Definiție. Ei spun asta numărul a este divizibil cu numărul b dacă există un astfel de număr cÎ N 0 , ce dar=în· din.

În acel caz când dar impartit de în scrie: a c. Citind: " dar impartit de în» ; « dar multiplu în»; « în- separator dar» . De exemplu, 12 este divizibil cu 6 pentru că există din= 2, că 12 = 6 2, în caz contrar 12 6.

cometariu. Intrări și dar :în nu sunt echivalente. Primul înseamnă că între numere darȘi în există o relație de divizibilitate (eventual un număr întreg darîmpărțiți la număr în). A doua este notarea numerelor private darȘi în.

Relația de divizibilitate are o serie de proprietăți.

1°. Zero este divizibil cu oricare numar natural, adică

(" înÎ N ) .

Dovada. 0 = în 0 pentru orice în, deci prin definiție rezultă că 0 în.

2°. Niciun număr natural nu este divizibil cu zero, adică. (" darÎ N ) [dar 0].

Dovada (prin contradictie). Lasă-l să existe cÎ N 0 , astfel încât dar= 0· din, ci prin conditie dar≠ 0, ceea ce înseamnă că în niciun caz din această egalitate nu este valabilă. Deci presupunerea noastră despre existență din a greșit și dar 0.

3°. Orice număr întreg nenegativ este divizibil cu unu, adică.

("darÎ N ) [dar 1].

Dovada. dar= 1 dar=>dar 1.

4°. Orice număr natural este divizibil prin el însuși (reflexivitate), adică (" darÎ N ) [a a].

Dovada. dar= dar 1Þ a a.

5°. Divizor în număr natural dat dar nu depășește acest număr, adică ( si inÙ dar> 0) Þ ( dar≥ în).

Dovada. pentru că si in, apoi dar= în · din, Unde cÎ N 0 . Să stabilim semnul diferenței dar– în.

dar–în= soare– în= în(din– 1), pentru că dar> 0, apoi din≥ 1, prin urmare, în(din– 1) ≥ 0, ceea ce înseamnă dar–în≥ 0 Þ dar≥în.

6°. Relația de divizibilitate este antisimetrică, adică.

("a, înÎ N 0 )[(a inÙ într-o) Þ dar=în].

Dovada.

1 caz . Lasa dar> 0,în> 0, atunci avem:

(după proprietatea 5°). Mijloace, dar = în.

al 2-lea caz. Lăsați cel puțin unul dintre numere dar sau în este egal cu 0.

Lasa dar= 0, atunci în= 0 la 2°, deoarece in caz contrar în nu putea fi împărțit în dar. Mijloace dar=în.

7°. Relația de divizibilitate este tranzitivă, adică

(„a, în, cuÎ N 0 ) [(a inÙ Înăuntru cu)Þ a c].

Dovada. si inÞ ($ la)[dar=VC];Înăuntru cuÞ ($ ℓ )[în= cℓ].

dar = VC= (sℓ)la= din(ℓk), ℓk – produsul a două numere întregi nenegative ℓ Și lași, prin urmare, este el însuși un întreg nenegativ, adică la fel de.

8°. Dacă fiecare dintre numere darȘi în impartit de din, apoi suma lor dar+ în impartit de din, acestea. (" a, c, cÎ N 0 ) [(a cÙ Înăuntru cu) Þ ( dar+în) din].

dovada, a cÞ dar= sk, în sÞ în= cℓ.

dar+în= sk+cℓ=din(k + ℓ), deoarece la+ ℓ este un întreg nenegativ, deci ( a + b) din.

Afirmația dovedită este valabilă și în cazul în care numărul termenilor este mai mare de doi.

Dacă fiecare dintre numere dar 1 , ...,a p impartit de din, apoi suma lor dar 1 + ... + a p impartit de din.

Mai mult, dacă numerele darȘi în sunt împărțite în din,și dar≥ în, apoi diferența lor dar–în impartit de din.

9°. Dacă numărul dar impartit de din, apoi produsul formei Oh, Unde XÎ N 0 , impartit de din, acestea. a cÞ ( " x О N 0 )[toporul c].

Dovada. a cÞ dar=ck, dar apoi Oh= skh = din(la· X), k, xÎ N 0 , mijloace ah s.

Corolar de la 8°, 9°.

Dacă fiecare dintre numere dar 1 ,dar 2 , ...,a p impartit de din, apoi oricare ar fi cifrele X 1 ,X 2 , ... , x n număr dar 1 X 1 + a 2 X 2 + ... + un n x n impartit de din.

10°. Dacă as impartit de soare,și din≠ 0, apoi dar impartit de în, acestea. ( as soareÙ din≠ 0) Þ a c.

Dovada.

as= soare· la; as= (VC) · dinÙ din≠ 0 Þ dar=VC=> si in.

Semne de divizibilitate

Sunt probleme în care, fără a împărți, se cere să se stabilească dacă un număr natural este divizibil sau nu dar la un număr natural în. Cel mai adesea, astfel de probleme apar atunci când numărul dar trebuie înmulțit. În astfel de probleme se folosesc criterii de divizibilitate. Un test de divizibilitate este o propoziție care vă permite să răspundeți la întrebarea dacă un anumit număr este sau nu divizibil cu un anumit divizor, fără a face împărțirea în sine.

Aplicând semnul divizibilității, mai trebuie să împărțiți, desigur. Semnul divizibilității unui număr cu 3 este bine cunoscut de la școală. Este numărul 531246897 divizibil cu 3? Pentru a răspunde la întrebare, să determinăm suma cifrelor acestui număr 5 + 3 + 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 9 + 7 = 45, deoarece 45 este divizibil cu 3, atunci acest număr este divizibil cu 3.

Deci, problema divizibilității unui număr natural dat se reduce la întrebarea divizibilității unui număr natural mai mic.

Semnele de divizibilitate depind de sistemul numeric. Luați în considerare câteva semne de divizibilitate în sistemul numeric zecimal.

Cursul 4. Divizibilitatea pe mulțimea numerelor întregi nenegative

1. Conceptul de relație de divizibilitate, proprietățile acesteia.

2. Semne de divizibilitate a sumei, diferenței, produsului.

3. Semne de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 9 (doi de demonstrat).

ÎN curs primarÎn matematică, divizibilitatea numerelor naturale, de regulă, nu este studiată, dar sunt folosite implicit multe fapte din această secțiune a matematicii.

Raportul de divizibilitate și proprietățile sale

Luați în considerare relația de divizibilitate pe mulțimea numerelor întregi nenegative.

Definiția 1. Să fie date numere întregi nenegative darȘi b. Ei spun că numărul dar b dacă există un astfel de număr întreg nenegativ q, ce a=bq. În acest caz, numărul b numit separator numerele dar, și numărul dar - multiplu numerele b.

Denumire: a b și spune dar multiplu b, dar b numit divizor dar.

Rețineți că conceptul de „divizor al unui număr dat” ar trebui să fie distins de conceptul de „divizor”, indicând numărul cu care este împărțit. De exemplu, dacă 18 este împărțit la 5, atunci numărul 5 este un divizor, dar nu este un divizor al numărului 18. Dacă 18 este împărțit la 6, atunci în acest caz conceptele de „divizor” și „divizor al acestui număr” coincid.

Cometariu. Din Definiția 1 și egalitate a=1a, rezultă că 1 este un divizor al oricărui număr întreg nenegativ.

Proprietățile raportului de divizibilitate:

Relația de divizibilitate este reflexivă, antisimetrică, tranzitivă.

Teorema 1. Relația de divizibilitate este reflexivă, adică. orice număr natural este divizibil prin el însuși
.

Dovada:

Pentru egalitatea a=a 1 este valabilă. 1 , apoi conform def. unu .

Teorema 2. Relația de divizibilitate este antisimetrică, adică.

Dovada (prin contradicție): Să presupunem că
. Atunci este evident că b≥a. Dar după condiție
și prin urmare a≥b. Îndeplinirea acestor inegalități este posibilă numai atunci când a=b, ceea ce contrazice condiția. Prin urmare, presupunerea noastră este greșită și valabilitatea proprietății este stabilită.

Teorema 3. Relația de divizibilitate este tranzitivă, adică

Dovada:

pentru că
, apoi prin definiție 1 . La fel, din moment ce b c, atunci .

Atunci a=bq=(cp)q=c(pq). Numărul pq este un număr natural. Aceasta înseamnă, conform definiției 1, că ca și cu.

Astfel, relația de divizibilitate pe mulțimea N, având proprietățile de reflexivitate, antisimetrie și tranzitivitate, este relatie de ordine nestrict.

Divizibilitatea sumei, diferenței, produsului numerelor întregi nenegative

Teorema 4 (test pentru divizibilitatea unei sume): Dacă fiecare sumand este divizibil cu un număr natural b, atunci întreaga sumă este divizibilă cu acest număr, adică

Dovada: Lasa
. Atunci există q 1 ,q 2 ,…q n
N astfel încât egalitățile să fie îndeplinite: a 1 =bq 1 , a 2 =bq 2 , … și 1 n = bq n . Din aceste egalități rezultă că a 1 + a 2 + ... an \u003d bq 1 + bq 2 + ... + bq n \u003d b (q 1 + q 2 + ... + qn), unde q 1 + q 2 + ... + qn =q
N0. Prin definiția raportului de divizibilitate, aceasta înseamnă că .

Teorema 5 (test pentru divizibilitatea diferențelor): Dacă fiecare dintre numere darȘi b impartit de dinȘi a≥b, apoi diferența a-b impartit de din, adică dacă .

Dovada: Lasa
. Atunci există q 1 ,q 2
N astfel încât a=cq 1 , b=cq 2 . Deoarece a≥b, atunci q 1 >q 2. Astfel, avem a-b=cq 1 -cq 2 \u003d c (q 1 -q 2) \u003d cq, Unde q 1 -q 2 \u003d q
N. Prin urmare, .

Teorema 6 (testul de divizibilitate a unui produs): Dacă cel puțin unul dintre factorii produsului este divizibil cu un număr natural b, atunci întregul produs este de asemenea divizibil cu acest număr, adică
.

Dovada: Fie a k b, atunci există q
N astfel încât a k = bq. De aici, folosind legile comutative și asociative ale înmulțirii, putem scrie . Deoarece produsul numerelor întregi nenegative este un întreg nenegativ, ultima egalitate înseamnă că
.

Teorema 7: Dacă în muncă ab factor dar divizibil cu un număr natural m, și multiplicatorul b divizibil cu un număr natural n, apoi produsul abîmpărțit în produs nm, adică

Dovada: Fie a m și b n, atunci există q 1 ,q 2
N astfel încât, a=mq 1 , b=nq 2 . Prin urmare, pe baza comm. si conf. legile înmulțirii avem ab=(mq 1)(nq 2)=(mn)(q 1 q 2)=(mn)q, unde q 1 q 2 =q
N. deci ab mn.

Teorema 8: Dacă suma are un singur termen nu este împărtășită la un număr natural b, și toți ceilalți termeni acțiune pentru acest număr, apoi întreaga sumă pentru număr b nu împărtășește.

Dovada: Fie S=a 1 +a 2 +…+a n +c, unde a 1 b, a 2 b, …, a n b, dar
. Să demonstrăm asta
. Să presupunem contrariul, adică S b. Atunci с=S-(a 1 +a 2 +…+a n), unde S b și (a 1 +a 2 +…+a n) b. Conform teoremei de divizibilitate a diferenței, aceasta înseamnă că cu b. Contradicția rezultată demonstrează teorema.

Semne de divizibilitate

Teorema 9 (testul de divizibilitate cu 2) Pentru ca un număr x să fie divizibil cu 2, este necesar și suficient ca acesta notație zecimală s-a încheiat cu unul dintre numerele 0,2,4,6,8.

Dovada. Lasă numărul X

x = dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 , unde a n , a n-1,..., a 1 iau valorile 0, 1, 2, ...9, dar n ≠ 0 și un 0 ia valori 0,2,4,6,8. Să demonstrăm că atunci x: .2.

De la 10: .2, apoi 10 2: .2, 10 3: .2,…,10 n: .2 și, prin urmare, ( dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10): .2. Prin condiție, un 0 este și divizibil cu 2, deci numărul x poate fi considerat ca fiind suma a doi termeni, fiecare dintre care este divizibil cu 2. Prin urmare, conform criteriului de divizibilitate al sumei, numărul x este divizibil cu 2.

Să demonstrăm contrariul: dacă numărul X este divizibil cu 2, apoi notația sa zecimală se termină cu una dintre cifrele 0,2,4,6,8.

Scriem egalitatea x = dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 în această formă: a 0 \u003d x - ( dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10). Dar apoi, conform teoremei de divizibilitate, și 0: . 2 deoarece x: . 2 și ( dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10): . 2. Pentru ca un număr de o cifră a 0 să fie divizibil cu 2, trebuie să ia valorile 0,2,4,6,8.

Teorema 10 (testul de divizibilitate cu 5).În ordinea numărului X este divizibil cu 5, este necesar și suficient ca notația sa zecimală să se termine cu 0 sau 5.

Demonstrează-te!

Dovada acestui test este similară cu proba testului de divizibilitate cu 2.

Teorema 11 (testul de divizibilitate cu 4).În ordinea numărului X este divizibil cu 4, este necesar și suficient ca numărul de două cifre format din ultimele două cifre ale reprezentării zecimale a numărului să fie divizibil cu 4 X.

Dovada. Lasă numărul X scris cu notatie zecimala, i.e.

x = dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 și ultimele cifre din această intrare formează un număr care este divizibil cu 4. Să demonstrăm că atunci x: . 4.

Din 100: . 4, atunci ( dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2): . 4. Prin condiție, a 1 10 + a 0 (aceasta este înregistrarea unui număr din două cifre) este și el divizibil cu 4. Prin urmare, numărul x poate fi considerat ca suma a doi termeni, fiecare dintre care este divizibil cu 4. Prin urmare, în funcție de semnul de divizibilitate al sumei, și numărul x însuși este divizibil cu 4.

Să demonstrăm contrariul, adică. dacă numărul x este divizibil cu 4, atunci numărul de două cifre format din ultimele cifre ale notației sale zecimale este și el divizibil cu 4.

Scriem egalitatea x = dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + și 0 astfel:

a 1 10 + a 0 = x- ( dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2) .

Din moment ce x: . 4 și ( dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2): . 4, apoi prin teorema de divizibilitate pentru diferența ( a 1 10 + a 0): . 4. Dar expresia a 1 10 + și 0 este un număr din două cifre format din ultimele cifre ale lui x.

Teorema 12 (testul de divizibilitate cu 9) Pentru ca un număr x să fie divizibil cu 9, este necesar și suficient ca suma cifrelor notației sale zecimale să fie divizibil cu 9.

Dovada. Să demonstrăm mai întâi că numerele de forma 10 n - 1 sunt divizibile cu 9. Într-adevăr, 10 n - 1 = (9 10 n-1 + 10 n-1) - 1 = (9 10 n-1 +9 10 n - 2 + 10 n-2)-1 = (9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+10)-1=9 10 n-1 +9 10 n-2 + …+9. Fiecare termen al sumei rezultate este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că și numărul 10 n - 1 este divizibil cu 9.

Fie numărul x = dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 și (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) : . 9. Să demonstrăm că atunci x: . nouă.

Să transformăm suma dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 , adunând și scăzând din ea expresia a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0 și scriind rezultatul în forma următoare:

x = ( dar n 10 - a n)+( un n-1 10 n-1 - a n-1)+…+( a 1 10 - a 1) + (a 0 - a 0) + (a n + a n-1 + ... + a 1 + a 0) \u003d =a n (10 n -1)+ a n-1 (10 n-1 -1)+…+ a 1 (10 -1)+ (an +a n-1 +…+a 1 +a 0) .

În ultima sumă, fiecare termen este divizibil cu 9:

dar n (10 n -1): . 9, deoarece (10 n -1) : . nouă,

a n-1 (10 n-1 -1): . 9 deoarece(10 n-1 -1) : . 9 etc.

a 1 (10 -1): . 9, deoarece (10- 1): . nouă,

(a n +a n-1 +…+a 1 +a 0) : . 9 după condiție.

Prin urmare, x: . nouă.

Să demonstrăm contrariul, adică. dacă x: . 9, atunci suma cifrelor notației sale zecimale este divizibilă cu 9.

Egalitatea x = dar n 10 + un n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + și 0 scriem sub această formă:

an + a n-1 + ... + a 1 + a 0 \u003d x - (an (10 n - 1) + a n-1 (10 n-1 -1) + ... + a 1 (10 -1).

Deoarece în partea dreaptă a acestei egalități atât minuendul, cât și subtraendul sunt multipli ai lui 9, atunci, conform teoremei privind divizibilitatea diferenței (an + a n-1 + ... + a 1 + a 0): . 9, adică suma cifrelor reprezentării zecimale a numărului x este divizibilă cu 9, ceea ce urma să fie demonstrat.

Teorema 15 (testul de divizibilitate cu 3): Pentru ca un număr x să fie divizibil cu 3, este necesar și suficient ca suma cifrelor notației sale zecimale să fie divizibil cu 3.

Dovada acestei afirmații este similară cu proba testului de divizibilitate cu 9.

După cum sa menționat deja, un număr natural a este divizibil cu un număr natural b dacă există un număr natural c, care, înmulțit cu b, dă a:

Cuvântul „în întregime” este de obicei omis - pentru concizie.

Dacă a este divizibil cu b, atunci mai spunem că a este multiplu al lui b. De exemplu, numărul 48 este un multiplu al lui 24.

Teorema 1. Dacă unul dintre factori este divizibil cu un număr, atunci produsul este divizibil și cu acest număr.

De exemplu, 15 este divizibil cu 3, deci 15∙11 este divizibil cu 3, deoarece 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Aceste considerații se aplică și în cazul general. Fie numărul a divizibil cu c, atunci există un număr natural n astfel încât a = n∙c. Se consideră produsul dintre un număr a și un număr natural arbitrar b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Din aceasta, prin definiție, rezultă că produsul a ∙ b este și el divizibil cu c. Q.E.D.

Teorema 2. Dacă primul număr este divizibil cu al doilea, iar al doilea este divizibil cu al treilea, atunci primul număr este divizibil cu al treilea.

De exemplu, 777 este divizibil cu 111 deoarece 777=7∙111 și 111 este divizibil cu 3 deoarece 111 = 3∙37. De aici rezultă că 777 este divizibil cu 3, deoarece 777 = 3∙(37∙7).

În cazul general, aceste argumente pot fi repetate aproape textual. Fie ca numărul a să fie divizibil cu numărul b, iar numărul b să fie divizibil cu numărul c. Aceasta înseamnă că există numere naturale n și m astfel încât a = n∙b și b = m∙c. Atunci numărul a poate fi reprezentat ca: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Egalitatea a = (n∙m)∙c înseamnă că și numărul a este divizibil cu c.

Teorema 3. Dacă fiecare dintre două numere este divizibil cu un număr, atunci suma și diferența lor sunt divizibile cu acest număr.

De exemplu, 100 este divizibil cu 4 deoarece 100=25∙4; 36 este de asemenea divizibil cu 4 deoarece 36 = 9∙4. Rezultă că 136 este divizibil cu 4 deoarece

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

De asemenea, putem concluziona că numărul 64 este divizibil cu 4, deoarece

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Să demonstrăm teorema în cazul general. Fie fiecare dintre numerele a și b să fie divizibil cu numărul c. Apoi, prin definiție, există numere naturale n și m astfel încât
a = n∙c și b = m∙c. Luați în considerare suma numerelor a și b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Rezultă că a + b este divizibil cu c.

În mod similar, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Prin urmare, a - b este divizibil cu c.

Teorema 4. Dacă unul dintre cele două numere este divizibil cu un număr, iar celălalt nu este divizibil cu acesta, atunci suma și diferența lor nu sunt divizibile cu acest număr.

De exemplu, 148 este divizibil cu 37 pentru că 148 = 4∙37, iar 11 nu este divizibil cu 37. Evident, suma 148 + 11 și diferența de 148 - 11 nu sunt divizibile cu 37, altfel aceasta ar contrazice proprietatea 3 .

Semne de divizibilitate

Dacă un număr se termină cu 0, atunci este divizibil cu 10.

De exemplu, numărul 4560 se termină cu numărul 0, poate fi reprezentat ca un produs al lui 456∙10, care este divizibil cu 10 (prin teorema 1).

Numărul 4561 nu este divizibil cu 10 deoarece 4561 = 4560+1 este suma numărului 4560 divizibil cu 10 și a numărului 1 care nu este divizibil cu 10 (prin Teorema 4).

Dacă numărul se termină cu una dintre cifrele 0 sau 5, atunci este divizibil cu 5.

De exemplu, numărul 2300 este divizibil cu 5 deoarece acest număr este divizibil cu 10, iar 10 este divizibil cu 5 (prin teorema 2).

Numărul 2305 se termină cu numărul 5, este divizibil cu 5, deoarece se poate scrie ca sumă a numerelor divizibil cu 5: 2300 + 5 (prin teorema 3).

Numărul 52 nu este divizibil cu 5, deoarece 52 = 50 + 2 este suma numărului 50, care este divizibil cu 5, și a numărului 2, care nu este divizibil cu 5 (prin Teorema 4).

Dacă numărul se termină cu una dintre cifrele 0, 2, 4, 6, 8, atunci este divizibil cu 2.

De exemplu, numărul 130 se termină cu 0, este divizibil cu 10 și 10 este divizibil cu 2, deci 130 este divizibil cu 2.

Numărul 136 se termină cu numărul 6, este divizibil cu 2, deoarece se poate scrie ca sumă a numerelor divizibile cu 2: 130 + 6 (prin Teorema 3).

Numărul 137 nu este divizibil cu 2, deoarece 137 = 130 + 7 este suma numărului 130, care este divizibil cu 2, și a numărului 7, care nu este divizibil cu 2 (prin teorema 4).

Un număr divizibil cu 2 se numește număr par.

Un număr care nu este divizibil cu 2 se numește număr impar..

De exemplu, numerele 152 și 790 sunt pare, iar numerele 111 și 293 sunt impare.

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 9, atunci numărul în sine este divizibil cu 9.

De exemplu, suma cifrelor 7 + 2 + 4 + 5 = 18 ale numărului 7245 este divizibil cu 9. Numărul 7245 este divizibil cu 9 deoarece poate fi reprezentat ca o sumă de 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), unde suma din primele paranteze este divizibilă cu 9, iar în a doua paranteză, suma cifrelor numărului dat, este de asemenea divizibilă cu 9 ( prin teorema 3).

Numărul 375 nu este divizibil cu 9 deoarece suma cifrelor sale 3 + 7 + 5=15 nu este divizibil cu 9. Aceasta poate fi demonstrată astfel: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), unde suma din primele paranteze este divizibilă cu 9, iar în a doua paranteză, suma cifrelor lui 375 nu este divizibilă cu 9 ( prin teorema 4).

Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3.

De exemplu, pentru numărul 375, suma cifrelor 3 + 7 + 5=15 este divizibilă cu 3 și ea însăși este divizibilă cu 3 deoarece 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), unde suma din primele paranteze este divizibilă cu 3, iar în a doua paranteză - suma cifrelor numărului 375 - este, de asemenea, divizibilă cu 3.

Suma cifrelor lui 679, care este 6 + 7 + 9 = 22, nu este divizibilă cu 3, iar numărul în sine nu este divizibil cu 3, deoarece 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), unde suma din primele paranteze este divizibilă cu 3, iar în a doua paranteză - suma cifrelor numărului 679 - nu este divizibilă cu 3.

Notă. Când spun „un număr se termină cu o cifră...” înseamnă „notația zecimală a unui număr se termină cu o cifră...”

Numere prime și compuse

Fiecare număr natural p este divizibil cu 1 și cu el însuși:

p:1=p, p:p=1.

număr prim numiți un număr natural care este mai mare decât unu și este divizibil doar cu 1 și cu el însuși.

Iată primele zece numere prime:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Numerele naturale non-simple, unitățile mari, se numesc compuse. Fiecare număr compus este divizibil cu 1, el însuși și cu cel puțin un alt număr natural.

Iată toate numerele compuse mai mici de 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Astfel, mulțimea tuturor numerelor naturale este formată din numere prime, numere compuse și unul.

Există infinit de numere prime, există primul număr - 2, dar nu există ultimul număr prim.

Divizori ai numerelor naturale

Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural b, atunci numărul b numit divizor numerele a.

De exemplu, divizorii numărului 13 sunt numerele 1 și 13, divizorii numărului 4 sunt numerele 1, 2, 4, iar divizorii numărului 12 sunt numerele 1, 2, 3, 4, 6 , 12.

Fiecare număr prim are doar doi divizori, unul și el însuși, iar fiecare număr compus are alți divizori în afară de unul și el însuși.

Dacă divizorul este un număr prim, atunci se numește divizor prim. De exemplu, numărul 13 are un factor prim de 13, numărul 4 are un factor prim de 2, iar numărul 12 are factori primi de 2 și 3.

Fiecare număr compus poate fi reprezentat ca produsul divizorilor primi. De exemplu,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 \u003d 3 3 3 3 \u003d Z 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Părțile din dreapta ale egalităților rezultate se numesc factorizări prime ale numerelor 28, 22, 81 și 100.

Factorizarea unui număr compus dat în factori primi înseamnă a-l reprezenta ca un produs al diferiților săi divizori primi sau al puterilor acestora.

Să arătăm cum poți descompune numărul 90 în factori primi.

1) 90 este divizibil cu 2, 90:2 = 45;

2) 45 nu este divizibil cu 2, dar este divizibil cu 3, 45:3= 15;

3) 15 este divizibil cu 3, 15:3 = 5;

4) 5 este divizibil cu 5, 5:5 = 1.

Astfel, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

Cel mai mare divizor comun

Numărul 12 are divizori 1, 2, 3, 4, 12. Numărul 54 are divizori 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Vedem că numerele 12 și 54 au divizori comuni 1, 2 , 3 .6.

Cel mai mare divizor comun al 12 și 54 este 6.

Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b reprezintă: GCD (a, b).

De exemplu, mcd (12, 54) = 6.

Cel mai mic multiplu comun

Un număr divizibil cu 12 se numește multiplu al lui 12. Numărul 12 este un multiplu al lui 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 etc. Numărul 18 este un multiplu al lui 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 etc.

Vedem că există numere care sunt multipli de 12 și 18 în același timp. De exemplu, 36, 72, 108, ... . Aceste numere sunt numite multipli comuni ai lui 12 și 18.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a și b este cel mai mic număr natural divizibil chiar cu a și b. Acest număr este notat cu: NOC (a, b).

Cel mai mic multiplu comun a două numere se găsește de obicei într-unul din două moduri. Să le luăm în considerare.

Găsiți LCM(18, 24).

eu drumul. Vom scrie numere care sunt multipli ai lui 24 (cel mai mare dintre aceste numere), verificând dacă fiecare dintre ele este divizibil cu 18: 24∙1=24 - nu este divizibil cu 18, 24∙2 = 48 - nu este divizibil cu 18, 24∙3 = 72 – este divizibil cu 18, deci LCM (24, 18) =
= 72.

calea II. Descompunem numerele 24 și 18 în factori primi: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) trebuie să fie divizibil cu 24 și 18. Prin urmare, numărul dorit conține toți divizorii primi Mai mult 24 (adică numerele 2, 2, 2, 3) și factorii lipsă din extinderea numărului mai mic 18 (un alt număr 3). Prin urmare, LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Deoarece numerele coprime nu au divizori primi comuni, cel mai mic multiplu comun al lor este egal cu produsul acestor numere. De exemplu, 24 și 25 sunt numere relativ prime. Prin urmare, LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

Dacă unul dintre două numere este divizibil egal cu celălalt, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este egal cu cel mai mare dintre ele. De exemplu, 120 este divizibil egal cu 24, deci LCM (120, 24) = 120.

Numere întregi

Aducere aminte. Sunt numite numerele care sunt folosite la numărarea numărului de obiecte numere naturale. Zero nu este considerat un număr natural. Numerele naturale și zero, scrise în ordine crescătoare și fără goluri, formează o serie de numere întregi nenegative:

Această secțiune va introduce numere noi − întreg negativ.

Numerele întregi negative

Un exemplu de bază din viață este un termometru. Să presupunem că arată o temperatură de 7°C. Dacă temperatura scade cu 4°, termometrul va arăta căldură de 3°. O scădere a temperaturii corespunde unei acțiuni de scădere: 7 - 4 \u003d 3. Dacă temperatura scade cu 7 °, atunci termometrul va afișa 0 °: 7 - 7 \u003d 0.

Dacă temperatura scade cu 8°, termometrul va indica -1° (1° îngheț). Dar rezultatul scăderii 7 - 8 nu poate fi scris folosind numere naturale și zero, deși are o semnificație reală.

Este imposibil să numărați 8 numere de la numărul 7 la stânga într-o serie de numere întregi nenegative. Pentru a face acțiunea 7 - 8 fezabilă, extindem gama de numere întregi nenegative. Pentru a face acest lucru, la stânga lui zero, scriem (de la dreapta la stânga) în ordine toate numerele naturale, adăugând fiecăruia un semn „-”, arătând că acest număr este la stânga lui zero.

Intrările -1, -2, -3, ... citesc „minus 1”, „minus 2”, „minus 3”, etc.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Seria de numere rezultată se numește serie de numere întregi. Punctele din stânga și dreapta din această intrare înseamnă că seria poate fi continuată la nesfârșit la dreapta și la stânga.

În dreapta numărului 0 din acest rând sunt numere care se numesc numere întregi naturale sau pozitive.

Definiție.Să fie date numerele naturale a și b. Un număr a se spune că este divizibil cu un număr b dacă există un număr natural q astfel încât a = bq.

În acest caz, numărul b numit divizor al unui , si numarul a este un multiplu al lui b.

De exemplu, 24 este divizibil cu 8, deoarece există așa ceva q = 3, care este 24 = 8×3. Cu alte cuvinte, 8 este un divizor al lui 24, iar 24 este un multiplu al lui 8.

În acel caz când dar impartit de b, scrie: a M b. Această intrare este adesea citită astfel: „și un multiplu b.

Rețineți că conceptul de „divizor al unui număr dat” ar trebui să fie distins de conceptul de „divizor”, indicând numărul cu care este împărțit. De exemplu, dacă 18 este împărțit la 5, atunci numărul 5 este un divizor, dar 5 nu este un divizor al numărului 18. Dacă 18 este împărțit la 6, atunci în acest caz conceptele de „divizor” și „divizor de acest număr” coincid.

Din definiția relației de divizibilitate și a egalității a = 1 × dar, corect pentru orice natural dar, rezultă că 1 este un divizor al oricărui număr natural.

Aflați câți divizori poate avea un număr natural dar. Să luăm mai întâi în considerare următoarea teoremă.

Teorema 1. Împărțitorul b al unui număr dat a nu depășește acest număr, adică dacă a M b, atunci b £ a.

Dovada. Deoarece a M b, există un qО N astfel încât a = bq și, prin urmare, a - b = bq - b = b ×(q - 1). Deoarece qО N, atunci q ³ 1. . Atunci b ×(q - 1) ³ 0 și, în consecință, b £ a.

Din această teoremă rezultă că mulțimea divizorilor unui număr dat este finită. Să numim, de exemplu, toți divizorii numărului 36. Aceștia formează o mulțime finită (1,2,3,4,6,9, 12, 18,36).

În funcție de numărul de divizori dintre numerele naturale, se disting numerele prime și cele compuse.

Definiție.Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care are doar doi divizori - unul și numărul însuși.

De exemplu, 13 este prim pentru că are doar doi divizori: 1 și 13.

Definiție.Un număr compus este un număr natural care are mai mult de doi divizori.

Deci numărul 4 este compus, are trei divizori: 1, 2 și 4. Numărul 1 nu este nici prim, nici numar compus deoarece are un singur divizor.

Numerele care sunt multipli ai unui anumit număr pot fi numite câte doriți - există un număr infinit de ele. Deci, numerele care sunt multipli de 4 formează o serie infinită: 4, 8, 12, 16, 20, 24, .... și toate pot fi obținute prin formula a = 4q, Unde q ia valorile 1, 2, 3,... .

Știm că relația de divizibilitate pe mulțimea N are o serie de proprietăți, în special, este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. Acum, având o definiție a relației de divizibilitate, putem demonstra aceste și alte proprietăți ale acesteia.

Teorema 2. Relația de divizibilitate este reflexivă, adică. Orice număr natural este divizibil cu el însuși.

Dovada. Pentru orice natural dar egalitate corectă a = a× 1. Deoarece 1 н N atunci, prin definiția relației de divizibilitate, aMa.

Teorema 3. Relația de divizibilitate este antisimetrică, adică. dacă a M b și a ¹ b, atunci .

Dovada. Să presupunem contrariul, adică că bMa. Dar apoi a £ b, conform teoremei discutate mai sus.

Prin condiția a M b și a ¹ b. Apoi, după aceeași teoremă, b £ a.

Inegalitățile a £ b și b £ a vor fi valabile numai atunci când a = b, ceea ce contrazice ipoteza teoremei. Prin urmare, presupunerea noastră este greșită și teorema este demonstrată.

Teorema 4. Relația de divizibilitate este tranzitivă, adică în cazul în care un M b și b M s, apoi a M s.

Dovada. pentru că un Mb, q, ce dar = b q , iar din moment ce bM s, atunci există un număr natural R, ce b = cf. Dar atunci avem: dar = b q = (cp)q = c(pq). Număr pq - natural. Deci, prin definiția relației de divizibilitate, dar. Domnișoară.

Teorema 5(semnul divizibilității sumei). Dacă fiecare dintre numerele naturale a 1, a 2, ... a p este divizibil cu un număr natural b, atunci suma lor a 1 + a 2 + ... + a p este divizibil cu acest număr.

De exemplu, fără a face calcule, putem spune că suma 175 + 360 +915 este divizibil cu 5, deoarece fiecare termen al acestei sume este divizibil cu 5.

Teorema 6(semn de divizibilitate a diferenței). Dacă numerele a 1 și a 2 sunt divizibile cu b și a 1 ³ a 2, atunci diferența lor a 1 - a 2 este divizibilă cu b.

Teorema 7(un semn al divizibilității lucrării). Dacă numărul a este divizibil cu b, atunci produsul formei ax, unde x e N. este divizibil cu b.

Din teoremă rezultă că dacă unul dintre factorii produsului este divizibil cu un număr natural b, atunci întregul produs este de asemenea divizibil cu b.

De exemplu, produsul 24×976×305 este divizibil cu 12, deoarece factorul 24 este divizibil cu 12.

Luați în considerare încă trei teoreme legate de divizibilitatea sumei și a produsului, care sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor de divizibilitate.

Teorema 8. Dacă în sumă un termen nu este divizibil cu număr b, iar toți ceilalți termeni sunt divizibili cu b, atunci întreaga sumă nu este divizibilă cu b.

De exemplu, suma 34 + 125 + 376 + 1024 nu este divizibil cu 2, deoarece 34:2.376:2.124:2, dar 125 nu este divizibil cu 2.

Teorema 9. Dacă în produsul ab factorul a este divizibil cu un număr natural m, iar factorul b este divizibil cu un număr natural n, atunci a b este divizibil cu m.

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din teorema privind divizibilitatea unui produs.

Teorema 10. Dacă produsul ac este divizibil cu produsul bc și c este un număr natural, atunci a este și divizibil cu b.

Sfârșitul lucrării -

Acest subiect aparține:

Un sistem consistent de axiome se numește independent dacă niciuna dintre axiomele acestui sistem nu este o consecință a altor axiome ale acestui sistem.

La construcție axiomatică teorie, în esență, toate afirmațiile sunt derivate prin demonstrarea din axiome; prin urmare, ele sunt prezentate unui sistem de axiome .. un sistem de axiome se numește consistent dacă este imposibil logic din el .. dacă un sistem de axiome nu are această proprietate, nu poate fi potrivită pentru fundamentarea unei teorii științifice.

Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:

Ce vom face cu materialul primit:

Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:

tweet

Toate subiectele din această secțiune:

numere naturale cantitative. Verifica
Teoria axiomatică descrie un număr natural ca un element al unei serii infinite în care numerele sunt aranjate într-o anumită ordine, există un prim număr și așa mai departe. Cu alte cuvinte, în axiomatic

Întrebări pentru autocontrol
1. Numiți tipurile de seturi, oferiți-le o descriere. Ce operații pot fi efectuate pe platouri? 2. Ce este un „număr”, „cifră”, „cont”? 3. Care este legătura și diferența dintre numărare și măsurare

Literatura principală; Lectură suplimentară Introducere. Introducând conceptul de segment al seriei naturale, am aflat

Sensul teoretic al sumei
Adunarea numerelor întregi nenegative este legată de unirea mulțimilor finite disjunctive. De exemplu, dacă mulțimea A conține 5 elemente, iar mulțimea B are 4 elemente și este intersectată

În teoria axiomatică, scăderea numerelor naturale este definită ca operația inversă de adunare: a – b = с Û ($ сОN) b + с = a. Scăderea numerelor întregi nenegative definește

Sensul teoretic al lucrării
Definiția înmulțirii numerelor naturale în teoria axiomatică se bazează pe noțiunea de relație și adunare „urmări imediat”. La cursul de matematică din școală se folosește o altă definiție.

Semnificația teoretică a mulțimii numerelor naturale private
În teoria axiomatică, împărțirea este definită ca operația inversă a înmulțirii, astfel încât se stabilește o relație strânsă între împărțire și înmulțire. Dacă a × b = c, atunci, cunoscând produsul cu

Sisteme de calcul pozițional și nepozițional
Cuprins 1. Sisteme numerice poziționale și nepoziționale. 2. Scrierea unui număr în notație zecimală. Literatura principală;

Limba pentru denumirea, scrierea numerelor și efectuarea operațiilor asupra acestora se numește sistem de numere.
Oamenii au învățat să numească numere și să numere chiar înainte de apariția scrisului. În aceasta au fost ajutați, în primul rând, de degetele de la mâini și de la picioare. Din cele mai vechi timpuri, a fost folosit și un astfel de tip de cont instrumental precum un copac.

Scrierea unui număr în notație zecimală
După cum știți, în sistemul numeric zecimal, 10 caractere (numere) sunt folosite pentru a scrie numere: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dintre acestea, formez secvențe finite care sunt înregistrări scurte

Algoritm de adunare
Adunarea numerelor cu o singură cifră poate fi efectuată pe baza definiției acestei acțiuni, dar pentru a nu face referire la definiție de fiecare dată, toate sumele care se obțin prin adăugarea numerelor cu o singură cifră,

Algoritm de scădere
Scăderea unui număr cu o singură cifră b dintr-un număr cu o singură cifră sau cu două cifre a, care nu depășește 18, se reduce la găsirea unui număr c astfel încât b + c = a și ia în considerare tabelul de adunare a numerelor cu o singură cifră.

Procesul descris ne permite să formulăm într-o formă generală algoritmul de scădere a numerelor în sistemul numeric zecimal
1. Scriem scăderea sub redusă astfel încât cifrele corespunzătoare să fie una sub alta. 2. Dacă cifra din cifra unității a subtraendei nu depășește cifra corespunzătoare

Algoritm de multiplicare
Înmulțirea numerelor cu o singură cifră poate fi efectuată pe baza definiției acestei operații. Dar pentru a nu face referire la definiție de fiecare dată, toate produsele numerelor cu o singură cifră sunt scrise într-un tabel special

Algoritmul de divizare
Când vine vorba de tehnica împărțirii numerelor, acest proces este considerat ca acțiunea împărțirii cu un rest: împărțirea unui întreg nenegativ a la un număr natural b înseamnă a găsi

O generalizare a diferitelor cazuri de împărțire a unui număr întreg nenegativ a la un număr natural b este următorul algoritm pentru împărțirea la un colț
1. Dacă a \u003d b, atunci câtul q \u003d 1, restul r \u003d 0. 2. Dacă a\u003e b și numărul de cifre din numerele a și b este același, atunci găsim câtul q prin enumerare, înmulțind succesiv b cu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

4. Numere prime. 5. Metode pentru găsirea celui mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor. Literatura principală; Adiţional

Semne de divizibilitate
Relațiile de divizibilitate avute în vedere în proprietăți fac posibilă demonstrarea semnelor binecunoscute de divizibilitate a numerelor scrise în sistemul numeric zecimal cu 2, 3, 4, 5, 9. Semnele de divizibilitate permit

Cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun
Să luăm în considerare conceptele de cel mai mic multiplu comun și de cel mai mare divizor comun al numerelor naturale, cunoscute de la cursul școlar de matematică, și să le formulăm principalele proprietăți, omițând toate demonstrațiile.

numere prime
Numerele prime joacă un rol important în matematică - ele sunt în esență „cărămizile” din care sunt construite numerele compuse. Acest lucru este afirmat într-o teoremă numită teorema fundamentală a aritmeticii.

Modalități de a găsi cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor
Luați în considerare mai întâi o metodă bazată pe descompunerea acestor numere în factori primi. Să fie date două numere 3600 și 288. Să le reprezentăm în forma canonică: 3600 = 24×3

Despre extinderea multimii numerelor naturale
Cuprins 1. Conceptul de fractie. 2. Numere raționale pozitive. 3. Scrie pozitiv numere rationale sub formă de zecimale. 4. Orele valabile

Conceptul de fracție
Să fie necesar să se măsoare lungimea segmentului x folosind un singur segment e (Fig. 1). Când a fost măsurat, s-a dovedit

Numere raționale pozitive
Relația de egalitate este o relație de echivalență pe mulțimea de fracții, deci generează clase de echivalență pe aceasta. Fiecare astfel de clasă conține fracții care sunt egale între ele. Pe

Adunarea numerelor raționale pozitive este comutativă și asociativă,
("a, b Î Q+) a + b= b + a; ("a, b, c Î Q+) (a + b)+ c = a + (b+ c) Înainte de a formula definiția

Scrierea numerelor raționale pozitive ca zecimale
În practică, fracțiile sunt utilizate pe scară largă, ai căror numitori sunt puterile lui 10. Se numesc zecimale. Definiție. zece

Numere reale
Una dintre sursele apariției fracțiilor zecimale este împărțirea numerelor naturale, cealaltă este măsurarea cantităților. Să aflăm, de exemplu, cum se pot obține fracții zecimale la măsurarea lungimii unui segment.

Sensul teoretic al diferenței
8. Relații „mai mult de” și „mai puțin de”. 9. Reguli pentru scăderea unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr. 10. Din istoria apariției și dezvoltării modalităților de a scrie numerele naturale și zero.

Mulțimea numerelor raționale pozitive ca extensie a mulțimii numerelor naturale
27. Scrieți numere raționale pozitive ca fracții zecimale. 28. Numerele reale. MODULUL 4. FIGURI ŞI VALORI GEOMETRICE

Conceptul de mărime scalară pozitivă și măsurarea acesteia
Luați în considerare două afirmații care folosesc cuvântul „lungime”: 1) Multe obiecte din jurul nostru au o lungime. 2) Tabelul are o lungime. Prima propoziție spune

Definiție. Să fie date numerele naturale a și b. Un număr a se spune că este divizibil cu un număr b dacă există un număr natural q astfel încât a = bq.

În acest caz, se numește numărul b divizor de numere a, un număr a - multiplu de b.

De exemplu, 24 este divizibil cu 8, deoarece există q = 3 astfel încât 24 = 8 3. Se poate spune altfel: 8 este un divizor al lui 24, iar 24 este un multiplu al lui 8. În cazul în care a este împărțit la b, se scrie: a:. b. Această înregistrare „” se citește și astfel: „a este un multiplu al lui b”. Rețineți că conceptul de „divizor al unui număr dat” ar trebui să fie distins de conceptul de „divizor”, indicând numărul cu care este împărțit. De exemplu, dacă 18 împarte la 5, atunci numărul 5 este un divizor, dar 5 nu este un divizor al lui 18. Dacă 18 împarte 6, atunci în acest caz conceptele de „divizor” și „divizor al acestui număr” coincid.

Din definiția relației de divizibilitate și a egalității a = 1·a, valabilă pentru orice a natural, rezultă că 1 este divizor al oricărui număr natural.

Să aflăm câți divizori poate avea un număr natural. Să luăm mai întâi în considerare următoarea teoremă.

Teorema 1. Împărțitorul b al unui număr dat a nu depășește acest număr, adică. dacă

dar: . b, apoi b< а.

Dovada. Din moment ce a: . b, atunci există q Є N astfel încât a = bq u, deci a-b = bq – b= b (q - unu). Deoarece q Є N, atunci q≥ 1. Atunci b (q - 1) ≥ 0 și, prin urmare , b ≤ a.

Din această teoremă rezultă că mulțimea divizorilor unui număr dat este finită. Să numim, de exemplu, toți divizorii numărului 36 formează o mulțime finită (1,2,3,4,6,9,12,18,36).

În funcție de numărul de divizori dintre numerele naturale, se disting numerele prime și cele compuse.

Definiție. Un număr prim este un număr natural care are doar doi divizori - unul și numărul însuși.

De exemplu, numărul 13 este prim pentru că are doar doi divizori: 1 și 13.

Definiție. Un număr compus este un număr natural care are mai mult de doi divizori.

Deci numărul 4 este compus, are trei divizori: 1,2 și 4.

Numărul 1 nu este nici prim, nici compus din cauza faptului că are un singur divizor.

Numerele care sunt multipli ai unui anumit număr pot fi numite câte doriți - există un număr infinit de ele. Deci, numerele care sunt multipli ai lui 4 formează o serie infinită: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... și toate pot fi obținute prin formula a = 4q, unde q ia valorile 1, 2, 3, ... .

Știm că relația de divizibilitate are o serie de proprietăți, în special, este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă. Acum, având o definiție a relației de divizibilitate, putem demonstra aceste și alte proprietăți ale acesteia.

Teorema 2. Relația de divizibilitate este reflexivă, adică. Orice număr natural este divizibil cu el însuși.

Dovada. Pentru orice a natural, egalitatea a = a 1 este adevărată. Deoarece 1 Є N, atunci, prin definiția relației de divizibilitate, a: . dar.

Teorema 3. Relația de divizibilitate este antisimetrică, adică. în cazul în care un: . b și a ≠ b,

apoi b ⁞͞ a.

Dovada. Să presupunem contrariul, adică ce b ⁞ A. Dar atunci a ≤ b, conform teoremei discutate mai sus.

După condiție și ⁞ . b și a ≠ b. Atunci, după aceeași teoremă, b ≤ a.

Inegalitățile a ≤ b și b ≤ a vor fi valabile numai atunci când a = b, ceea ce contrazice condiția teoremei. Prin urmare, presupunerea noastră este greșită și teorema este demonstrată.

Teorema 4. Relația de divizibilitate este tranzitivă, adică în cazul în care un ⁞ b și b ⁞ s, apoi a ⁞ din.

Dovada. Din moment ce a: . b, atunci există un număr natural q astfel încât a = bq, și deoarece b ⁞ c, atunci există un număr natural p astfel încât b = cp. Dar atunci avem: a = bq = (cp)q = c(pq)- Numărul pq este natural. Deci, prin definiția relației de divizibilitate,

dar ⁞ din.

Teorema 5 (semnul divizibilității sumei). Dacă fiecare dintre numerele naturale a 1 , a 2 , ... și p este divizibil cu un număr natural b, atunci suma lor a 1 + a 2 + ... + a n este divizibil cu acest număr.

Dovada. De la 1 ⁞ b, atunci există un număr natural q 1 astfel încât a 1 =bq 1 . De la un 2 ⁞ b, atunci există un număr natural q 2 astfel încât a 2 = bq 2 . Continuând raționamentul, obținem că dacă a n: . b, atunci există un număr natural q n astfel încât a p = bq n . Aceste egalități ne permit să transformăm suma a 1 + a 2 + ... + a n într-o sumă de forma bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Scoatem factorul comun b, iar numărul natural q 1 + q 2 + ... + q n obținut între paranteze este notat cu litera q. Apoi a 1+ a 2 + ... + a n = b(q 1 + q 2 +... + q n) = bq, adică. suma a 1 + a 2 +… + a p s-a dovedit a fi reprezentată ca un produs al numărului b și al unui număr natural q. Și aceasta înseamnă că suma a 1 + a 2 + ... + a p este divizibilă cu b, ceea ce trebuia demonstrat.

De exemplu, fără a face calcule, putem spune că 175 + 360 + 915 este divizibil cu 5, deoarece fiecare termen din această sumă este divizibil cu 5.

Teorema 6 (test pentru divizibilitatea unei diferențe). Dacă numerele a 1 și a 2 sunt divizibile cu b și a 1 ≥ a 2, atunci diferența lor a 1 - a 2 este divizibilă cu b.

Demonstrarea acestei teoreme este similară cu demonstrarea criteriului de divizibilitate a unei sume.

Teorema 7 (testul de divizibilitate a unui produs). Dacă numărul a este divizibil cu b, atunci produsul formei ax, unde x Є N, este divizibil cu b.

Dovada. Din moment ce a: . b, atunci există un număr natural q astfel încât A= bq. Înmulțiți ambele părți ale acestei egalități cu un număr natural x. Atunci ax=(bq)x, de unde, pe baza proprietății de asociativitate a înmulțirii, (bq)x = b(qx) și, prin urmare, ax = b(qx), unde qx ​​este un număr natural. Conform definiţiei relaţiei de divizibilitate, ax: . b, care urma să fie dovedit.

Din teorema demonstrată rezultă că, dacă unul dintre factorii unui produs este divizibil cu un număr natural b, atunci întregul produs este de asemenea divizibil cu b. De exemplu, produsul 24 976 305 este divizibil cu 12, deoarece factorul 24 este divizibil cu 12.

Luați în considerare încă trei teoreme legate de divizibilitatea sumei și a produsului, care sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor de divizibilitate.

Teorema 8. Dacă în sumă un termen nu este divizibil cu numărul b și toți ceilalți termeni sunt divizibil cu numărul b, atunci întreaga sumă nu este divizibilă cu numărul b.

Dovada. Fie s = a 1 + a r + ... + a n + "c și se știe că a 1: . B și 2: . B,

a 3: . b, … și n: . b, dar cu: . b. Să demonstrăm că atunci s: . b

Să presupunem contrariul, adică Să: . b. Să transformăm suma s la forma с = s- ( a 1 + a 2 +… + un n). Din s: . b prin presupunere, ( a 1 + a 2 +… + un n) : . b după criteriul de divizibilitate a sumei, apoi după teorema de divizibilitate a diferenței c: .b

A ajuns la o contradicție cu ceea ce este dat. Prin urmare, s: . b.

De exemplu, suma 34 + 125 + 376 + 1024 nu este divizibil cu 2, deci 34: .2.376: .2.124: .2, dar 125 nu este divizibil cu 2.

Teorema 9 . Daca in produs ab factorul A este divizibil cu un număr natural m, iar factorul b este divizibil cu un număr natural n, apoi ab este divizibil cu mn.

Valabilitatea acestei afirmații rezultă din teorema privind divizibilitatea unui produs.

Teorema 10. Dacă lucrarea as este divizibil cu produsul bc, iar c este un număr natural, atunci dar este divizibil cu b.

Dovada. Din moment ce asul se împarte pe BC, atunci există un număr natural q astfel încât ac = (bc)q, de unde ac = (bq)c și, în consecință, a = bq, adică. dar:.b.

Exerciții

1. Explicați de ce 15 este un divizor al lui 60 și nu un divizor al lui 70.

2. Construiți un grafic al relației „a fi divizor al unui număr dat”, dată pe mulțimea X = (2, 6,. 12, 18, 24). Cum sunt reflectate proprietățile în acest grafic relatie data?

3. Se știe că numărul 24 este un divizor al lui 96, iar numărul 96 este un divizor al lui 672. Demonstrați că numărul 24 este un divizor al lui 672 fără a împărți.

4. Notați mulțimea divizorilor numărului.

a) 24; 6)13; în 1.

5 .Pe mulţimea X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12) este dată relaţia „au acelaşi număr de divizori”. Este o relație de echivalență?

6 .Construiți o concluzie care să demonstreze că:

a) numărul 19 este prim;

b) numărul 22 este compus.

7. Demonstrați sau infirmați următoarele afirmații:

a) Dacă suma a doi termeni este divizibilă cu un anumit număr, atunci fiecare termen este de asemenea divizibil cu acel număr.

b) Dacă unul dintre termenii sumei nu este divizibil cu un număr, atunci suma nu este divizibilă cu acest număr.

c) Dacă niciun termen nu este divizibil cu un număr, atunci suma nu este divizibilă cu acel număr.

d) Dacă unul dintre termenii sumei este divizibil cu un număr, iar celălalt nu este divizibil cu acest număr, atunci suma nu este divizibilă cu acest număr.

8. Este adevărat că:

a) a:. tipul b: . n =>ab: .mn

b) a: .n și b: .n => ab: .n;

c) ab: .n => a: .p sau b: .n.