Cercurile Mora sunt diagrame circulare care oferă o reprezentare vizuală a tensiunilor în diferite secțiuni care trec prin ele punct dat. În sistemul de coordonate τ n - σ n - trei (jumătăți) cercuri, care de-a lungul axei absciselor sunt diferența dintre principalele tensiuni normale σ 1, σ 2, σ 3 (Fig.). Cercul maxim cu o rază (σ 1 -σ 3)/2 acoperă două cercuri interioare cu raze (σ 1 -σ 2)/2 și (σ 2 -σ 3)/2, atingând punctul σ 2 . Coordonatele punctelor din spațiul dintre arcele acestor cercuri sunt normale și tangente în zone orientate în mod arbitrar. Pe axele cercurilor sunt respectiv . Poziția punctului σ 2 este determinată de coeficientul Lode - Nadai. În mod similar, cercurile lui Mohr în coordonatele γ - ε sunt construite pentru a studia starea deformată, unde R 1 = (ε 2 -ε 1) / 2 = 0,5γ 23, R 2 = (ε 1 -ε 3) / 2 = 0,5γ 31 , R 3 \u003d (ε 1 -ε 2) / 2 \u003d 0,5γ 12

Cercuri Mohr (stresuri circulare)

Dicţionar enciclopedicîn metalurgie. - M.: Intermet Engineering. redactor-șef N.P. Lyakishev. 2000 .

Vedeți ce este „Cercurile de pestilență” în alte dicționare:

Cercuri Mohr- Diagrame circulare care oferă o reprezentare vizuală a tensiunilor din diferite secțiuni care trec printr-un punct dat. În sistemul de coordonate tl-al - trei (jumătăți) cercuri, dia. a ryh de-a lungul absciselor sunt diferența dintre principalele normale ...... Manualul Traducătorului Tehnic

Cercuri- Cercuri: Cuprins 1 Așezări 1.1 Belarus 1.2 Rusia 1.3 Ucraina ... Wikipedia

Cercuri (dezambiguizare)- Așezări: Krugi (Ukr. Krugi) este un sat, parte a districtului Vyshgorod din regiunea Kiev din Ucraina. Krugi (Ukr. Krugi) este un sat din Ucraina, situat în districtul Tyvrovsky din regiunea Vinnitsa. Satul Krugi (Belarusian Krugi) din ... ... Wikipedia

REGATUL UNIT- (Marea Britanie) stat din Occident. Europa, situată pe Insulele Britanice. Oficial Nume B. Regatul Unit al Marii Britanii și Irlandei de Nord; adesea tot V. este numit incorect Anglia (pe nume... Enciclopedia istorică sovietică

Regatul Unit- I Marea Britanie (Marea Britanie) o insulă din Oceanul Atlantic, care face parte din grupul Insulelor Britanice (vezi Insulele Britanice). Vezi Marea Britanie (stat). II Marea Britanie (Marea Britanie) nume oficial United ... ...

Marea Britanie (stat)- Marea Britanie (Marea Britanie); numele oficial este Regatul Unit al Marii Britanii și Irlandei de Nord. eu. Informatii generale V. este un stat insular din nord-vestul Europei; ocupa...... Marea Enciclopedie Sovietică

Franţa- (Franţa) Republica Franceză (Republica Franceză). I. Informaţii generale F. stat în Europa de Vest. În nord, teritoriul F. este spălat de Marea Nordului, Pas de Calais și Canalul Mânecii, în vest de Golful Biscaya ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Comunism- Cuvântul K. înseamnă: în primul rând, o astfel de ordine socială în care în sfera relațiilor de proprietate nu există proprietate privată (orice sau numai imobil), iar în sfera relațiilor de familie, căsătoria ocupă un loc dezordonat... ... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Istoria învățăturilor comuniste- Comunismul este denumirea generală a doctrinelor care proclamă scopul abolirii proprietății private și eliberarea omului și a societății de opresiunea economică și socială. Cuvântul „comunism” îmbină acele învățături religioase, morale și economice, ... ... Wikipedia

Dependența tensiunilor σ n și τ n care acționează asupra zonei cu normala n care trece prin punctul luat în considerare poate fi vizualizată grafic folosind diagrama cercului Mohr (cercurile Mohr).

STARE DE STRESS PLAT. Tensiunile principale σ 1 și σ 2 sunt date (vezi fig. 2) . Sunt trasate segmentele OA=σ 1 și OB=σ 2, ținând cont de semne (Fig. 1). Pe segmentul AB, ca pe un diametru, se construiește un cerc. Se trasează o linie dreaptă din punctul B la un unghi α față de axa σ. Coordonatele punctului D de intersectie a acestei drepte cu cercul dau solicitarea pe zona inclinata: OE=σ n , ED=τ n .

Poza 1.

Tensiunile α x, σ y , τ xy sunt date (Fig. 2). Sunt trasate segmentele OE=σ x și OF=σ y, ținând cont de semne. Din punctul E (indiferent de poziția sa), se trasează segmentul ED=τ xy, ținând cont și de semn. Din punctul C, împărțind segmentul EF la jumătate, ca din centru, se construiește un cerc cu raza CD. Linia dreaptă BD determină direcția vectorului principal de tensiuni σ 1 , iar abscisele punctelor de intersecție ale cercului cu axa σ dau valorile tensiunilor principale: OA=σ 1 , OB=σ 2 .

Figura 2.

STARE DE STRESS VOLUM. Pe segmentele sunt construite trei semicercuri care descriu diferențele de tensiuni principale σ 1 -σ 3, σ 2 -σ 3, σ 1 -σ 2, ca și pe diametre (Fig. 3). Tensiunile σ n și τ n de-a lungul unei zone înclinate, normala la care formează unghiurile α, β și γ cu direcțiile celor trei tensiuni principale, sunt determinate de următoarea construcție. Liniile AE și BF sunt trasate, respectiv, la unghiurile α și γ față de verticală. Prin punctele de intersecție E și F obținute se trasează arce cu raze C 2 E și C 1 F până la intersecția din punctul D, ale căror coordonate dau tensiunile σ n și τ n . Punctele care descriu stările de stres în diferite zone nu părăsesc zona închisă între cele trei semicercuri (umbrite în figură).

Cercul lui Mohr- Aceasta este o diagramă circulară care oferă o reprezentare vizuală a tensiunilor din diferite secțiuni care trec printr-un punct dat. Numit după Otto Christian Mohr. Este o interpretare grafică bidimensională a tensorului tensiunii.

Prima persoană care a creat o reprezentare grafică a tensiunilor pentru tensiunile longitudinale și transversale ale unei grinzi orizontale îndoite a fost Karl Kuhlmann. Contribuția lui Mohr este de a folosi această abordare pentru stările de tensiuni plane și în vrac și de a defini un criteriu de rezistență bazat pe cercul de stres.

sens fizic

Forțele interne apar între particulele unui corp solid deformabil ca reacție la aplicarea forțe externe: suprafata si volum. Această reacție este în concordanță cu a doua lege a lui Newton aplicată particulelor obiectelor materiale. Mărimea intensității acestor forțe interne se numește stres mecanic. pentru că corpul este considerat solid, acestea forțe interne distribuite continuu pe întregul volum al obiectului luat în considerare.

texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \cos ^2 \theta = \frac(1+\cos 2\theta)(2), \qquad \sin ^2 \theta = \frac(1-\cos 2\ theta)(2) \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta

Atunci poți obține

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \sigma_\mathrm(n) = \frac(1)(2) (\sigma_x + \sigma_y) + \frac(1)(2) (\sigma_x - \sigma_y )\ cos 2\theta + \tau_(xy) \sin 2\theta

efort de forfecare Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc operează și pe zona șantierului Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): dA. Din egalitatea proiecţiilor forţelor pe axă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \tau_\mathrm(n)(axă Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): y") primim:

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ \begin(align) \sum F_(y") &= \tau_\mathrm(n) dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \ sin \theta \cos \theta - \tau_(xy) dA \cos ^2 \theta + \tau_(xy) dA \sin ^2 \theta = 0 \\ \tau_\mathrm(n) &= -( \sigma_x -\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_(xy) \left(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\ \end(align)

Se știe că

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad \text(,) \qquad \sin 2\theta= 2\sin\ theta\ cos\theta

Atunci poți obține

Nu se poate analiza expresia (fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \tau_\mathrm(n) = -\frac(1)(2)(\sigma_x - \sigma_y)\sin 2\theta + \tau_(xy)\cos 2 \theta

Scrieți o recenzie despre articolul „Cercul lui Mohr”

Note

Un fragment care caracterizează Cercul din Mora

Fie că a fost un accident, sau cineva a ajutat cumva, dar mama mea a fost foarte norocoasă - era căsătorită cu o persoană minunată, un magnat venețian, care... el însuși era un vrăjitor foarte puternic... și pe care îl vezi acum cu noi. .. .
Cu ochii strălucitori, umezi, Isidora s-a uitat la minunatul ei tată și era clar cât de mult și dezinteresat îl iubea. Era o fiică mândră, care cu demnitate și-a purtat sentimentul pur și strălucitor de-a lungul secolelor și nici acolo, departe, în noile ei lumi, nu s-a ascuns și nu s-a stânjenit de asta. Și atunci mi-am dat seama cât de mult îmi doream să devin ca ea! .. Și în puterea ei de iubire, și în puterea ei de Vrăjitoare, și în tot ceea ce avea această femeie extraordinară și strălucitoare în sine...
Și ea a continuat să povestească cu calm, parcă n-ar fi observat nici emoțiile noastre „debordante”, nici încântarea „cățelușului” din sufletele noastre care însoțeau povestea ei minunată.
– Atunci mama a auzit de Veneția... Tatăl meu a petrecut ore întregi povestindu-i despre libertatea și frumusețea acestui oraș, despre palatele și canalele lui, despre grădini secrete și biblioteci imense, despre poduri și gondole și multe, multe Mai Mult. Și mama mea impresionabilă, chiar înainte de a vedea acest oraș minunat, s-a îndrăgostit de el din toată inima... Abia aștepta să vadă acest oraș cu ochii ei! Și foarte curând visul ei s-a împlinit... Tatăl ei a adus-o într-un palat magnific, plin de slujitori credincioși și tăcuți, de care nu era nevoie să se ascundă. Și, începând din acea zi, mama putea să petreacă ore întregi făcând lucrul ei preferat, fără teamă să nu fie înțeleasă greșit sau, și mai rău, jignită. Viața ei a devenit plăcută și sigură. Erau un cuplu căsătorit cu adevărat fericit care avea o fetiță exact un an mai târziu. O spuneau Isidora... Eram eu.
Am fost un copil foarte fericit. Și, din câte îmi amintesc, lumea mi s-a părut mereu frumoasă... Am crescut înconjurată de căldură și afecțiune, printre oameni amabili și atenți, care m-au iubit foarte mult. Mama a observat curând că eu manifestam un Dar puternic, mult mai puternic decât al ei. A început să mă învețe tot ce știa să facă și ce mă învățase bunica ei. Și mai târziu, și tatăl meu s-a alăturat creșterii mele „vrăjitoare”.
Vă spun toate acestea, dragilor, nu pentru că vreau să vă spun povestea vieții mele fericite, ci ca să înțelegeți mai bine ce va urma puțin mai târziu... Altfel, nu veți simți toată groaza și durerea. pe care eu și familia mea a trebuit să-l înduram...
Când am împlinit șaptesprezece ani, zvonul despre mine a trecut cu mult dincolo de granițe oras natal, iar cei care doreau să-și audă soarta nu aveau sfârșit. Am fost foarte obosit. Oricât de înzestrat eram, dar volumul zilnic de muncă era obositor, iar serile cădeam literalmente din picioare... Tatăl meu s-a opus întotdeauna la o astfel de „violență”, dar mama mea (care însăși cândva nu și-a putut folosi darul pentru a cel mai plin) credea că sunt în ordine perfectă și că trebuie să-mi exersez sincer talentul.
Au trecut atât de mulți ani. Am de multă vreme propria mea viață personală și familia mea minunată și iubită. Soțul meu era un om învățat, se numea Girolamo. Cred că eram destinați unul altuia, deoarece de la prima întâlnire care a avut loc în casa noastră aproape că nu ne-am mai despărțit... A venit la noi pentru o carte recomandată de tatăl meu. În acea dimineață stăteam în bibliotecă și, ca de obicei, am studiat munca altcuiva. Girolamo a intrat brusc, iar când m-a văzut acolo, a fost complet surprins... Jena lui a fost atât de sinceră și dulce încât m-a făcut să râd. Era o brunetă înaltă și puternică, cu ochi căprui, care în acel moment s-a înroșit ca o fată care și-a întâlnit prima dată logodnicul... Și mi-am dat imediat seama că acesta era destinul meu. Curând ne-am căsătorit și nu ne-am mai despărțit niciodată. A fost un soț minunat, afectuos și blând și foarte amabil. Și când s-a născut fiica noastră mică, a devenit același tată iubitor și grijuliu. Așa au trecut, foarte fericiți și fără nori zece ani. Draga noastră fiică Anna a crescut veselă, plină de viață și foarte inteligentă. Și deja în primii zece ani, și ea, ca mine, a început să manifeste încet Darul...
Viața era strălucitoare și minunată. Și părea că nu există nimic care să ne poată umbri existența pașnică cu nenorocire. Dar mi-a fost teamă... Timp de aproape un an, în fiecare noapte am avut coșmaruri - imagini înfiorătoare oameni torturați și incendii aprinse. Se tot repeta, se repeta, se repeta... ma innebuneste. Dar mai ales m-a speriat imaginea unui om ciudat care venea constant în visele mele și, fără să scot un cuvânt, mă devora doar cu privirea arzătoare a ochilor lui adânci și negri... Era înspăimântător și foarte periculos.
Și apoi într-o zi a venit... Nori negri au început să se adune în firmamentul limpede al iubitei mele Veneții... Zvonuri tulburătoare, în creștere, cutreierau orașul. Oamenii șopteau despre ororile Inchiziției și, înfiorând sufletul, trăind focuri de tabără omenești... Spania ardea de multă vreme, ardând sufletele omenești curate cu „foc și sabie”, cu numele lui Hristos... Și mai departe Spania, toată Europa era deja în flăcări... Nu am fost credincios și nu l-am considerat niciodată pe Hristos Dumnezeu. Dar era un Vedun minunat, cel mai puternic dintre toți cei vii. Și avea un suflet uimitor de pur și înalt. Și ceea ce a făcut biserica, uciderea „pentru slava lui Hristos”, a fost o crimă teribilă și de neiertat.

Problema directă a lui Mohr este problema determinării tensiunilor pe un loc arbitrar din tensiunile principale cunoscute.

Să considerăm un volum elementar în condițiile unei stări de solicitare volumetrică, iar fețele acestui volum sunt zonele principale. O platformă secantă paralelă cu solicitarea principală σ 2, selectați o prismă triunghiulară din acest volum:

Pentru a determina tensiunile pe o zonă secantă arbitrară, luați în considerare fața frontală a prismei

Să scriem ecuațiile de echilibru pentru sistemul de forțe care acționează pe fața prismei.

Pentru o axă tangentă la rampă
:

Reducerea factorilor comuni și înmulțirea tuturor termenilor cu
, primim

,

. (2.2)

Pentru o axă normală cu rampa
:

Să efectuăm următoarele transformări:

si ia:

. (2.3)

Să pătram fiecare parte a expresiilor (2.2) și (2.3) obținute:

,

.

Însumând părțile din stânga și din dreapta în perechi, obținem:

.

Aceasta este ecuația în coordonate    este ecuația unui cerc centrat într-un punct
,
si raza
:

Cercul rezultat se numește cerc de stres sau Mora în jur. Cercul lui Mohr intersectează axa x în puncte cu coordonate  1 și  3 .

Determinați coordonatele punctului D  :

, (2.5)

care coincide cu formulele (2.2) şi (2.3) obţinute anterior.

Astfel, fiecare loc este înclinat într-un unghi  la principalele situri, pe cercul Mora corespunde unui anumit punct. Raza acestui punct formează un unghi de 2 cu axa x  , iar coordonatele sale determină tensiunile pe șantier   și   .

Sarcină.

Într-o tijă cu o zonă de secțiune transversală A= 5x10 4 m 2, intins cu forta F= 50 kN, determinați tensiunile normale și de forfecare care apar pe un loc înclinat la un unghi
la secțiunea transversală a tijei:

În punctele secțiunii transversale apar doar tensiuni normale, adică aria volumului elementar din vecinătatea punctului, care coincide cu această secțiune, este cea principală:

,

celelalte tensiuni principale sunt absente, i.e. este o stare de efort uniaxială.

Să găsim tensiunile pe o platformă înclinată.

Vector de tensiune maximă p, acționând pe acest site, poate fi descompus în două componente: normalul   si tangenta   , pentru a determina valoarea căreia folosim cercul Mohr.

Aplicați în coordonate    puncte corespunzătoare tensiunilor principale
și
, iar pe aceste puncte, ca și pe diametru, construim cercul Mohr:

Lăsând deoparte de axa absciselor unghi dublu în sens invers acelor de ceasornic  , obținem un punct pe cerc care afișează starea pe platforma înclinată. Coordonatele acestui punct sunt tensiunile dorite și sunt calculate prin formulele (2.4) și (2.5):

,
.

Problema Mohr inversă

Problema inversă a lui Mohr este de a determina tensiunile principale din tensiunile cunoscute pe un sit arbitrar. Să luăm în considerare un exemplu concret.

Sarcină.

Determinați tensiunile principale în punctul periculos al tijei supus acțiunii combinate de încovoiere și torsiune:

După ce am construit diagrame ale factorilor de forță interni, ajungem la concluzia că secțiunea periculoasă a tijei este secțiunea înglobării, în care acționează cel mai mare moment încovoietor. M X .

Pentru a găsi un punct periculos într-o secțiune periculoasă, luați în considerare distribuția tensiunilor normale și de forfecare pe o secțiune periculoasă:

În acest caz, există două puncte la fel de periculoase - Bși C, în care acționează tensiunile maxime normale și de forfecare, care sunt aceleași ca mărime, dar diferite ca direcție. Luați în considerare starea de stres la punctul respectiv LA, selectând un volum elementar în vecinătatea lui și plasând vectorii de stres și pe marginile sale.

Valorile stresului și poate fi determinat prin formulele:

,

.

Luați în considerare cubul selectat din partea fără stres (sus):

Notăm două zone reciproc perpendiculare  și  . Pe site-ul  poarta-te normal
și efort de forfecare 
. Pe site-ul  doar efort de forfecare 
(după legea împerecherii tensiunilor tangenţiale).

Ordinea construcției cercului Mohr:

Reprezentăm grafic poziția zonelor principale și direcția tensiunilor principale asupra zonei luate în considerare:

Raza cercului Mohr

,

apoi tensiunile principale

,

.

Cunoscutul om de știință german Mohr a propus o metodă grafică pentru determinarea tensiunilor σ α și τ α pentru σ 1 , σ 2 și α date în cazul unei stări de stres plan.

Fig.18.1. Cazul unei stări de stres plan.

Pentru aceasta, selectați sistem plat coordonate, în timp ce axele de abscisă corespund tensiunilor normale, iar axele ordonatelor corespund solicitărilor de forfecare

Pe axa x tensiunile σ 1 = OA și σ 2 = OB

Pe diferența de segmente OA - OB = σ1 - σ2 se construiește un cerc, cu raza BC = (σ1 - σ2)/2. îndepărtând unghiul 2α din axa absciselor în sens invers acelor de ceasornic, obținem punctul D pe cerc și coborâm perpendiculara de la acesta la axa absciselor - DK

Segmentul rezultat OK = σ α , iar segmentul DК = τ α

Cercurile lui Mohr vă permit să analizați toate tipurile de stare de stres a corpului.

Fig.18.2. Definirea grafică a tensiunilor. Cercul Mohr.

Sarcină.

Determinați analitic și folosind cercul lui Mohr tensiunile normale σα și τα tangențiale în secțiunea AB situată la un unghi β=60º față de axa longitudinală. Tija este întinsă cu forța P = 20kN, aria sa transversală este de 200 * 200mm2, α = 90- β

Găsirea stresului principal

deoarece se consideră cazul unei stări de efort liniare

Pentru definiție grafică tensiuni, alegem sistemul de coordonate σ – τ. Pe axa σ, trasăm stresul σ 1 pe scara selectată sub forma unui segment OM, pe care îl împărțim în jumătate și desenăm un cerc cu un segment. Din punctul M (polul cercului lui Mohr) trasăm o dreaptă paralelă cu AB sau paralel cu normalul la AV. Obținem punctul D de intersecție a dreptei cu cercul. Abscisa OD1 va reprezenta σ α =37 MPa, iar ordonata DD1 - τ α =21,5 MPa.

LEGEA LUI HOOKE GENERALIZATĂ ÎN CAZUL GENERAL DE STARE DE STRES.

Când se studiază deformațiile în cazul unei stări de efort în vrac, se presupune că materialul respectă legea lui Hooke și că deformațiile sunt mici.

Se consideră un element ale cărui dimensiuni ale feței sunt egale cu a * b * c și tensiunile principale σ 1, σ 2, σ 3 acţionează asupra acestor feţe.

Se presupune că toate stresurile sunt pozitive. Din cauza deformării, muchiile elementului își schimbă lungimea și devin egale cu a+∆a, b+∆b, c+∆c. Raportul dintre creșterile lungimii marginilor elementelor și lungimea lor inițială va da principalele alungiri relative în direcțiile principale:

Sub acţiunea tensiunii σ 1 lungimea nervurii A va primi o alungire relativă

Tensiunile σ 2 și σ 3 acționează peste nervura a, astfel încât vor preveni alungirea acesteia. Deformații cauzate de acțiunea lui σ 2 , σ 3 în direcția nervurii A va fi egal.