Caracteristicile geometrice ale secțiunilor plane. Modificarea momentelor de energie în timpul translației paralele a axelor Teorema privind translația paralelă a axelor de inerție

Axele care trec prin centrul de greutate al unei figuri plate se numesc axe centrale.
Momentul de inerție în jurul axei centrale se numește moment central inerţie.

Teorema

Momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu suma momentului de inerție în jurul axei centrale paralele cu cea dată și produsul ariei figurii cu pătratul distanței dintre axe. .

Pentru a demonstra această teoremă, luăm în considerare o figură plană arbitrară a cărei arie este egală cu DAR , centrul de greutate este situat în punct DIN , și momentul central de inerție în jurul axei X voi eu x .
Calculați momentul de inerție al figurii în jurul unei axe x 1 , paralel cu axa centrală și distanțat de aceasta la distanță dar (orez).

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA.

Analizând formula rezultată, observăm că primul termen - moment axial de inerție față de axa centrală, al doilea termen este momentul static al ariei acestei figuri în raport cu axa centrală (prin urmare, este egal cu zero), iar al treilea termen după integrare poate fi reprezentat ca un produs a 2 A , adică ca rezultat obținem formula:

I x1 \u003d I x + a 2 A- se demonstrează teorema.

Pe baza teoremei, se poate concluziona că dintr-un număr axe paralele momentul de inerție axial al unei figuri plane va fi cel mai mic raportat la axa centrală .

Axele principale și momentele principale de inerție

Să ne imaginăm o figură plană, ale cărei momente de inerție sunt în jurul axelor de coordonate eu x Și eu y , iar momentul polar de inerție față de origine este egal cu eu ρ . După cum sa stabilit anterior,

I x + I y = I ρ.

Dacă axele de coordonate sunt rotite în planul lor în jurul originii, atunci momentul polar de inerție va rămâne neschimbat, iar momentele axiale se vor schimba, în timp ce suma lor va rămâne constantă. Întrucât suma variabilelor este constantă, una dintre ele scade, cealaltă crește și invers.
Prin urmare, la o anumită poziție a axelor, unul dintre momentele axiale va atinge valoarea maximă, iar celălalt - minimul.

Axele față de care momentele de inerție au valori minime și maxime se numesc axe principale de inerție.
Momentul de inerție în jurul axei principale se numește momentul principal de inerție.

Dacă axa principală trece prin centrul de greutate al figurii, se numește axa centrală principală, iar momentul de inerție în jurul unei astfel de axe se numește momentul central principal de inerție.
Se poate concluziona că, dacă o figură este simetrică față de o anumită axă, atunci această axă va fi întotdeauna una dintre principalele axe centrale de inerție ale acestei figuri.

moment de inerție centrifugal

Momentul de inerție centrifugal al unei figuri plane este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga suprafață pe o distanță de două axe reciproc perpendiculare:

I xy = Σ xy dA,

Unde X , y - distanta fata de site dA la topoare X Și y .
Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau zero.

Momentul de inerție centrifugal este inclus în formulele de determinare a poziției axelor principale ale secțiunilor asimetrice.
Tabelele de profile standard conțin o caracteristică numită raza de rotație a secțiunii , calculat prin formulele:

i x = √ (I x / A),i y = √ (I y / A) , (denumit în continuare semnul"√"- semn rădăcină)

Unde eu x, eu y - momentele de inerție axiale ale secțiunii față de axele centrale; DAR - arie a secțiunii transversale.
Această caracteristică geometrică este utilizată în studiul tensiunii sau compresiei excentrice, precum și al flambajului.

Deformare la torsiune

Concepte de bază de torsiune. Torsiunea unei bare rotunde.

Torsiunea este un tip de deformare în care apare doar cuplul în orice secțiune transversală a grinzii, adică un factor de forță care provoacă o mișcare circulară a secțiunii în raport cu o axă perpendiculară pe această secțiune sau împiedică o astfel de mișcare. Cu alte cuvinte, deformațiile de torsiune apar dacă o pereche sau perechi de forțe sunt aplicate unei grinzi drepte în planuri perpendiculare pe axa acesteia.
Momentele acestor perechi de forțe se numesc răsucire sau rotire. Cuplul este notat T .
O astfel de definiție împarte în mod condiționat factorii de forță ai deformării de torsiune în exteriori (rasucire, momente de cuplu T ) și intern (cuplu M cr ).

În mașini și mecanisme, arborii rotunzi sau tubulari sunt cel mai adesea supuși la torsiune, prin urmare, calculele de rezistență și rigiditate sunt cel mai adesea efectuate pentru astfel de unități și piese.

Luați în considerare torsiunea unui arbore cilindric rotund.
Imaginați-vă un arbore cilindric din cauciuc cu un capăt fixat rigid și o rețea de linii longitudinale și cercuri transversale aplicate pe suprafață. Aplicăm câteva forțe la capătul liber al arborelui, perpendicular pe axa acestui arbore, adică îl răsucim de-a lungul axei. Dacă luați în considerare cu atenție liniile grilei de pe suprafața arborelui, veți observa că:
- axa arborelui, care se numește axa de torsiune, va rămâne dreaptă;
- diametrele cercurilor vor rămâne aceleași, iar distanța dintre cercurile adiacente nu se va modifica;
- liniile longitudinale de pe arbore se vor transforma în linii elicoidale.

Din aceasta putem concluziona că atunci când o grindă cilindrice rotundă (arbore) este răsucită, ipoteza este adevărată. secțiuni plate, și, de asemenea, să presupunem că razele cercurilor rămân drepte în timpul deformării (deoarece diametrele lor nu s-au schimbat). Și deoarece nu există forțe longitudinale în secțiunile arborelui, distanța dintre ele este păstrată.

Prin urmare, deformarea de torsiune a unui arbore rotund constă în rotirea secțiunilor transversale una față de alta în jurul axei de torsiune, iar unghiurile lor de rotație sunt direct proporționale cu distanța de la secțiunea fixă - cu atât mai departe de capătul fix al arborele este orice secțiune, cu atât este mai mare unghiul față de axa arborelui pe care îl răsuceste.
Pentru fiecare secțiune a arborelui, unghiul de rotație este egal cu unghiul de răsucire al părții arborelui închisă între această secțiune și capăt (capăt fix).

injecție ( orez. unu) rotația capătului liber al arborelui (secțiunea de capăt) se numește unghiul total de răsucire al barei cilindrice (axului).
Unghiul relativ de răsucire φ 0 se numește raportul unghiului de răsucire φ 1 la distanta l 1 de la această secțiune până la terminare (secțiune fixă).
Dacă o grindă (arbore) cilindrică cu o lungime l are o secțiune transversală constantă și este încărcat cu un moment de torsiune la capătul liber (adică este format dintr-o secțiune geometrică omogenă), atunci afirmația este adevărată:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - valoarea este constantă.

Dacă luăm în considerare un strat subțire pe suprafața barei cilindrice de cauciuc de mai sus ( orez. unu) delimitate de o celulă de grilă cdef , observăm că această celulă se obligă în timpul deformării, iar latura ei, care este îndepărtată de secțiunea fixă, se deplasează spre răsucirea grinzii, luând poziția cde 1 f 1 .

Trebuie remarcat faptul că o imagine similară se observă în timpul deformării prin forfecare, doar în acest caz suprafața este deformată din cauza deplasării de translație a secțiunilor una față de cealaltă, și nu datorită deplasării de rotație, ca în deformarea prin torsiune. Pe baza acestui fapt, putem concluziona că în timpul torsiunii în secțiuni transversale apar doar tangente forțe interne(stresul) care generează cuplul.

Deci, cuplul este momentul rezultat relativ la axa fasciculului forțelor tangenţiale interne care acționează în secțiunea transversală.

Figura 7

Unde eu x, eu y sunt momentele de inerție axiale în raport cu axele de referință;

Ixy este momentul de inerție centrifugal față de axele de referință;

eu xc, eu yc sunt momentele axiale de inerție față de axele centrale;

eu xcyc este momentul de inerție centrifugal față de axele centrale;

a, b- distanta dintre osii.

Determinarea momentelor de inerție ale secțiunii la rotirea axelor

Sunt cunoscute toate caracteristicile geometrice ale secțiunii în raport cu axele centrale x C,la C(Fig. 8). Determinați momentele de inerție față de axe x 1,1 rotite faţă de cele centrale cu un anumit unghi A.

Figura 8

Unde I x 1, I y 1 sunt momentele axiale de inerție față de axe x 1,1 ;

I x 1 y 1 este momentul de inerție centrifugal în jurul axelor x 1,1 .

Determinarea poziţiei principalelor axe centrale de inerţie

Poziția principalelor axe centrale de inerție ale secțiunii este determinată de formula:

Unde un 0 este unghiul dintre axa centrală și principală de inerție.

Determinarea momentelor principale de inerție

Momentele principale de inerție ale secțiunii sunt determinate de formula:

Secvența de calcul a unei secțiuni complexe

1) Împărțiți o secțiune complexă în altele simple figuri geometrice [S1, S2,…;x 1, y 1; x2, y2, …]

2) Selectați axe arbitrare XOY .

3) Determinați poziția centrului de greutate al secțiunii [x c , y c].

4) Desenați axele centrale X c OY c.

5) Calculați momentele de inerție x c, Iy c , folosind teorema translației paralele a axelor.

6) Calculați momentul de inerție centrifugal Ix c y c.

7) Determinați poziția axelor principale de inerție tg2a 0.

8) Calculați momentele principale de inerție Imax, Sunt în.

EXEMPLUL 2

Pentru figura prezentată în Figura 13, determinați punctele principale

inerţia şi poziţia axelor principale de inerţie.

1) Împărțim o secțiune complexă în forme geometrice simple

S 1 \u003d 2000 mm 2, S2 = 1200 mm2, S= 3200 mm2.

2) Alegeți axe XOY arbitrare.

3) Determinați poziția centrului de greutate al secțiunii

x c = 25 mm, Y c=35 mm.

4) Desenați axele centrale X c OY c

5) Calculați momentele de inerție Ix c , Iy c

6) Calculați momentul de inerție centrifugal Ix c y c

7) Determinați poziția axelor principale de inerție

Dacă I x >I y Și a 0 >0 , apoi unghiul un 0 în afara axei X s în sens invers acelor de ceasornic.

8) Calculați momentele principale de inerție Imax, Sunt în

EXEMPLUL 3

Pentru figura prezentată în fig. 8 determinați poziția axelor principale

Figura 8

inerția și momentele principale de inerție.

1) Scriem datele inițiale principale pentru fiecare figură

Canal

S 1 = 10,9 cm2

I x = 20,4 cm 4

eu y = 174 cm 4

y 0= 1,44 cm

h= 10 cm

colț inegal

S 3 = 6,36 cm2

I x = 41,6 cm 4

eu y = 12,7 cm 4

eu min = 7,58 cm 4

tga= 0,387

x0= 1,13 cm

y 0= 2,6 cm

Dreptunghi

S2 = 40 cm 2

cm 4

2) Desenăm o secțiune pe o scară

3) Desenați axe de coordonate arbitrare

4) Determinați coordonatele centrului de greutate al secțiunii

5) Desenați axele centrale

6) Determinați momentele axiale de inerție față de axele centrale

7) Determinați momentul de inerție centrifug în jurul axelor centrale

Momentul de inerție centrifugal pentru oțelul laminat de colț în raport cu centrul său de greutate este determinat din unul dintre următoarele formule:

-4

Semnul momentului de inerție centrifugal pentru oțelul laminat unghiular se determină conform fig. 9, deci I xy 3\u003d -13,17 cm 4.

8) Determinați poziția axelor principale de inerție

a0 = 21,84°

9) Determinați principalele momente de inerție

SARCINA 4

Pentru schemele date (Tabelul 6) este necesar:

1) Desenați secțiunea transversală la o scară strictă.

2) Determinați poziția centrului de greutate.

3) Aflați valorile momentelor axiale de inerție față de axele centrale.

4) Aflați valoarea momentului de inerție centrifugal față de axele centrale.

5) Determinați poziția axelor principale de inerție.

6) Aflați principalele momente de inerție.

Preluați date numerice din tabel. 6.

Scheme de proiectare pentru sarcina nr. 4

Tabelul 6

Date inițiale pentru sarcina nr. 4

№	Colț cu raft egal	Colț inegal	I-beam	Canal	Dreptunghi	numărul schemei
	30´5	50'32'4			100'30
	40´6	56'36'4			100'40
	50´4	63'40'8			100'20
	56´4	70'45'5			80'40
	63´6	80'50'6		14a	80'60
	70'8	90'56'6			80'100
	80'8	100'63'6	20a	16a	80'20
	90'9	90'56'8			60'40
	75'9	140'90'10	22a	18a	60'60
	100'10	160'100'12			60'40
	d	dar	b	în	G	d

Instrucțiuni pentru sarcina 5

O îndoire este un tip de deformare în care apare un V.S.F în secțiunea transversală a tijei. - momentul de îndoire.

Pentru a calcula grinda pentru încovoiere, este necesar să se cunoască valoarea celui mai mare moment încovoietor Mși poziția secțiunii în care apare. În același mod, trebuie să cunoașteți cea mai mare forță laterală Q. În acest scop, sunt construite diagrame ale momentelor încovoietoare și ale forțelor tăietoare. Din diagrame este ușor să judeci unde va fi valoare maximă moment sau forță transversală. Pentru a determina valorile MȘi Q folosind metoda secționării. Luați în considerare circuitul prezentat în fig. 9. Compuneți suma forțelor pe ax Y acționând asupra părții tăiate a grinzii.

Figura 9

Forța transversală este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor care acționează pe o parte a secțiunii.

Compuneți suma momentelor care acționează asupra părții tăiate a grinzii, raportat la secțiune.

Momentul încovoietor este egal cu suma algebrică a tuturor momentelor care acționează asupra părții tăiate a grinzii, raportat la centrul de greutate al secțiunii.

Pentru a putea calcula de la orice capăt al grinzii, este necesar să se accepte regula semnului pentru factorii de forță interni.

Pentru forța de forfecare Q.

Figura 10.

Dacă o forță externă rotește partea tăiată a fasciculului în sensul acelor de ceasornic, atunci forța este pozitivă, dacă o forță externă rotește partea tăiată a fasciculului în sens invers acelor de ceasornic, atunci forța este negativă.

Pentru momentul de încovoiere M.

Figura 11.

Daca se afla sub influenta forta externa axa curbată a grinzii ia forma unui bol concav, astfel încât ploaia venită de sus o va umple cu apă, atunci momentul încovoietor este pozitiv (Fig. 11a). Dacă, sub acțiunea unei forțe exterioare, axa îndoită a grinzii ia forma unui vas convex, astfel încât ploaia care cade de sus nu o va umple cu apă, atunci momentul încovoietor este negativ (Fig. 11b).

Între intensitatea sarcinii distribuite q, forță transversală Qși momentul încovoietor M, acționând într-o anumită secțiune, există următoarele dependențe diferențiale:

Aceste dependențe diferențiale în încovoiere ne permit să stabilim unele caracteristici ale diagramelor de forțe transversale și momente încovoietoare.

1) În acele zone în care nu există sarcină distribuită, diagrama Q este limitată la linii drepte paralele cu axa diagramei, iar diagrama M , în cazul general, sunt drepte oblice (Fig. 19).

2) În acele zone în care grinzii este aplicată o sarcină uniform distribuită, diagrama Q limitat de linii drepte oblice și diagramă M – parabole pătratice(Fig. 20). La complot M pe fibrele comprimate, convexitatea parabolei este rotită în direcția opusă acțiunii sarcinii distribuite (Fig. 21a, b).

Figura 12.

Figura 13.

3) În acele secțiuni în care Q= 0, tangentă la grafic M paralel cu axa parcelei (Fig. 12, 13). Momentul încovoietor în astfel de secțiuni ale grinzii este extrem de mărime ( M max,Mmin).

4) În zonele în care Q > 0, M crește, adică de la stânga la dreapta, ordonatele pozitive ale diagramei M crestere, negativ - scadere (Fig. 12, 13); în acele zone în care Q < 0, M scade (Fig. 12, 13).

5) În acele secțiuni în care se aplică forțe concentrate asupra grinzii:

a) pe teren Q vor exista salturi de magnitudine si in directia fortelor aplicate (Fig. 12, 13).

b) pe parcela M vor exista fracturi (Fig. 12, 13), vârful fracturii este îndreptat împotriva acțiunii forței.

6) În acele tronsoane în care se aplică momente concentrate grinzii, pe diagramă M vor fi salturi în mărimea acestor momente, pe diagramă Q nu vor exista modificări (Fig. 14).

Figura 14.

Figura 15.

7) Dacă un concentrat

moment, atunci în această secțiune momentul încovoietor este egal cu momentul exterior (secțiuni CȘi Bîn fig. 15).

8) Diagrama Q este o diagramă a derivatei diagramei M. Deci ordonatele Q proporţional cu tangenta pantei tangentei la diagramă M(Fig. 14).

Ordinea complotării QȘi M:

1) Se întocmește o diagramă de calcul a grinzii (sub forma unei axe) cu o imagine a sarcinilor care acționează asupra acesteia.

2) Influența suporturilor asupra grinzii se înlocuiește cu reacțiile corespunzătoare; sunt date denumirile reacţiilor şi direcţiile lor acceptate.

3) Sunt compilate ecuații de echilibru pentru grinda, a căror soluție determină valorile reacțiilor de sprijin.

4) Grinda este împărțită în secțiuni, ale căror limite sunt punctele de aplicare a forțelor și momentelor concentrate exterioare, precum și punctele de început și de sfârșit ale acțiunii sau modificării naturii sarcinilor distribuite.

5) Expresii compilate ale momentelor încovoietoare Mși forțe transversale Q pentru fiecare secțiune a fasciculului. Schema de calcul indică începutul și direcția numărării distanțelor pentru fiecare secțiune.

6) Pe baza expresiilor obținute, ordonatele diagramelor sunt calculate pentru un număr de secțiuni ale grinzii într-o cantitate suficientă pentru a afișa aceste diagrame.

7) Se determină secțiuni în care forțele transversale sunt egale cu zero și în care, deci, acționează momente Mmax sau Mmin pentru această secțiune a grinzii; se calculează valorile acestor momente.

8) Diagramele sunt construite în funcție de valorile ordonatelor obținute.

9) Diagramele construite sunt verificate prin compararea lor între ele.

Diagramele factorilor de forță interni în timpul îndoirii sunt construite pentru a determina secțiunea periculoasă. După ce se găsește secțiunea periculoasă, fasciculul este calculat pentru rezistență. În general încovoiere transversală, când în secțiunile grinzii acționează un moment încovoietor și o forță transversală, în secțiunea grinzii apar tensiuni normale și de forfecare. Prin urmare, este logic să luăm în considerare două condiții de rezistență:

a) prin tensiuni normale

b) tensiuni de forfecare

Deoarece principalul factor distructiv pentru grinzi sunt tensiunile normale, atunci dimensiunile secțiunii transversale a grinzii cu forma acceptată sunt determinate din condiția de rezistență pentru solicitările normale:

Apoi se verifică dacă secțiunea grinzii selectate satisface condiția de rezistență la forfecare.

Cu toate acestea, o astfel de abordare a calculului grinzilor nu caracterizează încă rezistența fasciculului. În multe cazuri, există puncte în secțiunile grinzii în care acționează simultan tensiuni mari normale și forfecare. În astfel de cazuri, devine necesară verificarea rezistenței grinzii pentru tensiunile principale. Cele mai aplicabile pentru o astfel de verificare sunt a treia și a patra teorie a puterii:

, .

EXEMPLUL 1

Construiți diagrame de forță de forfecare Qși momentul încovoietor M pentru grinda prezentată în fig. 16 dacă: F1= 3 kN F2= 1,5 kN, M = 5,1 kN∙m, q = =2kN/m, dar = 2m, b = 1 m, din = 3m.

Figura 16.

1) Determinați reacțiile de sprijin.

;

Examinare:

Reacții găsite corect

2) Împărțiți fasciculul în secțiuni CA,ANUNȚ,DE,EK,KB.

3) Determinați valorile QȘi Mîn fiecare zonă.

, ; , .

ANUNȚ

, ;

, .

, ;

, .

, , ;

, , .

Găsiți momentul încovoietor maxim pe secțiune KB.

Echivalează ecuația Q pe această secțiune la zero și exprimă coordonatele zmax , cu care Q= 0, iar momentul are o valoare maximă. În continuare, înlocuim zmax în ecuația momentului din această secțiune și găsiți Mmax.

, ;

, .

4) Construim diagrame (Fig. 16)

EXEMPLUL 2

Pentru fasciculul prezentat în fig. 16 determinați dimensiunile unui rotund, dreptunghiular ( h/b = 2) și o secțiune I. Verificați rezistența grinzii în I în funcție de solicitările principale, dacă [s]= 150 MPa, [t]= 150 MPa.

1) Determinăm momentul de rezistență necesar din condiția de rezistență

2) Determinați dimensiunile secțiunii circulare

3) Determinați dimensiunile secțiunii dreptunghiulare

4) Selectăm o grindă în I nr. 10 în funcție de sortiment (GOST 8239-89)

W X\u003d 39,7 cm 3, S X * \u003d 23 cm 3, eu X = 198 cm 4, h = 100 mm, b = 55 mm, d = 4,5 mm, t = 7,2 mm.

Pentru a verifica rezistența grinzii în ceea ce privește tensiunile principale, este necesar să se grafice tensiunile normale și de forfecare în secțiunea periculoasă. Deoarece mărimea tensiunilor principale depinde atât de tensiunile normale, cât și de forfecarea, încercarea de rezistență trebuie efectuată în acea secțiune a grinzii în care MȘi Q sunt suficient de mari. pe un suport ÎN(fig. 16) forță tăietoare Q are o valoare maximă, dar aici M= 0. de aceea considerăm periculoasă secțiunea despre suport DAR, unde momentul încovoietor este maxim și forța transversală este relativ mare.

Tensiunile normale, care se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii, respectă legea liniară:

Unde y- coordonata punctului de sectiune (Fig. 24).

la la= 0, s = 0;

la ymax ,

Legea modificării tensiunilor tăietoare este determinată de legea modificării momentului static al zonei, care, la rândul său, se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform legii parabolice. După ce am calculat valoarea punctelor caracteristice ale secțiunii, construim o diagramă a tensiunilor tăietoare. La calcularea valorilor lui t, folosim notația pentru dimensiunile secțiunii adoptate în Fig. 17.

Condiția de rezistență pentru stratul 3-3 este îndeplinită.

SARCINA 5

Pentru schemele date de grinzi (Tabelul 12), construiți diagrame ale forței transversale Qși momentul încovoietor M. Alegeți o secțiune transversală pentru schema a) rotundă [s]= 10 MPa; b) grindă în I [s]= 150 MPa.

Preluați date numerice din tabel. 7.

Tabelul 7

Date inițiale pentru sarcina nr. 6

№

a, m

q 1 \u003d q 3, kN / m

q2, kN/m

F1, kN

F2, kN

F3, kN

M1, kN∙m

M2, kN∙m

M3, kN∙m

numărul schemei

0,8

1,2

Tabelul 12 a continuat

Adesea, la rezolvarea problemelor practice, este necesar să se determine momentele de inerție ale unei secțiuni în raport cu axele orientate în diferite moduri în planul ei. În acest caz, este convenabil să se utilizeze valorile deja cunoscute ale momentelor de inerție ale întregii secțiuni (sau părților sale individuale) în raport cu alte axe, date în literatura tehnică, cărți și tabele speciale de referință, precum și calculate folosind formulele disponibile. Prin urmare, este foarte important să se stabilească relația dintre momentele de inerție ale aceleiași secțiuni față de diferite axe.

În cel mai general caz, trecerea de la orice vechi la oricare sistem nou coordonatele pot fi considerate ca două transformări succesive ale vechiului sistem de coordonate:

1) prin transferul paralel al axelor de coordonate într-o nouă poziție și

2) prin rotirea lor în raport cu noua origine. Să luăm în considerare prima dintre aceste transformări, adică traducerea paralelă axele de coordonate.

Să presupunem că momentele de inerție ale unei secțiuni date în raport cu axele vechi (Fig. 18.5) sunt cunoscute.

Să luăm un nou sistem de coordonate ale cărui axe sunt paralele cu cele vechi. Fie a și b coordonatele punctului (adică noua origine) în vechiul sistem de coordonate

Considerăm o zonă elementară.Coordonatele ei în vechiul sistem de coordonate sunt y și . În noul sistem sunt egali

Să înlocuim aceste valori de coordonate în expresia pentru momentul axial de inerție în jurul axei

În expresia rezultată, momentul de inerție, momentul static al secțiunii în jurul axei este egal cu aria F a secțiunii.

Prin urmare,

Dacă axa z trece prin centrul de greutate al secțiunii, atunci momentul static și

Din formula (25.5) se poate observa că momentul de inerție în jurul oricărei axe care nu trece prin centrul de greutate este mai mare decât momentul de inerție în jurul axei care trece prin centrul de greutate, cu o valoare care este întotdeauna pozitivă. . Prin urmare, dintre toate momentele de inerție în jurul axelor paralele, momentul de inerție axial are cea mai mică valoare raportat la axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Moment de inerție în jurul axei [prin analogie cu formula (24.5)]

În cazul particular când axa y trece prin centrul de greutate al secțiunii

Formulele (25.5) și (27.5) sunt utilizate pe scară largă în calcularea momentelor axiale de inerție ale secțiunilor complexe (compozite).

Să substituim acum valorile în expresia pentru momentul de inerție centrifugal în jurul axelor

Date: momentele de inerție ale figurii față de axele z, y; distanțele dintre acestea și axele paralele z 1, y 1 - a, b.

Determinaţi: momentele de inerţie în jurul axelor z 1, y 1 (fig. 4.7).

Coordonatele oricărui punct din noul sistem z 1 Oy 1 pot fi exprimate în termeni de coordonate din vechiul sistem după cum urmează:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Substituim aceste valori în formulele (4.6) și (4.8) și integrăm termen cu termen:

În conformitate cu formulele (4.1) și (4.6), obținem

, (4.13)

Dacă datele inițiale ale axei zCy sunt centrale, atunci momentele statice S z și

S y sunt egale cu zero și formulele (4.13) sunt simplificate:

, (4.14)

Exemplu: determinați momentul axial de inerție al unui dreptunghi în jurul axei z 1 care trece prin bază (fig. 4.6, a). Prin formula (4.14)

4.4. Relația dintre momentele de inerție la rotirea axelor

Date: momentele de inerție ale unei figuri arbitrare în raport cu axele de coordonate z, y; unghiul de rotaţie al acestor axe α (fig. 4.8). Considerăm că unghiul de rotație în sens invers acelor de ceasornic este pozitiv.

Determinaţi: momentele de inerţie ale figurii în raport cu z 1 , y 1 .

Coordonatele unei arii elementare arbitrare dF în noile axe sunt exprimate în termeni de coordonatele vechiului sistem de axe, după cum urmează:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC - BC = AC - ED = ycos α - zsin α.

Înlocuim aceste valori în (4.6) și (4.8) și integrăm termen cu termen:

Ținând cont de formulele (4.6) și (4.8), găsim în final:

. (4.16)

Adăugând formulele (4.15), obținem: (4.17)

În acest fel, când axele sunt rotite, suma momentelor de inerție axiale rămâne constantă. În acest caz, fiecare dintre ele se modifică în conformitate cu formulele (4.15). Este clar că pentru o anumită poziție a axelor, momentele de inerție vor avea valori extreme: unul dintre ele va fi cel mai mare, celălalt cel mai mic.

4.5. Axele principale și momentele principale de inerție

De cea mai mare importanță practică sunt principalele axe centrale, momentul de inerție centrifugal în jurul căruia este egal cu zero. Vom desemna astfel de axe cu literele u, u. Prin urmare, J uυ = 0. Sistemul de coordonate arbitrar inițial z, y trebuie rotit printr-un astfel de unghi α 0 încât momentul de inerție centrifug să devină egal cu zero. Echivalând (4.16) cu zero, obținem

. (4.18)

Se dovedește că teoria momentelor de inerție și teoria unei stări de stres plan sunt descrise de același aparat matematic, deoarece formulele (4.15) - (4.18) sunt identice cu formulele (3.10), (3.11) și (3.18). . Doar în locul tensiunilor normale σ se scriu momentele axiale de inerție J z și J y, iar în loc de eforturile de forfecare τ zy - momentul de inerție centrifugal J zy . Prin urmare, formulele pentru momentele axiale principale de inerție sunt date fără derivare, prin analogie cu formulele (3.18):

.(4.19)

Cele două valori ale unghiului α 0 obținute din (4.18) diferă între ele prin 90 0 , cel mai mic dintre aceste unghiuri nu depășește 45 0 în valoare absolută.

Raza de inerție și momentul de rezistență

Momentul de inerție al unei figuri în jurul oricărei axe poate fi reprezentat ca produsul dintre aria figurii cu pătratul unei anumite cantități, numită rază de girație:

, (4.20)

unde i z este raza de inerție față de axa z.

Din expresia (4.20) rezultă că

,
. (4.21)

Principalele axe centrale de inerție corespund razelor principale de inerție

,
. (4.22)

Cunoscând razele principale de rotație, puteți găsi grafic raza de rotație (și, în consecință, momentul de inerție) în jurul unei axe arbitrare.

Luați în considerare o altă caracteristică geometrică care caracterizează rezistența tijei la torsiune și încovoiere - moment de rezistență. Momentul de rezistență este egal cu momentul de inerție împărțit la distanța de la axă (sau de la pol) până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii. Dimensiunea momentului de rezistență este o unitate de lungime într-un cub (cm 3).

Pentru un dreptunghi (Fig. 4.6, a)
,
, deci momentele axiale de rezistență