Oscilații libere ale sistemelor cu parametri distribuiți
Caracteristica principală a procesului vibratii libere sisteme cu un număr infinit de grade de libertate se exprimă în infinitul numărului de frecvențe naturale și moduri de oscilație. Acest lucru este, de asemenea, legat de caracteristicile de natură matematică: în loc de ecuații diferențiale obișnuite care descriu oscilațiile sistemelor cu un număr finit de grade de libertate, aici trebuie să se ocupe de ecuații diferențiale parțiale. Pe lângă condițiile inițiale care determină deplasările și vitezele inițiale, este de asemenea necesar să se țină seama condiţiile de frontieră care caracterizează fixarea sistemului.
6.1. Vibrații longitudinale ale tijelor
La analizarea vibrațiilor longitudinale ale unei tije rectilinie (Fig. 67, a), vom presupune că secțiunile transversale rămân plate și că particulele de tijă nu fac mișcări transversale, ci se mișcă doar pe direcția longitudinală.
Lasa u - deplasarea longitudinala a sectiunii curente a tijei in timpul vibratiilor; această deplasare depinde de locația secțiunii (coordonatele x) și de timpul t. Deci există o funcție a două variabile; definirea lui este sarcina principală. Mișcarea unei secțiuni infinit apropiate este egală, prin urmare, alungirea absolută a unui element infinit mic este (Fig. 67, b), iar alungirea sa relativă este .
În consecință, forța longitudinală în secțiunea cu coordonatele X poate fi scris sub forma
,(173)
unde este rigiditatea la tracțiune (la compresiune) a tijei. Forța N este, de asemenea, o funcție a două argumente - coordonatele Xși timpul t.
Luați în considerare un element de tijă situat între două secțiuni infinit apropiate (Fig. 67, c). O forță N este aplicată pe partea stângă a elementului, iar o forță este aplicată pe partea dreaptă. Dacă este notat cu densitatea materialului tijei, atunci masa elementului luat în considerare este . Prin urmare, ecuația mișcării în proiecția pe axă X
,
Considerând(173) şi presupunând A= const , obținem
Urmând metoda Fourier, căutăm o soluție particulară a ecuației diferențiale (175) sub forma
,(177)
acestea. Să presupunem că mișcarea u poate fi reprezentat ca un produs a două funcții, dintre care una depinde doar de argument X, iar celălalt numai din argumentul t . Apoi, în loc să definim o funcție a două variabile u (x , t ), este necesar să definim două funcții X(x ) și T(t ), fiecare dintre ele depinde de o singură variabilă.
Înlocuind (177) în (174), obținem
unde numerele prime denotă operația de diferențiere în raport cu X, și puncte pe t. Să rescriem această ecuație astfel:
Aici partea stângă depinde doar de x, iar partea dreaptă depinde doar de t. Pentru îndeplinirea identică a acestei egalități (pentru orice Xși t ) este necesar ca fiecare dintre părțile sale să fie egală cu o constantă, pe care o notăm cu:
; .(178)
De aici rezultă două ecuații:
;
.(179)
Prima ecuație are o soluție:
,(180)
indicând un caracter oscilator, iar din (180) este clar că mărimea necunoscută are semnificația frecvenței oscilațiilor libere.
A doua dintre ecuațiile (179) are o soluție:
,(181)
determinarea formei vibraţiilor.
Ecuația de frecvență care determină valoarea lui , este compilată folosind condițiile la limită. Această ecuație este întotdeauna transcendentală și are un număr infinit de rădăcini. Astfel, numărul de frecvențe naturale este infinit, iar fiecărei valori ale frecvenței îi corespunde funcția proprie T n (t ), determinată de dependența (180), și funcția proprie Xn (x ), determinată de dependența (181). Soluția (177) este doar parțială și nu oferă o descriere completă a mișcării. Soluția completă se obține prin suprapunerea tuturor soluțiilor particulare:
.
Sunt numite funcțiile X n (x ). funcții proprii sarcinile și își descriu propriile moduri de oscilație. Ele nu depind de condițiile inițiale și satisfac condiția de ortogonalitate, care pentru A=const are forma
, dacă .
Să luăm în considerare câteva variante de condiții la limită.
Capăt de tijă fix(Fig. 68, a). În secțiunea finală, deplasarea u trebuie să fie egală cu zero; de aici rezultă că în această secţiune
X=0(182)
Cap de tija liber(Fig. 68b). În secțiunea de capăt, forța longitudinală
(183)
trebuie să fie identic egal cu zero, ceea ce este posibil dacă X"=0 în secțiunea finală.
fixat elastic capăt de tijă(Fig. 68, c).
La deplasare u a tijei de capăt are loc o reacție elastică a suportului 
, unde C despre - rigiditatea suportului. Ținând cont de (183) pentru forța longitudinală, obținem condiția la limită
dacă suportul se află la capătul stâng al tijei (Fig. 68, c) și
dacă suportul se află la capătul drept al tijei (Fig. 68, d).
Masa concentrata la capatul tijei.
Forța de inerție dezvoltată de masă:
.
Deoarece, conform primei ecuații (179), , atunci forța de inerție poate fi scrisă ca . Obținem condiția de limită
,
dacă masa se află la capătul din stânga (Fig. 68, e) și
, (184)
dacă masa este legată de capătul drept (Fig. 68, f).
Să determinăm frecvențele naturale ale tijei cantilever (Fig. 68, a").
Conform (182) și (183), condițiile la limită
X=0 la x=0;
X"=0 când x= .
Înlocuind aceste condiții una câte una în soluția (181), obținem
Condiția C0 conduce la ecuația frecvenței:
Rădăcinile acestei ecuații
(n=1,2,…)
determinați frecvențele naturale:
(n=1,2,…).(185)
Prima (cea mai joasă) frecvență la n=1:
.
A doua frecvență (când n=2):
Să determinăm frecvențele naturale ale tijei cu masă la capăt (Fig. 68, f).
Conform (182) și (184), avem
X=0 la x=0;
la x=.
Înlocuind aceste condiții în soluția (181), obținem:
D=0; 
.
În consecință, ecuația de frecvență, ținând cont de (176), are forma
.
Aici, partea dreaptă este raportul dintre masa tijei și masa sarcinii finale.
Pentru a rezolva ecuația transcendentală rezultată, este necesar să folosiți o metodă aproximativă.
Pentru și valorile celei mai importante rădăcini de jos vor fi 0,32 și, respectiv, 0,65.
Cu un raport mic, sarcina are o influență decisivă și rezultate frumoase oferă o soluție aproximativă
.
Pentru bare cu secțiune transversală variabilă, de ex. la Аconst , din (173) și (174) ecuația mișcării se obține sub forma
.
Această ecuație diferențială nu poate fi rezolvată în formă închisă. Prin urmare, în astfel de cazuri, trebuie să recurgem la metode aproximative pentru determinarea frecvențelor naturale.
6.2. Vibrații de torsiune ale arborilor
Vibrațiile de torsiune ale arborelui cu o masă distribuită continuu (Fig. 69, a) sunt descrise prin ecuații care coincid complet ca structură cu ecuațiile vibrațiilor longitudinale ale tijelor date mai sus.
Cuplul M în secțiune cu abscisă X este legată de unghiul de rotație printr-o dependență diferențială similară cu (173):
Unde Jp este momentul polar de inerție al secțiunii transversale.
Într-o secțiune la distanță dx, cuplul este (Fig. 69, b):
Indicând prin (unde este densitatea materialului arborelui) intensitatea momentului de inerție al masei arborelui în raport cu axa acesteia (adică momentul de inerție al unei unități de lungime), ecuația de mișcare a unei secțiuni elementare a arborele poate fi scris astfel:
,
sau ca (174):
.
Înlocuind aici expresia (186), cu Jp=const obținem, similar cu (175):
, (187)
Soluția generală a ecuației (187), precum și a ecuației (175), are forma
,
(188)
Frecvențele proprii și funcțiile proprii sunt determinate de condiții la limită specifice.
În cazurile principale de fixare a capetelor, la fel ca în cazul vibrațiilor longitudinale, obținem
a) capăt fix (=0): X=0;
b) capăt liber (M=0): X"=0;
în) fixat elastic capătul stâng: СoХ=GJpX "(Co-coeficient de rigiditate);
G) fixat elastic capătul drept: -CoX=GJpX ";
e) disc la capătul stâng: 
(Jo este momentul de inerție al discului față de axa tijei);
f) disc la capătul drept: 
.
Dacă arborele este fixat la capătul stâng (x=0), iar capătul drept (x= ) este liber, atunci X=0 la x=0 și X"=0 la x= ; frecvențele naturale sunt determinate în mod similar (185 ):
(n=1,2,…).
Dacă capătul din stânga este fix și există un disc la capătul din dreapta, obținem ecuația transcendentală:
.
Dacă ambele capete ale arborelui sunt fixe, atunci condițiile la limită vor fi X=0 la x=0 și x= . În acest caz, din (188) obținem
acestea.
(n=1,2,…),
de aici găsim frecvențele naturale:
Dacă capătul stâng al arborelui este liber și există un disc la capătul drept, atunci X"=0 la x=0; Jo X=GJpX" la x=.
Folosind (188), găsim
C=0; 
,
sau ecuația frecvenței transcendentale:
.
6.3 Vibrații de încovoiere ale grinzilor
6.3.1 Ecuația de bază
Din cursul rezistenței materialelor, dependențele diferențiale sunt cunoscute pentru îndoirea grinzilor:
unde EJ - rigiditate la încovoiere; y \u003d y (x, t) - deformare; M=M(x, t) - momentul încovoietor; q este intensitatea sarcinii distribuite.
Combinând (189) și (190), obținem
.(191)
În problema oscilațiilor libere, sarcina pentru scheletul elastic este forțele de inerție distribuite:
unde m este intensitatea masei fasciculului (masa pe unitatea de lungime), iar ecuația (191) devine
.
În cazul special al unei secțiuni transversale constante, când EJ = const , m = const , avem:
.(192)
Pentru a rezolva ecuația (192), presupunem, ca mai sus,
y=X( X )× T( t ).(193)
Înlocuind (193) în (192), ajungem la ecuația:
.
Pentru ca această egalitate să fie identică, este necesar ca fiecare dintre părțile egalității să fie constantă. Notând această constantă cu , obținem două ecuații:
.(195)
Prima ecuație indică faptul că mișcarea este oscilativă cu frecvența.
A doua ecuație definește forma oscilațiilor. Soluția ecuației (195) conține patru constante și are forma
Este convenabil să folosiți varianta de scriere a soluției generale propusă de A.N. Krylov:
(198)
sunt funcții ale lui A.N.Krylov.
Să fim atenți la faptul că S=1, T=U=V=0 la x=0. Funcții S,T,U,V sunt interconectate după cum urmează:
Prin urmare, expresiile derivate (197) sunt scrise sub forma
(200)
În problemele clasei luate în considerare, numărul de frecvențe proprii este infinit de mare; fiecare dintre ele are propria sa funcţie de timp T n şi propria sa funcţie fundamentală X n . Soluția generală se obține prin impunerea soluțiilor parțiale de forma (193)
.(201)
Pentru a determina frecvențele și formulele naturale, este necesar să se ia în considerare condițiile la limită.
6.3.2. Condiții de frontieră
Pentru fiecare capăt de bară, pot fi specificate două condiții la limită .
Cap de tija liber(Fig. 70, a). Forța transversală Q=EJX"""T și momentul încovoietor M=EJX""T sunt egale cu zero. Prin urmare, condițiile la limită au forma
X""=0; X"""=0 .(202)
Capătul articulat al tijei(Fig. 70b). Deformarea y=XT și momentul încovoietor M=EJX""T sunt egale cu zero. Prin urmare, condițiile la limită sunt:
X=0; X""=0 .(203)
capăt ciupit(Fig. 70, c). Deformarea y=XT și unghiul de rotație sunt egale cu zero. Condiții de frontieră:
X=0; X"=0 . (204)
La capătul tijei există o masă punctiformă(Fig. 70d). Forța lui de inerție 
poate fi scris folosind ecuația (194) după cum urmează: ; trebuie să fie egală cu forța transversală Q=EJX"""T , deci condițiile la limită iau forma
; X""=0 .(205)
În prima condiție, semnul plus este acceptat în cazul în care greutatea punctului este conectată la capătul stâng al tijei, iar semnul minus când este conectată la capătul drept al tijei. A doua condiție rezultă din absența unui moment încovoietor.
Capătul tijei susținut elastic(Fig. 70, e). Aici momentul încovoietor este egal cu zero, iar forța transversală Q=EJX"""T este egală cu reacția suportului 
(C o -coeficientul de rigiditate al suportului).
Condiții de frontieră:
X""=0; (206)
(semnul minus se ia cand suportul elastic este lasat, iar semnul plus cand este dreapta).
6.3.3. Ecuație de frecvență și forme proprii
O înregistrare extinsă a condițiilor la limită conduce la ecuații omogene pentru constantele C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Pentru ca aceste constante să nu fie egale cu zero, determinantul compus din coeficienții sistemului trebuie să fie egal cu zero; aceasta duce la o ecuație de frecvență. În timpul acestor operaţii se află relaţiile dintre C 1 , C 2 , C 3 , C 4, adică. sunt determinate modurile proprii ale oscilațiilor (până la un factor constant).
Să urmărim compilarea ecuațiilor de frecvență folosind exemple.
Pentru o grindă cu capete articulate conform (203) avem următoarele condiţii la limită: X=0; X""=0 când x=0 și x= . Cu ajutorul lui (197)-(200) obţinem din primele două condiţii: C 1 =C 3 =0. Celelalte două condiții pot fi scrise ca
Pentru ca C 2 și C 4 să nu fie egale cu zero, determinantul trebuie să fie egal cu zero:
.
Astfel, ecuația de frecvență are forma
.
Înlocuind expresiile T și U, obținem
Deoarece , atunci ecuația finală a frecvenței se scrie după cum urmează:
. (207)
Rădăcinile acestei ecuații sunt:
,(n=1,2,3,...).
Ținând cont de (196), obținem
.(208)
Să trecem la definirea propriilor forme. Din ecuațiile omogene scrise mai sus, între constantele C 2 și C 4 rezultă următoarea relație:
.
În consecință, (197) ia forma
Conform (207), avem
,(209)
unde este o nouă constantă, a cărei valoare rămâne nedeterminată până când sunt introduse în considerare condițiile inițiale.
6.3.4. Definiția mișcării prin condiții inițiale
Dacă este necesară determinarea mișcării în urma perturbației inițiale, atunci este necesar să se specifice atât deplasările inițiale, cât și vitezele inițiale pentru toate punctele fasciculului:
(210)
și folosiți proprietatea de ortogonalitate a formelor proprii:
.
Scriem soluția generală (201) după cum urmează:
.(211)
Viteza este determinată de expresie
.(212)
Înlocuind în părțile din dreapta ecuațiilor (211) și (212), iar în părțile din stânga - deplasările și vitezele inițiale cunoscute presupuse, obținem
.
Înmulțind aceste expresii cu și integrând pe toată lungimea, avem
(213)
Sumele infinite din partea dreaptă au dispărut din cauza proprietății de ortogonalitate. Din (213) urmează formule pentru constantele și
(214)
Acum aceste rezultate trebuie înlocuite în soluția (211).
Din nou, subliniem că alegerea scalei formelor adecvate nu este esențială. Dacă, de exemplu, în expresia formei proprii (209) luăm în schimb o valoare de ori mai mare, atunci (214) va da rezultate de ori mai mici; după înlocuirea în soluție (211), aceste diferențe se anulează reciproc. Cu toate acestea, se folosesc adesea funcții proprii normalizate, alegându-și scara astfel încât numitorii expresiilor (214) să fie egali cu unu, ceea ce simplifică expresiile și .
6.3.5. Influența forței longitudinale constante
Să luăm în considerare cazul în care fasciculul oscilant suferă acțiunea unei forțe longitudinale N, a cărei valoare nu se modifică în timpul procesului de oscilație. În acest caz, ecuația de îndoire statică devine mai complicată și ia forma (presupunând că forța de compresiune este considerată pozitivă)
.
Presupunând și presupunând că rigiditatea este constantă, obținem ecuația vibrațiilor libere
.(215)
Luăm în continuare o soluție specială în formă
Apoi ecuația (215) se împarte în două ecuații:
Prima ecuație exprimă natura oscilativă a soluției, a doua determină forma oscilațiilor și, de asemenea, vă permite să găsiți frecvențele. Să-l rescriem astfel:
(216)
Unde K este determinată de formula (196) și
Soluția ecuației (216) are forma
Luați în considerare cazul când ambele capete ale tijei au suporturi cu balamale. Condiții la capătul din stânga 
da . Satisfacand aceleasi conditii la capatul drept, obtinem
Echivalând cu zero determinantul, compus din coeficienții la valorile și , ajungem la ecuație
Rădăcinile acestei ecuații de frecvență sunt:
Prin urmare, frecvența naturală este determinată din ecuație
.
Prin urmare, luând în considerare (217), aflăm
.(219)
Când este întins, frecvența crește, când este comprimat, scade. Când forța de compresiune N se apropie de o valoare critică, rădăcina tinde spre zero.
6.3.6. Efectul forțelor lanțului
Anterior, forța longitudinală era considerată a fi dată și independentă de deplasările sistemului. În unele probleme practice, forța longitudinală care însoțește procesul de vibrații transversale apare din cauza îndoirii grinzii și este în natura reacției suportului. Luați în considerare, de exemplu, o grindă pe două suporturi fixe cu balamale. Când este îndoită, apar reacții orizontale ale suporturilor, determinând întinderea grinzii; forța orizontală corespunzătoare se numește forța lanțului. Dacă fasciculul produce vibrații transversale, atunci forța lanțului se va modifica în timp.
Dacă la o clipă t deflexiunile fasciculului sunt determinate de funcția , atunci alungirea axei poate fi găsită prin formula
.
Forța corespunzătoare lanțului poate fi găsită folosind legea lui Hooke
.
Înlocuim acest rezultat în (215) în locul forței longitudinale N (ținând cont de semn)
.(220)
Neliniarul rezultat integro-diferențial ecuația se simplifică prin substituire
,(221)
unde este funcția fără dimensiune a timpului, valoare maximă care poate fi setat egal cu orice număr, de exemplu, unu; amplitudinea oscilației.
Înlocuind (221) în (220), obținem ecuația diferențială obișnuită
,(222)
ai căror coeficienți au următoarele valori:
;.
Ecuația diferențială (222) este neliniară, prin urmare, frecvența oscilațiilor libere depinde de amplitudinea acestora.
Soluția exactă pentru frecvența vibrațiilor transversale are forma
unde este frecvența oscilațiilor transversale, calculată fără a lua în considerare forțele în lanț; factor de corecție în funcție de raportul dintre amplitudinea oscilației și raza de rotație a secțiunii transversale; valoarea este dată în literatura de referință.
Când amplitudinea și raza de rotație a secțiunii transversale sunt comparabile, corecția la frecvență devine semnificativă. Dacă, de exemplu, amplitudinea de oscilație a unei tije cu secțiune transversală circulară este egală cu diametrul acesteia, atunci , iar frecvența este de aproape două ori mai mare decât în cazul deplasării libere a suporturilor.
Cazul corespunde valorii zero a razei de inerție, când rigiditatea la încovoiere a grinzii este extrem de mică - un șir. În acest caz, formula pentru dă o incertitudine. Dezvăluind această incertitudine, obținem o formulă pentru frecvența vibrațiilor corzii
.
Această formulă se referă la cazul în care tensiunea este zero în poziția de echilibru. Problema vibrațiilor corzilor este adesea pusă sub alte ipoteze: se presupune că deplasările sunt mici, iar forța de întindere este dată și rămâne neschimbată în timpul vibrațiilor.
În acest caz, formula pentru frecvență are forma
unde N este o forță de tracțiune constantă.
6.4. Influența frecării vâscoase
Anterior, se presupunea că materialul tijelor este ideal elastic și nu există frecare. Luați în considerare efectul frecării interne, presupunând că este vâscos; atunci relația dintre tensiuni și deformații este descrisă de relații
;
.(223)
Lasă o tijă cu parametri distribuiți să efectueze vibrații longitudinale libere. În acest caz, forța longitudinală va fi scrisă în formă
Din ecuația de mișcare a elementului tijă s-a obținut relația (174).
Înlocuind (224) aici, ajungem la ecuația diferențială principală
,(225)
care se deosebeşte de (175) prin al doilea termen, care exprimă influenţa forţelor de frecare vâscoase.
Urmând metoda Fourier, căutăm o soluție a ecuației (225) sub forma
,(226)
unde funcția este doar coordonatele x, iar funcția este doar timpul t.
În acest caz, fiecare membru al seriei trebuie să îndeplinească condițiile la limită ale problemei, iar întreaga sumă trebuie să îndeplinească și condițiile inițiale. Înlocuind (226) în (225) și cerând ca egalitatea să fie satisfăcută pentru orice număr r, primim
,(227)
unde numerele prime denotă diferențierea față de coordonată X, iar punctele sunt diferențiere în raport cu timpul t.
Împărțirea (227) la produs 
, ajungem la egalitate
,(228)
partea stângă, care poate depinde doar de coordonată X, iar cea potrivită - numai din timpul t. Pentru îndeplinirea identică a egalității (228), este necesar ca ambele părți să fie egale cu aceeași constantă, pe care o notăm cu .
De aici urmează ecuațiile
(229)
.(230)
Ecuația (229) nu depinde de coeficientul de vâscozitate K și, în special, rămâne aceeași în cazul unui sistem perfect elastic, când . Prin urmare, numerele coincid complet cu cele găsite mai devreme; totuși, așa cum se va arăta mai jos, valoarea oferă doar o valoare aproximativă a frecvenței naturale. Rețineți că formele proprii sunt complet independente de proprietățile vâscoase ale tijei, i.e. formele de oscilaţii libere amortizate coincid cu formele de oscilaţii libere neamortizate.
Acum să trecem la ecuația (230), care descrie procesul de oscilații amortizate; soluția ei arată ca
.(233)
Expresia (232) determină rata de amortizare și (233) determină frecvența de oscilație.
În acest fel, solutie completa ecuații problematice
.(234)
Constant și poate fi întotdeauna găsit prin condiții inițiale date. Fie deplasările inițiale și vitezele inițiale ale tuturor secțiunilor tijei după cum urmează:
;
,(235)
unde și sunt funcții cunoscute.
Atunci pentru , conform (211) și (212), avem
înmulțind ambele părți ale acestor egalități cu și integrând pe toată lungimea tijei, obținem
(236)
Conform condiției de ortogonalitate a formelor proprii, toți ceilalți termeni incluși în părțile din dreapta acestor egalități dispar. Acum este ușor de găsit din egalitățile (236) pentru orice număr r .
Având în vedere (232) și (234), observăm că, cu cât numărul modului de vibrații este mai mare, cu atât amortizarea acestuia este mai rapidă. În plus, termenii din (234) descriu oscilații amortizate dacă există un număr real. Se poate observa din (233) că aceasta are loc doar pentru câteva valori inițiale ale lui r atâta timp cât inegalitatea
Pentru valori suficient de mari r inegalitatea (237) este încălcată și cantitatea devine imaginară. În acest caz, termenii corespunzători ai soluției generale (234) nu vor mai descrie oscilații amortizate, ci vor reprezenta o mișcare amortizată aperiodic. Cu alte cuvinte, fluctuațiile, în sensul obișnuit al cuvântului, exprimă doar o parte finită a sumei (234).
Toate aceste concluzii calitative se aplică nu numai în cazul vibrațiilor longitudinale, ci și în cazul vibrațiilor de torsiune și încovoiere.
6.5. Vibrații ale barelor de secțiune transversală variabilă
În acele cazuri în care masa distribuită și secțiunea transversală a tijei sunt variabile de-a lungul lungimii sale, în loc de ecuația vibrațiilor longitudinale (175), se procedează de la ecuație.
.(238)
Ecuația vibrației de torsiune (187) ar trebui înlocuită cu ecuația
,(239)
iar ecuaţia oscilaţiilor transversale (192) - prin ecuaţie
.(240)
Ecuațiile (238)-(240) cu ajutorul substituțiilor de același tip ;; pot fi reduse la ecuații diferențiale obișnuite pentru funcția
1Se propune o metodă de frecvență pentru rezolvarea problemei vibrațiilor longitudinale ale barelor cu secțiune transversală variabilă în trepte, cu sau fără luarea în considerare a disipării energiei la impactul cu un obstacol rigid. Ecuația vibrațiilor longitudinale ale tijei este transformată conform lui Laplace în prezența unor condiții inițiale diferite de zero. rezolvat problema valorii la limită, care constă în găsirea forțelor longitudinale ale muchiei transformate de Laplace în funcție de deplasările muchiilor. Apoi se alcătuiește un sistem de ecuații pentru echilibrul nodurilor, rezolvând care, caracteristicile amplitudine-fază-frecvență (APFC) sunt construite pentru secțiunile de interes ale tijei. Efectuând transformarea Laplace inversă, se construiește un proces tranzitoriu. Ca exemplu de testare, este considerată o bară de secțiune constantă de lungime finită. Se oferă o comparație cu soluția de undă cunoscută. Metoda propusă pentru calculul dinamic al unei tije într-o coliziune cu un obstacol rigid permite generalizări la un sistem arbitrar de tije în prezența unui număr nelimitat de mase atașate elastic, cu o forță arbitrară aplicată la capete și pe lungimea tijă.
metoda frecvenței
vibratii longitudinale ale tijei
1. Biderman, V.L. Teoria aplicata vibratii mecanice/ V.L. Biderman. – M.: liceu, 1972. - 416 p.
2. Lavrentiev, M.A. Metode ale teoriei funcţiilor unei variabile complexe / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 p.
3. Sankin, Yu.N. Caracteristicile dinamice ale sistemelor vâscoelastice cu parametri distribuiți / Yu.N. Sankin. - Saratov: Editura Sarat. un-ta, 1977. - 312 p.
4. Sankin, Yu.N. Vibrații non-staționare ale sistemelor de tije în coliziune cu un obstacol / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; sub total ed. Yu.N. Sankin. - Ulyanovsk: UlGTU, 2010. - 174 p.
5. Sankin, Y.N. Vibrații longitudinale ale tijelor elastice cu secțiune transversală variabilă în pas care se ciocnesc cu un obstacol rigid \ Yu. N. Sankin și N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Vol. 65, nr 3, pp. 427-433, 2001.
Să luăm în considerare metoda frecvenței pentru rezolvarea problemei vibrațiilor longitudinale ale barelor cu secțiune transversală variabilă în trepte, cu sau fără luarea în considerare a disipării energiei la impactul cu un obstacol rigid, pe care o vom compara cu soluția cunoscută a valului și soluția. sub forma unei serii de moduri de vibraţie (14) .
Ecuația diferențială a vibrațiilor longitudinale ale tijei, ținând cont de forțele de rezistență internă, are forma:
Să stabilim următoarele condiții de limită și inițiale:
. (2)
Să transformăm ecuația (1) și condițiile la limită (2) conform lui Laplace pentru dat condiții inițiale(2). Atunci ecuația (2) și condițiile la limită (2) se vor scrie după cum urmează:
; (3)
,
unde sunt deplasările transformate Laplace ale punctelor tijei; p este parametrul transformării Laplace.
Ecuația (3) fără a lua în considerare disiparea energiei (la = 0) va lua forma:
. (4)
Pentru ecuația diferențială neomogenă rezultată se rezolvă o problemă a valorii la limită, care constă în găsirea forțelor longitudinale ale muchiei transformate la Laplace în funcție de deplasările muchiilor.
Pentru aceasta, avem în vedere ecuația omogenă a vibrațiilor longitudinale ale tijei, ținând cont de disiparea energiei
(5)
denotând
și trecând la o nouă variabilă, obținem în loc de (5)
(6)
Dacă, unde este parametrul de frecvență, atunci
.
Soluţie ecuație omogenă(6) are forma:
Constantele de integrare c1 și c2 se găsesc din condițiile inițiale:
u = u0 ; N = N0,
Acestea. 
;
Această soluție corespunde următoarei matrice de transfer:
. (7)
Inlocuind expresiile obtinute pentru elementele matricei de transfer in formulele metodei deplasarii se obtine:
;
(8)
;
Indicii n și k indică începutul și, respectiv, sfârșitul secțiunii tijei. Iar constantele geometrice și fizice cu indicii nk și kn se referă la o secțiune specifică a tijei.
Rupând tija în elemente, folosind formulele (8), vom compune ecuațiile de echilibru dinamic al nodurilor. Aceste ecuații sunt un sistem de ecuații pentru deplasări nodale necunoscute. Deoarece coeficienții corespunzători se obțin prin integrare exactă, lungimea secțiunilor tijei nu este limitată.
Rezolvând sistemul de ecuații rezultat pentru , construim caracteristicile amplitudine-fază-frecvență pentru secțiunile tijei care ne interesează. Aceste AFC-uri pot fi privite ca o imagine grafică a unei transformări Fourier unilaterale, care coincide cu transformarea Laplace sub acțiuni impulsive. Deoarece toate punctele singulare ale expresiilor corespunzătoare se află la stânga axei imaginare, transformarea inversă poate fi efectuată prin stabilirea , i.e. folosind AFC construit. Sarcina de a construi AFC, unde câmpul vitezelor inițiale înmulțit cu densitatea tijei apare ca o forță, este auxiliară. De obicei, AFC sunt construite din influența forțelor perturbatoare, apoi transformarea Laplace inversă este realizată prin integrare numerică sau într-un alt mod.
Ca exemplu simplu, luăm în considerare o tijă dreaptă de lungimea l, care se ciocnește longitudinal cu un obstacol rigid cu o viteză V0 (Fig. 1).
Să determinăm deplasarea punctelor tijei după impact. Presupunem ca dupa impact contactul dintre obstacol si tija se mentine, i.e. rebound tija nu are loc. Dacă conexiunea este nereținătoare, atunci problema poate fi considerată liniară pe bucăți. Criteriul de trecere la o altă soluție este schimbarea semnului vitezei în punctul de contact.
În monografia lui Lavrentiev M.A., Shabat B.V. soluția ondulatorie a ecuației (4) este dată:
și și-a găsit originalul
, (9)
unde este funcția pas de unitate.
O altă abordare pentru rezolvarea acestei probleme poate fi efectuată prin metoda frecvenței descrisă în . Pentru această problemă, vom avea:
; 
;
; ;
; 
;
. (10)
Să găsim originalul (11)
Să rezolvăm aceeași problemă într-un mod de frecvență. Din ecuația de echilibru a primului nod:
(12)
obţinem o formulă de deplasare a capătului tijei .
Acum, dacă tija de testare cu secțiune transversală constantă este împărțită în două secțiuni arbitrare de lungime l1 și l2 (vezi Fig. 1), atunci condițiile pentru echilibrul nodurilor vor fi următoarele:
(13)
Ca rezultat al soluționării sistemului (13), obținem grafice ale AFC pentru deplasări în secțiunile 1 și 2 (U1 și, respectiv, U2). Deci, imaginea pentru deplasarea marginii într-o formă închisă, ținând cont de disiparea energiei, în cazul (12) și (13) coincide și are forma:
. (14)
Să verificăm coincidența rezultatelor la capătul tijei. Pe fig. Figura 2 prezintă graficele soluției (10) pentru x = l0.1 și ca rezultat al rezolvării sistemului (13). Se potrivesc perfect.
Transformarea Fourier discretă poate fi utilizată pentru a obține procesul tranzitoriu. Rezultatul poate fi obținut efectuând integrarea numerică la t=0... prin formula
. (15)
Pe AFC (vezi Fig. 2), doar o bobină vizibilă se manifestă semnificativ. Prin urmare, ar trebui luat un termen din seria (15). Din graficele din Figura 3, se poate observa cât de precise coincid soluția (9) și soluția conform modurilor de oscilații (11) cu soluția de frecvență propusă. Eroarea nu depășește 18%. Discrepanța rezultată se explică prin faptul că soluțiile (9) și (11) nu iau în considerare disiparea energiei în materialul tijei.
Orez. 3. Proces tranzitoriu pentru capatul tijei; 1, 2, 3 - grafice construite conform formulelor (9), (11), (15), respectiv.
mai mult exemplu complex Să luăm în considerare problema vibrațiilor longitudinale ale unei tije în trepte (Fig. 4) cu o sarcină la capăt, care se ciocnește cu un obstacol rigid la o viteză V0 și să fie masa sarcinii egală cu masa secțiunii adiacente. a tijei:.
Orez. 4. Schema de calcul a vibrațiilor longitudinale ale unei tije trepte cu o sarcină la capăt
Introducem sectiunile caracteristice 1,2,3 ale tijei, in care vom calcula deplasarile. Compunem un sistem de rezolvare a ecuațiilor:
(16)
Ca rezultat al rezolvării sistemului (16), se obțin graficele AFC (Fig. 5) pentru deplasările în secțiunile a doua și a treia (U2 () și, respectiv, U3 (). Calculele au fost efectuate cu următoarele valori ale constantelor: l = 2 m; E = 2,1 x 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Pe AFC-urile obținute, doar două viraj vizibile se arată semnificativ. Prin urmare, atunci când construim procesul tranzitoriu în secțiunile selectate, luăm doi termeni ai seriei (16). Pentru a face acest lucru, mai întâi trebuie să definiți
Orez. Fig. 5. AFC a deplasărilor în a doua și a treia secțiune a unei tije în trepte (vezi Fig. 4)
În mod similar, conform formulei (15), este construit un proces tranzitoriu.
Concluzie: a fost dezvoltată o metodă pentru calcularea vibrațiilor longitudinale ale tijelor la impactul cu un obstacol.
Recenzători:
Lebedev A.M., doctor în științe tehnice, profesor asociat, profesor la Universitatea Ulyanovsk scoala de aviatie(Institut), Ulyanovsk.
Antonets I.V., doctor în științe tehnice, profesor al statului Ulyanovsk universitate tehnica, Ulianovsk.
Link bibliografic
Yuganova N.A. VIBRAȚII LONGITUDINALE ALE TIJEI ÎN COLISION CU OBSTACULE RIGIDE // Probleme contemporaneștiință și educație. - 2014. - Nr 2.;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (data accesului: 15/01/2020). Vă aducem la cunoștință jurnale publicate de editura „Academia de Istorie Naturală”
În această secțiune, vom lua în considerare problema vibrațiilor longitudinale ale unei tije omogene. O tijă este un corp de formă cilindrică (în special, prismatică), pentru a cărui întindere sau comprimare trebuie aplicată o forță cunoscută. Vom presupune că toate forțele acționează de-a lungul axei tijei și fiecare dintre secțiunile transversale ale tijei (Fig. 23) se deplasează translațional numai de-a lungul axei tijei.
De obicei, această ipoteză este justificată dacă dimensiunile transversale ale tijei sunt mici în comparație cu lungimea acesteia, iar forțele care acționează de-a lungul axei tijei sunt relativ mici. În practică, vibrațiile longitudinale apar cel mai adesea atunci când tija este mai întâi ușor întinsă sau, dimpotrivă, comprimată, și apoi lăsată singură. În acest caz, în el apar vibrații longitudinale libere. Să derivăm ecuațiile pentru aceste oscilații.
Să direcționăm axa absciselor de-a lungul axei tijei (Fig. 23); în repaus, capetele tijei au, respectiv, abscise.Se consideră secțiunea ; - abscisa ei în repaus.
Deplasarea acestei secțiuni în orice moment t va fi caracterizată printr-o funcție pentru a afla căreia trebuie să compunem o ecuație diferențială. În primul rând, găsim alungirea relativă a secțiunii tijei delimitată de secțiuni Dacă abscisa secțiunii în repaus este de ordin superior egală
Prin urmare, alungirea relativă a tijei în secțiunea cu abscisa la momentul t este egală cu
Presupunând că forțele care provoacă această alungire respectă legea lui Hooke, găsim mărimea forței de tensiune T care acționează asupra secțiunii transversale:
(5.2)
unde este aria secțiunii transversale a tijei și este modulul de elasticitate (modulul Young) al materialului tijei. Formula (5.2) ar trebui să fie bine cunoscută cititorului din cursul rezistenței materialelor.
În consecință, forța care acționează asupra secțiunii este egală cu
Deoarece forțele înlocuiesc acțiunea părților respinse ale tijei, rezultanta lor este egală cu diferența
Având în vedere secțiunea selectată a tijei punct material cu masa , unde este densitatea în vrac a tijei și aplicând ea a doua lege a lui Newton, compunem ecuația
Reducand cu si introducand notatia se obtine ecuatia diferentiala a vibratiilor longitudinale libere ale tijei
Dacă în plus presupunem că o forță externă calculată pe unitatea de volum și care acționează de-a lungul axei tijei este aplicată tijei, atunci se va adăuga un termen în partea dreaptă a relației (5 3), iar ecuația (5.4) va lua formă
care coincide exact cu ecuaţia vibraţiilor forţate ale coardei.
Să trecem acum la stabilirea condițiilor inițiale și limită ale problemei și să luăm în considerare cel mai interesant caz în practică, când un capăt al tijei este fix și celălalt este liber.
La capătul liber, condiția la limită va avea o formă diferită. Pentru că la acest capăt forțe externe sunt absente, atunci forța T care acționează în secțiune trebuie să fie și ea egală cu zero, adică.
Oscilațiile apar deoarece în momentul inițial tija a fost deformată (întinsă sau comprimată) și au fost date anumite viteze inițiale punctelor tijei. Prin urmare, trebuie să cunoaștem momentan deplasarea secțiunilor transversale ale tijei
precum şi vitezele iniţiale ale punctelor tijei
Deci, problema vibrațiilor longitudinale libere ale unei tije fixate la un capăt, apărute din cauza compresiei sau tensiunii inițiale, ne-a condus la ecuație
cu conditiile initiale
și condițiile de limită
Este ultima condiție care distinge din punct de vedere matematic problema luată în considerare de problema vibrațiilor unei corzi fixate la ambele capete.
Vom rezolva problema formulată prin metoda Fourier, adică găsim soluții particulare ale ecuației care îndeplinesc condițiile la limită (5.8), sub forma
Deoarece cursul ulterioar al soluției este analog cu cel prezentat deja în § 3, ne limităm la scurte indicații. Diferențiând funcția , substituind expresiile rezultate în (5.6) și separând variabilele, obținem
(Lăsăm cititorului să stabilească singur că, din cauza condițiilor la limită, constanta din partea dreaptă nu poate fi un număr pozitiv sau zero.) Soluția generală a ecuației are forma
Datorita conditiilor impuse functiei, vom avea
Soluțiile care nu sunt identic egale cu zero vor fi obținute numai dacă este îndeplinită condiția, adică pentru , unde k poate lua valorile
Deci, valorile proprii ale problemei sunt numerele
Fiecare are propria sa funcție
După cum știm deja, înmulțind oricare dintre funcțiile proprii cu o constantă arbitrară, vom obține o soluție a ecuației cu condițiile la limită stabilite. Este ușor de verificat că, dând valori negative numărului k, nu vom obține noi funcții proprii (de exemplu, când obținem o funcție care diferă de funcția proprie) doar în semn),
Să demonstrăm mai întâi că funcțiile proprii (5.11) sunt ortogonale în intervalul . Într-adevăr, la
Daca atunci
Este posibil să se demonstreze ortogonalitatea funcțiilor proprii într-un alt mod, nu bazându-ne pe expresiile lor explicite, ci folosind doar o ecuație diferențială și condiții la limită. Lasă și fii doi diferiți valori proprii, și sunt funcțiile proprii corespunzătoare acestora. Prin definiție, aceste funcții satisfac ecuațiile
și condițiile de margine. Înmulțiți prima dintre ecuații cu a doua și scădeți una din cealaltă.
> Unde longitudinale
Învață propagarea, direcția și viteza undă longitudinală: care unde sunt longitudinale, cum se propagă, exemple și fluctuații, cum apar, grafic.
Uneori, undele longitudinale sunt numite unde de compresie. oscilează în direcția de propagare.
Sarcina de invatare
- Determinați proprietățile și exemplele tipului de undă longitudinală.
Puncte cheie
- Oscilațiile undelor longitudinale se efectuează în direcția de propagare, dar sunt prea mici și au poziții de echilibru, astfel încât nu deplasează masa.
- Acest tip poate fi considerat ca impulsuri care transportă energie de-a lungul axei de propagare.
- Ele pot fi, de asemenea, percepute ca unde de presiune cu compresie și rarefacție caracteristice.
Termeni
- Rarefacția este o scădere a densității unui material (în primul rând pentru un lichid).
- Longitudinal - în direcția lungimii axei.
- Compresia este o creștere a densității.
Exemplu
Ce sunt undele longitudinale? Cel mai bun exemplu este unda sonoră. Acomodează impulsurile rezultate din compresia aerului.
Unde longitudinale
În direcția de vibrație, undele longitudinale coincid cu direcția de mișcare. Adică, mișcarea mediului este situată în aceeași direcție cu mișcarea undei. Unele unde longitudinale sunt numite și compresive. Dacă vrei să experimentezi, atunci ia doar o jucărie Slinky (primăvară) și ține-o la ambele capete. În momentul compresiunii și slăbirii, impulsul se va muta până la capăt.
Slinky comprimat este un exemplu de undă longitudinală. Se propagă în aceeași direcție cu vibrațiile
Longitudinal (precum și transversal) nu deplasează masa. Diferența este că fiecare particulă din mediul prin care se propagă undă longitudinală, va oscila de-a lungul axei de propagare. Dacă vă gândiți la Slinky, atunci bobinele oscilează în puncte, dar nu se vor mișca pe lungimea arcului. Nu uitați că nu masa este transportată aici, ci energia sub formă de impuls.
În unele cazuri, astfel de unde acționează ca unde de presiune. Sunetul este un prim exemplu. Ele se formează atunci când un mediu (cel mai adesea, aer) este comprimat. Unde sonore longitudinale - abaterea alternantă a presiunii de la presiunea echilibrată, ceea ce duce la zone locale de compresie și rarefacție.
Materia dintr-un mediu este deplasată periodic de o undă sonoră și oscilează. Pentru a produce sunet, trebuie să comprimați particulele de aer într-o anumită cantitate. Așa se formează undele transversale. Urechile reacţionează sensibil la diferite presiuni şi traduc undele în tonuri.
Sub tijă înțelegem cilindrul П=0х[О, /], când eu" diamD. Aici D- zona activata plan de coordonate Oh 2 x 3 (Fig. 62). Materialul tijei este omogen și izotrop, iar axa Ox trece prin centrul de greutate al secțiunii D. Câmpul forțelor corpului extern f(r, eu)\u003d / (X |, /) e, unde e, este vectorul unitar al axei Ox. Fie forțele de suprafață exterioară pe suprafața laterală a cilindrului să fie egale cu zero, adică. Ra= 0 pe dd X
Apoi din (4.8) rezultă pentru 1=0 egalitate
Forme proprii X k(j) este convenabil să se normalizeze folosind norma spațiului /^() căruia îi aparține funcția v(s, eu),întrucât în fiecare moment de timp există și este limitat de energia cinetică funcțională
Unde S- zona regiunii D. Avem
X*(s) = Jj- sin^-l în spațiul vitezelor R 0 = ji)(s, /): v(s,t)e
Ca rezultat, obținem o bază ortonormală |l r *(^)| ,
Unde b la „- Simbol Kronecker: Funcții X k *(s), k= 1,2, sunt formele normale ale oscilațiilor naturale, iar u*, k= 1, 2, ..., - frecvențele naturale de oscilație ale sistemului cu un număr infinit de grade de libertate.
În concluzie, observăm că funcția u(s, /) aparține spațiului de configurare al sistemului H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) \u003d 0), unde U ^ "OO, /]) este spațiul Sobolev al funcțiilor însumate împreună cu pătratele primelor derivate de pe segment . Spațiul R, este domeniul de definire al funcționalei energiei potențiale a deformaţiilor elastice
și conține soluții generalizate ale problemei luate în considerare.