Exemplul 2 Luați în considerare, de exemplu, o funcție a trei variabile f(X,la,z), având următorul tabel de adevăr:

Cu ordinea lexicografică a locaţiei vectorilor de valori variabile  X n ele pot fi omise și funcția va fi complet definită de sine vector al valorilor de adevăr f= (10110110).

Metoda matricei

Înseamnă că multe variabile  X n se împarte în două părți  la mȘi  z n–m astfel încât toate valorile de adevăr posibile ale vectorului  la m sunt reprezentate de-a lungul rândurilor matricei și toate valorile de adevăr posibile ale vectorului  z n-m— pe coloane. Valori de adevăr ale funcției f pe fiecare set   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) sunt plasate în celulele formate prin intersecţia liniei ( 1 , ...,  m) si coloana ( m+ 1 ,...,  n).

În Exemplul 2 considerat mai sus, în cazul împărțirii variabilelor ( x, y, z) în submulțimi ( X) Și ( y,z) matricea ia forma:

	y,z

O caracteristică esențială a metodei matriceale de setare este că seturile complete de variabile  X n, corespunzătoare celulelor adiacente (atât pe verticală, cât și pe orizontală), diferă într-o coordonată.

Atribuire folosind un arbore binar complet

Pentru descriere n-functie locala f( X n) folosește proprietatea arborelui binar înălțime n, care constă în faptul că fiecare vârf agățat în el unu-la-unu corespunde unui anumit set de valori ale vectorului  X n. În consecință, acestui vârf suspendat i se poate atribui aceeași valoare de adevăr pe care o are funcția în acest set f. Ca exemplu (Fig. 1.3), prezentăm sarcina cu ajutorul unui arbore binar al funcției cu trei locuri considerată mai sus f=(10110110).

Primul rând de cifre atribuite vârfurilor suspendate ale arborelui denotă numărul lexicografic al setului, al doilea este setul în sine, iar al treilea este valoarea funcției de pe acesta.

Job cun - cub de unitate dimensionalăÎN n

Pentru că vârfurile ÎN n poate fi, de asemenea, mapat unu-la-unu la setul de toate seturile  X n, apoi n-functie locala f(X n) poate fi specificat prin atribuirea valorilor sale de adevăr la vârfurile corespunzătoare ale cubului ÎN n . Figura 1.4 prezintă sarcina funcției f= (10110110) în Cuba ÎN 3 . Valorile de adevăr sunt atribuite vârfurilor cubului.

Definiție . Algebra logicii denumește setul de constante și variabile booleene împreună cu conexiunile logice introduse asupra lor.

sarcină de formulă

Funcțiile de algebră logică pot fi date ca expresii analitice.

Definiție. Lasa X― alfabetul variabilelor și constantelor utilizate în algebra logicii, F― setul de notații pentru toate funcțiile elementare și generalizările acestora pentru numărul de variabile care depășește 2.

Formula peste X, F(formula de algebră logică) să denumim toate înregistrările din formularul:

dar) X, Unde X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , Unde F 1 , F 2 sunt formule de peste X, F;

în) h(F 1 , … ,F n ), Unde n > 2, F 1 ,… ,F n au terminat formulele X,F, h ― notația pentru funcția de prag generalizată din F .

Din definiție, pentru funcțiile binare elementare se folosește forma infixă, în care simbolul funcției este plasat între argumente, pentru negație și funcții generalizate, se folosește forma prefix, în care simbolul funcției este plasat înaintea argumentului. listă.

Exemplul 3

1. Expresii X(laz); ( X, y, z  u) sunt formule ale algebrei logicii, deoarece satisfac definiția dată mai sus.

2. Expresia  X (la z) nu este o formulă a algebrei logicii, deoarece operația este aplicată incorect  .

Definiție. Funcția realizată prin formula F, este funcția obținută prin înlocuirea valorilor variabilelor în F. Să o notăm f(F).

Exemplul 4 Luați în considerare formula F=hu (Xz). Pentru a construi tabelul de adevăr al funcției implementate, este necesar să se efectueze secvențial, ținând cont de puterea conectivelor logice, înmulțirea logică. hu, apoi implicația ( Xz), apoi adăugați valorile de adevăr obținute în modulul 2. Rezultatul acțiunilor este prezentat în tabel:

				X z

Formula de reprezentare a funcțiilor face posibilă estimarea a priori a multor proprietăți ale funcțiilor. Trecerea de la o sarcină de formulă la un tabel de adevăr poate fi întotdeauna efectuată prin substituții succesive ale valorilor de adevăr în funcțiile elementare incluse în formulă. Tranziția inversă este ambiguă, deoarece aceeași funcție poate fi reprezentată prin formule diferite. Este nevoie de o analiză separată.

Să se reducă setul de valori ale funcției vectoriale a argumentului scalar la o origine comună în punctul 0. Să combinăm originea sistemului de coordonate carteziene cu acest punct. Apoi, pentru orice vector poate fi extins în termeni de orte

Astfel, specificarea unei funcții vectoriale a unui argument scalar înseamnă specificarea a trei funcții scalare Când valoarea argumentului se schimbă, sfârșitul vectorului va descrie o curbă în spațiu, care se numește hodograful vectorului.

Să existe o valoare apropiată pentru Apoi derivata funcției vectoriale la argumentul scalar este numită

№17 Viteza și accelerația unui punct în mișcare curbilinie

Viteză

Viteza este introdusă ca o caracteristică a mișcării unui punct material. Viteza este o mărime vectorială, care se caracterizează atât prin viteza de mișcare (modulul vectorului viteză), cât și prin direcția acesteia (direcția vectorului viteză) la un moment dat. Fie ca un punct material să se miște de-a lungul unei traiectorii curbilinii, iar în momentul t acesta corespunde vectorului rază r0 (Fig. 1). Pentru un interval de timp mic Δt, punctul va face o cale Δs și, în același timp, va primi o deplasare elementară (infinit mică) Δr.

Vector de viteză medie este raportul dintre incrementul Δr al vectorului-rază al punctului și intervalul de timp Δt:

Direcția vectorului viteză medie coincide cu direcția lui Δr. Cu o scădere infinită a Δt, viteza medie tinde către o valoare numită viteza instantanee v:

Prin urmare, viteza instantanee v este o mărime vectorială, care este egală cu derivata întâi a vectorului-rază a punctului în mișcare în raport cu timpul. pentru că în limită, secanta coincide cu tangenta, apoi vectorul viteză v este direcționat tangențial la traiectoria în direcția mișcării (Fig. 2).

Fig.2

Pe măsură ce Δt scade, Δs se va apropia din ce în ce mai mult de |Δr|, astfel încât modulul de viteză instantaneu

Aceasta înseamnă că modulul vitezei instantanee este egal cu prima derivată a căii în raport cu timpul:

Când nu mișcare uniformă modulul de viteză instantaneu este diferit în momente diferite. În acest caz, se utilizează valoarea scalară - viteza medie mișcare neuniformă:

Dacă integrăm în timp în intervalul de la t la t + Δt expresia ds=vdt (vezi formula (2)), atunci vom găsi lungimea drumului parcurs de punctul în timpul Δt:

În cazul mișcării uniforme, valoarea numerică a vitezei instantanee este constantă; Atunci expresia (3) ia forma

Lungimea traseului parcurs de un punct din intervalul de timp de la t1 la t2 este dată de integrală

ACCELERARE

Cu o mișcare neuniformă, este adesea necesar să știți cât de repede se schimbă viteza în timp. Cantitate fizica, care caracterizează rata de schimbare a vitezei în mărime și direcție, se numește accelerație. Considerăm o mișcare plană - o mișcare în care traiectoriile fiecărui punct al sistemului luat în considerare se află în același plan. Fie vectorul v viteza punctului A la momentul t. În timpul Δt, punctul s-a mutat în poziția B și a primit o viteză diferită de v atât ca modul cât și direcție și egală cu v1 + Δv. Transferăm vectorul v1 în punctul A și găsim Δv (Fig. 1).

Accelerația medie a mișcării neuniforme în intervalul de la t la t + Δt este o mărime vectorială egală cu raportul dintre modificarea vitezei Δv și intervalul de timp Δt:

Accelerare instantanee iar (accelerația) unui punct material la momentul t va fi o mărime vectorială:

egală cu derivata întâi a vitezei în raport cu timpul.

Să descompunăm vectorul Δv în două componente. Pentru a face acest lucru, din punctul A (Fig. 1) în direcția vitezei v, punem deoparte vectorul AD, modulo egal cu v1. Evident, vectorul CD, egal cu Δvτ, determină modificarea vitezei în timp Δt modulo: Δvτ=v1-v. A doua componentă Δvn a vectorului Δv caracterizează schimbarea vitezei în timp Δt în direcție.

Componenta accelerației tangențiale:

adică, egală cu prima derivată temporală a modulului vitezei, determinând astfel rata de modificare a vitezei modulo.

Căutăm a doua componentă a accelerației. Presupunem că punctul B este foarte aproape de punctul A, deci Δs poate fi considerat un arc de cerc cu o rază r, ușor diferită de coarda AB. Triunghiul AOB este similar cu triunghiul EAD, ceea ce implică Δvn/AB=v1/r, dar deoarece AB=vΔt, atunci

În limita la Δt→0 obținem v1→v.

pentru că v1→v, unghiul EAD tinde spre zero, iar din moment ce triunghiul EAD este isoscel, atunci unghiul ADE dintre v și Δvn tinde spre un unghi drept. Prin urmare, ca Δt→0, vectorii Δvn și v devin reciproc perpendiculari. pentru că vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie, apoi vectorul Δvn, perpendicular pe vectorul viteză, este îndreptat către centrul de curbură al traiectoriei punctului. A doua componentă a accelerației, egală cu

se numește componenta normală a accelerației și este îndreptată de-a lungul unei drepte perpendiculare pe tangenta traiectoriei (numită normală) la centrul curburii acesteia (de aceea, se mai numește și accelerație centripetă).

Accelerația totală a corpului este suma geometrică componente tangenţiale şi normale (fig. 2):

Aceasta înseamnă că componenta tangenţială a acceleraţiei este o caracteristică a ratei de schimbare a vitezei modulo (direcţionată tangenţial la traiectorie), iar componenta normală a acceleraţiei este o caracteristică a ratei de schimbare a vitezei în direcţie (direcţionată către centru). de curbură a traiectoriei). În funcție de componentele tangențiale și normale ale accelerației, mișcarea poate fi clasificată după cum urmează:

1)aτ=0, an=0 - mișcare uniformă rectilinie;

2)aτ=an=const, an=0 - rectiliniu mișcare uniformă. Cu acest tip de mișcare

Dacă momentul inițial de timp t1 = 0, iar viteza inițială v1 = v0, atunci, notând t2=t și v2 = v, obținem a=(v-v0)/t, de unde

Integrând această formulă de la zero la un timp arbitrar t, aflăm că lungimea drumului parcurs de punct în cazul mișcării uniform variabile

3)aτ=f(t), an=0 - mișcare rectilinie cu accelerație variabilă;

4)aτ=0, an=const. Când aτ=0, viteza modulo nu se modifică, ci se schimbă în direcție. Din formula an=v2/r rezultă că raza de curbură trebuie să fie constantă. Prin urmare, mișcarea circulară este uniformă; uniformă mișcare curbilinie;

5)aτ=0, an≠0 mișcare curbilinie uniformă;

6)aτ=const, an≠0 - mișcare uniformă curbilinie;

7)aτ=f(t), an≠0 - mișcare curbilinie cu accelerație variabilă.

#18 Planul tangent și ecuațiile normale ale suprafeței

Definiție. Fie o funcție a două variabile z =f(х,у), M0(x0;y0) un punct interior al lui D, M(x0+Δx;y+Δy) să fie un punct de la D „învecinat” la M0.

Considera increment complet caracteristici:

Dacă Δz este reprezentat ca:

unde A, B sunt constante (independente de Δx, Δy), - distanta dintre M si M0, α(Δx,Δy) - infinit mica la Δx 0, Δy 0; atunci functia z = f(x, y) se numeste diferentiabila in punctul M0, iar expresia

se numeste diferenta totala a functiei z = f(x; y) in punctul M0.

Teorema 1.1. Dacă z =f(x;y) este diferențiabilă în punctul M0, atunci

Dovada

Deoarece în (1.16) Δx, Δy sunt infinitezimale arbitrare, putem lua Δy =0, Δx≠0, Δx 0, atunci

după care rezultă din (1.16)

În mod similar, se dovedește că

și Teorema 1.1. dovedit.

Observație: diferențiabilitatea lui z = f(x, y) în punctul M0 implică existența derivatelor parțiale. Reversul nu este adevărat (existența derivatelor parțiale în punctul M0 nu implică diferențiere în punctul M0).

Ca rezultat, luând în considerare teorema 1.1, formula (1.18) ia forma:

Consecinţă. Funcția diferențiabilă în punctul M0 este continuă în acest punct (deoarece (1.17) implică că pentru Δx 0, Δy 0: Δz 0, z(M) z(M0)).

Notă: În mod similar, în cazul a trei sau mai multe variabile. Expresia (1.17) va lua forma:

Folosind sens geometric(Fig. 1.3) a derivatelor parțiale și puteți obține următoarea ecuație (1.24) a planului tangent πcass la suprafață: z = f (x, y) în punctul C0 (x0, y0, z0), z0 = z (M):

Comparând (1.24) și (1.21) obținem semnificația geometrică a diferenţialului total al unei funcţii a două variabile:

Creșterea aplicației z în timpul deplasării punctului C de-a lungul planului tangent de la punctul C0 la punctul

unde este de la (1.24).

Ecuația normalei Ln la suprafață: z \u003d f (x, y) în punctul C0 se obține ca ecuație a unei drepte care trece prin C0 perpendicular pe planul tangent:

Nr. 19 Derivată în direcție. Gradient

Lasă funcția și punct . Să desenăm un vector din punct, a cărui direcție cosinus . Pe vectorul , la o distanță de originea lui, se consideră punctul , i.e. .

Vom presupune că funcția iar derivatele sale parțiale de ordinul întâi sunt continue în domeniu.

Limita relației la se numește derivată a funcției la punct în direcția vectorului și se notează cu , i.e. .

Pentru a găsi derivata unei funcții în punct dat în direcția vectorului utilizați formula:

Unde sunt cosinusurile de direcție ale vectorului , care se calculează prin formulele:
.

Lasă funcția .

Vectorul ale cărui proiecții pe axele de coordonate sunt valorile derivatelor parțiale ale acestei funcții în punctul corespunzător se numește gradient al funcției și se notează sau (a se citi „nabla u”): .

În acest caz, spunem că un câmp vectorial de gradienți este definit în domeniu.

Pentru a găsi gradientul unei funcții la un punct dat utilizați formula: .

Nr. 22 principalele proprietăți nu sunt integrala definita

Integrală nedefinită

unde F este antiderivată a funcției f (pe interval); C este o constantă arbitrară.

Proprietăți de bază

1.

2.

3. Dacă apoi

24)

25)

28)

Această metodă este utilizată în cazurile în care integrandul este un produs sau un coeficient de funcții eterogene. În acest caz, V'(x) este considerată a fi partea care este ușor de integrat.

29)

32) Descompunerea unei fracții raționale în fracții simple.

Fiecare fracție rațională adecvată
poate fi reprezentat ca o sumă a unui număr finit de fracții raționale simple de primul - al patrulea tip. Pentru descompunere
numitorul trebuie descompus în fracții simple Q m (x) la liniar şi factori pătrați, pentru care trebuie să rezolvați ecuația:

- (5)

Teorema.Fracția rațională proprie
, Unde
, poate sa singura cale descompuneți în suma fracțiilor simple:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s sunt câteva numere reale).

33) Descompunerea unei fracții proprii în fracții mai simple cu rădăcini complexe ale numitorului

Formularea problemei. Aflați integrala nedefinită

1 . Să introducem notația:

Comparați puterile numărătorului și numitorului.

Dacă integrandul este o fracție rațională improprie, i.e. gradul de numărătorn mai mare sau egală cu puterea numitoruluim , apoi selectăm mai întâi partea întreagă a funcției raționale prin împărțirea numărătorului la numitor:

Aici polinomul este restul împărțirii prin și gradpk(x) grad mai micQm

2 . Extinderea unei fracții raționale adecvate

în fracții elementare.

Dacă numitorul său este prim rădăcini complexe acestea.

atunci descompunerea are forma

3 . Pentru a calcula coeficienți nesiguri,A1,A2,A3...B1,B1,B3... reducem fracția din partea dreaptă a identității la un numitor comun, după care echivalăm coeficienții la aceleași puteriX în numărători din stânga și din dreapta. Să luăm sistemul 2 S ecuatii cu 2 S necunoscut, care are o soluție unică.

4 Integram fractii elementare ale formei

47) Dacă există o limită finită I a sumei integrale ca λ → 0, și nu depinde de modul în care sunt alese punctele ξ i, de modul în care este împărțit segmentul, atunci această limită se numește integrală definită a funcției f (x) peste segment și se notează după cum urmează:

În acest caz, funcția f (x) se numește integrabilă pe . Numerele a și b se numesc limitele inferioare și superioare ale integrării, respectiv, f (x) - integrandul, x - variabila de integrare. Trebuie remarcat faptul că nu contează ce literă denotă variabila de integrare a unei integrale definite

întrucât modificarea notării de acest fel nu afectează în niciun fel comportamentul sumei integrale. În ciuda asemănărilor în notație și terminologie, un anumit și integrale nedefinite diferit

48) Teoremă privind existența unei integrale definite

Să împărțim segmentul în părți prin punctele x1,x2,x3... astfel încât

Se notează cu deltaX lungimea piesei i-a și cu maximul acestor lungimi.

Să alegem un punct în mod arbitrar pe fiecare segment, astfel încât (se numește „punctul de mijloc”) și să compunem

cantitate, care se numește sumă integrală

Să găsim limita

Definiție. Dacă există și nu depinde de

a) o metodă de împărțire a unui segment în părți și din

b) metoda de alegere punct de mijloc,

este o integrală definită a funcției f(x) peste segmentul .

Funcția f(x) se numește în acest caz integrabilă pe segmentul . Valorile a și b se numesc limitele inferioare și, respectiv, superioare de integrare.

50) Proprietățile de bază ale unei integrale definite

1) Dacă intervalul de integrare este împărțit într-un număr finit de intervale parțiale, atunci integrala definită preluată în interval este egală cu suma integralelor definite luate în toate intervalele sale parțiale.

2) teorema valorii medii.

Fie funcția y = f(x) integrabilă pe segmentul ,m=min f(x) și M=max f(x) , atunci există un astfel de număr

Consecinţă.

Dacă funcția y = f(x) este continuă pe segmentul , atunci există un număr astfel încât.

3) Când limitele integrării sunt rearanjate, integrala definită își schimbă semnul în opus.

4) O integrală definită cu aceleași limite de integrare este egală cu zero.

5) Integrarea modulului funcțional

Dacă funcția f(x) este integrabilă, atunci modulul ei este și integrabil pe interval.

6) Integrarea inegalității

Dacă f(x) și q(x) sunt integrabile pe un interval și căreia x îi aparține

apoi

7) Linearitate

Factorul constant poate fi scos din semnul unei integrale definite

dacă f(x) există și este integrabil pe intervalul , A=const

Dacă funcția y=f(x) este continuă pe interval și F(x) este oricare dintre antiderivatele sale pe (F’(x)=f(x)), atunci formula

Să se calculeze integrala lui funcție continuă se face substituția x=α(t).

1) Funcția x=α(t) și derivata ei x’=α’(t) sunt continue pentru t aparținând lui

2) Mulțimea de valori ale funcției x=α(t) cu t aparținând este segmentul

3) A α(c)=a și α(v)=b

Fie funcția f(x) continuă pe interval și are o discontinuitate infinită la x=b. Dacă există o limită, atunci se numește integrală improprie de al doilea fel și se notează cu .

Astfel, prin definiție,

Dacă există limita din partea dreaptă, atunci integrala necorespunzătoare converge. Dacă limita indicată nu există sau este infinită, atunci integrala se spune că este diverge.

Definiție 1. Vectorul r se numește funcție vectorială a argumentului scalar t dacă fiecare valoare a scalarului din gama de valori acceptabile corespunde unei anumite valori a vectorului r. Vom scrie astfel: Dacă vectorul r este o funcție a argumentului scalar t, atunci coordonatele x, y, z ale vectorului r sunt, de asemenea, funcții ale argumentului t: Funcția vectorială a argumentului scalar. Hodograf. Limita și continuitatea funcției vectoriale a unui argument scalar În schimb, dacă coordonatele vectorului r sunt funcții ale lui t%, atunci vectorul r însuși va fi și o funcție a lui t: Astfel, specificând funcția vectorială r(f) este echivalent cu specificarea a trei funcții scalare y(t), z(t). Definiția 2. Hodograful funcției vectoriale r(t) a unui argument scalar este locul punctelor care descrie sfârșitul vectorului r(*) când scalarul t se modifică, când începutul vectorului r(f) este plasat într-un punct fix O în spațiu (Fig. I ). Hodograful vectorului rază r = r(*) se deplasează 1 al punctului de atingere va fi traiectoria L a acestui punct în sine. Hodograful vitezei v = v(J) a acestui punct va fi o altă linie L\ (Fig. 2). Deci, dacă un punct material se mișcă de-a lungul unui cerc cu o viteză constantă |v| = const, atunci hodograful său de viteză este tot un cerc centrat în punctul 0\ și cu o rază egală cu |v|. Exemplul 1. Construiți hodograful vectorului r = ti + t\ + t\. Soluţie. 1. Această construcție se poate face punct cu punct, alcătuind un tabel: Fig.3 2i Puteți face și asta. Notând coordonatele vectorului V cu x, y, z, vom avea Hc Și cheia din aceste ecuații, parametrul 1Y, vom obține ecuațiile suprafețelor y - z = x1, a căror linie de intersecție L va determinați hodograful vectorului r() (Fig. 3). D> Sarcini pentru decizie independentă. Construiți hodografe de vectori: Fie ca funcția vectorială r = argument scalar t să fie definită într-o vecinătate a valorii to a argumentului t, cu excepția, poate, a valorii extensiei 1. Vectorul constant A se numește limita vectorului r(t) at, dacă pentru orice e > 0 există b > 0 astfel încât pentru toți t φ la îndeplinirea condiției 11 - inegalitatea este satisfăcută Ca și în analiza obișnuită, se scrie limr(0=A. Și atât în ​​lungime, cât și în în direcție (Fig. 4). definiția 2. Se spune că un vector a(t) este infinit mic ca t -» to dacă a(t) are o limită ca t -* to și această limită este egală cu zero: Funcția vectorială a argumentului scalar. Hodograf. Limita și continuitatea funcției vectoriale a argumentului scalar, sau, care este același, pentru orice e există 6 > 0 astfel încât pentru tot t Ф la îndeplinirea condiției, inegalitatea |a(t)| exemplu 1. Arătați că vectorul este un vector infinit stacojiu pentru t -* 0. Soluție. Avem unde este clar că dacă pentru orice e 0 luăm 6 = ~, atunci la -0| vom marca |. Conform definiției, aceasta înseamnă că a(t) este un vector infinit stacojiu ca t 0. 1> probleme pentru o soluție independentă a lui r. Arătați că limita modulului vectorului este egală cu modulul limitei sale dacă această din urmă limită există. . Demonstrați că pentru ca funcția vectorială r(*) să aibă limita A pentru to, este necesar și suficient ca r( să poată fi reprezentat sub forma t) să fie un vector la nesfârșit pentru t -* t0 14. Funcția vectorială a + b(*) este continuu pentru t = t0 Rezultă că vectorii a(t) și b(J) sunt de asemenea continui pentru t - până la 15. Demonstrați că dacă a( sunt funcții vectoriale continue, atunci lor produs scalar(a(*),b(f)) și produs vectorial|a(f),b(t)] sunt de asemenea continue.

și diferențierea acesteia.

Una dintre cele mai simple moduri de a defini o curbă de spațiu este definirea unei ecuații vectoriale:

Unde este vectorul rază al punctului curbei și - parametru care determină poziția punctului.

Acea. vector variabil este o funcție scalară . Astfel de funcții în analiza matematică sunt numite funcții vectoriale ale unui argument scalar.

în descompunere în termeni de vectori, ecuația (1) poate fi dată sub forma:

Această descompunere face posibilă trecerea la ecuația parametrică a curbei:

Cu alte cuvinte, specificarea unei funcții vectoriale este echivalentă cu specificarea a trei funcții scalare.

În ceea ce privește funcția vectorială (1) care definește curba dată, curba însăși se numește hodograful acestei funcții. Originea coordonatelor se numește în acest caz pol odograf.

Lasă acum
Și
- puncte ale curbei definite de ecuația (1). Și
, dar
Vectorii razei acestor puncte vor fi

Și
.

Vector
se numește increment al funcției vectoriale
corespunzător incrementului
argumentul său, și notat cu
,

funcție vectorială
va fi o funcție continuă , dacă

.

Pentru a găsi derivata lui
hai sa o facem asa -

.

Stabileste directia acum
. Este evident că coliniar cu
iar la
îndreptată în aceeași direcție ca
iar la
- în sens invers. Dar în primul caz
iar în al doilea
Acea. vector întotdeauna îndreptată de-a lungul secantei hodografului
în sus .

Dacă folosim expansiunea Și prin orts, atunci

De aici împărțind (*) la
și mergând la limită
pentru
primim

Pe baza (4), se poate demonstra că următoarele formule sunt valabile:

(5)

(6)

este o funcție scalară.

Dovada (7).

Acum examinăm câteva proprietăți
. În primul rând, să-i găsim modulul:

.

pentru că atunci considerăm că arcul hodograf este rectificabil
este lungimea coardei și
- lungimea arcului. De aceea

Acea. modulul derivatei funcției vectoriale a argumentului scalar este egal cu derivata arcului odograf față de același argument.

Corolarul 1. Dacă - vector unitar îndreptat tangenţial la hodograf în sensul creşterii , apoi

Corolarul 2. Dacă lungimea arcului odograf este luată ca argument al funcției vectoriale , apoi

(deoarece
)

Acea. derivata funcției vectoriale de-a lungul lungimii arcului hodografului este egală cu vectorul unitar al tangentei la hodograf, îndreptat în direcția de creștere a lungimii arcului.

Corolarul 3. Dacă hodograful unei funcții vectoriale este considerată ca o traiectorie a unui punct și - ca timp de mișcare, numărat de la unii , apoi
în mărime și direcție coincide cu vectorul viteză
.

Într-adevăr, valoarea scalară a vitezei este egală cu derivata traseului în raport cu timpul:

În plus, vectorul îndreptate tangenţial la traiectoria în direcţia de mişcare, care corespunde direcţiei de creştere , adică corespunde directiei .

Acea.
.

Luați în considerare acum
, a cărui lungime este constantă,
, adică

(*)
Unde

Diferențiând (*), găsim:

Acestea.

În special, vectorul derivat al oricărei variabile în direcția unității mereu
.

Lasă acum
unghiul dintre razele sferei unitare trasate la puncte
Și
odograf
. Apoi lungimea acordului
dintr-un triunghi
va fi egal cu

Modulul derivatei unui vector variabil unitar este egal cu viteza unghiulară de rotație a acestui vector.

În ceea ce privește funcțiile scalare, diferența unei funcții vectoriale se scrie ca

Dar chiar și atunci

Curbura unei curbe spațiale.

Triedrul însoțitor.

Conform Corolarul 2, pt se poate scrie formula:

Schimbare de direcție , asociat cu o modificare a tangentei la curba spațială, caracterizează curbura curbei. Pentru o măsură a curburii unei curbe spațiale, ca și pentru una plană, ei iau limita raportului dintre unghiul de adiacență și lungimea arcului, atunci când

curbură,
unghiul de vecinătate,
lungimea arcului.

Pe de altă parte,
vector unitar și vectorul său derivat perpendicular pe acesta și modulul său
diferenţierea pe și introducerea
vector unitar cu direcție , găsim:

Vector
vectorul de curbură al curbei spațiale. Direcția sa, perpendiculară pe direcția tangentei, este direcția normalei curbei spațiului. Dar o curbă spațială are în orice punct un set nenumărat de normale, toate acestea se află în planul care trece prin punctul dat al curbei și perpendiculare pe tangenta din punctul dat. Acest plan se numește planul normal al curbei spațiale.

Definiție. Normala curbei de-a lungul căreia este îndreptat vectorul de curbură al curbei într-un punct dat este normala principală a curbei spațiale. Acea.
vectorul unitar al normalei principale.

Să construim acum al treilea vector unitar egal cu produsul vectorial Și

Vector , ca de asemenea perpendicular acestea. se află în plan normal. Direcția sa se numește direcția binormalului curbei spațiului în punctul dat. Vector
Și alcătuiesc un triplu de vectori unitari reciproc perpendiculari, a căror direcție depinde de poziția punctului pe curba spațială și variază de la un punct la altul. Acești vectori formează așa-numitul. triedrul însoțitor (triedrul Frenet) al curbei spațiale. Vector
Și formează un triplu drept, la fel ca vectorii unitari
în sistemul de coordonate corect.

Luat în perechi
definiți trei plane care trec prin același punct de pe curbă și formează fețele triedrului însoțitor. în care Și determinați planul de contact (b.m. arcul curbei în vecinătatea unui punct dat este arcul unei curbe plane în planul contiguu, până la un b.m. de ordin superior);

Și - plan de îndreptare;

Și este planul normal.

Ecuații tangente, normale și binormale.

Ecuațiile planelor triedrului însoțitor.

știind
Și , sau orice vector neunitar coliniar cu ele T, NȘi B derivăm ecuațiile numite în această secțiune.

Pentru aceasta in ecuație canonică Drept

iar în ecuaţia planului care trece prin punctul dat

preia
coordonatele unui punct selectat pe curbă, dincolo
sau respectiv pentru
acceptă coordonatele celei ale vectorilor
sau
, care determină direcția dreptei dorite sau normală la planul dorit:

sau - pentru un plan tangent sau normal,

sau - pentru planul normal principal și de redresare,

sau - pentru binormalul si planul contiguu.

Dacă curba este dată de ecuația vectorială
sau
apoi pentru vector
se poate lua direcția tangentă

Pentru găsire
Și hai să găsim mai întâi expansiunea
prin vectori
Mai devreme (corolarul 1) am constatat că
Diferențierea cu privire la , primim:

Dar, pentru că

Înmulțiți acum vectorul Și

(*)

Pe baza (*) pe vector , care are direcția binormalului, putem lua vectorul

Dar apoi, pentru
puteți lua produsul vectorial al acestora din urmă:

Acea. în orice punct al unei curbe arbitrare, putem determina toate elementele triedrului însoțitor.

Exemplu. Ecuația tangentei, normale și binormale la helixul drept în orice punct.

Tangentă

principalul normal

Binormal

Descărcați din Depositfiles

GEOMETRIE DIFERENȚIALĂ

eu. FUNCȚIA VECTORALĂ A ARGUMENTULUI SCALAR

Vector-funcție (definiția 1.1), modalități de definire a acesteia.

Vector rază și hodograf, definiție parametrică a hodografului.

Derivată a unei funcții vectoriale (Definiția 1.6).

Semnificația geometrică a derivatei unei funcții vectoriale.

Reguli de diferențiere a funcțiilor vectoriale.

1.1. DEFINIȚIA UNEI FUNCȚII VECTORALE

Definiție 1.1Dacă fiecare valoare a argumentului scalarvector aliniat
spatiu tridimensional R3 , atunci spunem că funcția vectorială (sau funcția vectorială) a argumentului scalar este dată pe mulțimea Xt .

Dacă în spațiu R3 dat sistemul cartezian coordonateDESPRE xyz , atunci sarcina este vector - funcții
,
este echivalent cu specificarea a trei funcții scalareX( t ), y ( t ), z ( t ) – coordonatele vectorului:

= { X ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

sau , (1.2)

Unde
sunt vectorii de coordonate.

1.2. O LINIE SPAȚIALĂ CA HODOGRAFĂ A UNUI VECTOR-RAZĂ

Definiție 1.2 Dacă începutul tuturor vectorilor,plasate la origine, se numesc vectori cu raza.

Definiție 1.3 Linia, care este locul capetelor vectorilor cu rază , , se numește hodograful funcției vectoriale , iar începutul lor comun se numește pol odograf.

Dacă parametrul t este timpul și este vectorul rază al punctului în mișcare, atunci hodograful funcției este traiectoria punctului în mișcare.

Ecuația hodografă poate fi scrisă sub formă vectorială (1.2) sau sub formă parametrică:

(1.3)

În special, dacă funcția vectorialăcu o schimbare a argumentului, doar modulul acestuia se schimbă, iar direcția nu se schimbă (), atunci hodograful unei astfel de funcție vectorială va fi o rază rectilinie care emană de la origine; dacă doar direcția vectorului se schimbă și modulul său rămâne neschimbat (
), atunci hodograful funcției vectoriale va fi o curbă situată pe o sferă cu un centru la pol și o rază egală cu modulul constant al vectorului.

Poza 1.

1.3. LIMITĂ, CONTINUITATE ȘI DERIVAT AL VECTORULUI-FUNȚIE

Definiția 1. 4 Vector se numește limita funcției vectorialela
, dacă

. (1.4)

Definiția 1.5 Funcția vectorială este numită continuu la un punctt 0, dacă are o limită în acest punct egală cu valoarea funcției vectoriale în acest punct:

. (1.5)

Definiția 1.6Funcția vectorială derivată la punct t se numește limita raportului dintre incrementul funcției vectoriale și incrementul argumentului
la
:

(1.6)

1.4. SEMNIFICAȚIA GEOMETRICĂ ȘI MECANICĂ A FUNȚII-VECTOR-FUNȚII DERIVATE PRIMA

Sensul geometric al primei derivate a funcției vectoriale a argumentului scalar este că această derivată este un vector nou direcționat tangențial la hodograf:
. Să o arătăm.

Figura 2

Vom presupune că hodograful funcției vectoriale considerate este o linie continuă care are o tangentă în oricare dintre punctele sale.

Să dăm un argument t increment, apoi geometric raportul
este un vector
culcat pe secanta MM'. Cu acest vector se rotește și se transformă într-un vector
, culcat pe o tangentă și îndreptat în direcția creșteriit . Deci vectorul

(1.7)

va fi vectorul unitar al tangentei, orientat în direcția creșterii parametruluit .

Prin urmare, vectorul
poate fi luat ca vector de direcție al tangentei la curbă în punctul ), (sau
) și scrieți ecuația tangentei după cum urmează:

(1.8)

Dacă t – timp și este vectorul rază al punctului
mutandu-se in spatiu tridimensional, apoi desprese numește relație viteza medie puncte de pe segment [t; t+t].

simțul mecanicprima derivată a funcției vectoriale este că această derivată este viteza punctului M în momentul de fațăt :

Reguli de diferențiere a funcțiilor vectoriale

Demonstrăm regula 1 folosind regulile pentru scăderea vectorilor și împărțirea unui vector la un număr:

Dovada celorlalte reguli se bazează pe regula 1 și pe regulile operațiilor cu vectori.

Exemplul 1.1: Având în vedere o funcție vectorială .Construiți hodograful său și formulați ecuația sa tangentă într-un punct arbitrar.

Soluţie. Pentru orice punct ( X , y , z ) vector hodograf - funcții avem:X = cost ; y = asint ; z = bt și deci, pentru orice
egalitateX 2 + y 2 = A 2 , iar generatoarea este paralelă cu axa Oz. Dacă parametrul t interpretat ca timp, apoi cu mișcare uniformă în jurul circumferinței proiecției capătului vectorului rază pe planOxy proiecția sa pe axăOz se va mișca uniform și în linie dreaptă cu o vitezăb . Cu alte cuvinte, aplicarea punctului hodograf al funcției vectoriale crește proporțional cu unghiul de rotație al proiecției sale pe plan.Oxy . Prin urmare, hodograful dorit va avea forma prezentată în fig. 3 și se numește helix. Pentru a găsi tangentele la hodograf (helix), găsim derivata funcției vectoriale.

Soluţie. În măsura în care, apoi și