Deci, problema studierii unui sistem de vectori pentru o dependență liniară se reduce la problema găsirii rangului unei matrice compuse din vectorii acestui sistem.

Trebuie remarcat că pentru p>n sistemul de vectori va fi liniar dependent.

cometariu: la compilarea matricei A, vectorii de sistem pot fi luați nu ca rânduri, ci ca coloane.

Algoritm pentru studierea unui sistem de vectori pentru o dependență liniară.

Să analizăm algoritmul cu exemple.

Exemple de studiere a unui sistem de vectori pentru dependență liniară.

Exemplu.

Dat un sistem de vectori . Examinează-l pentru o relație liniară.

Soluţie.

Deoarece vectorul c este zero, sistemul original de vectori este dependent liniar datorită celei de-a treia proprietăți.

Răspuns:

Sistemul de vectori este dependent liniar.

Exemplu.

Examinați sistemul de vectori pentru dependența liniară.

Soluţie.

Nu este greu de observat că coordonatele vectorului c sunt egale cu coordonatele corespunzătoare ale vectorului înmulțite cu 3, adică . Prin urmare, sistemul original de vectori este dependent liniar.

Vectorii, proprietățile lor și acțiunile cu ei

Vectori, acțiuni vectoriale, liniare spațiu vectorial.

Vectorii sunt o colecție ordonată a unui număr finit de numere reale.

Acțiuni: 1. Înmulțirea unui vector cu un număr: lambda * vector x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Adunarea vectorilor (aparțin aceluiași spațiu vectorial) vector x + vector y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – vector n-dimensional (spațiu liniar) x + vector 0 = vector x

Teorema. Pentru ca un sistem de n vectori dintr-un spațiu liniar n-dimensional să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca unul dintre vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

Teorema. Orice set de n+ primul vector al spațiului liniar n-dimensional yavl. dependent liniar.

Adunarea vectorilor, multiplicarea vectorilor cu numere. Scăderea vectorilor.

Suma a doi vectori este vectorul direcționat de la începutul vectorului până la sfârșitul vectorului, cu condiția ca începutul să coincidă cu sfârșitul vectorului. Dacă vectorii sunt dați de expansiunile lor în termeni de vectori de bază, atunci adunând vectori se adună coordonatele corespunzătoare.

Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul unui sistem de coordonate carteziene. Lăsa

Să arătăm asta

Figura 3 arată că

Suma oricărui număr finit de vectori poate fi găsită folosind regula poligonului (Fig. 4): pentru a construi suma unui număr finit de vectori, este suficient să potriviți începutul fiecărui vector următor cu sfârșitul celui anterior. și construiți un vector care leagă începutul primului vector cu sfârșitul ultimului.

Proprietățile operației de adunare vectorială:

În aceste expresii m, n sunt numere.

Diferența de vectori se numește vector.Al doilea termen este un vector opus vectorului ca direcție, dar egal cu acesta ca lungime.

Astfel, operația de scădere vectorială este înlocuită cu operația de adunare

Vectorul, al cărui început se află la originea coordonatelor, iar sfârșitul în punctul A (x1, y1, z1), se numește vectorul rază al punctului A și se notează sau pur și simplu. Deoarece coordonatele sale coincid cu coordonatele punctului A, expansiunea sa în termeni de vectori are forma

Un vector care începe în punctul A(x1, y1, z1) și se termină în punctul B(x2, y2, z2) poate fi scris ca

unde r 2 este vectorul rază al punctului B; r 1 - vector raza punctului A.

Prin urmare, expansiunea vectorului în termeni de orte are forma

Lungimea sa este egală cu distanța dintre punctele A și B

MULTIPLICARE

Deci in caz problema cu avionul produsul unui vector prin a = (ax; ay) și un număr b se găsește prin formula

a b = (ax b; ay b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2) cu 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Deci in caz problema spatiala produsul vectorului a = (ax; ay; az) și numărul b se află prin formula

a b = (ax b; ay b; az b)

Exemplul 1. Aflați produsul vectorului a = (1; 2; -5) cu 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Produsul scalar al vectorilor și unde este unghiul dintre vectorii si ; dacă fie, atunci

Din definiția produsului scalar rezultă că

unde, de exemplu, este valoarea proiecției vectorului pe direcția vectorului.

Pătratul scalar al unui vector:

Proprietățile produsului punct:

Punctează produsul în coordonate

În cazul în care un apoi

Unghiul dintre vectori

Unghiul dintre vectori - unghiul dintre direcțiile acestor vectori (unghiul cel mai mic).

Produs vectorial (Produsul vectorial al doi vectori.)- acesta este un pseudovector, perpendicular pe plan, construit de doi factori, care este rezultatul operației binare „înmulțirea vectorilor” peste vectori din spațiul euclidian tridimensional. Produsul nu este nici comutativ, nici asociativ (este anticomutativ) și este diferit de produsul scalar al vectorilor. În multe probleme de inginerie și fizică, este necesar să se poată construi un vector perpendicular pe două dintre cele existente - produs vectorial oferă această oportunitate. Produsul încrucișat este util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - lungimea produsului încrucișat a doi vectori este egală cu produsul lungimii lor dacă sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.

Produsul vectorial este definit numai în spații tridimensionale și șapte-dimensionale. Rezultatul produsului vectorial, ca și produsul scalar, depinde de metrica spațiului euclidian.

Spre deosebire de formula de calcul a produsului scalar din coordonatele vectorilor dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional, formula pentru produsul vectorial depinde de orientarea sistemului de coordonate dreptunghiulare sau, cu alte cuvinte, de „chiralitatea” acestuia.

Coliniaritatea vectorilor.

Doi vectori nenuli (nu egali cu 0) sunt numiți coliniari dacă se află pe drepte paralele sau pe aceeași linie. Permitem, dar nu recomandam, un sinonim - vectori „paraleli”. Vectorii coliniari pot fi dirijați în aceeași direcție („co-direcționați”) sau direcționați opus (în acest din urmă caz ​​sunt numiți uneori „anticoliniari” sau „antiparaleli”).

Produsul mixt al vectorilor ( a,b,c)- produsul scalar al vectorului a și produsul vectorial al vectorilor b și c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

numit uneori triplu produs scalar vectori, aparent datorită faptului că rezultatul este un scalar (mai precis, un pseudoscalar).

sens geometric: Modulul produsului mixt este numeric egal cu volumul paralelipipedului format de vectori (a,b,c) .

Proprietăți

Un produs mixt este simetric oblic în raport cu toate argumentele sale: adică e. o permutare a oricăror doi factori schimbă semnul produsului. De aici rezultă că produsul amestecat din dreapta Sistemul cartezian coordonate (în bază ortonormală) este egală cu determinantul unei matrice compusă din vectori și:

Produsul mixt din sistemul de coordonate carteziene din stânga (în bază ortonormală) este egal cu determinantul unei matrice compusă din vectori și luată cu semnul minus:

În special,

Dacă oricare doi vectori sunt paraleli, atunci cu oricare al treilea vector formează un produs mixt egal cu zero.

Dacă trei vectori sunt dependenți liniar (adică, coplanari, se află în același plan), atunci produsul lor mixt este zero.

Sensul geometric - Produsul mixt în valoare absolută este egal cu volumul paralelipipedului (vezi figura) format din vectori și; semnul depinde dacă acest triplu de vectori este dreapta sau stânga.

Complanaritatea vectorilor.

Trei vectori (sau mai mulți) se numesc coplanari dacă ei, reducându-se la o origine comună, se află în același plan.

Proprietăți de complementaritate

Dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero, atunci cei trei vectori sunt de asemenea considerați coplanari.

Un triplu de vectori care conțin o pereche de vectori coliniari este coplanar.

Produs mixt al vectorilor coplanari. Acesta este un criteriu pentru coplanaritatea a trei vectori.

Vectorii coplanari sunt dependenți liniar. Acesta este, de asemenea, un criteriu de coplanaritate.

În spațiul tridimensional, 3 vectori necoplanari formează o bază

Vectori liniar dependenți și liniar independenți.

Sisteme de vectori liniar dependente și independente.Definiție. Sistemul de vectori se numește dependent liniar, dacă există cel puțin o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu vectorul zero. Altfel, i.e. dacă doar o combinație liniară trivială de vectori dați este egală cu vectorul nul, vectorii sunt numiți liniar independent.

Teoremă (criteriul dependenței liniare). Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre acești vectori să fie o combinație liniară a celorlalți.

1) Dacă există cel puțin un vector zero printre vectori, atunci întregul sistem de vectori este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă, de exemplu, , atunci, presupunând , avem o combinație liniară netrivială .▲

2) Dacă unii dintre vectori formează un sistem dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Într-adevăr, fie vectorii , , dependenți liniar. Prin urmare, există o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero. Dar apoi, presupunând , obținem și o combinație liniară netrivială egală cu vectorul zero.

2. Baza și dimensiunea. Definiție. Sistem de vectori liniar independenți se numește spațiu vectorial bază acest spațiu, dacă orice vector din poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor acestui sistem, adică. pentru fiecare vector există numere reale astfel încât egalitatea este valabilă.Această egalitate se numește descompunere vectorialăîn funcție de bază și de numere numit coordonate vectoriale relativ la bază(sau în bază) .

Teorema (cu privire la unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei). Fiecare vector spațial poate fi extins din punct de vedere al bazei singura cale, adică coordonatele fiecărui vector din bază sunt definite fără ambiguitate.

Valoarea principală a bazei constă în faptul că operațiunile de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu numere la stabilirea bazei se transformă în operațiunile corespunzătoare pe numere - coordonatele acestor vectori. Și anume, următoarele sunt adevărate.

Teorema. Când se adaugă oricare doi vectori ai unui spațiu liniar, se adaugă coordonatele acestora (relativ la orice bază a spațiului); la înmulțirea unui vector arbitrar cu orice număr, toate coordonatele acestui vector sunt înmulțite cu .

Definiție -dimensională, dacă conține vectori liniar independenți și orice vector este deja dependent liniar. Numărul este sunat dimensiune spatii.

Se presupune că dimensiunea unui spațiu vectorial constând dintr-un vector zero este zero.

Dimensiunea spațiului este de obicei indicată prin simbolul .

Definiție. Se numeste spatiul vectorial infinit-dimensională, dacă conține orice număr de vectori liniar independenți. În acest caz, scrieți.

Să clarificăm legătura dintre conceptele de bază și dimensiunea spațiului.

Teorema. Dacă este un spațiu vectorial de dimensiune , atunci orice vector liniar independenți ai acestui spațiu formează baza sa.

Teorema. Dacă un spațiu vectorial are o bază formată din vectori, atunci .

Informații similare.

Lăsa L este spațiul liniar peste câmp R . Lăsa A1, a2, ... , an (*) un sistem finit de vectori din L . Vector LA = a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un (16) chemat O combinație liniară de vectori ( *), sau spune vector LA exprimată liniar printr-un sistem de vectori (*).

Definiția 14. Sistemul de vectori (*) se numește dependent liniar , dacă și numai dacă există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0. Dacă a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, atunci se apelează sistemul (*) liniar independent.

Proprietăți ale dependenței și independenței liniare.

10. Dacă un sistem de vectori conține un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.

Într-adevăr, dacă în sistem (*) vectorul A1 = 0, Apoi 1× 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Dacă un sistem de vectori conține doi vectori proporționali, atunci este dependent liniar.

Lăsa A1 = L×a2. Apoi 1× A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× DAR N= 0.

30. Un sistem finit de vectori (*) pentru n ³ 2 este liniar dependent dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a celorlalți vectori ai acestui sistem.

Þ Fie (*) dependent liniar. Atunci există un set diferit de zero de coeficienți a1, a2, … , astfel încât a1× A1 + a2× A2 + … + an× Un = 0 . Fără pierderea generalității, putem presupune că a1 ¹ 0. Atunci există A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× DAR N. Deci, vectorul A1 este o combinație liniară a vectorilor rămași.

Ü Fie unul dintre vectori (*) o combinație liniară a celorlalți. Putem presupune că acesta este primul vector, adică A1 = B2 A2+ … + mld DAR N, deci (–1)× A1 + b2 A2+ … + mld DAR N= 0 , adică (*) este dependent liniar.

Cometariu. Folosind ultima proprietate, se poate defini dependența liniară și independența unui sistem infinit de vectori.

Definiția 15. Sistem vectorial A1, a2, ... , an , … (**) se numește dependent liniar, Dacă cel puțin unul dintre vectorii săi este o combinație liniară a unui număr finit de alți vectori. În caz contrar, sistemul (**) este apelat liniar independent.

40. Un sistem finit de vectori este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii săi nu poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți vectori ai săi.

50. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este, de asemenea, liniar independent.

60. Dacă un subsistem al unui sistem dat de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este, de asemenea, dependent liniar.

Să fie date două sisteme de vectori A1, a2, ... , an , … (16) și В1, в2, … , вs, … (17). Dacă fiecare vector al sistemului (16) poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui număr finit de vectori ai sistemului (17), atunci spunem că sistemul (17) este exprimat liniar prin sistemul (16).

Definiția 16. Cele două sisteme de vectori se numesc echivalent , dacă fiecare dintre ele este exprimat liniar în termenii celuilalt.

Teorema 9 (teorema de bază a dependenței liniare).

Lasă și - Două sisteme de capăt vectori din L . Dacă primul sistem este liniar independent și liniar exprimat în termenii celui de-al doilea, atunci N£s.

Dovada. Să ne prefacem că N> S. Conform teoremei

comun. Deoarece numărul de ecuaţii mai mult număr necunoscute, atunci sistemul are infinite de soluții. Prin urmare, are un non-zero x10, x20, …, xN0. Pentru aceste valori, egalitatea (18) va fi adevărată, ceea ce contrazice faptul că sistemul de vectori este liniar independent. Deci presupunerea noastră este greșită. Prin urmare, N£s.

Consecinţă. Dacă două sisteme echivalente de vectori sunt finite și liniar independenți, atunci ele conțin același număr de vectori.

Definiția 17. Sistemul de vectori se numește Sistemul maxim liniar independent de vectori spațiu liniar L , dacă este liniar independent, dar adăugând la acesta orice vector din L neinclus în acest sistem, acesta devine liniar dependent.

Teorema 10. Orice două sisteme maxime finite liniar independente de vectori din L Conțin același număr de vectori.

Dovada rezultă din faptul că oricare două sisteme de vectori maxime liniar independente sunt echivalente .

Este ușor de demonstrat că orice sistem liniar independent de vectori spațiali L poate fi completat la sistemul maxim liniar independent de vectori ai acestui spațiu.

Exemple:

1. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coliniari, orice sistem format dintr-un vector diferit de zero este independent liniar maximal.

2. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici coplanari, oricare doi vectori necoliniari constituie un sistem independent liniar maxim.

3. În mulțimea tuturor vectorilor geometrici posibili ai spațiului euclidian tridimensional, orice sistem de trei vectori necoplanari este maximul liniar independent.

4. În mulțimea tuturor polinoamelor, gradul este cel mult N Cu coeficienți reali (complexi), un sistem de polinoame 1, x, x2, …, xn Este independent liniar maxim.

5. În mulțimea tuturor polinoamelor cu coeficienți reali (complexi), exemple de sistem maximal independent liniar sunt

A) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N,…

6. Mulțimea matricelor de dimensiune M´ N este spațiu liniar(verifică). Un exemplu de sistem independent liniar maxim în acest spațiu este sistemul de matrici E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Să fie dat un sistem de vectori C1, c2, ... , cf (*). Se numește subsistemul de vectori din (*) Maxim liniar independent Subsistemul sisteme ( *) , dacă este liniar independent, dar când i se adaugă orice alt vector al acestui sistem, acesta devine liniar dependent. Dacă sistemul (*) este finit, atunci oricare dintre subsistemele sale maxime independente liniar conține același număr de vectori. (Dovada singur.) Se numește numărul de vectori din subsistemul maxim liniar independent al sistemului (*) rang Acest sistem. Evident, sistemele echivalente de vectori au aceleași ranguri.

Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu coeficienți λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, sub care combinaţia liniară de vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n este egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Verificați dacă este liniar sistem dependent vectori

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările iordaniene ale sistemului sunt prezentate în Tabelul 29.1. La calcul, părțile corecte ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în cazul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului scriem sistemul permis echivalent cu cel original sistem:

4. Obținem soluția generală a sistemului:

5. După ce ați stabilit la propria discreție valoarea variabilei libere x 3 =1, obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, cu o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem de vectori dependenti liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă sistemul de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este descompus în ceea ce privește restul și invers, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este descompus în funcție de restul, atunci sistemul de vectorii este dependent liniar.

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului de vectori A 1 , A 2 ,..., A n un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r(fiecare dintre vectorii B 1 ,B 2 ,...,B r este unul dintre vectorii A 1 , A 2 ,..., A n) care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem liniar independent de vectori;
2. orice vector Aj a sistemului A 1 , A 2 ,..., A n se exprimă liniar în termeni de vectori B 1 ,B 2 ,...,B r

r este numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m vectori unitari diferiți E 1 E 2 ,..., E m , atunci ei formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a găsi baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Alcătuiți sistemul corespunzător de vectori sistem omogen ecuații A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• aduce acest sistem