Definiția de bază. Un sistem de vectori formează o bază dacă:

1) este liniar independent,

2) orice vector de spațiu prin el este exprimat liniar.

Exemplul 1 Baza spatiala: .

2. În sistemul de vectori vectorii stau la baza: , deoarece exprimată liniar în termeni de vectori .

Cometariu. Pentru a găsi baza unui sistem dat de vectori, trebuie să:

1) scrieți coordonatele vectorilor din matrice,

2) prin intermediul transformări elementare aduceți matricea într-o formă triunghiulară,

3) rândurile matricei diferite de zero vor fi baza de sistem,

4) numărul de vectori din bază este egal cu rangul matricei.

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker–Capelli oferă un răspuns exhaustiv la întrebarea de consistență sistem arbitrar ecuatii lineare cu necunoscut

Teorema Kronecker–Capelli. Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei principale, .

Algoritmul pentru găsirea tuturor soluțiilor unui sistem consistent de ecuații liniare rezultă din teorema Kronecker–Capelli și din următoarele teoreme.

Teorema. Dacă rangul sistemului comun este egal cu numărul necunoscut, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema. Dacă rangul sistemului comun mai mic decât numărul necunoscut, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Algoritm pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1. Găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. Dacă nu sunt egale (), atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții). Dacă rangurile sunt egale ( , atunci sistemul este compatibil.

2. Pentru un sistem compatibil găsim vreun minor a cărui ordine determină rangul matricei (un astfel de minor se numește de bază). Să compunem sistem nou din ecuațiile în care coeficienții necunoscutelor sunt incluși în minorul de bază (aceste necunoscute se numesc necunoscute principale), aruncăm restul ecuațiilor. Lăsăm principalele necunoscute cu coeficienți în stânga și transferăm necunoscutele rămase (se numesc necunoscute libere) în partea dreaptă a ecuațiilor.

3. Să găsim expresiile principalelor necunoscute în termenii celor libere. Obținem soluția generală a sistemului.

4. Dând valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem valorile corespunzătoare ale necunoscutelor principale. Astfel, găsim soluții speciale la sistemul original de ecuații.

Programare liniară. Noțiuni de bază

Programare liniară este o direcție de programare matematică care studiază metode de rezolvare a problemelor extreme, care se caracterizează printr-o relație liniară între variabile și un criteriu liniar.

Stare necesara enunțarea problemei programării liniare sunt restricții privind disponibilitatea resurselor, mărimea cererii, capacitatea de producție a întreprinderii și alți factori de producție.

Esența programării liniare este de a găsi punctele de cel mai mare sau cea mai mică valoare unele funcţionează cu un anumit set de restricţii impuse argumentelor şi generatoarelor sistem de restricții , care are de obicei un număr infinit de soluții. Fiecare set de valori variabile (argumente ale funcției F ) care satisfac sistemul de constrângeri se numește plan acceptabil probleme de programare liniară. Funcţie F , al cărui maxim sau minim este determinat, se numește funcție obiectivă sarcini. Plan admisibil pe care se atinge maximul sau minimul funcției F , se numește plan optim sarcini.

Sistemul de constrângeri care definește setul de planuri este dictat de condițiile de producție. O problemă de programare liniară ( ZLP ) este alegerea celui mai profitabil (optim) din setul de planuri fezabile.

Formularea generală a problemei de programare liniară este următoarea:

Există câteva variabile x \u003d (x 1, x 2, ... x n) și funcția acestor variabile f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , care poartă numele ţintă funcții. Sarcina este stabilită: să găsească extremul (maxim sau minim) al funcției obiectiv f(x) cu condiţia ca variabilele X aparțin unei anumite zone G :

În funcție de tipul funcției f(x) si zone G și distingeți între secțiuni ale programării matematice: programare pătratică, programare convexă, programare cu numere întregi etc. Programarea liniară se caracterizează prin faptul că
o functie f(x) este o funcție liniară variabile x 1, x 2, ... x n
b) zona G determinat de sistem liniar egalități sau inegalități.

O combinație liniară de vectori este un vector
, unde λ 1 , ... , λ m sunt coeficienți arbitrari.

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă există combinația sa liniară egală cu , care are cel puțin un coeficient diferit de zero.

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă în oricare dintre ei combinație liniară egal cu , toți coeficienții sunt zero.

Baza sistemului de vectori
este numit subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 2. Aflați baza sistemului de vectori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași în termeni de bază.

Rezolvare.Construim o matrice in care aranjam coordonatele acestor vectori in coloane. Îl aducem într-o formă în trepte.

~
~
~
.

Baza acestui sistem este formată din vectori ,,, care corespund elementelor conducătoare ale rândurilor marcate cu cercuri. Pentru o expresie vectorială rezolvați ecuația x 1 +x2 +x4 =. Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice se obține din original prin permutarea coloanei corespunzătoare , în locul coloanei de membri liberi. Prin urmare, pentru a rezolva sistemul, folosim matricea rezultată într-o formă treptată, făcând permutările necesare în ea.

Găsim succesiv:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Observația 1. Dacă se cere exprimarea mai multor vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește sistemul corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Prin urmare, pentru a le rezolva, poate fi compilată o matrice, în care vor exista mai multe coloane de membri liberi. În acest caz, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Observația 2. Pentru a exprima orice vector, este suficient să folosiți doar vectorii de bază ai sistemului care îl precedă. În acest caz, nu este nevoie să remodelați matricea, este suficient să puneți o linie verticală la locul potrivit.

Exercițiul 2. Aflați baza sistemului de vectori și exprimați restul vectorilor prin baza:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

în) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistem de decizie fundamental

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Sistem de decizie fundamental sistem omogen ecuațiile liniare se numesc baza mulțimii soluțiilor sale.

Să fie dat un sistem neomogen de ecuații liniare. Un sistem omogen asociat unuia dat este un sistem obținut dintr-unul dat prin înlocuirea tuturor termenilor liberi cu zerouri.

Dacă un sistem neomogen este compatibil și nedefinit, atunci soluția sa arbitrară are soluțiile de formă ale sistemului omogen asociat.

Exemplul 3. Găsiți o anumită soluție a sistemului neomogen din Exemplul 1 și sistem fundamental soluţii ale sistemului omogen asociat.

Rezolvare.Scriem solutia obtinuta in exemplul 1 sub forma vectoriala si extindem vectorul rezultat intr-o suma peste parametrii liberi pe care ii contine si valori numerice fixe:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Se obține f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Cometariu. Problema găsirii unui sistem fundamental de soluții pentru un sistem omogen se rezolvă în mod similar.

Exercițiul 3.1 Aflați sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen:

A)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

EXERCIȚIUL 3.2. Găsiți o soluție particulară a sistemului neomogen și sistemul fundamental de soluții ale sistemului omogen asociat:

A)

b)

În geometrie, un vector este înțeles ca un segment direcționat, iar vectorii se obțin unul de la altul transfer paralel, sunt considerate egale. Toți vectorii egali sunt tratați ca același vector. Începutul vectorului poate fi plasat în orice punct din spațiu sau plan.

Dacă coordonatele capetelor vectorului sunt date în spațiu: A(X 1 , y 1 , z 1), B(X 2 , y 2 , z 2), atunci

= (X 2 – X 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

O formulă similară este valabilă în plan. Aceasta înseamnă că un vector poate fi scris ca șir de coordonate. Operaţiile pe vectori, - adunarea şi înmulţirea cu un număr, pe şiruri se efectuează component cu component. Acest lucru face posibilă extinderea conceptului de vector, înțelegând un vector ca orice șir de numere. De exemplu, soluția unui sistem de ecuații liniare, precum și orice set de valori variabile de sistem, poate fi privit ca un vector.

Pe șiruri de aceeași lungime, operația de adunare se realizează conform regulii

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Înmulțirea unui șir cu un număr se realizează conform regulii

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Set de vectori rând de lungime dată n cu operaţiile indicate de adunare vectorială şi înmulţire cu un număr formează o structură algebrică numită spațiu liniar n-dimensional.

O combinație liniară de vectori este un vector , unde λ 1 , ... , λ m sunt coeficienți arbitrari.

Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există combinația sa liniară egală cu , care are cel puțin un coeficient diferit de zero.

Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă în oricare dintre combinațiile sale liniare egale cu , toți coeficienții sunt zero.

Astfel, soluția problemei dependenței liniare a sistemului de vectori se reduce la soluția ecuației

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Dacă această ecuație are soluții diferite de zero, atunci sistemul de vectori este dependent liniar. Dacă soluția zero este unică, atunci sistemul de vectori este liniar independent.

Pentru a rezolva sistemul (4), pentru claritate, vectorii pot fi scriși nu sub formă de rânduri, ci sub formă de coloane.

Apoi, după efectuarea transformărilor din partea stângă, ajungem la un sistem de ecuații liniare echivalent cu ecuația (4). Matricea principală a acestui sistem este formată din coordonatele vectorilor originali aranjați în coloane. Coloana de membri liberi nu este necesară aici, deoarece sistemul este omogen.

Bază sistem de vectori (finiți sau infiniti, în special, toți spațiu liniar) este subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 1.5.2. Aflați baza sistemului de vectori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) și exprimă alți vectori prin bază.

Decizie. Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Aceasta este matricea sistemului X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Aducem matricea într-o formă în trepte:

~ ~ ~

Baza acestui sistem de vectori o formează vectorii , , , care corespund elementelor conducătoare ale rândurilor marcate cu cercuri. Pentru a exprima vectorul, rezolvăm ecuația X 1 + X 2 + X 4 = . Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice se obține din original prin rearanjarea coloanei corespunzătoare lui , la locul coloanei de termeni liberi. Prin urmare, la reducerea la o formă în trepte, pe matrice se vor face aceleași transformări ca mai sus. Aceasta înseamnă că putem folosi matricea rezultată într-o formă în trepte făcând permutările necesare ale coloanelor din ea: coloanele cu cercuri sunt plasate în stânga barei verticale, iar coloana corespunzătoare vectorului este plasată în dreapta. a barului.

Găsim succesiv:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

cometariu. Dacă este necesară exprimarea mai multor vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește sistemul corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. În acest caz, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

EXERCIȚIUL 1.4. Găsiți baza sistemului de vectori și exprimați restul vectorilor în termeni de bază:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

Într-un sistem dat de vectori, o bază poate fi de obicei distinsă în moduri diferite, dar toate bazele vor avea același număr de vectori. Numărul de vectori din baza unui spațiu liniar se numește dimensiunea spațiului. Pentru n-spaţiu liniar dimensional n este dimensiunea spațiului, deoarece acest spațiu are o bază standard = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Prin această bază, orice vector = (a 1 , a 2 , … , a n) se exprimă după cum urmează:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Astfel, componentele din rândul vectorului = (a 1 , a 2 , … , a n) sunt coeficienții săi în expansiunea în ceea ce privește baza standard.

Linii drepte pe un plan

Problema geometriei analitice - aplicare la probleme geometrice metoda coordonatelor. Aceasta se traduce sarcina în forma algebricăși se rezolvă cu ajutorul algebrei.

În articolul despre vectorii n-dimensionali, am ajuns la conceptul de spațiu liniar generat de o mulțime de vectori n-dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte nu mai puțin importante, cum ar fi dimensiunea și baza. spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, așa că este recomandat în plus să vă amintiți și de elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial- numărul corespunzător numărul maxim vectori liniar independenți în acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial- un set de vectori liniar independenți, ordonați și în număr egal cu dimensiunea spațiului.

Se consideră un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este, respectiv, egală cu n . Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1 , 0 , . . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Să folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi unitate cu dimensiunea n cu n . Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistemul vectorial e (1) , e (2) , . . . , e (n) este liniar independent. În acest caz, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-i încălca independența liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este n, atunci dimensiunea spațiului de vectori n-dimensionali este n și vectori unitari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția obținută, concluzionăm: orice sistem de vectori n-dimensionali, în care numărul de vectori este mai mic decât n, nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să compunem o matrice, luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi egal cu n . Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e (n) este liniar independent și este o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional.

Rearanjand alți vectori în sistemul original, obținem încă o bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari, iar acesta va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali cu număr n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Orice trei vectori necoplanari vor servi ca bază a spațiului tridimensional.

Luați în considerare aplicarea acestei teorii pe exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii specificați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Decizie

Pentru a rezolva problema, studiem sistemul dat de vectori pentru o dependență liniară. Să facem o matrice, unde rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii dați de condiția problemei sunt liniar independenți, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: acești vectori stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul indicat de vectori poate fi baza unui spațiu tridimensional.

Decizie

Sistemul de vectori specificat în condiția problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, acest sistem de vectori nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul de vectori indicat nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Pot fi ele baza unui spațiu cu patru dimensiuni?

Decizie

Compuneți o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Prin urmare, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza spațiului vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați stau la baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu cu 4 dimensiuni?

Decizie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el este insuficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector în termeni de bază

Acceptăm că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în termenii altor vectori.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional singura cale se extinde asupra bazei.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

stabiliți baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Demonstrăm acum că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că acesta nu este cazul și că există o altă extindere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Scădeți din părțile din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, părțile din stânga și din dreapta ale egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e (n) este liniar independent; Prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura modalitate de a extinde un vector în termeni de bază.

În acest caz, coeficienții x 1 , x 2 , . . . , x n se numesc coordonate ale vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „se dă un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt date în vreo bază. De asemenea, este clar că același vector într-o bază diferită a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Vectorul x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) +... + x ~ n e n (n))

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va arăta astfel:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A , iar coloanele ei să fie vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, determinată în orice mod convenabil: de exemplu, prin metoda Cramer sau metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n al vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria avută în vedere pe un exemplu concret.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt dați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) servește și ca bază a spațiului dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x în baza dată. .

Decizie

Sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A , ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1) , e (2) , e (3) .

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → din bază să aibă coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Legătura acestor coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rezolvăm sistemul de ecuații prin metoda Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Deci, vectorul x → în baza e (1) , e (2) , e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Răspuns: x = (1 , 1 , 1)

Legătura între baze

Să presupunem că într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional, sunt date două sisteme de vectori liniar independenți:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele spațiului dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sub forma unei matrice, sistemul poate fi afișat după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași notație pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Egalitățile matriceale sunt combinate într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina relația vectorilor a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e (1) , e (2) , . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e(3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi, este clar că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

acestea. matricele de tranziție sunt reciproc inverse.

Să luăm în considerare teoria pe un exemplu concret.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să specificați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Decizie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si ia:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definiți relația coordonatelor vectorului x → :

să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , atunci:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

pentru că părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si ia:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația coordonatelor vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter