Proprietăți

Expozant de grup

Grup electrogen

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) este un grup ciclic dacă și numai dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \varphi(n)=\lambda(n).În cazul unui grup ciclic, generatorul se numește rădăcină primitivă.

Exemplu

Sistem redus de reziduuri modulo Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): 10 cuprinde Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor pentru configurare.): 4 clase de deducere: Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): _(10), _(10), _(10), _(10). În ceea ce privește înmulțirea definită pentru clasele de reziduuri, acestea formează un grup și Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc și Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): _(10) reciprocă (adică Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), A Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): _(10)și Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): _(10) sunt inverse faţă de ei înşişi.

Structura grupului

Înregistrare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): C_nînseamnă „grup ciclic de ordin n”.

Aplicație

Poveste

Contribuția la studiul structurii grupului multiplicativ al inelului rezidual a fost făcută de Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange a demonstrat lema că dacă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): f(x) \in k[x], și k este un câmp, atunci f are cel mult n rădăcini distincte, unde n este puterea lui f. El a dovedit şi un corolar important al acestei leme, care constă în comparare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): x^(p-1)-1 ≡ Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost gasit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru reglare.): (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Euler a demonstrat mica teoremă a lui Fermat. Waring a formulat teorema lui Wilson, iar Lagrange a demonstrat-o. Euler a sugerat existența rădăcinilor primitive modulo un număr prim. Gauss a dovedit-o. Artin și-a prezentat ipoteza despre existență și cuantificare numere prime, modulo căruia întregul dat este o rădăcină primitivă. Brouwer a contribuit la studiul problemei existenței mulțimilor de numere întregi consecutive, fiecare dintre ele fiind puterea k-a modulo p. Bielhartz a dovedit un analog al conjecturii lui Artin. Hooley a dovedit conjectura lui Artin cu presupunerea că ipoteza Riemann extinsă este valabilă în câmpurile numerice algebrice.

Scrieți o recenzie la articolul „Multiplicative Residue Ring Group”

Note

Literatură

• Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. - M .: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Fundamentele criptografiei. - Moscova: „Helios ARV”, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Criptografia teoretică. - Sankt Petersburg: NPO „Profesional”, 2004.

Legături

• Bukhshtab A. A. Teoria numerelor. - M .: Educație, 1966.
• Weisstein, Eric W.(engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld.

Un fragment care caracterizează grupul multiplicativ al inelului de reziduuri

Teorema 7.

Dovada.

În cele ce urmează, pentru simplitate, vom desemna adunarea și înmulțirea modulo prin semnele obișnuite + și ∙ (uneori omițând semnul înmulțirii) și vom adăuga

5) Numărul de elemente reversibile din inelul de reziduuri.

Putem demonstra următoarea formulă pentru funcția Euler: (3) unde p1,….,ps este lista tuturor divizorilor primi ai lui n. Această formulă poate fi explicată după cum urmează:

6) Subgrupuri.

10. Dacă este un subgrup al unui grup finit, atunci se împarte.

11. Dovada.

12. Corolar 8.1.

13. 7) Un subgrup generat de un element al unui grup.

14. Dacă grupul S este finit, atunci șirul va fi periodic (elementul următor este determinat de cel anterior, deci odată repetat, el

15. Elementele t specificate formează un subgrup, deoarece operația de grup corespunde adunării „exponenților”. Acest subgrup este numit

16. Iată câteva subgrupe ale grupului Z6 generate de diverse elemente: . Un exemplu asemănător pentru un grup multiplicativ: aici Din cele spuse

17. Fie un grup finit. Dacă, atunci numărul de elemente din subgrupul generat de a coincide cu ordinea lui a (adică).

18. Corolar 9.1.

19. Corolarul 9.2.

20. 8) Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare.

21. Amintim că notăm subgrupul generat de elementul a (în acest caz, subgrupul grupului Zn). Prin definiție, deci, ecuațiile

22. Fie ecuația să fie rezolvabilă și să fie soluția ei. Atunci ecuația are d =gcd(a,n) soluții în Zn date prin formula, unde i = 0,1,2,... , n - 1.

23. Dovada.

24. Fie n > 1. Dacă mcd(a, n) = 1, atunci ecuația are o soluție unică (în Zn). Cazul b=1 este deosebit de important - aici găsim elementul invers al lui x

25. Corolarul 10.2

26. 9) Teorema chineză a restului.

27. Să fie reprezentat un număr n ca produs de numere coprime în perechi. Teorema chineză a restului afirmă că numărul de

28. 10) Gradele unui element.

29. 11) Teorema 11 (Euler).

30. 12) Teorema 12 (Mica teoremă a lui Fermat).

31. Corolarul 12.1. Fie p un număr prim Corolarul 12.2. Fie p un număr prim, atunci teorema lui Fermat va fi aplicabilă pentru a=0.

32. 13) Teorema 13 (Consolidarea teoremei lui Euler).

33. h.t.d.

34. 14) Calculul puterilor prin pătrat repetat.

35. Să dorim să calculăm ab mod n, unde a este restul modulo n și b este un întreg nenegativ care are forma (bk,bk-1,...,b1,b0) în notație binară ( numarul 3

36. Când c este înmulțit cu 2, numărul ac este pătrat, când c este mărit cu 1, numărul ac este înmulțit cu a. La fiecare pas, reprezentarea binară a lui c este deplasată

37. Estimați durata de derulare a procedurii. Dacă cele trei numere care sunt datele sale inițiale nu au mai mult de β biți, atunci numărul de operații aritmetice ec

38.

Modulo m, care este notat $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$ sau $U(\backslash mathbb(Z)\_m)$ .

În cazul în care un m prim, apoi, după cum sa menționat mai sus, elementele 1, 2, ..., m-1 inclus în $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$. În acest caz $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$ este un câmp.

Forme de intrare

Inel de reziduuri Modulo n desemna $\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)$ sau $\backslash mathbb(Z)\_n$. Grupul său multiplicativ, ca în cazul general al grupurilor de elemente inversabile ale inelelor, este notat $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^*,$ $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^\backslash times,$ $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $E(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $\backslash mathbb(Z)\_n^(\backslash times),$ $U(\backslash mathbb(Z)\_n)$.

Cel mai simplu caz

Pentru a înțelege structura grupului $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$, putem lua în considerare cazul special $n=p^a$, Unde $p$- un număr prim și generalizați-l. Luați în considerare cel mai simplu caz când $a=1$, adică $n=p$.

Teorema: $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$ este un grup ciclic.

Exemplu : Luați în considerare un grup $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$

$U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$= (1,2,4,5,7,8) Generatorul de grup este numărul 2. $2^1\; \backslash equiv\; 2\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^2\; \backslash equiv\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^3\; \backslash equiv\; 8\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^4\; \backslash equiv\; 7\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^5\; \backslash equiv\; 5\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^6\; \backslash equiv\; 1\backslash \; \backslash pmod\; 9$ După cum puteți vedea, orice element al grupului $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$ poate fi prezentat sub formă $2^l$, Unde . Acesta este un grup $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$- ciclic.

Caz general

Pentru a considera cazul general, este necesar să se definească o rădăcină primitivă. Rădăcină primitivă modulo prime $p$ este un număr care, împreună cu clasa sa de reziduuri, generează un grup $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$.

În cazul unui modul întreg $n$ definiția este aceeași.

Structura grupului este determinată de următoarea teoremă: Dacă p este un număr prim impar și l este un număr întreg pozitiv, atunci există rădăcini primitive modulo $p^(l)$, acesta este $U(\backslash mathbb(Z)/p^(l)\backslash mathbb(Z))$ este un grup ciclic.

Subgrupul Martor al simplității

Lăsa $m$- un număr impar mai mare decât 1. Număr $m-1$ prezentate clar în formă $m-1\; =\; 2^s\; \backslash cdot\; t$, Unde $t$ ciudat. Întreg $A$, , se numește martor la simplitate numere $m$ dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

• $a^t\backslash equiv\; 1\backslash pmod\; m$

• există un număr întreg $k$,

Dacă numărul $m$- compozit, există un subgrup al grupului multiplicativ al inelului de reziduuri, numit subgrupul martorilor simplității. Elementele sale ridicate la putere $m-1$, coincide cu $1$ modulo $m$.

Exemplu : $m=9$. Există $6$ reziduuri coprime cu $9$, aceasta este $1,2,4,5,7$și $8$. $8$ echivalentă cu $-1$ modulo $9$, mijloace $8^\{8\}$ echivalentă cu $1$ modulo $9$. Mijloace, $1$și $8$- martori ai simplității numărului $9$. În acest caz (1, 8) este un subgrup de martori ai simplității.

Proprietăți

Expozant de grup

Grup electrogen

$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$ este un grup ciclic dacă și numai dacă $\backslash varphi(n)=\backslash lambda(n).$În cazul unui grup ciclic, generatorul se numește rădăcină primitivă.

Exemplu

Sistem redus de reziduuri modulo $10$ cuprinde $4$ clase de deducere: $\_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\}$. În ceea ce privește înmulțirea definită pentru clasele de reziduuri, acestea formează un grup și $\_\{10\}$și $\_\{10\}$ reciprocă (adică $\_(10)(\backslash cdot)\_(10)\; =\; \_(10)$), A $\_\{10\}$și $\_\{10\}$ sunt inverse faţă de ei înşişi.

Structura grupului

Înregistrare $C\_n$înseamnă „grup ciclic de ordin n”.

Aplicație

Poveste

Contribuția la studiul structurii grupului multiplicativ al inelului rezidual a fost făcută de Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Fermat, Hooley, Euler. Lagrange a demonstrat lema că dacă $f(x)\; \backslash in\; k[x]$, și k este un câmp, atunci f are cel mult n rădăcini distincte, unde n este puterea lui f. El a dovedit şi un corolar important al acestei leme, care constă în comparare $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$. Euler a demonstrat mica teoremă a lui Fermat. Waring a formulat teorema lui Wilson, iar Lagrange a demonstrat-o. Euler a sugerat existența rădăcinilor primitive modulo un număr prim. Gauss a dovedit-o. Artin și-a prezentat ipoteza despre existența și cuantificarea numerelor prime modulo pentru care un întreg dat este o rădăcină primitivă. Brouwer a contribuit la studiul problemei existenței mulțimilor de numere întregi consecutive, fiecare dintre ele fiind puterea k-a modulo p. Bielhartz a dovedit un analog al conjecturii lui Artin. Hooley a dovedit conjectura lui Artin cu presupunerea că ipoteza Riemann extinsă este valabilă în câmpurile numerice algebrice.

Scrieți o recenzie la articolul „Multiplicative Residue Ring Group”

Note

Literatură

• Irlanda K., Rosen M. O introducere clasică în teoria numerelor moderne. - M .: Mir, 1987.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Fundamentele criptografiei. - Moscova: „Helios ARV”, 2002.
• Rostovtsev A.G., Makhovenko E.B. Criptografia teoretică. - Sankt Petersburg: NPO „Profesional”, 2004.

Legături

• Bukhshtab A. A. Teoria numerelor. - M .: Educație, 1966.
• Weisstein, Eric W.(engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld.

Un fragment care caracterizează grupul multiplicativ al inelului de reziduuri

- Ma bonne amie, [Bunul meu prieten,] - a spus micuța prințesă în dimineața zilei de 19 martie, după micul dejun, iar buretele ei cu mustață a crescut din vechiul obicei; dar ca în toate nu numai zâmbete, ci sunetele discursurilor, chiar și mersurile în această casă, din ziua în care s-a primit teribila veste, a existat tristețe, chiar și acum zâmbetul micuței prințese, care a cedat dispoziției generale, deși ea nu știa cauza, era de așa natură încât amintea și mai mult de tristețea generală.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka - cook) de ce matin ne m "aie pas fait du mal. [Prietene, mi-e teamă că actualul frischtik (cum îl numește Chef Foka) nu ar fă-mă să mă simt rău.]
Dar tu, sufletul meu? Ești palid. O, ești foarte palidă, spuse speriată prințesa Marya, alergând spre nora ei cu pașii ei grei și blânzi.
— Excelență, de ce să nu o trimiți după Marya Bogdanovna? – a spus una dintre slujnicele care au fost aici. (Maria Bogdanovna era moașă dintr-un oraș de raion, care locuia de încă o săptămână în Lysy Gory.)
„Și, într-adevăr,” ridică prințesa Marya, „poate, cu siguranță. Voi merge. Curaj, mon ange! [Nu-ți fie teamă, îngerul meu.] Ea a sărutat-o ​​pe Lisa și a vrut să părăsească camera.
- O, nu, nu! - Și pe lângă paloare, chipul micuței prințese exprima o frică copilărească de suferința fizică inevitabilă.
- Non, c "est l" estomac ... dites que c "est l" estomac, dites, Marie, dites ..., [Nu, acesta este stomacul ... spune-mi, Masha, că acesta este stomacul ...] - iar prințesa a început să plângă copilăresc, suferind, capricios și chiar oarecum prefăcut, rupându-și brațele mici. Prințesa a fugit din cameră după Marya Bogdanovna.
— Mon Dieu! Mon Dieu! [Dumnezeule! Doamne!] Oh! auzi ea în spatele ei.
Frecându-și mâinile pline, mici și albe, moașa se îndrepta deja spre ea, cu o față considerabil de calmă.
- Maria Bogdanovna! Se pare că a început”, a spus prințesa Marya, privindu-și bunica cu ochii deschiși înspăimântați.
„Ei bine, slavă Domnului, prințesă”, a spus Maria Bogdanovna fără să adauge un pas. Voi, fetelor, nu trebuie să știți despre asta.
„Dar de ce nu a sosit doctorul încă de la Moscova?” – spuse prințesa. (La cererea Lisei și a Prințului Andrei, ei au fost trimiși la Moscova pentru un obstetrician până la termenul limită și îl așteptau în fiecare minut.)
„Este în regulă, prințesă, nu-ți face griji”, a spus Marya Bogdanovna, „și fără medic totul va fi bine”.
Cinci minute mai târziu, prințesa a auzit din camera ei că se duce ceva greu. Ea se uită afară - din anumite motive ospătarii duceau în dormitor o canapea din piele care stătea în biroul prințului Andrei. Era ceva solemn și liniștit pe fețele oamenilor care transportau.
Prințesa Marya stătea singură în camera ei, ascultând sunetele casei, deschizând din când în când ușa când treceau pe lângă ei și privind îndeaproape la ceea ce se întâmpla pe coridor. Mai multe femei mergeau încoace și încolo cu pași liniștiți, se uitară înapoi la prințesă și se întoarseră de la ea. Nu îndrăznea să întrebe, închise ușa, se întoarse în camera ei și fie se așeză pe scaun, fie își luă cartea de rugăciuni, fie îngenunche în fața chiotului. Spre ghinionul și surprinderea ei, ea a simțit că rugăciunea nu îi potolește entuziasmul. Deodată ușa camerei ei s-a deschis în liniște și în prag a apărut bătrâna ei asistentă, Praskovya Savishna, legată cu o batistă, care aproape niciodată, din cauza interdicției prințului, nu a intrat în camera ei.
„Am venit să stau cu tine, Mașenka”, a spus bona, „da, a adus la lumină lumânările de nuntă ale prințului în fața sfântului, îngerul meu”, a spus ea oftând.
„Oh, ce bucuros sunt, dădacă.
„Dumnezeu este milostiv, porumbel. - Bonă a aprins lumânări împletite cu aur în fața casetei cu icoane și s-a așezat la ușă cu un ciorap. Prințesa Mary a luat cartea și a început să citească. Numai când se auzeau pași sau voci, prințesa arăta înspăimântată, întrebătoare, iar bona se uita una la cealaltă liniștitoare. La toate capetele casei, același sentiment pe care l-a trăit prințesa Mary în timp ce stătea în camera ei era debordant și stăpânia pe toată lumea. Conform credinței că cu cât știu mai puțini oameni despre suferințele puerperalei, cu atât ea suferă mai puțin, toată lumea a încercat să se prefacă a fi ignorantă; nimeni nu vorbea despre asta, dar în toți oamenii, în afară de gradul și respectul obișnuit al bunelor maniere care domneau în casa prințului, se putea vedea un fel de îngrijorare generală, inima înmuiată și conștiința a ceva măreț, de neînțeles, care se petrecea la acel moment.
Nu se auzi râsete în camera fetelor mari. În camera chelnerului, toți oamenii stăteau în tăcere, gata de ceva. În curte au ars torțe și lumânări și nu au dormit. Bătrânul prinț, călcându-l pe călcâie, a ocolit biroul și l-a trimis pe Tihon la Maria Bogdanovna să o întrebe: ce? - Spune-mi doar: prințul a ordonat să întrebe ce? și vino să-mi spui ce va spune.
„Raportați prințului că nașterea a început”, a spus Marya Bogdanovna, privind în mod semnificativ la mesager. Tihon s-a dus și a raportat prințului.
— Foarte bine, spuse prințul, închizând ușa în urma lui, iar Tikhon nu mai auzi nici cel mai mic sunet în birou. Puțin mai târziu, Tikhon a intrat în birou, parcă pentru a repara lumânările. Văzând că prințul stă întins pe canapea, Tihon s-a uitat la prinț, la fața lui supărată, a clătinat din cap, s-a apropiat în tăcere de el și, sărutându-l pe umăr, a ieșit fără să regleze lumânările și fără să spună de ce venise. Sacramentul cel mai solemn din lume a continuat să fie săvârșit. A trecut seara, a venit noaptea. Iar sentimentul de așteptare și de înmuiere a inimii înainte de neînțeles nu a căzut, ci a crescut. Nimeni nu a dormit.

A fost una dintre acele nopți de martie în care iarna pare să vrea să-și ia pragul și să-și reverse ultimele zăpezi și furtuni de zăpadă cu furie disperată. Pentru a-l întâlni pe medicul german de la Moscova, care era așteptat în fiecare minut și pentru care i s-a trimis un set-up la drumul principal, la cotitura într-un drum de țară, au fost trimiși călăreți cu felinare să-l conducă de-a lungul denivelărilor și golurilor.
Prințesa Mary părăsise de mult cartea: stătea în tăcere, fixându-și ochii strălucitori pe chipul șifonat, cunoscut până la cel mai mic detaliu, al bonei: la șuvița de păr cărunt care ieșise de sub eșarfă, la pungă de piele agățată sub bărbie.
Dădaca Savishna, cu ciorapul în mâini, cu voce scăzută, fără să-și audă sau să-și înțeleagă propriile cuvinte, a povestit de sute de ori despre cum prințesa decedată la Chișinău a născut-o pe Principesa Marya, cu o țărancă moldoveancă, în locul unei bunici. .
„Doamne să ai milă, nu ai niciodată nevoie de un medic”, a spus ea. Deodată, o rafală de vânt a suflat pe unul dintre cadrele expuse ale camerei (prin voința prințului, în fiecare cameră era întotdeauna așezat câte un cadru cu ciocârle) și, după ce a înlăturat șurubul prost împins, a ciufulit perdeaua de damasc și mirosind. de frig, zăpadă, a stins lumânarea. Prințesa Mary se cutremură; bona, lăsându-și ciorapii jos, se duse la fereastră și, aplecându-se afară, începu să prindă cadrul deschis. Un vânt rece i-a ciufulit capetele batistei și șuvițele de păr gri și rătăcite.
- Prințesă, mamă, cineva conduce pe lângă prefectură! spuse ea, ținând rama și nu închizând-o. - Cu felinare, trebuie să fie, dokhtur ...
- O Doamne! Slava Domnului! – spuse prințesa Mary, – trebuie să mergem să-l întâlnim: nu știe rusă.
Prințesa Marya și-a aruncat șalul și a alergat să-i întâlnească pe călători. Când a trecut pe lângă holul din față, a văzut prin fereastră că la intrare stăteau un fel de trăsură și lămpi. Ea a ieșit pe scări. O lumânare de seu stătea pe stâlpul balustradei și curgea din vânt. Chelnerul Philip, cu chipul speriat și cu o altă lumânare în mână, stătea dedesubt, pe primul palier al scărilor. Chiar mai jos, în jurul curbei, pe scări, se auzeau pași mișcându-se în cizme calde. Și un fel de voce familiară, așa cum i se părea prințesei Mary, spunea ceva.

Corpurile sunt un grup, ale cărui elemente sunt toate elemente nenule ale corpului dat, iar operația este aceeași cu operația de înmulțire în corp. Câmpurile M. g. sunt un grup abelian. O. A. Ivanova... Enciclopedie matematică

Sistemul redus de reziduuri modulo m este mulțimea tuturor numerelor sistemului complet de reziduuri modulo m coprime la m. Sistemul redus de reziduuri modulo m constă din numere φ(m), unde φ( ) este funcția Euler. Ca sistem redus de deduceri ... ... Wikipedia

Teoria grupului... Wikipedia

Un grup în algebră abstractă este o mulțime nevidă cu o operație binară definită pe ea care satisface următoarele axiome. Ramura matematicii care se ocupă de grupuri se numește teoria grupurilor. Toate numerele reale familiare sunt dotate cu ...... Wikipedia

Grupul de automorfism al unei forme seschilineare f din modulul K din dreapta E, unde K este un inel; în plus, f și E (și uneori K) îndeplinesc condiții suplimentare. Nu există o definiție exactă a lui K. g. Se presupune că f este fie zero, fie nedegenerat... ... Enciclopedie matematică

Grupul tuturor matricelor inversabile de grad n peste inelul asociativ K cu identitate; notație comună: GLn(K) sau GL(n, K). P. l. d. GL(n, K) poate fi definit și ca grupul de automorfism АutK(V) al unui modul K de drept liber Vс… … Enciclopedie matematică

Pentru o descriere generală a teoriei grupurilor, vezi Grupuri (matematică) și Teoria grupurilor. Cursive indică o legătură către acest dicționar. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Wikipedia

Lasă A?<А, ·>- grup multiplicativ,

H este o submulțime a mulțimii A, H?.

Definiția 1.<Н,·>- sunat subgrupul grupului multiplicativȘi dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. H - închis față de operația binară „*” a, b H, ab H;

2. Există eH = eA - singurul element relativ la „°”;

3. a H există a-1 H.

Definiția 2. Dacă H = A sau H = (e), atunci<Н,·>se numește subgrup impropriu al grupului A.

Dacă H A, H este o submulțime proprie a mulțimii A, atunci subgrupul este numit propriul subgrup al grupului A.

H \u003d A - grupul A însuși.

H \u003d (e) - un singur subgrup.

subgrup ciclic grup multiplicativ

Exemplu. este<А, ·>, unde A \u003d (1, - 1, i, - i), i este unitatea imaginară, un grup?

1) Verificați condițiile grupului multiplicativ.

„·” este o operație asociativă binară pe mulțimea A.

Masa Cayley pentru „·” pe platoul A.

<А, ·>- subgrup.

Un exemplu important de subgrupuri multiplicative sunt așa-numitele subgrupuri ciclice multiplicative.

Lăsa<А, ·>- Grup. Elementul e A este elementul de identitate. elementul a? e, un A.

(a) - mulțimea puterilor întregi ale elementului a: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)

Corect

Teorema 1.< (а), ·>este un subgrup al grupului<А, ·>.

Dovada. Să verificăm condițiile subgrupului multiplicativ.

1) H \u003d (a) - închis în raport cu „·”:

x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, deoarece n+lZ;

2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x;

3) x \u003d a H, x -1 \u003d a -n H: a n a -n \u003d a -n a n \u003d a 0 \u003d 1.

De la 1) - 3) prin definiție H avem< (а), ·>este un subgrup al grupului multiplicativ A.

Definiţia 3. Fie<А, ·>este un grup multiplicativ și

Ordinea elementului a este cel mai mic număr natural n astfel încât a n = e.

Exemplu. Aflați ordinele elementelor a = - 1, b = i, c = - i ale grupului multiplicativ A = (1; - 1; i; - i)

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Prin urmare,

n = 2 - ordinea elementelor - 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Prin urmare,

n = 4 - ordinea elementului i.

i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Prin urmare,

n = ordinul a 4 elemente - i.

Teorema 2. Fie<А, ·>- grup, eh A, eh? e, a este un element de ordinul al n-lea, atunci:

1) Subgrupul (a) al grupului A are forma: (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1) -

n - mulţime elementară de puteri nenegative ale elementului a;

2) Orice putere întreagă a elementului a k ​​, k Z, aparține mulțimii (a) și

a k = e<=>k = nq, nN, qZ.

Dovada. Să arătăm că toate elementele (a) sunt diferite. Presupunem contrariul: a k = a l , k > l, apoi a k-l = e. k-l< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

Să arătăm că a k , K Z, aparține mulțimii (a).

Fie k = n, k: n, a k = a nq + r = a k × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,

0? r? n? 1 => a k (a). Dacă r = 0, atunci k = nq<=>a k = e.

Definiție 4. Subgrup< (а), ·>, unde (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1), grupele A, a este un element de ordinul al n-lea, se numesc subgrupul ciclic al grupului A(un subgrup ciclic multiplicativ al lui A).

Definiție 5. Un grup care coincide cu subgrupul său<А, ·>, < (а), ·>, un subgrup ciclic multiplicativ, se numește grup ciclic.

Teorema 3. Fiecare grup ciclic multiplicativ este abelian.

Dovada. A = (a), nu? e, a - element generator al grupului

a k , a l A, a k N a l = a l N a k . Într-adevăr, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k , l,k Z.