aritmetică de tip a, a + q, a + 2 q, a + 3 q, ..., Unde a, q > 1- întreg numere relativ prime, conține un număr infinit de numere prime ( Teorema lui Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică).

Orice număr prim mai mare de 3 poate fi reprezentat ca 6k+1 sau 6k-1, Unde k- numar natural. Pe baza acestui fapt, atunci când diferența mai multor numere prime consecutive (pentru k>1) este același, ceea ce înseamnă că este exact divizibil cu șase - de exemplu: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219 .

Când p > 3 este un număr prim, ceea ce înseamnă p 2 -1 impartit de 24 (funcționează și pentru numere impare care nu sunt divizibile cu trei).

Teorema Green-Tao. Există infinite progresii aritmetice care constau din numere prime.

nk-1, Unde n>2, k>1. Cu alte cuvinte, numărul care urmează unui prim nu poate fi un pătrat sau o putere mai mare cu o bază mai mare de două. Se poate concluziona că atunci când un număr prim este reprezentat ca 2k-1, mijloace k- simplu.

Niciun număr prim nu poate fi reprezentat ca n 2k+1 +1, Unde n>1, k>0. Cu alte cuvinte, un număr care precede un prim nu poate fi un cub sau o putere impară mai mare cu o bază mai mare de unu.

Există polinoame în care setul de valori nenegative pentru valorile pozitive ale variabilelor coincide cu setul de numere prime. Exemplu:

Acest polinom conține 26 de variabile, are 25. Gradul cel mai mic pentru polinoamele cunoscute de forma prezentată este cinci cu 42 de variabile; cel mai mic număr de variabile este zece la o putere de aproximativ 1,6·10 45 .

Operații cu numere prime.

1. Produsul numerelor prime.

2. Diferența numerelor prime.

3. Suma numerelor prime.

4. Împărțirea numerelor prime.