Dependență liniarăși independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În public există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar astăzi fiecare vizitator va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va acoperi două secțiuni simultan. matematica superioarași vom vedea cum se înțeleg într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă Twix! ... la naiba, ei bine, argumentând prostii. Deși bine, nu voi înscrie, în final, ar trebui să existe o atitudine pozitivă de a studia.

Dependența liniară a vectorilor, independența liniară a vectorilor, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo pe care tocmai am fost la Gismeteo pentru: - temperatura si Presiunea atmosferică respectiv. Exemplul este desigur incorect în ceea ce privește proprietățile spațiu vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) sunt aplicabili tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar exemplele vor fi date geometric. Astfel, totul este simplu, accesibil și vizual. Dincolo de sarcini geometrie analitică vom lua în considerare câteva sarcini tipice algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Luați în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, blatul mesei are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv clar că sunt necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Pe baza alese setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor elementelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător al mâinii stângi pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic al mâinii drepte pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce se poate spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în lecție. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul mesei computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, în timp ce un avion are o lungime și o lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile, expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, cu excepția 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar nu sunt dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este primită. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „oblică” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale extins din punct de vedere al bazei:
, unde sunt numerele reale . Se numesc numere coordonate vectorialeîn această bază.

Ei spun si asta vectorprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăbază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, puteți spune că un vector este extins pe o bază ortonormală a planului sau puteți spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definiția de bază oficial: pe bază de avion este o pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice vectorul plan este o combinație liniară a vectorilor de bază.

Punctul esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. bazele Acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, degetul mic al mâinii stângi nu poate fi mutat în locul degetului mic al mâinii drepte.

Ne-am dat seama de bază, dar nu este suficient să setați grila de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe întregul plan. Deci, cum atribui coordonatele acelor puncte mici murdare de tabel rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de punct de referință este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Înțelegerea sistemului de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva dintre diferențele dintre un sistem de coordonate dreptunghiular și o bază ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbim despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea ele înseamnă originea coordonatelor, axele de coordonateși scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” în motorul de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să trasați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se are impresia că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi bine definit în termeni de bază ortonormală. Și aproape că este. Formularea sună astfel:

origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al planului . Adică un sistem de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea, vedeți desenul pe care l-am dat mai sus - în probleme geometrice adesea (dar nu întotdeauna) desenați atât vectori, cât și axele de coordonate.

Cred că toată lumea înțelege asta cu ajutorul unui punct (origine) și a unei baze ortonormale ORICE PUNCT al planului și ORICE VECTOR al planului pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul din avion poate fi numerotat”.

Vectorii de coordonate trebuie să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori definește grila de coordonate, iar orice punct al planului, orice vector are propriile coordonate în baza dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unu, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, și, de asemenea, mai jos în baze afine sunt luate în considerare unitățile plane și spațiale de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul abscisei conține 4 cm, o unitate de-a lungul ordonatei conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”, dacă este necesar.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns - este unghiul dintre vectorii de bază în mod necesar egal cu 90 de grade? Nu! După cum spune definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistemul de coordonate afín al planului :

Uneori se numește acest sistem de coordonate oblic sistem. Punctele și vectorii sunt prezentate ca exemple în desen:

După cum înțelegeți sistem afin coordonatele este și mai puțin convenabilă, formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, pe care le-am considerat în a doua parte a lecției, nu funcționează în ea Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în acest sens, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz particular al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. Prin urmare, ea, a ei, cel mai adesea trebuie văzută. ... Cu toate acestea, totul în această viață este relativ - există multe situații în care este potrivit să aveți un oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Da, și umanoizii astfel de sisteme pot veni la gust =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru un sistem de coordonate dreptunghiular, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este disponibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani sunt coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor respective să fie proporționale.În esență, aceasta este o rafinare coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Aflați dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să întocmești imediat o proporție și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută și invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotestare, se poate folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, există egalități . Corectitudinea lor poate fi ușor verificată prin actiuni elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă, sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Ieșire: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Compuneți proporția din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, prin urmare, acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, recenzenții nu resping această opțiune, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Asa: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să rezolvi proporția aici? (Serios, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru decizie independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a vectorilor parametri va fi coliniar?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm doar ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani, următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este egal cu zero.

Sper foarte, foarte mult că în acest moment înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile care au apărut.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a utiliza această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Vom decide Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor :
, deci acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul compus din coordonatele vectorilor :
, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Pare mult mai compact și mai frumos decât soluția cu proporții.

Cu ajutorul materialului considerat, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și să se demonstreze paralelismul segmentelor, liniilor drepte. Luați în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să construiți un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Amintiți-vă definiția paralelogramului:
Paralelogram Se numește patrulater, în care laturile opuse sunt paralele pe perechi.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și .

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („conform școlii” - vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să iei decizia corect, cu aranjamentul. Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:
, deci acești vectori sunt coliniari și .

Ieșire: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele pe perechi, deci este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că patrulaterul este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient doar să vă amintiți cum arată.

Aceasta este o sarcină pentru o decizie independentă. Soluție completă la sfarsitul lectiei.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale cu.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

dar) ;
b)
în)

Soluţie:
a) Verificați dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se face prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali și printr-un determinant de ordinul trei, Pe aici tratate în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor și liniilor spațiale.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor spațiali tridimensionali.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre regularitățile pe care le-am luat în considerare în avion vor fi valabile și pentru spațiu. Am încercat să minimizez rezumatul teoriei, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul mesei computerului, să examinăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, trei vector spațial. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să vă întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu trebuie să le demonstrați profesorilor acest lucru, indiferent cum vă răsuciți degetele, dar nu puteți scăpa de definiții =)

În continuare, punem o întrebare importantă, dacă oricare trei vectori formează o bază a unui spațiu tridimensional? Vă rugăm să apăsați cu trei degete ferm pe blatul mesei computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre măsurători - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, destul de evident, că baza spațiului tridimensional nu este creată.

De remarcat că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali a ieșit așa =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele. Aici este logic să adăugăm că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, imaginați-vă din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu sunt în niciun fel exprimate unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza unui spațiu tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, în timp ce orice vector al spațiului singura cale se extinde în baza dată, unde sunt coordonatele vectorului în baza dată

Ca reamintire, puteți spune, de asemenea, că un vector este reprezentat ca combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru carcasă plată, un punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite să categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar cu planul, în sistemul de coordonate afine al spațiului, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, după cum toată lumea poate ghici, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

punct din spațiu numit origine, Și ortonormal set de bază Sistemul de coordonate carteziene al spațiului . poza familiara:

Înainte de a trece la sarcinile practice, sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali, următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Afirmațiile opuse, cred, sunt de înțeles.

Dependența liniară/independența vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind determinantul (articolul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să atârnați un băț geometric pe un cui și să mânuiți o bâtă de baseball algebră liniară:

Trei vectori spațiali sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba de aici - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate sunt deloc prost orientați, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza unui spațiu tridimensional:

Soluţie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor (determinantul este extins pe prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza unui spațiu tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează baza

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:

În esență, este necesar să se rezolve o ecuație cu un determinant. Zburăm în zerouri ca zmeele în jerboas - cel mai profitabil este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cel mai simplu ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru aceasta trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul inițial și să vă asigurați că prin redeschiderea acestuia.

În concluzie, să luăm în considerare o altă problemă tipică, care este mai mult de natură algebrică și este inclusă în mod tradițional în cursul algebrei liniare. Este atât de comun încât merită un subiect separat:

Demonstrați că 3 vectori formează baza unui spațiu tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în baza dată

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază a spațiului tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: Să ne ocupăm mai întâi de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este baza - nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și primul pas este exact același cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt într-adevăr independenți liniar:

Calculați determinantul, compus din coordonatele vectorilor:

, prin urmare vectorii sunt independenți liniar și formează o bază a unui spațiu tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale neapărat scrie în coloane determinant, nu șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.

Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există astfel de numere , printre care cel puțin unul este diferit de zero, că egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Dacă această egalitate este valabilă numai dacă toți , atunci sistemul de vectori este numit liniar independent.

Teorema. Sistemul de vectori va dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți.

Exemplul 1 Polinom este o combinație liniară de polinoame https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinoamele constituie un sistem liniar independent, deoarece https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exemplul 2 Sistemul matricial , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> este liniar independent, deoarece combinația liniară este egală cu matrice zero numai atunci când https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> dependent liniar.

Soluţie.

Să compunem combinație liniară date vectoriale https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22"> .

Echivalând coordonatele cu același nume ale vectorilor egali, obținem https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

În sfârșit, obținem

Și

Sistemul are o soluție trivială unică, astfel încât combinația liniară a acestor vectori este zero numai dacă toți coeficienții sunt zero. De aceea acest sistem vectori este liniar independent.

Exemplul 4 Vectorii sunt liniar independenți. Care vor fi sistemele de vectori

A).;

b).?

Soluţie.

A). Compuneți o combinație liniară și egalați-o cu zero

Folosind proprietățile operațiilor vectoriale în spațiu liniar, rescriem ultima egalitate în formă

Deoarece vectorii sunt independenți liniar, coeficienții pentru trebuie să fie egali cu zero, adică gif" width="12" height="23 src=">

Sistemul de ecuații rezultat are o soluție trivială unică .

De la egalitate (*) executat doar la https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – liniar independent;

b). Compuneți egalitatea https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplicând un raționament similar, obținem

Rezolvând sistemul de ecuații prin metoda Gauss, obținem

sau

Ultimul sistem are un număr infinit de soluții https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Astfel, există o non- set zero de coeficienți pentru care egalitatea (**) . Prin urmare, sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplul 5 Sistemul vectorial este liniar independent, iar sistemul vectorial este dependent liniar..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

În egalitate (***) . Într-adevăr, pentru , sistemul ar fi dependent liniar.

Din relatie (***) primim sau Denota .

obține

Sarcini pentru rezolvare independentă (în sala de clasă)

1. Un sistem care conține un vector zero este dependent liniar.

2. Sistem vectorial unic dar, este dependent liniar dacă și numai dacă, a=0.

3. Un sistem format din doi vectori este dependent liniar dacă și numai dacă vectorii sunt proporționali (adică unul dintre ei se obține din celălalt prin înmulțirea cu un număr).

4. Dacă un vector este adăugat la un sistem liniar dependent, atunci se obține un sistem liniar dependent.

5. Dacă un vector este îndepărtat dintr-un sistem liniar independent, atunci sistemul de vectori rezultat este liniar independent.

6. Dacă sistemul S liniar independent, dar devine liniar dependent atunci când se adaugă un vector b, apoi vectorul b exprimată liniar în termeni de vectori ai sistemului S.

c). Sistemul de matrice , , în spațiul matricelor de ordinul doi.

10. Fie sistemul de vectori A,b,c spațiul vectorial este liniar independent. Dovedi independență liniară următoarele sisteme de vectori:

A).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– număr arbitrar

c).a+b, a+c, b+c.

11. Lasa A,b,c sunt trei vectori în plan care pot fi folosiți pentru a forma un triunghi. Vor fi acești vectori dependenți liniar?

12. Dați doi vectori a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Mai ridicați doi vectori 4D a3 șia4 astfel încât sistemul a1,a2,a3,a4 a fost liniar independent .

Sarcina 1. Aflați dacă sistemul de vectori este liniar independent. Sistemul de vectori va fi definit de matricea sistemului, ale cărei coloane constau din coordonatele vectorilor.

.

Soluţie. Lasă combinația liniară este egal cu zero. După ce am scris această egalitate în coordonate, obținem următorul sistem de ecuații:

.

Un astfel de sistem de ecuații se numește triunghiular. Ea are singura soluție. . De aici vectorii sunt liniar independente.

Sarcina 2. Aflați dacă sistemul de vectori este liniar independent.

.

Soluţie. Vectori sunt liniar independente (vezi problema 1). Să demonstrăm că vectorul este o combinație liniară de vectori . Coeficienții de expansiune vectorială sunt determinate din sistemul de ecuații

.

Acest sistem, ca și unul triunghiular, are o soluție unică.

Prin urmare, sistemul de vectori dependent liniar.

cometariu. Sunt numite matrici precum în problema 1 triunghiular , iar în problema 2 – triunghiular treptat . Problema dependenței liniare a unui sistem de vectori este ușor de rezolvat dacă matricea compusă din coordonatele acestor vectori este triunghiulară în trepte. Dacă matricea nu are o formă specială, atunci folosind transformări elementare de șiruri , păstrând relațiile liniare între stâlpi, poate fi redusă la o formă triunghiulară în trepte.

Transformări elementare linii matricele (EPS) se numesc următoarele operații pe matrice:

1) permutarea liniilor;

2) înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

3) adăugarea la șir a unui alt șir, înmulțit cu un număr arbitrar.

Sarcina 3. Găsiți subsistemul maxim liniar independent și calculați rangul sistemului de vectori

.

Soluţie. Să reducem matricea sistemului cu ajutorul EPS la o formă triunghiulară în trepte. Pentru a explica procedura, linia cu numărul matricei de transformat va fi notată cu simbolul . Coloana de după săgeată arată acțiunile care trebuie efectuate pe rândurile matricei convertite pentru a obține rândurile noii matrice.

.

Evident, primele două coloane ale matricei rezultate sunt liniar independente, a treia coloană este combinația lor liniară, iar a patra nu depinde de primele două. Vectori sunt numite de bază. Ele formează subsistemul maxim liniar independent al sistemului , iar rangul sistemului este trei.

Baza, coordonatele

Sarcina 4. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea de vectori geometrici ale căror coordonate îndeplinesc condiția .

Soluţie. Mulțimea este un plan care trece prin origine. O bază arbitrară pe plan constă din doi vectori necoliniari. Coordonatele vectorilor din baza selectată sunt determinate prin rezolvarea sistemului corespunzător de ecuații liniare.

Există o altă modalitate de a rezolva această problemă, când puteți găsi baza după coordonate.

Coordonatele spațiile nu sunt coordonate pe plan, deoarece sunt legate prin relație , adică nu sunt independenți. Variabilele independente și (se numesc libere) determină în mod unic vectorul pe plan și, prin urmare, pot fi alese ca coordonate în . Apoi baza constă din vectori aflați în și corespunzători unor seturi de variabile libere Și , adică

Sarcina 5. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea tuturor vectorilor din spațiu, ale căror coordonate impare sunt egale între ele.

Soluţie. Alegem, ca și în problema anterioară, coordonatele în spațiu.

pentru că , apoi variabilele libere definiți în mod unic un vector din și, prin urmare, sunt coordonate. Baza corespunzătoare este formată din vectori.

Sarcina 6. Găsiți baza și coordonatele vectorilor din această bază pe mulțimea tuturor matricelor de formă , Unde sunt numere arbitrare.

Soluţie. Fiecare matrice din poate fi reprezentată în mod unic ca:

Această relație este expansiunea vectorului din punct de vedere al bazei
cu coordonate .

Sarcina 7. Găsiți dimensiunea și baza înveliș liniar sisteme vectoriale

.

Soluţie. Folosind EPS, transformăm matricea din coordonatele vectorilor sistemului într-o formă triunghiulară în trepte.

.

coloane din ultima matrice sunt liniar independente, iar coloanele sunt exprimate liniar prin ele. De aici vectorii formează baza , Și .

cometariu. Baza in ales ambiguu. De exemplu, vectori formează și baza .

Definiția 1. O combinație liniară de vectori este suma produselor acestor vectori și scalari
:

Definiția 2. Sistem vectorial
se numește sistem liniar dependent dacă combinația liniară a acestora (2.8) dispare:

iar printre numere
există cel puțin unul altul decât zero.

Definiția 3. Vectori
sunt numite liniar independente dacă combinația lor liniară (2.8) dispare numai dacă toate sunt numere.

Din aceste definiții se pot obține următoarele corolare.

Corolarul 1. Într-un sistem de vectori dependent liniar, cel puțin un vector poate fi exprimat ca o combinație liniară a celorlalți.

Dovada. Fie (2.9) să se mențină și să fie, pentru certitudine, coeficientul
. Avem atunci:
. Rețineți că și invers este adevărat.

Consecința 2. Dacă sistemul de vectori
conține un vector zero, atunci acest sistem este (neapărat) dependent liniar - demonstrația este evidentă.

Corolarul 3. Dacă printre n vectori
orice k(
) de vectori sunt liniar dependenți, atunci toți n vectorii sunt dependenți liniar (omitem demonstrația).

2 0 . Combinații liniare de doi, trei și patru vectori. Să luăm în considerare întrebările de dependență liniară și independență a vectorilor pe o dreaptă, un plan și în spațiu. Să prezentăm teoremele corespunzătoare.

Teorema 1. Pentru ca doi vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coliniari.

Nevoie. Lasă vectorii Și dependent liniar. Aceasta înseamnă că combinația lor liniară
=0 și (de dragul certitudinii)
. Aceasta presupune egalitatea
, și (prin definiția înmulțirii unui vector cu un număr) vectorii Și coliniare.

Adecvarea. Lasă vectorii Și coliniar ( ║) (presupunem că sunt diferite de vectorul zero; în caz contrar, dependența lor liniară este evidentă).

Prin Teorema (2.7) (vezi §2.1, itemul 2 0) atunci
astfel încât
, sau
– combinația liniară este egală cu zero, iar coeficientul la este egal cu 1 – vectori Și dependent liniar.

Următorul corolar decurge din această teoremă.

Consecinţă. Dacă vectorii Și nu sunt coliniare, atunci sunt liniar independente.

Teorema 2. Pentru ca trei vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari.

Nevoie. Lasă vectorii ,Și dependent liniar. Să arătăm că sunt coplanari.

Definiția dependenței liniare a vectorilor implică existența numerelor
Și astfel încât combinația liniară
, și în același timp (pentru certitudine)
. Apoi din această egalitate putem exprima vectorul :=
, adică vectorul egală cu diagonala paralelogramului construit pe vectorii din dreapta acestei egalităţi (Fig. 2.6). Aceasta înseamnă că vectorii ,Și se află în același plan.

Adecvarea. Lasă vectorii ,Și coplanare. Să arătăm că sunt dependente liniar.

Să excludem cazul de coliniaritate a oricărei perechi de vectori (deoarece atunci această pereche este dependentă liniar și după Corolarul 3 (vezi itemul 1 0) toți cei trei vectori sunt dependenți liniar). Rețineți că o astfel de presupunere exclude și existența unui vector zero printre cei trei indicați.

Transferăm trei vectori coplanari într-un singur plan și îi aducem la o origine comună. Până la sfârșitul vectorului trage linii paralele cu vectorii Și ; obţinem vectorii Și (Fig. 2.7) - existenţa lor este asigurată de faptul că vectorii Și vectori care nu sunt coliniari prin presupunere. Rezultă că vectorul =+. Rescrierea acestei egalități ca (–1) ++=0, concluzionăm că vectorii ,Și dependent liniar.

Din teorema demonstrată decurg două corolare.

Corolarul 1. Lasa Și vectori necoliniari, vector – arbitrar, situat în planul definit de vectori Și , vector. Apoi sunt numerele Și astfel încât

=+. (2.10)

Consecința 2. Dacă vectorii ,Și nu sunt coplanare, atunci sunt liniar independente.

Teorema 3. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

Omitem dovada; cu unele modificări, copiază demonstrația teoremei 2. Să prezentăm un corolar al acestei teoreme.

Consecinţă. Pentru orice vectori necoplanari ,,și orice vector
Și astfel încât

. (2.11)

cometariu. Pentru vectorii dintr-un spațiu (tridimensional), conceptele de dependență liniară și independență au, după cum reiese din teoremele 1-3 de mai sus, o semnificație geometrică simplă.

Să fie doi vectori dependenți liniar Și . În acest caz, una dintre ele este o combinație liniară a celei de-a doua, adică pur și simplu diferă de ea printr-un factor numeric (de exemplu,
). Geometric, aceasta înseamnă că ambii vectori sunt pe o linie comună; pot avea direcții identice sau opuse (Fig. 2.8 xx).

Dacă doi vectori sunt amplasați într-un unghi unul față de celălalt (Fig. 2.9 xx), atunci în acest caz unul dintre ei nu poate fi obținut prin înmulțirea celuilalt cu un număr - astfel de vectori sunt independenți liniar. Prin urmare, independența liniară a doi vectori Și înseamnă că acești vectori nu pot fi așezați pe aceeași linie dreaptă.

Să aflăm semnificația geometrică a dependenței și independenței liniare a trei vectori.

Lasă vectorii ,Și sunt dependente liniar și fie (pentru certitudine) vectorul este o combinație liniară de vectori Și , adică situat în planul care conține vectorii Și . Aceasta înseamnă că vectorii ,Și se află în același plan. Este adevărată și afirmația inversă: dacă vectorii ,Și se află în același plan, atunci sunt dependente liniar.

Deci vectorii ,Și sunt liniar independente dacă și numai dacă nu se află în același plan.

3 0 . Conceptul de bază. Unul dintre cele mai importante concepte ale algebrei liniare și vectoriale este conceptul de bază. Introducem definiții.

Definiția 1. O pereche de vectori se numește ordonată dacă se specifică care vector din această pereche este considerat primul și care este al doilea.

Definiția 2. Pereche comandată ,a vectorilor necoliniari se numește bază pe planul definit de vectorii dați.

Teorema 1. Orice vector pe plan poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului de bază de vectori ,:

(2.12)

iar această reprezentare este unică.

Dovada. Lasă vectorii Și formează o bază. Apoi orice vector poate fi reprezentat ca
.

Pentru a demonstra unicitatea, să presupunem că mai există o descompunere
. Avem atunci =0 și cel puțin una dintre diferențe este diferită de zero. Acesta din urmă înseamnă că vectorii Și liniar dependent, adică coliniar; aceasta contrazice afirmația conform căreia acestea formează o bază.

Dar apoi descompunerea este unică.

Definiția 3. Un triplu de vectori se numește ordonat dacă se indică care vector este considerat primul, care este al doilea și care este al treilea.

Definiția 4. Un triplu ordonat de vectori necoplanari se numește bază în spațiu.

Teorema de descompunere și unicitate este valabilă și aici.

Teorema 2. Orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului vectorial de bază ,,:

(2.13)

iar această reprezentare este unică (omitem demonstrarea teoremei).

În expansiunile (2.12) și (2.13), cantitățile se numesc coordonatele vectorului într-o bază dată (mai precis, în coordonate afine).

Pentru o bază fixă
Și
poti sa scrii
.

De exemplu, dacă se oferă o bază
și având în vedere că
, atunci aceasta înseamnă că există o reprezentare (descompunere)
.

4 0 . Operații liniare pe vectori sub formă de coordonate. Introducerea unei baze permite înlocuirea operațiilor liniare pe vectori cu operații liniare obișnuite pe numere - coordonatele acestor vectori.

Să se dea o bază
. Evident, stabilirea coordonatelor vectorului pe această bază determină complet vectorul în sine. Există următoarele propoziții:

a) doi vectori
Și
sunt egale dacă și numai dacă coordonatele lor respective sunt egale:

b) la înmulțirea unui vector
pe număr coordonatele sale sunt înmulțite cu acest număr:

; (2.15)

c) la adăugarea vectorilor se adaugă coordonatele lor respective:

Omitem dovezile acestor proprietăți; Să demonstrăm proprietatea b) doar ca exemplu. Avem

==

cometariu. În spațiu (în plan) se pot alege infinit de baze.

Dăm un exemplu de trecere de la o bază la alta, stabilim relația dintre coordonatele vectorului în diferite baze.

Exemplul 1. În sistemul de bază
sunt dați trei vectori:
,
Și
. în bază ,,vector are o descompunere. Găsiți coordonatele vectoriale în bază
.

Soluţie. Avem extinderi:
,
,
; Prin urmare,
=
+2
+
= =
, adică
în bază
.

Exemplul 2. Lasă o bază
patru vectori sunt dați de coordonatele lor:
,
,
Și
.

Aflați dacă vectorii se formează
bază; în cazul unui răspuns pozitiv, găsiți descompunerea vectorului în această bază.

Soluţie. 1) vectorii formează o bază dacă sunt independenți liniar. Compuneți o combinație liniară de vectori
(
) și află pentru ce
Și dispare:
=0. Avem:

=
+
+
=

Prin definirea egalității vectorilor în formă de coordonate, obținem următorul sistem de ecuații (algebrice liniare omogene):
;
;
, al cărui determinant
=1
, adică sistemul are (singura) soluție banală
. Aceasta înseamnă că vectorii sunt independenți liniar
și, prin urmare, formează o bază.

2) extinde vectorul în această bază. Avem: =
sau sub formă de coordonate.

Trecând la egalitatea vectorilor în formă de coordonate, obținem un sistem de ecuații algebrice liniare neomogene:
;
;
. Rezolvând-o (de exemplu, conform regulii lui Cramer), obținem:
,
,
Și (
)
. Avem o descompunere vectorială în bază
:=.

5 0 . Proiecția unui vector pe o axă. Proprietăți de proiecție. Să fie o axă l, adică o linie dreaptă cu o direcție aleasă pe ea și să fie dat un vector .Definiţi conceptul de proiecţie a unui vector pe axă l.

Definiție. Proiecție vectorială pe axă l se numește produsul dintre modulul acestui vector și cosinusul unghiului dintre axe lși vector (Fig.2.10):

. (2.17)

O consecință a acestei definiții este afirmația că vectorii egali au proiecții egale (pe aceeași axă).

Observați proprietățile proiecțiilor.

1) proiecția sumei vectorilor pe o axă l este egală cu suma proiecțiilor termenilor vectorilor de pe aceeași axă:

2) proiecția produsului dintre un scalar și un vector este egală cu produsul acestui scalar și proiecția vectorului pe aceeași axă:

=
. (2.19)

Consecinţă. Proiecția unei combinații liniare de vectori pe axă este egală cu combinația liniară a proiecțiilor lor:

Omitem dovezile proprietăților.

6 0 . Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu.Descompunerea unui vector în vectori unitari ai axelor. Să fie aleși ca bază trei vectori unitari reciproc perpendiculari; introducem notație specială pentru ei
. Prin plasarea lor începe la punct O, direct de-a lungul lor (conform vectorilor unitari
) axele de coordonate Bou,Oiși O z(o axă cu o direcție pozitivă selectată pe ea, un punct de referință și o unitate de lungime se numește axă de coordonate).

Definiție. Un sistem ordonat de trei axe de coordonate reciproc perpendiculare cu o origine comună și o unitate de lungime comună se numește sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în spațiu.

Axă Bou numită axa x, Oi- axa y și O z – axa aplicatiei.

Să ne ocupăm de expansiunea unui vector arbitrar din punct de vedere al bazei
. Din teoremă (vezi §2.2, itemul 3 0 , (2.13)) rezultă că
poate fi extins în mod unic în bază
(aici în loc să desemnăm coordonatele
utilizare
):

. (2.21)

În (2,21)
sunt coordonatele (dreptunghiulare carteziane) ale vectorului . Sens coordonate carteziene stabilește următoarea teoremă.

Teorema. coordonate carteziene
vector sunt proiecțiile acestui vector, respectiv, pe axe Bou,Oiși O z.

Dovada. Să plasăm vectorul la originea sistemului de coordonate - un punct O. Atunci sfârșitul său va coincide cu un anumit punct
.

Să trecem prin punct
trei plane paralele cu planurile de coordonate Oyz,OxzȘi Oxy(Fig. 2.11 xx). Primim atunci:

. (2.22)

În (2.22) vectorii
Și
se numesc componente ale vectorului
de-a lungul axelor Bou,Oiși O z.

Lasă să treacă
Și sunt indicate respectiv unghiurile formate de vector cu orte
. Apoi pentru componente obținem următoarele formule:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Din (2.21), (2.22) (2.23) găsim:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- coordonatele
vector există proiecții ale acestui vector pe axele de coordonate Bou,Oiși O z respectiv.

cometariu. Numerele
se numesc cosinusuri de direcție ale vectorului .

Modulul vectorial (diagonala unui paralelipiped dreptunghic) se calculează prin formula:

. (2.24)

Din formulele (2.23) și (2.24) rezultă că cosinusurile direcției pot fi calculate folosind formulele:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Ridicând ambele părți ale fiecăreia dintre egalitățile din (2.25) și adăugând termen cu termen părțile din stânga și din dreapta ale egalităților rezultate, ajungem la formula:

- nu oricare trei unghiuri formează o anumită direcție în spațiu, ci doar acelea ale căror cosinusuri sunt legate prin relație (2.26).

7 0 . Coordonatele vectoriale și punctului de rază.Determinarea unui vector prin începutul și sfârșitul său. Să introducem o definiție.

Definiție. Vectorul rază (notat ) se numește vectorul care leagă originea O cu acest punct (Fig. 2.12 xx):

. (2.27)

Orice punct din spațiu corespunde unui anumit vector cu rază (și invers). Astfel, punctele din spațiu sunt reprezentate în algebra vectorială prin vectorii lor cu rază.

Evident coordonatele
puncte M sunt proiecții ale vectorului său de rază
pe axele de coordonate:

(2.28’)

și, astfel,

(2.28)

– vectorul rază al unui punct este un vector ale cărui proiecții pe axele de coordonate sunt egale cu coordonatele acestui punct. Din aceasta decurg două intrări:
Și
.

Obținerea de formule pentru calcularea proiecțiilor vectoriale
prin coordonatele începutului său – punctul
și punctul final
.

Desenați vectorii cu rază
și vector
(fig.2.13). Înțelegem asta

=
=(2.29)

– proiecțiile vectorului pe vectorii de coordonate sunt egale cu diferențele coordonatelor corespunzătoare ale capătului și începutului vectorului.

8 0 . Câteva probleme privind coordonatele carteziene.

1) condiții de coliniaritate vectorială . Din teoremă (vezi §2.1, itemul 2 0 , formula (2.7)) rezultă că pentru colinaritatea vectorilor Și necesar și suficient pentru ca următoarea relație să fie menținută: =. Din această egalitate vectorială obținem trei egalități în forma de coordonate:, din care rezultă condiția de colinaritate a vectorilor în forma de coordonate:

(2.30)

– pentru vectori coliniari Și este necesar şi suficient ca coordonatele lor respective să fie proporţionale.

2) distanta dintre puncte . Din reprezentarea (2.29) rezultă că distanţa
între puncte
Și
este determinat de formula

=
=. (2.31)

3) împărțire în acest respect . Să se acorde puncte
Și
si atitudine
. Trebuie să găsești
- coordonatele punctului M (fig.2.14).

Din condiția vectorilor coliniari avem:
, Unde
Și

. (2.32)

Din (2.32) obținem sub forma de coordonate:

Din formulele (2.32') se pot obţine formule pentru calcularea coordonatelor mijlocului segmentului
, presupunând
:

cometariu. Să numărăm segmentele
Și
pozitiv sau negativ, în funcție de dacă direcția lor coincide cu direcția de la origine
tăiat până la capăt
, sau nu se potrivește. Apoi, folosind formulele (2.32) - (2.32"), puteți găsi coordonatele punctului care împarte segmentul
extern, adică astfel încât punctul de despărțire M este pe extensie
, nu în interiorul ei. În același timp, desigur,
.

4) ecuația suprafeței sferice . Să compunem ecuația unei suprafețe sferice - locul punctelor
, echidistant față de o distanță dintr-un centru fix - un punct
. Evident, în acest caz
și luând în considerare formula (2.31)

Ecuația (2.33) este ecuația suprafeței sferice dorite.

Introdus de noi operații liniare pe vectori fac posibilă crearea diferitelor expresii pentru cantități vectorialeși transformați-le folosind proprietățile setate pentru aceste operații.

Pe baza unui set dat de vectori a 1 , ... și n , puteți compune o expresie de forma

unde a 1 , ... și n sunt numere reale arbitrare. Această expresie se numește combinație liniară de vectori a 1 , ..., a n . Numerele α i , i = 1, n , sunt coeficienți de combinație liniară. Se mai numește și mulțimea vectorilor sistem vectorial.

În legătură cu conceptul introdus de combinație liniară de vectori, se pune problema descrierii mulțimii de vectori care pot fi scrise ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori a 1 , ..., a n . În plus, întrebările despre condițiile în care există o reprezentare a unui vector sub forma unei combinații liniare și despre unicitatea unei astfel de reprezentări sunt naturale.

Definiție 2.1. Vectorii a 1 , ... și n sunt numiți dependent liniar, dacă există o astfel de mulțime de coeficienți α 1 , ... , α n care

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

și cel puțin unul dintre acești coeficienți este diferit de zero. Dacă setul specificat de coeficienți nu există, atunci vectorii sunt numiți liniar independent.

Dacă α 1 = ... = α n = 0, atunci, evident, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Având în vedere acest lucru, putem spune următoarele: vectori a 1 , ..., și n sunt liniar independenți dacă din egalitatea (2.2) rezultă că toți coeficienții α 1 , ... , α n sunt egali cu zero.

Următoarea teoremă explică de ce noul concept este numit termenul „dependență” (sau „independență”) și oferă un criteriu simplu pentru dependența liniară.

Teorema 2.1. Pentru ca vectorii a 1 , ..., și n , n > 1, să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca unul dintre ei să fie o combinație liniară a celorlalți.

◄ Necesitatea. Să presupunem că vectorii a 1 , ... și n sunt dependenți liniar. Conform definiției 2.1 a dependenței liniare, în egalitatea (2.2) există cel puțin un coeficient diferit de zero în stânga, de exemplu α 1 . Lăsând primul termen în partea stângă a egalității, mutăm restul în partea dreaptă, schimbându-le semnele ca de obicei. Împărțind egalitatea rezultată la α 1 , obținem

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

acestea. reprezentarea vectorului a 1 ca o combinație liniară a vectorilor rămași a 2 , ... și n .

Adecvarea. Fie, de exemplu, primul vector a 1 poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Transferând toți termenii din partea dreaptă spre stânga, obținem un 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, adică. combinație liniară de vectori a 1 , ... și n cu coeficienți α 1 = 1, α 2 = - β 2 , ..., α n = - β n , egal cu vector zero.În această combinație liniară, nu toți coeficienții sunt egali cu zero. Conform definiției 2.1, vectorii a 1 , ... și n sunt dependenți liniar.

Definiția și criteriul dependenței liniare sunt formulate în așa fel încât să implice prezența a doi sau mai mulți vectori. Totuși, se poate vorbi și despre o dependență liniară a unui vector. Pentru a realiza această posibilitate, în loc de „vectorii sunt dependenți liniar” trebuie să spunem „sistemul de vectori este dependent liniar”. Este ușor de verificat că expresia „un sistem de un vector este dependent liniar” înseamnă că aceasta un singur vector este zero (există un singur coeficient într-o combinație liniară și nu trebuie să fie zero).

Conceptul de dependență liniară are o interpretare geometrică simplă. Această interpretare este clarificată de următoarele trei afirmații.

Teorema 2.2. Doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coliniare.

◄ Dacă vectorii a și b sunt dependenți liniar, atunci unul dintre ei, de exemplu a, este exprimat prin celălalt, adică. a = λb pentru un număr real λ. Conform definiției 1.7 lucrări vectori printr-un număr, vectorii a și b sunt coliniari.

Acum să fie vectorii a și b coliniari. Dacă ambele sunt zero, atunci este evident că sunt dependente liniar, deoarece orice combinație liniară a acestora este egală cu vectorul zero. Fie ca unul dintre acești vectori să nu fie egal cu 0, de exemplu vectorul b. Notăm cu λ raportul lungimilor vectorilor: λ = |а|/|b|. Vectorii coliniari pot fi unidirecțional sau directii opuse. În acest din urmă caz, schimbăm semnul lui λ. Apoi, verificând Definiția 1.7, vedem că a = λb. Conform teoremei 2.1, vectorii a și b sunt liniar dependenți.

Observație 2.1.În cazul a doi vectori, ținând cont de criteriul dependenței liniare, teorema demonstrată poate fi reformulată astfel: doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul dintre ei este reprezentat ca produs al celuilalt printr-un număr. Acesta este un criteriu convenabil pentru coliniaritatea a doi vectori.

Teorema 2.3. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă aceștia coplanare.

◄ Dacă trei vectori a, b, c sunt liniar dependenți, atunci, conform teoremei 2.1, unul dintre ei, de exemplu a, este o combinație liniară a celorlalți: a = βb + γc. Să combinăm originile vectorilor b și c în punctul A. Atunci vectorii βb, γc vor avea o origine comună în punctul A și paralelogramul reglementează suma lor, acestea. vector a, va fi un vector cu începutul A și Sfârșit, care este vârful unui paralelogram construit pe vectori sumanzi. Astfel, toți vectorii se află în același plan, adică sunt coplanari.

Fie vectorii a, b, c coplanari. Dacă unul dintre acești vectori este zero, atunci este evident că va fi o combinație liniară a celorlalți. Este suficient să luăm toți coeficienții combinației liniare egale cu zero. Prin urmare, putem presupune că toți cei trei vectori nu sunt zero. Compatibil start aceşti vectori într-un punct comun O. Fie capetele lor, respectiv, punctele A, B, C (Fig. 2.1). Desenați drepte prin punctul C paralele cu drepte care trec prin perechi de puncte O, A și O, B. Notând punctele de intersecție cu A" și B", obținem un paralelogram OA"CB", prin urmare, OC" = OA" + OB " . Vector OA" și vectorul diferit de zero a= OA sunt coliniari și, prin urmare, primul dintre ei poate fi obținut prin înmulțirea celui de-al doilea cu numar realα:OA" = αOA. În mod similar, OB" = βOB , β ∈ R. Ca rezultat, obținem că OC" = α OA + βOB , adică vectorul c este o combinație liniară a vectorilor a și b. Conform conform teoremei 2.1, vectorii a , b, c sunt liniar dependenți.

Teorema 2.4. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

◄ Demonstrarea urmează aceeași schemă ca în teorema 2.3. Luați în considerare patru vectori arbitrari a, b, c și d. Dacă unul dintre cei patru vectori este zero, sau există doi vectori coliniari printre ei sau trei dintre cei patru vectori sunt coplanari, atunci acești patru vectori sunt dependenți liniar. De exemplu, dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci putem compune combinația lor liniară αa + βb = 0 cu coeficienți nenuli, apoi adăugați cei doi vectori rămași la această combinație, luând zerouri ca coeficienți. Obținem o combinație liniară de patru vectori egali cu 0, în care există coeficienți nenuli.

Astfel, putem presupune că dintre cei patru vectori aleși nu există nuli, nici doi nu sunt coliniari și nici trei nu sunt coplanari. Ca început comun alegem punctul O. Atunci capetele vectorilor a, b, c, d vor fi niște puncte A, B, C, D (Fig. 2.2). Desenați trei planuri prin punctul D, paralel cu planele OBC, OCA, OAB și fie A", B", C" punctele de intersecție ale acestor plane cu dreptele OA, OB, OS, respectiv. Obținem un paralelipiped OA"C"B"C"B"DA ", iar vectorii a, b, c se află pe marginile sale care ies din vârful O. Deoarece patrulaterul OC"DC" este un paralelogram, atunci OD = OC" + OC" . La rândul său, segmentul OS" este diagonala a paralelogramului OA"C"B", astfel încât OC" = OA" + OB" și OD = OA" + OB" + OC" .

Rămâne de observat că perechile de vectori OA ≠ 0 și OA" , OB ≠ 0 și OB" , OC ≠ 0 și OC" sunt coliniari și, prin urmare, putem alege coeficienții α, β, γ astfel încât OA" = αOA, OB" = βOB și OC" = yOC. În cele din urmă, obținem OD = αOA + βOB + γOC . În consecință, vectorul OD este exprimat în termenii celor trei vectori rămași, iar toți cei patru vectori, conform teoremei 2.1, sunt liniar dependenți.