MECANICA TEORETICĂ
UDC 531.8:621.8
D.M. Kobylyansky, V.F. Gorbunov, V.A. Gogolin
COMPATIBILITATEA ROTIȚII ȘI OSCILAȚIILE CORPURILOR CU UN GRAD DE LIBERTATE
Considera corp plat T, pe care sunt suprapuse trei legături ideale, împiedicând doar corpul să se miște în toate direcțiile, așa cum se arată în Fig. 1a. Conexiunile sunt punctele A, B, C, situate la vârfurile unui triunghi echilateral. Alegând un sistem de coordonate astfel încât centrul acestuia să coincidă cu centrul triunghiului și să fie aliniat cu acesta (Fig. 1a), avem coordonatele legăturilor: ^-Ld/e /2; -I / 2), unde I este distanța de la centrul triunghiului până la vârfurile acestuia, adică raza cercului care trece prin punctele A, B, C. În această poziție, corpul va avea un grad de libertate, numai dacă normalele la granița sa în punctele A, B, C se intersectează într-un punct, care va fi centrul instantaneu al vitezelor. În caz contrar, numărul de grade de libertate al corpului este egal cu zero și nu poate doar să se deplaseze înainte, ci și să efectueze mișcare de rotație. Când un corp are un grad de libertate, acesta poate începe să se rotească cu centrul de rotație instantaneu în punctul de intersecție al normalelor de mai sus. Fie acest punct originea coordonatelor, punctul O. Dacă centrul de rotație instantaneu nu își schimbă poziția, atunci singura formă posibilă a corpului T este un cerc cu raza R centrat în punctul O.
Apare problema - există alte forme ale corpului care îi permit să se rotească în raport cu un centru în mișcare, astfel încât
corpul corpului a trecut continuu prin trei puncte A, B, C fără a rupe aceste conexiuni? În literatura de specialitate cunoscută nouă, o astfel de problemă nu a fost luată în considerare și, aparent, este rezolvată pentru prima dată.
Pentru a rezolva această problemă, considerăm mai întâi mișcarea triunghiului ABC ca un corp rigid în raport cu sistemul de coordonate X1O1Y1 asociat cu corpul T (Fig. 1b). Apoi, dacă mișcarea triunghiului are loc în așa fel încât vârfurile sale rămân continuu la limita corpului cu o rotație completă a triunghiului cu 360 °, atunci corpul va face și mișcarea necesară în direcția opusă față de triunghiul fix ABC și sistemul de coordonate XOU asociat.
Definim mișcarea triunghiului ABC ca o rotație în jurul centrului O și o deplasare a centrului O de-a lungul axei OіXi cu /(r), de-a lungul axei OіUi cu g(t). Atunci ecuația parametrică a traiectoriei punctului A va arăta astfel: уі=г-єо,?ґ + g(t), ґє (1)
Deoarece pentru r=0 punctul O trebuie să coincidă cu punctul O1, trebuie îndeplinită condiția /(0)= g(0)=0. Cerem ca la întoarcerea prin unghiul r=2n/3, punctul A coincide cu punctul B1, punctul B coincide cu punctul Ci și punctul C
Cu punctul A1. La întoarcerea prin unghiul r=4p/3, punctul A trebuie să meargă în punctul C1, punctul B - în punctul A1 și punctul C - în punctul B1. Combinarea acestor cerințe pentru mișcarea vârfurilor triunghiului duce la condiții privind valorile funcțiilor de deplasare a centrului de rotație /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Condițiile (2) sunt îndeplinite de o clasă largă de funcții, în special funcții de forma sin(3mt/2), unde m este un număr întreg și combinații liniare cu variabile în cazul general coeficienți de forma:
H (r) \u003d ^ bm (r) 8n (3m / 2)
În plus, ca
Fig.1. Schema de calcul: a) - poziția unui corp fix și conexiunile acestuia în sistemul HOU; b) - poziția sistemului fix X1O1U1 asociat corpului și a sistemului mobil XOU asociat triunghiului ABC
Fig.2. Formele corpurilor și traiectoriile de mișcare ale centrelor lor de rotație
Orez. 3. Poziția corpului la întoarcerea printr-un unghi ri traiectoriei corespunzătoare de mișcare a centrului său de rotație
funcții de deplasare, se pot lua funcții care definesc curbe închise, cum ar fi, de exemplu, cicloide, trohoide, lemniscate, cu parametri potriviți conform condiției (2). În acest caz, toate funcțiile posibile trebuie să fie periodice cu o perioadă de 2n/3.
Astfel, sistemul de ecuații parametrice (1) cu condiții asupra valorilor funcțiilor /(^, g(t) (2) sau în forma lor (3) dă ecuația dorită pentru limita corpului T. Figura 2 prezintă exemple de forme posibile ale corpului care satisfac condițiile problemei. Traiectoria centrului de rotație O1 este prezentată în centrul fiecărei figuri, iar conexiunile punctuale A, B, C sunt mărite pentru o mai bună vizualizare a acestora. Aceste exemple arata ca chiar vederi simple funcţii din clasa definită prin expresia (3) cu coeficienți constanți, oferă-ne un set destul de larg de curbe care descriu limitele corpurilor care se rotesc și
fluctuaţii în acelaşi timp cu un singur grad de libertate. Curbele limită a), c) din fig. 2 corespund mișcării centrului de rotație numai de-a lungul axei orizontale
ОіХі conform legii armonice și se pare că au două axe de simetrie și pot fi fie pur convexe, ovale (Fig. 2a), fie combina convexitatea cu concavitatea (Fig. 2b). Cu o lege armonică verticală și orizontală cu aceeași amplitudine de mișcare a centrului de rotație, curbele limită își pierd simetria (Fig. 2 c, d). Un efect semnificativ al frecvenței oscilațiilor armonice asupra formei curbei de frontieră a corpului este prezentat în Fig. 2 e, f. Fără a conduce în această lucrare analiză completă influenţa amplitudinii şi frecvenţei asupra formei şi proprietăți geometrice curbele limită, aș dori să remarc că exemplele prezentate în fig. 2 arată deja posibilitatea de a rezolva probleme tehnice prin alegerea forma dorită
corp pentru a-l combina mișcare de rotație cu oscilaţii în planul de rotaţie.
Considerând acum mișcarea corpului în raport cu sistemul de coordonate XOY fix asociat triunghiului ABC, adică trecând de la sistemul de coordonate X1O1Y1 la sistemul de coordonate XOY, obținem următoarele ecuații parametrice curba limită a corpului la un unghi dat de rotație p x=cosp-
Cosp(4)
sau ținând cont de ecuațiile (1), ecuațiile (4) iau forma x = cosp-
- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +
Pentru că p.
Ecuațiile (5) fac posibilă descrierea traiectoriei oricărui punct al corpului de-a lungul polarității date.
t-g.i m*4<. п-і
t-ÍLÍtWM. d-0
Orez. 4. Variante de forme ale corpului cu un număr diferit de legături, asigurând compatibilitatea rotației și vibrațiilor corpurilor
coordonatele R,t. În special, la R=0, t=0 avem un punct care coincide cu originea Ob, adică centrul de rotație, a cărui traiectorie în schema luată în considerare este descrisă de ecuațiile care urmează din (5):
* 0 \u003d -f (f) cos f + g (f) sin f, y0 \u003d - f (f) sin f-g (f) cos p.
Figura 3 prezintă un exemplu de poziție a corpului (Fig. 2b) atunci când acesta se rotește printr-un unghi φ, iar în centrul fiecărei figuri arată traiectoria centrului de rotație
Оі , corespunzătoare rotației corpului prin acest unghi. Este ușor din punct de vedere tehnic să faci o animație
a mișcării corpului prezentată în Fig. 3 în locul unui model fizic, totuși, cadrul unui articol de jurnal poate permite acest lucru doar într-o versiune electronică. Exemplul prezentat a fost
O generalizare a problemei luate în considerare este un sistem de n conexiuni ideale sub formă de puncte situate la vârfurile unui n-gon regulat, împiedicând doar mișcările de translație ale corpului. Prin urmare, ca și în cazul unui triunghi, corpul poate începe să se rotească în jurul centrului de rotație, care este punctul de intersecție al normalelor cu limita corpului la punctele de legătură. În acest caz, ecuația traiectoriei punctului corpului A, situat pe axa OY și distanțat de centrul de rotație la o distanță R, va avea aceeași formă ca (1). Condițiile pentru valorile funcțiilor de deplasare a centrului de rotație (2) în acest caz vor fi necesare
Kobyliansky Gorbunov
Dmitri Mihailovici Valeri Fedorovici
Student la PhD staționar și - doc. tehnologie. științe, prof. cafenea o sută
vehicule de transport staţionare şi vehicule de transport
f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)
Condiția (7) corespunde funcțiilor periodice cu o perioadă de 2n/n, de exemplu, 8m(n-m4/2), precum și combinațiilor lor liniare de forma (3) și altor funcții care descriu curbe închise. Raționamentul similar celui de mai sus duce la aceleași ecuații (4-6), care fac posibilă calcularea formei corpului, a poziției acestuia în timpul rotației și a traiectoriei centrului de rotație cu vibrații ale corpului compatibile cu rotația. Un exemplu de astfel de calcule este Fig. 4, în care linia punctată arată poziția inițială a corpurilor, linia continuă arată poziția corpurilor când se rotesc printr-un unghi l / 3, iar în centrul fiecărei figuri se află traiectoria completă a centrului de rotație atunci când corpul este rotit complet. Și deși în acest exemplu este luată în considerare doar mișcarea orizontală a centrului de rotație O, ca centru al unui n-gon, rezultatele obținute arată o gamă largă de forme posibile ale corpului cu un grad de libertate, combinând mișcarea de rotație cu vibrațiile. în prezența a patru, cinci și șase obligațiuni.
Metoda obținută pentru calcularea compatibilității mișcărilor de rotație și oscilație a corpurilor cu un grad de libertate poate fi utilizată și fără adăugiri pentru corpurile spațiale în care sunt interzise mișcările de-a lungul celei de-a treia coordonate și rotațiile în alte planuri de coordonate.
Gogolin Viaceslav Anatolievici
Dr. tehnologie. științe, prof. cafenea matematician aplicat şi
După cum știți, un corp care nu este limitat în niciun fel în mișcările sale se numește liber, deoarece se poate mișca în orice direcție. Prin urmare, fiecare corp rigid liber are șase grade de libertate de mișcare. Are capacitatea de a efectua următoarele mișcări: trei mișcări de translație, corespunzătoare celor trei sisteme de coordonate principale și trei mișcări de rotație în jurul acestor trei axe de coordonate.
Impunerea de legaturi (fixarea) reduce numarul de grade de libertate. Deci, dacă corpul este fixat într-unul dintre punctele sale, nu se poate deplasa de-a lungul axelor de coordonate, mișcările sale sunt limitate doar de rotația în jurul acestor axe, adică. corpul are trei grade de libertate. În cazul în care două puncte sunt fixe, corpul are un singur grad de libertate, se poate roti doar în jurul unei linii (axelor) care trece prin ambele puncte. Și în sfârșit, cu trei puncte fixe care nu se află pe aceeași linie, numărul de grade de libertate este zero și nu pot exista mișcări ale corpului. La o persoană, aparatul pasiv al mișcării este alcătuit din părți ale corpului său, numite legături. Toate sunt interconectate, prin urmare își pierd posibilitatea a trei tipuri de mișcări de-a lungul axelor de coordonate. Au doar posibilitatea de rotație în jurul acestor axe. Astfel, numărul maxim de grade de libertate pe care le poate avea o legătură a corpului în raport cu o altă legătură adiacentă acestuia este de trei.
Aceasta se referă la cele mai mobile articulații ale corpului uman, care au o formă sferică.
Conexiunile seriale sau ramificate ale părților corpului (legături) formează lanțuri cinematice.
O persoană se distinge:
- - lanțuri cinematice deschise având un capăt mobil liber, fixat doar la unul dintre capete (de exemplu, un braț în raport cu corpul);
- - lanţuri cinematice închise, fixat la ambele capete (de exemplu, vertebră - coastă - stern - coastă - vertebră).
Trebuie remarcat faptul că acest lucru se aplică intervalului potențial de mișcare a articulațiilor. În realitate, la o persoană în viață, acești indicatori sunt întotdeauna mai puțini, ceea ce este dovedit de numeroase lucrări ale cercetătorilor autohtoni - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin și alții, o persoană vie este influențată de o serie de factori legați de vârsta, sexul, caracteristicile individuale, starea funcțională a sistemului nervos, gradul de întindere a mușchilor, temperatura ambiantă, ora din zi și, în cele din urmă, ceea ce este important pentru sportivi, gradul de fitness. Deci, în toate articulațiile oaselor (discontinue și continue), gradul de mobilitate la tineri este mai mare decât la persoanele în vârstă; femeile în medie mai mult decât bărbații. Cantitatea de mobilitate este influențată de gradul de întindere a acelor mușchi care se află pe partea opusă mișcării, precum și de puterea mușchilor care produc această mișcare. Cu cât primul dintre acești mușchi este mai elastic și cu cât al doilea este mai puternic, cu atât este mai mare gama de mișcare într-o anumită articulație a oaselor și invers. Se știe că într-o cameră rece mișcările au o anvergură mai mică decât într-una caldă; dimineața sunt mai puține decât seara. Utilizarea diferitelor exerciții afectează mobilitatea articulațiilor în moduri diferite. Deci, antrenamentul sistematic cu exerciții de „flexibilitate” mărește aria de mișcare a articulațiilor, în timp ce exercițiile de „forță”, dimpotrivă, o reduc, ducând la „înrobirea” articulațiilor. Cu toate acestea, o scădere a amplitudinii de mișcare a articulațiilor în timpul aplicării exercițiilor de forță nu este absolut inevitabilă. Poate fi prevenit prin combinarea corectă a exercițiilor de forță cu exerciții de întindere pentru aceleași grupe musculare.
În lanțurile cinematice deschise ale corpului uman, mobilitatea este calculată în zeci de grade de libertate. De exemplu, mobilitatea încheieturii mâinii față de scapula și mobilitatea tarsului față de pelvis au fiecare șapte grade de libertate, iar vârfurile degetelor mâinii față de piept au 16 grade de libertate. Dacă însumăm toate gradele de libertate ale membrelor și ale capului în raport cu corp, atunci aceasta va fi exprimată prin numărul 105, care este compus din următoarele poziții:
- - cap - 3 grade de libertate;
- - maini - 14 grade de libertate;
- - picioare - 12 grade de libertate;
- - maini si picioare - 76 de grade de libertate.
Pentru comparație, subliniem că marea majoritate a mașinilor au un singur grad de libertate de mișcare.
În îmbinările sferice sunt posibile rotații în jurul a trei axe reciproc perpendiculare. Numărul total de axe în jurul cărora sunt posibile rotații în aceste articulații este infinit de mare. Prin urmare, în ceea ce privește articulațiile sferice, putem spune că legăturile care se articulează în ele din cele șase grade posibile de libertate de mișcare au trei grade de libertate și trei grade de conexiune.
Articulațiile cu două grade de libertate de mișcare și patru grade de conectivitate au o mobilitate mai mică. Acestea includ articulații de formă ovoidă sau eliptică și forme de șa, de ex. biaxiale. Se pot deplasa în jurul acestor două axe.
Un grad de libertate de mobilitate și, în același timp, cinci grade de conectivitate au legături ale corpului în acele articulații care au o singură axă de rotație, i.e. au două puncte fixe.
În partea predominantă a articulațiilor corpului uman, există două sau trei grade de libertate. Cu mai multe grade de libertate de mișcare (două sau mai multe), este posibil un număr infinit de traiectorii. Articulațiile oaselor craniului au șase grade de conexiune și sunt imobile. Legarea oaselor cu ajutorul cartilajelor si ligamentelor (sincondroza si sindesmoza) poate avea in unele cazuri o mobilitate semnificativa, care depinde de elasticitatea si marimea formatiunilor cartilaginoase sau de tesut conjunctiv situate intre aceste oase.
Vibrații cu mai multe grade de libertate.
Scurte informații din teorie.
Sisteme cu n puterilibertate se obișnuiește în dinamică să se numească astfel de sisteme, pentru fixarea completă a stării geometrice a cărora în orice moment este necesar să se stabilească P parametri, de exemplu poziție (deviații) P puncte. Poziția altor puncte este determinată de metodele statice uzuale.
Un exemplu de sistem cu P o grindă sau un cadru plat pot servi ca grade de libertate dacă masele părților sau elementelor sale individuale sunt considerate în mod convențional (pentru a facilita calculul dinamic) a fi concentrate în P puncte, sau dacă poartă n mase mari (motoare, motoare), în comparație cu care se poate neglija greutatea proprie a elementelor. Dacă masele individuale concentrate ("punctuale") se pot deplasa în două direcții în timpul vibrațiilor, atunci numărul de grade de libertate ale sistemului va fi egal cu numărul de constrângeri care ar trebui impuse sistemului pentru a elimina deplasările tuturor. mase.
Dacă un sistem cu n grade de libertate este scos din echilibru, atunci va funcționa vibratii libere , iar fiecare „punct” (masă) va efectua oscilații poliarmonice complexe de tipul:
constantele A iși B i depinde de condiții inițiale mișcarea (abateri ale maselor de la nivelul static și viteze în momentul de timp t=0). Numai în unele cazuri, deosebite, de excitație a oscilațiilor, mișcarea poliarmonică pentru mase individuale se poate transforma într-una armonică, adică. ca într-un sistem cu un grad de libertate:
Numărul de frecvențe naturale ale sistemului este egal cu numărul gradelor sale de libertate.
Pentru a calcula frecvențele naturale, este necesar să se rezolve așa-numitul determinant al frecvenței, scris sub această formă:
Această condiție în formă extinsă dă ecuația P gradul de determinat P valorile ω 2 , care se numesc ecuația frecvențelor.
Prin δ 11, δ 12, δ 22 etc. sunt indicate posibilele mișcări. Deci, δ 12 este deplasarea în prima direcție a punctului de localizare a primei mase de la o forță unitară aplicată în a doua direcție la punctul de localizare a celei de-a doua mase etc.
Cu două grade de libertate, ecuația frecvenței ia forma:
De unde pentru două frecvențe avem:
În cazul în care masele individuale M i poate efectua, în legătură cu mișcări liniare, și mișcări de rotație sau numai de rotație, atunci i-a coordonata va fi unghiul de rotatie, iar in determinantul de frecventa masa
M i trebuie înlocuit cu momentul de inerție al masei J i; respectiv posibile mişcări în direcţie i-a coordonata ( δ i 2 , δ i 2 etc.) vor fi deplasări unghiulare.
Dacă orice masă oscilează în mai multe direcții - i-mu și k-mu (de exemplu, de-a lungul verticală și orizontală), atunci o astfel de masă participă la determinant de mai multe ori sub numerele M i lor kși corespunde mai multor deplasări posibile ( δ ii, δ kk, δ ik, etc.).
Rețineți că fiecare frecvență naturală are propria sa formă specială de oscilație (natura axei curbe, linia de deviere, deplasări etc.), care în cazuri individuale, speciale, se poate dovedi a fi o formă validă de oscilație, dacă numai oscilațiile libere sunt corect sau excitate (impulsuri de selecție adecvate, puncte de aplicare a acestora etc.). În acest caz, oscilațiile sistemului vor fi efectuate conform legilor de mișcare ale sistemului cu un grad de libertate.
În cazul general, după cum reiese din expresia (9.1), sistemul efectuează oscilații poliarmonice, dar este evident că orice linie elastică complexă, în care se reflectă influența tuturor frecvențelor naturale, poate fi descompusă în componente de formă separate, fiecare dintre care corespunde propriei frecvenţe. Procesul de astfel de descompunere a formei adevărate a oscilațiilor în componente (care este necesar atunci când se rezolvă probleme complexe de dinamică a clădirii) se numește descompunere în funcție de formele oscilațiilor naturale.
Dacă în fiecare masă, mai precis, în direcția fiecărui grad de libertate, aplicăm o forță perturbatoare care variază în timp conform legii armonice
sau , care este indiferent pentru ceea ce urmează, iar amplitudinile forțelor pentru fiecare masă sunt diferite, iar frecvența și fazele sunt aceleași, apoi cu acțiunea prelungită a unor astfel de forțe perturbatoare, sistemul va efectua oscilații forțate constante cu frecvența a forţei motrice. Amplitudini de mișcare în direcția oricărei i-gradul în acest caz va fi:unde determinantul D se scrie conform (9.2) cu ω înlocuit cu θ și, prin urmare, D≠0; D i este definit prin expresia:
acestea. i A-a coloană a determinantului D se înlocuiește cu o coloană compusă dintr-un membru de forma: Pentru cazul a două grade de libertate: (9.6)Și în mod corespunzător
Când se calculează vibrațiile forțate ale grinzilor cu secțiune transversală constantă, care transportă mase concentrate (Fig. 9.1).
Este mai ușor, totuși, să folosiți următoarele formule pentru amplitudinile deformarii, unghiul de rotație, momentul încovoietor și forța tăietoare în orice secțiune a grinzii:
(9.7)Unde y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 sunt amplitudinile deformarii, rotatiei, momentului si fortei transversale ale sectiunii initiale (parametrii initiali); M iȘi J i- masa și momentul ei de inerție (masele concentrate); semnul ∑ se aplică tuturor forțelor și maselor concentrate situate de la secțiunea inițială până la cea examinată.
Aceste formule (9.7) pot fi folosite și pentru a calcula frecvențele naturale, pentru care este necesar să se ia în considerare forțele perturbatoare ∑ Riși momentele ∑ Mi egal cu zero, înlocuiți frecvența oscilațiilor forțate θ cu frecvența oscilațiilor naturale ω și, presupunând existența oscilațiilor (oscilații libere), scrieți expresiile (9.7) în raport cu secțiunile în care sunt situate mase concentrate și amplitudinile sunt deja cunoscute ( secțiuni de referință, axa de simetrie etc.). Obținem un sistem de ecuații liniare omogene. Echivalând determinantul acestui sistem cu zero, vom putea calcula frecvențele naturale.
Se dovedește a fi oportun să folosiți expresiile (9.4) și (9.5) pentru a determina amplitudinile ( y 0 , φ 0 , etc.) când X=0 și apoi folosind (9.7) pentru a calcula toate celelalte elemente de deviere.
Mai dificilă este problema calculării mișcărilor unui sistem cu mai multe grade de libertate sub acțiunea unei sarcini arbitrare care variază în timp și se aplică unor mase diferite.
Când rezolvați o astfel de problemă, ar trebui să procedați după cum urmează:
a) determina frecventele naturale si formele de oscilatii naturale;
b) regrupați sarcina dată între mase sau, după cum se spune, descompuneți conform modurilor de oscilații naturale. Numărul de grupuri de sarcină este egal cu numărul de frecvențe naturale ale sistemului;
c) după efectuarea celor două operații auxiliare de mai sus, se face un calcul pentru fiecare grup de sarcini conform formulelor cunoscute din teoria oscilațiilor unui sistem cu un grad de libertate, iar frecvența oscilațiilor naturale în aceste formule se consideră a fi unul care corespunde acestui grup de sarcină;
d) se sintetizează soluții particulare din fiecare categorie de sarcini, ceea ce determină soluția finală a problemei.
Definirea frecvențelor naturale se realizează conform (9.2). În ceea ce privește identificarea formelor de vibrații naturale, aici este necesar să ne ghidăm după proprietatea principală a oricărei forme de vibrații naturale, că este o linie de influență a deviației de la forțe (al căror număr este egal cu număr de grade de libertate) proporțional cu produsul maselor și ordonatele deformațiilor punctelor de atașare ale maselor. Cu mase egale, forma oscilațiilor naturale reprezintă o linie de deviere a forțelor proporționale cu ordonatele deformarii; diagrama de sarcină este similară cu diagrama de deformare.
Cea mai joasă frecvență corespunde celei mai simple forme de oscilație. Pentru grinzi, cel mai adesea această formă corespunde îndeaproape axei curbe a sistemului sub influența propriei greutăți. Dacă această structură este mai puțin rigidă în orice direcție, de exemplu, în direcția orizontală, atunci pentru a dezvălui natura axei curbe dorite, este necesar să se aplice în mod condiționat propria greutate în această direcție.
Oscilațiile unui sistem cu mai multe grade de libertate, care au aplicații practice importante, diferă de oscilațiile unui sistem cu un grad de libertate într-un număr de caracteristici esențiale. Pentru a face o idee despre aceste caracteristici, luați în considerare cazul oscilațiilor libere ale unui sistem cu două grade de libertate.
Fie poziția sistemului să fie determinată de coordonate generalizate și să fie sistemul în echilibru stabil la . Atunci energiile cinetice și potențiale ale sistemului, până la pătrate de valori mici, pot fi găsite în același mod în care s-au găsit egalitățile (132), (133) și pot fi reprezentate ca:
unde coeficienții de inerție și coeficienții cvasi-elastici sunt valori constante. Dacă folosim două ecuații Lagrange de forma (131) și substituim aceste valori ale lui T și P în ele, obținem următoarele ecuații diferențiale pentru oscilații mici ale unui sistem cu două grade de libertate
Vom căuta soluția ecuațiilor (145) sub forma:
unde A, B, k, a sunt constante. Înlocuind aceste valori în ecuațiile (145) și reducând prin obținem
Pentru ca ecuațiile (147) să dea soluții pentru A și B care sunt diferite de iulie, determinantul acestui sistem trebuie să fie egal cu zero, sau, în caz contrar, coeficienții lui A și B din ecuații trebuie să fie proporționali, i.e.
De aici, pentru definiție, obținem următoarea ecuație, numită ecuația frecvențelor.
Rădăcinile acestei ecuații sunt reale și pozitive; acest lucru se dovedește matematic, dar poate fi justificat și prin faptul că, în caz contrar, ecuațiile (145) nu vor fi reale și nu vor avea soluții de forma (146), ceea ce nu poate fi pentru un sistem în echilibru stabil (după perturbări, este trebuie să se apropie de poziție
După ce am definit nz (149) , găsim două seturi de soluții particulare de forma (146). Având în vedere că în conformitate cu aceste decizii vor:
unde și sunt valorile pe care le obțin de la (148) cu și respectiv.
Oscilațiile definite de ecuațiile (150) și (151) se numesc oscilații principale, iar frecvențele și k sunt frecvențele naturale ale sistemului. În acest caz, o oscilație cu o frecvență (în schimbare mereu) se numește prima oscilație principală, iar cu o frecvență - a doua oscilație principală. Numerele care determină rapoartele amplitudinilor (sau coordonatele în sine, adică) în fiecare dintre aceste oscilații se numesc coeficienți ai formei.
Deoarece ecuațiile (145) sunt liniare, sumele anumitor soluții (150) și (151) vor fi, de asemenea, soluții ale acestor ecuații:
Egalitățile (152), care conțin patru constante arbitrare determinate din condițiile inițiale, dau soluția generală a ecuațiilor (145) și determină legea micilor oscilații a sistemului. oscilațiile sunt compuse din două oscilații principale cu frecvențe și nu sunt armonice. În cazuri speciale, în condiții inițiale adecvate, sistemul poate efectua una dintre oscilațiile principale (de exemplu, prima dacă ), iar oscilația va fi armonică.
Frecvențele naturale și factorii de formă nu depind de condițiile inițiale și sunt principalele caracteristici ale micilor oscilații ale sistemului; rezolvarea problemelor specifice se reduce de obicei la determinarea acestor caracteristici.
Comparând rezultatele acestei secțiuni cu cele anterioare, se poate face o idee despre ce se va reduce studiul oscilațiilor amortizate și forțate ale unui sistem cu două grade de libertate. Nu vom lua în considerare acest lucru, vom observa doar că în timpul oscilațiilor forțate, rezonanța unui astfel de sistem poate apărea de două ori: la și la ( este frecvența forței perturbatoare). În sfârșit, observăm că oscilațiile unui sistem cu s grade de libertate vor fi compuse din s oscilații cu frecvențe care trebuie determinate din ecuația gradului s în raport cu Aceasta se datorează unor dificultăți matematice semnificative care pot fi depășite cu ajutorul a calculatoarelor electronice (sau analogice).
Problema 185. Să se determine frecvențele și coeficienții naturali ai formei micilor oscilații ale unui pendul fizic dublu format din tije și 2 de aceeași masă și lungime l (Fig. 374, a).
Soluţie. Alegem unghiuri mici ca coordonate generalizate. Apoi , unde și, cu precizia de calcul necesară, . În cele din urmă
Conform (3.7), sistemul de ecuații pentru II=2 se pare ca:
Deoarece vorbim de vibrații libere, partea dreaptă a sistemului (3.7) este considerată egală cu zero.
Cautam o solutie in formular
După înlocuirea (4.23) în (4.22), obținem:
Acest sistem de ecuații este valabil pentru un arbitrar t, prin urmare, expresiile cuprinse între paranteze drepte sunt nule. Astfel obținem un sistem liniar de ecuații algebrice în raport cu A și ÎN.
O soluție evidentă trivială la acest sistem L= Oh, B = O conform (4.23) corespunde absenței vibrațiilor. Cu toate acestea, alături de această soluție, există și o soluție non-trivială A * O, V F 0 cu condiția ca determinantul sistemului A ( la 2) este egal cu zero:
Acest determinant se numește frecvență, iar ecuația este relativă k - ecuația frecvenței. Funcția extinsă A(k 2) poate fi reprezentat ca
Orez. 4.5
Când RcYa - ^2 > ® și cu n ^-4>0 graficul A (k2) are forma unei parabole care intersectează axa x (fig. 4.5).
Să arătăm că inegalitățile de mai sus sunt valabile pentru oscilațiile în jurul unei poziții stabile de echilibru. Transformarea expresiei pentru energie kinetică in felul urmator:
La q, = 0 avem T = 0,5a .
În continuare, demonstrăm că rădăcinile ecuației de frecvență (4.25) sunt două valori pozitive la 2 și la 2(în teoria oscilațiilor, un indice mai mic corespunde unei frecvențe mai mici, adică k ( În acest scop, introducem mai întâi conceptul de frecvență parțială. Acest termen este înțeles ca frecvența naturală a unui sistem cu un grad de libertate obținută din sistemul original prin fixarea tuturor coordonatelor generalizate, cu excepția uneia. Deci, de exemplu , dacă în prima dintre ecuațiile sistemului noi (4.22) acceptăm q 2 = 0, atunci frecvența parțială va fi p (=yjc u /a n. În mod similar, fixând p 2 ~^c p / a 21 .
Pentru ca ecuația de frecvență (4.25) să aibă două rădăcini reale la xȘi k 2, este necesar și suficient ca, în primul rând, graficul funcției A (la 2) la k = 0 ar avea o ordonată pozitivă, iar în al doilea rând astfel încât să traverseze axa x. Cazul frecventelor multiple la (= la. ), precum și dispariția frecvenței celei mai joase, nu sunt luate în considerare aici. Prima dintre aceste condiții este îndeplinită, deoarece q (0) \u003d c „ c 22 - cu si> 0 Este ușor de verificat validitatea celei de-a doua condiții prin substituirea în dependență (4.25) k = k = p 2; în timp ce A(p, 2) Informații de acest fel în calculele inginerești facilitează prognozele și estimările.
Cele două valori ale frecvenței obținute la, Și la 2 corespund soluțiilor parțiale de forma (4.23), deci soluția generală are următoarea formă:
Astfel, fiecare dintre coordonatele generalizate participă la un proces oscilator complex, care este adăugarea de mișcări armonice cu frecvențe, amplitudini și faze diferite (Fig. 4.6). Frecvențele k tȘi la 2 sunt în general incomensurabile, deci q v c, nu sunt funcții periodice.
Orez. 4.6
Raportul amplitudinilor oscilațiilor libere la o frecvență naturală fixă se numește factor de formă. Pentru un sistem cu două grade de libertate se formează coeficienții (3.= B.J.A." sunt determinate direct din ecuațiile (4.24):
Astfel, coeficienții formei p, = B 1 /A [și r.,= V., / A., depind doar de parametrii sistemului și nu depind de condițiile inițiale. Coeficienții de formă se caracterizează pentru frecvența naturală considerată la. distribuția amplitudinilor de-a lungul circuitului oscilator. Combinația acestor amplitudini formează așa-numitul formă de oscilație.
Un factor de formă negativ înseamnă că oscilațiile sunt în antifază.
Când se utilizează programe de calculator standard, uneori acestea folosesc coeficienți de formă normalizați. Acest termen este înțeles
În coeficientul p‘r index i corespunde numărului de coordonate și indexului G- număr de frecvență. Este evident că 
sau este ușor de văzut că p*
În sistemul de ecuații (4.28), restul de patru necunoscute A g A 2, oc, cx 2 sunt determinate folosind condițiile inițiale:
Prezența unei forțe de rezistență liniare, la fel ca într-un sistem cu un grad de libertate, duce la amortizarea oscilațiilor libere.
Orez. 4.7
Exemplu. Să determinăm frecvențele naturale, frecvențele parțiale și factorii de formă pentru sistemul oscilator prezentat în Fig. 4.7, dar. Luând ca coordonate generalizate deplasările absolute ale masei.r, = q v x 2 = q. r Să scriem expresiile pentru energiile cinetice și potențiale:
În acest fel,
După înlocuirea în ecuațiile de frecvență (4.25), obținem
Mai mult, conform (4.29)
Pe fig. 4.7, b sunt date forme de undă. În prima formă de oscilație, masele se mișcă sincron într-o direcție, iar în a doua, se mișcă în sens opus. În plus, în acest din urmă caz, a apărut o secțiune transversală N, neparticipând la procesul oscilator cu frecvența proprie k r Acest așa-zis nod de oscilație.