Deci, problema studierii unui sistem de vectori pentru o dependență liniară se reduce la problema găsirii rangului unei matrice compuse din vectorii acestui sistem.

Trebuie remarcat că pentru p>n sistemul de vectori va fi liniar dependent.

cometariu: la compilarea matricei A, vectorii de sistem pot fi luați nu ca rânduri, ci ca coloane.

Algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru o dependență liniară.

Să analizăm algoritmul cu exemple.

Exemple de studiere a unui sistem de vectori pentru dependență liniară.

Exemplu.

Dat un sistem de vectori . Examinează-l pentru o relație liniară.

Soluţie.

Deoarece vectorul c este zero, sistemul original de vectori este dependent liniar datorită celei de-a treia proprietăți.

Răspuns:

Sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplu.

Examinați sistemul de vectori pentru dependența liniară.

Soluţie.

Nu este greu de observat că coordonatele vectorului c sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului înmulțite cu 3, adică . Prin urmare, sistemul original de vectori este dependent liniar.

Definiția 1. O combinație liniară de vectori este suma produselor acestor vectori și scalari
:

Definiția 2. Sistem vectorial
se numește sistem liniar dependent dacă combinația liniară a acestora (2.8) dispare:

iar printre numere
există cel puțin unul altul decât zero.

Definiția 3. Vectori
sunt numite liniar independente dacă combinația lor liniară (2.8) dispare numai dacă toate sunt numere.

Din aceste definiții se pot obține următoarele corolare.

Corolarul 1. Într-un sistem vectorial dependent liniar, cel puțin un vector poate fi exprimat ca o combinație liniară a celorlalți.

Dovada. Fie (2.9) să se mențină și să fie, pentru certitudine, coeficientul
. Avem atunci:
. Rețineți că și invers este adevărat.

Consecința 2. Dacă sistemul de vectori
conține un vector zero, atunci acest sistem este (neapărat) dependent liniar - demonstrația este evidentă.

Corolarul 3. Dacă printre n vectori
orice k(
) de vectori sunt liniar dependenți, atunci toți n vectorii sunt dependenți liniar (omitem demonstrația).

2 0 . Combinații liniare de doi, trei și patru vectori. Să luăm în considerare întrebările de dependență liniară și independență a vectorilor pe o dreaptă, un plan și în spațiu. Să prezentăm teoremele corespunzătoare.

Teorema 1. Pentru ca doi vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari.

Nevoie. Lasă vectorii Și dependent liniar. Aceasta înseamnă că combinația lor liniară
=0 și (de dragul certitudinii)
. Aceasta presupune egalitatea
, și (prin definiția înmulțirii unui vector cu un număr) vectorii Și coliniare.

Adecvarea. Lasă vectorii Și coliniar ( ║) (presupunem că sunt diferite de vectorul zero; în caz contrar, dependența lor liniară este evidentă).

Prin Teorema (2.7) (vezi §2.1, itemul 2 0) atunci
astfel încât
, sau
– combinația liniară este egală cu zero, iar coeficientul la este egal cu 1 – vectori Și dependent liniar.

Următorul corolar decurge din această teoremă.

Consecinţă. Dacă vectorii Și nu sunt coliniare, atunci sunt liniar independente.

Teorema 2. Pentru ca trei vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari.

Nevoie. Lasă vectorii ,Și dependent liniar. Să arătăm că sunt coplanari.

Definiția dependenței liniare a vectorilor implică existența numerelor
Și astfel încât combinația liniară
, și în același timp (pentru certitudine)
. Apoi din această egalitate putem exprima vectorul :=
, adică vectorul egală cu diagonala paralelogramului construit pe vectorii din dreapta acestei egalităţi (Fig. 2.6). Aceasta înseamnă că vectorii ,Și se află în același plan.

Adecvarea. Lasă vectorii ,Și coplanare. Să arătăm că sunt dependente liniar.

Să excludem cazul coliniarității oricărei perechi de vectori (deoarece atunci această pereche este dependentă liniar și după Corolarul 3 (vezi itemul 1 0) toți cei trei vectori sunt dependenți liniar). Rețineți că o astfel de presupunere exclude și existența unui vector zero printre cei trei indicați.

Transferăm trei vectori coplanari într-un singur plan și îi aducem la o origine comună. Până la sfârșitul vectorului trage linii paralele cu vectorii Și ; obţinem vectorii Și (Fig. 2.7) - existenţa lor este asigurată de faptul că vectorii Și vectori care nu sunt coliniari prin presupunere. Rezultă că vectorul =+. Rescrierea acestei egalități ca (–1) ++=0, concluzionăm că vectorii ,Și dependent liniar.

Din teorema demonstrată decurg două corolare.

Corolarul 1. Lasa Și vectori necoliniari, vector – arbitrar, situat în planul definit de vectori Și , vector. Apoi sunt numerele Și astfel încât

=+. (2.10)

Consecința 2. Dacă vectorii ,Și nu sunt coplanare, atunci sunt liniar independente.

Teorema 3. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

Omitem dovada; cu unele modificări, copiază demonstrația teoremei 2. Să prezentăm un corolar al acestei teoreme.

Consecinţă. Pentru orice vectori necoplanari ,,și orice vector
Și astfel încât

. (2.11)

cometariu. Pentru vectorii dintr-un spațiu (tridimensional), conceptele de dependență liniară și independență au, după cum reiese din teoremele 1-3 de mai sus, o semnificație geometrică simplă.

Să fie doi vectori dependenți liniar Și . În acest caz, una dintre ele este o combinație liniară a celei de-a doua, adică pur și simplu diferă de ea printr-un factor numeric (de exemplu,
). Geometric, aceasta înseamnă că ambii vectori sunt pe o linie comună; pot avea direcții identice sau opuse (Fig. 2.8 xx).

Dacă doi vectori sunt amplasați într-un unghi unul față de celălalt (Fig. 2.9 xx), atunci în acest caz unul dintre ei nu poate fi obținut prin înmulțirea celuilalt cu un număr - astfel de vectori sunt independenți liniar. Prin urmare, independența liniară a doi vectori Și înseamnă că acești vectori nu pot fi așezați pe aceeași linie dreaptă.

Să aflăm semnificația geometrică a dependenței și independenței liniare a trei vectori.

Lasă vectorii ,Și sunt dependente liniar și fie (pentru certitudine) vectorul este o combinație liniară de vectori Și , adică situat în planul care conține vectorii Și . Aceasta înseamnă că vectorii ,Și se află în același plan. Este adevărată și afirmația inversă: dacă vectorii ,Și se află în același plan, atunci sunt dependente liniar.

Deci vectorii ,Și sunt liniar independente dacă și numai dacă nu se află în același plan.

3 0 . Conceptul de bază. Unul dintre cele mai importante concepte ale algebrei liniare și vectoriale este conceptul de bază. Introducem definiții.

Definiția 1. O pereche de vectori se numește ordonată dacă se specifică care vector din această pereche este considerat primul și care este al doilea.

Definiția 2. Pereche comandată ,a vectorilor necoliniari se numește bază pe planul definit de vectorii dați.

Teorema 1. Orice vector pe plan poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului de bază de vectori ,:

(2.12)

iar această reprezentare este unică.

Dovada. Lasă vectorii Și formează o bază. Apoi orice vector poate fi reprezentat ca
.

Pentru a demonstra unicitatea, să presupunem că mai există o descompunere
. Avem atunci =0 și cel puțin una dintre diferențe este diferită de zero. Acesta din urmă înseamnă că vectorii Și liniar dependent, adică coliniar; aceasta contrazice afirmația conform căreia acestea formează o bază.

Dar apoi descompunerea este unică.

Definiția 3. Un triplu de vectori se numește ordonat dacă se indică care vector este considerat primul, care este al doilea și care este al treilea.

Definiția 4. Un triplu ordonat de vectori necoplanari se numește bază în spațiu.

Teorema de descompunere și unicitate este valabilă și aici.

Teorema 2. Orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului vectorial de bază ,,:

(2.13)

iar această reprezentare este unică (omitem demonstrarea teoremei).

În expansiunile (2.12) și (2.13), cantitățile se numesc coordonatele vectorului într-o bază dată (mai precis, în coordonate afine).

Pentru o bază fixă
Și
poti sa scrii
.

De exemplu, dacă se oferă o bază
și având în vedere că
, atunci aceasta înseamnă că există o reprezentare (descompunere)
.

4 0 . Operații liniare pe vectori sub formă de coordonate. Introducerea unei baze permite înlocuirea operațiilor liniare pe vectori cu operații liniare obișnuite pe numere - coordonatele acestor vectori.

Să se dea o bază
. Evident, stabilirea coordonatelor vectorului pe această bază determină complet vectorul în sine. Există următoarele propoziții:

a) doi vectori
Și
sunt egale dacă și numai dacă coordonatele lor respective sunt egale:

b) la înmulțirea unui vector
pe număr coordonatele sale sunt înmulțite cu acest număr:

; (2.15)

c) la adăugarea vectorilor se adaugă coordonatele lor respective:

Omitem dovezile acestor proprietăți; Să demonstrăm proprietatea b) doar ca exemplu. Avem

==

cometariu. În spațiu (în plan) se pot alege infinit de baze.

Dăm un exemplu de trecere de la o bază la alta, stabilim relația dintre coordonatele vectorului în diferite baze.

Exemplul 1. În sistemul de bază
sunt dați trei vectori:
,
Și
. în bază ,,vector are o descompunere. Găsiți coordonatele vectoriale în bază
.

Soluţie. Avem extinderi:
,
,
; Prin urmare,
=
+2
+
= =
, adică
în bază
.

Exemplul 2. Lasă o bază
patru vectori sunt dați de coordonatele lor:
,
,
Și
.

Aflați dacă vectorii se formează
bază; în cazul unui răspuns pozitiv, găsiți descompunerea vectorului în această bază.

Soluţie. 1) vectorii formează o bază dacă sunt independenți liniar. Compuneți o combinație liniară de vectori
(
) și află pentru ce
Și dispare:
=0. Avem:

=
+
+
=

Prin definirea egalității vectorilor în formă de coordonate, obținem următorul sistem de ecuații (algebrice liniare omogene):
;
;
, al cărui determinant
=1
, adică sistemul are (singura) soluție banală
. Aceasta înseamnă că vectorii sunt independenți liniar
și, prin urmare, formează o bază.

2) extinde vectorul în această bază. Avem: =
sau sub formă de coordonate.

Trecând la egalitatea vectorilor în formă de coordonate, obținem un sistem de ecuații algebrice liniare neomogene:
;
;
. Rezolvând-o (de exemplu, conform regulii lui Cramer), obținem:
,
,
Și (
)
. Avem o descompunere vectorială în bază
:=.

5 0 . Proiecția unui vector pe o axă. Proprietăți de proiecție. Să fie o axă l, adică o linie dreaptă cu o direcție aleasă pe ea și să fie dat un vector .Definiţi conceptul de proiecţie a unui vector pe axă l.

Definiție. Proiecție vectorială pe axă l se numește produsul dintre modulul acestui vector și cosinusul unghiului dintre axe lși vector (Fig.2.10):

. (2.17)

O consecință a acestei definiții este afirmația că vectorii egali au proiecții egale (pe aceeași axă).

Observați proprietățile proiecțiilor.

1) proiecția sumei vectorilor pe o axă l este egală cu suma proiecțiilor termenilor vectorilor de pe aceeași axă:

2) proiecția produsului dintre un scalar și un vector este egală cu produsul acestui scalar și proiecția vectorului pe aceeași axă:

=
. (2.19)

Consecinţă. Proiecția unei combinații liniare de vectori pe axă este egală cu combinația liniară a proiecțiilor lor:

Omitem dovezile proprietăților.

6 0 . Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu.Descompunerea unui vector în vectori unitari ai axelor. Să fie aleși ca bază trei vectori unitari reciproc perpendiculari; introducem notație specială pentru ei
. Prin plasarea lor începe la punct O, direct de-a lungul lor (conform vectorilor unitari
) axele de coordonate Bou,Oiși O z(o axă cu o direcție pozitivă selectată pe ea, un punct de referință și o unitate de lungime se numește axă de coordonate).

Definiție. Un sistem ordonat de trei axe de coordonate reciproc perpendiculare cu o origine comună și o unitate de lungime comună se numește sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu.

Axă Bou numită axa x, Oi- axa y și O z – axa aplicatiei.

Să ne ocupăm de extinderea unui vector arbitrar din punct de vedere al bazei
. Din teoremă (vezi §2.2, itemul 3 0 , (2.13)) rezultă că
poate fi extins în mod unic în bază
(aici în loc să desemnăm coordonatele
utilizare
):

. (2.21)

În (2,21)
sunt coordonatele (dreptunghiulare carteziane) ale vectorului . Sens coordonate carteziene stabilește următoarea teoremă.

Teorema. coordonate carteziene
vector sunt proiecțiile acestui vector, respectiv, pe axe Bou,Oiși O z.

Dovada. Să plasăm vectorul la originea sistemului de coordonate - un punct O. Atunci sfârșitul său va coincide cu un anumit punct
.

Să trecem prin punct
trei plane paralele cu planurile de coordonate Oyz,OxzȘi Oxy(Fig. 2.11 xx). Primim atunci:

. (2.22)

În (2.22) vectorii
Și
se numesc componente ale vectorului
de-a lungul axelor Bou,Oiși O z.

Lasă să treacă
Și sunt indicate respectiv unghiurile formate de vector cu orturi
. Apoi pentru componente obținem următoarele formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Din (2.21), (2.22) (2.23) găsim:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- coordonatele
vector există proiecții ale acestui vector pe axele de coordonate Bou,Oiși O z respectiv.

cometariu. Numerele
se numesc cosinusuri de direcție ale vectorului .

Modulul vectorial (diagonala unui paralelipiped dreptunghic) se calculează prin formula:

. (2.24)

Din formulele (2.23) și (2.24) rezultă că cosinusurile direcției pot fi calculate folosind formulele:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Ridicând ambele părți ale fiecăreia dintre egalitățile din (2.25) și adăugând termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale egalităților rezultate, ajungem la formula:

- nu oricare trei unghiuri formează o anumită direcție în spațiu, ci doar acelea ale căror cosinusuri sunt legate prin relație (2.26).

7 0 . Coordonatele vectoriale și punctului de rază.Determinarea unui vector prin începutul și sfârșitul său. Să introducem o definiție.

Definiție. Vectorul rază (notat ) se numește vectorul care leagă originea O cu acest punct (Fig. 2.12 xx):

. (2.27)

Orice punct din spațiu corespunde unui anumit vector cu rază (și invers). Astfel, punctele din spațiu sunt reprezentate în algebra vectorială prin vectorii lor cu rază.

Evident coordonatele
puncte M sunt proiecții ale vectorului său de rază
pe axele de coordonate:

(2.28’)

și, astfel,

(2.28)

– vectorul rază al unui punct este un vector ale cărui proiecții pe axele de coordonate sunt egale cu coordonatele acestui punct. Din aceasta decurg două intrări:
Și
.

Obținerea de formule pentru calcularea proiecțiilor vectoriale
prin coordonatele începutului său – punctul
și punctul final
.

Desenați vectorii cu rază
și vector
(fig.2.13). Înțelegem asta

=
=(2.29)

– proiecțiile vectorului pe vectorii de coordonate sunt egale cu diferențele coordonatelor corespunzătoare ale capătului și începutului vectorului.

8 0 . Câteva probleme privind coordonatele carteziene.

1) condiții de coliniaritate vectorială . Din teoremă (vezi §2.1, itemul 2 0 , formula (2.7)) rezultă că pentru colinaritatea vectorilor Și necesar și suficient pentru ca următoarea relație să fie menținută: =. Din această egalitate vectorială, obținem trei egalități în forma de coordonate:, din care rezultă condiția de colinaritate a vectorilor în forma de coordonate:

(2.30)

– pentru vectori coliniari Și este necesar şi suficient ca coordonatele lor respective să fie proporţionale.

2) distanta dintre puncte . Din reprezentarea (2.29) rezultă că distanţa
între puncte
Și
este determinat de formula

=
=. (2.31)

3) divizarea segmentelor în acest sens . Să se acorde puncte
Și
si atitudine
. Trebuie să găsești
- coordonatele punctului M (fig.2.14).

Din condiția vectorilor coliniari avem:
, Unde
Și

. (2.32)

Din (2.32) obținem sub forma de coordonate:

Din formulele (2.32') se pot obţine formule pentru calcularea coordonatelor mijlocului segmentului
, presupunând
:

cometariu. Să numărăm segmentele
Și
pozitiv sau negativ, în funcție de dacă direcția lor coincide cu direcția de la origine
tăiat până la capăt
, sau nu se potrivește. Apoi, folosind formulele (2.32) - (2.32"), puteți găsi coordonatele punctului care împarte segmentul
extern, adică astfel încât punctul de despărțire M este pe extensie
, nu în interiorul ei. În același timp, desigur,
.

4) ecuația suprafeței sferice . Să compunem ecuația unei suprafețe sferice - locul punctelor
, echidistant față de o distanță dintr-un centru fix - un punct
. Evident, în acest caz
și luând în considerare formula (2.31)

Ecuația (2.33) este ecuația suprafeței sferice dorite.

Lasa L – spațiu liniar peste câmp R . Lasa A1, a2, ... , an (*) un sistem finit de vectori din L . Vector ÎN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chemat O combinație liniară de vectori ( *), sau spune vector ÎN exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) este numit dependent liniar , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Apoi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lasa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DAR N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Apoi există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DAR N. Deci, vectorul A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie ca unul dintre vectori (*) să fie o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld DAR N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld DAR N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, se poate defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial A1, a2, ... , an , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai săi.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori A1, a2, ... , an , … (16) și В1, в2, … , вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci spunem că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme de vectori se numesc echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar în termenii celuilalt.

Teorema 9 (teorema de bază a dependenței liniare).

Lasă și - Două sisteme de capăt vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat în termenii celui de-al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform teoremei

comun. Deoarece numărul de ecuaţii mai mult număr necunoscute, atunci sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero x10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul de vectori se numește Sistemul maxim liniar independent de vectori spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar adăugând la acesta orice vector din L neinclus în acest sistem, acesta devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi completat până la sistemul maxim liniar independent de vectori ai acestui spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maximal.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este maximul liniar independent.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradul este cel mult N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, …, xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

dar) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Mulțimea matricelor de dimensiune M´ N este un spațiu liniar (verificați-l). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul de matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, ... , cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar când i se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime liniar independente conține același număr de vectori. (Dovada de unul singur.) Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.

Dependența liniară și independența vectorilor

Definiții ale sistemelor de vectori liniar dependente și independente

Definiția 22

Să avem un sistem de n-vectori și să avem un set de numere
, apoi

(11)

se numește combinație liniară a unui sistem dat de vectori cu un set dat de coeficienți.

Definiția 23

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă există un astfel de set de coeficienți
, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero, astfel încât combinația liniară a sistemului dat de vectori cu acest set de coeficienți este egală cu vectorul zero:

Lasa
, apoi

Definiția 24 ( prin reprezentarea unui vector al sistemului ca o combinație liniară a celorlalți)

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă cel puțin unul dintre vectorii acestui sistem poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Afirmația 3

Definițiile 23 și 24 sunt echivalente.

Definiția 25(prin combinație de linii zero)

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă combinația liniară zero a acestui sistem este posibilă numai pentru toți
egal cu zero.

Definiția 26(prin imposibilitatea de a reprezenta un vector al sistemului ca o combinație liniară a restului)

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă niciunul dintre vectorii acestui sistem nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a altor vectori ai acestui sistem.

Proprietăți ale sistemelor de vectori liniar dependente și independente

Teorema 2 (vector zero în sistemul de vectori)

Dacă există un vector zero în sistemul de vectori, atunci sistemul este dependent liniar.

 Să
, apoi .

obține
, prin urmare, prin definiția unui sistem de vectori dependent liniar în termenii unei combinații liniare zero (12) sistemul este dependent liniar. 

Teorema 3 (subsistem dependent în sistemul de vectori)

Dacă un sistem de vectori are un subsistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

 Să
- subsistem dependent liniar
, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero:

Prin urmare, prin Definiția 23, sistemul este dependent liniar. 

Teorema 4

Orice subsistem al unui sistem liniar independent este liniar independent.

 Dimpotrivă. Fie sistemul să fie liniar independent și să aibă un subsistem dependent liniar. Dar apoi, prin teorema 3, întregul sistem va fi, de asemenea, dependent liniar. Contradicţie. Prin urmare, un subsistem al unui sistem liniar independent nu poate fi dependent liniar. 

Semnificația geometrică a dependenței liniare și a independenței unui sistem de vectori

Teorema 5

Doi vectori Și dependent liniar dacă și numai dacă
.

 Nevoie.

Și - dependente liniar
că starea
. Apoi
, adică
.

Adecvarea.

Dependent liniar. 

Corolarul 5.1

Vectorul zero este coliniar cu orice vector

Corolarul 5.2

Pentru ca doi vectori să fie independenți liniar este necesar și suficient ca nu era coliniar .

Teorema 6

Pentru ca un sistem de trei vectori să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca acești vectori să fie coplanari .

 Nevoie.

- sunt dependente liniar, prin urmare, un vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți doi.

, (13)

Unde
Și
. Conform regulii paralelogramului este diagonala unui paralelogram cu laturile
, dar un paralelogram este o figură plată
coplanare
sunt de asemenea coplanare.

Adecvarea.

- coplanare. Aplicăm trei vectori în punctul O:

C

B`

– dependent liniar 

Corolarul 6.1

Vectorul zero este coplanar cu orice pereche de vectori.

Corolarul 6.2

Pentru ca vectorii
sunt liniar independente dacă și numai dacă nu sunt coplanare.

Corolarul 6.3

Orice vector plan poate fi reprezentat ca o combinație liniară a oricăror doi vectori necoliniari ai aceluiași plan.

Teorema 7

Oricare patru vectori din spațiu sunt dependenți liniar .

Să luăm în considerare 4 cazuri:

Să desenăm un plan prin vectori, apoi un plan prin vectori și un plan prin vectori. Apoi desenăm planele care trec prin punctul D, paralele cu perechile de vectori ; ; respectiv. Construim un paralelipiped de-a lungul liniilor de intersecție a planurilor OB 1 D 1 C 1 ABDC.

Considera OB 1 D 1 C 1 - paralelogram prin construcţie după regula paralelogramului
.

Luați în considerare OADD 1 - un paralelogram (din proprietatea paralelipiped)
, apoi

Ecuația EMBED.3.

Prin teorema 1
astfel încât . Apoi
, iar prin definiție 24 sistemul de vectori este dependent liniar. 

Corolarul 7.1

Suma a trei vectori necoplanari din spațiu este un vector care coincide cu diagonala paralelipipedului construit pe acești trei vectori atașați unei origini comune, iar începutul vectorului sumă coincide cu originea comună a acestor trei vectori.

Corolarul 7.2

Dacă luăm 3 vectori necoplanari într-un spațiu, atunci orice vector al acestui spațiu poate fi descompus într-o combinație liniară a acestor trei vectori.

Lasa L- spațiu liniar arbitrar, a i Î L sunt elementele sale (vectorii).

Definiție 3.3.1. Expresie , Unde , - arbitrar numere reale, se numește combinație liniară vectori a 1 , a 2 ,…, a n.

Dacă vectorul R = , atunci ei spun asta R descompuse în vectori a 1 , a 2 ,…, a n.

Definiție 3.3.2. O combinație liniară de vectori se numește nebanală, dacă printre numere există cel puțin unul altul decât zero. În caz contrar, se numește combinația liniară banal.

Definiția 3.3.3 . Vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt numite dependente liniar dacă există o combinație liniară netrivială a acestora astfel încât

= 0 .

Definiția 3.3.4. Vectorii a 1 ,a 2 ,…, a n sunt numite liniar independente dacă egalitatea = 0 posibil numai dacă toate numerele l 1, l 2,…, l n sunt simultan zero.

Rețineți că orice element diferit de zero a 1 poate fi considerat ca un sistem liniar independent, deoarece egalitatea l a 1 = 0 posibil doar cu condiția l= 0.

Teorema 3.3.1. Necesar și condiție suficientă dependență liniară a 1 , a 2 ,…, a n este posibilitatea de a descompune cel puțin unul dintre aceste elemente în restul.

Dovada. Nevoie. Fie elementele a 1 , a 2 ,…, a n dependent liniar. Înseamnă că = 0 , și cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, l n diferit de zero. Lăsați pentru certitudine l 1 ¹ 0. Apoi

adică elementul a 1 este descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n.

Adecvarea. Fie elementul a 1 descompus în elemente a 2 , a 3 , …, a n, adică a 1 = . Apoi = 0 , prin urmare, există o combinație liniară netrivială de vectori a 1 , a 2 ,…, a n egal cu 0 , deci sunt dependente liniar .

Teorema 3.3.2. Dacă cel puțin unul dintre elementele a 1 , a 2 ,…, a n zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.

Dovada . Lasa A n= 0 , apoi = 0 , ceea ce înseamnă dependența liniară a elementelor indicate.

Teorema 3.3.3. Dacă dintre n vectori orice p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dovada. Fie, pentru certitudine, elementele a 1 , a 2 ,…, a p dependent liniar. Aceasta înseamnă că există o combinație liniară non-trivială astfel încât = 0 . Egalitatea indicată va fi păstrată dacă adăugăm elementul la ambele părți ale acestuia. Apoi + = 0 , în timp ce cel puțin unul dintre numere l 1, l 2,…, lp diferit de zero. Prin urmare, vectorii a 1 , a 2 ,…, a n sunt dependente liniar.

Corolarul 3.3.1. Dacă n elemente sunt liniar independente, atunci orice k dintre ele sunt liniar independente (k< n).

Teorema 3.3.4. Dacă vectorii a 1 , a 2 ,…, a n- 1 sunt liniar independente, iar elementele a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n sunt dependente liniar, apoi vectorul A n poate fi descompus în vectori a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Dovada.Întrucât prin condiția a 1 , a 2 ,…, A n- 1, a n sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora = 0 și (în caz contrar, se dovedesc a fi liniar vectori dependenți a 1 , a 2 ,…, a n- unu). Dar apoi vectorul

Q.E.D.