Și de ce este nevoie. Știm deja ce sunt un cadru de referință, relativitatea mișcării și un punct material. Ei bine, este timpul să trecem mai departe! Aici vom trece în revistă conceptele de bază ale cinematicii, vom reuni cele mai utile formule privind elementele de bază ale cinematicii și vom oferi un exemplu practic de rezolvare a problemei.
Să rezolvăm următoarea problemă: Un punct se deplasează într-un cerc cu o rază de 4 metri. Legea mișcării sale este exprimată prin ecuația S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. În ce moment este accelerația normală a unui punct egală cu 9 m/s^2? Aflați viteza, accelerația tangențială și totală a punctului pentru acest moment de timp.
Soluție: știm că pentru a găsi viteza, trebuie să luăm derivata primară a legii mișcării, iar accelerația normală este egală cu pătratul privat al vitezei și cu raza cercului de-a lungul căruia se mișcă punctul . Înarmați cu aceste cunoștințe, găsim valorile dorite.
Ai nevoie de ajutor pentru rezolvarea problemelor? Un serviciu pentru studenți profesioniști este pregătit să îl ofere.
Mişcare punct material de-a lungul unei traiectorii curbilinii este întotdeauna accelerată, deoarece, chiar dacă viteza nu se modifică în valoare numerică, se schimbă întotdeauna în direcție.
În cazul general, accelerația în timpul mișcării curbilinie poate fi reprezentată ca suma vectoriala accelerare tangenţială (sau tangenţială). t si acceleratie normala n: =t+n- orez. 1.4.
Accelerația tangențială caracterizează rata de modificare a vitezei modulo. Valoarea acestei accelerații va fi:
Accelerația normală caracterizează rata de schimbare a vitezei în direcție. Valoarea numerică a acestei accelerații, unde r- raza cercului contiguu, i.e. un cerc prin trei puncte infinit apropiate B¢ , A, B culcat pe curbă (Fig. 1.5). Vector nîndreptată de-a lungul normalei la traiectoria către centrul de curbură (centrul cercului contiguu).
Valoarea numerică a accelerației complete
Unde - viteză unghiulară.
unde este accelerația unghiulară.
Accelerația unghiulară este numeric egală cu modificarea vitezei unghiulare pe unitatea de timp.
În concluzie, dăm un tabel în care se stabilește o analogie între parametrii cinematici liniari și unghiulari ai mișcării.
Sfârșitul lucrării -
Acest subiect aparține:
Curs scurt de fizică
Ministerul Educației și Științei al Ucrainei. Academia Națională Maritimă din Odesa..
Dacă aveți nevoie de material suplimentar pe această temă, sau nu ați găsit ceea ce căutați, vă recomandăm să utilizați căutarea în baza noastră de date de lucrări:
Ce vom face cu materialul primit:
Dacă acest material s-a dovedit a fi util pentru dvs., îl puteți salva pe pagina dvs. de pe rețelele sociale:
| tweet |
Toate subiectele din această secțiune:
Unități SI de bază
În prezent este general acceptat Sistemul internațional unități - SI. Acest sistem conține șapte unități de bază: metru, kilogram, secundă, mol, amper, kelvin, candela și două suplimentare -
Mecanica
Mecanica - știința mișcării mecanice corpuri materialeși interacțiunile care au loc între ei. Sub mișcare mecanicăînțelegeți schimbarea în timp a sexului reciproc
legile lui Newton
Dinamica este o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor materiale sub influența forțelor aplicate acestora. Mecanica se bazează pe legile lui Newton. Prima lege a lui Newton
Legea conservării impulsului
Luați în considerare derivarea legii conservării impulsului bazată pe a doua și a treia lege a lui Newton.
Relația dintre muncă și modificarea energiei cinetice
Orez. 3.3 Lăsați un corp de masă m să se miște de-a lungul axei x sub
Relația dintre muncă și schimbarea energiei potențiale
Orez. 3.4 Vom stabili această legătură folosind exemplul muncii forței gravitaționale
Legea conservării energiei mecanice
Luați în considerare un sistem conservator închis de corpuri. Aceasta înseamnă că forțele externe nu acționează asupra corpurilor sistemului, ci forțe interne sunt în mod inerent conservatori. Mecanic complet
ciocniri
Să luăm în considerare un caz important de interacțiune a corpurilor rigide - ciocniri. Ciocnirea (impactul) este fenomenul unei modificări finite a vitezelor corpurilor solide pe perioade foarte scurte de timp când acestea nu sunt
Legea de bază a dinamicii mișcării de rotație
Orez. 4.3 Pentru a deriva această lege, luați în considerare cazul cel mai simplu
Legea conservării momentului unghiular
Luați în considerare un corp izolat, de ex. un corp asupra căruia nu acționează un moment extern de forță. Atunci Mdt = 0 și (4.5) implică d(Iw)=0, adică, iw=const. Dacă sistemul izolat este
Giroscop
Un giroscop este un simetric solid, care se rotește în jurul unei axe care coincide cu axa de simetrie a corpului, care trece prin centrul de masă și care corespunde celui mai mare moment intrinsec de inerție.
Caracteristicile generale ale proceselor oscilatorii. Vibrații armonice
Oscilațiile se numesc mișcări sau procese care au unul sau altul grad de repetare în timp. În inginerie, dispozitivele care utilizează procese oscilatorii pot efectua op
Oscilațiile unui pendul cu arc
Orez. 6.1 Fixăm un corp de masă m la capătul arcului, care poate
Energia de oscilație armonică
Să luăm acum în considerare, folosind exemplul pendulului cu arc, procesele de schimbare a energiei într-o oscilație armonică. În mod evident, energia totală a pendulului cu arc este W=Wk+Wp, unde cinetica
Adăugarea oscilațiilor armonice de aceeași direcție
Rezolvarea unui număr de probleme, în special, adăugarea mai multor oscilații de aceeași direcție, este mult facilitată dacă oscilațiile sunt reprezentate grafic, sub formă de vectori pe un plan. A primit asta
vibrații amortizate
În condiții reale, în sistemele care oscilează, există întotdeauna forțe de rezistență. Ca urmare, sistemul își cheltuiește treptat energia pentru a lucra împotriva forțelor de rezistență și
Vibrații forțate
În condiții reale, un sistem oscilant pierde treptat energie pentru a depăși forțele de frecare, astfel încât oscilațiile sunt amortizate. Pentru ca oscilațiile să fie neamortizate, este necesar într-un fel
Unde elastice (mecanice).
Procesul de propagare a perturbațiilor într-o substanță sau câmp, însoțit de transferul de energie, se numește undă. Unde elastice - procesul de propagare mecanic într-un mediu elastic
Interferența undelor
Interferența este fenomenul de suprapunere a undelor din două surse coerente, care are ca rezultat o redistribuire a intensității undelor în spațiu, adică. apare interferența
valuri stătătoare
Un caz special de interferență este formarea undelor staționare. Undele stătătoare apar din interferența a două unde coerente opuse cu aceeași amplitudine. O astfel de situație poate
Efectul Doppler în acustică
Undele sonore sunt numite unde elastice cu frecvențe de la 16 la 20.000 Hz, percepute de urechea umană. Undele sonore în mediile lichide și gazoase sunt longitudinale. Greul
Ecuația de bază a teoriei cinetice moleculare a gazelor
Considerați un gaz ideal drept cel mai simplu model fizic. Un gaz ideal este un astfel de gaz pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) dimensiunile moleculelor sunt atât de mici încât h
Distribuția vitezei moleculelor
Fig. 16.1 Să presupunem că am reușit să măsurăm vitezele tuturor
formula barometrică
Luați în considerare comportamentul unui gaz ideal într-un câmp gravitațional. După cum știți, pe măsură ce vă ridicați de la suprafața Pământului, presiunea atmosferei scade. Să aflăm dependența presiunii atmosferice de înălțime
distribuția Boltzmann
Să exprimăm presiunea gazului la înălțimile h și h0 în termeni de numărul corespunzător de molecule pe unitatea de volum ap u0, presupunând că la diferite înălțimi T=const: P =
Prima lege a termodinamicii și aplicarea ei la izoprocese
Prima lege a termodinamicii este o generalizare a legii conservării energiei, luând în considerare procesele termice. Formularea sa: cantitatea de căldură comunicată sistemului este cheltuită pentru a lucra
Numărul de grade de libertate. Energia internă a unui gaz ideal
Numărul de grade de libertate este numărul de coordonate independente care descriu mișcarea unui corp în spațiu. Un punct material are trei grade de libertate, de când se mișcă în n
proces adiabatic
Un proces adiabatic este un proces care are loc fără schimb de căldură cu mediul. Într-un proces adiabatic, dQ = 0, deci prima lege a termodinamicii aplicată acestui proces este
Procese reversibile și ireversibile. Procese circulare (cicluri). Principiul de funcționare a unui motor termic
Procesele reversibile sunt cele care îndeplinesc următoarele condiții. 1. După trecerea prin aceste procese și readucerea sistemului termodinamic la starea inițială în
Motorul termic ideal al lui Carnot
Orez. 25.1 În 1827, inginerul militar francez S. Carnot, re
A doua lege a termodinamicii
Prima lege a termodinamicii, care este o generalizare a legii conservării energiei, luând în considerare procesele termice, nu indică direcția fluxului diferitelor procese din natură. Da, primul
Nu este posibil niciun proces al cărui singur rezultat ar fi transferul de căldură de la un corp rece la unul fierbinte.
Într-un frigider, căldura este transferată de la un corp rece (congelator) la unul mai cald. mediu inconjurator. S-ar părea că aceasta contrazice a doua lege a termodinamicii. De fapt împotriva
Entropie
Să introducem acum un nou parametru al stării unui sistem termodinamic - entropia, care diferă fundamental de alți parametri de stare în direcția schimbării sale. Trădare elementară
Sarcină electrică discretă. Legea conservării sarcinii electrice
sursă câmp electrostatic servește ca sarcină electrică - o caracteristică internă a unei particule elementare, care determină capacitatea acesteia de a intra în interacțiuni electromagnetice.
Energia câmpului electrostatic
Să găsim mai întâi energia unui condensator plat încărcat. Evident, această energie este numeric egală cu munca care trebuie făcută pentru a descărca condensatorul.
Principalele caracteristici ale curentului
Un curent electric este o mișcare ordonată (dirijată) a particulelor încărcate. Puterea curentului este numeric egală cu sarcina care a trecut prin secțiunea transversală a conductorului pe unitate
Legea lui Ohm pentru o secțiune omogenă a lanțului
O secțiune a unui circuit care nu conține o sursă de fem se numește omogenă. Ohm a stabilit experimental că puterea curentului într-o secțiune omogenă a circuitului este proporțională cu tensiunea și invers proporțională cu
Legea Joule-Lenz
Joule și, independent de el, Lenz au stabilit experimental că cantitatea de căldură degajată într-un conductor cu rezistența R în timpul dt, este proporțională cu pătratul puterii curentului, rezistenței.
Kirchhoff guvernează
Orez. 39.1 Pentru calculul circuitelor complexe de curent continuu, utilizați
Diferența de potențial de contact
Dacă doi conductori metalici diferiți sunt aduși în contact, atunci electronii se pot deplasa de la un conductor la altul și înapoi. Starea de echilibru a unui astfel de sistem
efect Seebeck
Orez. 41.1 Într-un circuit închis de două metale diferite per g
Efectul Peltier
Al doilea fenomen termoelectric - efectul Peltier este acela la trecere curent electric prin contactul a doi conductori diferiți, eliberează sau absoarbe
Viteză. Cale.
Lăsați punctul material să se miște în CO ales. Se numește vectorul tras de la poziția inițială a punctului până la poziția finală in miscare(). Apoi se numește mărimea vectorială viteza medie de deplasare. Se numeste lungimea sectiunii traiectoriei parcurse de punctul din interval prin S(). viteza medie caracterizează viteza și direcția mișcării particulelor. Viteza medie a corpului de-a lungul traiectoriei se caracterizează prin viteza medie la sol. Cât de repede și în ce direcție se mișcă corpul la un moment dat caracterizează t viteza instantanee 
. Viteza instantanee la sol. Când Modulul vitezei instantanee este egal cu viteza solului instantanee Viteza instantanee este întotdeauna direcționată tangențial la traiectorie. Pentru o deplasare infinitezimală . Pentru intervale mici se efectuează aproximativ.
Viteza este o mărime vectorială, deci poate fi scrisă ca 
. Pe cealaltă parte. Prin urmare, proiecția vitezei... Valoarea (modulul) vitezei.
Expresie pentru viteza în coordonate polare(): , . Direcția este dată de un unghi sau de un vector unitar. Vector rază al unui punct, 
, este un vector unitar perpendicular pe . 
.
Calea parcursă de particulă de la până la .
Accelerare. Accelerații normale și tangenţiale.
Când un punct material se mișcă, viteza lui se schimbă atât în mărime, cât și în direcție. Cât de repede se întâmplă acest lucru la un moment arbitrar în timp este caracterizat de mărimea vectorială accelerare. . Proiecție vectorială de accelerație 
…
Luați în considerare mișcarea unei particule într-un plan. Viteza este direcționată de-a lungul unei traiectorii tangente, deci putem scrie . Aici vectorul unitar specifică direcția tangentei, .
Accelerația, direcționată tangențial la traiectorie, determinată de viteză, modificarea mărimii vitezei, sau modul, se numește accelerația tangențială.
– accelerație normală(caracterizează viteza de schimbare a direcției vitezei), este un vector unitar, perpendicular și îndreptat în interiorul curbei, R este raza de curbură a dreptei.
a treia lege a lui Newton. Principiul relativității lui Galileo.
a 3-a lege a lui Newton: forțele cu care 2 corpuri acționează unul asupra celuilalt sunt egale ca mărime, opuse ca direcție, se află pe aceeași linie dreaptă care trece prin corpuri și au aceeași natură fizică.
Cele trei legi ale lui Newton ne permit să rezolvăm sarcina principală a dinamicii: pe forțe atribuite, poziția inițială și vitezele inițiale ale corpurilor, puteți determina mișcarea ulterioară sistem mecanic. legea 1 oferă un criteriu pentru găsirea ISO; a 2-a lege dă ecuația dinamică a mișcării; a 3-a lege vă permite să intrați în considerare toate forțele care acționează în sistem. În timpul trecerii unui ISO la altul ISO, vitezele sunt transformate conform legii, iar accelerația -, i.e. accelerația corpurilor nu se modifică, la fel ca și forțele, prin urmare, ecuația legii a 2-a rămâne neschimbată. Prin urmare, pentru aceeași condiții inițiale(coordonate și viteze) obținem aceeași soluție în ambele cazuri. Deci ISO-urile sunt echivalente.
Principiul relativității lui Galileo: toate fenomenele mecanice din diferite IFR-uri se desfășoară în același mod în aceleași condiții inițiale, drept urmare este imposibil să se identifice orice IFR ca fiind absolut în repaus.
Legea conservării impulsului.
În mecanică, există 3 fundamentale legea conservării(este o funcție de coordonatele vitezei și timpului particulelor, care rămâne constantă în timpul mișcării). Legile de conservare fac posibilă rezolvarea problemelor folosind ecuații diferențiale de ordinul I. Mărimea vectorială se numește impuls punct material (impuls - impuls). Din legea a 2-a a lui Newton rezultă că rata de schimbare a impulsului unui sistem mecanic este egală cu suma forțelor externe care acționează asupra sistemului. N este numărul de puncte materiale. Un sistem asupra căruia nu acționează forțele externe este numit închis, sau izolat. Pentru un sistem închis, partea dreaptă a ecuației este 0. Prin urmare, 
. Primim legea conservării impulsului: impulsul unui sistem închis se păstrează (nu se modifică) în timp.
Legea conservării impulsului este o consecință a omogenității spațiului. Note: 1) Momentul unui sistem deschis se va păstra dacă forțele exterioare se compensează între ele, iar rezultanta lor = 0; 2) dacă rezultanta forțelor externe , dar = 0 proiecția ei pe o anumită direcție (ex. OX), atunci proiecția impulsului pe această direcție se va păstra; 3) dacă sunt prezente forțe externe, dar se ia în considerare un proces pe termen scurt (impact, explozie), atunci forțele externe care acționează pot fi neglijate și se poate folosi legea conservării impulsului, , deoarece dt este mic, atunci impulsul forțelor externe este mic și poate fi neglijat.
Să fie dat un sistem de puncte materiale, cu mase , ale căror vectori de rază relativ la o anumită origine O . Se numește punctul C, al cărui vector rază este determinat de expresie centru de masă, sau centrul de inerție al sistemului. Poziția sa față de corpuri nu depinde de alegerea lui O. Viteza centrului de masă 
. ISO asociat cu centrul de masă se numește sistem de centru de greutate.
forțe conservatoare.
Interacțiunea dintre corpurile situate la o anumită distanță unele de altele se realizează prin intermediul câmpurilor de forță create în întreg spațiul înconjurător. Dacă câmpul nu se modifică, atunci un astfel de câmp este apelat staționar. Să existe un punct O (centrul câmpului de forță) astfel încât în orice punct din spațiu forța care acționează asupra particulei să se afle pe o dreaptă care trece prin punct dat spațiu și centru de putere. Dacă modulul de forțe depinde doar de distanța dintre aceste puncte, atunci avem câmpul de forță central(ex. Câmp Coulomb). Dacă în toate punctele din spațiu forța este aceeași ca mărime și direcție, atunci se spune despre câmp de forță uniform. Dacă munca efectuată asupra particulei de forțele unui câmp staționar nu depinde de alegerea traiectoriei de mișcare, este determinată doar de pozițiile inițiale și finale ale corpurilor, atunci un astfel de câmp se numește conservator.
1) câmpul gravitațional se numește omogen staționar. . Prin urmare, câmpul gravitațional este conservator.
2) câmpul de forță elastică. . Prin urmare, câmpul de forță elastică este conservator.
3) Să arătăm că orice câmp de forță central este conservator. 
, . . Aici, munca este determinată de pozițiile de început și de sfârșit ale punctelor, și nu de tipul de traiectorie. Prin urmare, câmpul de forță central este conservator. Forțele centrale sunt:
1) Forța de interacțiune Coulomb , .
2) forța gravitațională de interacțiune, 
.
O definiție echivalentă a forțelor conservatoare este: forța se numește conservator, dacă lucrează pe o traiectorie închisă arbitrară = 0.
Sarcina a 2 corpuri.
Sarcina a 2 corpuri asupra mișcării unui sistem izolat de 2 puncte materiale care interacționează între ele. Datorită izolării sistemului, impulsul acestuia este conservat, iar centrul de masă se mișcă cu o viteză constantă față de cadrul de referință K'. Acest lucru vă permite să mergeți la sistemul de centru de masă (va fi inerțial, ca K'). este vectorul rază relativ la . sunt vectorii cu rază și relativ la C. Compunem sistemul: 
. Rezolvând sistemul, obținem: , . Mișcarea corpurilor este determinată de forțele , . Luați în considerare legea a 3-a a lui Newton și izotropia spațiului(dacă rotația CO la un unghi arbitrar nu duce la o modificare a rezultatelor măsurătorii). Obținem ecuațiile: 
, 
. Rezolvăm, ca rezultat obținem: 
.
Centrul de masă al unui corp rigid se mișcă în același mod în care un punct material de masă m s-ar deplasa sub acțiunea tuturor forțelor externe care acționează asupra unui corp rigid.
Giroscoape.
Giroscop(sau vârf) - un corp solid masiv, simetric față de o anumită axă, care se rotește în jurul lui cu viteză unghiulară mare. Datorită simetriei giroscopului, . Când încercați să rotiți un giroscop rotativ în jurul unei anumite axe, se observă efect giroscopic- sub acţiunea unor forţe care, se pare, ar fi trebuit să determine axa giroscopului OO să se rotească în jurul dreptei O'O', axa giroscopului se roteşte în jurul liniei drepte O''O'' (axa OO iar linia dreaptă O'O' se presupune că se află în planul desenului, iar linia dreaptă O''O'' și forțele f1 și f2 sunt perpendiculare pe acest plan). Explicația efectului se bazează pe utilizarea ecuației momentului. Momentul unghiular se rotește în jurul axei OX datorită relației . Împreună cu giroscopul se rotește în jurul lui OX. Datorită efectului giroscopic asupra rulmentului pe care se rotește giroscopul, acestea încep să acționeze forte giroscopice. Sub acțiunea forțelor giroscopice, axa giroscopului tinde să ia o poziție paralelă cu viteza unghiulară de rotație a Pământului.
Comportamentul descris al giroscopului este baza busolă giroscopică. Avantajele giroscopului: indică direcția exactă către zona geografică polul Nord, activitatea sa nu este afectată de obiectele metalice.
Precesia giroscopului – un fel special Mișcarea giroscopului are loc dacă momentul forțelor externe care acționează asupra giroscopului, rămânând constant ca mărime, se rotește simultan cu axa giroscopului, formând tot timpul un unghi drept cu acesta. Luați în considerare mișcarea unui giroscop cu un punct fix pe axă sub acțiunea gravitației, este distanța de la punctul fix până la centrul de inerție al giroscopului, este unghiul dintre giroscop și verticală. momentul este îndreptat perpendicular pe planul vertical care trece prin axa giroscopului. Ecuația mișcării: creșterea impulsului = Prin urmare, își schimbă poziția în spațiu în așa fel încât capătul său descrie un cerc în plan orizontal. Pentru o perioadă de timp, giroscopul sa rotit printr-un unghi 
axa giroscopului descrie un con în jurul axei verticale cu o viteză unghiulară 
este viteza unghiulară a precesiei.
Vibrații armonice.
fluctuatii- procese caracterizate prin grade variate de repetabilitate în timp. În funcție de natura fizică a procesului care se repetă, se disting oscilații: mecanice, electromagnetice, electromecanice și altele. Toate aceste procese, în ciuda naturii lor fizice diferite, sunt descrise de aceleași ecuații matematice și au o serie proprietăți comune. Să considerăm o minge mică de masă m suspendată pe un arc elastic ușor de rigiditate k. In pozitia de echilibru (x=0), suma fortelor care actioneaza asupra bilei este 0, i.e. . Când mingea se abate de la poziția de echilibru, mișcarea ei va fi descrisă prin ecuația: . Scriem ecuația sub următoarea formă: . Poziția corpului este descrisă prin funcția cosinus (sau sinus), care se numește armonică, astfel încât astfel de oscilații se numesc armonic. – amplitudinea oscilației- dă abatere maxima din pozitia de echilibru. - faza de oscilatie - este determinata de deplasarea corpului la un moment dat. - faza initiala. Funcția cosinus are o perioadă. Aceasta înseamnă că starea corpului oscilant se repetă atunci când faza se schimbă cu . Se apelează intervalul de timp în care faza se schimbă perioada de oscilatie . Perioadă este timpul necesar pentru o oscilație completă. Frecvența de oscilație este numărul de oscilații pe unitatea de timp, 
. 
– frecvență circulară (ciclică)., adică numărul de vibrații pe secundă. Cunoscând poziția inițială și viteza corpului, putem determina amplitudinea și faza inițială: 
.Mișcarea corpului în timpul oscilației armonice are loc sub acțiune forță cvasielastică: , care este conservatoare, și, prin urmare, legea conservării energiei , . Valoarea medie a energiilor cinetice și potențiale cu timpul: 
.
vibrații amortizate.
În sistemele fizice reale, forțele de rezistență acționează întotdeauna, în urma cărora amplitudinea oscilației scade în timp. Să considerăm mișcarea unui corp într-un mediu vâscos, când forțele de rezistență sunt opuse vitezei corpului: , este coeficientul de rezistență. . Înlocuiește în schimb - ecuația diferențială de ordinul al 2-lea este redusă la o pătratică ecuație algebrică. Un proces oscilator este posibil dacă forțele de rezistență sunt suficient de mici. Aceasta înseamnă că condiția trebuie îndeplinită. În acest caz . Prin urmare, soluția generală a ecuației noastre va fi funcția - legea cinematică a oscilațiilor amortizate. Putem spune că oscilațiile armonice se observă cu o frecvență , în timp ce amplitudinea oscilațiilor scade conform unei legi exponențiale. Rata de dezintegrare este determinată de valoare factorul de amortizare. Se caracterizează și atenuarea scădere de amortizare, care arată de câte ori a scăzut amplitudinea oscilațiilor într-un timp egal cu perioada: . Logaritmul acestei expresii se numește scădere logaritmică de amortizare: . În sistemele amortizate, o astfel de valoare este folosită și ca factor de calitate: .
ecuația de undă.
Ecuația oricărei unde este soluția unora ecuație diferențială numit val. Pe baza proprietăților fizice ale mediului și a legilor de bază ale mecanicii, obținem ecuația de undă dintr-o expresie explicită pentru ecuația de undă plană.
Se poate scrie:- ecuația de undă. Ecuația de undă va fi satisfăcută de orice undă de frecvență arbitrară care se propagă la o viteză . determinat proprietăți fizice mediu inconjurator. În cazul unei unde plane care se propagă în direcția x, ecuația de undă se scrie astfel: 
.
Energia unei unde elastice.
Lăsați plat undă longitudinală se propagă în direcția OX într-un mediu elastic. Ecuația ei este: Particulele mediului, care se abat de la poziția de echilibru, se mișcă cu anumite viteze. Prin urmare, au energii cinetice și potențiale. Să evidențiem un volum cilindric V în mediu cu o suprafață de bază S și o înălțime x. Valoarea sa este de așa natură încât să putem lua în considerare viteza particulelorși despre deplasare relativă aceeași. Energie, incluse în acest volum. Prin urmare, densitatea energiei undelor elastice 
. Substituim ecuația de undă plană în ea, transformăm și folosim faptul că: . Apoi găsiți cu densitatea energetică medie a perioadei: . Din expresia pentru densitatea de energie se poate observa că valoarea acesteia variază în timp de la 0 la o anumită valoare maximă, ceea ce înseamnă că energia din sursele de oscilație este transferată printr-o undă dintr-un loc în altul în spațiu cu o viteză. Unda realizează procesul de transfer de energie, dar nu de materie. Transferul de energie se realizează prin forțele de interacțiune elastică dintre particulele mediului. Se numește cantitatea de energie transferată printr-o anumită suprafață pe unitatea de timp flux de energie prin aceasta suprafata: . Pentru o descriere mai detaliată a procesului de transfer de energie, se folosește vectorul densitatea fluxului energetic. În mărime, este egal cu fluxul de energie transferat prin zona perpendiculară pe direcția de propagare a undei, împărțit la aria acestei zone: 
- ultimul lucru - Vector Umov. În direcție, coincide cu direcția de propagare a undei. Media 
. Modulul acestei expresii se numește intensitatea undei.
Adăugarea vitezelor în SRT.
În secolul al XIX-lea, mecanica clasică s-a confruntat cu problema extinderii acestei reguli pentru adăugarea de viteze la procesele optice (electromagnetice). În esență, a existat un conflict între cele două idei ale mecanicii clasice, transferate într-un nou câmp de procese electromagnetice. De exemplu, dacă luăm în considerare exemplul undelor de pe suprafața apei din secțiunea anterioară și încercăm să-l generalizăm la undele electromagnetice, atunci obținem o contradicție cu observațiile (vezi, de exemplu, experimentul lui Michelson). Regula clasică de adunare a vitezelor corespunde transformării coordonatelor dintr-un sistem de axe în alt sistem, deplasându-se față de primul fără accelerație. Dacă, cu o astfel de transformare, reținem conceptul de simultaneitate, adică putem considera două evenimente simultane nu numai atunci când sunt înregistrate într-un sistem de coordonate, ci și în orice alt sistem inerțial, atunci transformările se numesc galileene. . În plus, cu transformările galileene, distanța spațială dintre două puncte - diferența dintre coordonatele lor într-un IFR - este întotdeauna egală cu distanța lor într-un alt cadru inerțial. A doua idee este principiul relativității. Fiind pe o navă care se mișcă uniform și rectiliniu, este imposibil să se detecteze mișcarea acesteia prin unele efecte mecanice interne. Acest principiu se extinde la efectele optice? Este imposibil de descoperit mișcare absolută sisteme prin efectele optice sau, la fel, electrodinamice cauzate de această mișcare? Intuiția (în legătură destul de explicit cu principiul clasic al relativității) spune că mișcarea absolută nu poate fi detectată prin nici un fel de observație. Dar dacă lumina se propagă cu o anumită viteză în raport cu fiecare dintre cadrele inerțiale în mișcare, atunci această viteză se va schimba atunci când se trece de la un cadru la altul. Aceasta rezultă din regula clasică pentru adăugarea vitezelor. Matematic vorbind, mărimea vitezei luminii nu va fi invariabilă sub transformările galileene. Acest lucru încalcă principiul relativității sau, mai degrabă, nu permite extinderea principiului relativității la procesele optice. Astfel, electrodinamica a distrus legătura dintre două prevederi aparent evidente ale fizicii clasice - regula adunării vitezelor și principiul relativității. Mai mult, aceste două poziții aplicate electrodinamicii s-au dovedit a fi incompatibile. Teoria relativității oferă un răspuns la această întrebare. Extinde conceptul de principiul relativității, extinzându-l și la procesele optice. În acest caz, regula de adăugare a vitezelor nu este anulată deloc, ci este rafinată doar pentru viteze mari folosind transformarea Lorentz.
Dacă un obiect are componente de viteză în raport cu sistemul S și - în raport cu S", atunci există următoarea relație între ele:
În aceste relații, viteza relativă a cadrelor de referință v este direcționată de-a lungul axei x. Adunarea relativistă a vitezelor, ca și transformările Lorentz, la viteze mici () intră în legea clasică a adunării vitezelor.
Dacă un obiect se mișcă cu viteza luminii de-a lungul axei x în raport cu sistemul S, atunci va avea aceeași viteză în raport cu S ": . Aceasta înseamnă că viteza este invariantă (aceeași) în toate IFR-urile.
formula barometrică.
Formula barometrică dă dependența presiune atmosferică de la înălțimea măsurată de la suprafața Pământului. Se presupune că temperatura atmosferei nu se modifică odată cu înălțimea. Pentru a obține formula, selectăm un cilindru vertical: secțiune transversală S. În el este alocat un volum cilindric mic cu o înălțime dh. Este în echilibru: este afectat de forța gravitațională mg, forța de presiune a gazului îndreptată vertical în sus F1 și forța de presiune îndreptată vertical în jos F2. Suma lor = 0. În proiecție: -mg+ F1-. F2=0. Din ecuația Clapeyron-Mendeleev 
. Integram in intervalul de la 0 la si obtinem: - formula barometrică Este folosit pentru a determina înălțimea. Schimbările de temperatură pot fi neglijate.
presiunea gazului pe perete.
Distribuția Maxwell.
Să fie n molecule identice într-o stare de mișcare termică aleatorie la o anumită temperatură. După fiecare eveniment de coliziune între molecule, viteza lor se schimbă aleatoriu. Drept urmare, de neimaginat un numar mare coliziuni, se stabilește o stare de echilibru staționar, când numărul de molecule dintr-un interval dat de viteză rămâne constant.
Ca rezultat al fiecărei ciocniri, proiecțiile de viteză ale moleculelor suferă o modificare aleatorie cu , , , iar modificările fiecărei proiecții de viteză sunt independente unele de altele. Vom presupune că câmpurile de forță nu acționează asupra particulelor. Să aflăm în aceste condiții ce număr de particule dn din numărul total n are o viteză în intervalul de la υ la υ+Δυ. În același timp, nu putem spune nimic cert despre valoarea exactă a vitezei uneia sau alteia particule υi, deoarece este imposibil de urmărit ciocnirile și mișcările fiecăreia dintre molecule fie în experiment, fie în teorie. Astfel de informații detaliate ar fi cu greu de valoare practică.
Viteza este o mărime vectorială. Pentru proiecția vitezei pe axa x (a x-a componentă a vitezei), avem atunci 
unde A1 este o constantă egală cu
Reprezentarea grafică a funcției este prezentată în figură. Se poate observa că fracția de molecule cu viteză nu este egală cu zero. La , (în aceasta sens fizic constanta A1).
Expresia și graficul de mai sus sunt valabile pentru distribuția moleculelor de gaz pe componentele de viteză x. Evident, din componentele y și z ale vitezei se poate obține și: 
Probabilitatea ca viteza unei molecule să îndeplinească simultan trei condiții: componenta x a vitezei se află în intervalul de la , la + ,; componenta y, în intervalul de la +; Componenta z, în intervalul de la +d, va fi egală cu produsul probabilităților fiecărei condiții (evenimente) separat: 
unde, sau 
) este numărul de molecule dintr-un paralelipiped cu laturile , , d , adică într-un volum dV= d situat la distanță de origine în spațiul de viteză. Această valoare () nu poate depinde de direcția vectorului viteză. Prin urmare, este necesar să se obțină funcția de distribuție a moleculelor în termeni de viteze, indiferent de direcția acestora, adică în ceea ce privește valoarea absolută a vitezei. Dacă reunim toate moleculele pe unitate de volum, ale căror viteze sunt în intervalul de la υ la υ + dυ în toate direcțiile și le lăsăm afară, atunci într-o secundă se vor găsi într-un strat sferic cu o grosime de dυ și o rază de υ. Acest strat sferic este alcătuit din acele paralelipipede despre care 
menționat mai sus.
Volumul acestui strat sferic este de . Numărul total de molecule din strat: 
asta implică legea distribuției moleculelor după valori absolute ale vitezelor lui Maxwell: 
unde este fracția tuturor particulelor din stratul sferic de volum dV ale căror viteze se află în intervalul de la υ la υ+dυ. Pentru dv = 1 obținem probabilitate densitate, sau funcția de distribuție a vitezei moleculelor: 
Această funcție denotă fracția de molecule dintr-un volum unitar de gaz ale cărei viteze absolute sunt conținute într-un interval de viteză unitar care include viteza dată. Denota: 
si ia: 
Graficul acestei funcții este prezentat în figură. Asta e Distribuția Maxwell. Sau într-un alt fel
.
Entropie.
Entropia termodinamică S, adesea denumit pur și simplu entropie, în chimie și termodinamică este o funcție a stării unui sistem termodinamic. Conceptul de entropie a fost introdus pentru prima dată de Rudolf Clausius, care a definit modificarea entropiei unui sistem termodinamic la proces reversibil ca raport dintre modificarea cantității totale de căldură ΔQ și valoarea temperaturii absolute T (adică modificarea căldurii la o temperatură constantă): . De exemplu, la 0 °C, poate fi apă stare lichidași cu un ușor impact exterior, începe să se transforme rapid în gheață, eliberând în același timp o anumită cantitate de căldură. În acest caz, temperatura substanței rămâne 0 °C. Starea materiei se modifică, însoțită de o modificare a căldurii, ca urmare a unei modificări a structurii.
Această formulă este aplicabilă numai pentru un proces izoterm (care are loc la o temperatură constantă). Generalizarea lui la cazul unui proces cvasistatic arbitrar arată astfel: , unde dS este incrementul (diferențial) de entropie și δQ este o creștere infinit de mică a cantității de căldură. Trebuie remarcat faptul că definiția termodinamică considerată este aplicabilă numai pentru procese cvasi-statice(format din stări de echilibru continuu succesive).
Entropia este o cantitate aditivă, adică Entropia unui sistem este egală cu suma entropiilor părților sale individuale.
Set Boltzmann relația entropiei cu probabilitatea unei stări date. Mai târziu, această relație a fost prezentată sub forma formulei Planck: 
, unde constanta k = 1,38×10−23 J/K este numită constantă Boltzmann de către Planck, iar Ω este ponderea statistică (probabilitate termodinamică) a stării, este numărul de microstări (căi) posibile prin care se poate merge la o stare macroscopică dată. Acest postulat, numit principiul Boltzmann de Albert Einstein, a dat naștere mecanicii statistice, care descrie sisteme termodinamice, folosind comportamentul statistic al componentelor lor constitutive. Principiul lui Boltzmann leagă proprietățile microscopice ale unui sistem (Ω) cu una dintre proprietățile termodinamice ale acestuia (S). Conform definiției, entropia este o funcție a stării, adică nu depinde de modul în care se ajunge la această stare, ci este determinată de parametrii acestei stări. Deoarece Ω poate fi doar numar natural(1, 2, 3, ...), atunci entropia Boltzmann trebuie să fie nenegativă - pe baza proprietăților logaritmului.
Entropia în sisteme deschise:
În virtutea celei de-a doua legi a termodinamicii, entropia Si a unui sistem închis nu poate scădea ( legea entropiei nedescrescătoare). Matematic, aceasta poate fi scrisă astfel: , indicele i denotă așa-numita entropie internă corespunzătoare unui sistem închis. Într-un sistem deschis, căldura curge atât din sistem, cât și în el. Dacă există un flux de căldură, cantitatea de căldură δQ1 intră în sistem la temperatura T1 și cantitatea de căldură δQ2 iese la temperatura T2. Creșterea de entropie asociată acestor fluxuri de căldură este: 
În sistemele staţionare, de obicei δQ1 = δQ2, T1 > T2, astfel încât dSo< 0. Поскольку здесь изменение энтропии отрицательно, то часто употребляют выражение «приток негэнтропии», вместо оттока энтропии из системы. Negentropie este definit astfel ca reciproca entropiei.
Modificarea entropiei totale sistem deschis va fi egal cu: dS = dSi + dSo.
Tipuri de accelerații în SRT.
Deci, am arătat că există două tipuri de viteze măsurabile. În plus, viteza, măsurată în aceleași unități, este și ea foarte interesantă. Pentru valori mici, toate aceste viteze sunt egale.
Câte accelerații sunt? La ce accelerație ar trebui să fie constantă mișcare uniform accelerată rachetă relativistă, astfel încât astronautul să exercite mereu aceeași forță pe podeaua rachetei, pentru a nu deveni lipsit de greutate, sau pentru a nu muri din cauza supraîncărcărilor?
Introducem definiții tipuri diferite acceleratii.
Accelerarea coordonate-coordonate d v/dt este o schimbare viteza de coordonare, măsurat prin sincronizat ceasul de coordonate
d v/dt=d2 r/dt 2 .
Privind în perspectivă, observăm că d v/dt = 1 d v/dt = g 0 d v/dt.
Coordonează propria accelerație d v/dt este o schimbare coordona viteza măsurată prin propriul ceas
d v/dt=d(d r/dt)/dt = gd 2 r/dt 2 .
d v/dt = g 1 d v/dt.
Accelerație autocoordonată d b/dt este o schimbare proprii viteza măsurată prin sincronizare ceasul de coordonate, plasat în direcția de mișcare a corpului de testare:
d b/dt = d(d r/dt)/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt.
În cazul în care un v|| d v/dt, apoi d b/dt = g 3 d v/dt.
În cazul în care un v perpendicular pe d v/dt, apoi d b/dt=gd v/dt.
Accelerație proprie d b/dt este o schimbare proprii viteza măsurată prin propriul ceas asociat cu corpul în mișcare:
d b/dt = d(d r/dt)/dt = g 4 v(v d v/dt)/c2 + g2 d v/dt.
În cazul în care un v|| d v/dt, apoi d b/dt = g 4 d v/dt.
În cazul în care un v perpendicular pe d v/dt, apoi d b/dt = g 2 d v/dt.
Comparând performanța la coeficientul g în cele patru tipuri de accelerații scrise mai sus, observăm că în acest grup nu există niciun membru cu coeficientul g 2 la accelerații paralele. Dar nu am luat încă derivate ale vitezei. Este, de asemenea, viteza. Să luăm derivata în timp a vitezei folosind formula v/c = th(r/c):
dr/dt = (c arth(v/c))" = g 2 dv/dt.
Și dacă luăm dr / dt, obținem:
dr/dt = g 3 dv/dt,
sau dr/dt = db/dt.
Prin urmare, avem două viteze măsurabile vși b, și încă una, incomensurabilă, dar cea mai simetrică, viteza r. Și șase tipuri de accelerații, dintre care două dr/dt și db/dt sunt aceleași. Care dintre aceste accelerații este adecvată, adică simțit de un corp care se accelerează?
Vom reveni la propria noastră accelerație mai jos, dar deocamdată vom afla ce fel de accelerație este inclusă în a doua lege a lui Newton. După cum se știe, în mecanica relativistă a doua lege a mecanicii, scrisă sub forma f=m A, se dovedește a fi greșit. În schimb, forța și accelerația sunt legate de ecuație
f= m (g 3 v(va)/c2 + g A),
care stă la baza calculelor inginerești ale acceleratoarelor relativiste. Dacă comparăm această ecuație cu ecuația tocmai obținută pentru accelerația d b/dt:
d b/dt = g 3 v(v d v/dt)/c 2 + gd v/dt,
atunci observăm că ele diferă doar prin factorul m. Adică poți scrie:
f= m d b/dt.
Ultima ecuație returnează la masă statutul unei măsuri de inerție în mecanica relativistă. Forța care acționează asupra corpului este proporțională cu accelerația d b/dt. Coeficientul de proporționalitate este masa invariantă. Vectori de forță fși accelerația d b/dt sunt co-directionale pentru orice orientare a vectorilor vși A, sau bși d b/dt.
Formula scrisă în termeni de accelerație d v/dt nu oferă o asemenea proporționalitate. Forța și accelerația coordonate-coordonate, în general, nu coincid în direcție. Ele vor fi paralele numai în două cazuri: dacă vectorii vși d v/dt sunt paralele între ele, iar dacă sunt perpendiculare între ele. Dar în primul caz puterea f=mg 3 d v/dt, iar în al doilea - f=mgd v/dt.
Astfel, în legea lui Newton, trebuie să folosim accelerația d b/dt, adică schimbare proprii viteză b, măsurată prin ceasul sincronizat.
Poate cu același succes se va putea dovedi asta f= md r/dt, unde d r/dt este vectorul propriei accelerații, dar viteza este o valoare incomensurabilă, deși este ușor de calculat. Dacă egalitatea vectorială va fi adevărată, nu pot spune, dar egalitatea scalară este adevărată datorită faptului că dr/dt=db/dt și f=md b/dt.
Accelerare este o valoare care caracterizează viteza de schimbare a vitezei.
De exemplu, o mașină, care se îndepărtează, crește viteza de mișcare, adică se mișcă într-un ritm accelerat. Inițial, viteza sa este zero. Pornind de la oprire, mașina accelerează treptat până la o anumită viteză. Dacă pe drum se aprinde un semafor roșu, mașina se va opri. Dar nu se va opri imediat, ci după ceva timp. Adică, viteza sa va scădea până la zero - mașina se va mișca încet până când se va opri complet. Cu toate acestea, în fizică nu există termenul de „decelerație”. Dacă corpul se mișcă, încetinește, atunci aceasta va fi și accelerarea corpului, doar cu un semn minus (după cum vă amintiți, viteză este o mărime vectorială).
Accelerație medie
Accelerație medie> este raportul dintre modificarea vitezei și intervalul de timp în care a avut loc această modificare. Accelerația medie poate fi determinată prin formula:
Unde - vector de accelerație.
Direcția vectorului de accelerație coincide cu direcția schimbării vitezei Δ = - 0 (aici 0 este viteza inițială, adică viteza cu care corpul a început să accelereze).
La momentul t1 (vezi Figura 1.8) corpul are viteza 0 . La momentul t2 corpul are o viteză . Conform regulii de scădere vectorială, găsim vectorul schimbării vitezei Δ = - 0 . Apoi accelerația poate fi definită după cum urmează:
Orez. 1.8. Accelerație medie.
în SI unitate de accelerație este de 1 metru pe secundă pe secundă (sau metru pe secundă pătrat), adică
Un metru pe secundă pătrat este egal cu accelerația unui punct care se mișcă în linie dreaptă, la care într-o secundă viteza acestui punct crește cu 1 m/s. Cu alte cuvinte, accelerația determină cât de mult se schimbă viteza unui corp într-o secundă. De exemplu, dacă accelerația este de 5 m / s 2, atunci aceasta înseamnă că viteza corpului crește cu 5 m / s în fiecare secundă.
Boost instant
Accelerația instantanee a unui corp (punct material)în acest moment este cantitate fizica, egală cu limita la care tinde accelerația medie atunci când intervalul de timp tinde spre zero. Cu alte cuvinte, aceasta este accelerația pe care o dezvoltă organismul într-o perioadă foarte scurtă de timp:
Direcția de accelerație coincide și cu direcția de schimbare a vitezei Δ pentru valori foarte mici ale intervalului de timp în care are loc schimbarea vitezei. Vectorul de accelerație poate fi setat prin proiecții pe axele de coordonate corespunzătoare dintr-un cadru de referință dat (proiecții a X, a Y, a Z).
Cu accelerat mișcare rectilinie viteza corpului crește în valoare absolută, adică
V2 > v1
iar direcţia vectorului acceleraţie coincide cu vectorul viteză 2 .
Dacă viteza modulo a corpului scade, adică
V 2< v 1
atunci direcția vectorului accelerație este opusă direcției vectorului viteză 2 . Cu alte cuvinte, în acest caz, accelerație negativă, în timp ce accelerația va fi negativă (și< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Orez. 1.9. Accelerație instantanee.
Când se deplasează de-a lungul unei traiectorii curbilinii, nu numai modulul de viteză se schimbă, ci și direcția acestuia. În acest caz, vectorul de accelerație este reprezentat ca două componente (vezi secțiunea următoare).
Accelerația tangențială
Accelerație tangenţială (tangenţială). este componenta vectorului accelerație îndreptată de-a lungul tangentei la traiectorie într-un punct dat al traiectoriei. Accelerația tangențială caracterizează modificarea vitezei modulo în timpul mișcării curbilinie.
Orez. 1.10. accelerația tangențială.
Direcția vectorului de accelerație tangențială τ (vezi Fig. 1.10) coincide cu direcția viteza liniară sau opusul acesteia. Adică, vectorul de accelerație tangențială se află pe aceeași axă cu cercul tangent, care este traiectoria corpului.
Accelerație normală
Accelerație normală este o componentă a vectorului de accelerație direcționată de-a lungul normalei traiectoriei de mișcare într-un punct dat pe traiectoria de mișcare a corpului. Adică, vectorul normal de accelerație este perpendicular pe viteza liniară de mișcare (vezi Fig. 1.10). Accelerația normală caracterizează schimbarea vitezei în direcție și este notă cu litera n. Vectorul de accelerație normală este direcționat de-a lungul razei de curbură a traiectoriei.
Accelerație completă
Accelerație completăîn mișcare curbilinie, constă din accelerații tangențiale și normale de-a lungul regula de adăugare a vectoruluiși este determinată de formula:
(conform teoremei lui Pitagora pentru un dreptunghi dreptunghiular).
Se determină și direcția de accelerație completă regula de adăugare a vectorului:
= τ + nDescompunere accelerată a (t) (\displaystyle \mathbf (a) (t)\ \ )în tangenţială şi normală o n (\displaystyle \mathbf (a) _(n)); (τ (\displaystyle \mathbf (\tau) )- vector tangent unitar).
Accelerația tangențială- componenta de acceleratie indreptata tangential la traiectoria miscarii. Caracterizează modificarea modulului de viteză, spre deosebire de componenta normală, care caracterizează schimbarea direcției vitezei. Accelerația tangențială este egală cu produsul vector unitar, îndreptată în raport cu viteza de mișcare, pe derivata modulului vitezei în raport cu timpul. Astfel, este direcționat în aceeași direcție cu vectorul viteză în timpul mișcării accelerate (derivată pozitivă) și în sens opus în timpul mișcării lente (derivată negativă).
Este de obicei notat cu simbolul ales pentru accelerație, cu adăugarea unui indice care indică componenta tangențială: un τ (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau )\\) sau o t (\displaystyle \mathbf (a) _(t)\ \ ), w τ (\displaystyle \mathbf (w) _(\tau)\\),u τ (\displaystyle \mathbf (u) _(\tau )\\) etc.
Uneori nu se folosește o formă vectorială, ci una scalară - a τ (\displaystyle a_(\tau)\\), indicând proiecția vectorului de accelerație completă pe vectorul unitar al tangentei la traiectorie, care corespunde coeficientului de expansiune în baza însoțitoare .
YouTube enciclopedic
-
1 / 5
Valoarea accelerației tangențiale ca proiecție a vectorului de accelerație pe tangenta la traiectorie poate fi exprimată după cum urmează:
a τ = d v re t , (\displaystyle a_(\tau )=(\frac (dv)(dt)),)Unde v = d l / d t (\displaystyle v\ =dl/dt)- viteza la sol de-a lungul traiectoriei, care coincide cu valoarea absolută a vitezei instantanee la un moment dat.
Dacă folosim notația pentru vectorul tangent unitar e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau)\), atunci putem scrie accelerația tangențială sub formă vectorială:
a τ = d v d t e τ . (\displaystyle \mathbf (a) _(\tau)=(\frac (dv)(dt))\mathbf (e) _(\tau).)Concluzie
Concluzia 1
Expresia accelerației tangențiale poate fi găsită prin diferențierea în timp a vectorului viteză reprezentat ca v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) prin vectorul tangent unitar e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\,\mathbf (e)) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) ) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\ mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))= (\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ ,)unde primul termen este accelerația tangențială și al doilea este accelerația normală.
Aici folosim notația e n (\displaystyle e_(n)\ ) pentru vectorul normal unitar la traiectorie și l (\displaystyle l\ )- pentru lungimea curentă a traiectoriei ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); ultima tranziție folosește și evidentul
d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\ )și, din considerente geometrice,
d e τ d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e)) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).)Concluzia 2
Dacă traiectoria este netedă (ceea ce se presupune), atunci:
Ambele rezultă din faptul că unghiul vectorului la tangentă nu va fi mai mic decât primul ordin în . Din aceasta rezultă imediat formula necesară.
Mai puțin strict vorbind, proiecția v (\displaystyle \mathbf (v) \ ) la o tangentă la mic d t (\displaystyle dt\ ) va coincide aproape cu lungimea vectorului v (\displaystyle \mathbf (v) \ ), deoarece unghiul de abatere al acestui vector de la tangente la mic d t (\displaystyle dt\ ) este întotdeauna mic, ceea ce înseamnă că cosinusul acestui unghi poate fi considerat egal cu unu.
Observatii
Valoarea absolută a accelerației tangențiale depinde doar de accelerația solului, care coincide cu valoarea sa absolută, spre deosebire de valoarea absolută a accelerației normale, care nu depinde de accelerația solului, ci depinde de viteza la sol.