U| x=0 = g 1 (t),U| x=l = g 2 (t)

Aceste condiții înseamnă fizic că modurile de oscilație sunt setate la capete.

II. Condiții limită de al doilea fel

U X | x=0 = g 1 (t), U X | x=l = g 2 (t)

Astfel de condiții corespund faptului că forțele sunt date la capete.

III. Condiții limită de al treilea fel

(U X -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t), (U X –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Aceste condiții corespund fixării elastice a capetelor.

Condițiile la limită (5), (6) și (7) se numesc omogene dacă laturile drepte g 1 (t) și g 2 (t) sunt identic egale cu zero pentru toate valorile lui t. Dacă cel puțin una dintre funcțiile din partea dreaptă nu este egală cu zero, atunci condițiile la limită se numesc neomogene.

Formulat similar condiţiile de frontieră iar în cazul a trei sau patru variabile, cu condiția ca una dintre aceste variabile să fie timpul. Limita în aceste cazuri va fi fie o curbă închisă Γ care delimitează o anumită regiune plană, fie o suprafață închisă Ω care delimitează o regiune în spațiu. În consecință, derivata funcției, care apare în condițiile la limită de al doilea și al treilea fel, se va modifica și ea. Aceasta va fi derivata de-a lungul normalei n la curba Г pe plan sau la suprafața Ω în spațiu și, de regulă, se consideră normala externă regiunii (vezi Fig. 5).

De exemplu, condiția la limită (omogenă) de primul fel pe plan se scrie ca U| Γ =O, în spațiul U| Ω =0. Condiția la limită de al doilea fel pe plan are forma , iar în spațiu . Cu siguranță, sens fizic aceste condiții sunt diferite pentru diferite sarcini.

Când se stabilesc condițiile inițiale și la limită, se pune problema găsirii unei soluții la ecuația diferențială care să satisfacă condițiile inițiale și la limită (de limită) date. Pentru ecuația de undă (3) sau (4), condițiile inițiale U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) și în cazul condițiilor la limită de primul fel ( 5), problema se numește prima problemă inițială a valorii la limită pentru ecuația de undă. Dacă în locul condițiilor limită de primul fel se stabilesc condiții de al doilea fel (6) sau de al treilea fel (7), atunci problema va fi numită, respectiv, a doua și a treia problemă a valorii la limită inițială. Dacă condiţiile la limită în diferite secţiuni ale limitei au tipuri diferite, atunci se numesc astfel de probleme de valoare inițială-limită amestecat.

Luați în considerare două probleme electrostatice tipice:

1) Găsiți potențialul câmp electric la o locație necunoscută a sarcinilor inițiale, dar un potențial electric dat la limitele regiunii. (De exemplu, problema distribuției potențiale a câmpului electric creat de un sistem de conductoare fixe plasate în vid și conectate la baterii. Aici se poate măsura potențialul fiecărui conductor, dar este foarte dificil să se stabilească distribuția sarcinilor electrice pe conductori, în funcție de forma acestora.)

2) Aflați potențialul câmpului electric creat de o distribuție dată în spațiu a sarcinilor electrice.

Este bine cunoscut faptul că metoda directă de calcul a potențialului câmpului electric în aceste probleme este de a rezolva Ecuații Laplace(sarcina 1)

(1)

Și Ecuații Poisson(sarcina 2)

. (2)

Ecuațiile (1), (2) aparțin clasei ecuațiilor cu diferențe parțiale tip eliptic.

Mai jos vom considera doar un caz particular de ecuații eliptice pentru câmpul  în funcție de două variabile spațiale. Este destul de evident că pt solutie completa problema ecuației (1), (2) trebuie completată cu condiții la limită. Există trei tipuri de condiții la limită:

1) Condiții la limită Dirichlet(valorile lui  sunt stabilite pe o curbă închisă în plan (x, y) și, eventual, pe unele curbe suplimentare situate în interiorul regiunii (Fig. 1));

2) Condiții la limită Neumann(derivata normală a potențialului  este stabilită pe graniță);

3) amestecat problema valorii la limită (la limită este dată o combinație liniară a potențialului  și a derivatei sale normale).

După cum sa menționat în introducere, ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul doi au un număr infinit de soluții în funcție de două funcții arbitrare. Pentru a determina aceste funcții arbitrare sau, cu alte cuvinte, pentru a selecta soluția particulară de care avem nevoie, trebuie să impunem condiții suplimentare funcției dorite. Cititorul a întâlnit deja un fenomen similar la rezolvarea ecuațiilor diferențiale obișnuite, când selectarea unei soluții comune dintr-una generală a constat în procesul de găsire a constantelor arbitrare în funcție de condiții inițiale date.

Când se analizează problema vibrațiilor corzilor, condițiile suplimentare pot fi de două tipuri: inițiale și de limită (sau de limită).

Condițiile inițiale arată în ce stare se afla șirul în momentul în care a început vibrația. Cel mai convenabil este să considerăm că șirul a început să oscileze în momentul de față. Poziția inițială a punctelor șirului este dată de condiție

si viteza initiala

unde sunt date funcții.

Notația și înseamnă că funcția este luată la o valoare arbitrară și la , adică în mod similar . Această formă de înregistrare este utilizată constant în viitor; deci, de exemplu, etc.

Condițiile (1.13) și (1.14) sunt similare cu condițiile inițiale din cea mai simplă problemă de dinamică punct material. Acolo, pentru a determina legea mișcării unui punct, pe lângă ecuația diferențială, trebuie să cunoașteți poziția inițială a punctului și viteza sa inițială.

Condițiile la limită au un caracter diferit. Ele arată ce se întâmplă la capetele șirului în timpul întregului timp de vibrație. În cel mai simplu caz, când capetele șirului sunt fixe (începutul șirului este la origine, iar sfârșitul este la punct, funcția va respecta condițiile

Cu exact aceleași condiții, cititorul s-a întâlnit la cursul privind rezistența materialelor atunci când a studiat îndoirea unei grinzi așezate pe două suporturi sub acțiunea unei sarcini statice.

Semnificația fizică a faptului că stabilirea condițiilor inițiale și limită determină complet procesul poate fi urmărită cel mai ușor pentru caz vibratii libere siruri de caractere.

Să fie, de exemplu, un șir fixat la capete să fie tras într-un fel înapoi, adică este setată o funcție - ecuația formei inițiale a șirului și eliberată fără o viteză inițială (aceasta înseamnă că) Este clar că prin aceasta natura ulterioară a vibrațiilor va fi complet determinată și vom găsi singura funcție prin rezolvare ecuație omogenă in conditiile corespunzatoare. Puteți face coarda să oscileze într-un alt mod, și anume dând punctelor șirului o viteză inițială. Este clar din punct de vedere fizic că în acest caz procesul ulterioar de oscilații va fi complet determinat. Acordarea punctelor de viteză inițială a coardei se poate face prin lovirea coardei (cum este cazul la pian); prima modalitate de a excita coarda este folosită atunci când se cântă la instrumente ciupite (de exemplu, la chitară).

Să formulăm acum problema matematică finală, care duce la studiul vibrațiilor libere ale unei corzi fixate la ambele capete.

Este necesar să se rezolve o ecuație diferențială parțială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți

respectiv zona luată în considerare.

De obicei, o ecuație diferențială nu are o singură soluție, ci o întreagă familie a acestora. Condițiile inițiale și de limită vă permit să alegeți dintre ele unul care corespunde unui proces sau fenomen fizic real. În teoria ecuațiilor diferențiale obișnuite se demonstrează o teoremă privind existența și unicitatea unei soluții la o problemă cu o condiție inițială (așa-numita problemă Cauchy). Pentru ecuațiile cu diferențe parțiale, unele teoreme de existență și unicitate pentru soluții sunt obținute pentru anumite clase de probleme de valoare inițială și limită.

Terminologie

Uneori, condițiile inițiale din problemele non-staționare, cum ar fi soluția ecuațiilor hiperbolice sau parabolice, sunt denumite și condiții la limită.

Pentru problemele staționare, există o împărțire a condițiilor la limită în principalȘi natural.

Condițiile principale au de obicei forma , unde este limita regiunii.

Condițiile naturale conțin și derivata soluției față de normala la limită.

Exemplu

Ecuația descrie mișcarea unui corp în câmpul gravitațional al pământului. Este îndeplinită de orice funcție pătratică de forma , unde - numere arbitrare. Pentru a izola o lege specifică a mișcării, este necesar să se indice coordonata inițială a corpului și viteza acestuia, adică condițiile inițiale.

Corectitudinea stabilirii condițiilor la limită

Probleme de fizică matematică descriu real procese fiziceși, prin urmare, formularea lor trebuie să îndeplinească următoarele cerințe naturale:

1. Decizia ar trebui existaîn orice clasă de funcții;
2. Soluția trebuie să fie singurulîn orice clasă de funcții;
3. Decizia ar trebui dependentă permanent de date(condiții inițiale și la limită, termen liber, coeficienți etc.).

Cerința unei dependențe continue a soluției se datorează faptului că datele fizice, de regulă, sunt determinate aproximativ din experiment și, prin urmare, trebuie să fii sigur că soluția problemei în cadrul alegerii model matematic nu va depinde în mod semnificativ de eroarea de măsurare. Din punct de vedere matematic, această cerință poate fi scrisă, de exemplu, după cum urmează (pentru independență față de termenul liber):

Să fie date două ecuații diferențiale: cu aceiași operatori diferențiali și aceleași condiții la limită, atunci soluțiile lor vor depinde continuu de termenul liber dacă:

soluții ale ecuațiilor corespunzătoare.

Se numește setul de funcții pentru care sunt îndeplinite cerințele enumerate clasa de corectitudine. Stabilirea incorectă a condițiilor la limită este bine ilustrată de exemplul lui Hadamard.

Vezi si

• Condiții la limită de primul fel (problema Dirichlet) , en:Condiția la limită Dirichlet
• Condiții la limită de al 2-lea fel (problema Neumann) , en:Condiție la limită Neumann
• Condiții la limită de al 3-lea fel (problema Robin), ro: Condiție la limită Robin
• Condiții pentru contact termic perfect , ro: Contact termic perfect

Literatură

Fundația Wikimedia. 2010 .

Vedeți ce sunt „Condițiile inițiale și limită” în alte dicționare:

În teoria ecuațiilor diferențiale, condițiile inițiale și la limită sunt un plus față de cele de bază ecuație diferențială(derivate obișnuite sau parțiale), care precizează comportamentul său la momentul inițial de timp sau la limita de ... ... Wikipedia

Problema Neumann în ecuațiile diferențiale este o problemă de valoare la limită cu condiții la limită date pentru derivata funcției dorite la limita regiunii, așa-numitele condiții la limită de al doilea fel. După tipul de zonă, problema Neumann poate fi împărțită în două ... Wikipedia

condiţiile de frontieră- conditii fizice formalizate la limita zonei de deformare sau modelul matematic al acestora, care, alaturi de altele, fac posibila obtinerea unei solutii unica la problemele tratarii sub presiune. Condițiile limită sunt împărțite în...

În teoria ecuațiilor diferențiale, condițiile inițiale și la limită sunt un adaos la ecuația diferențială principală (derivate obișnuite sau parțiale), care specifică comportamentul acesteia la momentul inițial de timp sau la limita de ... ... Wikipedia

condiții inițiale- descrierea stării corpului înainte de deformare. De obicei, în momentul inițial, sunt date coordonatele Euler ale punctelor xi0 ale suprafeței corpului, stresul, viteza, densitatea, temperatura în orice punct M al corpului. Zona Diya a spațiului, ...... Dicţionar enciclopedicîn metalurgie

conditii de captare- un anumit raport în timpul rulării, care raportează unghiul de prindere și coeficientul sau unghiul de frecare, la care se asigură prinderea primară a metalului de către role și umplerea zonei de deformare; Vezi si: conditii de munca... Dicţionar Enciclopedic de Metalurgie

Termeni- : Vezi și: condiții de lucru condiții de echilibru diferențial condiții tehnice (TS) condiții inițiale ... Dicţionar Enciclopedic de Metalurgie

conditii de munca- un ansamblu de caracteristici sanitare și igienice ale mediului extern (temperatură și umiditate, praf, zgomot etc.) în care se desfășoară procese tehnologice; reglementat în Rusia de muncă ...... Dicţionar Enciclopedic de Metalurgie

În teoria ecuațiilor diferențiale, condițiile inițiale și la limită sunt un adaos la ecuația diferențială principală (derivate obișnuite sau parțiale), care specifică comportamentul acesteia la momentul inițial de timp sau la limita de ... ... Wikipedia

Cărți

• Metode numerice pentru rezolvarea problemelor inverse de fizică matematică, Samarskiy A.A. Cursurile tradiționale privind metodele de rezolvare a problemelor de fizică matematică tratează probleme directe. În acest caz, soluția este determinată din ecuații cu diferențe parțiale, care sunt completate cu ...

Determină temperatura de la suprafața corpului la un moment dat, adică.

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Orez. 2.4 - Condiție la limită izotermă.

Indiferent de modul în care se modifică temperatura din interiorul corpului, temperatura punctelor de pe suprafață respectă ecuația (2.15).

Curba de distribuție a temperaturii în corp (Fig. 2.4) la limita corpului are o ordonată dată Ts , care se poate schimba în timp. Un caz special al condiției la limită de primul fel este izotermic condiția limită în care temperatura de suprafață a corpului rămâne constantă pe tot parcursul procesului de transfer de căldură:

T s = const.

Orez. 2.5 - Stare de primul fel

Pentru a ne imagina o astfel de stare a corpului, este necesar să presupunem că o altă sursă de căldură fictivă în afara acesteia cu semn negativ (așa-numitul radiator) acționează simetric față de sursa de căldură care acționează în corp. Mai mult, proprietățile acestui radiator se potrivesc exact cu proprietățile sursei de căldură reale, iar distribuția temperaturii este descrisă prin aceeași expresie matematică. Efectul total al acestor surse va duce la faptul că pe suprafața corpului se stabilește o temperatură constantă, în cazul particular T = 08C , în timp ce în interiorul corpului temperatura punctelor se schimbă continuu.

Condiție limită de al doilea fel

Determină densitatea fluxului de căldură în orice punct de pe suprafața corpului în orice moment, de ex.

Conform legii Fourier, densitatea fluxului de căldură este direct proporțională cu gradientul de temperatură. Prin urmare, câmpul de temperatură de la limită are un gradient dat (Fig. b), într-un caz particular, constant, când

Un caz special al condiției la limită de al doilea fel este condiția la limită adiabatică, când fluxul de căldură prin suprafața corpului este zero (Fig. 2.6), adică.

Orez. 2.6 - Condiție limită de al doilea fel

În calculele tehnice, există adesea cazuri când fluxul de căldură de la suprafața corpului este mic în comparație cu fluxurile din interiorul corpului. Atunci putem lua această limită ca adiabatică. La sudare, un astfel de caz poate fi reprezentat prin următoarea diagramă (Fig. 2.7).

Orez. 2.7 - Stare de al doilea fel

La punctul DESPRE funcționează o sursă de căldură. Pentru a îndeplini condiția ca limita să nu transmită căldură, este necesar să se plaseze aceeași sursă simetric față de această sursă în afara corpului, în punctul Aproximativ 1 , iar fluxul de căldură din acesta este direcționat împotriva fluxului sursei principale. Se anihilează reciproc, adică granița nu lasă căldura să treacă. Cu toate acestea, temperatura marginii corpului va fi de două ori mai mare dacă acest corp ar fi infinit. Această metodă de compensare a fluxului de căldură se numește metoda reflexiei, deoarece în acest caz limita impermeabilă la căldură poate fi considerată ca o limită care reflectă fluxul de căldură provenit din metal.

Condiție limită de al treilea fel.

Determină temperatura mediu inconjuratorși legea schimbului de căldură între suprafața corpului și mediu. Obținem cea mai simplă formă a condiției la limită de al treilea fel dacă transferul de căldură la limită este dat de ecuația lui Newton, care exprimă că densitatea fluxului de căldură al transferului de căldură prin suprafața limită este direct proporțională cu diferența de temperatură dintre suprafața limită și mediul înconjurător

Densitatea fluxului de căldură care curge către suprafața limită dinspre partea laterală a corpului, conform legii Fourier, este direct proporțională cu gradientul de temperatură de pe suprafața limită:

Echivalând fluxul de căldură care vine din partea corpului cu fluxul de transfer de căldură, obținem condiția la limită de al treilea fel:

,

exprimând că gradientul de temperatură pe suprafața limită este direct proporțional cu diferența de temperatură dintre suprafața corpului și mediu. Această condiție necesită ca tangenta la curba de distribuție a temperaturii la punctul limită să treacă prin punctul de control DESPRE cu temperatura în afara corpului la distanță de suprafața limită (Fig. 2.8).

Figura 2.8 - Condiție la limită de al 3-lea fel

Din condiția la limită de al 3-lea fel se poate obține, ca caz special, o condiție la limită izotermă. Dacă , care are loc la un coeficient de transfer termic foarte mare sau un coeficient de conductivitate termică foarte mic, atunci:

și , adică temperatura suprafeței corpului este constantă pe parcursul întregului proces de transfer de căldură și este egală cu temperatura ambiantă.

Condiții inițiale și limită. Un element integral și cel mai important în formularea oricărei probleme din mecanica continuumului este formularea condițiilor inițiale și la limită. Semnificația lor este determinată de faptul că unul sau altul sistem de ecuații de rezolvare descrie o întreagă clasă de mișcări ale mediului deformabil corespunzător și doar stabilirea condițiilor inițiale și limită corespunzătoare procesului studiat face posibilă separarea din această clasă. un caz special de interes corespunzător problemei practice care se rezolvă.

Condițiile inițiale sunt condițiile care stabilesc valorile funcțiilor caracteristice dorite la momentul începerii analizei procesului studiat. Numărul de condiții inițiale date este determinat de numărul de funcții de bază necunoscute incluse în sistemul de rezolvare a ecuațiilor, precum și de ordinea celei mai mari derivate în timp incluse în acest sistem. De exemplu, mișcarea adiabatică a unui lichid ideal sau a unui gaz ideal este descrisă de un sistem de șase ecuații cu șase necunoscute principale - trei componente ale vectorului viteză, presiunea, densitatea și energia internă specifică, în timp ce ordinea derivatelor acestora mărimi fizice nu depășește prima comandă în timp. În consecință, câmpurile inițiale ale acestor șase mărimi fizice ar trebui stabilite ca condiții inițiale: la t =0 ,. În unele cazuri (de exemplu, în teoria dinamică a elasticității), nu componentele vectorului viteză, ci componentele vectorului deplasare sunt utilizate ca principale necunoscute în sistemul de rezolvare a ecuațiilor, iar ecuația mișcării conține a doua. -derivate de ordine ale componentelor deplasarii, ceea ce necesita stabilirea a doua conditii initiale pentru functia dorita: la t = 0

Condițiile limită sunt stabilite într-un mod mai complex și mai divers atunci când se pun probleme de mecanică a continuumului. Condițiile la limită sunt condițiile care stabilesc valorile funcțiilor dorite (sau derivatele acestora în raport cu coordonatele și timpul) pe suprafața S a regiunii ocupate de mediul deformabil. Există mai multe tipuri de condiții la limită: cinematice, dinamice, mixte și de temperatură.

Condițiile cinematice la limită corespund cazului în care sunt specificate deplasări sau viteze pe suprafața S a corpului (sau a unei părți a acestuia), unde sunt coordonatele punctelor suprafeței S, care se modifică în general în funcție de timp.

Condițiile dinamice la limită (sau condițiile la limită în tensiuni) sunt specificate atunci când forțele de suprafață p acționează pe suprafața S. După cum rezultă din teoria stresului, în acest caz, pe orice zonă elementară a suprafeței cu vector unitar normal p, vectorul forțelor de suprafață specifice pn stabilește forțat vectorul de stres total?p = pn, acționând într-un mediu continuu într-un punct de pe o suprafață dată, ceea ce duce la relația tensorului tensiunii (?) în acest punct cu forţa de suprafaţă şi orientarea vectorului p a suprafeţei corespunzătoare : (?) n = rp sau.

Condițiile la limită mixte corespund cazului în care pe suprafața S sunt specificate valorile atât ale mărimilor cinematice, cât și ale dinamicii sau se stabilesc relații între ele.

Condițiile la limită de temperatură sunt împărțite în mai multe grupuri (tipuri). Condițiile limită de primul fel sunt stabilite pe suprafața S a mediului deformabil anumite valori temperatura T. Condițiile la limită de al doilea fel stabilesc vectorul fluxului de căldură q la limită, care, ținând cont de legea Fourier de conducere a căldurii, q = - ? grad T, în esență, impune restricții asupra naturii distribuției temperaturii în vecinătatea punctului de limită. Condițiile la limită de al treilea fel stabilesc o relație între vectorul fluxului de căldură q, direcționat către un mediu dat din partea mediului, și diferența de temperatură dintre aceste medii etc.

Trebuie remarcat faptul că formularea și soluționarea majorității problemelor din fizica proceselor rapide, de regulă, sunt efectuate în aproximarea adiabatică, prin urmare, condițiile la limită de temperatură sunt utilizate destul de rar, în principal condițiile la limită cinematice, dinamice și mixte. sunt folosite în diverse combinații. Considera opțiuni posibile stabilirea condițiilor limită pentru un anumit exemplu.

Pe fig. 3 prezintă schematic procesul de interacțiune când corpul deformabil I pătrunde în bariera deformabilă II. Corpul I este delimitat de suprafețele S1 și S5, în timp ce corpul II este delimitat de suprafețele S2, S3, S4, S5. Suprafața S5 este interfața dintre corpurile deformabile care interacționează. Vom presupune că mișcarea corpului I înainte de începerea interacțiunii, precum și în timpul procesului său, are loc într-un fluid care creează o anumită presiune hidrostatică.

Figura 3

și stabilirea forțelor de suprafață exterioare ambelor corpuri рп = - рп= - рni ri, care acționează asupra oricăreia dintre zonele elementare ale suprafețelor S1 ale corpului I și S2 ale barierei II, limitând lichidul. De asemenea, vom presupune că suprafața S3 a barierei este fixată rigid, iar suprafața S4 este liberă de acțiunea forțelor de suprafață (pn = 0).

Pentru exemplul dat, pe diferite suprafețe care limitează mediile deformabile I și II, trebuie specificate condițiile la limită pentru toate cele trei tipuri principale. Este evident că condițiile cinematice la limită ar trebui stabilite pe suprafața fixată rigid Sz? (S3) = ?(, t) = 0. corpuri: sau Componentele tensorului tensiunii de pe suprafața barierei S4, de asemenea, nu pot fi arbitrare, dar sunt interconectate cu orientarea zonelor sale elementare ca.

Condițiile limită la interfața (suprafața S5) a mediilor deformabile care interacționează sunt cele mai complexe și se referă la condiții de tip mixt, incluzând, la rândul lor, părți cinematice și dinamice (vezi Fig. 3). Partea cinematică a condițiilor la limită mixte impune restricții asupra vitezelor punctelor individuale ale ambelor medii care sunt în contact în fiecare punct spațial al suprafeței S5. Există două opțiuni pentru stabilirea acestor restricții, ilustrate în Fig. 4, a și b. Conform primei opțiuni, cea mai simplă, se presupune că vitezele de mișcare a oricăror două puncte individuale în contact sunt aceleași (? = ?) - aceasta este așa-numita condiție de „lipire” sau condiția de „sudare” (vezi Fig. 4, a). Mai complexă și, în același timp, mai adecvată pentru procesul luat în considerare este stabilirea condiției de „impenetrabilitate” sau a condiției de „impermeabilitate” (? n = ? n; vezi Fig. 4, b), care corespunde experimental. fapt confirmat: mediile deformabile care interacționează nu pot pătrunde

Figura 4

unul în celălalt sau rămân unul în urma celuilalt, sau pot aluneca unul față de celălalt cu viteză? - ? direcţionat tangenţial la interfaţă ((?I - ?II) n = 0). Partea dinamică a condițiilor la limită mixte la interfața dintre două medii este formulată pe baza celei de-a treia legi a lui Newton folosind relațiile teoriei tensiunii (Fig. 4, c). Deci, în fiecare dintre cele două particule individuale de mediu deformabil I și II aflate în contact, se realizează propria sa stare de stres, caracterizată prin tensori de tensiune (?)I și (?) II. , externi față de acest mediu, tensiunea totală. vectorul acţionează?nI = (?) nI. În mediul II, pe același loc, dar cu un vector normal unitar nII extern acestui mediu, vectorul de stres total acționează?nII =(?)II · nII. Având în vedere reciprocitatea acțiunii și reacției?nI = - ? n II , precum și condiția evidentă nI = --nII = n, se stabilește o relație între tensorii tensiunilor din ambele medii care interacționează la interfața lor: (?)I p = (?) II p sau (?ijI - ? ijII) nj = 0. Opțiunile posibile pentru specificarea condițiilor la limită nu se limitează la exemplul particular considerat. Există atâtea opțiuni de stabilire a condițiilor inițiale și limită câte există în natură și tehnologie pentru procesele de interacțiune a corpurilor sau mediilor deformabile. Ele sunt determinate de specificul problemei practice care se rezolvă și sunt stabilite în conformitate cu principiile generale de mai sus.