VECTORI

Vectori numite obiecte matematice ( A, b, c, …), pentru care sunt definite două operații algebrice:

adăugarea a doi vectori a+b=c

înmulțirea unui vector cu un număr a a = b.

Cea mai semnificativă caracteristică a acestor operații este că ele rezultă întotdeauna într-un vector de același tip cu vectorii originali. Prin urmare, având un set inițial de vectori, îl putem extinde treptat, adică. să primească din ce în ce mai mulți vectori noi, aplicând la vectorii deja existenți operațiile de adunare și înmulțire cu un număr. În final, vom ajunge la un astfel de set de vectori care nu se vor mai extinde, adică. se dovedește a fi închis în raport cu operațiunile specificate. Un astfel de set de vectori se numește spațiu vectorial .

Dacă, la efectuarea acestor operații, suplimentar conditii de liniaritate :

A( a+b)= A un + A b

(A + b) a = A un + b b

atunci se numește spațiul rezultat liniar spaţiu (LP) sau vector liniar spaţiu (HDL). LCS poate servi, împreună cu grupurile de simetrie, ca un alt exemplu de structuri matematice care sunt seturi închise obiecte de acelaşi tip şi ordonate într-un anumit mod (cu ajutorul operaţiilor algebrice).

Combinații liniare

Având operațiile de adunare a vectorilor și înmulțirea lor cu numere, este posibil să construiți mai mulți structura complexa tip:

A un + b b + g c + ..... = x

Care e numit combinație liniară vectori (LC). a, b, c,. . . cu coeficienții a, b, g, . . . , respectiv.

Conceptul de LC ne permite să formulăm câteva reguli generale:

· orice LC al oricăror vectori ai unor LP este, de asemenea, un vector al aceluiași LP;

orice vector al unor LP poate fi reprezentat ca un LC al mai multor vectori ai aceluiași LP;

în orice LP există un astfel de set distins de vectori numit set de bază (sau pur și simplu bază ) că toți, fără excepție, vectorii acestui LP pot fi reprezentați ca combinații liniare ale acestor vectori de bază selectați. O condiție importantă este impusă vectorilor aleși ca bază: trebuie să fie liniar independentîntre ele (nu trebuie exprimate unul prin altul, adică: X≠a × y).

Aceste reguli fac posibilă introducerea unui mod special de descriere a oricărui LP. Alegem un set de bază și extindem toți vectorii de interes pentru noi în această bază (adică îi reprezentăm sub formă de vectori de bază LK); atunci fiecare vector poate fi specificat în mod unic prin intermediul unui set de coeficienți LC corespunzători vector dat. Astfel de coeficienți se numesc coordonate vector (în raport cu baza dată). Subliniem că coordonatele unui vector sunt numere obișnuite, iar reprezentarea în coordonate a unui vector ne permite să-l descriem doar prin intermediul unui set de numere, indiferent de specificul simțul fizic, pe care îl punem în conceptul de vector.

Să luăm în considerare un exemplu concret. Să presupunem că avem un set de amestecuri diferite de două pure substanțe chimice: apa si alcool. Dintre toate amestecurile posibile, le evidențiem două speciale:

1) amestec S1 conținând 100% apă și 0% alcool;

2) amestec S2 conținând 0% apă și 100% alcool.

Este clar că un amestec arbitrar poate fi reprezentat ca un LC al acestor două amestecuri de bază:

S = n 1 * S1 + n 2 * S2

și caracterizați-l complet cu doar două numere-coordonate: n 1 și n 2. Cu alte cuvinte, având în vedere setul de bază, putem stabili echivalența unui amestec chimic arbitrar și a unui set de numere:

S~ {n 1 , n 2 }.

Acum este suficient să înlocuim cuvântul chimic specific „amestec” cu unul abstract. termen matematic„vector” pentru a obține un model HDL care descrie un set de amestecuri de două substanțe.

O combinație liniară de vectori de la se numește vector st la . Este clar că o combinație liniară de combinații liniare de vectori este din nou o combinație liniară a acestor vectori.

Un set de vectori se numește liniar independent dacă egalitatea este posibilă numai pentru . Dacă, totuși, există și care nu sunt egali cu zero în același timp și astfel încât st - 0, atunci mulțimea de vectori se numește dependentă liniar. Aceste definiții sunt aceleași cu cele date la pagina 108 pentru șiruri.

Propoziția 1. O colecție de vectori este dependentă liniar dacă și numai dacă unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți.

Propoziția 2. Dacă colecția de vectori este liniar independentă, iar colecția este liniar dependentă, atunci vectorul este o combinație liniară de vectori

Propoziția 3. Dacă vectorii sunt combinații liniare de vectori, atunci mulțimea este dependentă liniar.

Dovezile acestor propoziții nu sunt diferite de dovezile propozițiilor similare pentru șiruri (pp. 108-110).

Un set de vectori se numește generator dacă toți vectorii spațiului sunt combinațiile lor liniare. Dacă există un sistem generator finit pentru spațiul S, atunci spațiul se numește finit-dimensional, în caz contrar se numește infinit-dimensional. Într-un spațiu cu dimensiuni finite, colecții liniar independente de vectori arbitrar mari (în număr de vectori) nu pot exista, deoarece, conform Propoziției 3, orice colecție de vectori care depășește numărul de vectori ai colecției generatoare este dependentă liniar.

Spațiul matricelor de dimensiune fixă ​​și, în special, spațiul rândurilor de lungime fixă ​​sunt de dimensiuni finite; ca sistem generator, se pot lua matrici cu una într-o poziție și cu zerouri în rest.

Spațiul tuturor polinoamelor din este deja infinit-dimensional, deoarece mulțimea de polinoame este liniar independentă pentru orice .

În cele ce urmează, vom lua în considerare spațiile cu dimensiuni finite.

Propunerea 4. Orice set generator minim (după numărul de vectori) de vectori este liniar independent.

Într-adevăr, să fie setul generator minim de vectori. Dacă este dependent liniar, atunci unul dintre vectori, de exemplu, este o combinație liniară a celorlalți, iar orice combinație liniară este o combinație liniară a unui set mai mic de vectori, care se dovedește astfel a fi generator.

Propoziţia 5. Orice set maxim (prin numărul de vectori) independent liniar de vectori este generator.

Într-adevăr, fie colecția maximă independentă liniar și u orice vector spațial. Atunci mulțimea și nu va fi liniar independentă și, în virtutea Propoziției 2, vectorul este o combinație liniară

Propozitia 6. Orice multime generatoare liniar independenta este minima intre generatoare si maxima intre cele liniar independente.

Într-adevăr, să fie un set generator liniar independent de vectori. Dacă - un alt grup generator, atunci sunt combinații liniare și de aici concluzionăm că, pentru că dacă ar fi atunci, în virtutea propunerii ar fi o mulțime liniar dependentă. Fie acum orice mulțime liniar independentă. Vectorii sunt combinații liniare de vectori și, în consecință, căci cu aceeași propoziție, ei ar constitui o mulțime liniar dependentă.

Astfel, în Propozițiile 4, 5, 6 se stabilește identitatea a trei concepte - setul generator minim de vectori, setul maxim liniar independent de vectori și setul generator liniar independent.

Mulțimea de vectori care îndeplinește aceste condiții se numește baza spațiului, iar numărul de vectori care alcătuiesc baza se numește dimensiunea spațiului. Dimensiunea spațiului S se notează cu . Astfel, dimensiunea este egală cu numărul maxim liniar vectori independenți(vom folosi adesea cuvintele „liniar independent” și „liniar independent” în cele ce urmează). vectori dependenți” în loc de a spune „vectori care alcătuiesc o colecție liniar dependentă” și - respectiv pentru o colecție liniar independentă) și numărul minim de vectori generatori.

Propoziția 7. Fie o mulțime liniar independentă de vectori, iar numărul lor este mai mic decât dimensiunea spațiului. Apoi un vector poate fi atașat acestora în așa fel încât colecția să rămână liniar independentă.

Dovada. Luați în considerare un set de combinații liniare. Nu epuizează întregul spațiu, deoarece nu constituie un set generator de vectori. Luați un vector care nu este o combinație liniară

Atunci este o colecție liniar independentă, deoarece altfel ar fi o combinație liniară de vectori în virtutea Propoziției 2.

Din Propoziția 7 rezultă că orice colecție liniar independentă de vectori poate fi completată la o bază.

Aceeași propoziție și dovada ei indică natura arbitrarului în alegerea unei baze. Într-adevăr, dacă luăm un vector arbitrar diferit de zero, atunci acesta poate fi completat la bază luând al doilea vector după cum doriți, dar nu o combinație liniară a primului, al treilea după cum doriți, dar nu o combinație liniară a primele două etc.

Se poate „coborî” la bază, pornind de la un set generator arbitrar.

Propoziţia 8. Orice set generator de vectori conţine o bază.

Într-adevăr, să fie un set generator de vectori. Dacă este dependent liniar, atunci unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți și poate fi exclus din setul generator. Dacă vectorii rămași sunt dependenți liniar, atunci mai poate fi eliminat un vector și așa mai departe, până când rămâne un set generator liniar independent, adică o bază.

Concept de vector

Definiția 1.Vector se numește segment direcționat (sau, ceea ce este același lucru, o pereche ordonată de puncte).

Desemnați: (punctul A este începutul vectorului), punctul B este sfârșitul vectorului) sau cu o literă -.

Definiția 2.Lungimea vectorului (modulo) este distanța dintre începutul și sfârșitul vectorului. Lungimea unui vector se notează cu sau.

Definiția 3.Vector zero Se numește un vector al cărui început și sfârșit sunt același. Desemna:

Definiția 4.vector unitar este un vector a cărui lungime este egală cu unu.

Un vector unitar care are aceeași direcție ca un vector dat se numește vector vectorial și este notat cu simbolul.

Definiția 5. Se numesc vectorii coliniar, daca sunt situate pe aceeasi linie sau pe linii paralele. Vectorul nul este considerat coliniar cu orice vector.

Definiția 6. Se numesc vectorii egal dacă sunt coliniare, au aceeași lungime și aceeași direcție.

Operații liniare pe vectori

Definiția 7.Operații liniare pe vectori se numesc adunarea vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr.

Definiția 8.Suma a doi vectori se numește vector care merge de la începutul vectorului până la sfârșitul vectorului, cu condiția ca vectorul să fie atașat la sfârșitul vectorului (regula triunghiului). În cazul vectorilor necoliniari, în locul regulii triunghiului, se poate folosi regula paralelogramului: dacă vectorii și sunt reprezentați dintr-o origine comună și pe ei este construit un paralelogram, atunci suma este un vector care coincide cu diagonala. a acestui paralelogram provenind dintr-o origine comună.

Definiția 9.Diferența a doi vectori si se numeste un vector care, in suma cu un vector, alcatuieste un vector. Dacă doi vectori și sunt amânați de la un început comun, atunci diferența lor este un vector care vine de la sfârșitul vectorului („scăzut”) până la sfârșitul vectorului („redus”).

Definiția 10. Se numesc doi vectori coliniari de lungime egala orientati in directii opuse opus. Se notează vectorul opus vectorului.

Produsul unui vector și al unui număr este notat cu α.

Unele proprietăți ale operațiilor liniare

7) ;

Teorema 1.(Pe vectorii coliniari). Dacă și sunt doi vectori coliniari, iar vectorul este diferit de zero, atunci există un număr unic x astfel încât = x

În special, un vector diferit de zero și orto-ul său sunt legate prin egalitatea:=·.

Proprietățile formulate ale operațiilor liniare fac posibilă transformarea expresiilor compuse din vectori conform regulilor obișnuite ale algebrei: puteți deschide paranteze, puteți aduce termeni similari, puteți transfera unii termeni într-o altă parte a egalității cu semnul opus etc.

Exemplul 1

Demonstrați egalitățile:

și află care este semnificația lor geometrică.

Soluţie. a) În partea stângă a egalității, deschidem parantezele, dăm termeni similari, obținem un vector în partea dreaptă. Să explicăm geometric această egalitate. Dați doi vectori, lăsați-i deoparte de originea comună și priviți paralelogramul și diagonalele sale, obținem:

§2 Combinaţie liniară de vectori

Baza vectorială în plan și în spațiu.

Definiția 1.Combinație liniară de vectori,, este suma produselor acestor vectori cu unele numere,,:++.

Definiția 2.baza vectoriala orice pereche de vectori necoliniari din acest plan este numită într-un plan dat.

Vectorul se numește primul vector de bază, al doilea vector.

Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 1. Dacă baza ,– baza vectoriala in plan, atunci orice vector al acestui plan poate fi reprezentat si, in plus, singura cale, ca o combinație liniară de vectori de bază: = x + y. (*)

Definiția 3. Egalitatea (*) se numește , iar numerele x și y sunt coordonate vectoriale în bază,(sau in ceea ce priveste baza,). Dacă este clar în prealabil ce bază este discutată, atunci ei scriu pe scurt: = (x, y). Din definiția coordonatelor unui vector în raport cu bază, rezultă că vectorii egali au coordonate egale în mod corespunzător.

Se numesc doi sau mai mulți vectori din spațiu coplanar, dacă sunt paralele cu același plan sau se află în acel plan.

Definiția 4.baza vectorialaîn spațiu se numesc oricare trei vectori , ,.

În acest caz, vectorul este numit primul vector de bază, al doilea și al treilea.

Cometariu. unu. Trei vectori = (),= () și = () formează baza spațiului dacă determinantul compus din coordonatele lor este diferit de zero:

.

2. Principalele prevederi ale teoriei determinanților și modul de calcul al acestora sunt luate în considerare în modulul 1 „algebră liniară”.

Teorema 2. Lasa , , este o bază vectorială în spațiu. Atunci orice vector din spațiu poate fi reprezentat și, mai mult, într-un mod unic, ca o combinație liniară de vectori de bază , Și:

X+y+z. (**)

Definiția 5. Egalitatea (**) se numește extinderea vectorului în termeni de bază,,, și numerele x, y, z sunt coordonatele (componentele) vectorului din bază , ,.

Dacă este clar în prealabil ce bază este discutată, atunci ei scriu pe scurt: = (x, y, z).

Definiția 6. Bază , , se numește ortonormal, dacă vectorii , , sunt perpendiculare perechi și au lungimea unitară. În acest caz, se adoptă notația ,,.

Acțiuni asupra vectorilor date de coordonatele lor.

Teorema 3. Să fie aleasă o bază vectorială pe plan , iar în raport cu vectorii săi și sunt date de coordonatele lor: = (),= ().

Atunci =(),=( ), adică la adăugarea sau scăderea vectorilor, se adună sau se scad coordonatele lor cu același nume; = ( ;), i.e. când un vector este înmulțit cu un număr, coordonatele sale sunt înmulțite cu acel număr.

Condiție de coliniaritate pentru doi vectori

Teorema 4. Un vector este coliniar cu un vector diferit de zero dacă și numai dacă coordonatele vectorului sunt proporționale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului.e.

Operațiile liniare asupra vectorilor dați de coordonatele lor în spațiu sunt efectuate în mod similar.

Exemplul 1 Fie dați vectorii = (1;2;-1) ,= (3;2;1), = (1;0;1) pe o bază vectorială , ,. Aflați coordonatele combinației liniare 2+3-4.

Soluţie. Să introducem notația pentru combinația liniară=2+3+(-4).

Coeficienți de combinație liniară =2,=3,=-4. Scriem această egalitate vectorială în forma de coordonate = (x, y, z) =:

2

Evident, fiecare coordonată a unei combinații liniare de vectori este egală cu aceeași combinație liniară de coordonate cu același nume, i.e.

x \u003d 2 1 + 3 3 + (-4) 1 \u003d 7,

y = 2 2+3 2+(-4) 0=10,

z= 2 (-1)+3 1+(-4) 0=-3.

Coordonatele vectoriale în bază , , va fi:

Răspuns:= {7,10,-3}.

Sistem de coordonate carteziene general (afin).

Definiția 7. Fie O un punct fix, pe care îl vom numi început.

Dacă M este un punct arbitrar, atunci vectorul este numit vector rază punctul M față de origine, pe scurt, vectorul rază al punctului M.

Coordonate carteziene (afine) pe o linie

Să fie dată o linie dreaptă în spațiu l. Să alegem originea O situată pe această linie. În plus, alegem pe linie l vector diferit de zero, pe care îl vom numi vector de bază.

Definiția 8. Fie punctul M să se afle pe dreapta l. Deoarece vectorii sunt coliniari, atunci = x, unde x este un număr. Vom suna la acest număr coordona punctele M de pe linie.

Originea O are coordonate pozitive sau negative, în funcție de faptul că direcțiile vectorilor sunt aceleași sau opuse. Linia dreaptă pe care coordonatele se numesc axa de coordonate sau axa OX.

Introducerea coordonatelor pe o linie corespunde unui singur număr x, iar invers, există un punct unic M pentru care acest număr este o coordonată.

Coordonate carteziene (afine) pe plan.

Alegem doi vectori necoliniari u pe planul O, formând o bază. Evident, lungimile vectorilor pot fi diferite.

Definiția 9. Mulțimea (0;;) a punctului O și a bazei vectoriale , numit Sistem cartezian (afin). la suprafata.

Două drepte care trec prin O și, respectiv, paralele cu vectorii , se numesc axe de coordonate. Prima dintre ele se numește de obicei axa absciselor și se notează Ox, a doua este axa ordonatelor și se notează Oy.

Vom înfățișa întotdeauna și ne vom întinde pe axele de coordonate corespunzătoare.

Definiția 10.coordonatele punctului M în plan în raport cu sistemul de coordonate cartezian (afin) (0;;) se numește coordonatele vectorului său de rază în funcție de baza:

X + y, atunci numerele x și y vor fi coordonatele lui M relativ la sistemul de coordonate cartezian (afin) (0;;). Coordonata x este numită abscisă punctul M, coordonata y- ordonată punctele M.

Deci, dacă se alege un sistem de coordonate, (0;;) pe plan, atunci fiecărui punct M al planului îi corespunde un singur punct M din plan: acest punct este sfârșitul vectorului

Introducerea unui sistem de coordonate stă la baza metodei geometriei analitice, a cărei esență este de a putea reduce orice problema geometrica la probleme de aritmetică sau algebră.

Definiția 11.Coordonatele vectoriale pe plan în raport cu sistemul de coordonate carteziene (0;;) se numesc coordonatele acestui vector în bază,.

Pentru a găsi coordonatele vectorului, trebuie să-l extindeți în termeni de bază:

X+y, unde coeficienții x,yși vor fi coordonatele vectorului relativ la Sistemul cartezian {0;;}.

Sistem de coordonate carteziene (afin) în spațiu.

Să fie fixat un punct O (început) în spațiu și să fie aleasă o bază vectorială

Definiția 12. Colecția (0;;;) este numită Sistemul de coordonate carteziene in spatiu.

Definiția 13. Trei drepte care trec prin O și paralele cu vectorii , ,, sunat axele de coordonateși indică, respectiv, Oz, Oy, Oz. Vom reprezenta întotdeauna vectori , culcat pe axele respective.

Definiția 14.coordonatele punctului M în spațiu relativ la sistemul de coordonate carteziene (0;;;) se numește coordonatele vectorului său de rază în acest sistem.

Cu alte cuvinte, coordonatele punctului M sunt trei numere x, y, z, respectiv, abscisa și ordonata punctului M; a treia coordonată z se numește aplicata punctului M.

Introducerea unui sistem de coordonate carteziene în spațiu permite stabilirea unei corespondențe unu-la-unu între punctele M ale spațiului și triplele ordonate ale numerelor x, y, z.

Definiția 15.Coordonatele vectorialeîn spațiu relativ la sistemul de coordonate carteziene (0;;;) sunt coordonatele acestui vector în bază;;.

Exemplul 2

Date trei vârfuri consecutive ale paralelogramului A(-2;1),B(1;3),C(4;0). Găsiți a patra coordonată D. Sistemul de coordonate este afin.

Soluţie.

Vectorii sunt egali, ceea ce înseamnă că coordonatele lor sunt egale (coeficienții unei combinații liniare):

= (3;2), =(4-x;-y); . Deci D(1;-2).

Răspuns: D(1;-2).

Dependență liniară. Conceptul de bază

Definiția 16. Vectori, numiti dependent liniar, dacă există numere

Această definiție a dependenței liniare a vectorilor este echivalentă cu aceasta: vectorii sunt dependenți liniar dacă unul dintre ei poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți (sau extins peste ceilalți).

Vectorii , sunt numiți dependenți liniar dacă egalitatea (***) este posibilă în singurul caz când

Conceptul de dependență liniară joacă un rol important în algebra liniară. În algebra vectorială, dependența liniară are o semnificație geometrică simplă.

Oricare doi vectori coliniari sunt dependenți liniar și invers, doi vectori necoliniari sunt independenți liniar.

Trei vectori coplanari sunt dependenți liniar și invers, trei vectori necoplanari sunt independenți liniar.

Fiecare patru vectori sunt dependenți liniar.

Definiția 17. Se numesc trei vectori liniar independenți baza spatiului acestea. orice vector poate fi reprezentat ca unele.

Definiția 18. Se numesc doi vectori liniar independenti situati intr-un plan baza de avion, acestea. orice vector situat în acest plan poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Sarcini pentru decizie independentă.

vectori pentru a găsi coordonatele în această bază.

Cursul 6

Vectorii …, se numesc dependenți liniar dacă există numere , , … , printre care există cel puțin unul diferit de zero astfel încât

Suma produselor numerelor și vectorilor, adică vector

se numește combinație liniară de vectori.

Dacă un vector este reprezentat ca o combinație liniară de vectori, atunci se spune că vectorul este de asemenea descompus în vectori.

Definiția de mai sus a dependenței liniare a vectorilor este echivalentă cu aceasta: vectorii sunt dependenți liniar dacă unul dintre ei poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți (sau extins în termenii celorlalți).

Teorema 1. Pentru doi vectori și pentru a fi liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari.

Dovada nevoie. Dați: vectori și sunt liniar dependenți. Este necesar să se demonstreze că acestea sunt coliniare. Deoarece vectorii și sunt dependenți liniar, există numere și care nu sunt egale cu zero în același timp și astfel încât

Fie, de exemplu, ; apoi

de aici rezultă că vectorii și sunt coliniari.

Dat: vectori și sunt coliniari. Este necesar să se demonstreze că acestea sunt dependente liniar.

Dacă , atunci egalitatea este valabilă, ceea ce înseamnă că vectorii și sunt dependenți liniar.

Dacă , atunci presupunând , găsim , sau ; deci vectorii și sunt dependenți liniar.

Se spune că trei vectori sunt coplanari dacă, atunci când sunt reprezentați din același punct, se află în același plan.

Teorema 2. Pentru ca trei vectori , , să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari.

Dat: vectorii , , sunt dependenti liniar. Trebuie să dovedim că sunt coplanari.

Întrucât vectorii , , sunt dependenți liniar, există numere , , , printre care există cel puțin unul ; astfel încât

Fie, de exemplu, ; apoi

Vectorii și sunt coliniari, respectiv, cu vectorii și ; prin urmare, suma acestor vectori, i.e. vectorul va fi coplanar cu vectorii și .

Dovada de suficiență. Dat: vectorii , , sunt coplanari. Este necesar să se demonstreze că acești vectori sunt dependenți liniar.

Dacă vectorii și sunt coliniari, atunci ei sunt dependenți liniar (Teorema 1 a acestei secțiuni), adică. există numere și , dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero și astfel încât , dar apoi și , i.e. vectorii , , sunt dependenți liniar .

Fie vectorii și necoliniari. Lăsați vectorii deoparte și din același punct DESPRE:

Deoarece vectorii , , sunt coplanari, punctele DESPRE, se află în același plan. Proiectați un punct pe o dreaptă paralelă cu dreapta; lasa R este această proiecție. Atunci și de atunci

apoi, presupunând

adică vectorii , , sunt dependenți liniar.

Teorema 3. Oricare patru vectori , , , din spațiu sunt dependenți liniar.

Dovada. Să presupunem că vectorii , , sunt necoplanari. Lăsați deoparte toți vectorii , , , din același punct DESPRE:

Lasa R- proiecția unui punct pe un plan paralel cu o dreaptă și - proiecția unui punct R pe o linie paralelă cu linia. Apoi .

Vectorii sunt respectiv coliniari cu vectorii și . Presupunând ; ; obține ; ;

și, prin urmare:

acestea. vectorii , , , sunt dependenti liniar.

Teorema 4. Pentru doi vectori nenuli și pentru a fi coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor să fie proporționale.

Să demonstrăm teorema pentru cazul în care vectorii sunt dați de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din spațiu.

dovada de necesitate. Dat: vectori ; și coliniare. Este necesar să se demonstreze că coordonatele lor sunt proporționale.

Întrucât , presupunând , obținem , i.e.

Dovada de suficiență. Date: coordonatele vectorilor

proporţional. Este necesar să se demonstreze că acești vectori sunt coliniari.

Lasa ; adică , sau , și, prin urmare, vectorii și sunt coliniari.

Teorema 5. Pentru doi vectori și , dat de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din plan

sau relativ la un sistem de coordonate carteziene comun în spațiu

sunt coliniare, este necesar și suficient ca

(în cazul unui avion),

(în cazul spațiului).

Să demonstrăm teorema pentru cazul în care vectorii și sunt dați de coordonatele lor în raport cu sistemul general de coordonate carteziene din spațiu.

dovada de necesitate. Dat: vectori și sunt coliniari. Se cere să se demonstreze că relaţiile

Dacă vectorii sunt atât nenuli, cât și coliniari, atunci coordonatele lor sunt proporționale și, prin urmare, aceste egalități sunt îndeplinite (determinantul în care două rânduri sunt proporționale este egal cu zero). Dacă sau (sau ==0), atunci această egalitate este evidentă.

Dovada de suficiență. Este dat că aceste relaţii sunt satisfăcute. Este necesar să se demonstreze că vectorii și sunt coliniari.

Dacă (adică =0), atunci vectorii și sunt coliniari (deoarece vectorul zero este coliniar cu orice vector). Fie ca cel puțin unul dintre numere să fie diferit de zero, de exemplu. Lăsa ; atunci și din relația sau (extinderea determinantului) , aflăm, , dat de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din spațiu, aparțin unei drepte dacă și numai dacă relațiile sunt satisfăcute

Consecința 3. Punctele , , , , date de coordonatele lor relativ la sistemul de coordonate carteziene comun din spațiu, aparțin aceluiași plan dacă și numai dacă vectorii ; ; coplanare, adică dacă și numai dacă .