Un sistem de ecuații liniare se numește neomogen dacă. Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, metode de rezolvare, exemple

Poti sa comanzi soluție detaliată sarcina ta!!!

Pentru a înțelege ce este sistem fundamental deciziilor puteți urmări tutorialul video pentru același exemplu făcând clic pe . Acum să trecem la descrierea tuturor lucrărilor necesare. Acest lucru vă va ajuta să înțelegeți esența acestei probleme mai detaliat.

Cum se găsește sistemul fundamental de soluții al unei ecuații liniare?

Să luăm acest sistem ca exemplu. ecuatii lineare:

Să găsim o soluție la asta sistem liniar ecuații. Pentru început, noi notează matricea de coeficienți a sistemului.

Să transformăm această matrice într-una triunghiulară. Rescriem prima linie fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(11)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(21)$, trebuie să scădeți primul din a doua linie și să scrieți diferența pe a doua linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, trebuie să scădeți primul din al treilea rând și să scrieți diferența în al treilea rând. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(41)$, trebuie să scădeți primul înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(31)$, scădeți primul înmulțit cu 2 din a cincea linie și scrieți diferența pe a cincea linie.

Rescriem primul și al doilea rând fără modificări. Și toate elementele care sunt sub $a_(22)$ trebuie făcute zero. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(32)$, este necesar să scădem al doilea înmulțit cu 2 din al treilea rând și să scrieți diferența în al treilea rând. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(42)$, este necesar să scădem al doilea înmulțit cu 2 din a patra linie și să scrieți diferența pe a patra linie. Pentru a face un zero în locul elementului $a_(52)$, scădeți al doilea înmulțit cu 3 din a cincea linie și scrieți diferența pe a cincea linie.

Noi vedem asta ultimele trei rânduri sunt aceleași, deci dacă scădeți a treia din a patra și a cincea, atunci acestea vor deveni zero.

Pentru această matrice scrie sistem nou ecuații.

Vedem că avem doar trei ecuații liniar independente și cinci necunoscute, deci sistemul fundamental de soluții va consta din doi vectori. Deci noi mutați ultimele două necunoscute la dreapta.

Acum, începem să exprimăm acele necunoscute care sunt pe partea stângă prin cele care sunt pe partea dreaptă. Începem cu ultima ecuație, mai întâi exprimăm $x_3$, apoi substituim rezultatul obținut în a doua ecuație și exprimăm $x_2$, iar apoi în prima ecuație și aici exprimăm $x_1$. Astfel, am exprimat toate necunoscutele care sunt pe partea stângă prin necunoscutele care sunt pe partea dreaptă.

După aceea, în loc de $x_4$ și $x_5$, puteți înlocui orice numere și puteți găsi $x_1$, $x_2$ și $x_3$. Fiecare dintre aceste cinci numere va fi rădăcinile sistemului nostru original de ecuații. Pentru a găsi vectorii care sunt incluși în FSR trebuie să înlocuim 1 în loc de $x_4$ și să înlocuim 0 în loc de $x_5$, să găsim $x_1$, $x_2$ și $x_3$ și apoi invers $x_4=0$ și $x_5=1$.

Vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Conform primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și obișnuit, dar această impresie este înșelătoare. Vor exista o mulțime de informații noi pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Este destul de clar că sistemul omogen este întotdeauna consistent, adică are întotdeauna o soluție. Și, în primul rând, așa-zisul banal soluţie . Trivial, pentru cei care nu înțeleg deloc sensul adjectivului, înseamnă bespontovoe. Nu din punct de vedere academic, desigur, dar inteligibil =) ... De ce să ne batem în jurul tufișului, să aflăm dacă acest sistem are alte soluții:

Exemplul 1

Soluţie: pentru a rezolva un sistem omogen este necesar să scriem matricea sistemului iar cu ajutorul unor transformări elementare aduc-o într-o formă în trepte. Rețineți că nu este nevoie să scrieți aici bara verticală și coloana zero a membrilor liberi - deoarece orice ați face cu zerouri, acestea vor rămâne zero:

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1.

Împărțirea celui de-al treilea rând la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, aplicând mișcarea inversă a metodei gaussiene, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Să formulăm un criteriu evident: un sistem omogen de ecuaţii liniare are singura solutie banala, dacă rangul matricei sistemului(în acest caz, 3) este egal cu numărul de variabile (în acest caz, 3 buc.).

Ne încălzim și ne acordăm radioul la un val de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Pentru a remedia în sfârșit algoritmul, să analizăm sarcina finală:

Exemplul 7

Rezolvați un sistem omogen, scrieți răspunsul în formă vectorială.

Soluţie: scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă în trepte:

(1) Semnul primei linii a fost schimbat. Încă o dată, atrag atenția asupra tehnicii întâlnite în mod repetat, care vă permite să simplificați semnificativ următoarea acțiune.

(1) Prima linie a fost adăugată la rândurile a 2-a și a 3-a. Prima linie înmulțită cu 2 a fost adăugată la a patra linie.

(3) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele au fost eliminate.

Ca rezultat, se obține o matrice standard de etape, iar soluția continuă de-a lungul pistei moletate:

– variabile de bază;
sunt variabile libere.

Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabile libere. Din a 2-a ecuație:

- înlocuiți în prima ecuație:

Deci solutia generala este:

Deoarece există trei variabile libere în exemplul luat în considerare, sistemul fundamental conține trei vectori.

Să înlocuim un triplu de valori în soluția generală și obțineți un vector ale cărui coordonate satisfac fiecare ecuație a sistemului omogen. Și din nou, repet că este foarte de dorit să verificați fiecare vector primit - nu va dura atât de mult timp, dar va salva sută la sută de erori.

Pentru un triplu de valori găsi vectorul

Și în sfârșit pentru triplu obținem al treilea vector:

Răspuns: , Unde

Cei care doresc să evite valorile fracționale pot lua în considerare tripleți și obțineți răspunsul în forma echivalentă:

Apropo de fracții. Să ne uităm la matricea obținută în problemă și puneți întrebarea - este posibil să simplificați soluția ulterioară? Până la urmă, aici am exprimat mai întâi variabila de bază în termeni de fracții, apoi variabila de bază în termeni de fracții și, trebuie să spun, acest proces nu a fost cel mai ușor și nici cel mai plăcut.

A doua soluție:

Ideea este sa incerci alegeți alte variabile de bază. Să ne uităm la matrice și să observăm două în coloana a treia. Deci de ce să nu obții zero în vârf? Să facem încă o transformare elementară:

Filiala Kaluga a instituției de învățământ de învățământ profesional superior bugetar de stat federal

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman"

(KF MSTU numit după N.E. Bauman)

Vlaikov N.D.

Soluție de SLAE omogen

Instrucțiuni pentru efectuarea exercițiilor

pe cursul geometriei analitice

Kaluga 2011

Obiectivele lecției pagina 4

Planul lecției pagina 4

Informații teoretice necesare p.5

Partea practică p.10

Controlul dezvoltării materialului acoperit p.13

Tema pentru acasă pagina 14

Numar de ore: 2

Obiectivele lecției:

Sistematizarea cunoștințelor teoretice primite despre tipurile de SLAE și modalități de rezolvare a acestora.

Obțineți abilități în rezolvarea SLAE-urilor omogene.

Planul lecției:

Prezentați pe scurt materialul teoretic.

Rezolvați un SLAE omogen.

Găsiți un sistem fundamental de soluții pentru un SLAE omogen.

Găsiți o soluție specială a SLAE omogen.

Formulați un algoritm pentru rezolvarea unui SLAE omogen.

Verifică-ți temele curente.

Efectuați lucrări de verificare.

Introduceți subiectul următorului atelier.

Trimiteți temele curente.

Informații teoretice necesare.

Rangul matricei.

Def. Rangul unei matrice este numărul care este egal cu ordinea maximă dintre minorii săi diferit de zero. Rangul unei matrice este notat cu .

Dacă o matrice pătrată este nedegenerată, atunci rangul este egal cu ordinea sa. Dacă o matrice pătrată este degenerată, atunci rangul ei este mai mic decât ordinul său.

Rangul unei matrici diagonale este egal cu numărul elementelor diagonale nenule ale acesteia.

Theor. Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă, adică
.

Theor. Rangul unei matrice nu se modifică în cazul transformărilor elementare ale rândurilor și coloanelor sale.

Teorema minoră a bazei.

Def. Minor
matrici se numește de bază dacă sunt îndeplinite două condiții:

a) nu este egal cu zero;

b) ordinea sa este egală cu rangul matricei .

Matricea poate avea mai mulți minori de bază.

Rândurile și coloanele unei matrice , în care se află minorul de bază ales, se numesc de bază.

Theor. Teorema minoră a bazei. Rândurile (coloanele) de bază ale unei matrice corespunzând oricăruia dintre minorele sale de bază
, sunt liniar independente. Orice rând (coloane) ale unei matrice , neinclus în
, sunt combinații liniare de rânduri de bază (coloane).

Theor. Pentru orice matrice, rangul său este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente.

Calculul rangului matricei. Metoda transformărilor elementare.

Cu ajutorul transformărilor elementare de rând, orice matrice poate fi redusă la o formă în trepte. Rangul unei matrice pas este egal cu numărul de rânduri diferite de zero. Baza din ea este minora situată la intersecția rândurilor nenule cu coloane corespunzătoare primelor elemente nenule din stânga în fiecare dintre rânduri.

SLAU. Definiții de bază.

Def. Sistem

(15.1)

Numerele se numesc coeficienţi SLAE. Numerele
se numesc termeni liberi ai ecuatiilor.

Înregistrarea SLAE în forma (15.1) se numește coordonate.

Def. Se spune că un SLAE este omogen dacă
. În caz contrar, se numește eterogen.

Def. Soluția SLAE este un astfel de set de valori de necunoscute, la înlocuirea cărora fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o identitate. Orice soluție SLAE specifică este numită și soluția sa particulară.

Rezolvarea SLAE înseamnă rezolvarea a două probleme:

Aflați dacă SLAE are soluții;

Găsiți toate soluțiile dacă există.

Def. Un SLAE se numește articulație dacă are cel puțin o soluție. Altfel, se numește inconsecventă.

Def. Dacă SLAE (15.1) are o soluție și, în plus, unică, atunci se numește definită, iar dacă soluția nu este unică, atunci nedefinită.

Def. Dacă în ecuația (15.1)
,SLAE se numește pătrat.

Forme de înregistrare SLAU.

Pe lângă forma de coordonate (15.1), înregistrările SLAE folosesc adesea alte reprezentări ale acesteia.

(15.2)

Raportul se numește forma vectorială a SLAE.

Dacă luăm ca bază produsul matricelor, atunci SLAE (15.1) se poate scrie după cum urmează:

(15.3)

sau
.

Înregistrarea SLAE (15.1) în forma (15.3) se numește matrice.

SLAE omogen.

sistem omogen
ecuații algebrice liniare cu necunoscut este un sistem de formă

SLAE-urile omogene sunt întotdeauna consecvente, deoarece există întotdeauna o soluție zero.

Criteriu pentru existența unei soluții nenule. Pentru ca un SLAE pătrat omogen să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca matricea sa să fie degenerată.

Theor. Dacă coloane
,
, …,
sunt soluții ale unui SLAE omogen, atunci orice combinație liniară a acestora este, de asemenea, o soluție pentru acest sistem.

Consecinţă. Dacă un SLAE omogen are o soluție diferită de zero, atunci are un număr infinit de soluții.

Este firesc să încerci să găsești astfel de soluții
,
, …,
sisteme astfel încât orice altă soluție să fie reprezentată ca lor combinație liniarăși într-un mod unic.

Def. Orice set de
coloane liniar independente
,
, …,
, care sunt soluții ale SLAE omogen
, Unde este numărul de necunoscute și este rangul matricei sale , se numește sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE omogen.

În studiul și soluționarea sistemelor omogene de ecuații liniare în matricea sistemului, vom fixa minorul de bază. Baza minoră va corespunde coloanelor de bază și, prin urmare, necunoscutelor de bază. Necunoscutele rămase vor fi numite gratuite.

Theor. Despre structura soluției generale a unui SLAE omogen. Dacă
,
, …,
- un sistem fundamental arbitrar de soluții ale unui SLAE omogen
, atunci oricare dintre soluțiile sale poate fi reprezentată sub formă

Unde , …,- unele constante.

Acea. soluţia generală a SLAE omogenă are forma

Partea practică.

Luați în considerare seturi posibile de soluții pentru următoarele tipuri de SLAE și interpretarea lor grafică.

;
;
.

Luați în considerare posibilitatea de a rezolva aceste sisteme folosind formulele lui Cramer și metoda matricei.

Descrieți esența metodei Gauss.

Rezolvați următoarele sarcini.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE omogen. Găsiți FSR.

Să notăm matricea sistemului și să o reducem la o formă în trepte.

sistemul va avea infinit de solutii. FSR va consta din
coloane.

Să aruncăm liniile zero și să scriem din nou sistemul:

Vom lua în considerare statul minor de bază în colțul din stânga sus. Acea.
sunt necunoscutele de bază și
- gratuit. Expres
prin gratuit
:

;

Sa punem
.

În sfârșit avem:

- forma coordonată a răspunsului, sau

- forma matriceală a răspunsului, sau

- forma vectoriala a raspunsului (vector - coloanele sunt coloanele FSR).

Algoritm pentru rezolvarea unui SLAE omogen.

Găsiți FSR și soluția generală a următoarelor sisteme:

№2.225(4.39)

. Răspuns:

№2.223(2.37)

. Răspuns:

№2.227(2.41)

. Răspuns:

Rezolvați SLAE omogen:

. Răspuns:

Rezolvați SLAE omogen:

. Răspuns:

Prezentarea subiectului următorului seminar.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare neomogene.

Urmărirea dezvoltării materialului acoperit.

Test de lucru 3 - 5 minute. 4 elevi cu numere impare în revistă participă, începând cu #10

Executați acțiuni:

;
;

Executați acțiuni:

Calculați determinantul:

Executați acțiuni:

nedefinit

Executați acțiuni:

Găsiți inversul matricei unuia dat:

Calculați determinantul:

Teme pentru acasă:

1. Rezolvați probleme:

№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.

2. Pregătiți prelegeri pe teme:

Sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAE). Notație de coordonate, matrice și vectorială. Criteriul Kronecker - compatibilitate Capelli SLAE. SLAE neomogen. Criteriu pentru existența unei soluții nenule a unui SLAE omogen. Proprietățile soluțiilor unui SLAE omogen. Sistem fundamental de soluții ale unui SLAE omogen, o teoremă asupra existenței sale. Sistem fundamental normal de soluții. Teoremă privind structura soluției generale a unui SLAE omogen. Teoremă privind structura soluției generale a SLAE neomogen.

Sistemul liniar se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt 0.

Sub formă de matrice, sistemul omogen se scrie:
.

Sistemul omogen (2) este întotdeauna consistent . Este evident că setul de numere
,
, …,
satisface fiecare ecuație a sistemului. Soluţie
numit zero sau banal decizie. Astfel, un sistem omogen are întotdeauna o soluție zero.

În ce condiții sistemul omogen (2) va avea soluții diferite de zero (netriviale)?

Teorema 1.3 Sistem omogen (2) are soluții diferite de zero dacă şi numai dacă rangul r matricea sa principală mai mic decât numărul necunoscut n .

Sistemul (2) - nedefinit
.

Consecința 1. Dacă numărul de ecuații m sistem omogen este mai mic decât numărul de variabile
, atunci sistemul este nedefinit și are un set de soluții diferite de zero.

Consecința 2. Sistem omogen pătrat
are soluții diferite de zero dacă și dacă matricea principală a acestui sistem este degenerat, adică determinant
.

În caz contrar, dacă determinantul
, sistemul omogen pătrat are singurul lucru soluție zero
.

Fie rangul sistemului (2)
adică sistemul (2) are soluții netriviale.

Lasa Și - soluții particulare ale acestui sistem, de ex.
Și
.

Proprietățile soluțiilor unui sistem omogen

Într-adevăr, .

Combinând proprietățile 1) și 2), putem spune că dacă

…,
- soluții ale sistemului omogen (2), atunci orice combinație liniară a acestora este și soluția sa. Aici
sunt numere reale arbitrare.

Poate fi găsit
soluții particulare liniar independente sistem omogen (2), care poate fi utilizat pentru a obține orice altă soluție particulară a acestui sistem, de ex. obțineți soluția generală a sistemului (2).

Definiție 2.2 Agregat
soluții particulare liniar independente

…,
sistem omogen (2) astfel încât fiecare soluție a sistemului (2) poate fi reprezentată ca o combinație liniară a acestora se numește sistem fundamental de decizie (FSR) de sistem omogen (2).

Lasa

…,
este sistemul fundamental de soluții, atunci soluția generală a sistemului omogen (2) poate fi reprezentată ca:

Unde

.

Cometariu. Pentru a obține FSR, trebuie să găsiți soluții private

…,
, oferindu-i alternativ oricui gratuit valoare variabilă„1” și toate celelalte variabile libere - valoarea „0”.

obține ,, …,- FSR.

Exemplu. Aflați soluția generală și sistemul fundamental de soluții ale sistemului omogen de ecuații:

Soluţie. Să scriem matricea extinsă a sistemului, mai întâi punând ultima ecuație a sistemului pe primul loc și să o reducem la o formă în trepte. Deoarece părțile din dreapta ale ecuațiilor nu se modifică ca urmare a transformărilor elementare, rămânând zero, coloana

poate să nu fie scris.

̴
̴
̴

Rangul sistemului unde
- numărul de variabile. Sistemul este incert și are multe soluții.

Baza minoră cu variabile
diferit de zero:
alege
ca variabile de bază, restul
- variabile libere (iau orice valori reale).

Ultima matrice din lanț corespunde sistemului de ecuații în trepte:

(3)

Exprimați variabilele de bază
prin variabile libere
(cursul invers al metodei Gauss).

Din ultima ecuație pe care o exprimăm :
și înlocuiți în prima ecuație. Vom primi. Deschidem parantezele, dăm altele asemănătoare și exprimăm :
.

Presupunând
,
,
, Unde
, scrie

este soluția generală a sistemului.

Să găsim un sistem fundamental de soluții

,,.

Atunci soluția generală a sistemului omogen poate fi scrisă astfel:

Cometariu. FSR-ul putea fi găsit în alt mod, fără a găsi mai întâi soluția generală a sistemului. Pentru a face acest lucru, sistemul de etape rezultat (3) a trebuit rezolvat de trei ori, presupunând pt :
; pentru :
; pentru :
.

Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

În cadrul lecțiilor metoda GaussȘi Sisteme/sisteme incompatibile cu o soluție comună am luat în considerare sisteme neomogene de ecuaţii liniare, Unde membru liber(care este de obicei în dreapta) cel puțin unul a ecuațiilor a fost diferită de zero.
Și acum, după o bună încălzire cu rangul matricei, vom continua să lustruim tehnica transformări elementare pe sistem omogen de ecuații liniare.
Conform primelor paragrafe, materialul poate părea plictisitor și obișnuit, dar această impresie este înșelătoare. Vor exista o mulțime de informații noi pe lângă dezvoltarea ulterioară a tehnicilor, așa că vă rugăm să încercați să nu neglijați exemplele din acest articol.

Ce este un sistem omogen de ecuații liniare?

Răspunsul se sugerează de la sine. Un sistem de ecuații liniare este omogen dacă termenul liber toata lumea ecuația sistemului este zero. De exemplu:

Exemplul 1

(1) Primul rând a fost adăugat celui de-al doilea rând, înmulțit cu -2. Prima linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -3.

(2) A doua linie a fost adăugată la a treia linie, înmulțită cu -1.

Împărțirea celui de-al treilea rând la 3 nu are prea mult sens.

Ca urmare a transformărilor elementare se obține un sistem omogen echivalent , și, aplicând mișcarea inversă a metodei gaussiene, este ușor de verificat că soluția este unică.

Răspuns:

Ne încălzim și ne acordăm radioul la un val de transformări elementare:

Exemplul 2

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Din articol Cum se află rangul unei matrice? tine minte recepție rațională reducerea trecătoare a numerelor matriceale. În caz contrar, va trebui să măcelăriți pești mari și adesea mușcători. Un exemplu de temă la sfârșitul lecției.

Zerourile sunt bune și convenabile, dar în practică cazul este mult mai frecvent atunci când rândurile matricei sistemului dependent liniar. Și atunci apariția unei soluții generale este inevitabilă:

Exemplul 3

Rezolvați un sistem omogen de ecuații liniare

Soluţie: scriem matricea sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă de pas. Prima acțiune vizează nu numai obținerea unei singure valori, ci și reducerea numerelor din prima coloană:

(1) Al treilea rând a fost adăugat la primul rând, înmulțit cu -1. A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu -2. În stânga sus, am primit o unitate cu un „minus”, care este adesea mult mai convenabil pentru transformări ulterioare.

(2) Primele două rânduri sunt aceleași, unul dintre ele a fost eliminat. Sincer, nu am ajustat decizia - s-a întâmplat. Dacă efectuați transformări într-un șablon, atunci dependență liniară liniile aveau să apară puțin mai târziu.

(3) La a treia linie, se adaugă a doua linie, înmulțită cu 3.

(4) Semnul primei linii a fost schimbat.

Ca rezultat al transformărilor elementare, se obține un sistem echivalent:

Algoritmul funcționează exact la fel ca pentru sisteme eterogene. Variabilele „șezând pe trepte” sunt principalele, variabila care nu a primit „treptele” este liberă.

Exprimăm variabilele de bază în termeni de variabilă liberă:

Răspuns: decizie comună:

Soluția banală este inclusă în formula generală și nu este necesar să o scrieți separat.

Verificarea se efectuează, de asemenea, conform schemei obișnuite: soluția generală rezultată trebuie înlocuită în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului și se obține un zero legitim pentru toate substituțiile.

Acest lucru ar putea fi încheiat în liniște, dar soluția unui sistem omogen de ecuații trebuie adesea reprezentată sub formă de vector prin intermediul sistem fundamental de decizie. Vă rugăm să uitați temporar geometrie analitică, întrucât acum vom vorbi despre vectori în sens algebric general, pe care i-am deschis puțin într-un articol despre rangul matricei. Terminologia nu este necesară umbrită, totul este destul de simplu.