sau (echivalent) un poliedru cu șase fețe care sunt paralelograme. Hexagon.

Paralelogramele care alcătuiesc paralelipipedul sunt chipuri acest paralelipiped, laturile acestor paralelograme sunt marginile paralelipipedice, iar vârfurile paralelogramelor sunt culmi paralelipiped. Fiecare față a unui paralelipiped este paralelogram.

De regulă, orice a doua fețe opuse se disting și se numește bazele paralelipipedului, și fețele rămase feţele laterale ale paralelipipedului. Marginile paralelipipedului care nu aparțin bazelor sunt coaste laterale.

Cele 2 fețe ale unui cuboid care împart o muchie sunt legate de, și cele care nu au margini comune - opus.

Un segment care leagă 2 vârfuri care nu aparțin primei fețe este diagonala paralelipipedului.

Lungimea coastelor cuboid, care nu sunt paralele, sunt dimensiuni liniare (măsurători) un paralelipiped. Un paralelipiped dreptunghiular are 3 dimensiuni liniare.

Tipuri de paralelipiped.

Există mai multe tipuri de paralelipipede:

Direct este un paralelipiped cu muchia perpendiculară pe planul bazei.

Un cuboid cu toate cele 3 dimensiuni valoare egala, este un cub. Fiecare dintre fețele cubului este egală pătrate .

Paralepiped arbitrar. Volumul și rapoartele dintr-o casetă oblică sunt în mare parte definite folosind algebră vectorială. Volumul cutiei este egal cu valoarea absolută a produsului mixt a 3 vectori, care sunt determinate de cele 3 laturi ale cutiei (care provin de la același vârf). Raportul dintre lungimile laturilor paralelipipedului și unghiurile dintre ele arată afirmația că determinantul Gram al celor 3 vectori dați este egal cu pătratul produsului lor mixt.

Proprietățile unui paralelipiped.

• Paralepipedul este simetric față de punctul de mijloc al diagonalei sale.
• Orice segment cu capete care aparțin suprafeței paralelipipedului și care trece prin mijlocul diagonalei sale este împărțit de acesta în două părți egale. Toate diagonalele paralelipipedului se intersectează în primul punct și sunt împărțite de acesta în două părți egale.
• Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și au dimensiuni egale.
• Pătratul lungimii diagonalei unui cuboid este

În această lecție, toată lumea va putea studia tema „Cutie dreptunghiulară”. La începutul lecției, vom repeta ce sunt paralelipipedele drepte și arbitrare, amintim proprietățile fețelor și diagonalelor lor opuse ale paralelipipedului. Apoi vom lua în considerare ce este un cuboid și vom discuta principalele sale proprietăți.

Tema: Perpendicularitatea dreptelor și a planurilor

Lecția: Cuboid

O suprafață compusă din două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 și patru paralelograme ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 se numește paralelipiped(Fig. 1).

Orez. 1 Paralelepiped

Adică: avem două paralelograme egale ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 (baze), acestea se află în plane paralele astfel încât nervurile laterale AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 sunt paralele. Astfel, o suprafață compusă din paralelograme se numește paralelipiped.

Astfel, suprafața unui paralelipiped este suma tuturor paralelogramelor care alcătuiesc paralelipipedul.

1. Fețele opuse ale unui paralelipiped sunt paralele și egale.

(cifrele sunt egale, adică pot fi combinate prin suprapunere)

De exemplu:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelograme egale prin definiție),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (deoarece AA 1 B 1 B și DD 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (deoarece AA 1 D 1 D și BB 1 C 1 C sunt fețe opuse ale paralelipipedului).

2. Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și bisectează acel punct.

Diagonalele paralelipipedului AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se intersectează într-un punct O, iar fiecare diagonală este împărțită în jumătate de acest punct (Fig. 2).

Orez. 2 Diagonalele paralelipipedului intersectează și bisectează punctul de intersecție.

3. Există trei cvadruple de margini egale și paralele ale paralelipipedului: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, SS 1, DD 1.

Definiție. Un paralelipiped se numește drept dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze.

Lăsați marginea laterală AA 1 să fie perpendiculară pe bază (fig. 3). Aceasta înseamnă că dreapta AA 1 este perpendiculară pe dreptele AD și AB, care se află în planul bazei. Și, prin urmare, dreptunghiuri se află pe fețele laterale. Și bazele sunt paralelograme arbitrare. Notați, ∠BAD = φ, unghiul φ poate fi oricare.

Orez. 3 Caseta din dreapta

Deci, o cutie dreaptă este o cutie în care marginile laterale sunt perpendiculare pe bazele cutiei.

Definiție. Paralepipedul se numește dreptunghiular, dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe bază. Bazele sunt dreptunghiuri.

Paralepipedul АВСДА 1 В 1 С 1 D 1 este dreptunghiular (Fig. 4) dacă:

1. AA 1 ⊥ ABCD (marginea laterală este perpendiculară pe planul bazei, adică un paralelipiped drept).

2. ∠BAD = 90°, adică baza este un dreptunghi.

Orez. 4 Cuboid

O cutie dreptunghiulară are toate proprietățile unei cutii arbitrare. Dar există proprietăți suplimentare care sunt derivate din definiția unui cuboid.

Asa de, cuboid este un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe bază. Baza unui cuboid este un dreptunghi.

1. Într-un cuboid, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri.

ABCD și A 1 B 1 C 1 D 1 sunt dreptunghiuri prin definiție.

2. Coastele laterale sunt perpendiculare pe bază. Aceasta înseamnă că toate fețele laterale ale unui cuboid sunt dreptunghiuri.

3. Toate unghiurile diedrice ale unui cuboid sunt unghiuri drepte.

Luați în considerare, de exemplu, unghiul diedric al unui paralelipiped dreptunghiular cu muchia AB, adică unghiul diedric dintre planele ABB 1 și ABC.

AB este o muchie, punctul A 1 se află într-un plan - în planul ABB 1, iar punctul D în celălalt - în planul A 1 B 1 C 1 D 1. Atunci unghiul diedric considerat mai poate fi notat astfel: ∠А 1 АВD.

Luați punctul A pe muchia AB. AA 1 este perpendicular pe muchia AB în planul ABB-1, AD este perpendicular pe muchia AB în planul ABC. Prin urmare, ∠A 1 AD este unghiul liniar al unghiului diedric dat. ∠A 1 AD \u003d 90 °, ceea ce înseamnă că unghiul diedrul la marginea AB este de 90 °.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Se dovedește în mod similar că orice unghi diedru al unui paralelipiped dreptunghic este drept.

Pătratul diagonalei unui cuboid este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale.

Notă. Lungimile celor trei muchii care emană din același vârf al cuboidului sunt măsurătorile cuboidului. Ele sunt uneori numite lungime, lățime, înălțime.

Dat: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - un paralelipiped dreptunghiular (Fig. 5).

Demonstrați: .

Orez. 5 Cuboid

Dovada:

Linia CC 1 este perpendiculară pe planul ABC și, prin urmare, pe dreapta AC. Deci triunghiul CC 1 A este un triunghi dreptunghic. Conform teoremei lui Pitagora:

Considera triunghi dreptunghic ABC. Conform teoremei lui Pitagora:

Dar BC și AD sunt laturi opuse ale dreptunghiului. Deci BC = AD. Apoi:

La fel de , A , apoi. Deoarece CC 1 = AA 1, atunci ce trebuia să fie demonstrat.

Diagonalele unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale.

Să desemnăm dimensiunile paralelipipedului ABC ca a, b, c (vezi Fig. 6), apoi AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Un paralelipiped este o prismă patruunghiulară ale cărei baze sunt paralelograme. Înălțimea unui paralelipiped este distanța dintre planurile bazelor sale. În figură, înălțimea este prezentată ca o linie . Există două tipuri de paralelipipede: drepte și oblice. Obișnuit, profesor de matematică mai întâi dă definițiile corespunzătoare pentru prismă, apoi le transferă pe paralelipiped. Vom face la fel.

Permiteți-mi să vă reamintesc că o prismă se numește dreptă dacă marginile sale laterale sunt perpendiculare pe baze, dacă nu există perpendicularitate, prisma se numește oblică. Această terminologie este moștenită și de paralelipiped. Un paralelipiped drept nu este altceva decât un fel de prismă dreaptă, a cărei margine laterală coincide cu înălțimea. Se păstrează definițiile unor concepte precum o față, o muchie și un vârf, care sunt comune întregii familii de poliedre. Apare conceptul de fețe opuse. Un paralelipiped are 3 perechi de fețe opuse, 8 vârfuri și 12 muchii.

Diagonala unui paralelipiped (diagonala unei prisme) este un segment care leagă două vârfuri ale unui poliedru și nu se află pe niciuna dintre fețele sale.

O secțiune diagonală este o secțiune a unui paralelipiped care trece prin diagonala și diagonala bazei sale.

Proprietățile casetei oblice:
1) Toate fețele sale sunt paralelograme, iar fețele opuse sunt paralelograme egale.
2)Diagonalele paralelipipedului se intersectează într-un punct și bisectează în acel punct.
3)Fiecare paralelipiped este format din șase piramide triunghiulare de volum egal. Pentru a le arăta unui elev, un profesor de matematică trebuie să taie o jumătate din paralelipeped cu secțiunea diagonală și să o rupă separat în 3 piramide. Bazele lor trebuie să se afle pe diferite fețe ale cutiei originale. Un profesor de matematică va găsi o aplicație pentru această proprietate în geometria analitică. Este folosit pentru a afișa volumul piramidei prin produs mixt vectori.

Formule pentru volumul unui paralelipiped:
1), unde este aria bazei, h este înălțimea.
2) Volumul paralelipipedului este egal cu produsul ariei secțiunii transversale de pe marginea laterală.
profesor de matematică: După cum știți, formula este comună tuturor prismelor, iar dacă tutorele a dovedit-o deja, nu are rost să repetați același lucru pentru paralelipiped. Cu toate acestea, atunci când lucrezi cu un elev de nivel mediu (o formulă slabă nu este utilă), este indicat ca profesorul să acționeze exact invers. Lăsați prisma în pace și efectuați o demonstrație precisă pentru paralelipiped.
3) , unde este volumul uneia dintre cele șase piramide triunghiulare care alcătuiesc paralelipipedul.
4) Dacă , atunci

Aria suprafeței laterale a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale:
Suprafața totală a unui paralelipiped este suma ariilor tuturor fețelor sale, adică aria + două arii de bază:.

Despre munca unui tutore cu un paralelipiped înclinat:
Un tutore de matematică nu se ocupă adesea de probleme pe un paralelipiped înclinat. Probabilitatea apariției lor la examen este destul de mică, iar didactica este indecent săracă. O problemă mai mult sau mai puțin decentă asupra volumului unui paralelipiped înclinat provoacă probleme serioase asociat cu determinarea locației punctului H - baza înălțimii acestuia. În acest caz, profesorul de matematică ar putea fi sfătuit să taie cutia la una dintre cele șase piramide ale sale (care sunt discutate în proprietatea #3), să încerce să-i găsească volumul și să-l înmulțească cu 6.

Dacă marginea laterală a paralelipipedului are unghiuri egale cu laturile bazei, atunci H se află pe bisectoarea unghiului A a bazei ABCD. Și dacă, de exemplu, ABCD este un romb, atunci

Sarcini de profesor de matematică:
1) Fețele unui paralelipiped sunt roburi egale cu o latură de 2 cm și un unghi ascuțit. Aflați volumul paralelipipedului.
2) Într-un paralelipiped înclinat, marginea laterală este de 5cm. Sectiunea perpendiculara pe aceasta este un patrulater cu diagonale reciproc perpendiculare avand lungimi de 6 cm si 8 cm.Calculati volumul paralelipipedului.
3) Într-un paralelipiped oblic, se știe că , iar în definiția ABCD este un romb cu latura de 2 cm și un unghi de . Determinați volumul paralelipipedului.

Profesor de matematică, Alexander Kolpakov