): ⟨a | b ⟩ (\displaystyle \langle a|b\rangle )

În cel mai simplu caz al spațiului obișnuit, produsul scalar al vectorilor nenuli și b (\displaystyle \mathbf (b) ) este definită ca produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

(a, b) = | a | | b | cos ⁡ (θ) (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\cos(\theta))

O definiție echivalentă: produsul scalar este produsul dintre lungimea proiecției primului vector pe al doilea și lungimea celui de-al doilea vector (vezi figura). Dacă cel puțin unul dintre vectori este zero, atunci produsul este considerat egal cu zero.

Conceptul de produs scalar are de asemenea un numar mare de generalizări pentru diverse spații vectoriale, adică pentru mulțimi de vectori cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalari. Date mai sus definiție geometrică produsul scalar este în general nepotrivit, deoarece nu este clar ce se înțelege prin lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Prin urmare, în matematica modernă, se utilizează abordarea inversă: produsul scalar este definit axiomatic și deja prin el - lungimi și unghiuri. În special, produsul interior este definit pentru vectori complecși, spații multidimensionale și infinit-dimensionale, în algebra tensorală.

Produsul punctual și generalizările sale joacă un rol extrem de important în algebra vectorială, teoria varietăților, mecanică și fizică. De exemplu, munca unei forțe în timpul deplasării mecanice este egală cu produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasare.

Definiție

Definiție în spațiul euclidian

ÎN n (\displaystyle n) vectorii spațiali euclidieni reali -dimensionali sunt definiți prin coordonatele lor - mulțimi n (\displaystyle n) numere reale pe o bază ortonormală. Puteți defini produsul scalar al vectorilor astfel:

(a , b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ⋯ + anbn (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=a_(1)b_(1)+ a_(2)b_(2)+a_(3)b_(3)+\dots +a_(n)b_(n))

Verificarea arată că toate cele trei axiome sunt îndeplinite.

De exemplu, produsul scalar al vectorilor ( 1 , 3 , - 5 ) (\displaystyle \(1,3,-5\))Și ( 4 , - 2 , - 1 ) (\displaystyle \(4,-2,-1\)) se va calcula astfel:

( 1 , 3 , − 5 ) ⋅ ( 4 , − 2 , − 1 ) = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2) + (− 5) ⋅ (− 1) = 4 − 6 + 5 = 3. (\ stil de afișare (\begin(aligned)\\(1,3,-5\)\cdot \(4,-2,-1\)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5) \cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end(aliniat)))

Pentru vectori complecși a = ( a 1 , a 2 ... an ) , b = ( b 1 , b 2 ... bn ) (\displaystyle \mathbf (a) =\(a_(1),a_(2)\dots a_(n)\ ),\mathbf (b) =\(b_(1),b_(2)\dots b_(n)\)) definiți în mod similar:

(a , b) = ∑ k = 1 nakbk ¯ = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ + anbn ¯ (\displaystyle (\mathbf (a) ,\mathbf (b))=\sum _( k=1)^(n)a_(k)(\overline (b_(k)))=a_(1)(\overline (b_(1)))+a_(2)(\overline (b_(2)) ))+\cdots +a_(n)(\overline (b_(n)))).

Exemplu (pentru n = 2 (\displaystyle n=2)): ( 1 + i , 2 ) ⋅ ( 2 + i , i ) = (1 + i) ⋅ (2 + i ¯) + 2 ⋅ i ¯ = (1 + i) ⋅ (2 − i) + 2 ⋅ (− i) = 3 − i . (\displaystyle \(1+i,2\)\cdot \(2+i,i\)=(1+i)\cdot ((\overline (2+i)))+2\cdot (\overline ( i))=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.)

Definiții înrudite

În abordarea axiomatică modernă, deja pe baza conceptului de produs scalar al vectorilor, sunt introduse următoarele concepte derivate:

Lungime vector, care este de obicei înțeles ca norma sa euclidiană:

| a | = (a , a) (\displaystyle |\mathbf (a) |=(\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a)))))

(termenul „lungime” se aplică de obicei vectorilor cu dimensiuni finite, dar în cazul calculării lungimii traseu curbat folosit adesea în cazul spaţiilor infinit-dimensionale).

Pentru orice elemente a , b (\displaystyle \mathbf (a) ,\mathbf (b) ) spațiu vectorial cu produsul scalar, este valabilă următoarea inegalitate: | (a, b) | 2 ⩽ (a, a) (b, b) (\displaystyle \vert (\mathbf (a) ,\mathbf (b))\vert ^(2)\leqslant (\mathbf (a) ,\mathbf (a) )(\mathbf (b) ,\mathbf (b)))

Dacă spațiul este pseudo-euclidian, conceptul de unghi este definit doar pentru vectorii care nu conțin linii izotrope în interiorul sectorului format de vectori. În acest caz, unghiul însuși este introdus ca un număr al cărui cosinus hiperbolic este egal cu raportul dintre modulul produsului scalar al acestor vectori și produsul lungimilor lor (norme):

| (a, b) | = | a | | b | ch ⁡ φ . (\displaystyle |(\mathbf (a) ,\mathbf (b))|=|\mathbf (a) ||\mathbf (b) |\operatorname (ch) \varphi .)

• ortogonală(perpendiculari) sunt vectori al căror produs scalar este egal cu zero. Această definiție se aplică oricărui spațiu cu un produs interior definit pozitiv. De exemplu, polinoamele ortogonale sunt de fapt ortogonale (în sensul acestei definiții) între ele într-un spațiu Hilbert.
• Un spațiu (real sau complex) cu un produs interior pozitiv-definit se numește spațiu pre-Hilbert.
  • În acest caz, un spațiu real de dimensiuni finite cu un produs scalar pozitiv-definit se mai numește euclidian, iar unul complex se numește spațiu hermitian sau unitar.
• Cazul în care produsul scalar nu este definit de semn duce la așa-numitul. spații cu metrică nedefinită. Produsul scalar din astfel de spații nu mai generează o normă (și de obicei este introdus suplimentar). Un spațiu real de dimensiuni finite cu o metrică nedefinită se numește pseudo-euclidian (cel mai important caz particular al unui astfel de spațiu este spațiul Minkowski). Printre spațiile infinit-dimensionale cu metrică nedefinită rol important joacă spații Pontryagin și spații Kerin.

Proprietăți

• Teorema cosinusului este ușor de obținut folosind produsul punctual: | B C | 2 = B C → 2 = (A C → − A B →) 2 = ⟨ A C → − A B → , A C → − A B → ⟩ = A C → 2 + A B → 2 − 2 ⟨ A C → , A B → ⟩ = | A B | 2 + | A C | 2 − 2 | A B | | A C | cos ⁡ A ^ (\displaystyle |BC|^(2)=(\vec (BC))^(2)=((\vec (AC))-(\vec (AB)))^(2)=\ langle (\vec (AC))-(\vec (AB)),(\vec (AC))-(\vec (AB))\rangle =(\vec (AC))^(2)+(\vec (AB))^(2)-2\langle (\vec (AC)),(\vec (AB))\rangle =|AB|^(2)+|AC|^(2)-2|AB| |AC|\cos(\pălărie(A)))
• Estimarea unghiului dintre vectori: în formula (a, b) = | a | ⋅ | b | ⋅ cos ⁡ ∠ (a , b) (\displaystyle (\mathbf (\mathbf (a) ) ,\mathbf (b))=|\mathbf (a) |\cdot |\mathbf (b) |\cdot \cos \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (b)))) semnul este determinat doar de cosinusul unghiului (normele vectoriale sunt întotdeauna pozitive). Prin urmare, produsul scalar > 0 dacă unghiul dintre vectori este acut și< 0, если угол между векторами тупой.
• Proiecția unui vector pe direcția determinată de vector unitar e (\displaystyle \mathbf (e) ): a e = (a , e) = | a | | e | cos ⁡ ∠ (a , e) = | a | cos ⁡ ∠ (a, e) (\displaystyle a_(e)=(\mathbf (a) ,\mathbf (e))=|\mathbf (a) ||\mathbf (e) |\cos \angle ((() \mathbf (a) ,\mathbf (e)))=|\mathbf (a) |\cos \angle ((\mathbf (a) ,\mathbf (e)))), deoarece | e | = 1. (\displaystyle |\mathbf (e) |=1.)
• Aria unui paralelogram acoperită de doi vectori a (\displaystyle \mathbf (a) \ )Și b (\displaystyle \mathbf (b) \ ), este egal cu

(a, a) (b, b) - (a, b) 2 (\displaystyle (\sqrt ((\mathbf (a) ,\mathbf (a)))(\mathbf (b) ,\mathbf (b)) -(\mathbf (a) ,\mathbf (b))^(2)))\ )

Dacă în problemă atât lungimile vectorilor, cât și unghiul dintre ei sunt prezentate „pe un platou de argint”, atunci starea problemei și soluția ei arată astfel:

Exemplul 1 Se dau vectori. Aflați produsul scalar al vectorilor dacă lungimile lor și unghiul dintre ei sunt reprezentate de următoarele valori:

Este valabilă și o altă definiție, care este complet echivalentă cu definiția 1.

Definiția 2. Produsul scalar al vectorilor este un număr (scalar) egal cu produsul dintre lungimea unuia dintre acești vectori și proiecția unui alt vector pe axa determinată de primul dintre acești vectori. Formula conform definiției 2:

Vom rezolva problema folosind această formulă după următorul punct teoretic important.

Definirea produsului scalar al vectorilor în termeni de coordonate

Același număr poate fi obținut dacă vectorii înmulțiți sunt dați de coordonatele lor.

Definiția 3. Produsul scalar al vectorilor este numărul egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective.

La suprafata

Dacă doi vectori și în plan sunt definiți de cei doi ai lor coordonate carteziene

atunci produsul scalar al acestor vectori este egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective:

.

Exemplul 2 Aflați valoarea numerică a proiecției vectorului pe axa paralelă cu vectorul.

Soluţie. Găsim produsul scalar al vectorilor adunând produsele pe perechi ale coordonatelor lor:

Acum trebuie să echivalăm produsul scalar rezultat cu produsul dintre lungimea vectorului și proiecția vectorului pe o axă paralelă cu vectorul (în conformitate cu formula).

Găsim lungimea vectorului ca Rădăcină pătrată din suma pătratelor coordonatelor sale:

.

Scrieți o ecuație și rezolvați-o:

Răspuns. Valoarea numerică dorită este minus 8.

In spatiu

Dacă doi vectori și în spațiu sunt definiți prin cele trei coordonate dreptunghiulare carteziene ale acestora

,

atunci produsul scalar al acestor vectori este, de asemenea, egal cu suma produselor pe perechi ale coordonatelor respective, doar că există deja trei coordonate:

.

Sarcina de a găsi produsul scalar în modul considerat este după analiza proprietăților produsului scalar. Deoarece în sarcină va fi necesar să se determine ce unghi formează vectorii înmulțiți.

Proprietăți ale produsului punctual al vectorilor

Proprietăți algebrice

1. (comutativitate: valoarea produsului lor scalar nu se modifică de la schimbarea locurilor vectorilor înmulțiți).

2. (proprietate asociativă în raport cu un factor numeric: produsul scalar al unui vector înmulțit cu un factor și un alt vector este egal cu produsul scalar al acestor vectori înmulțit cu același factor).

3. (proprietate distributivă în raport cu suma vectorilor: produsul scalar al sumei a doi vectori cu al treilea vector este egal cu suma produselor scalare ale primului vector cu al treilea vector și al doilea cu al treilea vector).

4. (pătratul scalar al unui vector mai mare decât zero) dacă este un vector diferit de zero și , dacă este un vector zero.

Proprietăți geometrice

În definițiile operației studiate, am atins deja conceptul de unghi între doi vectori. Este timpul să clarificăm acest concept.

În figura de mai sus, sunt vizibili doi vectori, care sunt aduși la un început comun. Și primul lucru la care trebuie să acordați atenție: există două unghiuri între acești vectori - φ 1 Și φ 2 . Care dintre aceste unghiuri apare în definițiile și proprietățile produsului scalar al vectorilor? Suma unghiurilor considerate este 2 π și prin urmare cosinusurile acestor unghiuri sunt egale. Definiția produsului punctual include doar cosinusul unghiului, nu și valoarea expresiei acestuia. Dar numai un colț este luat în considerare în proprietăți. Și acesta este cel din cele două unghiuri care nu depășește π adică 180 de grade. Acest unghi este prezentat în figură ca φ 1 .

1. Se numesc doi vectori ortogonală Și unghiul dintre acești vectori este drept (90 de grade sau π /2 ) dacă produsul scalar al acestor vectori este zero :

.

Ortogonalitatea în algebra vectorială este perpendicularitatea a doi vectori.

2. Doi vectori nenuli alcătuiesc colt ascutit (de la 0 la 90 de grade sau, ceea ce este același, mai puțin π produsul punctual este pozitiv .

3. Doi vectori nenuli alcătuiesc unghi obtuz (de la 90 la 180 de grade sau, ceea ce este același - mai mult π /2 ) dacă și numai dacă produsul punctual este negativ .

Exemplul 3 Vectorii sunt dați în coordonate:

.

Calculați produsele punctuale ale tuturor perechilor de vectori dați. Ce unghi (acut, drept, obtuz) formează aceste perechi de vectori?

Soluţie. Vom calcula prin adăugarea produselor coordonatelor corespunzătoare.

Avem un număr negativ, deci vectorii formează un unghi obtuz.

Primit număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

Avem zero, deci vectorii formează un unghi drept.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

.

Avem un număr pozitiv, deci vectorii formează un unghi ascuțit.

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Exemplul 4 Având în vedere lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei:

.

Determinați la ce valoare a numărului vectorii și sunt ortogonali (perpendiculari).

Soluţie. Înmulțim vectorii după regula înmulțirii polinoamelor:

Acum să calculăm fiecare termen:

.

Să compunem o ecuație (egalitatea produsului la zero), să dăm termeni similari și să rezolvăm ecuația:

Răspuns: am primit valoarea λ = 1,8 , la care vectorii sunt ortogonali.

Exemplul 5 Demonstrați că vectorul ortogonal (perpendicular) pe vector

Soluţie. Pentru a verifica ortogonalitatea, înmulțim vectorii și ca polinoame, înlocuind expresia dată în condiția problemă în loc de ea:

.

Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți fiecare termen (termen) al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea și să adăugați produsele rezultate:

.

Ca urmare, fracția datorată este redusă. Se obtine urmatorul rezultat:

Concluzie: ca urmare a înmulțirii, am obținut zero, prin urmare, se dovedește ortogonalitatea (perpendicularitatea) vectorilor.

Rezolvați singur problema și apoi vedeți soluția

Exemplul 6 Având în vedere lungimile vectorilor și , și unghiul dintre acești vectori este π /4 . Stabiliți la ce valoare μ vectori și sunt reciproc perpendiculare.

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Reprezentarea matricială a produsului scalar al vectorilor și produsul vectorilor n-dimensionali

Uneori, pentru claritate, este avantajos să se reprezinte doi vectori înmulțiți sub formă de matrice. Apoi, primul vector este reprezentat ca o matrice de rând, iar al doilea - ca o matrice de coloană:

Atunci produsul scalar al vectorilor va fi produsul acestor matrici :

Rezultatul este același cu cel obținut prin metoda pe care am considerat-o deja. Avem un singur număr, iar produsul rândului-matrice de coloana-matrice este, de asemenea, un singur număr.

În formă de matrice, este convenabil să se reprezinte produsul vectorilor abstracti n-dimensionali. Astfel, produsul a doi vectori cu patru dimensiuni va fi produsul unei matrice rând cu patru elemente cu o matrice coloană tot cu patru elemente, produsul a doi vectori cu cinci dimensiuni va fi produsul unei matrice rând cu cinci elemente prin o matrice de coloană, de asemenea, cu cinci elemente și așa mai departe.

Exemplul 7 Găsiți produse punctuale ale perechilor de vectori

,

folosind reprezentarea matricială.

Soluţie. Prima pereche de vectori. Reprezentăm primul vector ca o matrice de rând, iar al doilea ca o matrice de coloană. Găsim produsul scalar al acestor vectori ca produs al matricei rând cu matricea coloanei:

În mod similar, reprezentăm a doua pereche și găsim:

După cum puteți vedea, rezultatele sunt aceleași ca pentru aceleași perechi din exemplul 2.

Unghiul dintre doi vectori

Derivarea formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori este foarte frumoasă și concisă.

Pentru a exprima produsul scalar al vectorilor

(1)

sub formă de coordonate, găsim mai întâi produsul scalar al ortelor. Produsul scalar al unui vector cu el însuși este prin definiție:

Ceea ce este scris în formula de mai sus înseamnă: produsul scalar al unui vector cu el însuși este egal cu pătratul lungimii acestuia. Cosinusul lui zero este egal cu unu, deci pătratul fiecărei orte va fi egal cu unu:

Din moment ce vectorii

sunt perpendiculare pe perechi, atunci produsele perechi ale ortelor vor fi egale cu zero:

Acum să efectuăm înmulțirea polinoamelor vectoriale:

Înlocuim în partea dreaptă a egalității valorile produselor scalare corespunzătoare ale ortelor:

Obținem formula pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori:

Exemplul 8 Avand trei puncte A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Găsiți un unghi.

Soluţie. Găsim coordonatele vectorilor:

,

.

Folosind formula pentru cosinusul unui unghi, obținem:

Prin urmare, .

Pentru autotest, puteți utiliza calculator online Produsul punctual al vectorilor și cosinusul unghiului dintre ei .

Exemplul 9 Dați doi vectori

Găsiți suma, diferența, lungimea, produsul punctual și unghiul dintre ele.

2. Diferența

Lectura: Coordonate vectoriale; produsul scalar al vectorilor; unghiul dintre vectori

Coordonatele vectoriale

Deci, așa cum am menționat mai devreme, un vector este un segment direcționat care are propriul său început și sfârșit. Dacă începutul și sfârșitul sunt reprezentate de unele puncte, atunci ele au propriile coordonate în plan sau în spațiu.

Dacă fiecare punct are propriile sale coordonate, atunci putem obține coordonatele întregului vector.

Să presupunem că avem un vector al cărui început și sfârșit al vectorului au următoarele denumiri și coordonate: A(A x ; Ay) și B(B x ; By)

Pentru a obține coordonatele vector dat, este necesar să se scadă coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele sfârșitului vectorului:

Pentru a determina coordonatele unui vector în spațiu, utilizați următoarea formulă:

Produsul punctual al vectorilor

Există două moduri de a defini conceptul de produs punctual:

• Mod geometric. Potrivit acestuia, produsul scalar este egal cu produsul dintre valorile acestor module și cosinusul unghiului dintre ele.

• sens algebric. Din punctul de vedere al algebrei, produsul scalar a doi vectori este o anumită valoare care rezultă din suma produselor vectorilor corespunzători.

Dacă vectorii sunt dați în spațiu, atunci ar trebui să utilizați o formulă similară:

Proprietăți:

• Dacă înmulțiți scalar doi vectori identici, atunci produsul lor scalar va fi nenegativ:

• Dacă produsul scalar a doi vectori identici s-a dovedit a fi egal cu zero, atunci acești vectori sunt considerați zero:

• Dacă un anumit vector este înmulțit cu el însuși, atunci produsul scalar va fi egal cu pătratul modulului său:

• Produsul scalar are o proprietate comunicativă, adică produsul scalar nu se va schimba dintr-o permutare a vectorilor:

• Produsul scalar al vectorilor nenuli poate fi zero numai dacă vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt:

• Pentru produsul scalar al vectorilor, legea comutativă este valabilă în cazul înmulțirii unuia dintre vectori cu un număr:

• Cu un produs punctual, puteți folosi și proprietatea distributivă a înmulțirii:

Unghiul dintre vectori

Unghiul dintre vectori

Luați în considerare doi vectori dați $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$. Să lăsăm deoparte vectorii $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ și $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dintr-un punct ales arbitrar $O$, apoi se numește unghiul $AOB$ unghiul dintre vectorii $\overrightarrow( a)$ și $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).

Poza 1.

Rețineți că dacă vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt codirecționali sau unul dintre ei este un vector zero, atunci unghiul dintre vectori este egal cu $0^0$.

Notație: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Conceptul de produs scalar al vectorilor

Din punct de vedere matematic, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

Produsul scalar poate fi zero în două cazuri:

Dacă unul dintre vectori va fi un vector zero (Deoarece atunci lungimea lui este zero).

Dacă vectorii sunt reciproc perpendiculari (adică $cos(90)^0=0$).

De asemenea, rețineți că produsul interior este mai mare decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este acut (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , și mai mic decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este obtuz (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Conceptul de pătrat scalar este legat de conceptul de produs scalar.

Definiția 2

Pătratul scalar al vectorului $\overrightarrow(a)$ este produsul scalar al acestui vector cu el însuși.

Obținem că pătratul scalar este

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Calculul produsului scalar prin coordonatele vectorilor

Pe lângă modalitatea standard de găsire a valorii produsului punctual, care rezultă din definiție, există o altă modalitate.

Să luăm în considerare.

Fie vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ au coordonatele $\left(a_1,b_1\right)$ și, respectiv, $\left(a_2,b_2\right)$.

Teorema 1

Produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Această teoremă are mai multe implicații:

Corolarul 1: Vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt perpendiculari dacă și numai dacă $a_1a_2+b_1b_2=0$

Consecința 2: Cosinusul unghiului dintre vectori este $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Proprietăți ale produsului punctual al vectorilor

Pentru oricare trei vectori și un număr real $k$, următorul lucru este adevărat:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Această proprietate rezultă din definiția unui pătrat scalar (Definiția 2).

legea deplasării:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Această proprietate rezultă din definiția produsului interior (Definiția 1).

Legea distributivă:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Legea combinației:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Un exemplu de problemă pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemplul 1

Găsiți produsul interior al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ dacă $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ și $\left|\overrightarrow(b)\right| = 2$, iar unghiul dintre ele este $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Soluţie.

Folosind Definiția 1, obținem

Pentru $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Pentru $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Pentru $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Pentru $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ dreapta)=-3\sqrt(2)\]

Definiția 1

Produsul scalar al vectorilor se numește număr egal cu produsul dintre dinele acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Notația pentru produsul vectorilor a → și b → are forma a → , b → . Să facem conversia la formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → și b → indică lungimile vectorilor, a → , b → ^ indică unghiul dintre vectorii dați. Dacă cel puțin un vector este zero, adică are valoarea 0, atunci rezultatul va fi zero, a → , b → = 0

Când înmulțim un vector cu el însuși, obținem pătratul dinei sale:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definiția 2

Înmulțirea scalară a unui vector în sine se numește pătrat scalar.

Se calculează după formula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Scrierea a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → arată că npb → a → este o proiecție numerică a lui a → pe b → , npa → a → - proiecția lui b → pe a → respectiv.

Formulăm definiția produsului pentru doi vectori:

Produsul scalar a doi vectori a → prin b → se numește produsul lungimii vectorului a → prin proiecția lui b → după direcția a → sau produsul lungimii lui b → prin proiecția lui a →, respectiv.

Punctează produsul în coordonate

Calculul produsului scalar se poate face prin coordonatele vectorilor din avion dat sau în spațiu.

Produsul scalar a doi vectori pe un plan, în spațiul tridimensional, se numește suma coordonatelor vectorilor dați a → și b → .

Când se calculează pe planul produsului scalar al vectorilor dați a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) în sistemul cartezian, utilizați:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

pentru spatiu tridimensional expresie aplicabilă:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

De fapt, aceasta este a treia definiție a produsului punctual.

Să demonstrăm.

Dovada 1

Pentru a o demonstra, folosim a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by pentru vectorii a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) pe carteziană sistem.

Vectorii ar trebui amânați

O A → = a → = a x , a y și O B → = b → = b x , b y .

Atunci lungimea vectorului A B → va fi egală cu A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considerăm un triunghi O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) este adevărată, pe baza teoremei cosinusului.

Prin condiție, se poate observa că O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , deci scriem diferit formula pentru găsirea unghiului dintre vectori

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Apoi din prima definiție rezultă că b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , deci (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Aplicând formula pentru calcularea lungimii vectorilor, obținem:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + cu 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (prin - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (prin - ay) 2) = = ax bx + ay prin

Să demonstrăm egalitățile:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectiv pentru vectori ai spaţiului tridimensional.

Produsul scalar al vectorilor cu coordonate spune că pătratul scalar al unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale în spațiu și, respectiv, pe plan. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) și (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produsul punctat și proprietățile sale

Există proprietăți de produs punctual care se aplică pentru a → , b → și c → :

1. comutativitatea (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitatea (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. proprietate asociativă (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - orice număr;
4. pătratul scalar este întotdeauna mai mare decât zero (a → , a →) ≥ 0 , unde (a → , a →) = 0 când a → zero.

Exemplul 1

Proprietățile sunt explicate prin definiția produsului scalar în plan și prin proprietățile de adunare și înmulțire a numerelor reale.

Demonstrați proprietatea comutativității (a → , b →) = (b → , a →) . Din definiție avem că (a → , b →) = a y b y + a y b y și (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Prin proprietatea comutativității, egalitățile a x · b x = b x · a x și a y · b y = b y · a y sunt adevărate, deci a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Rezultă că (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivitatea este valabilă pentru orice numere:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

și (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

deci avem

(a (1) → + a (2) → +... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produs punctat cu exemple și soluții

Orice problemă a unui astfel de plan este rezolvată folosind proprietățile și formulele referitoare la produsul scalar:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y sau (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Să ne uităm la câteva exemple de soluții.

Exemplul 2

Lungimea lui a → este 3, lungimea lui b → este 7. Aflați produsul scalar dacă unghiul are 60 de grade.

Soluţie

După condiție, avem toate datele, așa că calculăm prin formula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Răspuns: (a → , b →) = 21 2 .

Exemplul 3

Dați vectori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Care este produsul scalar.

Soluţie

În acest exemplu, se ia în considerare formula pentru calcularea coordonatelor, deoarece acestea sunt specificate în enunțul problemei:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Răspuns: (a → , b →) = - 9

Exemplul 4

Aflați produsul interior al lui A B → și A C → . Pe plan de coordonate punctele date A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) .

Soluţie

Pentru început, coordonatele vectorilor sunt calculate, deoarece coordonatele punctelor sunt date de condiția:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Înlocuind în formulă folosind coordonatele, obținem:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Răspuns: (A B → , A C →) = 28 .

Exemplul 5

Dați vectorii a → = 7 m → + 3 n → și b → = 5 m → + 8 n → , găsiți produsul lor. m → este egal cu 3 și n → este egal cu 2 unități, acestea sunt perpendiculare.

Soluţie

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Aplicând proprietatea distributivă, obținem:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Luăm coeficientul în afara semnului produsului și obținem:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Prin proprietatea comutativității, transformăm:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Ca rezultat, obținem:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Acum aplicăm formula pentru produsul scalar cu unghiul specificat de condiția:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Răspuns: (a → , b →) = 411

Dacă există o proiecție numerică.

Exemplul 6

Aflați produsul interior al lui a → și b → . Vectorul a → are coordonatele a → = (9 , 3 , - 3) , proiecția b → are coordonatele (- 3 , - 1 , 1) .

Soluţie

Prin condiție, vectorii a → și proiecția b → sunt direcționați invers, deoarece a → = - 1 3 npa → b → → , deci proiecția b → corespunde lungimii npa → b → → , iar cu „-” semn:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Înlocuind în formulă, obținem expresia:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Răspuns: (a → , b →) = - 33 .

Probleme cu un produs scalar cunoscut, unde este necesar să se găsească lungimea unui vector sau a unei proiecții numerice.

Exemplul 7

Ce valoare ar trebui să ia λ pentru un produs scalar dat a → \u003d (1, 0, λ + 1) și b → \u003d (λ, 1, λ) va fi egală cu -1.

Soluţie

Din formula se poate observa că este necesar să se găsească suma produselor coordonatelor:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

În dat avem (a → , b →) = - 1 .

Pentru a găsi λ , calculăm ecuația:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , deci λ = - 1 .

Răspuns: λ = - 1 .

Semnificația fizică a produsului scalar

Mecanica ia în considerare aplicarea produsului punctual.

Când lucrați A cu o forță constantă F → un corp în mișcare din punctul M în N, puteți găsi produsul lungimilor vectorilor F → și MN → cu cosinusul unghiului dintre ei, ceea ce înseamnă că munca este egală. la produsul vectorilor forță și deplasare:

A = (F → , M N →) .

Exemplul 8

in miscare punct material 3 metri sub acțiunea unei forțe egale cu 5 Nton este îndreptată la un unghi de 45 de grade față de axă. Gaseste un .

Soluţie

Deoarece munca este produsul dintre vectorul forță și deplasarea, atunci, pe baza condiției F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , obținem A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Răspuns: A = 15 2 2 .

Exemplul 9

Punctul material, deplasându-se de la M (2, - 1, - 3) la N (5, 3 λ - 2, 4) sub forța F → = (3, 1, 2), a lucrat egal cu 13 J. Calculați lungimea mișcării.

Soluţie

Pentru coordonatele date ale vectorului M N → avem M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Prin formula pentru găsirea muncii cu vectorii F → = (3 , 1 , 2) și MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) obținem A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Prin condiție, se dă că A \u003d 13 J, ceea ce înseamnă 22 + 3 λ \u003d 13. Aceasta implică λ = - 3 , deci M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Pentru a găsi lungimea călătoriei M N → , aplicăm formula și înlocuim valorile:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Răspuns: 158 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter