3.3.1. Pompa centrifuga submersibila In aceasta sectiune vom lua in considerare varianta cu o pompa centrifuga submersibila NPTs-750.Eu folosesc apa din primavara din aprilie pana in octombrie. Îl pompez cu o pompă centrifugă submersibilă NPTs-750 / 5nk (prima cifră indică consumul de energie în wați,

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLATE.

După cum arată experiența, rezistența tijei la diferite deformații depinde nu numai de dimensiunile secțiunii transversale, ci și de formă.

Dimensiunile și forma secțiunii transversale sunt caracterizate de diverse caracteristici geometrice: aria secțiunii transversale, momente statice, momente de inerție, momente de rezistență etc.

1. Momentul static al zonei(momentul de inerție de gradul I).

Momentul static de inerție aria relativă la orice axă, este suma produselor suprafețelor elementare aflate la distanță de această axă, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului static al zonei:

1. Momentul static al ariei se măsoară în unități de lungime de gradul trei (de exemplu, cm 3).

2. Momentul static poate fi mai mic decât zero, mai mare decât zero și, prin urmare, egal cu zero. Axele față de care momentul static este egal cu zero trec prin centrul de greutate al secțiunii și se numesc axe centrale.

În cazul în care un x cși Y c sunt coordonatele centrului de greutate, atunci

3. Momentul static de inerție al unei secțiuni complexe în jurul oricărei axe este egal cu suma momentelor statice ale secțiunilor simple constitutive în jurul aceleiași axe.

Conceptul momentului static de inerție în știința forței este folosit pentru a determina poziția centrului de greutate al secțiunilor, deși trebuie amintit că în secțiunile simetrice centrul de greutate se află la intersecția axelor de simetrie.

2. Momentul de inerție secțiuni plate(cifre) (momente de inerție de gradul doi).

A) axial(ecuatorial) moment de inerție.

Momentul axial de inerție aria unei figuri în raport cu orice axă este suma produselor ariilor elementare pe pătrat a distanței până la această axă de distribuție pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului axial de inerție.

1. Momentul axial de inerție al zonei se măsoară în unități de lungime a celei de-a patra puteri (de exemplu, cm 4).

2. Momentul axial de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul axial de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor axiale ale secțiunilor simple constitutive față de aceeași axă:

4. Valoarea momentului de inerție axial caracterizează capacitatea unei tije (grindă) de o anumită secțiune transversală de a rezista la încovoiere.

b) Momentul polar de inerție.

Momentul polar de inerție Aria unei figuri în raport cu un pol este suma produselor suprafețelor elementare pe pătrat a distanței până la pol, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1).

Proprietățile momentului polar de inerție:

1. Momentul polar de inerție al zonei se măsoară în unități de lungime ale puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul polar de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de orice pol (centru) este egal cu suma momentelor polare ale componentelor secțiunilor simple față de acest pol.

4. Momentul polar de inerție al unei secțiuni este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale acestei secțiuni în jurul a două axe reciproc perpendiculare care trec prin pol.

5. Mărimea momentului polar de inerție caracterizează capacitatea unei tije (grindă) cu o anumită formă de secțiune transversală de a rezista la torsiune.

c) momentul de inerție centrifugal.

MOMENTUL CENTRIFUG DE INERȚIE al ariei figurii în raport cu orice sistem de coordonate este suma produselor ariilor elementare prin coordonate, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului de inerție centrifugal:

1. Momentul de inerție centrifugal al zonei se măsoară în unități de lungime ale puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul de inerție centrifugal poate fi mai mare decât zero, mai mic decât zero și egal cu zero. Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero se numesc axe principale de inerție. Două axe reciproc perpendiculare, dintre care cel puțin una este o axă de simetrie, vor fi axele principale. Axele principale care trec prin centrul de greutate al zonei sunt numite axe centrale principale, iar momentele axiale de inerție ale zonei sunt numite principale punctele centrale inerţie.

3. Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe în orice sistem de coordonate este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale figurilor constitutive din aceeași schemă de coordonate.

MOMENTE DE INERTIE RELATIVE LA AXELE PARALELE.

Fig.2

Date: topoare X y- central;

acestea. moment axial de inerție într-o secțiune în jurul unei axe paralele cu cea centrală este egală cu momentul axial în jurul axei sale centrale plus produsul ariei și pătratul distanței dintre axe. Rezultă că momentul de inerție axial al secțiunii față de axa centrală are o valoare minimă în sistemul de axe paralele.

Făcând calcule similare pentru momentul de inerție centrifugal, obținem:

Jx1y1=Jxy+Aab

acestea. momentul de inerție centrifug al secțiunii despre axe paralele cu sistemul de coordonate central este egal cu momentul centrifug din sistemul de coordonate central plus produsul ariei și distanța dintre axe.

MOMENTE DE INERTIE ÎNTR-UN SISTEM DE COORDONATE ROTAT

acestea. suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii este o valoare constantă, nu depinde de unghiul de rotație al axelor de coordonate și este egală cu momentul polar de inerție în jurul originii. Momentul de inerție centrifugal își poate schimba valoarea și poate trece la „0”.

Axele în jurul cărora momentul centrifug este egal cu zero vor fi axele principale de inerție, iar dacă trec prin centrul de greutate, atunci se numesc axe principale de inerție și se notează " u" și "".

Momente de inerție față de principal axele centrale sunt numite momente centrale principale de inerție și sunt notate , iar principalele momente centrale de inerție au valori extreme, i.e. unul este "min" și celălalt este "max".

Fie ca unghiul „a 0” să caracterizeze poziția axelor principale, atunci:

în funcţie de această dependenţă, determinăm poziţia axelor principale. Valoarea momentelor principale de inerție după unele transformări este determinată de următoarea dependență:

EXEMPLE DE DETERMINARE A MOMENTELOR DE INERTIE AXIALE, MOMENTE DE INERTIE POLARE SI MOMENTE DE REZISTENTA A FIGURILOR SIMPLE.

1. Secțiune dreptunghiulară

topoare X iar y - aici și în alte exemple - principalele axe centrale de inerție.

Să determinăm momentele axiale de rezistență:

2. Secțiune solidă rotundă. momente de inerție.

Să presupunem că există un sistem de coordonate cu originea în punctul O și axele OX; OY; oz. În raport cu aceste axe, momentele de inerție centrifuge (produse de inerție) se numesc mărimi, care sunt determinate de egalitățile:

unde sunt masele puncte materialeîn care corpul este spart; - coordonatele punctelor materiale corespunzătoare.

Momentul de inerție centrifugal are o proprietate de simetrie, aceasta rezultă din definiția sa:

Momentele centrifuge ale corpului pot fi pozitive și negative, cu o anumită alegere a axelor OXYZ, pot dispărea.

Pentru momentele de inerție centrifuge, există un analog al teoremei lui Steinberg. Dacă luăm în considerare două sisteme de coordonate: și . Unul dintre aceste sisteme are originea coordonatelor la centrul de masă al corpului (punctul C), axele sistemelor de coordonate sunt paralele perechi (). Fie în sistemul de coordonate coordonatele centrului de masă al corpului sunt (), atunci:

unde este masa corpului.

Principalele axe de inerție ale corpului

Fie ca un corp omogen să aibă o axă de simetrie. Să construim axele de coordonate astfel încât axa OZ să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie a corpului. Apoi, ca o consecință a simetriei, fiecărui punct al corpului cu masă și coordonate îi corespunde un punct care are un indice diferit, dar aceeași masă și coordonate: . Ca rezultat, obținem că:

întrucât în ​​aceste sume toți termenii au egală în mărime, dar opuse în pereche de semne. Expresiile (4) sunt echivalente cu scrierea:

Am obținut că simetria axială a distribuției maselor față de axa OZ se caracterizează prin egalitatea la zero a două momente de inerție centrifuge (5), care conțin denumirea acestei axe printre indicii lor. În acest caz, axa OZ este numită axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.

Axa principală de inerție nu este întotdeauna axa de simetrie a corpului. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci orice axă care este perpendiculară pe acest plan este axa principală de inerție pentru punctul O, la care axa intersectează planul luat în considerare. Egalitățile (5) reflectă condițiile că axa OZ este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (originea coordonatelor). Daca sunt indeplinite conditiile:

atunci axa OY va fi axa principală de inerție pentru punctul O.

Dacă egalitățile sunt îndeplinite:

atunci toate cele trei axe de coordonate ale sistemului de coordonate OXYZ sunt principalele axe de inerție ale corpului pentru origine.

Momentele de inerție ale corpului față de principalele axe de inerție se numesc momente de inerție principale ale corpului. Principalele axe de inerție, care sunt construite pentru centrul de masă al corpului, sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului.

Dacă corpul are o axă de simetrie, atunci aceasta este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă este situat pe această axă. În cazul în care corpul are un plan de simetrie, atunci axa normală cu acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.

Conceptul de axe principale de inerție în dinamica unui corp rigid este esențial. Dacă axele de coordonate OXYZ sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin egale cu zero, în timp ce formulele care ar trebui utilizate în rezolvarea problemelor de dinamică sunt mult simplificate. Conceptul de axe principale de inerție este legat de rezolvarea problemelor privind ecuația dinamică a unui corp în rotație și pe centrul de impact.

Momentul de inerție al unui corp (inclusiv centrifugal) în sistemul internațional de unități se măsoară în:

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni (figura plană) în jurul a două axe reciproc normale (OX și OY) este o valoare egală cu:

Expresia (8) spune că momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare () cu distanțele de la acestea la axele considerate, pe întreaga suprafață S.

Unitatea de măsură a momentelor de inerție a unei secțiuni în SI este:

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe față de oricare două axe reciproc normale este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în raport cu aceste axe.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Luați în considerare câteva caracteristici geometrice ale figurilor plane. Una dintre aceste caracteristici se numește axial sau ecuatorial moment de inerție. Această caracteristică faţă de axele şi
(Fig.4.1) ia forma:

;
. (4.4)

Principala proprietate a momentului de inerție axial este că acesta nu poate fi mai mic sau egal cu zero. Acest moment de inerție este întotdeauna mai mare decât zero:
;
. Unitatea de măsură a momentului axial de inerție este (lungimea 4).

Conectați originea coordonatelor cu un segment de linie dreaptă cu o zonă infinitezimală
și notează acest segment cu literă (Fig.4.4). Momentul de inerție al figurii față de pol - originea - se numește momentul polar de inerție:

. (4.5)

Acest moment de inerție, ca și cel axial, este întotdeauna mai mare decât zero (
) și are dimensiunea – (lungime 4).

Să scriem condiție de invarianță sumele momentelor de inerție ecuatoriale în jurul a două axe reciproc perpendiculare. Figura 4.4 arată că
.

Inlocuim aceasta expresie in formula (4.5), obtinem:

Condiția de invarianță este formulată după cum urmează: suma momentelor axiale de inerție în jurul oricăror două axe reciproc perpendiculare este o valoare constantă și egală cu momentul polar de inerție în jurul punctului de intersecție al acestor axe.

Se numește momentul de inerție al unei figuri plane în jurul a două axe reciproc perpendiculare simultan biaxiale sau centrifugal moment de inerție. Momentul de inerție centrifugal are următoarea formă:

. (4.7)

Momentul de inerție centrifugal are dimensiunea - (lungime 4). Poate fi pozitiv, negativ sau zero. Se numesc axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție. Să demonstrăm că axa de simetrie a unei figuri plane este axa principală.

Luați în considerare figura plată prezentată în Figura 4.5.

Alegem în stânga și în dreapta axei de simetrie două elemente cu o zonă infinitezimală
. Centrul de greutate al întregii figuri se află în punctul C. Să plasăm originea în punctul C și să notăm coordonatele verticale ale elementelor selectate cu litera „ ”, pe orizontală – pentru elementul din stânga „
”, pentru elementul potrivit “ ". Să calculăm suma momentelor de inerție centrifuge pentru elementele selectate cu o suprafață infinit mică în raport cu axele și :

Dacă integrăm expresia (4.8) în stânga și în dreapta, obținem:

, (4.9)

întrucât dacă axa este o axă de simetrie, atunci pentru orice punct situat la stânga acestei axe, va exista întotdeauna unul simetric.

Analizând soluția obținută ajungem la concluzia că axa de simetrie este axa principală de inerție. axa centrală este și axa principală, deși nu este o axă de simetrie, deoarece momentul de inerție centrifugal a fost calculat simultan pentru două axe. și și s-a dovedit a fi zero.

Momentul axial de inerție este egal cu suma produselor ariilor elementare și pătratul distanței față de axa corespunzătoare.

(8)

Semnul este întotdeauna „+”.

Nu este egal cu 0.

Proprietate: Acceptă valoarea minima când punctul de intersecție al axelor de coordonate coincide cu centrul de greutate al secțiunii.

Momentul axial de inerție al secțiunii este utilizat în calculele de rezistență, rigiditate și stabilitate.

1.3. Momentul polar de inerție al secțiunii Jρ

(9)

Relația dintre momentele de inerție polare și axiale:

(10)

(11)

Momentul polar de inerție al secțiunii este egal cu suma momentelor axiale.

Proprietate:

când axele sunt rotite în orice direcție, unul dintre momentele axiale de inerție crește, în timp ce celălalt scade (și invers). Suma momentelor axiale de inerție rămâne constantă.

1.4. Momentul de inerție centrifugal al secțiunii Jxy

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu suma produselor ariilor elementare cu distanțele față de ambele axe

(12)

Unitate de măsură [cm 4 ], [mm 4 ].

semnul „+” sau „-”.

, dacă axele de coordonate sunt axe de simetrie (exemplu - grindă I, dreptunghi, cerc), sau una dintre axele de coordonate coincide cu axa de simetrie (exemplu - canal).

Astfel, pentru figurile simetrice, momentul de inerție centrifugal este 0.

Axele de coordonate u și v , care trec prin centrul de greutate al secțiunii, față de care momentul centrifug este zero, se numesc principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Ele sunt numite principale pentru că momentul centrifug relativ la ele este zero și centrale pentru că trec prin centrul de greutate al secțiunii.

Pentru secțiuni care nu au simetrie față de axe X sau y , de exemplu la colț, nu va fi zero. Pentru aceste secțiuni determinați poziția axelor u și v prin calcularea unghiului de rotaţie al axelor X și y

(13)

Moment centrifug despre axe u și v -

Formula pentru determinarea momentelor axiale de inerție în jurul axelor centrale principale u și v :

(14)

Unde
- momentele axiale de inerție față de axele centrale,

- momentul de inertie centrifugal fata de axele centrale.

1.5. Moment de inerție în jurul unei axe paralele cu cea centrală (teorema lui Steiner)

Teorema lui Steiner:

Momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu cea centrală este egal cu momentul de inerție axial central plus produsul dintre aria întregii figuri și pătratul distanței dintre axe.

(15)

Dovada teoremei lui Steiner.

Conform fig. 5 distanta la la platforma elementară dF

Înlocuirea valorii laîn formulă, obținem:

termen
, deoarece punctul C este centrul de greutate al secțiunii (vezi proprietatea momentelor statice ale ariei secțiunii față de axele centrale).

Pentru un dreptunghi cu o înălțimeh și lățimeab :

Momentul axial de inerție:

Momentul de îndoire:

momentul de rezistență la încovoiere este egal cu raportul dintre momentul de inerție și distanța celei mai îndepărtate fibre de linia neutră:

deoarece
, apoi

Pentru cerc:

Momentul polar de inerție:

Momentul axial de inerție:

Moment de torsiune:

pentru că
, apoi

Momentul de îndoire:

Exemplul 2. Determinați momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare în jurul axei centrale DIN X .

Soluţie. Împărțiți aria dreptunghiului în dreptunghiuri elementare cu dimensiuni b (lățimea) și dy (înălţime). Apoi aria unui astfel de dreptunghi (umbrită în Fig. 6) este egală cu dF=bdy. Calculați valoarea momentului axial de inerție J X

Prin analogie, scriem

- momentul de inertie axial al sectiunii fata de centrala

moment de inerție centrifugal

, din moment ce axele DIN X și C y sunt axele de simetrie.

Exemplul 3. Determinați momentul polar de inerție al unei secțiuni transversale circulare.

Soluţie. Să despărțim cercul în inele infinit de subțiri de grosime
rază , aria unui astfel de inel
. Înlocuirea valorii
integrându-se în expresia pentru momentul polar de inerție, obținem

Având în vedere egalitatea momentelor axiale de secțiune circulară
și

, primim

Momentele axiale de inerție pentru inel sunt

Cu este raportul dintre diametrul decupării și diametrul exterior al arborelui.

Prelegerea nr 2 „Axele principale șievidențiazăinerţie

Luați în considerare modul în care momentele de inerție se schimbă atunci când axele de coordonate sunt rotite. Să presupunem că momentele de inerție ale unei anumite secțiuni în jurul axelor 0 X, 0la(nu neapărat central) - ,- momentele axiale de inerție ale secțiunii. Necesar pentru a defini ,- momente axiale raportate la axe u,v, rotit față de primul sistem cu un unghi
(Fig. 8)

Deoarece proiecția liniei întrerupte OABS este egală cu proiecția celei de închidere, găsim:

(15)

Să excludem u și v din expresiile pentru momentele de inerție:

(18)

Luați în considerare primele două ecuații. Adăugându-le termen cu termen, obținem

Astfel, suma momentelor axiale de inerție în jurul a două axe reciproc perpendiculare nu depinde de unghi.
și rămâne constantă atunci când axele sunt rotite. Să remarcăm în același timp că

Unde - distanta de la originea coordonatelor pana la zona elementara (vezi Fig. 5). În acest fel

Unde - deja familiar pentru noi moment polar de inerție:

Să determinăm momentul axial de inerție al cercului în raport cu diametrul.

Din moment ce, din cauza simetriei
dar, după cum știți,

Prin urmare, pentru cerc

Cu o modificare a unghiului de rotație al axelor
valori de moment și se schimbă, dar suma rămâne aceeași. Prin urmare, există o astfel de valoare
, la care unul dintre momentele de inerție atinge valoarea maximă, în timp ce celălalt moment ia valoarea minimă. Diferențierea expresiei după unghi
și echivalând derivata cu zero, găsim

(19)

Cu această valoare a unghiului
unul dintre momentele axiale va fi cel mai mare iar celălalt cel mai mic. În același timp, momentul de inerție centrifugal
dispare, ceea ce poate fi ușor verificat prin egalarea cu zero a formulei pentru momentul de inerție centrifugal
.

Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero, iar momentele axiale capătă valori extreme, se numesc principaltopoare. Dacă sunt și centrale (punctul de origine coincide cu centrul de greutate al secțiunii), atunci se numesc axele centrale principale (u; v). Momentele axiale de inerție în jurul axelor principale se numesc principalele momente de inerțieși

Și valoarea lor este determinată de următoarea formulă:

(20)

Semnul plus corespunde momentului maxim de inerție, semnul minus - la minim.

Există o altă caracteristică geometrică - rază de girație secțiuni. Această valoare este adesea folosită în concluziile teoretice și calculele practice.

Raza de rotație a secțiunii în raport cu o anumită axă, de exemplu 0 X , se numeste cantitate , determinat din egalitate

(21)

F - arie a secțiunii transversale,

- momentul de inerție axial al secțiunii,

Din definiție rezultă că raza de rotație este egală cu distanța de la axa 0 X până la punctul în care aria secțiunii (condițional) F ar trebui să fie concentrată astfel încât momentul de inerție al acestui punct să fie egal cu momentul de inerție al întregii secțiuni. Cunoscând momentul de inerție al secțiunii și aria acesteia, puteți găsi raza de rotație în jurul axei 0 X:

(22)

Se numesc razele de inerție corespunzătoare axelor principale razele principale de inerțieși sunt determinate de formule

(23)

Curs 3. Torsionarea barelor rotunde.