Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular.

Teorema 1.1. Pentru oricare două puncte M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2) ale planului, distanța d dintre ele este exprimată prin formula

Dovada. Să aruncăm din punctele M 1 și M 2 perpendicularele M 1 B și, respectiv, M 2 A

pe axele Oy și Ox și notăm cu K punctul de intersecție al dreptelor M 1 B și M 2 A (Fig. 1.4). Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Punctele M 1, M 2 și K sunt diferite. Evident, punctul K are coordonate (x 2; y 1). Este ușor de observat că M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. pentru că ∆M 1 KM 2 este dreptunghiular, apoi după teorema lui Pitagora d = M 1 M 2 = = .

2) Punctul K coincide cu punctul M 2, dar este diferit de punctul M 1 (Fig. 1.5). În acest caz y 2 = y 1

și d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Punctul K coincide cu punctul M 1, dar este diferit de punctul M 2. În acest caz x 2 = x 1 și d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Punctul M 2 coincide cu punctul M 1. Atunci x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 și

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Divizarea segmentului în acest sens.

Fie dat un segment arbitrar M 1 M 2 pe plan și fie M orice punct al acestuia

segment altul decât punctul M 2 (Fig. 1.6). Numărul l definit de egalitatea l = , se numește atitudine,în care punctul M împarte segmentul M 1 M 2.

Teorema 1.2. Dacă punctul M (x; y) împarte segmentul M 1 M 2 în raport cu l, atunci coordonatele acestuia sunt determinate de formulele

x = , y = , (4)

unde (x 1; y 1) sunt coordonatele punctului M 1, (x 2; y 2) sunt coordonatele punctului M 2.

Dovada. Să demonstrăm prima dintre formulele (4). A doua formulă este dovedită în mod similar. Două cazuri sunt posibile.

x = x 1 = = = .

2) Linia dreaptă M 1 M 2 nu este perpendiculară pe axa Ox (Fig. 1.6). Să lăsăm perpendicularele din punctele M 1 , M, M 2 pe axa Ox și să notăm punctele de intersecție a acestora cu axa Ox respectiv P 1 , P, P 2 . Conform teoremei segmentelor proporţionale =l.

pentru că P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô și numerele (x - x 1) și (x 2 - x) au același semn (pentru x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sunt negative), atunci

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Corolarul 1.2.1. Dacă M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2) sunt două puncte arbitrare și punctul M (x; y) este punctul de mijloc al segmentului M 1 M 2, atunci

x = , y = (5)

Dovada. Deoarece M 1 M = M 2 M, atunci l = 1 și prin formulele (4) obținem formulele (5).

Aria unui triunghi.

Teorema 1.3. Pentru orice puncte A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) și C (x 3; y 3) care nu se află pe același

linie dreaptă, aria S a triunghiului ABC este exprimată prin formula

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dovada. Zona ∆ ABC prezentată în fig. 1.7, calculăm după cum urmează

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Calculați aria trapezului:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Acum avem

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Pentru o altă locație ∆ ABC se demonstrează similar formula (6), dar se poate obține cu semnul „-”. Prin urmare, în formula (6) puneți semnul modulului.

Cursul 2

Ecuația unei drepte într-un plan: ecuația unei drepte cu un coeficient de conducere, ecuație generală linie dreaptă, ecuația unei drepte în segmente, ecuația unei drepte care trece prin două puncte. Unghiul dintre drepte, condițiile de paralelism și perpendicularitatea dreptelor pe un plan.

2.1. Să fie date în plan un sistem de coordonate dreptunghiular și o dreaptă L.

Definiție 2.1. Se numește o ecuație de forma F(x;y) = 0 care raportează variabilele x și y ecuația dreaptă L(într-un sistem de coordonate dat) dacă această ecuație este îndeplinită de coordonatele oricărui punct situat pe dreapta L și nu de coordonatele oricărui punct care nu se află pe această dreaptă.

Exemple de ecuații de drepte pe un plan.

1) Luați în considerare o linie dreaptă, paralel cu axa Oy a unui sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 2.1). Să notăm cu litera A punctul de intersecție al acestei drepte cu axa Ox, (a; o) ─ or-

dinats. Ecuația x = a este ecuația dreptei date. Într-adevăr, această ecuație este îndeplinită de coordonatele oricărui punct M(a;y) al acestei drepte și sunt îndeplinite coordonatele oricărui punct care nu se află pe linie. Dacă a = 0, atunci linia coincide cu axa Oy, care are ecuația x = 0.

2) Ecuația x - y \u003d 0 definește setul de puncte din plan care alcătuiesc bisectoarele unghiurilor de coordonate I și III.

3) Ecuația x 2 - y 2 \u003d 0 este ecuația a două bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

4) Ecuația x 2 + y 2 = 0 definește un singur punct O(0;0) pe plan.

5) Ecuația x 2 + y 2 \u003d 25 este ecuația unui cerc cu raza 5 centrat la origine.

Rezolvarea problemelor de matematică pentru elevi este adesea însoțită de multe dificultăți. A ajuta studentul să facă față acestor dificultăți, precum și a-l învăța cum să-și aplice cunoștințele teoretice în rezolvarea unor probleme specifice în toate secțiunile cursului disciplinei „Matematică” este scopul principal al site-ului nostru.

Începând să rezolve problemele pe această temă, elevii ar trebui să fie capabili să construiască un punct pe un plan în funcție de coordonatele acestuia, precum și să găsească coordonatele unui punct dat.

Calculul distanței dintre două puncte luate pe planul A (x A; y A) și B (x B; y B) se realizează prin formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), unde d este lungimea segmentului care leagă aceste puncte pe plan.

Dacă unul dintre capetele segmentului coincide cu originea, iar celălalt are coordonatele M (x M; y M), atunci formula de calcul al lui d va lua forma OM = √ (x M 2 + y M 2).

1. Calcularea distanței dintre două puncte având în vedere coordonatele acestor puncte

Exemplul 1.

Aflați lungimea segmentului care leagă plan de coordonate punctele A(2; -5) și B(-4; 3) (Fig. 1).

Soluţie.

Este dată starea problemei: x A = 2; x B \u003d -4; y A = -5 și y B = 3. Aflați d.

Aplicând formula d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), obținem:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10.

2. Calcularea coordonatelor unui punct care este echidistant de trei puncte date

Exemplul 2

Aflați coordonatele punctului O 1, care este echidistant de cele trei puncte A(7; -1) și B(-2; 2) și C(-1; -5).

Soluţie.

Din formularea condiției problemei rezultă că O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Fie punctul dorit O 1 să aibă coordonatele (a; b). Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

O 1 A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

O 1 C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Compunem un sistem de două ecuații:

(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a - 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

După ce punem la pătrat părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor, scriem:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2 .

Simplificand, scriem

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a - b + 3 = 0.

După ce am rezolvat sistemul, obținem: a = 2; b = -1.

Punctul O 1 (2; -1) este echidistant de cele trei puncte date în condiția care nu se află pe o singură linie dreaptă. Acest punct este centrul unui cerc care trece prin trei puncte date (Fig. 2).

3. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la o distanță dată de acest punct

Exemplul 3

Distanța de la punctul B(-5; 6) la punctul A situat pe axa x este 10. Găsiți punctul A.

Soluţie.

Din formularea condiției problemei rezultă că ordonata punctului A este zero și AB = 10.

Notând abscisa punctului A prin a, scriem A(a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Obținem ecuația √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificand-o, avem

a 2 + 10a - 39 = 0.

Rădăcinile acestei ecuații a 1 = -13; și 2 = 3.

Obținem două puncte A 1 (-13; 0) și A 2 (3; 0).

Examinare:

A 1 B \u003d √ ((-13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A 2 B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Ambele puncte obținute se potrivesc cu starea problemei (Fig. 3).

4. Calculul abscisei (ordonatei) unui punct care se află pe axa absciselor (ordonatelor) și se află la aceeași distanță de două puncte date

Exemplul 4

Găsiți un punct pe axa Oy care se află la aceeași distanță de punctele A (6; 12) și B (-8; 10).

Soluţie.

Fie coordonatele punctului cerut de condiția problemei, situat pe axa Oy, O 1 (0; b) (în punctul situat pe axa Oy, abscisa este egală cu zero). Rezultă din condiția că O 1 A \u003d O 1 B.

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

O 1 A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

O 1 V \u003d √ ((a + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Avem ecuația √(36 + (b - 12) 2) = √(64 + (b - 10) 2) sau 36 + (b - 12) 2 = 64 + (b - 10) 2 .

După simplificare, obținem: b - 4 = 0, b = 4.

Solicitat de condiția punctului problemă O 1 (0; 4) (Fig. 4).

5. Calcularea coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță de axele de coordonate și de un punct dat

Exemplul 5

Găsiți punctul M situat pe planul de coordonate la aceeași distanță de axele de coordonate și de punctul A (-2; 1).

Soluţie.

Punctul M necesar, ca și punctul A (-2; 1), este situat în al doilea colț de coordonate, deoarece este echidistant de punctele A, P 1 și P 2 (Fig. 5). Distanțele punctului M față de axele de coordonate sunt aceleași, prin urmare, coordonatele acestuia vor fi (-a; a), unde a > 0.

Din condiţiile problemei rezultă că MA = MP 1 = MP 2, MP 1 = a; MP 2 = |-a|,

acestea. |-a| = a.

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) găsim:

MA \u003d √ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Să facem o ecuație:

√ ((-a + 2) 2 + (a - 1) 2) = a.

După pătrare și simplificare, avem: a 2 - 6a + 5 = 0. Rezolvăm ecuația, găsim a 1 = 1; și 2 = 5.

Obținem două puncte M 1 (-1; 1) și M 2 (-5; 5), satisfacând condiția problemei.

6. Calculul coordonatelor unui punct care se află la aceeași distanță specificată față de axa absciselor (ordonate) și din acest punct

Exemplul 6

Găsiți un punct M astfel încât distanța sa de la axa y și de la punctul A (8; 6) să fie egală cu 5.

Soluţie.

Din condiția problemei rezultă că MA = 5 și abscisa punctului M este egală cu 5. Fie ordonata punctului M egală cu b, apoi M(5; b) (Fig. 6).

Conform formulei d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) avem:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Să facem o ecuație:

√((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) = 5. Simplificând-o, obținem: b 2 - 12b + 20 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt b 1 = 2; b 2 \u003d 10. Prin urmare, există două puncte care satisfac condiția problemei: M 1 (5; 2) și M 2 (5; 10).

Se știe că mulți studenți, atunci când rezolvă singuri probleme, au nevoie de consultații constante asupra tehnicilor și metodelor de rezolvare a acestora. Adesea, un elev nu poate găsi o modalitate de a rezolva o problemă fără ajutorul unui profesor. Studentul poate primi sfaturile necesare pentru rezolvarea problemelor pe site-ul nostru.

Aveti vreo intrebare? Nu sunteți sigur cum să găsiți distanța dintre două puncte dintr-un avion?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Fiecare punct A al planului este caracterizat de coordonatele sale (x, y). Ele coincid cu coordonatele vectorului 0А , care iese din punctul 0 - originea.

Fie A și B puncte arbitrare ale planului cu coordonatele (x 1 y 1) și respectiv (x 2, y 2).

Atunci vectorul AB are în mod evident coordonatele (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se știe că pătratul lungimii unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor acestuia. Prin urmare, distanța d dintre punctele A și B, sau, ceea ce este același, lungimea vectorului AB, este determinată din condiția

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Formula rezultată vă permite să găsiți distanța dintre oricare două puncte ale planului, dacă numai coordonatele acestor puncte sunt cunoscute

De fiecare dată, vorbind despre coordonatele unuia sau altui punct al planului, avem în vedere un sistem de coordonate x0y bine definit. În general, sistemul de coordonate din plan poate fi ales în diferite moduri. Deci, în loc de sistemul de coordonate x0y, putem lua în considerare sistemul de coordonate x-y’, care se obține ca urmare a rotației vechilor axe de coordonate în jurul punct de start 0 în sens invers acelor de ceasornic săgeți pe colț α .

Dacă un punct al planului din sistemul de coordonate x0y avea coordonate (x, y), atunci în sistem nou coordonatele хִу' va avea deja alte coordonate (x', y').

Ca exemplu, luați în considerare un punct M situat pe axa 0x' și distanțat de punctul 0 la o distanță egală cu 1.

Evident, în sistemul de coordonate x0y, acest punct are coordonate (cos α , păcat α ), iar în sistemul de coordonate хִу’ coordonatele sunt (1,0).

Coordonatele oricăror două puncte ale planului A și B depind de modul în care este stabilit sistemul de coordonate în acest plan. Si aici distanța dintre aceste puncte nu depinde de modul în care este specificat sistemul de coordonate .

Alte materiale Coordonatele determină locația unui obiect globul. Coordonatele sunt indicate prin latitudine și longitudine. Latitudinile sunt măsurate de la linia ecuatorului de ambele părți. În emisfera nordică latitudinile sunt pozitive, în emisfera sudică sunt negative. Longitudinea se măsoară de la meridianul inițial fie la est, fie la vest, respectiv, se obține longitudinea estică sau vestică.

Conform poziției general acceptate, meridianul este luat drept cel inițial, care trece prin vechiul Observator Greenwich din Greenwich. Coordonatele geografice ale locației pot fi obținute cu ajutorul unui navigator GPS. Acest dispozitiv primește semnale de la un sistem de poziționare prin satelit în sistemul de coordonate WGS-84, la fel pentru întreaga lume.

Modelele de navigator diferă în ceea ce privește producătorii, funcționalitatea și interfața. În prezent, navigatoarele GPS încorporate sunt disponibile în unele modele de telefoane mobile. Dar orice model poate înregistra și salva coordonatele punctului.

Distanța dintre coordonatele GPS

Pentru a rezolva probleme practice și teoretice din unele industrii, este necesar să se poată determina distanțele dintre puncte prin coordonatele acestora. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza mai multe metode. Reprezentarea canonică a coordonatelor geografice: grade, minute, secunde.

De exemplu, puteți determina distanța dintre următoarele coordonate: punctul nr. 1 - latitudine 55°45′07″ N, longitudine 37°36′56″ E; punctul nr. 2 - latitudine 58°00′02″ N, longitudine 102°39′42″ E

Cea mai ușoară modalitate este să utilizați un -calculator pentru a calcula distanța dintre două puncte. În motorul de căutare din browser, trebuie să setați următorii parametri de căutare: online - pentru a calcula distanța dintre două coordonate. În calculatorul online, valorile de latitudine și longitudine sunt introduse în câmpurile de interogare pentru prima și a doua coordonată. La calcul, calculatorul online a dat rezultatul - 3.800.619 m.

Următoarea metodă necesită mai mult timp, dar și mai vizuală. Este necesar să utilizați orice program de cartografiere sau navigare disponibil. Programele în care puteți crea puncte prin coordonate și măsura distanțele dintre ele includ următoarele aplicații: BaseCamp (un analog modern al programului MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Toate programele de mai sus sunt disponibile oricărui utilizator al rețelei. De exemplu, pentru a calcula distanța dintre două coordonate în Google Earth, trebuie să creați două etichete care indică coordonatele primului punct și celui de-al doilea punct. Apoi, folosind instrumentul „Riglă”, trebuie să conectați primul și al doilea marcaj cu o linie, programul va da automat rezultatul măsurării și va arăta calea pe imaginea prin satelit a Pământului.

În cazul exemplului de mai sus, programul Google Earth a returnat rezultatul - lungimea distanței dintre punctul #1 și punctul #2 este de 3.817.353 m.

De ce există o eroare în determinarea distanței

Toate calculele distanței dintre coordonate se bazează pe calculele lungimii arcului. Raza Pământului este implicată în calculul lungimii arcului. Dar, deoarece forma Pământului este apropiată de un elipsoid oblat, raza Pământului în anumite puncte este diferită. Pentru a calcula distanța dintre coordonate, se ia valoarea medie a razei Pământului, ceea ce dă o eroare în măsurare. Cu cât distanța măsurată este mai mare, cu atât eroarea este mai mare.

Lectura: Formula distanței între două puncte; ecuația sferei

Distanța dintre două puncte

Pentru a afla distanța dintre două puncte de pe o dreaptă în întrebarea anterioară, am folosit formula d = x 2 - x 1.

Dar, în ceea ce privește avionul, lucrurile stau altfel. Nu este suficient doar să găsiți diferența de coordonate. Pentru a afla distanța dintre puncte după coordonatele lor, utilizați următoarea formulă:

De exemplu, dacă aveți două puncte cu anumite coordonate, atunci puteți găsi distanța dintre ele după cum urmează:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB \u003d ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Adică, pentru a calcula distanța dintre două puncte dintr-un plan, este necesar să găsim rădăcina sumei pătratelor diferențelor de coordonate.

Dacă trebuie să găsiți distanța dintre două puncte dintr-un plan, ar trebui să utilizați o formulă similară cu o coordonată suplimentară:

Ecuația sferei

Pentru a seta o sferă în spațiu, trebuie să cunoașteți coordonatele centrului acesteia, precum și raza acesteia, pentru a utiliza următoarea formulă:

Această ecuație corespunde unei sfere al cărei centru se află la origine.

Dacă centrul sferei este deplasat cu un anumit număr de unități de-a lungul axelor, atunci trebuie utilizată următoarea formulă.