În cazul în care un f (x , t) = 0 (\displaystyle f(x,\;t)=0), atunci această ecuație se numește omogen, in caz contrar - eterogen.

În funcție de tipul de condiții la limită, problemele pentru ecuația căldurii pot fi împărțite în trei tipuri. Luați în considerare cazul general ( α i 2 + β i 2 ≠ 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)^(2)+\beta _(i)^(2)\neq 0,\;(i= 1,\;2))).

În cazul în care un α i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \alpha _(i)=0,\;(i=1,\;2)), atunci această condiție se numește stare de primul fel, dacă β i = 0 , (i = 1 , 2) (\displaystyle \beta _(i)=0,\;(i=1,\;2)) - al doilea fel, si daca α i (\displaystyle \alpha _(i))și β i (\displaystyle \beta _(i)) sunt diferite de zero, atunci condiția al treilea fel. De aici obținem probleme pentru ecuația căldurii - prima, a doua și a treia limită.

Principiul maxim

Lasă o funcție în spațiu D × [ 0 , T ] , D ∈ R n (\displaystyle D\times ,\;D\in \mathbb (R) ^(n)), satisface ecuația de conducere omogenă a căldurii ∂ u ∂ t − a 2 Δ u = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-a^(2)\Delta u=0), și D (\displaystyle D)- zona restrictionata. Principiul maximului prevede că funcţia u (x , t) (\displaystyle u(x,\;t)) poate lua valori extreme fie la momentul inițial de timp, fie la limita regiunii D (\displaystyle D).

Note

Când construim un model matematic de propagare a căldurii într-o tijă, facem următoarele ipoteze:

1) tija este realizată dintr-un material conductiv omogen cu o densitate ρ ;

2) suprafața laterală a tijei este izolată termic, adică căldura se poate răspândi numai de-a lungul axei OH;

3) tija este subțire - asta înseamnă că temperatura în toate punctele oricărei secțiuni transversale a tijei este aceeași.

Luați în considerare o parte a tijei de pe segmentul [ x, x + ∆x] (vezi Fig. 6) și utilizați legea conservării cantității de căldură:

Cantitatea totală de căldură din segmentul [ x, x + ∆x] = cantitatea totală de căldură care trece prin limite + cantitatea totală de căldură generată de sursele interne.

Cantitatea totală de căldură care trebuie transmisă unei secțiuni a tijei pentru a-i crește temperatura cu ∆U, se calculează prin formula: ∆Q=CρS∆x∆U, Unde Cu- capacitatea termică specifică a materialului (= cantitatea de căldură care trebuie raportată la 1 kg de substanță pentru a-i crește temperatura cu 1 °); S- arie a secțiunii transversale.

Cantitatea de căldură trecută prin capătul din stânga secțiunii tijei în timpul timpului ∆t(fluxul de căldură) se calculează prin formula: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, Unde k- coeficientul de conductivitate termică a materialului (= cantitatea de căldură care curge pe secundă printr-o tijă de lungime unitară și secțiune transversală unitară cu o diferență de temperatură la capete opuse egală cu 1 °). În această formulă, semnul minus necesită o explicație specială. Cert este că fluxul este considerat pozitiv dacă este îndreptat în direcția creșterii. X, iar aceasta, la rândul său, înseamnă că la stânga punctului X temperatura este mai mare decât în ​​dreapta, adică U x< 0 . Prin urmare, pentru a Î1 a fost pozitiv, există un semn minus în formulă.

În mod similar, fluxul de căldură prin capătul drept al secțiunii tijei este calculat prin formula: Q 2 \u003d -kSU x (x +∆x,t)∆t.

Dacă presupunem că nu există surse interne de căldură în tijă și folosim legea conservării căldurii, obținem:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Dacă această egalitate este împărțită la S∆x∆tși străduiește-te ∆хși ∆t la zero, vom avea:

De aici, ecuația de conducere a căldurii are forma

U t \u003d a 2 U xx,

unde este coeficientul de difuzivitate termică.

În cazul în care există surse de căldură în interiorul tijei, distribuite continuu cu o densitate q(x,t), obținem o ecuație neomogenă de conducere a căldurii

U t = a 2 U xx + f(x,t),
Unde .

Condiții inițiale și condiții la limită.

Numai pentru ecuația căldurii o condiție inițială U| t=0 = φ(x)(sau într-o altă intrare U(x,0) = φ(x)) si fizic inseamna ca distributia initiala a temperaturii tijei are forma φ(x). Pentru ecuațiile de conducere a căldurii într-un plan sau în spațiu, condiția inițială are aceeași formă, doar funcția φ va depinde de două sau, respectiv, trei variabile.

Condițiile la limită în cazul ecuației căldurii au aceeași formă ca și pentru ecuația undelor, dar semnificația lor fizică este deja diferită. Condiții primul fel (5)înseamnă că temperatura este setată la capetele tijei. Dacă nu se schimbă în timp, atunci g 1 (t) ≡ T 1și g 2 (t) ≡ T 2, Unde T 1și T 2- permanentă. Dacă capetele sunt păstrate la temperatura zero tot timpul, atunci T 1 \u003d T 2 \u003d 0 iar conditiile vor fi aceleasi. Condiții de frontieră al doilea fel (6) determinați fluxul de căldură la capetele tijei. În special, dacă g 1 (t) = g 2 (t) = 0, atunci condițiile devin uniforme. Din punct de vedere fizic, ele înseamnă că schimbul de căldură cu mediul exterior nu are loc prin capete (aceste condiții se mai numesc și condițiile pentru izolarea termică a capetelor). În sfârșit, condițiile la limită al treilea fel (7) corespund cazului în care schimbul de căldură cu mediul are loc prin capetele tijei conform legii lui Newton (reamintim că la derivarea ecuației căldurii am considerat că suprafața laterală este izolată termic). Adevărat, în cazul ecuației căldurii, condițiile (7) sunt scrise puțin diferit:

Legea fizică a schimbului de căldură cu mediul (legea lui Newton) este că fluxul de căldură printr-o unitate de suprafață pe unitatea de timp este proporțional cu diferența de temperatură dintre corp și mediu. Astfel, pentru capătul stâng al tijei, este egal cu Aici h1 > 0- coeficientul de schimb de căldură cu mediul, g 1 (t)- temperatura ambiantă la capătul din stânga. Semnul minus este pus în formulă din același motiv ca și atunci când se derivă ecuația căldurii. Pe de altă parte, datorită conductivității termice a materialului, fluxul de căldură prin același capăt este egal.Aplicând legea conservării cantității de căldură se obține:

În mod similar, condiția (14) se obține la capătul drept al tijei, doar constanta λ2 poate fi diferit, deoarece, în general, mediile din jurul capetelor din stânga și din dreapta sunt diferite.

Condițiile limită (14) sunt mai generale decât condițiile din primul și al doilea fel. Dacă presupunem că nu există schimb de căldură cu mediul prin orice capăt (adică coeficientul de transfer de căldură este zero), atunci se va obține o condiție de al doilea fel. Într-un alt caz, să presupunem că coeficientul de transfer de căldură, de exemplu h1, foarte mare.

Să rescriem condiția (14) pentru x = 0 la fel de și să ne străduim. Ca urmare, vom avea o condiție de primul fel:

Condițiile limită sunt formulate în mod similar pentru un număr mai mare de variabile. Pentru problema propagării căldurii într-o placă plană, condiția înseamnă că temperatura la marginile acesteia este menținută la zero. În același mod, condițiile sunt la exterior foarte asemănătoare, dar în primul caz înseamnă că se ia în considerare o placă plană și marginile acesteia sunt izolate termic, iar în al doilea caz înseamnă că se ia în considerare problema propagării căldurii în corp. iar suprafața sa este izolată termic.

Rezolvarea primei probleme de valoare inițială la limită pentru ecuația căldurii.

Luați în considerare prima problemă omogenă a valorii limită inițială pentru ecuația căldurii:

Găsiți o soluție pentru ecuație

U t = U xx , 0 0,

satisfacerea condiţiilor la limită

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

si starea initiala

Să rezolvăm această problemă prin metoda Fourier.

Pasul 1. Vom căuta soluții pentru ecuația (15) sub forma U(x,t) = X(x)T(t).

Să găsim derivate parțiale:

Înlocuiți aceste derivate în ecuație și separați variabilele:

După lema principală, obținem

asta implică

Acum puteți rezolva fiecare dintre aceste ecuații diferențiale obișnuite. Să acordăm atenție faptului că, folosind condițiile la limită (16), se poate căuta nu soluția generală a ecuației b), ci soluțiile particulare care îndeplinesc condițiile la limită corespunzătoare:

Pasul 2 Să rezolvăm problema Sturm-Liouville

Această problemă coincide cu problema Sturm-Liouville luată în considerare în prelegeri 3. Amintiți-vă că valorile proprii și funcțiile proprii ale acestei probleme există numai pentru λ>0.

Valorile proprii sunt

Funcţiile proprii sunt (Vezi rezolvarea problemei)

METODE ANALITICE PENTRU REZOLVAREA ECUAȚIEI CONDUCTIVITĂȚII CĂLDURII

În prezent, un număr foarte mare de probleme unidimensionale de conducere a căldurii au fost rezolvate analitic.

A.V.Lykov, de exemplu, are în vedere patru metode de rezolvare a ecuației căldurii într-o problemă unidimensională: metoda de separare a variabilelor, metoda surselor, metoda operațională, metoda transformărilor integrale finite.

În viitor, ne vom concentra doar pe prima metodă, care a primit cea mai mare distribuție.

Metoda de separare a variabilelor în rezolvarea ecuației căldurii

Ecuația diferențială a conducerii căldurii în condițiile unei probleme unidimensionale și fără surse de căldură are forma

T /? f \u003d a? 2 t/?x 2 .(3.1)

Această ecuație este un caz special al unei ecuații diferențiale omogene cu coeficienți constanți pentru o funcție t a două variabile x și φ:

Este ușor de verificat că o anumită soluție a acestei ecuații este expresia

t = C exp (bx + cf).(3.3)

Într-adevăr:

• ?t/?x = bC exp (bx + wf); ?t/?ph = sc exp (bx + wf);
• ? 2 t /? x 2 \u003d b 2 C exp (bx + wf);
• ? 2 t /? f 2 \u003d în 2 C exp (bx + wf);? 2 t/(?x ?f) = bvS exp (bx + wf).(3.4)

Rezolvând împreună ultimele șapte ecuații, rezultă

a 1 b 2 + b 1 bc + c 1 c 2 + d 1 b + l 1 c + f 1 = 0.(3.5)

Ultima ecuație se numește ecuația coeficientului.

Trecând la ecuația (3.1) și comparând-o cu ecuația (3.2), concluzionăm că

b 1 = c 1 = d 1 = f 1 = 0, a 1 = - a, l 1 = 1. (3.6)

Ecuația coeficienților (3.5) pentru cazul particular al ecuației (3.1) ia forma

B 2 a + c = 0(3,7)

c = b 2 a.(3.8)

Astfel, soluția particulară (3.3) este o integrală a ecuației diferențiale (3.1) și, ținând cont de (3.8), ia forma

t = C exp (b 2 aph + bx).(3.9)

În această ecuație, puteți seta orice valoare a numerelor pentru C, b, a.

Expresia (3.9) poate fi reprezentată ca un produs

t = C exp (b 2 aph) exp (bx),(3.10)

unde factorul exp (b 2 aph) este o funcție doar a timpului φ, iar factorul exp (bx) este doar o funcție a distanței x:

exp (b 2 aph) \u003d f (f); exp (bx) \u003d q (x). (3.11)

Pe măsură ce timpul φ crește, temperatura în toate punctele crește continuu și poate deveni mai mare decât cea predeterminată, ceea ce nu se întâmplă în problemele practice. Prin urmare, se iau de obicei doar acele valori ale lui 6 pentru care 6 2 este negativ, ceea ce este posibil atunci când 6 este pur imaginar. Accept

b = ± iq,(3,12)

unde q este un număr real arbitrar (anterior, q reprezenta fluxul de căldură specific),

În acest caz, ecuația (3.10) va lua următoarea formă:

t \u003d C exp (- q 2 aph) exp (± iqx). (3.13)

Referindu-ne la binecunoscuta formulă Euler

exp (± ix) = cos x ± i sin x(3.14)

și, folosindu-l, transformăm ecuația (3.13). Obținem două soluții în formă complexă:

Rezumăm părțile din stânga și dreapta ale ecuațiilor (3.15), apoi separăm părțile reale de părțile imaginare din părțile din stânga și din dreapta ale sumei și, respectiv, le echivalăm. Atunci obținem două soluții:

Să introducem notația:

(C1 + C2)/2 = D;(C1 - C2)/2 = C(3,17)

atunci obținem două soluții care satisfac ecuația diferențială a căldurii (3.1):

t 1 \u003d D exp (- q 2 af) cos (qx); t 2 \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx). (3.18)

Se știe că, dacă funcția dorită are două soluții particulare, atunci suma acestor soluții particulare va satisface și ecuația diferențială inițială (3.1), adică soluția acestei ecuații va fi

t \u003d C exp (- q 2 af) sin (qx) + D exp (- q 2 af) cos (qx), (3.19)

iar soluția generală care satisface această ecuație poate fi scrisă sub următoarea formă:

Orice valoare a lui q m , q n , C i , D i din ecuația (3.20) va satisface ecuația (3.1). Specificarea în alegerea acestor valori va fi determinată de condițiile inițiale și la limită ale fiecărei probleme practice particulare, iar valorile lui q m și q n sunt determinate din condițiile la limită, iar C i și D i, - din cele initiale.

Pe lângă soluția generală a ecuației de căldură (3.20) în care are loc produsul a două funcții, dintre care una depinde de x și cealaltă de φ, există și soluții în care o astfel de separare este imposibilă, de exemplu:

Ambele soluții satisfac ecuația căldurii, care este ușor de verificat prin diferențierea lor mai întâi față de φ și apoi de 2 ori față de x și înlocuirea rezultatului în ecuație diferențială (3.1).

Un exemplu particular de câmp de temperatură nestaționar într-un perete

Luați în considerare un exemplu de aplicare a soluției obținute mai sus.

Datele inițiale.

• 1. Având în vedere un perete de beton cu grosimea de 2X = 0,80 m.
• 2. Temperatura mediului din jurul peretelui u = 0°С.
• 3. La momentul inițial de timp, temperatura peretelui în toate punctele F(x)=1°C.
• 4. Coeficientul de transfer termic al peretelui b = 12,6 W / (m 2 ° C); coeficient de conductivitate termică a peretelui l=0,7W/(m °C); densitatea materialului peretelui c=2000kg/m 3 ; capacitatea termică specifică c=1,13 10 3 J/(kg °C); coeficient de difuzivitate termică a=1,1·10 -3 m2/h; coeficientul relativ de transfer termic b/l = h=18,0 1/m. Este necesar să se determine distribuția temperaturii în perete la 5 ore după ora inițială.

Decizie. Trecând la soluția generală (3.20) și ținând cont de faptul că distribuțiile inițiale și ulterioare de temperatură sunt simetrice față de axa peretelui, concluzionăm că seria sinusurilor din această soluție generală dispare, iar pentru x = X va avea formă

Valorile sunt determinate din condițiile la limită (fără explicații suplimentare aici) și sunt date în Tabelul 3.1.

Având valorile din tabelul 3.1, găsim intervalul dorit de valori folosind formula

Tabelul 3.1 Valorile funcțiilor incluse în formula (3.24)

adică D1 = 1,250; D2 \u003d - 0,373; D3 = 0,188; D4 \u003d - 0,109; D5 = 0,072.

Distribuția inițială a temperaturii în peretele considerat va lua următoarea formă:

Pentru a obține distribuția de temperatură calculată la 5 ore după momentul inițial, este necesar să se determine o serie de valori pentru timpul de după 5 ore.Aceste calcule se fac în tabelul 3.2.

Tabelul 3.2 Valorile funcțiilor incluse în formula (3.23)

Expresia finală pentru distribuția temperaturii în grosimea peretelui la 5 ore după momentul inițial

În figura 3.1 este prezentată distribuția temperaturii în grosimea peretelui în momentul inițial de timp și după 5 ore.Alături de soluția generală, aici sunt prezentate și cele private, cu cifrele romane indicând curbe private corespunzătoare termenilor succesivi de serie (3.25). ) și (3.26).

Fig.3.1.

Când rezolvați probleme practice, de obicei nu este nevoie să determinați temperatura în toate punctele peretelui. Vă puteți limita la a calcula temperatura doar pentru un punct, de exemplu, pentru un punct din mijlocul peretelui. În acest caz, cantitatea de lucru de calcul conform formulei (3.23) va fi redusă semnificativ.

Dacă temperatura inițială în cazul considerat mai sus nu este egală cu 1 ° C, ci T c, atunci ecuația (3.20) va lua forma

Rezolvarea ecuației căldurii în diferite condiții la limită

Nu vom oferi un curs consistent de rezolvare a ecuației căldurii pentru alte condiții la limită, care sunt de importanță practică în rezolvarea unor probleme. Mai jos ne limităm la formularea condițiilor lor cu o demonstrație a soluțiilor gata făcute disponibile.

Datele inițiale. Peretele are o grosime de 2X. În momentul inițial, în toate punctele sale, cu excepția suprafeței, temperatura este Тс. Temperatura la suprafață este de 0 °С pe toată perioada de calcul.

Este necesar să se găsească t = f(x, φ).

Rezervorul imobil a fost acoperit cu gheață la temperatura de cea mai mare densitate a apei (Тс = 4°С). Adâncimea rezervorului este de 5m (X = 5m). Calculați temperatura apei în rezervor la 3 luni după îngheț. Difuzivitate termică a apei plate a = 4,8 10 -4 m 2 / h. Nu există flux de căldură în apropierea fundului, adică la x = 0.

În perioada de calcul (f=3·30·24=2160 h), temperatura de la suprafață se menține constantă și egală cu zero, adică la x = X T p = 0°C. Întregul calcul este rezumat în tabel. 3 și 4. Aceste tabele vă permit să calculați valorile temperaturii la 3 luni după momentul inițial pentru adâncimi din apropierea fundului, apoi mai mari după 1 m, adică t 0 (jos) = 4°C; t 1 \u003d 4 ° C; t2 = 3,85°C; t3 = 3,30°C; t4 = 2,96°C; t 5 (pov) \u003d 0 ° C.

Tabelul 3.3

Tabelul 3.4

După cum puteți vedea, în apa absolut calmă, perturbațiile de temperatură pătrund adânc în adâncime foarte lent. În condiții naturale, în corpurile de apă aflate sub acoperire de gheață, se observă întotdeauna curenți, fie gravitaționali (curgătoare), fie convective (de densitate diferită), fie, în sfârșit, cauzați de afluxul de apă subterană. Toată varietatea acestor caracteristici naturale ar trebui luată în considerare în calculele practice, iar recomandările pentru aceste calcule pot fi găsite în manuale și în lucrările lui K.I. Rossinsky.

Corpul este delimitat pe o parte (semiplan). În momentul de timp φ = 0 în toate punctele, temperatura corpului este egală cu T s. Pentru toate momentele de timp φ > 0, temperatura T p = 0°C se menține pe suprafața corpului.

Este necesar să se găsească distribuția temperaturii în grosimea corpului și pierderea de căldură prin suprafața liberă în funcție de timp: t = f (x, f),

Decizie. Temperatura oriunde în corp și în orice moment

unde este integrala lui Gauss. Valorile sale în funcție de funcție sunt date în tabelul 3.5.

Tabelul 3.5

În practică, soluția începe cu determinarea relației în care x și φ sunt date în enunțul problemei.

Cantitatea de căldură pierdută de o unitate de suprafață a corpului către mediu este determinată de legea Fourier. Pentru întreaga perioadă de decontare de la momentul inițial până la decontare

La momentul inițial de timp, temperatura solului de la suprafață la o adâncime considerabilă era constantă și egală cu 6°C. În acest moment, temperatura de la suprafața solului a scăzut la 0°C.

Este necesar să se determine temperatura solului la o adâncime de 0,5 m după 48 de ore cu valoarea coeficientului de difuzivitate termică a solului a = 0,001 m 2 / h și, de asemenea, să se estimeze cantitatea de căldură pierdută de către suprafata in acest timp.

Conform formulei (3.29), temperatura solului la o adâncime de 0,5 m după 48 de ore este t=6·0,87=5,2°C.

Cantitatea totală de căldură pierdută de o unitate de suprafață a solului, cu un coeficient de conductivitate termică l = 0,35 W / (m ° C), capacitate termică specifică c = 0,83 10 3 J / (kg ° C) și densitate c = 1500 kg / m 3 determinăm prin formula (3.30) Q \u003d l,86 10 6 J / m 2.

corp de căldură cu conductivitate termică integrală

Fig.3.2

Datorită unei influențe externe, temperatura de suprafață a unui corp delimitat pe o parte (un semiplan) suferă fluctuații periodice în jurul zero. Vom presupune că aceste oscilații sunt armonice, adică temperatura suprafeței variază de-a lungul unei unde cosinus:

unde este durata oscilației (perioada), T 0 este temperatura suprafeței,

T 0 max -- abaterea sa maximă.

Este necesar să se determine câmpul de temperatură în funcție de timp.

Amplitudinea fluctuațiilor de temperatură variază de la x conform următoarei legi (Fig. 3.2):

Un exemplu pentru problema nr. 3. Schimbarea temperaturii la suprafața solului uscat nisipos în timpul anului este caracterizată printr-un curs cosinus. În acest caz, temperatura medie anuală este de 6°C, cu abateri maxime de la medie vara și iarna, ajungând la 24°C.

Este necesară determinarea temperaturii solului la o adâncime de 1 m în momentul în care temperatura la suprafață este de 30°C (condițional 1/VII).

Expresia cosinusului (3.31) în raport cu acest caz (temperatura suprafeței) la T 0 max \u003d 24 0 C ia forma

T 0 \u003d 24 cos (2rf / 8760) + 6.

Datorită faptului că suprafața solului are o temperatură medie anuală de 6 ° C, și nu zero, ca în ecuația (3.32), ecuația de calcul va lua următoarea formă:

Presupunând pentru sol coeficientul de difuzivitate termică a = 0,001 m 2 / h și ținând cont că în funcție de starea problemei este necesară determinarea temperaturii la sfârșitul perioadei de calcul (după 8760 ore de la momentul inițial). ), găsim

Expresia de calcul (3.34) va lua următoarea formă: t \u003d 24e -0,6 0,825 + 6 \u003d 16,9 ° С.

La aceeași adâncime de 1 m, amplitudinea maximă a fluctuației anuale a temperaturii, conform expresiei (3.33), va fi

T 1 max \u003d 24e -0,6 \u003d 13,2 ° С,

iar temperatura maximă la o adâncime de 1 m

t 1 max \u003d T x max + 6 \u003d 13,2 + 6 \u003d 19,2 ° С.

În concluzie, observăm că problemele și abordările luate în considerare pot fi utilizate în rezolvarea problemelor legate de eliberarea apei calde într-un rezervor, precum și în metoda chimică de determinare a debitului de apă și în alte cazuri.

Formulele pentru calcularea câmpului de temperatură și a fluxului de căldură în special problemele de conducere staționară și nestaționară a căldurii sunt obținute pe baza descrierii matematice (modelul matematic) a procesului. Baza modelului este ecuația diferențială a conducției căldurii, care este derivată folosind prima lege a termodinamicii pentru corpurile care nu lucrează și legea Fourier de conducere a căldurii. Ecuația diferențială a unui proces fizic este de obicei derivată în baza anumitor ipoteze care simplifică procesul. Prin urmare, ecuația rezultată descrie clasa de procese numai în cadrul ipotezelor acceptate. Fiecare sarcină specifică este descrisă de condițiile de unicitate corespunzătoare. Astfel, descrierea matematică a procesului de conducție a căldurii include o ecuație diferențială de conducere a căldurii și condiții de unicitate.

Luați în considerare derivarea ecuației diferențiale a conducției căldurii în următoarele ipoteze:

• a) corpul este omogen şi anizotrop;
• b) coeficientul de conductivitate termică depinde de temperatură;
• c) deformarea volumului luat în considerare, asociată cu o modificare a temperaturii, este foarte mică comparativ cu volumul în sine;
• d) în interiorul corpului există surse interne de căldură distribuite uniform q v = f(x, y, z, m) = const;
• e) nu există nicio mișcare a macroparticulelor corpului unele față de altele (convecție).

În corpul cu caracteristicile acceptate, selectăm un volum elementar sub forma unui paralelipiped cu margini dx, dy, dz, orientat definitiv într-un sistem de coordonate ortogonal (Fig. 14.1). În conformitate cu prima lege a termodinamicii pentru corpurile care nu lucrează, modificarea energiei interne dU substanțe în volumul alocat în timp dx este egală cu cantitatea de căldură furnizată

Orez. 14.1.

volum datorat conducerii căldurii dQ x , și căldură degajată de sursele interne dQ2".

Din termodinamică se știe că modificarea energiei interne a unei substanțe într-un volum dV pe parcursul dx egală

Unde dG = p dv- masa substanței; p - densitate; cu - capacitatea termică a masei specifice (pentru lichide compresibile c = cv (capacitate termică izocorică)).

Cantitatea de energie alocată de surse interne,

Unde qv - densitatea în vrac a surselor interne de căldură, W/m 3.

Fluxul de căldură care intră în volum prin conductivitate termică este împărțit în trei componente în funcție de direcția axelor de coordonate: Prin fețele opuse va fi căldura

fie eliminată în cantitate, respectiv Diferența dintre cantitatea de căldură furnizată și îndepărtată este echivalentă cu o modificare a energiei interne din cauza conductibilității termice dQ v Reprezentăm această valoare ca suma componentelor de-a lungul axelor de coordonate:

Apoi, în direcția axei x avem

În măsura în care -

densitățile fluxului de căldură pe goanele opuse.

Funcţie qx+dx este continuă în intervalul considerat dxși poate fi extins într-o serie Taylor:

Restricționându-ne la primii doi termeni ai seriei și substituind în (14.6), obținem

În mod similar, obținem:

După înlocuirea (14.8)-(14.10) în (14.4) avem

Înlocuind (14.2), (14.3) și (14.11) în (14.1), obținem o ecuație diferențială pentru transferul de căldură prin conducție de căldură, ținând cont de sursele interne:

Conform legii Fourier a conducerii căldurii, scriem expresii pentru proiecțiile pe axele de coordonate ale densității fluxului de căldură:

Unde X x, X y, X z- coeficienţi de conductivitate termică în direcţia axelor de coordonate (corp anizotrop).

Înlocuind aceste expresii în (14.12), obținem

Ecuația (14.13) se numește ecuația diferențială a conducerii căldurii pentru corpurile anizotrope cu proprietăți fizice independente de temperatură.

Dacă se acceptă X= const, iar corpul este izotrop, ecuația căldurii ia forma

Aici A = Х/(ср), m 2 / s, - difuzivitate termică,

care este un parametru fizic al unei substanțe care caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în procesele de încălzire sau răcire. Corpurile formate dintr-o substanță cu un coeficient ridicat de difuzivitate termică, ceteris paribus, se încălzesc și se răcesc mai repede.

Într-un sistem de coordonate cilindric, ecuația diferențială a căldurii pentru un corp izotrop cu proprietăți fizice constante are forma

Unde g, z,Ф - respectiv coordonate radiale, axiale și unghiulare.

Ecuațiile (14.13), (14.14) și (14.15) descriu procesul de conducere a căldurii în cea mai generală formă. Sarcinile specifice diferă conditii de unicitate, adică descrierea caracteristicilor procesului luat în considerare.

condiţii pentru neechivocitate. Pe baza conceptelor fizice de conductivitate termică, se pot evidenția factorii care influențează procesul: proprietățile fizice ale substanței; dimensiunea și forma corpului; distribuția inițială a temperaturii; condiţiile de transfer de căldură pe suprafaţa (limita) corpului. Astfel, condițiile de unicitate sunt împărțite în fizice, geometrice, inițiale și de limită (limită).

conditii fizice sunt dați parametrii fizici ai substanței X, s, p şi distribuţia surselor interne.

Termeni geometrici se stabilesc forma şi dimensiunile liniare ale corpului în care are loc procesul.

Condiții inițiale este dată distribuţia temperaturii în corp la momentul iniţial de timp t= /(x, y,z) la m = 0. Condiţiile iniţiale sunt importante atunci când se consideră procese nestaţionare.

În funcție de natura transferului de căldură la limita corpului, condițiile de limită (limită) sunt împărțite în patru tipuri.

Condiții limită de primul fel. Specifică distribuția temperaturii pe suprafață t nîn timpul procesului

Într-un caz particular, temperatura suprafeței poate rămâne constantă (/n = const).

Condițiile limită de primul fel apar, de exemplu, în timpul încălzirii prin contact în procesele de lipire a placajului, presarea plăcilor de PAL și a plăcilor din fibre etc.

Condiții limită de al doilea fel. Distribuția valorilor densității fluxului de căldură pe suprafața corpului în timpul procesului este setată

Într-un caz particular, fluxul de căldură de pe suprafață poate rămâne constant (

Condiții limită de al treilea fel corespund transferului de căldură convectiv pe suprafață. În aceste condiții, temperatura lichidului în care se află corpul, Tf = /(t), și coeficientul de transfer termic oc ar trebui să fie setate. În cazul general, coeficientul de transfer de căldură este o valoare variabilă, prin urmare, trebuie stabilită legea modificării sale a = / (t). Este posibil un caz special: / f = const; a = const.

Condiții limită de al patrulea fel Caracterizați condițiile de schimb de căldură ale corpurilor cu coeficienți de conductivitate termică diferiți la contactul lor ideal, când căldura este transferată prin conductivitate termică și fluxurile de căldură pe părțile opuse ale suprafeței de contact sunt egale:

Ipotezele fizice acceptate, ecuația derivată în baza acestor ipoteze și condițiile de unicitate constituie o descriere analitică (model matematic) a proceselor de conducere a căldurii. Succesul utilizării modelului obţinut pentru rezolvarea unei probleme specifice va depinde de modul în care ipotezele acceptate şi condiţiile de unicitate sunt adecvate condiţiilor reale.

Ecuațiile (14.14) și (14.15) sunt rezolvate destul de simplu analitic pentru un regim termic staționar unidimensional. Soluțiile sunt discutate mai jos. Pentru procesele staționare bidimensionale și tridimensionale sunt utilizate metode numerice aproximative

Pentru rezolvarea ecuațiilor (14.13) - (14.15) în condițiile unui regim termic nestaționar, se folosesc o serie de metode, care sunt considerate în detaliu în literatura de specialitate. Sunt cunoscute metode analitice exacte și aproximative, metode numerice etc.

Rezolvarea numerică a ecuației căldurii se realizează în principal prin metoda diferențelor finite. Alegerea uneia sau a alteia metode de rezolvare depinde de condițiile problemei. Ca rezultat al rezolvării prin metode analitice, se obțin formule care sunt aplicabile pentru rezolvarea unei game de probleme de inginerie în condiții adecvate. Metodele numerice fac posibilă obținerea câmpului de temperatură t=f(x, y, z, m) ca un set de valori discrete de temperatură în diferite puncte la momente fixe pentru o anumită sarcină. Prin urmare, utilizarea metodelor analitice este de preferat, dar acest lucru nu este întotdeauna posibil pentru probleme multidimensionale și condiții la limită complexe.