Transformarea integrală dublă a coordonatelor dreptunghiulare, la coordonatele polare
, raportat la coordonatele dreptunghiulare prin relații
,
, se efectuează conform formulei

Dacă zona de integrare
limitat la două fascicule
,
(
) care iese din pol și două curbe
Și
, atunci integrala dublă se calculează prin formula

.

Exemplul 1.3. Calculați aria figurii delimitată de aceste drepte:
,
,
,
.

Soluţie. Pentru a calcula aria unei zone
hai sa folosim formula:
.

Desenați o zonă (Fig. 1.5). Pentru a face acest lucru, transformăm curbele: , , , . Să trecem la coordonatele polare: , . . În sistemul de coordonate polare, zona este descris de ecuațiile:

.

1.2. Integrale triple

Proprietăți de bază integrale triple sunt similare cu proprietățile integralelor duble.

ÎN coordonate carteziene Integrala triplă este de obicei scrisă astfel:

.

Dacă
, apoi integrala triplă peste zonă egal numeric cu volumul corpului :

.

Calcularea integralei triple

Lasă zona de integrare delimitat de sus și respectiv de jos de suprafețe continue cu o singură valoare
,
, și proiecția zonei pe plan de coordonate
există o zonă plată
(Fig. 1.6).

Apoi pentru valori fixe aplicații corespunzătoare puncte de zonă schimbare în interior. Atunci obținem: . Dacă, în plus, proiecţia este determinată de inegalități , , Unde - lipsit de ambiguitate funcții continue pe , apoi

.

Exemplul 1.4. calculati
, Unde - un corp delimitat de planuri:

	, , , ( , , ). Soluţie. Zona de integrare este piramida (Fig. 1.7). Proiecția zonei există un triunghi , delimitat de linii drepte , , (Fig. 1.8). La aplicații punctiforme satisface inegalitatea , de aceea .
	Stabilirea limitelor de integrare pentru un triunghi , primim

Integrală triplă în coordonate cilindrice

La trecerea de la coordonatele carteziene
la coordonatele cilindrice
(Fig. 1.9) asociat cu
rapoarte
,
,
, și

	, ,, transformarea integrală triplă: Exemplul 1.5. Calculați volumul unui corp delimitat de suprafețe: , , . Soluţie. Volumul corporal dorit egală .
	Regiunea de integrare este partea cilindrului delimitată de jos de plan , și deasupra avionului (Fig. 1.10). Proiecția zonei există un cerc centrat la origine și cu raza unitară. Să trecem la coordonatele cilindrice. , , . La aplicații punctiforme , satisface inegalitatea sau în coordonate cilindrice:

Regiune
, delimitat de o curbă
, ia forma sau
, în timp ce unghiul polar
. Ca urmare, avem

.

2. Elemente de teoria câmpului

Să ne amintim mai întâi metodele de calcul a integralelor curbilinii și de suprafață.

Calculul unei integrale curbilinii peste coordonatele funcțiilor definite pe o curbă , se reduce la calculul unei integrale definite a formei

dacă curba parametrice
corespunde punct de start strâmb , dar
- punctul său final.

Calculul integralei de suprafață a unei funcții
definite pe o suprafață cu două fețe , se reduce la calculul unei integrale duble, de exemplu, a formei

,

dacă suprafaţa , dat de ecuație
, este proiectat în mod unic pe plan
spre regiune
. Aici - unghiul dintre vectorul normal al unității la suprafata si axa
:

.

Partea suprafeței cerută de condițiile problemei se determină prin alegerea semnului corespunzător în formula (2.3).

Definiție 2.1. Câmp vectorial
se numește funcție vectorială a punctului
împreună cu domeniul său de aplicare:

câmp vectorial
caracterizat printr-o valoare scalară - divergenţă:

Definiția 2.2. curgere câmp vectorial
prin suprafata se numeste integrala de suprafata:

,

Unde - vector normal unitar pe partea selectată a suprafeței , dar
- produs scalar vectori Și .

Definiția 2.3. circulaţie câmp vectorial

pe curbă închisă se numeste integrala curbilinie

,

Unde
.

Formula Ostrogradsky-Gauss stabilește o legătură între un fir câmp vectorial printr-o suprafață închisă și divergența câmpului:

Unde - o suprafata delimitata de un contur inchis , dar este vectorul normal unitar la această suprafață. Direcția normalului trebuie să se potrivească cu direcția conturului .

Exemplul 2.1. Calculați integrala de suprafață

,

Unde - partea exterioară a conului
(
) tăiat de avion
(Figura 2.1).

Soluţie. Suprafaţă proiectat unic în zonă
avion
, iar integrala se calculează prin formula (2.2).

Vectorul normal al suprafeței unității găsim prin formula (2.3): . Aici, în expresia pentru normal, se alege semnul plus, din moment ce unghiul între axe si normal este prost și prin urmare trebuie să fie negativ. Dat fiind , la suprafață primim

Regiune
există un cerc
. Prin urmare, în ultima integrală trecem la coordonatele polare, în timp ce
,
:

Exemplul 2.2. Găsiți divergența și curba unui câmp vectorial
.

Soluţie. Prin formula (2.4) obținem

Rotorul acestui câmp vectorial se găsește prin formula (2.5)

Exemplul 2.3. Găsiți fluxul unui câmp vectorial
peste o parte a avionului :
situat în primul octant (normalul formează un unghi ascuțit cu axa
).

	Soluţie. Prin formula (2.6) . Desenați o parte a avionului : situat în primul octant. Ecuația acestui plan în segmente are forma (Fig. 2.3). Vectorul normal al planului are coordonatele: , vector normal unitar
	. . , , Unde , Prin urmare,

Unde
- proiecția avionului pe
(Fig. 2.4).

Exemplul 2.4. Calculați fluxul unui câmp vectorial printr-o suprafață închisă format din avion
și o parte a conului
(
) (Fig. 2.2).

Soluţie. Folosim formula Ostrogradsky-Gauss (2.8)

.

Aflați divergența câmpului vectorial prin formula (2.4):

Unde
este volumul conului peste care se realizează integrarea. Folosim formula binecunoscută pentru calcularea volumului unui con
(este raza bazei conului, - susul lui). În cazul nostru, obținem
. În sfârșit, obținem

.

Exemplul 2.5. Calculați circulația câmpului vectorial
de-a lungul conturului formate prin intersectia suprafetelor
Și
(
). Verificați rezultatul folosind formula Stokes.

Soluţie. Intersecția acestor suprafețe este un cerc
,
(Fig. 2.1). Direcția ocolirii este de obicei aleasă astfel încât zona delimitată de aceasta să rămână la stânga. Scriem ecuațiile parametrice ale conturului :

Unde

unde parametrul modificări de la inainte de
. Prin formula (2.7), ținând cont de (2.1) și (2.10), obținem

.

Acum aplicăm formula Stokes (2.9). Ca suprafață , cuprinse de contur , poți lua parte din avion
. Direcția normală
la această suprafață este în concordanță cu direcția de traversare a conturului . Curl acestui câmp vectorial este calculat în exemplul 2.2:
. Prin urmare, circulația dorită

Unde
- zona regiunii
.
- cerc cu raza
, Unde

Să avem două sisteme de coordonate dreptunghiulare în spațiu și
, și un sistem de funcții

(1)

care stabilesc o corespondenţă unu-la-unu între punctele unor zone
Și
în aceste sisteme de coordonate. Să presupunem că funcțiile sistemului (1) au în
derivate parțiale continue. Determinantul alcătuit din aceste derivate parțiale

,

se numește jacobian (sau determinant jacobi) al sistemului de funcții (1). Vom presupune că
în
.

Conform ipotezelor făcute mai sus, se aplică următoarea formulă generală pentru modificarea variabilelor în integrala triplă:

Ca și în cazul integralei duble, unu-la-unitatea sistemului (1) și condiția
poate fi încălcat în puncte individuale, pe linii individuale și pe suprafețe individuale.

Sistem de funcții (1) pentru fiecare punct
se potrivește cu un singur punct
. Aceste trei numere
se numesc coordonatele curbilinie ale punctului . Puncte de spațiu
, pentru care una dintre aceste coordonate rămâne constantă, formează așa-numitele. suprafata coordonata.

II Integrală triplă în coordonate cilindrice

Sistemul de coordonate cilindrice (CCS) este definit de plan
, în care sistemul de coordonate polare și axa
perpendicular pe acest plan. Coordonatele punctului cilindric
, Unde
– coordonatele polare ale punctului – proiecții t ochelari spre avion
, dar sunt coordonatele de proiecție ale punctului pe axă
sau
.

In avion
introducem coordonatele carteziene în mod obișnuit, direcționăm axa aplicată de-a lungul axei
CSK. Acum nu este dificil să obțineți formule care să raporteze coordonatele cilindrice cu cele carteziene:

(3)

Aceste formule mapează zona cu întregul spațiu
.

Suprafețele de coordonate în acest caz vor fi:

1)
- suprafete cilindrice cu generatoare paralele cu axa
, ale căror ghidaje sunt cercuri în plan
, centrat într-un punct ;

2)

;

3)
- planuri paralele cu planele
.

Sistemul iacobian (3):

.

Formula generală în cazul CSC ia forma:

Observație 1 . Trecerea la coordonatele cilindrice este recomandată atunci când zona de integrare este un cilindru circular sau un con, sau un paraboloid de revoluție (sau părți ale acestuia), iar axa acestui corp coincide cu axa aplicației.
.

Observația 2. Coordonatele cilindrice pot fi generalizate în același mod ca și coordonatele polare din plan.

Exemplul 1 Calculați integrala triplă a unei funcții

pe regiune
, care este interiorul cilindrului
, delimitat de un con
și paraboloid
.

Soluţie. Am considerat deja această zonă în §2, exemplul 6, și am obținut o notație standard în DPSC. Cu toate acestea, calculul integralei în această regiune este dificil. Să mergem la CSK:

.

Proiecție
corp
spre avion
este un cerc
. Prin urmare, coordonata se schimba de la 0 la
, dar – de la 0 la R. Printr-un punct arbitrar
trageți o linie paralelă cu axa
. Intrare directă în
pe un con, dar va ieși pe un paraboloid. Dar conul
are ecuația în CSK
, și paraboloidul
- ecuația
. Deci avem

III Integrală triplă în coordonate sferice

Sistemul de coordonate sferice (SCS) este definit de plan
, în care este specificat UCS, și axa
, perpendicular pe plan
.

Coordonatele punctului sferic spațiul se numește triplu de numere
, Unde este unghiul polar al proiecției punctului pe plan
,- unghiul dintre axe
și vector
Și
.

In avion
introducerea axelor de coordonate carteziene
Și
în mod obișnuit, iar axa aplicată este compatibilă cu axa
. Formulele care raportează coordonatele sferice la carteziene sunt:

(4)

Aceste formule mapează zona cu întregul spațiu
.

Jacobian al sistemului de funcții (4):

.

Suprafețele de coordonate alcătuiesc trei familii:

1)
– sfere concentrice centrate la origine;

2)
- semiplane care trec prin ax
;

3)
sunt conuri circulare cu un vârf la origine, a căror axă este axa
.

Formula pentru trecerea la SSC în integrala triplă:

Observația 3. Trecerea la SSC este recomandată atunci când zona de integrare este o minge sau o parte a acesteia. În acest caz, ecuația sferei
intră în. La fel ca CSC discutat mai devreme, CSC este „legat” de axă
. Dacă centrul sferei este deplasat cu o rază de-a lungul axei de coordonate, atunci cea mai simplă ecuație sferică se va obține cu o deplasare de-a lungul axei
:

Observația 4. Este posibil să se generalizeze SSC:

cu Jacobian
. Acest sistem de funcții va transla elipsoidul

într-un paralelipiped

Exemplul 2 Aflați distanța medie a punctelor bilei de rază din centrul ei.

Soluţie. Amintiți-vă că valoarea medie a funcției
în regiunea de
este integrala triplă a funcției pe suprafață împărțită la volumul ariei. În cazul nostru

Deci avem

1. Coordonatele cilindrice reprezintă legătura coordonatelor polare în planul xy cu aplicatul cartezian obișnuit z (Fig. 3).

Fie M(x, y, z) un punct arbitrar în spațiul xyz, P fie proiecția punctului M pe planul xy. Punctul M este determinat unic de un triplu de numere - coordonatele polare ale punctului P, z - aplicatul punctului M. Formulele care le unesc cu cele carteziene au forma

Display Jacobian (8)

Exemplul 2.

Calculați integrala

unde T este aria delimitată de suprafețe

Soluţie. Să trecem integrala la coordonatele sferice după formulele (9). Atunci regiunea de integrare poate fi specificată prin inegalități

Si asta inseamnă

Exemplul 3 Aflați volumul unui corp delimitat de:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Avem: x 2 +y 2 +z 2 =8 - sfera de raza R= v8 centrata in punctul O(000),

Partea superioară a conului z 2 \u003d x 2 + y 2 cu o axă de simetrie Oz și un vârf în punctul O (Fig. 2.20).

Să găsim linia de intersecție a sferei și a conului:

Și întrucât prin condiția z? 0, atunci

Cercul R=2 situat în planul z=2.

Prin urmare, conform (2.28)

unde domeniul U este mărginit de sus

(parte a sferei),

(parte a unui con);

regiunea U este proiectată pe planul Oxy în regiunea D - un cerc cu raza 2.

Prin urmare, este oportun să treceți integrala triplă la coordonatele cilindrice folosind formulele (2.36):

Limitele de schimbare a lui q, r se găsesc în aria D v cerc complet R=2 centrat în punctul O, astfel: 0?c?2p, 0?r?2. Astfel, regiunea U în coordonate cilindrice este dată de următoarele inegalități:

observa asta

Să fie dat corp material, care este o regiune spațială P plină cu masă. Se cere să se afle masa m a acestui corp cu condiția ca în fiecare punct P € P să fie cunoscută densitatea de distribuție a masei. Să împărțim regiunea P în părți cube care nu se suprapun (adică având volum) cu volume, respectiv. În fiecare dintre regiunile parțiale ft* alegem un punct arbitrar P*. Să presupunem aproximativ că în limitele regiunii parțiale ft* densitatea este constantă și egală cu /*(P*). Atunci masa Atk a acestei părți a corpului va fi exprimată prin egalitatea aproximativă Atpk și masa întregului corp va fi aproximativ egală cu integrala triplă Proprietățile integralelor triple Calculul integralei triple în coordonate carteziene Calculul integralei triple în coordonate cilindrice și sferice Fie d cel mai mare dintre diametrele regiunilor parțiale Dacă la d - * 0 suma (1) are o limită finită, care nu depinde de metoda de împărțire a domeniului ft în subdomenii parțiale, sau de alegerea punctelor Р* € ft*, atunci această limită este luată ca masa m a unui corp dat. Fie ca o funcție mărginită să fie definită într-un domeniu cub închis ft. ft în n părți cube care nu se intersectează și notăm volumele acestora cu , respectiv. În fiecare subdomeniu parțial P*, alegem în mod arbitrar punctul Pk(xk, yk, zk) și compunem suma integrală.Fie d cel mai mare dintre diametrele domeniilor parțiale.Definiție. Dacă, pentru d 0, sumele integrale a au o limită care nu depinde nici de metoda de împărțire a domeniului A în subdomenii parțiale П*, nici de alegerea punctelor Pk ∈ П*, atunci această limită se numește trinitate. de integrale ale funcției f(x) y, z) față de domeniul Q și se notează cu simbolul Teorema 6. Dacă o funcție f(x, y, z) este continuă într-un domeniu cub închis Π, atunci este integrabil în acest domeniu. Proprietăţile integralelor triple Proprietăţile integralelor triple sunt asemănătoare cu cele ale integralelor duble. Să le enumerăm pe cele principale. Fie ca funcțiile să fie integrabile într-un domeniu cub L. 1. Liniaritate. În acest caz, funcția se numește integrabilă în domeniul Q. Astfel, prin definiție, avem Revenind la problema calculării masei unui corp, observăm că limita (2) este integrala triplă a funcției p( P) peste domeniul P. Prin urmare, aici dx dy dz - element de volum dv în coordonate dreptunghiulare. unde a și (3 sunt constante reale arbitrare. peste tot în domeniul P, atunci 3. Dacă f(P) = 1 în domeniul P, atunci n unde V este volumul domeniului Q. Dacă funcția f(P) este continuă în domeniul cub închis f și M și t - cel mai mare și cea mai mică valoareîn ft, atunci unde V este volumul ariei ft. 5. Aditivitate. Dacă domeniul ft este împărțit în domenii cubabile fără puncte interioare comune și f(P) este integrabil în domeniul ft, atunci f(P) este integrabil pe fiecare dintre domeniile ft| și ft2 și 6. Teorema valorii medii. Teorema 7 (asupra valorii medii). Dacă funcția f(P) este continuă într-un domeniu cub închis ft, atunci există un Pc subțire ∈ ft astfel încât formula să fie adevărată, unde V este volumul domeniului ft (amintim că domeniul este o mulțime conexă). § 7. Calculul integralei triple în coordonate carteziene La fel ca în calculul integralelor duble, problema se reduce la calculul integralelor iterate. Să presupunem că funcția este continuă într-un anumit domeniu ft. primul caz. Aria ft este un paralelipiped dreptunghiular proiectat pe planul yOz într-un dreptunghi i2; Apoi obținem Înlocuirea integralei duble prin cea repetată, în final obținem. Astfel, în cazul în care regiunea П este un paralelipiped dreptunghiular, am redus calculul integralei triple la calculul secvenţial a trei integrale ordinare. Formula (2) poate fi rescrisă sub forma în care dreptunghiul este proiecția ortogonală a paralelipipedului P pe planul xOy. al 2-lea caz. Să considerăm acum o zonă Q astfel încât suprafața ei de limită 5 intersectează orice linie dreaptă paralelă cu axa Oz cel mult în două puncte sau de-a lungul unui întreg segment (Fig. 22). Fie z = tpi(x, y) ecuația suprafeței 5 care mărginește domeniul Π de jos și suprafața S2 care mărginește domeniul Π de sus are ecuația z = y). Lăsați ambele suprafețe S1 și S2 să se proiecteze pe aceeași regiune a planului x0y. Să-l notăm cu D, iar curba care o delimitează cu L. Restul limitei 5 a corpului Q se află pe o suprafață cilindrică cu generatoare, paralel cu axa Oz, și cu curba L ca ghid. Apoi, prin analogie cu formula (3), obținem Dacă aria D a planului xOy este un trapez curbiliniu mărginit de două curbe, atunci integrala dublă din formula (4) poate fi redusă la una iterată și în final obținem Această formulă este o generalizare a formulei (2). Fig-23 Exemplu. Calculați volumul unui tetraedru mărginit de plane Proiecția unui tetraedru pe planul xOy este un triunghi format din drepte astfel încât x se schimbă de la 0 la 6, iar la un fix x (0 ^ x ^ 6) y se schimbă de la 0 la 3 - | (Fig. 23). Dacă ambele x și y sunt fixe, atunci punctul se poate deplasa vertical de la un plan la altul și variază de la 0 la 6 - x - 2y. Conform formulei, obținem §8. Calculul integralei triple în coordonate cilindrice și sferice Problema schimbării variabilelor în integrala triplă se rezolvă în același mod ca și în cazul integralei duble. Fie ca funcția /(x, y, z) să fie continuă într-un domeniu cub închis ft, iar funcțiile să fie continue împreună cu derivatele lor parțiale de ordinul întâi într-un domeniu cub închis ft*. Să presupunem că funcțiile (1) stabilesc o corespondență unu-la-unu între toate punctele rj, () ale ariei ft*, pe de o parte, și toate punctele (x, y, z) ale zonei ft, pe celălalt. Atunci formula pentru modificarea variabilelor în integrala triplă este valabilă - unde este jacobianul sistemului de funcții (1). În practică, atunci când se calculează integrale triple, se folosește adesea înlocuirea coordonatelor dreptunghiulare cu coordonate cilindrice și sferice. 8.1. Integrală triplă în coordonatele cilindrice B sistem cilindric coordonate, poziția punctului P în spațiu este determinată de trei numere p, unde p și (p sunt coordonatele polare ale proiecției P1 ale punctului P pe planul xOy, az este aplicația punctului P (Fig. 24).Numerele se numesc coordonatele cilindrice ale punctului P. Este clar că În sistem Coordonate cilindrice Suprafețe de coordonate Integrală triplă Proprietăți ale integralelor triple Calculul integralei triple în coordonate carteziene Calculul integralei triple în coordonate cilindrice și sferice , respectiv, descrie: un cilindru circular a cărui axă coincide cu axa Oz, un semiplan adiacent axei Oz și un plan, paralel cu planul ho. Coordonatele cilindrice sunt legate de carteziene prin următoarele formule (vezi Fig. 24). Pentru sistemul (3), maparea ariei ft pe zonă, avem și formula (2) pentru trecerea de la integrala triplă în coordonate dreptunghiulare la integrala în coordonate cilindrice ia forma (4) Expresia se numește volum element în coordonate cilindrice. Această expresie pentru elementul de volum poate fi obținută și din considerente geometrice. Să împărțim domeniul П în subdomenii elementare după suprafețe de coordonate și să calculăm volumele prismelor curbilinii rezultate (Fig. 25). Se vede că aruncarea la infinit cantitate mică Mai mult ordin înalt, obținem Aceasta ne permite să luăm următoarea valoare pentru elementul de volum în coordonate cilindrice.Exemplu 1. Aflați volumul unui corp delimitat de suprafețe 4 În coordonate cilindrice, suprafețele date vor avea ecuații (vezi formulele (3)). Aceste suprafețe se intersectează de-a lungul liniei r, care este descrisă de sistemul de ecuații (cilindru), (plan), Fig. 26 și proiecția sa pe planul xOy de către sistem.Astfel, volumul dorit se calculează prin formula (4). , in care. Integrală triplă în coordonate sferice Într-un sistem de coordonate sferice, poziția punctului P(x, y, z) în spațiu este determinată de trei numere, unde r este distanța de la originea coordonatelor până la unghiul dintre axa Ox și proiecția vectorului rază OP al punctului P pe planul xOy, iar c este unghiul dintre axa Oz și vectorul rază OP al punctului P, numărat de pe axa Oz (Fig. 27). Este clar că. Suprafețele de coordonate din acest sistem de coordonate: r = const - sfere centrate la origine; ip = semiplanuri const emanate de pe axa Oz; c = const - conuri circulare cu axa Oz. Orez. 27 Se poate observa din figură că coordonatele sferice și carteziene sunt legate prin următoarele relații Să calculăm jacobianul funcțiilor (5). Avem Prin urmare, iar formula (2) ia forma Element de volum în coordonate sferice - Expresia pentru elementul de volum poate fi obținută și din considerente geometrice. Să considerăm o regiune elementară din spațiu delimitată de sfere de raze r și r + dr, conuri β și β + d$ și semiplane.Aproximativ, această regiune poate fi considerată cuboid cu măsurători. Apoi proprietățile integrale triple ale integralelor triple Calculul unei integrale triple în coordonate carteziene Calculul unei integrale triple în coordonate cilindrice și sferice Din a treia ecuație găsim limitele unghiului modificat 9: de unde

Integrale triple. Calculul volumului corporal.
Integrală triplă în coordonate cilindrice

Timp de trei zile, mortul a rămas întins în biroul decanului, îmbrăcat în pantaloni pitagoreici,
În mâinile lui Fikhtengoltz, el ținea un volum care l-a salvat de lumea albă,
O integrală triplă a fost legată de picioare, iar cadavrul a fost învelit într-o matrice,
Și în loc să se roage, o persoană obscenă a citit teorema lui Bernoulli.

Integrale triple sunt ceva de care nu vă mai puteți teme =) Căci dacă citiți acest text, atunci cel mai probabil aveți o bună înțelegere a teoria şi practica integralelor „obişnuite”., precum și integrale duble. Și unde există un dublu, în apropiere este un triplu:

Și într-adevăr, de ce să te temi? Integral mai putin, integral mai mult....

Înțelegerea înregistrării:

– pictogramă triplă integrală;
– integrand funcţia a trei variabile;
este produsul diferenţialelor.
este regiunea de integrare.

Să ne concentrăm în special asupra domenii de integrare. Dacă în integrală dublă ea reprezintă figură plată, atunci aici - corp spațial, despre care se știe că este limitat de set suprafete. Astfel, pe lângă cele de mai sus, trebuie să navigați suprafețele principale ale spațiuluiși să poată realiza desene tridimensionale simple.

Unii sunt supărați, înțeleg... Din păcate, articolul nu poate fi intitulat „integrale triple pentru manechin”, și trebuie să știți / să puteți face ceva. Dar e în regulă - tot materialul este prezentat într-o formă extrem de accesibilă și stăpânit în cel mai scurt timp posibil!

Ce înseamnă să calculezi o integrală triplă și despre ce este vorba?

Calculul mijloacelor integrale triple găsiți NUMĂR:

În cel mai simplu caz, când integrala triplă este numeric egală cu volumul corpului. Și într-adevăr, conform sensul general al integrării, produsul este infinit de mici volumul „cărămizii” elementare a corpului. Iar integrala triplă este justă reunește toate acestea particule infinitezimale peste zonă, rezultând o valoare integrală (totală) a volumului corpului: .

În plus, integrala triplă are importantă aplicatii fizice. Dar mai multe despre asta mai târziu - în partea a 2-a a lecției, dedicată calcularea integralelor triple arbitrare, a cărui funcție este în general diferită de o constantă și continuă în domeniu . În acest articol, vom analiza în detaliu problema găsirii volumului, care, conform evaluării mele subiective, apare de 6-7 ori mai des.

Cum se rezolvă o integrală triplă?

Răspunsul decurge logic din paragraful anterior. Trebuie definit ordinea mersului corporalși du-te la integrale iterate . Apoi tratați secvențial cu trei integrale simple.

După cum puteți vedea, întreaga bucătărie amintește foarte, foarte mult de integrale duble, cu diferența că acum am adăugat o dimensiune suplimentară (în linii mari, înălțimea). Și, probabil, mulți dintre voi ați ghicit deja cum se rezolvă integralele triple.

Să înlăturăm orice îndoială rămasă:

Exemplul 1

Vă rugăm să scrieți într-o coloană pe hârtie:

Și răspunde la următoarele întrebări. Știți ce suprafețe definesc aceste ecuații? Înțelegeți sensul informal al acestor ecuații? Vă puteți imagina cum sunt situate aceste suprafețe în spațiu?

Dacă înclinați spre răspunsul general „mai degrabă nu decât da”, atunci asigurați-vă că continuați lecția, altfel nu veți trece mai departe!

Soluţie: folosiți formula .

Pentru a afla ordinea mersului corporalși du-te la integrale iterate ai nevoie (totul este ingenios simplu) sa intelegi ce fel de corp este. Și o astfel de înțelegere, în multe cazuri, este mult facilitată de desene.

După condiție, corpul este delimitat de mai multe suprafețe. De unde să începi să construiești? Vă propun următorul curs de acțiune:

Să desenăm mai întâi paralel ortogonal proiectia corpului pe planul de coordonate. Prima dată când am spus cum se numește această proiecție, lol =)

Deoarece proiecția se realizează de-a lungul axei, este mai întâi de toate recomandabil să se ocupe suprafete care sunt paralele cu axa dată. Vă reamintesc că ecuațiile unor astfel de suprafețe nu conțin litera „z”. Există trei dintre ele în această problemă:

– ecuația definește planul de coordonate , care trece prin axă ;
– ecuația definește planul de coordonate , care trece prin axă ;
- se înmulțesc ecuația avion linie „plată”. paralel cu axa.

Cel mai probabil, proiecția dorită este următorul triunghi:

Poate că nu toată lumea a înțeles pe deplin despre ce este vorba. Imaginați-vă că o axă iese din ecranul monitorului și se lipește direct în podul nasului ( acestea. se dovedește că te uiți la un desen tridimensional de sus). Corpul spațial studiat este situat într-un „coridor” triedric infinit și proiecția sa pe plan este cel mai probabil un triunghi umbrit.

Atrag o atenție deosebită asupra faptului că până acum ne-am exprimat doar o proiecție iar clauzele „cel mai probabil”, „cel mai probabil” nu au fost întâmplătoare. Cert este că nu toate suprafețele au fost încă analizate și se poate întâmpla ca una dintre ele să „taie” o parte a triunghiului. Ca exemplu ilustrativ, sferă centrat la origine cu o rază mai mică de unu, de exemplu, o sferă este proiecția sa pe un plan (cerc ) nu va „acoperi” complet zona umbrită, iar proiecția finală a corpului nu va fi deloc un triunghi (cercul își va „tăia” colțurile ascuțite).

În a doua etapă, aflăm cum corpul este limitat de sus, decât de jos și efectuăm un desen spațial. Revenim la starea problemei și vedem ce suprafețe au mai rămas. Ecuația definește planul de coordonate în sine, iar ecuația - cilindru parabolic, situat de mai sus plan şi trecând prin axă. Astfel, proiecția corpului este într-adevăr un triunghi.

Apropo, am găsit aici redundanţă condiții - nu a fost necesar să se includă ecuația planului, deoarece suprafața, atingând axa absciselor, și astfel închide corpul. Este interesant de menționat că în acest caz nu am putea desena proiecția imediat - triunghiul ar „desena” numai după analiza ecuației.

Să desenăm cu atenție un fragment dintr-un cilindru parabolic:

După completarea desenelor cu ordinea corpului nici o problemă!

În primul rând, determinăm ordinea de parcurgere a proiecției (în același timp, este MULT MAI CONVENIENT să navighezi după un desen bidimensional). Este gata ABSOLUT LA fel, Ca în integrale duble! Reamintim indicatorul laser și scanați o zonă plană. Să alegem prima soluție „tradițională”:

În continuare, luăm o lanternă magică, ne uităm la desenul tridimensional și strict de jos în sus luminează pacientul. Razele intră în corp prin plan și îl părăsesc prin suprafață. Deci, ordinea de traversare a corpului este:

Să trecem la integralele iterate:

1) Ar trebui să începeți cu integrala „Z”. Folosim formula Newton-Leibniz:

Înlocuiți rezultatul în integrala „joc”:

Ce s-a întâmplat? În esență, soluția a fost redusă la o integrală dublă, și anume la formulă volumul unei bare cilindrice! Ceea ce urmează este bine cunoscut:

2)

Atenție la tehnica rațională de rezolvare a integralei a 3-a.

Răspuns:

Calculele pot fi scrise întotdeauna pe „o singură linie”:


Dar aveți grijă cu această metodă - câștigul în viteză este plin de pierderi de calitate și, cu cât exemplul este mai dificil, cu atât este mai probabil să faceți o greșeală.

Să răspundem la o întrebare importantă:

Este necesar să se facă desene dacă starea sarcinii nu necesită implementarea lor?

Puteți merge în patru moduri:

1) Înfățișați proiecția și corpul însuși. Aceasta este cea mai avantajoasă opțiune - dacă este posibil să finalizați două desene decente, nu fi leneș, faceți ambele desene. Recomand in primul rand.

2) Desenați doar corpul. Potrivit atunci când corpul are o proiecție simplă și evidentă. Deci, de exemplu, în exemplul analizat, un desen tridimensional ar fi suficient. Cu toate acestea, există și un minus - este incomod să determinați ordinea ocolirii proiecției dintr-o imagine 3D și aș sfătui această metodă numai persoanelor cu nivel bun pregătire.

3) Afișați numai proiecția. De asemenea, nu e rău, dar apoi sunt necesare comentarii scrise suplimentare, ceea ce limitează zona din diferite părți. Din păcate, a treia opțiune este adesea forțată - atunci când corpul este prea mare sau construcția sa este plină de alte dificultăți. Și vom lua în considerare și astfel de exemple.

4) Fă-ți deloc desene. În acest caz, trebuie să vă imaginați corpul mental și să comentați forma / locația lui în scris. Potrivit pentru corpuri foarte simple sau sarcini în care implementarea ambelor desene este dificilă. Dar totuși, este mai bine să faceți cel puțin un desen schematic, deoarece o soluție „goldă” poate fi respinsă.

Următorul organism pentru caz independent:

Exemplul 2

Folosind integrala triplă, calculați volumul unui corp delimitat de suprafețe

În acest caz, domeniul de integrare este dat în principal de inegalități și este și mai bine - setul de inegalități definește octantul 1, inclusiv planurile de coordonate și inegalitatea - semi-spațiu, conţinând originea (Verifica)+ avionul în sine. Planul „vertical” taie paraboloidul de-a lungul parabolei și este de dorit să construiți această secțiune pe desen. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct de referință suplimentar, cel mai simplu mod este vârful parabolei (luăm în considerare valorile și calculați Z-ul corespunzător).

Continuăm să ne întindem:

Exemplul 3

Utilizați integrala triplă pentru a calcula volumul corpului delimitat de suprafețele specificate. Executați desenul.

Soluţie: formularea „execută un desen” ne oferă o oarecare libertate, dar cel mai probabil implică execuția unui desen spațial. Totuși, nici proiecția nu strica, mai ales că nu este cea mai ușoară aici.

Respectăm tacticile elaborate mai devreme - mai întâi ne vom ocupa suprafete care sunt paralele cu axa aplicată. Ecuațiile unor astfel de suprafețe nu conțin în mod explicit variabila „z”:

– ecuația definește planul de coordonate care trece prin axă ( care în plan este determinată de ecuația „omonimă” );
- se înmulțesc ecuația avion trecând prin „omonimul” linie „plată”. paralel cu axa.

Corpul dorit este delimitat de un plan de jos și cilindru parabolic de mai sus:

Să alcătuim ordinea de ocolire a corpului, în timp ce limitele „x” și „y” ale integrării, vă reamintesc, este mai convenabil să aflați dintr-un desen bidimensional:

În acest fel:

1)

Când se integrează peste „y” - „x” este considerată o constantă, de aceea este recomandabil să scoateți imediat constanta din semnul integral.

3)

Răspuns:

Da, aproape că am uitat, în cele mai multe cazuri este de puțin folos (și chiar dăunător) să compari rezultatul obținut cu un desen tridimensional, deoarece este foarte probabil ca iluzie de volum despre care am vorbit în clasă Volumul unui corp de revoluție. Deci, evaluând corpul sarcinii luate în considerare, personal mi s-a părut că are mult mai mult de 4 „cuburi”.

Următorul exemplu este pentru o soluție autonomă:

Exemplul 4

Utilizați integrala triplă pentru a calcula volumul corpului delimitat de suprafețele indicate. Realizați desene ale corpului dat și proiecția acestuia în plan.

Un exemplu de sarcină la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit când execuția unui desen tridimensional este dificilă:

Exemplul 5

Folosind integrala triplă, găsiți volumul corpului dat de suprafețele care îl delimitează

Soluţie: proiecția aici este simplă, dar trebuie să vă gândiți la ordinea ocolirii sale. Dacă alegeți prima metodă, atunci cifra va trebui împărțită în 2 părți, care nu iluzoriu amenință să calculeze suma Două integrale triple. În acest sens, a doua cale pare mult mai promițătoare. Să exprimăm și să descriem proiecția acestui corp în desen:

Îmi cer scuze pentru calitatea unora dintre poze, le-am tăiat direct din manuscrisele mele.

Alegem o ordine mai favorabilă de ocolire a cifrei:

Acum depinde de corp. De jos este delimitat de un plan, de sus - de un plan care trece prin axa y. Și totul ar fi bine, dar ultimul avion este prea abrupt și nu e atât de ușor să construiești o zonă. Alegerea aici este de neinvidiat: fie bijuteriile lucrează la scară mică (pentru că corpul este destul de subțire), fie un desen de aproximativ 20 de centimetri înălțime (și chiar și atunci, dacă se potrivește).

Dar există o a treia metodă, primordial rusă, de rezolvare a problemei - a nota =) Și în loc de un desen tridimensional, descurcă-te cu o descriere verbală: „Acest corp este limitat de cilindri. și un avion în lateral, un avion în partea de jos și un avion în partea de sus.

Limitele „verticale” ale integrării sunt, evident, următoarele:

Să calculăm volumul corpului, fără a uita că am ocolit proiecția într-un mod mai puțin obișnuit:

1)

Răspuns:

După cum ați observat, corpurile oferite în sarcini pentru nu mai mult de o sută de dolari sunt adesea limitate la un avion de jos. Dar aceasta nu este un fel de regulă, așa că trebuie să fii mereu atent - o sarcină poate veni peste locul în care se află corpul și sub avion . Deci, de exemplu, dacă în problema analizată în loc să ia în considerare planul, atunci corpul investigat va fi afișat simetric în semi-spațiul inferior și va fi limitat de planul de jos și de planul - deja de sus!

Este ușor de verificat că se va obține același rezultat:

(rețineți că corpul trebuie ocolit strict de jos în sus!)

În plus, avionul „favorit” se poate dovedi a fi complet în afara afacerii, cel mai simplu exemplu: o minge situată deasupra avionului - atunci când se calculează volumul său, ecuația nu este deloc necesară.

Vom lua în considerare toate aceste cazuri, dar pentru moment, o sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 6

Folosind integrala triplă, găsiți volumul unui corp delimitat de suprafețe

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să trecem la al doilea paragraf cu materiale nu mai puțin populare:

Integrală triplă în coordonate cilindrice

Coordonatele cilindrice sunt, de fapt, coordonate polare in spatiu.
Într-un sistem de coordonate cilindric, poziția unui punct în spațiu este determinată de coordonatele polare, iar punctul este proiecția punctului pe plan și aplicația punctului însuși.

Trecerea de la tridimensional Sistemul cartezian la un sistem de coordonate cilindric se realizează conform următoarele formule:

Pentru tema noastră, transformarea arată astfel:

Și, în consecință, în cazul simplificat, pe care îl considerăm în acest articol:

Principalul lucru este să nu uitați de multiplicatorul suplimentar „er” și să plasați corect limitele polare ale integrării la ocolirea proiecției:

Exemplul 7

Soluţie: urmam aceeasi procedura: in primul rand, avem in vedere ecuatii in care nu exista variabila „z”. Este aici singur. Proiecție suprafata cilindrica in avion se afla "omonimul" cerc .

avioane limitați corpul dorit de dedesubt și de sus ("ciopliți-l" din cilindru) și proiectat într-un cerc:

Următorul este desenul 3D. Principala dificultate constă în construirea unui plan care intersectează cilindrul într-un unghi „oblic”, rezultând în elipsă. Să rafinăm această secțiune analitic: pentru aceasta, rescriem ecuația planului în forma funcțională și calculați valorile funcției („înălțime”) în punctele evidente care se află pe limita proiecției:

Marcam punctele găsite pe desen și cu atenție (nu ca mine =)) conectați-le cu o linie:

Proiecția corpului pe plan este un cerc, iar acesta este un argument serios în favoarea trecerii la un sistem de coordonate cilindric:

Să găsim ecuațiile suprafețelor în coordonate cilindrice:

Acum este necesar să aflați ordinea de ocolire a corpului.

Să ne ocupăm mai întâi de proiecție. Cum să-i determinăm ordinea de traversare? EXACT LA fel ca și cu calculul integralelor duble în coordonate polare. Aici este elementar:

Limitele „verticale” ale integrării sunt, de asemenea, evidente - intrăm în corp prin plan și ieșim din el prin plan:

Să trecem la integralele iterate:

În același timp, punem imediat multiplicatorul „er” în integrala „noastre”.

Mătura, ca de obicei, se rupe mai ușor de-a lungul crenguțelor:

1)

Purtăm rezultatul în următoarea integrală:

Și aici nu uităm că „phi” este considerată o constantă. Dar asta este deocamdată:

Răspuns:

O sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 8

Utilizați integrala triplă pentru a calcula volumul unui corp delimitat de suprafețe. Realizați desene ale corpului dat și proiecția acestuia în plan.

O mostră aproximativă de finisare la sfârșitul lecției.

Vă rugăm să rețineți că, în condițiile problemelor, nu se spune niciun cuvânt despre trecerea la un sistem de coordonate cilindric, iar o persoană ignorantă va da cap cu integrale dificile în coordonate carteziene. ... Sau poate nu va - la urma urmei, există un al treilea mod, primordial rusesc, de a rezolva probleme =)

Este doar începutul! … într-un mod bun: =)

Exemplul 9

Folosind integrala triplă, găsiți volumul unui corp delimitat de suprafețe

Modest și cu gust.

Soluţie: corp dat limitat suprafata conicaȘi paraboloid eliptic. Cititorii care au citit cu atenție materialele articolului Principalele suprafețe ale spațiului, și-au imaginat deja cum arată corpul, dar în practică sunt adesea mai multe cazuri dificile, așa că voi efectua un raționament analitic detaliat.

Mai întâi, găsiți liniile de-a lungul cărora se intersectează suprafețele. Să creăm și să rezolvăm următorul sistem:

Din prima ecuație, scădem al doilea termen cu termen:

Rezultatul sunt două rădăcini:

Inlocuim valoarea gasita in orice ecuatie a sistemului:
, de unde rezultă că
Astfel, rădăcina corespunde unui singur punct - originea. Desigur, vârfurile suprafețelor considerate coincid.

Acum să înlocuim a doua rădăcină - tot în orice ecuație a sistemului:

Care este semnificația geometrică a rezultatului obținut? „La înălțime” (în plan) paraboloidul și conul se intersectează de-a lungul cercuri– raza unitară centrată în punctul .

În acest caz, „cupa” paraboloidului conține „pâlnia” conului, prin urmare generatoare suprafața conică trebuie desenată cu o linie punctată (cu excepția segmentului generatorului cel mai îndepărtat de noi, care este vizibil din acest unghi):

Proiecția corpului pe plan este un cerc centrat la originea razei 1, pe care nici măcar nu m-am obosit să o desenez din cauza evidenței acestui fapt (totuși, facem un comentariu scris!). Apropo, în cele două sarcini anterioare s-ar putea nota și desenul de proiecție, dacă nu pentru condiție.

La trecerea la coordonatele cilindrice de-a lungul formule standard inegalitatea va fi scrisă în cea mai simplă formă și nu există probleme cu ordinea de ocolire a proiecției:

Să găsim ecuațiile suprafețelor într-un sistem de coordonate cilindric:

Deoarece problema ia în considerare partea superioară a conului, exprimăm din ecuație:

„Scanarea corpului” de jos în sus. Razele de lumină intră în ea printr-un paraboloid eliptic și ies printr-o suprafață conică. Astfel, ordinea „verticală” de parcurgere a corpului este:

Restul tehnicii:

Răspuns:

Nu este neobișnuit ca un corp să fie definit nu prin suprafețele sale de limită, ci printr-un set de inegalități:

Exemplul 10

sens geometric inegalitățile spațiale, am explicat suficient de detaliat în aceeași articol de ajutor – Principalele suprafețe ale spațiului și construcția lor.

Deși această sarcină conține un parametru, ea permite executarea unui desen exact care reflectă vederea fundamentală a corpului. Luați în considerare cum să construiți. O scurtă soluție și răspuns se află la sfârșitul lecției.

... ei bine, încă câteva sarcini? M-am gândit să termin lecția, dar simt că vrei mai mult =)

Exemplul 11

Folosind integrala triplă, calculați volumul unui corp dat:
, unde este un număr pozitiv arbitrar.

Soluţie: inegalitate definește o bilă centrată la originea coordonatelor razei și inegalitatea - „în interiorul” unui cilindru circular cu o axă de simetrie a razei . Astfel, corpul dorit este limitat de un cilindru circular pe lateral și de segmente sferice simetrice față de planul de sus și de jos.

Luând pentru unitatea de măsură de bază, vom executa desenul:

Mai precis, ar trebui să fie numit desen, deoarece nu am menținut foarte bine proporțiile de-a lungul axei. Cu toate acestea, în mod corect, în conformitate cu condiția, nu a fost necesar să se deseneze nimic, iar o astfel de ilustrație s-a dovedit a fi suficientă.

Vă rugăm să rețineți că aici nu este necesar să aflați înălțimea la care cilindrul taie „capete” din minge - dacă luați o busolă și marcați un cerc cu un centru la originea coordonatelor cu o rază de 2 cm , atunci punctele de intersecție cu cilindrul se vor dovedi singure.