Se știe dintr-un curs de matematică școlar că un vector pe un plan este un segment direcționat. Începutul și sfârșitul lui au două coordonate. Coordonatele vectoriale sunt calculate scăzând coordonatele de început din coordonatele de sfârșit.
Conceptul de vector poate fi extins și la un spațiu n-dimensional (în loc de două coordonate vor fi n coordonate).
Gradient grad z al funcției z = f(х 1 , х 2 , …х n) este vectorul derivatelor parțiale ale funcției în punctul, i.e. vector cu coordonate .
Se poate dovedi că gradientul unei funcții caracterizează direcția de creștere cea mai rapidă a nivelului funcției într-un punct.
De exemplu, pentru funcția z \u003d 2x 1 + x 2 (a se vedea figura 5.8), gradientul în orice punct va avea coordonate (2; 1). Îl poți construi pe un avion căi diferite, luând orice punct ca început al vectorului. De exemplu, puteți conecta punctul (0; 0) la punctul (2; 1), sau punctul (1; 0) la punctul (3; 1) sau punctul (0; 3) la punctul (2; 4), sau t .P. (vezi figura 5.8). Toți vectorii construiți în acest fel vor avea coordonatele (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Figura 5.8 arată clar că nivelul funcției crește în direcția gradientului, deoarece liniile de nivel construite corespund valorilor nivelului 4 > 3 > 2.
Figura 5.8 - Funcția gradient z \u003d 2x 1 + x 2
Luați în considerare un alt exemplu - funcția z = 1/(x 1 x 2). Gradientul acestei funcții nu va mai fi întotdeauna același în puncte diferite, deoarece coordonatele sale sunt determinate de formulele (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Figura 5.9 prezintă liniile de nivel ale funcției z = 1 / (x 1 x 2) pentru nivelurile 2 și 10 (linia dreaptă 1 / (x 1 x 2) = 2 este indicată printr-o linie punctată, iar linia dreaptă
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linie continuă).
Figura 5.9 - Gradienții funcției z \u003d 1 / (x 1 x 2) în diferite puncte
Luați, de exemplu, punctul (0,5; 1) și calculați gradientul în acest punct: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Rețineți că punctul (0,5; 1) se află pe linia de nivel 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, deoarece z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Pentru reprezentați vectorul (-4; -2) în Figura 5.9, conectăm punctul (0.5; 1) cu punctul (-3.5; -1), deoarece
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Să luăm un alt punct de pe aceeași linie de nivel, de exemplu, punctul (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculați gradientul în acest punct
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Pentru a o reprezenta în Figura 5.9, conectăm punctul (1; 0.5) cu punctul (-1; -3.5), deoarece (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Să mai luăm un punct pe aceeași linie de nivel, dar abia acum într-un sfert de coordonate nepozitiv. De exemplu, punctul (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradientul în acest punct va fi
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Să o reprezentăm în Figura 5.9 conectând punctul (-0,5; -1) cu punctul (3,5; 1), deoarece (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Cursul 15
Gradientul unei funcții a două variabile și derivata direcțională.
Definiție. Gradient de funcție
numit vector
.
După cum puteți vedea din definiția gradientului funcției, componentele vectorului gradient sunt derivatele parțiale ale funcției.
Exemplu. Calculează gradientul funcției
la punctul A(2,3).
Soluţie. Calculăm derivatele parțiale ale funcției.
În general, gradientul funcției are forma:
=
Înlocuiți coordonatele punctului A(2,3) în expresiile derivatelor parțiale
Gradientul funcției în punctul A(2,3) are forma:
În mod similar, putem defini conceptul de gradient al unei funcții de trei variabile:
Definiție. Funcția gradient a trei variabile
numit vector
În caz contrar, acest vector poate fi scris după cum urmează:
Definiție derivată de direcție.
Să fie dată o funcție a două variabile
și un vector arbitrar
Luați în considerare creșterea acestei funcții luate împreună vector dat
Acestea. vectorul este coliniar în raport cu vectorul . Lungimea incrementului argumentului
Derivata într-o anumită direcție este limita raportului dintre incrementul unei funcții de-a lungul unei direcții date și lungimea incrementului argumentului, când lungimea incrementului argumentului tinde spre 0.
Formula derivată direcțională.
Pe baza definiției gradientului, derivata unei funcții în raport cu direcția poate fi calculată după cum urmează.
vreun vector. Un vector cu aceeași direcție dar singur să numim lungimea
Coordonatele acestui vector se calculează după cum urmează:
Din definiția derivatei direcționale, derivata direcțională poate fi calculată folosind următoarea formulă:
Partea dreaptă a acestei formule este produsul scalar a doi vectori
Prin urmare, derivata direcțională poate fi reprezentată prin următoarea formulă:
Din această formulă decurg câteva proprietăți importante ale vectorului gradient.
Prima proprietate a gradientului rezultă din faptul evident că produsul scalar al doi vectori ia cea mai mare valoare când vectorii sunt în aceeași direcție. A doua proprietate rezultă din faptul că produsul scalar al vectorilor perpendiculari este egal cu zero. În plus, semnificația geometrică a gradientului decurge din prima proprietate - gradientul este un vector de-a lungul direcției, a cărui derivată de-a lungul direcției este cea mai mare. Deoarece derivata direcțională determină tangenta pantei tangentei la suprafața funcției, gradientul este îndreptat de-a lungul celei mai mari pante a tangentei.
Exemplul 2 Pentru o funcție (din exemplul 1)
Calculați derivata direcțională
la punctul A(2,3).
Soluţie. Pentru a calcula derivata direcțională, trebuie să calculați vectorul gradient în punctul specificat și vector unitar direcții (adică normalizarea vectorului).
Vectorul gradient a fost calculat în exemplul 1:
Calculați vectorul direcției unitare:
Calculăm derivata în direcția:
#2. Maximul și minimul unei funcții a mai multor variabile.
Definiție. Funcţie
Are un maxim la un punct (adică la și ) dacă
Definiție. Exact în același mod, spunem că funcția
Are un minim la un punct (adică la și ) dacă
pentru toate punctele suficient de apropiate de punct și distincte de acesta.
Maximul și minimul unei funcții se numesc extremele funcției, adică se spune că funcția are un extremum într-un punct dat dacă această funcție are un maxim sau un minim într-un punct dat.
De exemplu, funcția
Are un minim evident z = -1 la x = 1 și y = 2.
Are un maxim într-un punct la x = 0 și y = 0.
Teorema.(condiții extreme necesare).
Dacă funcția atinge un extrem la , , atunci fiecare derivată parțială de ordinul întâi a lui z fie dispare la aceste valori ale argumentelor, fie nu există.
Cometariu. Această teoremă nu este suficientă pentru a studia problema valorilor extreme ale unei funcții. Putem da exemple de funcții care au derivate parțiale zero în anumite puncte, dar nu au un extrem în aceste puncte.
Exemplu. O funcție care are derivate parțiale zero, dar fără extrem.
Într-adevăr:
Condiții suficiente pentru un extremum.
Teorema. Fie că într-o zonă care conține punctul , funcția are derivate parțiale continue până la ordinul trei inclusiv; fie, în plus, punctul un punct critic al funcției , i.e.
Apoi la ,
Exemplul 3.2. Examinați funcția la maxim și la minim
Să găsim punctele critice, de ex. punctele în care primele derivate parțiale sunt egale cu zero sau nu există.
În primul rând, calculăm propriile derivate parțiale.
Echivalăm derivatele parțiale cu zero și rezolvăm următorul sistem de ecuații liniare
Înmulțiți a doua ecuație cu 2 și adăugați-o la prima. Obțineți o ecuație numai de la y.
Găsiți și înlocuiți în prima ecuație
Să ne transformăm
Prin urmare, punctul () este critic.
Să calculăm derivatele secunde de ordinul doi și să substituim coordonatele punctului critic în ele.
În cazul nostru, nu este necesar să înlocuim valorile punctelor critice, deoarece derivatele secunde sunt numere.
Ca urmare, avem:
Prin urmare, punctul critic găsit este punctul extremum. Mai mult, din moment ce
atunci acesta este punctul minim.
Definiția 1
Dacă pentru fiecare pereche $(x,y)$ de valori a două variabile independente dintr-un domeniu, o anumită valoare$z$, atunci se spune că $z$ este o funcție a două variabile $(x,y)$. Notație: $z=f(x,y)$.
Luați în considerare funcția $z=f(x,y)$, care este definită într-un domeniu în spațiul $Oxy$.
Prin urmare,
Definiția 3
Dacă pentru fiecare triplă $(x,y,z)$ de valori a trei variabile independente dintr-un anumit domeniu i se atribuie o anumită valoare $w$, atunci $w$ se spune că este o funcție a trei variabile $(x, y,z)$ în această zonă.
Desemnare:$w=f(x,y,z)$.
Luați în considerare funcția $w=f(x,y,z)$, care este definită într-un anumit domeniu în spațiul $Oxyz$.
Pentru funcţie dată definiți un vector pentru care proiecțiile pe axele de coordonate sunt valorile derivatelor parțiale ale funcției date la un punct $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ parțial y) $.
Definiția 4
Gradientul unei funcții date $w=f(x,y,z)$ este un vector $\overrightarrow(gradw) $ de următoarea formă:
Teorema 3
Să fie definit un câmp gradient într-un câmp scalar $w=f(x,y,z)$
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Derivata $\frac(\partial w)(\partial s) $ în direcția vectorului dat $\overrightarrow(s) $ este egală cu proiecția vectorului gradient $\overrightarrow(gradw) $ pe vectorul dat $\săgeată(e) overright(e) $.
Exemplul 4
Soluţie:
Expresia pentru gradient se găsește prin formula
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]
Prin urmare,
\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]
Exemplul 5
Determinați gradientul unei funcții date
în punctul $M(1;2;1)$. Calculați $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.
Soluţie:
Expresia gradientului la un punct dat se găsește prin formula
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Derivatele parțiale au forma:
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]
Derivate în punctul $M(1;2)$:
\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]
Prin urmare,
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]
\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]
Să enumerăm câteva proprietăți de gradient:
Derivata unei funcții date într-un punct dat în direcția unui vector $\overrightarrow(s)$ are cea mai mare valoare dacă direcția vectorului dat $\overrightarrow(s)$ coincide cu direcția gradientului. În acest caz, această valoare cea mai mare a derivatei coincide cu lungimea vectorului gradient, i.e. $|\overrightarrow(gradw) |$.
Derivata functiei date fata de directia vectorului care este perpendiculara pe vectorul gradient, i.e. $\overrightarrow(gradw) $ este egal cu 0. Deoarece $\varphi =\frac(\pi )(2) $, atunci $\cos \varphi =0$; deci $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.
Gradient de funcțieîntr-un punct se numește vector ale cărui coordonate sunt egale cu derivatele parțiale corespunzătoare și se notează.
Dacă luăm în considerare vectorul unitar e=(), atunci conform formulei (3), derivata în direcție este produsul scalar al gradientului și vectorul unitar care specifică direcția. Se știe că produsul scalar al doi vectori este maxim dacă au aceeași direcție. Prin urmare, gradientul funcției într-un punct dat caracterizează direcția și mărimea creșterii maxime a funcției în acest punct.
Teorema . Dacă funcția este diferențiabilă și în punctul M 0 Dacă valoarea gradientului este diferită de zero, atunci gradientul este perpendicular pe linia de nivel care trece prin punct datși este îndreptată în același timp în direcția creșterii funcției
CONCLUZIE: 1) Derivata unei functii intr-un punct in directia determinata de gradientul acestei functii in punctul specificat are valoare maximă comparativ cu derivata din acel punct în orice altă direcție.
- 2) Valoarea derivatei funcției în direcție, care determină gradientul acestei funcții într-un punct dat, este egală cu.
- 3) Cunoscând gradientul funcției în fiecare punct, este posibil să se construiască linii de nivel cu o anumită eroare. Să începem de la punctul M 0 . Să construim un gradient în acest moment. Setați direcția perpendiculară pe gradient. Să construim o mică parte a liniei de nivel. Luați în considerare un punct apropiat M 1 , construiți un gradient la el și așa mai departe.
Dacă în fiecare punct din spațiu sau parte de spațiu este definită valoarea unei anumite mărimi, atunci se spune că este dat câmpul acestei mărimi. Câmpul se numește scalar dacă valoarea considerată este scalară, adică. bine caracterizat prin valoarea sa numerică. De exemplu, câmpul de temperatură. Câmpul scalar este dat de funcția scalară a punctului u = /(M). Dacă în spațiu se introduce un sistem de coordonate carteziene, atunci există o funcție a trei variabile x, yt z - coordonatele punctului M: Definiție. Suprafața de nivel a unui câmp scalar este mulțimea de puncte la care funcția f(M) ia aceeași valoare. Ecuație de suprafață de nivel Exemplu 1. Găsiți suprafețe de nivel ale unui câmp scalar ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe de nivel și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Derivată a unui câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a unui gradient Reguli pentru calcularea unui gradient -4 Prin definiție, un nivel ecuația de suprafață va fi. Aceasta este ecuația unei sfere (cu Ф 0) centrată la origine. Un câmp scalar se numește plat dacă câmpul este același în toate planurile paralele cu un anumit plan. Dacă planul indicat este luat ca plan xOy, atunci funcția câmpului nu va depinde de coordonata z, adică va fi o funcție doar a argumentelor x și y. și, de asemenea, semnificația. Ecuația liniilor de nivel - Exemplul 2. Aflați liniile de nivel ale unui câmp scalar Liniile de nivel sunt date de ecuații La c = 0, obținem o pereche de linii, obținem o familie de hiperbole (Fig. 1). 1.1. Derivată direcțională Fie un câmp scalar definit de o funcție scalară u = /(Af). Să luăm punctul Afo și să alegem direcția determinată de vectorul I. Să luăm un alt punct M astfel încât vectorul M0M să fie paralel cu vectorul 1 (Fig. 2). Să notăm lungimea vectorului MoM cu A/, iar incrementul funcției /(Af) - /(Afo), corespunzătoare deplasării D1, cu Di. Atitudinea determină viteza medie modificarea câmpului scalar pe unitatea de lungime în direcția dată Să tinde acum spre zero, astfel încât vectorul М0М să rămână tot timpul paralel cu vectorul I. Definiție. Dacă pentru D/O există o limită finită a relaţiei (5), atunci se numeşte derivată a funcţiei la un punct dat Afo la direcţia dată I şi se notează cu simbolul zr!^. Deci, prin definiție, Această definiție nu are legătură cu alegerea sistemului de coordonate, adică are un caracter **variant. Să găsim o expresie pentru derivată în raport cu direcția în sistemul de coordonate carteziene. Fie funcția / să fie diferențiabilă într-un punct. Luați în considerare valoarea /(Af) într-un punct. Apoi increment complet funcţiile se pot scrie sub următoarea formă: unde şi simbolurile înseamnă că derivatele parţiale se calculează în punctul Afo. Prin urmare, aici mărimile jfi, ^ sunt cosinusurile de direcție ale vectorului. Deoarece vectorii MoM și I sunt co-direcționați, cosinusurile lor direcție sunt aceleași: Deoarece M Afo, așezându-se tot timpul pe o linie dreaptă, paralel cu vectorul 1, atunci unghiurile sunt constante, deci În sfârșit, din egalitățile (7) și (8) obținem Eamuan și 1. Derivatele parțiale sunt derivate ale funcției și în direcțiile axelor de coordonate cu exteriorul nno- Exemplul 3. Găsiți derivata functiei fata de punct Vectorul are lungimea. Cosinusurile sale de direcție: Prin formula (9) vom avea Faptul că, înseamnă că câmpul scalar într-un punct într-o direcție dată de vârstă- Pentru un câmp plat, derivata în direcția I într-un punct se calculează prin formula unde a este unghiul format de vectorul I cu axa Oh. Zmmchmm 2. Formula (9) pentru calcularea derivatei pe direcția I într-un punct dat Afo rămâne în vigoare chiar și atunci când punctul M tinde către punctul Mo de-a lungul unei curbe pentru care vectorul I este tangent în punctul PrISp 4. Calculați derivata câmpului scalar în punctul Afo(l, 1). aparținând unei parabole în direcția acestei curbe (în sensul creșterii absciselor). Direcția ] a unei parabole într-un punct este direcția tangentei la parabolă în acest punct (Fig. 3). Fie tangenta la parabolă în punctul Afo să formeze un unghi o cu axa Ox. Atunci de unde direcționarea cosinusului unei tangente Să calculăm valori și într-un punct. Avem Acum prin formula (10) obținem. Aflați derivata câmpului scalar într-un punct în direcția cercului Ecuația vectorială a cercului are forma. Găsim vectorul unitar m al tangentei la cerc Punctul corespunde valorii parametrului. Gradientul câmpului scalar Să fie definit un câmp scalar printr-o funcție scalară care se presupune că este diferențiabilă. Definiție. Gradientul unui câmp scalar » la un punct dat M este un vector notat cu simbolul grad și definit prin egalitate Este clar că acest vector depinde atât de funcția / cât și de punctul M la care se calculează derivata lui. Fie 1 un vector unitar în direcție Atunci formula derivatei în direcție poate fi scrisă astfel: . astfel, derivata functiei si in directia 1 este egala cu produs punctual a gradientului funcției u(M) pe vector unitar 1° din direcția I. 2.1. Proprietățile de bază ale gradientului Teorema 1. Gradientul câmpului scalar este perpendicular pe suprafața de nivel (sau pe linia de nivel dacă câmpul este plat). (2) Să desenăm o suprafață de nivel u = const printr-un punct arbitrar M și să alegem o curbă netedă L pe această suprafață care trece prin punctul M (Fig. 4). Fie I un vector tangent la curba L în punctul M. Deoarece pe suprafața de nivel u(M) = u(M|) pentru orice punct Mj ∈ L, atunci Pe de altă parte, = (gradu, 1°) . De aceea. Aceasta înseamnă că vectorii grad și și 1° sunt ortogonali, astfel, vectorul grad și este ortogonal cu orice tangentă la suprafața de nivel în punctul M. Astfel, este ortogonal cu suprafața de nivel în sine în punctul M. Teorema 2 Gradientul este direcționat în direcția creșterii funcției câmpului. Mai devreme am demonstrat că gradientul câmpului scalar este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, care poate fi orientată fie spre creșterea funcției u(M), fie spre scăderea acesteia. Să notăm cu n normala suprafeței de nivel orientată în direcția creșterii funcției ti(M) și să găsim derivata funcției u în direcția acestei normale (Fig. 5). Avem Deoarece conform condiției din Fig. 5 și deci ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată în direcție Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Rezultă că grad și este direcționat în aceeași direcție cu cea în care am ales normala n, adică în direcția creșterii funcției u(M). Teorema 3. Lungimea gradientului este egală cu cea mai mare derivată în raport cu direcția într-un punct dat al câmpului, (aici, max $ este luat în toate direcțiile posibile de la un punct dat M până la punctul). Avem unde este unghiul dintre vectorii 1 și grad n. Deoarece cea mai mare valoare este Exemplul 1. Găsiți direcția celui mai mare și absolut câmp scalar în punct și, de asemenea, magnitudinea acestei schimbări mai mari în punctul specificat. Direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar este indicată de un vector. Avem deci Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a câmpului până la un punct. Valoarea celei mai mari modificări în domeniu în acest moment este 2,2. Definiția invariantă a gradientului Mărimile care caracterizează proprietățile obiectului studiat și nu depind de alegerea sistemului de coordonate se numesc invarianți ai obiectului dat. De exemplu, lungimea unei curbe este un invariant al acestei curbe, dar unghiul tangentei la curbă cu axa x nu este un invariant. Pe baza celor trei proprietăți ale gradientului de câmp scalar demonstrat mai sus, putem da următoarea definiție invariantă a gradientului. Definiție. Gradientul de câmp scalar este un vector direcționat de-a lungul normalei la suprafața de nivel în direcția creșterii funcției de câmp și având o lungime egală cu cea mai mare derivată direcțională (la un punct dat). Fie un vector normal unitar îndreptat în direcția câmpului crescător. Apoi Exemplul 2. Găsiți gradientul distanței - un punct fix și M(x,y,z) - cel curent. 4 Avem unde este vectorul direcției unitare. Reguli pentru calcularea gradientului unde c este un număr constant. Formulele de mai sus sunt obținute direct din definiția gradientului și proprietățile derivaților. Prin regula de diferențiere a produsului Demonstrația este similară cu demonstrația proprietății Fie F(u) un diferențiabil functie scalara. Apoi 4 Prin definiția gradientului, avem Aplicați tuturor termenilor din partea dreaptă regula de diferențiere functie complexa. Obținem în special, formula (6) urmează din planul formulei la două puncte fixe ale acestui plan. Luați în considerare o elipsă arbitrară cu focare Fj și F] și demonstrați că orice rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, după reflectarea din elipsă, intră în celălalt focar al acesteia. Liniile de nivel ale funcției (7) sunt ANALIZA VECTORALĂ Câmp scalar Suprafețe și linii de nivel Derivată direcțională Derivată Gradient de câmp scalar Proprietăți de bază ale gradientului Definiția invariabilă a gradientului Reguli de calcul a gradientului Ecuațiile (8) descriu o familie de elipse cu focare în punctele F ) și Fj. Conform rezultatului din Exemplul 2, avem și vectori cu rază. trasate la punctul P(x, y) din focarele F| și Fj și, prin urmare, se află pe bisectoarea unghiului dintre acești vectori cu rază (Fig. 6). Conform Tooromo 1, gradientul PQ este perpendicular pe elipsa (8) în punct. Prin urmare, Fig.6. normala la elipsa (8) în orice al-lea punct bisectează unghiul dintre vectorii cu rază trasați în acest punct. De aici și din faptul că unghiul de incidență este egal cu unghiul de reflexie, obținem: o rază de lumină care iese dintr-un focar al elipsei, reflectată din acesta, va cădea cu siguranță în celălalt focar al acestei elipse.