Se știe dintr-un curs de matematică școlar că un vector pe un plan este un segment direcționat. Începutul și sfârșitul lui au două coordonate. Coordonatele vectoriale sunt calculate scăzând coordonatele de început din coordonatele de sfârșit.

Conceptul de vector poate fi extins și la un spațiu n-dimensional (în loc de două coordonate vor fi n coordonate).

Gradient grad z al funcției z = f(х 1 , х 2 , …х n) este vectorul derivatelor parțiale ale funcției în punctul, i.e. vector cu coordonate .

Se poate dovedi că gradientul unei funcții caracterizează direcția de creștere cea mai rapidă a nivelului funcției într-un punct.

De exemplu, pentru funcția z \u003d 2x 1 + x 2 (a se vedea figura 5.8), gradientul în orice punct va avea coordonate (2; 1). Îl poți construi pe un avion căi diferite, luând orice punct ca început al vectorului. De exemplu, puteți conecta punctul (0; 0) la punctul (2; 1), sau punctul (1; 0) la punctul (3; 1) sau punctul (0; 3) la punctul (2; 4), sau t .P. (vezi figura 5.8). Toți vectorii construiți în acest fel vor avea coordonatele (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Figura 5.8 arată clar că nivelul funcției crește în direcția gradientului, deoarece liniile de nivel construite corespund valorilor nivelului 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Funcția gradient z \u003d 2x 1 + x 2

Luați în considerare un alt exemplu - funcția z = 1/(x 1 x 2). Gradientul acestei funcții nu va mai fi întotdeauna același în puncte diferite, deoarece coordonatele sale sunt determinate de formulele (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

Figura 5.9 prezintă liniile de nivel ale funcției z = 1 / (x 1 x 2) pentru nivelurile 2 și 10 (linia dreaptă 1 / (x 1 x 2) = 2 este indicată printr-o linie punctată, iar linia dreaptă
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - linie continuă).

Figura 5.9 - Gradienții funcției z \u003d 1 / (x 1 x 2) în diferite puncte

Luați, de exemplu, punctul (0,5; 1) și calculați gradientul în acest punct: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Rețineți că punctul (0,5; 1) se află pe linia de nivel 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, deoarece z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. Pentru reprezentați vectorul (-4; -2) în Figura 5.9, conectăm punctul (0.5; 1) cu punctul (-3.5; -1), deoarece
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Să luăm un alt punct de pe aceeași linie de nivel, de exemplu, punctul (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calculați gradientul în acest punct
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Pentru a o reprezenta în Figura 5.9, conectăm punctul (1; 0.5) cu punctul (-1; -3.5), deoarece (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Să mai luăm un punct pe aceeași linie de nivel, dar abia acum într-un sfert de coordonate nepozitiv. De exemplu, punctul (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Gradientul în acest punct va fi
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Să o reprezentăm în Figura 5.9 conectând punctul (-0,5; -1) cu punctul (3,5; 1), deoarece (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

FUNCȚIE DE GRADIENT u = f(x, y, z) specificate într-o regiune. spaţiu (X Y Z), mânca vector cu proiecţii notate prin simboluri: grad Unde i, j, k- vectori de coordonate. G. f. - există o funcție punct (X y, z), adică formează un câmp vectorial. Derivată în direcția lui G. f. în acest moment atinge valoarea sa maximă și este egal cu: Direcția gradientului este direcția celei mai rapide creșteri a funcției. G. f. într-un punct dat este perpendiculară pe suprafaţa plană care trece prin acest punct. Eficiența utilizării G. f. în studii litologice s-a arătat în studiul eolian ex. Karakum central.

Dicţionar geologic: în 2 volume. - M.: Nedra. Editat de K. N. Paffengolts et al.. 1978 .

Vedeți ce este „FUNȚIA GRADIENT” în alte dicționare:

Acest articol este despre caracteristica matematică; despre metoda de umplere, vezi: Gradient (grafică pe computer) ... Wikipedia

- (lat.). Diferența dintre citirile barometrice și termometrice în diferite zone. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. Diferența de GRADIENT în citirile unui barometru și ale unui termometru în același moment ... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

gradient- Modificarea valorii unei cantități pe unitate de distanță într-o direcție dată. Un gradient topografic este schimbarea cotei pe o distanță orizontală măsurată. Protecția releului EN gradient al caracteristicii de declanșare a protecției diferențiale … Manualul Traducătorului Tehnic

Gradient- un vector îndreptat spre cea mai rapidă creștere a funcției și egal ca mărime cu derivata sa în această direcție: unde simbolurile ei denotă vectorii unitari ai axelor de coordonate (orths) ... Dicţionar economic şi matematic

Unul dintre conceptele de bază ale analizei vectoriale și teoria mapărilor neliniare. Gradientul funcției scalare a argumentului vectorial din spațiul euclidian E n numit. derivată a funcției f (t) în raport cu argumentul vectorial t, adică un vector n-dimensional cu ... ... Enciclopedie matematică

gradient fiziologic- - o valoare care reflectă o modificare a lui k sau un indicator al unei funcții în funcție de o altă valoare; de exemplu, gradientul de presiune parțială este diferența de presiuni parțiale care determină difuzia gazelor din alveole (accinus) în sânge și din sânge în ... ... Glosar de termeni pentru fiziologia animalelor de fermă

I Gradient (din lat. gradiens, genus gradientis walking) Un vector care arată direcția celei mai rapide modificări a unei cantități, a cărei valoare se schimbă de la un punct din spațiu la altul (vezi Teoria câmpului). Dacă valoarea ...... Marea Enciclopedie Sovietică

Gradient- (din lat. gradiens walking, walking) (la matematică) un vector care arată direcția celei mai rapide creșteri a unei funcții; (în fizică) o măsură a creșterii sau scăderii în spațiu sau pe un plan al unora cantitate fizica pe unitate ... ... Începuturile științelor naturale moderne

Cărți

• Metode de rezolvare a unor probleme ale secţiunilor selectate de matematică superioară. Practicum, Klimenko Konstantin Grigorievich, Levitskaya Galina Vasilievna, Kozlovsky Evgeny Alexandrovich. Acest workshop discută metode de rezolvare a unor tipuri de probleme din astfel de secțiuni ale cursului general acceptat analiză matematică, ca limită și extremă a unei funcții, gradient și derivată...

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $(x,y)$ de valori a două variabile independente dintr-un domeniu, o anumită valoare$z$, atunci se spune că $z$ este o funcție a două variabile $(x,y)$. Notație: $z=f(x,y)$.

Luați în considerare funcția $z=f(x,y)$, care este definită într-un domeniu în spațiul $Oxy$.

Prin urmare,

Definiția 3

Dacă pentru fiecare triplă $(x,y,z)$ de valori a trei variabile independente dintr-un domeniu este atribuită o anumită valoare $w$, atunci $w$ este o funcție a trei variabile $(x, y,z)$ în această zonă.

Desemnare:$w=f(x,y,z)$.

Luați în considerare funcția $w=f(x,y,z)$, care este definită într-un anumit domeniu în spațiul $Oxyz$.

Pentru funcţie dată definiți un vector pentru care proiecțiile pe axele de coordonate sunt valorile derivatelor parțiale ale funcției date la un punct $\frac(\partial z)(\partial x) ;\frac(\partial z)(\ parțial y) $.

Definiția 4

Gradientul unei funcții date $w=f(x,y,z)$ este un vector $\overrightarrow(gradw) $ de următoarea formă:

Teorema 3

Să fie definit un câmp gradient într-un câmp scalar $w=f(x,y,z)$

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Derivată $\frac(\partial w)(\partial s) $ în direcția din spate vector dat$\overrightarrow(s)$ este egal cu proiecția vectorului de gradient $\overrightarrow(gradw)$ pe vectorul $\overrightarrow(s)$.

Exemplul 4

Soluţie:

Expresia pentru gradient se găsește prin formula

\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\partial w)(\partial x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\partial w)(\partial y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\partial w)(\partial z) \cdot \overrightarrow(k) .\]

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =2.\]

Prin urmare,

\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]

Exemplul 5

Determinați gradientul unei funcții date

în punctul $M(1;2;1)$. Calculați $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $.

Soluţie:

Expresia pentru gradient în punct dat găsi prin formulă

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\partial w)(\partial x) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\left (\frac(\partial w)(\partial y) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\partial w)(\partial z) \right)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]

Derivatele parțiale au forma:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2x;\frac(\partial w)(\partial y) =4y;\frac(\partial w)(\partial z) =6z^(2) .\]

Derivate în punctul $M(1;2)$:

\[\frac(\partial w)(\partial x) =2\cdot 1=2;\frac(\partial w)(\partial y) =4\cdot 2=8;\frac(\partial w)( \partial z) =6\cdot 1^(2) =6.\]

Prin urmare,

\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]

\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36 ) =\sqrt(104) .\]

Să enumerăm câteva proprietăți de gradient:

Derivata unei functii date intr-un punct dat in directia unui vector $\overrightarrow(s)$ are cea mai mare valoare dacă direcția vectorului $\overrightarrow(s)$ dat este aceeași cu direcția gradientului. În acest caz, această valoare cea mai mare a derivatei coincide cu lungimea vectorului gradient, i.e. $|\overrightarrow(gradw) |$.

Derivata functiei date fata de directia vectorului care este perpendiculara pe vectorul gradient, i.e. $\overrightarrow(gradw) $ este egal cu 0. Deoarece $\varphi =\frac(\pi )(2) $, atunci $\cos \varphi =0$; deci $\frac(\partial w)(\partial s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.

Gradient funcții este o mărime vectorială, a cărei constatare este asociată cu definirea derivatelor parțiale ale funcției. Direcția gradientului indică calea celei mai rapide creșteri a funcției de la un punct al câmpului scalar la altul.

Instruire

1. Pentru a rezolva problema pe gradientul funcției se folosesc metode calcul diferenţial, și anume, găsirea derivatelor parțiale de ordinul întâi față de trei variabile. Se presupune că funcția în sine și toate derivatele sale parțiale au proprietatea de continuitate în domeniul funcției.

2. Un gradient este un vector a cărui direcție indică direcția celei mai rapide creșteri a funcției F. Pentru aceasta, pe grafic sunt selectate două puncte M0 și M1, care sunt capetele vectorului. Valoarea gradientului este egală cu rata de creștere a funcției de la punctul M0 la punctul M1.

3. Funcția este diferențiabilă în toate punctele acestui vector, prin urmare, proiecțiile vectorului pe axele de coordonate sunt toate derivatele sale parțiale. Atunci formula gradientului arată astfel: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, unde i, j, k sunt coordonatele vectorului unitar. Cu alte cuvinte, gradientul unei funcții este un vector ale cărui coordonate sunt derivatele sale parțiale grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Exemplul 1. Fie dată funcția F = sin (x z?) / y. Este necesar să-și găsească gradientul în punctul (?/6, 1/4, 1).

5. Soluție. Determinați derivatele parțiale în raport cu orice variabilă: F'_x \u003d 1 / y cos (xz?) z?; F'_y \u003d sin (xz?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. Înlocuiți celebrele coordonate ale punctului: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.

7. Aplicați formula gradientului funcției: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. Exemplul 2. Aflați coordonatele gradientului funcției F = y arсtg (z / x) în punctul (1, 2, 1).

9. Soluție. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -yz / (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4;F'_z = 0 arctg(z/x ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1, ?/4, 1).

Gradientul câmpului scalar este o mărime vectorială. Astfel, pentru a-l găsi, este necesară determinarea tuturor componentelor vectorului corespunzător, pe baza cunoștințelor despre împărțirea câmpului scalar.

Instruire

1. Citiți în manual matematica superioara, care este gradientul câmpului scalar. După cum știți, această mărime vectorială are o direcție caracterizată de rata maximă de dezintegrare a funcției scalare. Un astfel de sens al unei mărimi vectoriale date este justificat de o expresie pentru determinarea componentelor sale.

2. Amintiți-vă că fiecare vector este definit de valorile componentelor sale. Componentele vectoriale sunt de fapt proiecții ale acestui vector pe una sau alta axă de coordonate. Astfel, dacă se ia în considerare spatiu tridimensional, atunci vectorul trebuie să aibă trei componente.

3. Scrieți cum sunt determinate componentele unui vector care este gradientul unui câmp. Toate coordonatele unui astfel de vector sunt egale cu derivata potențialului scalar în raport cu variabila a cărei coordonată este calculată. Adică, dacă trebuie să calculați componenta „X” a vectorului de gradient de câmp, atunci trebuie să diferențiați functie scalara prin variabila „x”. Rețineți că derivata trebuie să fie cât. Aceasta înseamnă că la diferențiere, variabilele rămase care nu participă la aceasta trebuie considerate constante.

4. Scrieți o expresie pentru câmpul scalar. După cum știți, acest termen înseamnă fiecare doar o funcție scalară a mai multor variabile, care sunt și cantități scalare. Numărul de variabile ale unei funcții scalare este limitat de dimensiunea spațiului.

5. Diferențiați separat funcția scalară în raport cu fiecare variabilă. Ca rezultat, veți avea trei funcții noi. Scrieți orice funcție în expresia pentru vectorul gradient al câmpului scalar. Oricare dintre funcțiile obținute este într-adevăr un indicator pentru un vector unitar al unei coordonate date. Astfel, vectorul gradient final ar trebui să arate ca un polinom cu exponenți ca derivate ale unei funcții.

Când luăm în considerare problemele care implică reprezentarea unui gradient, este mai obișnuit să ne gândim la fiecare ca pe un câmp scalar. Prin urmare, trebuie să introducem notația adecvată.

Vei avea nevoie

• - boom;
• - pix.

Instruire

1. Fie funcția dată de trei argumente u=f(x, y, z). Derivata parțială a unei funcții, de exemplu față de x, este definită ca derivată față de acest argument, obținută prin fixarea argumentelor rămase. Restul argumentelor sunt similare. Notația derivată parțială se scrie ca: df / dx \u003d u’x ...

2. Diferența totală va fi egală cu du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz. Derivatele parțiale pot fi înțelese ca derivate în direcții axele de coordonate. În consecință, se pune problema găsirii derivatei față de direcția unui vector dat s în punctul M(x, y, z) (nu uitați că direcția s specifică un vector unitar-ort s^o). În acest caz, vectorul diferenţial al argumentelor este (dx, dy, dz)=(dscos(alpha), dscos(beta), dscos(gamma)).

3. Având în vedere priveliștea diferenţial total du, se poate concluziona că derivata față de direcția s în punctul M este: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alfa)+ ((df/dy) |M)cos (beta) + ((df / dz) | M) cos (gamma). Dacă s = s (sx, sy, sz), atunci cosinusurile direcției (cos (alfa), cos (beta), cos (gamma)) sunt calculate (vezi Fig.1a).

4. Definiția derivatei direcționale, considerând punctul M ca o variabilă, poate fi rescrisă sub formă produs punctual: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma)))=(grad u, s^o). Această expresie va fi obiectivă pentru un câmp scalar. Dacă luăm în considerare o funcție ușoară, atunci gradf este un vector având coordonatele care coincid cu derivatele parțiale f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/dz). )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Aici (i, j, k) sunt vectorii unitari ai axelor de coordonate în dreptunghiular Sistemul cartezian coordonate.

5. Dacă folosim operatorul vectorial diferenţial Hamilton Nabla, atunci gradf poate fi scris ca înmulţirea acestui vector operator cu scalarul f (vezi Fig. 1b). Din punctul de vedere al legăturii lui gradf cu derivata direcțională, egalitatea (gradf, s^o)=0 este admisibilă dacă acești vectori sunt ortogonali. În consecință, gradf este adesea definit ca direcția celei mai rapide metamorfoze a unui câmp scalar. Și din punctul de vedere al operațiilor diferențiale (gradf este una dintre ele), proprietățile lui gradf repetă exact proprietățile de diferențiere a funcțiilor. În special, dacă f=uv, atunci gradf=(vgradu+ugradv).

Videoclipuri similare

Gradient acesta este un instrument care în editorii grafici umple silueta cu o tranziție lină a unei culori la alta. Gradient poate da unei siluete rezultatul volumului, poate simula iluminarea, reflexiile luminii pe suprafața unui obiect sau rezultatul unui apus de soare pe fundalul unei fotografii. Acest instrument are o utilizare largă, prin urmare, pentru prelucrarea fotografiilor sau crearea ilustrațiilor, este foarte important să învățați cum să îl folosiți.

Vei avea nevoie

• Computer, editor grafic Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net sau altele.

Instruire

1. Deschideți imaginea în program sau faceți una nouă. Faceți o siluetă sau selectați zona dorită din imagine.

2. Activați instrumentul Gradient din bara de instrumente a editorului grafic. Plasați cursorul mouse-ului pe un punct din interiorul zonei sau siluetei selectate, unde va începe prima culoare a gradientului. Faceți clic și țineți apăsat butonul stâng al mouse-ului. Mutați cursorul în punctul în care gradientul ar trebui să treacă la culoarea finală. Eliberați butonul stâng al mouse-ului. Silueta selectată va fi umplută cu o umplere în degrade.

3. Gradient y este posibil să setați transparența, culorile și raportul acestora la un anumit punct de umplere. Pentru a face acest lucru, deschideți fereastra Gradient Edit. Pentru a deschide fereastra de editare în Photoshop, faceți clic pe exemplul de gradient din panoul Opțiuni.

4. În fereastra care se deschide, opțiunile disponibile de umplere cu gradient sunt afișate ca exemple. Pentru a edita una dintre opțiuni, selectați-o cu un clic de mouse.

5. Un exemplu de gradient este afișat în partea de jos a ferestrei sub forma unei scale largi cu glisoare. Glisoarele indică punctele în care gradientul ar trebui să aibă colațiile specificate, iar în intervalul dintre glisoare, culoarea trece uniform de la cea specificată la primul punct la culoarea celui de-al doilea punct.

6. Glisoarele situate în partea de sus a scalei stabilesc transparența gradientului. Pentru a schimba transparența, faceți clic pe glisorul dorit. Sub scară va apărea un câmp, în care introduceți gradul de transparență necesar în procente.

7. Glisoarele din partea de jos a scalei stabilesc culorile gradientului. Făcând clic pe una dintre ele, vei putea prefera culoarea dorită.

8. Gradient poate avea mai multe culori de tranziție. Pentru a seta o altă culoare, faceți clic pe un spațiu gol din partea de jos a scalei. Un alt glisor va apărea pe el. Setați culoarea dorită pentru aceasta. Scara va afișa un exemplu de gradient cu încă un punct. Puteți muta glisoarele ținându-le cu sprijinul butonului stâng al mouse-ului pentru a obține combinația dorită.

9. Gradient Există mai multe tipuri care pot da formă unor siluete plate. Sa zicem ca pentru a da unui cerc forma unei mingi se aplica un gradient radial, iar pentru a da forma unui con se aplica un gradient conic. Pentru a da suprafeței iluzia de umflătură, puteți folosi un gradient specular, iar un gradient în formă de romb poate fi folosit pentru a crea lumini.

Videoclipuri similare

Videoclipuri similare

1 0 Gradientul este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel (sau către linia de nivel dacă câmpul este plat).

2 0 Gradientul este direcționat în direcția creșterii funcției câmpului.

3 0 Modulul de gradient este egal cu cea mai mare derivată în direcția într-un punct dat al câmpului:

Aceste proprietăți dau o caracteristică invariantă a gradientului. Ei spun că vectorul gradU indică direcția și mărimea celei mai mari modificări în câmpul scalar la un punct dat.

Observație 2.1. Dacă funcția U(x,y) este o funcție a două variabile, atunci vectorul

se află în planul oxi.

Fie U=U(x,y,z) și V=V(x,y,z) funcții diferențiabile în punctul М 0 (x,y,z). Atunci sunt valabile următoarele egalități:

a) grad()= ; b) grad(UV)=VgradU+UgradV;

c) grad(U V)=gradU gradV; d) d) grad = , V ;

e) gradU( = gradU, unde , U=U() are o derivată în raport cu .

Exemplul 2.1. Este dată funcția U=x 2 +y 2 +z 2. Determinați gradientul funcției în punctul M(-2;3;4).

Soluţie. Conform formulei (2.2), avem

Suprafețele de nivel ale acestui câmp scalar sunt familia de sfere x 2 +y 2 +z 2 , vectorul gradU=(-4;6;8) este vectorul normal al planelor.

Exemplul 2.2. Aflați gradientul câmpului scalar U=x-2y+3z.

Soluţie. Conform formulei (2.2), avem

Suprafețele de nivel ale unui câmp scalar dat sunt planele

x-2y+3z=C; vectorul gradU=(1;-2;3) este vectorul normal al planelor acestei familii.

Exemplul 2.3. Aflați panta cea mai abruptă a suprafeței U=x y în punctul M(2;2;4).

Soluţie. Avem:

Exemplul 2.4. Aflați vectorul normal unitar la suprafața de nivel a câmpului scalar U=x 2 +y 2 +z 2 .

Soluţie. Suprafețe de nivel ale unui câmp-sferă scalar dat x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Gradientul este îndreptat de-a lungul normalei la suprafața de nivel, astfel încât

Definește vectorul normal la suprafața de nivel în punctul M(x,y,z). Pentru un vector normal unitar, obținem expresia

Exemplul 2.5. Aflați gradientul câmpului U= , unde și sunt vectori constanți, r este vectorul rază a punctului.

Soluţie. Lasa

Apoi: . Prin regula de diferențiere a determinantului, obținem

Prin urmare,

Exemplul 2.6. Găsiți gradientul distanței, unde P(x,y,z) este punctul câmpului studiat, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) este un punct fix.

Soluţie. Avem vector de direcție unitar.

Exemplul 2.7. Aflați unghiul dintre gradienții funcțiilor în punctul M 0 (1,1).

Soluţie. Găsim gradienții acestor funcții în punctul M 0 (1,1), avem

; Unghiul dintre gradU și gradV în punctul M 0 se determină din egalitate

Prin urmare =0.

Exemplul 2.8. Aflați derivata față de direcția, vectorul rază este egal cu

Soluţie. Găsirea gradientului acestei funcții:

Înlocuind (2.5) în (2.4), obținem

Exemplul 2.9. Găsiți în punctul M 0 (1;1;1) direcția celei mai mari modificări în câmpul scalar U=xy+yz+xz și mărimea acestei modificări cele mai mari în acest punct.

Soluţie. Direcția celei mai mari schimbări în câmp este indicată de vectorul grad U(M). Il gasim:

Prin urmare, . Acest vector determină direcția celei mai mari creșteri a acestui câmp în punctul M 0 (1;1;1). Valoarea celei mai mari modificări în câmp în acest moment este egală cu

Exemplul 3.1. Găsiți linii vectoriale câmp vectorial unde este un vector constant.

Soluţie. Asa avem

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu x, a doua cu y, a treia cu z și adăugați-o termen cu termen. Folosind proprietatea proporției, obținem

Prin urmare, xdx+ydy+zdz=0, ceea ce înseamnă

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Acum înmulțind numărătorul și numitorul primei fracții (3.3) cu c 1, a doua cu c 2, a treia cu c 3 și însumând-o termen cu termen, obținem

De unde c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Și, prin urmare, cu 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2-const.

Ecuații necesare ale liniilor vectoriale

Aceste ecuații arată că liniile vectoriale se obțin ca urmare a intersecției sferelor având un centru comun la origine cu plane perpendiculare pe vector. Rezultă că liniile vectoriale sunt cercuri ale căror centre sunt pe o dreaptă care trece prin origine în direcția vectorului c. Planurile cercurilor sunt perpendiculare pe dreapta specificată.

Exemplul 3.2. Găsiți linia vectorului câmp care trece prin punctul (1,0,0).

Soluţie. Ecuatii diferentiale linii vectoriale

Prin urmare avem. Rezolvarea primei ecuații. Sau dacă introducem parametrul t, atunci vom avea În acest caz, ecuația ia forma sau dz=bdt, de unde z=bt+c 2 .