și Saveliev.

Odată cu mișcarea de translație a corpului (§ 60 din manualul de E. M. Nikitin), toate punctele sale se deplasează pe aceleași traiectorii și în orice moment au viteze și accelerații egale.

Prin urmare, mișcarea de translație a corpului este stabilită de mișcarea oricărui punct, de obicei de mișcarea centrului de greutate.

Luând în considerare în orice problemă mișcarea unui vagon (problema 147) sau a unei locomotive diesel (problema 141), luăm în considerare de fapt mișcarea centrelor lor de greutate.

mișcare de rotație corpul (E. M. Nikitin, § 61) nu poate fi identificat cu mișcarea vreunuia dintre punctele sale. Axa oricărui corp rotativ (volan diesel, rotorul motorului electric, axul mașinii, palele ventilatorului etc.) în procesul de mișcare ocupă același loc în spațiu față de corpurile fixe din jur.

Mișcarea unui punct material sau mișcare înainte corpurile sunt caracterizate în funcţie de timp mărimi liniare s (cale, distanță), v (viteză) și a (accelerație) cu componentele sale a t și a n .

mișcare de rotație corpurile în funcţie de timpul t caracterizează valori unghiulare: φ (unghiul de rotație în radiani), ω (viteza unghiulară în rad/s) și ε (accelerația unghiulară în rad/s 2).

Legea mișcării de rotație a unui corp este exprimată prin ecuație
φ = f(t).

Viteză unghiulară - valoarea care caracterizeaza viteza de rotatie a corpului, este definita in cazul general ca derivata unghiului de rotatie in raport cu timpul
ω \u003d dφ / dt \u003d f "(t).

Accelerația unghiulară- valoarea care caracterizează viteza de modificare a vitezei unghiulare, este definită ca derivată a vitezei unghiulare
ε = dω/dt = f"" (t).

Când începeți să rezolvați probleme pentru mișcarea de rotație a unui corp, trebuie avut în vedere că în calculele și problemele tehnice, de regulă, deplasarea unghiulară este exprimată nu în radiani φ, ci în rotații φ rev.

Prin urmare, este necesar să se poată trece de la numărul de rotații la măsurarea în radiani a deplasării unghiulare și invers.

Deoarece o revoluție completă corespunde cu 2π rad, atunci
φ = 2πφ rev și φ rev = φ/(2π).

Viteza unghiulară în calculele tehnice este de foarte multe ori măsurată în rotații produse pe minut (rpm), deci trebuie să se înțeleagă clar că ω rad / sec și n rpm exprimă același concept - viteza de rotație a corpului (viteza unghiulară), dar în diferite unități - în rad / sec sau în rpm.

Trecerea de la o unitate de viteză unghiulară la alta se realizează conform formulelor
ω = πn/30 și n = 30ω/π.

În timpul mișcării de rotație a corpului, toate punctele sale se mișcă de-a lungul unor cercuri, ale căror centre sunt situate pe o linie dreaptă fixă ​​(axa corpului care se rotește). La rezolvarea problemelor prezentate în acest capitol este foarte important să înțelegem clar relația dintre mărimile unghiulare φ, ω și ε, care caracterizează mișcarea de rotație a corpului, și mărimile liniare s, v, at și an, care caracterizează mișcarea. a diferitelor puncte ale acestui corp (Fig. 205).

Dacă R este distanța de la axa geometrică a corpului care se rotește până la orice punct A (în Fig. 205 R=OA), atunci relația dintre φ - unghiul de rotație al corpului și s - distanța parcursă de punctul de corpul în același timp, se exprimă după cum urmează:
s = φR.

Relația dintre viteza unghiulară a unui corp și viteza unui punct în orice moment dat este exprimată prin egalitate
v = ωR.

Accelerația tangențială a unui punct depinde de accelerația unghiulară și este determinată de formula
a t = εR.

Accelerația normală a unui punct depinde de viteza unghiulară a corpului și este determinată de dependență
a n = ω 2 R.

Când rezolvați problema prezentată în acest capitol, este necesar să înțelegeți clar că rotația se numește mișcare corp solid, nu puncte. Un singur punct material nu se rotește, ci se mișcă într-un cerc - face o mișcare curbilinie.

§ 33. Mișcare uniformă de rotație

Dacă viteza unghiulară ω=const, atunci mișcarea de rotație se numește uniformă.

Ecuația de rotație uniformă are forma
φ = φ 0 + ωt.

Într-un caz particular, când unghiul inițial de rotație φ 0 =0,
φ = ωt.

Viteza unghiulară a unui corp care se rotește uniform
ω = φ/t
mai poate fi exprimat astfel:
ω = 2π/T,
unde T este perioada de rotație a corpului; φ=2π - unghi de rotație pentru o perioadă.

§ 34. Mișcare de rotație la fel de variabilă

Mișcarea de rotație cu viteză unghiulară variabilă se numește neuniformă (vezi § 35 de mai jos). Dacă accelerația unghiulară ε=const, atunci se numește mișcarea de rotație la fel de variabil. Astfel, rotația la fel de variabilă a corpului este un caz special de mișcare de rotație neuniformă.

Ecuația de rotație cu variabile egale
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
și o ecuație care exprimă viteza unghiulară a corpului în orice moment,
(2) ω = ω 0 + εt
reprezintă un set de formule de bază pentru rotație mișcare uniformă corp.

Aceste formule includ doar șase mărimi: trei constante pentru această problemă φ 0 , ω 0 și ε și trei variabile φ, ω și t. Prin urmare, condiția fiecărei probleme pentru rotație la fel de variabilă trebuie să conțină cel puțin patru valori date.

Pentru comoditatea rezolvării unor probleme, ecuațiile (1) și (2) pot fi folosite pentru a obține încă două formule auxiliare.

Să excludem din (1) și (2) accelerația unghiulară ε:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Să excludem din (1) și (2) timpul t:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

În cazul particular al rotației uniform accelerate, care a început dintr-o stare de repaus, φ 0 =0 și ω 0 =0. Prin urmare, formulele principale și auxiliare de mai sus iau următoarea formă:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Mișcare de rotație neuniformă

Luați în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme în care este dată o mișcare de rotație neuniformă a unui corp.

Cinematica corpului rigid

Spre deosebire de cinematica unui punct, în cinematica corpurilor rigide sunt rezolvate două sarcini principale:

Stabilirea mișcării și determinarea caracteristicilor cinematice ale corpului în ansamblu;

Determinarea caracteristicilor cinematice ale punctelor corpului.

Metodele de stabilire și de determinare a caracteristicilor cinematice depind de tipurile de mișcare a corpurilor.

În acest manual sunt luate în considerare trei tipuri de mișcare: de translație, de rotație în jurul valorii axă fixăși mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid

Mișcarea de translație a unui corp rigid

Translația este o mișcare în care o linie dreaptă trasată prin două puncte ale corpului rămâne paralelă cu poziția inițială (Fig. 2.8).

Teorema demonstrată: în mișcarea de translație, toate punctele corpului se mișcă pe aceleași traiectorii și în fiecare moment de timp au aceeași viteză și accelerație în valoare și direcție absolută (Fig. 2.8).

Ieșire: Mișcarea de translație a unui corp rigid este determinată de mișcarea oricăruia dintre punctele sale și, prin urmare, sarcina și studiul mișcării sale sunt reduse la cinematica unui punct.

Orez. 2.8 Fig. 2.9

Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Rotația în jurul unei axe fixe este mișcarea unui corp rigid, în care două puncte aparținând corpului rămân staționare pe toată durata mișcării.

Poziția corpului este determinată de unghiul de rotație (Fig. 2.9). Unitatea de măsură pentru un unghi este radiani. (Un radian este unghiul central al unui cerc a cărui lungime a arcului este egală cu raza, unghiul complet al cercului conține 2 radiani.)

Legea mișcării de rotație a unui corp în jurul unei axe fixe = (t). Viteza unghiulară și accelerația unghiulară a corpului vor fi determinate prin metoda diferențierii

Viteza unghiulara, rad/s; (2,10)

Accelerație unghiulară, rad/s 2 (2,11)

Când un corp se rotește în jurul unei axe fixe, punctele sale care nu se află pe axa de rotație se deplasează de-a lungul cercurilor centrate pe axa de rotație.

Dacă tăiem corpul cu un plan perpendicular pe axă, alegeți un punct pe axa de rotație DINși punct arbitrar M, apoi punct M va descrie în jurul punctului DIN cerc cu raza R(Fig. 2.9). Pe parcursul dt are loc o rotație elementară printr-un unghi, în timp ce punctul M se va deplasa pe traiectorie pe o distanta.Definiti modulul viteza liniară:

accelerație punctuală M pentru că o traiectorie cunoscută este determinată de componentele sale, vezi (2.8)

Înlocuind expresia (2.12) în formule, obținem:

unde: - accelerația tangențială,

Accelerație normală.

Mișcarea plan-paralelă a unui corp rigid

Plan-paralel este mișcarea unui corp rigid, în care toate punctele sale se mișcă în planuri paralele cu un plan fix (Fig. 2.10). Pentru a studia mișcarea unui corp, este suficient să studiezi mișcarea unei secțiuni S acest corp printr-un plan paralel cu planul fix. mișcarea secțiunii Sîn planul său poate fi considerat ca unul complex, format din două mişcări elementare: a) de translaţie şi de rotaţie; b) rotaţional faţă de centrul mobil (instantaneu).

În prima variantă mișcarea secțiunii poate fi dată de ecuațiile de mișcare a unuia dintre punctele sale (polul) și de rotația secțiunii în jurul polului (fig. 2.11). Orice punct al secțiunii poate fi luat drept stâlp.

Orez. 2.10 Fig. 2.11

Ecuațiile mișcării se vor scrie astfel:

X A = X DAR (t)

Y DAR = Y DAR (t) (2.14)

DAR = DAR (t)

Caracteristicile cinematice ale polului sunt determinate din ecuațiile mișcării acestuia.

Viteza oricărui punct al unei figuri plate care se mișcă în propriul plan este suma vitezei polului (aleasă în mod arbitrar în secțiunea punctului DAR) și viteza de rotație în jurul polului (rotația punctului ÎNîn jurul punctului DAR).

Accelerația unui punct al unei figuri plate în mișcare este suma accelerației polului în raport cu cadrul fix de referință și a accelerației datorate mișcării de rotație în jurul polului.

În a doua variantă mișcarea secțiunii este considerată rotațională în jurul centrului mobil (instantaneu). P(Fig. 1.12). În acest caz, viteza oricărui punct B al secțiunii va fi determinată de formula pentru mișcarea de rotație

Viteza unghiulară în jurul centrului instantaneu R poate fi determinat dacă viteza oricărui punct al secțiunii este cunoscută, de exemplu, punctul A.

Fig.2.12

Poziția centrului instantaneu de rotație poate fi determinată pe baza următoarelor proprietăți:

Vectorul viteză al punctului este perpendicular pe rază;

Modulul de viteză al unui punct este proporțional cu distanța de la punct la centrul de rotație ( V=R) ;

Viteza în centrul de rotație este zero.

Să luăm în considerare câteva cazuri de determinare a poziției centrului instantaneu.

1. Se cunosc direcțiile vitezelor a două puncte ale unei figuri plane (Fig. 2.13). Să desenăm linii de raze. Centrul instantaneu de rotație P este situat la intersecția perpendicularelor trasate pe vectorii viteză.

2. Sunt cunoscute vitezele punctelor A și B, iar vectorii și sunt paraleli între ei, iar dreapta AB perpendicular (Fig. 2. 14). În acest caz, centrul de rotație instantaneu se află pe linie AB. Pentru a-l găsi, trasăm o linie de proporționalitate a vitezelor pe baza dependenței V=R.

3. Caroseria se rostogolește fără alunecare pe suprafața fixă ​​a altui corp (Fig. 2.15). Punctul de contact al corpurilor în acest moment are viteză zero, în timp ce vitezele altor puncte ale corpului nu sunt egale cu zero. Punctul tangent P va fi centrul instantaneu de rotație.

Orez. 2.13 Fig. 2.14 Fig. 2.15

Pe lângă opțiunile luate în considerare, viteza unui punct de secțiune poate fi determinată pe baza teoremei privind proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid.

Teorema: proiecțiile vitezelor a două puncte ale unui corp rigid pe o linie dreaptă trasată prin aceste puncte sunt egale între ele și egal direcționate.

Dovada: distanta AB nu se poate schimba, prin urmare

VȘi pentru că nu poate fi mai mult sau mai puțin VÎn cos (Fig. 2.16).

Orez. 2.16

Concluzie: V DAR cos = V ÎN cos. (2,19)

Mișcare complexă a punctului

În paragrafele precedente, am considerat mișcarea unui punct în raport cu un cadru de referință fix, așa-numitul mișcare absolută. In practica sunt probleme in care se cunoaste miscarea unui punct fata de un sistem de coordonate, care se misca fata de un sistem fix. În acest caz, este necesară determinarea caracteristicilor cinematice ale punctului în raport cu sistemul fix.

Se obișnuiește să se numească: mișcarea unui punct în raport cu un sistem în mișcare - relativ, mișcarea punctului împreună cu sistemul de mișcare - portabil, mișcarea unui punct în raport cu un sistem fix - absolut. În consecință, vitezele și accelerațiile se numesc:

relativ; - figurat; -absolut.

Conform teoremei adunării vitezei, viteza absolută a unui punct este egală cu suma vectoriala viteze relative și portabile (fig.).

Valoarea absolută a vitezei este determinată de legea cosinusurilor

Fig.2.17

Accelerația conform regulii paralelogramului este determinată de numai în mişcare de translaţie

Cu mișcarea portabilă netranslațională, apare o a treia componentă a accelerației, numită rotativă sau Coriolis.

Accelerația Coriolis este numeric egală cu

unde este unghiul dintre vectori și

Este convenabil să se determine direcția vectorului de accelerație Coriolis conform N.E. Jukovski: proiectați vectorul pe un plan perpendicular pe axa de rotație de translație, rotiți proiecția cu 90 de grade în direcția de rotație de translație. Direcția rezultată va corespunde cu direcția accelerației Coriolis.

Întrebări pentru autocontrol în secțiune

1. Care sunt principalele sarcini ale cinematicii? Numiți caracteristicile cinematice.

2. Numiți metodele de precizare a mișcării unui punct și de determinare a caracteristicilor cinematice.

3. Dați o definiție a mișcării de translație, rotație în jurul unei axe fixe, plan-paralel a unui corp.

4. Cum este specificată mișcarea unui corp rigid în timpul translației, rotației în jurul unei axe fixe și mișcării plan-paralele a corpului și cum se determină viteza și accelerația unui punct în timpul acestor mișcări ale corpului?

Mișcarea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este o astfel de mișcare în care oricare două puncte aparținând corpului (sau asociate invariabil cu acesta) rămân nemișcate pe toată durata mișcării.(Fig. 2.2) .

Figura 2.2

trecând prin puncte fixe DARȘi ÎN se numește linie dreaptă axa de rotatie. Deoarece distanța dintre punctele unui corp rigid trebuie să rămână neschimbată, este evident că în timpul mișcării de rotație toate punctele aparținând axei vor fi fixe, iar toate celelalte vor descrie cercuri ale căror planuri sunt perpendiculare pe axa de rotație, iar centrele se află pe această axă. Pentru a determina poziția unui corp în rotație, desenăm prin axa de rotație, de-a lungul căreia este îndreptată axa Az, jumătate de avion І - fix și semiplan ІІ încorporat în corpul însuși și rotindu-se odată cu acesta. Atunci poziția corpului în orice moment de timp este determinată în mod unic de unghiul luat cu semnul corespunzător φ între aceste avioane, pe care le vom numi unghiul corpului. Vom lua în considerare unghiul φ pozitiv dacă este întârziat dintr-un plan fix în sens invers acelor de ceasornic (pentru un observator care privește de la capătul pozitiv al axei Az), dar negativ în sensul acelor de ceasornic. măsura unghiului φ va fi în radiani. Pentru a cunoaște poziția corpului în orice moment, trebuie să cunoașteți dependența unghiului φ din timp t, adică

.

Această ecuație exprimă legea de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe.

Principalele caracteristici cinematice ale mișcării de rotație a unui corp rigid sunt viteza sa unghiulară ω și accelerația unghiulară ε.

9.2.1. Viteza unghiulară și accelerația unghiulară a unui corp

Valoarea care caracterizează viteza de schimbare a unghiului de rotație φ în timp se numește viteza unghiulară.

Dacă pentru o perioadă de timp
corpul face o întoarcere
, atunci viteza unghiulară medie numeric a corpului pentru această perioadă de timp va fi
. În limita la
primim

În acest fel, valoarea numerică a vitezei unghiulare a corpului la un moment dat de timp este egală cu derivata întâi a unghiului de rotație în raport cu timpul.

Regula semnelor: când rotația este în sens invers acelor de ceasornic, ω> 0, iar când în sensul acelor de ceasornic, atunci ω< 0.

sau, deoarece radianul este o mărime adimensională,
.

În calculele teoretice, este mai convenabil să se utilizeze vectorul viteză unghiulară , al cărui modul este egal cu și care este îndreptată de-a lungul axei de rotație a corpului în direcția din care rotația este vizibilă în sens invers acelor de ceasornic. Acest vector determină imediat modulul vitezei unghiulare și axa de rotație și direcția de rotație în jurul acestei axe.

Mărimea care caracterizează viteza de modificare a vitezei unghiulare în timp se numește accelerație unghiulară a corpului.

Dacă pentru o perioadă de timp
creșterea vitezei unghiulare este egală cu
, apoi raportul
, adică determină valoarea acceleraţiei medii a unui corp în rotaţie în timp
.

Când te străduiești
obținem valoarea accelerației unghiulare în acest moment t:

În acest fel, valoarea numerică a accelerației unghiulare a corpului la un moment dat de timp este egală cu derivata întâi a vitezei unghiulare sau derivata a doua a unghiului de rotație al corpului în timp.

Unitatea de măsură este de obicei sau, care este de asemenea
.

Dacă modulul vitezei unghiulare crește cu timpul, se numește rotația corpului accelerat, iar dacă scade, - încet. Când cantitățile ω Și ε au aceleași semne, atunci rotația va fi accelerată, când este diferită - încetinită. Prin analogie cu viteza unghiulară, accelerația unghiulară poate fi reprezentată și ca vector îndreptată de-a lungul axei de rotație. în care

.

Dacă corpul se rotește cu o direcție accelerată coincide cu , și opus în timpul rotației lente.

Dacă viteza unghiulară a corpului rămâne constantă în timpul mișcării ( ω= const), atunci se numește rotația corpului uniformă.

Din
avem
. Prin urmare, presupunând că în momentul inițial de timp
injecţie
, și luând integrale la stânga lui inainte de , iar în dreapta de la 0 la t, în sfârșit obținem

.

Cu rotire uniformă, când =0,
Și
.

Viteza de rotație uniformă este adesea determinată de numărul de rotații pe minut, notând această valoare ca n rpm Să găsim relația dintre n rpm și ω 1/s. Cu o rotație, corpul se va roti cu 2π și cu n rotații pe 2π n; această tură se face în 1 min, adică. t= 1 min=60s. Rezultă că

.

Dacă accelerația unghiulară a corpului rămâne constantă pe toată durata mișcării (ε = const), atunci rotația se numește la fel de variabil.

În momentul inițial de timp t=0 unghi
, și viteza unghiulară
(- viteza unghiulara initiala).
;
=ε
. Integrarea părții stângi a inainte de , iar cea dreaptă de la 0 la t, găsi

Viteza unghiulară ω a acestei rotații
. Dacă ω și ε au aceleași semne, rotația va fi uniform accelerat, iar dacă este diferit la fel de lent.

În natură și tehnologie, întâlnim adesea manifestarea mișcării de rotație a corpurilor solide, cum ar fi arbori și roți dințate. Cum este descris acest tip de mișcare în fizică, ce formule și ecuații sunt folosite pentru aceasta, acestea și alte aspecte sunt abordate în acest articol.

Ce este rotația?

Fiecare dintre noi își imaginează intuitiv despre ce fel de mișcare vorbim. Rotația este un proces în care un corp sau un punct material se mișcă de-a lungul unei căi circulare în jurul unei axe. Din punct de vedere geometric, un corp rigid este o linie dreaptă, distanța până la care rămâne neschimbată în timpul mișcării. Această distanță se numește raza de rotație. În cele ce urmează, îl vom nota cu litera r. Dacă axa de rotație trece prin centrul de masă al corpului, atunci se numește propria sa axă. Un exemplu de rotație în jurul propriei axe este mișcarea corespunzătoare a planetelor sistem solar.

Pentru ca rotația să aibă loc, trebuie să existe accelerație centripetă, care se datorează forței centripete. Această forță este direcționată de la centrul de masă al corpului către axa de rotație. Natura forței centripete poate fi foarte diferită. Deci, la scară cosmică, gravitația își joacă rolul, dacă corpul este fixat printr-un fir, atunci forța de tensiune a acestuia din urmă va fi centripetă. Atunci când un corp se rotește în jurul propriei axe, rolul forței centripete este jucat de interacțiunea electrochimică internă dintre elementele (molecule, atomi) care alcătuiesc corpul.

Trebuie înțeles că fără prezența unei forțe centripete, corpul se va mișca în linie dreaptă.

Mărimi fizice care descriu rotația

În primul rând, acestea sunt caracteristici dinamice. Acestea includ:

• moment unghiular L;
• momentul de inerție I;
• momentul fortei M.

În al doilea rând, acestea sunt caracteristici cinematice. Să le enumerăm:

• unghi de rotație θ;
• viteza unghiulară ω;
• accelerația unghiulară α.

Să descriem pe scurt fiecare dintre aceste cantități.

Momentul unghiular este determinat de formula:

Unde p este momentul liniar, m este masa punctului material, v este viteza sa liniară.

Momentul de inerție al unui punct material se calculează folosind expresia:

Pentru orice corp de formă complexă, valoarea lui I se calculează ca suma integrală a momentelor de inerție ale punctelor materiale.

Momentul forței M se calculează după cum urmează:

Aici F este forța externă, d este distanța de la punctul de aplicare a acesteia la axa de rotație.

Semnificația fizică a tuturor cantităților, în numele cărora este prezent cuvântul „moment”, este similar cu semnificația cantităților liniare corespunzătoare. De exemplu, momentul forței arată posibilitatea forței aplicate de a informa sistemul corpurilor în rotație.

Caracteristicile cinematice sunt determinate matematic următoarele formule:

După cum se poate observa din aceste expresii, caracteristici unghiulare sunt asemănătoare ca semnificație cu cele liniare (viteze v și accelerație a), doar că sunt aplicabile unei traiectorii circulare.

Dinamica rotației

În fizică, studiul mișcării de rotație a unui corp rigid se realizează cu ajutorul a două ramuri ale mecanicii: dinamica și cinematica. Să începem cu dinamica.

Dinamica studiază forțele externe care acționează asupra unui sistem de corpuri în rotație. Să notăm imediat ecuația mișcării de rotație a unui corp rigid și apoi, vom analiza părțile sale constitutive. Deci această ecuație arată astfel:

Care acționează asupra unui sistem care are un moment de inerție I, determină apariția unei accelerații unghiulare α. Cu cât valoarea lui I este mai mică, cu atât este mai ușor cu ajutorul unui anumit moment M să rotești sistemul la viteze mari în intervale scurte de timp. De exemplu, o tijă de metal este mai ușor de rotit de-a lungul axei sale decât perpendicular pe ea. Cu toate acestea, aceeași tijă este mai ușor de rotit în jurul unei axe perpendiculare pe ea și care trece prin centrul de masă decât prin capătul său.

Legea conservării lui L

Această mărime a fost introdusă mai sus, se numește moment unghiular. Ecuația mișcării de rotație a unui corp rigid, prezentată în paragraful anterior, este adesea scrisă într-o formă diferită:

Dacă momentul forțe externe M acționează asupra sistemului în timpul dt, apoi provoacă o modificare a momentului unghiular al sistemului cu cantitatea dL. În consecință, dacă momentul forțelor este egal cu zero, atunci L = const. Aceasta este legea conservării valorii L. Pentru aceasta, folosind relația dintre viteza liniară și cea unghiulară, putem scrie:

L \u003d m * v * r \u003d m * ω * r 2 \u003d I * ω.

Astfel, în absența momentului de forță, produsul dintre viteza unghiulară și momentul de inerție este o valoare constantă. Acest legea fizică folosit de patinatori în spectacolele lor sau sateliți artificiali, care trebuie rotite în jurul propriei axe în spatiu deschis.

accelerație centripetă

Mai sus, când se studiază mișcarea de rotație a unui corp rigid, această cantitate a fost deja descrisă. S-a remarcat și natura forțelor centripete. Aici vom completa doar aceste informații și vom oferi formulele corespunzătoare pentru calcularea acestei accelerații. Să-l notăm cu c.

Deoarece forța centripetă este direcționată perpendicular pe axă și trece prin aceasta, nu creează niciun moment. Adică, această forță nu are absolut niciun efect asupra caracteristicilor cinematice ale rotației. Cu toate acestea, creează o accelerație centripetă. Iată două formule pentru definirea sa:

Astfel, cu cât viteza unghiulară și raza sunt mai mari, cu atât forța trebuie aplicată pentru a menține corpul pe o cale circulară. Un prim exemplu în acest sens proces fizic este derapajul vehiculului în timpul unei viraj. Un derapaj are loc dacă forța centripetă, al cărei rol este jucat de forța de frecare, devine mai mică decât forța centrifugă (caracteristică inerțială).

Cele trei caracteristici cinematice principale au fost enumerate mai sus în articol. un corp solid este descris prin următoarele formule:

θ = ω*t => ω = const., α = 0;

θ = ω 0 *t + α*t 2 /2 => ω = ω 0 + α*t, α = const.

Prima linie conține formule de rotație uniformă, care presupune absența unui moment extern al forțelor care acționează asupra sistemului. A doua linie conține formule pentru mișcare uniform acceleratăîn jurul circumferinței.

Rețineți că rotația poate apărea nu numai cu o accelerație pozitivă, ci și cu una negativă. În acest caz, în formulele din al doilea rând, ar trebui să puneți semnul minus în fața celui de-al doilea termen.

Exemplu de rezolvare a problemei

Un moment de forta de 1000 N*m a actionat asupra arborelui metalic timp de 10 secunde. Știind că momentul de inerție al arborelui este de 50 kg * m 2, este necesar să se determine viteza unghiulară pe care respectivul moment de forță a dat-o arborelui.

Aplicând ecuația de bază a rotației, calculăm accelerația arborelui:

Deoarece această accelerație unghiulară a acționat asupra arborelui în timpul t = 10 secunde, folosim formula pentru mișcarea accelerată uniform pentru a calcula viteza unghiulară:

ω = ω 0 + α*t = M/I*t.

Aici ω 0 = 0 (arborele nu s-a rotit până în momentul forțelor M).

Înlocuim valorile numerice ale cantităților în egalitate, obținem:

ω \u003d 1000/50 * 10 \u003d 200 rad / s.

Pentru a traduce acest număr în rotațiile obișnuite pe secundă, trebuie să-l împărțiți la 2 * pi. După finalizarea acestei acțiuni, obținem că arborele se va roti la o frecvență de 31,8 rpm.

Acest articol descrie o secțiune importantă a fizicii - „Cinematica și dinamica mișcării de rotație”.

Concepte de bază ale cinematicii mișcării de rotație

Mișcarea de rotație a unui punct material în jurul unei axe fixe este o astfel de mișcare, a cărei traiectorie este un cerc situat într-un plan perpendicular pe axă, iar centrul său se află pe axa de rotație.

Mișcarea de rotație a unui corp rigid este o mișcare în care toate punctele corpului se mișcă de-a lungul cercurilor concentrice (ale căror centre se află pe aceeași axă) în conformitate cu regula pentru mișcarea de rotație a unui punct material.

Fie ca un corp rigid T arbitrar să efectueze rotații în jurul axei O, care este perpendiculară pe planul figurii. Să alegem mai departe acest corp punctul M. În timpul rotației, acest punct va descrie un cerc în jurul axei O cu o rază r.

După ceva timp, raza se va roti în raport cu poziția inițială cu un unghi Δφ.

Direcția șurubului drept (în sensul acelor de ceasornic) este luată ca direcție pozitivă de rotație. Modificarea unghiului de rotație cu timpul se numește ecuația mișcării de rotație a unui corp rigid:

φ = φ(t).

Dacă φ se măsoară în radiani (1 rad este unghiul corespunzător unui arc cu lungimea egală cu raza sa), atunci lungimea arcului circular ΔS, pe care punctul material M îl va trece în timp Δt, este egală cu:

∆S = ∆φr.

Elementele principale ale cinematicii mișcării uniforme de rotație

O măsură a mișcării unui punct material într-o perioadă scurtă de timp dt servește ca vector elementar de rotație dφ.

Viteza unghiulară a unui punct sau corp material este cantitate fizica, care este determinat de raportul dintre vectorul de viraj elementar și durata acestei viraj. Direcția vectorului poate fi determinată de regula șurubului drept de-a lungul axei O. În formă scalară:

ω = dφ/dt.

Dacă ω = dφ/dt = const, atunci o astfel de mișcare se numește mișcare uniformă de rotație. Cu ea, viteza unghiulară este determinată de formula

ω = φ/t.

Conform formulei preliminare, dimensiunea vitezei unghiulare

[ω] = 1 rad/s.

Mișcarea uniformă de rotație a unui corp poate fi descrisă printr-o perioadă de rotație. Perioada de rotație T este o mărime fizică care determină timpul necesar corpului pentru a finaliza o rotație completă în jurul axei de rotație ([T] = 1 s). Dacă în formula pentru viteza unghiulară luăm t = T, φ = 2 π (o rotație completă a razei r), atunci

ω = 2π/T,

Prin urmare, perioada de rotație este definită după cum urmează:

T = 2π/ω.

Numărul de rotații pe care un corp le face pe unitatea de timp se numește frecvența de rotație ν, care este egală cu:

ν = 1/T.

Unități de frecvență: [ν] \u003d 1 / c \u003d 1 c -1 \u003d 1 Hz.

Comparând formulele pentru viteza unghiulară și frecvența de rotație, obținem o expresie care raportează aceste mărimi:

ω = 2πν.

Elementele principale ale cinematicii mișcării de rotație neuniforme

Mișcarea de rotație neuniformă a unui corp rigid sau a unui punct material în jurul unei axe fixe caracterizează viteza sa unghiulară, care se modifică în timp.

Vector ε care caracterizează viteza de schimbare a vitezei unghiulare se numește vector de accelerație unghiulară:

ε = dω/dt.

Dacă corpul se rotește, accelerând, adică dω/dt > 0, vectorul are o direcție de-a lungul axei în aceeași direcție cu ω.

Dacă mișcarea de rotație este încetinită - dω/dt< 0 , atunci vectorii ε și ω sunt direcționați opus.

cometariu. Când are loc o mișcare de rotație neuniformă, vectorul ω se poate schimba nu numai în mărime, ci și în direcție (când axa de rotație este rotită).

Relația dintre mărimile care caracterizează mișcarea de translație și de rotație

Se știe că lungimea arcului cu unghiul de rotație al razei și valoarea lui este legată de relația

∆S = ∆φr.

Apoi viteza liniară a unui punct material care efectuează o mișcare de rotație

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Accelerația normală a unui punct material care efectuează o mișcare de translație de rotație este definită după cum urmează:

a = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

Deci, în formă scalară

a = ω 2 r.

Punct material tangenţial accelerat care efectuează mişcare de rotaţie

a = εr.

Momentul unghiular al unui punct material

Produsul vectorial dintre raza-vector al traiectoriei unui punct material cu masa m i și impulsul său se numește momentul unghiular al acestui punct în jurul axei de rotație. Direcția vectorului poate fi determinată folosind regula cu șurub potrivită.

Momentul unghiular al unui punct material ( L i) este îndreptată perpendicular pe planul trasat prin r i și υ i , și formează cu ei triplul drept al vectorilor (adică la deplasarea de la capătul vectorului). r i la υ șurubul din dreapta va arăta direcția vectorului L i).

În formă scalară

L = m i υ i r i sin(υ i , r i).

Având în vedere că la deplasarea într-un cerc, vectorul rază și vectorul viteză liniară pt al-lea material punctele sunt reciproc perpendiculare,

sin(υ i , r i) = 1.

Deci, momentul unghiular al unui punct material pentru mișcarea de rotație va lua forma

L = m i υ i r i .

Momentul forței care acționează asupra i-lea punct material

Produsul vectorial al razei-vector, care este tras la punctul de aplicare al forței, iar această forță se numește momentul forței care acționează asupra i-lea punct material față de axa de rotație.

În formă scalară

M i = r i F i sin(r i , F i).

Având în vedere că r i sinα = l i ,M i = l i F i .

Valoare l i , egală cu lungimea perpendicularei căzute din punctul de rotație la direcția forței, se numește brațul forței F i.

Dinamica rotațională

Ecuația pentru dinamica mișcării de rotație se scrie după cum urmează:

M = dL/dt.

Formularea legii este următoarea: viteza de modificare a momentului unghiular al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egală cu momentul rezultat în jurul acestei axe a tuturor forțelor externe aplicate corpului.

Momentul de impuls și momentul de inerție

Se știe că pentru al-lea punct material momentul unghiular în formă scalară este dat de formula

L i = m i υ i r i .

Dacă în locul vitezei liniare înlocuim expresia acesteia în termenii celei unghiulare:

υ i = ωr i ,

atunci expresia pentru momentul unghiular va lua forma

L i = m i r i 2 ω.

Valoare I i = m i r i 2 se numeste momentul de inertie cca axele i-a punct material al unui corp absolut rigid care trece prin centrul său de masă. Apoi scriem momentul unghiular al punctului material:

L i = I i ω.

Scriem momentul unghiular al unui corp absolut rigid ca suma momentului unghiular al punctelor materiale care alcătuiesc acest corp:

L = Iω.

Momentul de forță și momentul de inerție

Legea rotației spune:

M = dL/dt.

Se știe că momentul unghiular al unui corp poate fi reprezentat în termeni de momentul de inerție:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Având în vedere că accelerația unghiulară este determinată de expresie

ε = dω/dt,

obținem formula momentului de forță, reprezentat prin momentul de inerție:

M = Adică.

Cometariu. Momentul de forță este considerat pozitiv dacă accelerația unghiulară prin care este cauzat este mai mare decât zero și invers.

teorema lui Steiner. Legea adunării momentelor de inerție

Dacă axa de rotație a corpului nu trece prin centrul său de masă, atunci momentul său de inerție poate fi găsit în raport cu această axă folosind teorema Steiner:
I \u003d I 0 + ma 2,

Unde eu 0- momentul inițial de inerție al corpului; m- masa corpului; A- distanta intre axe.

Dacă sistemul care se rotește în jurul axei fixe este format din n corpuri, atunci momentul total de inerție al acestui tip de sistem va fi egal cu suma momentelor componentelor sale (legea adunării momentelor de inerție).