Cum se stabilește dacă numerele sunt coprime. Numerele coprime

$p$ se numește număr prim dacă are doar $2$ divizori: $1$ și el însuși.

separator numar natural$a$ este un număr natural cu care numărul original $a$ este divizibil fără rest.

Exemplul 1

Aflați divizorii numărului $6$.

Soluție: Trebuie să găsim toate numerele cu care numărul dat $6$ este divizibil fără rest. Acestea vor fi numere: $1,2,3, 6$. Deci divizorul numărului $6$ vor fi numerele $1,2,3,6.$

Răspuns: $1,2,3,6$.

Deci, pentru a găsi divizorii unui număr, trebuie să găsiți toate numerele naturale prin care dat este divizibil fără rest. Este ușor de observat că numărul $1$ va fi un divizor al oricărui număr natural.

Definiția 2

Compozit Un număr se numește un număr care are alți divizori în afară de unul și el însuși.

Un exemplu de număr prim ar fi $13$, un exemplu de număr compus ar fi $14.$

Observație 1

Numărul $1$ are un singur divizor - acest număr în sine, deci nu este clasificat nici ca prim sau compus.

Numerele coprime

Definiția 3

Numerele coprime cei al căror GCD este egal cu $1$ sunt numiți.Deci, pentru a afla dacă numerele sunt coprime, este necesar să le găsiți GCD și să-l comparați cu $1$.

Coprime în perechi

Definiția 4

Dacă într-un set de numere oricare două sunt între prime, atunci se numesc astfel de numere coprime perechi. Pentru două numere, conceptele de „coprime” și „coprime în perechi” sunt aceleași.

Exemplul 2

$8, 15$ - nu prime, ci coprime.

6, 8, 9 $ - reciproc numere prime, dar nu coprime perechi.

$8, 15, 49$ sunt coprime perechi.

După cum putem vedea, pentru a determina dacă numerele sunt coprime, trebuie mai întâi să le descompuneți în factori primi. Să fim atenți cum să o facem corect.

factorizare primara

De exemplu, să factorizăm numărul $180$:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Folosim proprietatea gradelor, apoi obținem,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

O astfel de reprezentare a descompunerii în factori primi se numește canonică, i.e. pentru a factoriza un număr în formă canonică, este necesar să se folosească proprietatea puterii și să se reprezinte numărul ca produs de puteri cu baze diferite.

Descompunerea canonică a unui număr natural în formă generală

Descompunerea canonică a unui număr natural în vedere generala se pare ca:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

unde $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ sunt numere prime și exponenți grade – naturale numerele.

Reprezentarea unui număr ca o descompunere canonică în mulțimi simple facilitează găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor și acționează ca o consecință a demonstrației sau definiției numerelor coprime.

Exemplul 3

Găsiți cel mai mare divizor comun de $180$ și $240$.

Rezolvare: Descompuneți numerele în mulțimi simple folosind descompunerea canonică

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, apoi $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, apoi $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Acum să găsim GCD-ul acestor numere, pentru aceasta alegem grade cu aceeași bază și cu cel mai mic exponent, apoi

$gcd \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Să compunem algoritm pentru găsirea mcd ținând cont de descompunerea canonică în factori primi.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere folosind expansiunea canonică, trebuie:

factorizează numerele în factori primi în formă canonică
alegeți grade cu aceeași bază și cu cel mai mic exponent al numerelor incluse în descompunerea acestor numere
Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

Exemplul 4

Stabiliți dacă numerele $195$ și $336$ sunt numere prime, coprime.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$gcd \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Vedem că mcd-ul acestor numere este diferit de $1$, ceea ce înseamnă că numerele nu sunt coprime. De asemenea, vedem că fiecare dintre numere include factori, pe lângă $1$ și numărul în sine, ceea ce înseamnă că nici numerele nu vor fi prime, ci vor fi compuse.

Exemplul 5

Stabiliți dacă numerele $39$ și $112$ sunt numere prime, coprime.

Soluție: Folosim factorizarea canonică pentru factorizare:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$gcd \ (39;112)=1$

Vedem că mcd-ul acestor numere este egal cu $1$, ceea ce înseamnă că numerele sunt coprime. De asemenea, vedem că fiecare dintre numere include factori, pe lângă $1$ și numărul în sine, ceea ce înseamnă că nici numerele nu vor fi prime, ci vor fi compuse.

Exemplul 6

Stabiliți dacă numerele $883$ și $997$ sunt numere prime, coprime.

Soluție: Folosim factorizarea canonică pentru factorizare:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$gcd \ (883;997)=1$

Vedem că mcd-ul acestor numere este egal cu $1$, ceea ce înseamnă că numerele sunt coprime. De asemenea, vedem că fiecare dintre numere include doar factori egali cu $1$ și numărul în sine, ceea ce înseamnă că numerele vor fi prime.

Cu excepția ±1.

14 și 25 sunt între prime, deoarece nu au divizori comuni;
15 și 25 nu sunt relativ primi deoarece au un divizor comun de 5;

Reprezentare vizuală: dacă construiți o „pădure” pe un plan setând „arbori” de grosime zero la puncte cu coordonate întregi, atunci numai copacii ale căror coordonate sunt coprime sunt vizibili de la origine, vezi figura din dreapta ca exemplu de vizibilitatea unui „arboresc” cu coordonatele (9 , 4).

Notaţie

Pentru a indica simplitatea reciprocă a numerelor m (\displaystyle m)Și n (\displaystyle n) se folosește notația:

m ⊥ n . (\displaystyle m\perp n.)

Cu toate acestea, nu toți matematicienii recunosc și folosesc această notație. Formularea cea mai des folosită sau notația echivalentă mcd (a, b) = 1 (\displaystyle \gcd(a,b)=1), care înseamnă: „cel mai mare divizor comun al numerelor AȘi b este egal cu 1".

Definiții înrudite

Dacă într-un set de numere orice două numere sunt între prime, atunci se numesc astfel de numere coprime perechi. Pentru două numere, conceptele de „coprime” și „coprime în perechi” sunt aceleași.

Exemple

8, 15 - nu prim, ci coprim.
6, 8, 9 sunt numere coprime (în mod colectiv), dar nu coprime în perechi.
8, 15, 49 sunt coprime perechi.

Proprietăți

Numerele a (\displaystyle a)Și b (\displaystyle b) coprim dacă și numai dacă una dintre condițiile echivalente este îndeplinită:
Orice două numere prime (diferente) sunt relativ prime.
Dacă a (\displaystyle a)- divizor de produs bc (\displaystyle bc), Și a (\displaystyle a) reciproc simplu cu b (\displaystyle b), apoi a (\displaystyle a)- separator c (\displaystyle c).
Dacă numerele a 1 , … , a n (\displaystyle a_(1),\ldots ,a_(n)) sunt numere coprime perechi, atunci NOC(a 1 , … , a n) = | a 1 ⋅ … ⋅ a n | (\displaystyle (a_(1),\ldots ,a_(n))=|a_(1)\cdot \ldots \cdot a_(n)|). De exemplu, NOC (9, 11) = 9 ⋅ 11 = 99 (\displaystyle (9,11)=9\cdot 11=99).
Probabilitatea ca oricare k (\displaystyle k) numerele întregi pozitive alese aleatoriu vor fi relativ prime, egale cu , în sensul că când N → ∞ (\displaystyle N\la \infty ) probabilitatea ca k (\displaystyle k) numere întregi pozitive mai mici decât N (\displaystyle (\textstyle (N)))(și ales aleatoriu) va fi coprim, tinde să 1 ζ (k) (\displaystyle (\dfrac (1)(\zeta (k)))). Aici ζ (k) (\displaystyle \zeta (k))- acest

$p$ se numește număr prim dacă are doar $2$ divizori: $1$ și el însuși.

Împărțitorul unui număr natural $a$ este un număr natural cu care numărul inițial $a$ este divizibil fără rest.

Exemplul 1

Aflați divizorii numărului $6$.

Soluție: Trebuie să găsim toate numerele cu care numărul dat $6$ este divizibil fără rest. Acestea vor fi numere: $1,2,3, 6$. Deci divizorul numărului $6$ vor fi numerele $1,2,3,6.$

Răspuns: $1,2,3,6$.

Definiția 2

Compozit Un număr se numește un număr care are alți divizori în afară de unul și el însuși.

Un exemplu de număr prim ar fi $13$, un exemplu de număr compus ar fi $14.$

Observație 1

Numărul $1$ are un singur divizor - acest număr în sine, deci nu este clasificat nici ca prim sau compus.

Numerele coprime

Definiția 3

Numerele coprime cei al căror GCD este egal cu $1$ sunt numiți.Deci, pentru a afla dacă numerele sunt coprime, este necesar să le găsiți GCD și să-l comparați cu $1$.

Coprime în perechi

Definiția 4

Exemplul 2

$8, 15$ - nu prime, ci coprime.

$6, 8, 9$ sunt numere coprime, dar nu coprime perechi.

$8, 15, 49$ sunt coprime perechi.

După cum putem vedea, pentru a determina dacă numerele sunt coprime, trebuie mai întâi să le descompuneți în factori primi. Să fim atenți cum să o facem corect.

factorizare primara

De exemplu, să factorizăm numărul $180$:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Folosim proprietatea gradelor, apoi obținem,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Descompunerea canonică a unui număr natural în formă generală

Expansiunea canonică a unui număr natural are în general forma:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

unde $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ sunt numere prime iar exponenții sunt numere naturale.

Exemplul 3

Găsiți cel mai mare divizor comun de $180$ și $240$.

Rezolvare: Descompuneți numerele în mulțimi simple folosind descompunerea canonică

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, apoi $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, apoi $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Acum să găsim GCD-ul acestor numere, pentru aceasta alegem grade cu aceeași bază și cu cel mai mic exponent, apoi

$gcd \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Să compunem algoritm pentru găsirea mcd ținând cont de descompunerea canonică în factori primi.

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere folosind expansiunea canonică, trebuie:

factorizează numerele în factori primi în formă canonică
alegeți grade cu aceeași bază și cu cel mai mic exponent al numerelor incluse în descompunerea acestor numere
Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

Exemplul 4

Stabiliți dacă numerele $195$ și $336$ sunt numere prime, coprime.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$gcd \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Exemplul 5

Stabiliți dacă numerele $39$ și $112$ sunt numere prime, coprime.

Soluție: Folosim factorizarea canonică pentru factorizare:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$gcd \ (39;112)=1$

Exemplul 6

Stabiliți dacă numerele $883$ și $997$ sunt numere prime, coprime.

Soluție: Folosim factorizarea canonică pentru factorizare:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$gcd \ (883;997)=1$

Definiție1. Numerele întregi a 1 ,a 2 ,…,a k se numesc coprime dacă (a 1 ,a 2 ,…,a k) =1

Definiția 2. Numerele întregi а 1 ,а 2 ,…,ak se numesc coprime perechi dacă i,s (i, s = 1, 2, .. , k, is, (а i , а s) =1) .

Dacă numerele satisfac definiția 2, atunci ele satisfac și Definiția 1. Reversul nu este adevărat în cazul general, de exemplu: (15, 21, 19)= 1, dar (15, 21) = 3

Teoremă (criteriul de primalitate reciprocă)

(a, b) = 1<=> x, y Z: ax + by = 1

Dovada:

Să demonstrăm necesitatea. Fie (а, b) = 1. Mai sus am arătat că dacă d=(a, b), atunci  x, y  Z: d = ax + by.

pentru că în acest caz d =1, atunci va fi  x, y Z (determinat din algoritmul Euclid): 1 = ax + bу.

Adecvarea. Fie (*) ax + by = 1, demonstrăm că (a, b)=1. Să presupunem că (a, b) = d, apoi în partea stângă a egalității (*)

(A / d ) & ( b/d ) => (ax + by) /d => (1/d) => (d=l) => (a, b) = 1.

§4. Nok de numere întregi și proprietățile sale.

Definiția 1. Un multiplu comun al unei mulțimi finite de numere întregi diferite de zero a 1 ,a 2 ,…,a k este un întreg m care este divizibil cu toate numerele a i (i=l, 2,…, k)

Definiția 2. Un număr întreg (m) se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor diferite de zero а 1 ,а 2 ,...,a k , dacă:

1 m - este multiplu comun al acestora;

2 (m) împarte orice alt multiplu comun al acestor numere.

Notație: m = LCM (a 1, a 2,…, a k) sau m = [a 1, a 2,…, a k]

Exemplu. Numerele date: 2, 3, 4, 6, 12.

Numerele 12, 24. 48. 96 sunt multipli comuni ai lui 2, 3, 4, 6, 12. Cel mai mic multiplu comun este 12. i.e.

LCM este determinat în mod unic în funcție de ordinea factorilor. Într-adevăr, dacă presupunem că m 1 \u003d [a, b] &m 2 \u003d  (m 1 / m 2) & (m 2 / m 1) => [(m 1 = m 2) v (m 1 = - m 2)]. Există o relație între cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun a două numere întregi, care se exprimă prin formula: [a, b] = ab / (a, b) (deduceți-l singur)

Această relație ne permite să afirmăm că pentru orice pereche de numere întregi diferite de zero, există cel mai mic multiplu comun al acestora. Într-adevăr, (a, b) poate fi întotdeauna derivată în mod unic din algoritmul lui Euclid și prin definiție (a, b)  0, atunci fracția ab/(a, b)  0 va fi determinată în mod unic.

Cel mai simplu LCM din două numere întregi se calculează atunci când (a, b) = 1, apoi [a, b] = ab/1 = a b

De exemplu, = 215/1 = 105, deoarece (21, 5) = 1.

§cinci. Numerele prime și proprietățile lor.

Definiția 1. Un număr natural (p) se numește prim dacă p > 1 și nu are poziție. divizori alții decât 1 și p.

Definiția 2. Un număr natural a > 1 care are alți divizori pozitivi în afară de 1 și el însuși se numește compus.

Din aceste definiții rezultă că mulțimea numerelor naturale poate fi împărțită în trei clase:

a) numere compuse;

b) numere prime;

c) unitate.

Dacă a este compus, atunci a = nq, unde 1

Sarcina 1. Demonstrați că dacă aZ și p este un număr prim, atunci (a, p) = 1 v (a / p)

Dovada.

Fie d = (a, p) => (a / d) și (p / d), deoarece p este un număr prim, atunci are doi divizori 1 și p. Dacă (a, p) = 1, atunci a și p sunt relativ primi; dacă (a, p) = p, atunci (a/p).

Sarcina 2. Dacă produsul mai multor factori este divizibil cu p, atunci cel puțin unul dintre factori este divizibil cu p.

Soluţie.

Fie produsul (a 1, a 2, ..., și k)/p, dacă toate a i nu sunt divizibile cu p, atunci produsul va fi copprim cu p, prin urmare, un factor este divizibil cu p.

Sarcina 3. Demonstrați că cel mai mic divizor al unui număr întreg a > 1, altul decât 1, este un număr prim.

Dovada.

Fie aZ și a un număr compus (dacă a = p, atunci se dovedește aserția), atunci a = a 1 q.

Fie q cel mai mic divizor, să arătăm că va fi un număr prim. Dacă presupunem că q este un număr compus, atunci q \u003d q 1 k și a \u003d a 1 q 1 k, deoarece q 1

Sarcina 4. Demonstrați că cel mai mic divizor prim (p) al unui număr natural (n) nu depășește n .

Dovada.

Fie n = pn 1 și p< n 1 и р - простое. Тогда n  р 2 =>R<n .

Din această afirmație rezultă că dacă un număr natural (n) nu este divizibil cu niciun număr prim р n , atunci n este prim, altfel va fi compus.

Exemplul 1. Aflați dacă numărul 137 este prim? unsprezece<137 <12.

Notăm divizori primi care nu depășesc 137: 2, 3, 5, 7, 11. Verificăm că 137 nu este divizibil cu 2, cu 3, cu 5, cu 7, cu 11. Prin urmare, numărul 137 este prim.

teorema lui Euclid. Mulțimea numerelor prime este infinită.

Dovada.

Presupunem contrariul, fie p 1 ,p 2 , ..., p k sunt toate numere prime, unde p 1 = 2 și p k este cel mai mare număr prim.

Să compunem un număr natural  = p 1 p 2  ... p la +1, ca  p i , atunci trebuie să fie compus, atunci cel mai mic divizor al său va fi simplu (vezi problema 3). Cu toate acestea,  nu este divizibil nici cu p 1 sau p 2 ,... sau p k , deoarece 1 nu este divizibil cu niciun p I .

În consecință, presupunerea noastră că mulțimea primelor este finită a fost greșită.

Cu toate acestea, există o teoremă care afirmă că numerele prime reprezintă doar o mică parte din numerele din seria naturală.

Teorema intervalului.În seria naturală, există intervale arbitrar lungi care nu conțin un singur număr prim.

Dovada.

Să luăm un număr natural arbitrar (n) și să compunem o succesiune de numere naturale (n+1)!+2, n+1)!+3,…,(n+1)!+(n+1).

În această secvență, fiecare număr următor este cu 1 mai mult decât cel anterior, toate aceste numere sunt compuse, deoarece fiecare are mai mult de doi divizori (de exemplu, primul număr este divizibil cu 1, cu 2 și prin el însuși). Ca n→∞ obținem un interval arbitrar lung format numai din numere compuse.

Teorema lui Euclid și teorema intervalului mărturisesc natura complexă a distribuției numerelor prime în seria naturală.

Teorema fundamentală a aritmeticii

Orice număr natural n>1 poate fi reprezentat unic ca produs de numere prime, până la ordinea factorilor.

Dovada.

Să demonstrăm posibilitatea reprezentării:

Fie nN și n>1, dacă n este număr prim, atunci n = p și se demonstrează teorema. Dacă n este compus, atunci cel mai mic divizor al său va fi un număr prim și n = p 1 n 1, unde n 1

În continuare, argumentăm în mod similar. Dacă n 1 este un număr prim, atunci se demonstrează teorema, dacă n 1 este un număr compus, atunci n 1 = p 2 n 2, unde n 2< n 1 и тогда n = p 1 p 2 n 2 . На каком-то шаге получим n = p 1 p 2 …p n , где все p i - простые числа.

Să demonstrăm unicitatea expansiunii:

Să presupunem că există două reprezentări diferite pentru numărul (n): n = p 1 p 2 …p k , n = q 1 q 2 …q n și n>k.

Atunci obținem că p 1 p 2 …p k = q 1 q 2 …q n (1). Partea stângă a egalității (1) este divizibil cu p 1 , apoi prin proprietatea numerelor prime (vezi problema 2), cel puțin unul dintre factorii din partea dreaptă trebuie să fie divizibil cu p 1 .

Fie (q 1 /p 1) => (q 1 =p 1). Împărțind ambele părți ale egalității (1) la p 1 , obținem egalitatea p 2 p 3 …p k = q 2 q 3 …q n . Repetând raționamentul anterior de mai multe (k-1) ori, obținem egalitatea 1 = q k +1 q k +2 …q n , deoarece toate q i >1, atunci această egalitate este imposibilă. Prin urmare, în ambele expansiuni, numărul de factori este același (k=n) și factorii înșiși sunt aceiași.

Cometariu.În descompunerea numărului (n) în factori primi, unii dintre ei se pot repeta. Notând cu literele  1 , 2 ,…, k multiplicitatea apariției lor în (n), obținem așa-numita extindere canonică a numărului (n):

Exemplul 2

Extinderea canonică a numărului 588000 = 2 5 35 3 7 2

Consecința 1. Dacă
atunci toți divizorii numărului (n) au forma:
unde 0 i  i (i = 1, 2,…,k).

Exemplul 3 Toți divizorii numărului 720 = 2 4 3 2 5 obținem dacă în expresia
în loc de  1 ,  2 ,  3 , independent unele de altele, vom înlocui valorile:  1 =0, 1, 2, 3, 4,  2 =0, 1, 2,  3 = 0, 1 .

Divizorii doriti vor fi egali cu: 1; 2; 4; 8; 16; 3; 6; 12; 24; 48; nouă; optsprezece; 36; 72; 144; cinci; 10; douăzeci; 40; 80; 15; treizeci; 60; 120; 240; 45; 90; 180; 360; 720.

Consecința 2. Dacă
Și
atunci (a, b) = p 1  1 p 2  2 …p k  k , unde i = min( I ,  i)

P 1  1 p 2  2 …p k  k , unde i = max( I ,  i).

Exemplul 4 Găsiți mcd(a, b) și lcm(a, b) folosind descompunerea canonică dacă

(24, 42) = 23 = 6

Manualele de matematică sunt uneori greu de citit. Limbajul sec și clar al autorilor nu este întotdeauna ușor de înțeles. Da, iar subiectele de acolo sunt întotdeauna interconectate, care curg reciproc. Pentru a stăpâni un subiect, trebuie să ridicați un număr de subiecte anterioare și, uneori, să răsfoiți întregul manual. Dificil? Da. Și să ne asumăm riscul de a ocoli aceste dificultăți și să încercăm să găsim o abordare non-standard a subiectului. Să facem un fel de excursie în țara numerelor. Totuși, vom lăsa definiția aceeași, deoarece regulile matematicii nu pot fi anulate. Deci, numerele coprime sunt numere naturale cu un divizor comun egal cu unu. Acest lucru este clar? Destul de.

Pentru un exemplu mai vizual, să luăm numerele 6 și 13. Ambele sunt divizibile cu unul (prim reciproc). Dar numerele 12 și 14 nu pot fi astfel, deoarece sunt divizibile nu numai cu 1, ci și cu 2. Următoarele numere - 21 și 47, de asemenea, nu se încadrează în categoria „numerelor coprime”: ele pot fi împărțite nu numai cu 1, dar și pe 7.

Numerele coprime se notează după cum urmează: ( dar, y) = 1.

Se poate spune și mai simplu: divizorul comun (cel mai mare) aici este egal cu unu.
De ce avem nevoie de asemenea cunoștințe? Motiv suficient.

Incluse reciproc în unele sisteme de criptare. Cei care lucrează cu cifrurile Hill sau cu sistemul de substituție Caesar înțeleg că fără aceste cunoștințe, nu poți ajunge nicăieri. Dacă ați auzit despre generatoare, atunci este puțin probabil să îndrăznești să negi: numerele coprime sunt folosite și acolo.

Acum să vorbim despre modalități de a obține astfel de simple, după cum înțelegeți, pot avea doar doi divizori: sunt divizibili prin ei înșiși și cu unul. Să presupunem că 11, 7, 5, 3 sunt numere prime, dar 9 nu este, deoarece acest număr este deja divizibil cu 9, 3 și 1.

Si daca dar este un număr prim și la- din set (1, 2,... dar- 1), atunci este garantat ( dar, la) = 1 sau numere coprime — darȘi la.

Aceasta nu este, mai degrabă, nici măcar o explicație, ci o repetare sau o rezumare a ceea ce tocmai s-a spus.

Obținerea numerelor prime este posibilă, însă, pentru numere impresionante (miliarde, de exemplu), această metodă este prea lungă, dar, spre deosebire de super-formule, care greșesc uneori, este mai fiabilă.

Poate lucra prin alegere la > dar. Pentru a face acest lucru, y este ales astfel încât numărul pornit dar nu a împărtășit. Pentru a face acest lucru, un număr prim este înmulțit cu un număr natural și se adaugă o valoare (sau, dimpotrivă, se scade) (de exemplu, R), care este mai puțin dar:

y= R a + k

Dacă, de exemplu, dar = 71, R= 3, q=10, apoi, respectiv, la aici va fi egal cu 713. Este posibilă o altă selecție, cu grade.

Numerele compuse, spre deosebire de numerele coprime, sunt divizibile cu ele însele, cu 1 și cu alte numere (și fără rest).

Cu alte cuvinte, (cu excepția unuia) sunt împărțite în compozite și simple.

Numerele prime sunt numere naturale care nu au divizori non-triviali (altele decât numărul în sine și unitatea). Rolul lor este deosebit de important în criptografia actuală, modernă, în dezvoltare rapidă, datorită căreia, considerată anterior o disciplină extrem de abstractă, a devenit atât de solicitată: algoritmii de protecție a datelor sunt în permanență îmbunătățiți.

Cel mai mare număr prim a fost găsit de medicul oftalmolog Martin Nowak, care a participat la proiectul GIMPS (computing de distribuție), împreună cu alți entuziaști, dintre care au fost aproximativ 15 mii. A fost nevoie de șase ani lungi pentru a calcula. Au fost implicate două duzini și jumătate de computere situate în clinica oftalmologică a lui Novak. Rezultatul muncii și perseverenței titanice a fost numărul 225964951-1, scris cu 7816230 de zecimale. De altfel, înregistrarea un numar mare a fost livrat cu șase luni înainte de această descoperire. Și au fost cu jumătate de milion mai puține semne.

Pentru un geniu care vrea să numească un număr, unde durata notație zecimală„sări peste” marca de zece milioane, există șansa de a obține nu numai faima mondială, ci și 100.000 de dolari. Apropo, Nayan Khairatwal a primit o sumă mai mică (50.000 de dolari) pentru numărul care a depășit pragul milionului.