Condiții pentru independența integralei curbilinii de calea integrării.

Luați în considerare integrala curbilinie

luate de-a lungul vreunei curbe plane L puncte de legătură Mși N. Vom presupune că funcţiile P(x, y)și Q(x, y) au derivate parțiale continue în regiunea luată în considerare D. Să aflăm în ce condiții integrala curbilinie scrisă nu depinde de forma curbei L, dar depinde numai de poziția punctelor de început și de sfârșit Mși N.

Luați în considerare două curbe arbitrare MPNși MQN, situată în zona considerată Dși puncte de legătură Mși N. Lasa

(1)

Apoi, pe baza proprietăților 1 și 4 ale integralelor curbilinii, avem:

acestea. integrală în buclă închisă L

În ultima formulă, integrala curbilinie este preluată pe un contur închis L, compus din curbe MPNși NQM. Acest circuit L poate fi considerat, evident, arbitrar.

Astfel, din condiția:

că, pentru oricare două puncte M și N, integrala curbilinie nu depinde de forma curbei care le leagă, ci depinde doar de poziția acestor puncte, rezultă: ce integrala curbilinie peste orice contur închis este egală cu zero .

Este adevărat și contrariul:

dacă integrala curbilinie peste orice contur închis este egală cu zero, atunci această integrală curbilinie nu depinde de forma curbei care leagă oricare două puncte, ci depinde doar de pozitia acestora puncte . Într-adevăr, egalitatea (2) implică egalitate (1)

Teorema

Fie funcțiile P(x, y), Q(x, y) împreună cu derivatele lor parțiale și să fie continue în toate punctele unui domeniu D. Apoi, pentru ca integrala curbilinie peste orice contur închis L situat în această regiune să fie egală cu zero, i.e. la

(2΄)

este necesar şi suficient ca egalitatea

în toate punctele din D.

Dovada

Luați în considerare o buclă închisă arbitrară Lîn zonă Dși pentru aceasta scriem formula lui Green:

Dacă condiția (3) este îndeplinită, atunci integrală dublă, stând în stânga, este identic egal cu zero și, prin urmare,

Prin urmare, adecvarea se dovedește condiția (3).

Să demonstrăm acum nevoie această condiție, adică vom demonstra că dacă egalitatea (2) este valabilă pentru orice curbă închisă Lîn zonă D, atunci condiția (3) este îndeplinită în fiecare punct al acestei regiuni.

Presupunem, dimpotrivă, că egalitatea (2) este satisfăcută, adică

iar condiția (3) nu este îndeplinită, adică

cel putin la un moment dat. Să fim, de exemplu, la un moment dat să avem inegalitatea

Deoarece în partea stângă a inegalității se află functie continua, atunci va fi pozitiv și mai mare decât un anumit număr în toate punctele unei zone suficient de mici care conține punctul . Să luăm integrala dublă în această regiune a diferenței. Va fi pozitiv. Într-adevăr,

Dar, conform formulei lui Green, partea stângă a ultimei inegalități este egală cu integrala curbilinie peste limita regiunii , care, prin presupunere, este egală cu zero. În consecință, ultima inegalitate contrazice condiția (2) și, prin urmare, presupunerea că este diferită de zero cel puțin într-un punct nu este adevărată. De aici rezultă că

în toate punctele din zonă D.

Astfel, teorema este complet demonstrată.

Când studiezi ecuatii diferentiale s-a dovedit că îndeplinirea condiţiei

este echivalent cu expresia pdf + Qdy este diferența totală a unei funcții u(x, y), adică

Dar în acest caz vectorul

există un gradient de funcție u(x, y);

Funcţie u(x, y), al cărui gradient este egal cu vectorul , se numește potenţial acest vector.

Să demonstrăm asta în acest caz integrala curbilinie de-a lungul oricărei curbe L care leagă punctele M și N, este egală cu diferența dintre valorile funcției și în aceste puncte:

Dovada

În cazul în care un Рdx + Qdy este o diferenţial complet funcții u(x, y), atunci integrala curbilinie ia forma

Pentru a calcula această integrală, scriem ecuații parametrice strâmb L puncte de legătură Mși N:

Expresia dintre paranteze este o funcție a t, care este derivata totală a funcției în raport cu t. Asa de

După cum vedem integrala curbilinie a diferenţialului total nu depinde de forma curbei peste care se realizează integrarea.

Prin urmare:

condiții de independență pentru integralele curbilinii de al doilea fel din formă moduri de integrare următoarele:

Dacă într-o zonă P(x, y)și Q(x, y) sunt continueîmpreună cu lor și , apoi:

1. în zonă D este independent de formă căi de integrare, dacă valorile sale sunt de-a lungul tuturor curbelor netede posibile pe bucăți situată în regiunea dată și având un început și un sfârșit comun sunt la fel.

2. integrală de-a lungul oricărei curbe închise L situată în regiune D este zero.

3. există o astfel de funcție u(x, y), pentru care expresia pdx+qdy există un diferențial total, adică

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

4. în această zonă condiția ar fi îndeplinită

în fiecare punct din zonă D.

Pentru a calcula o integrală care nu depinde de conturul de integrare

se alege ca cale de integrare cea mai avantajoasă o linie întreruptă care leagă punctele și , ale cărei legături sunt paralele cu axele Ox și Oy.

integrand P(x, y)dx + Q(x, y)dyîn aceste condiţii sunt diferenţial complet vreo funcție u= u(x, y) acestea.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Funcţie u(x, y)(antiderivată) poate fi găsită prin calcularea integralei curbilinii corespunzătoare peste o linie întreruptă unde este orice punct fix, B(x, y) este un punct variabil, iar un punct are coordonate Xși . Apoi de-a lungul avem și dy = 0, și de-a lungul avem x = constși dx = 0.

Primim următoarea formulă:

În mod similar, integrând peste o linie întreruptă de unde obținem

Exemple

1. calculati

Această integrală nu depinde de conturul de integrare, deoarece

Să alegem ca cale de integrare o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate. Pe prima sectiune:

Pe a doua secțiune:

Prin urmare,

2. Găsiți un antiderivat u, dacă

Lasă conturul La este o linie întreruptă OMN. Apoi

3. Aflați dacă

Aici nu se poate lua punctul de plecare de la origine, deoarece în acest punct al funcției P(x, y)și Q(x, y) nu sunt definite și, prin urmare, pentru punctul de plecare luăm, de exemplu, . Apoi

4. Găsiți aria cuprinsă de elipsă

Aria unei figuri situate în planul XOU și delimitată de o linie închisă C este calculată prin formula

unde conturul C este ocolit în sens pozitiv.

Transformăm integrala curbilinie într-una definită făcând substituția

Parametru t variază de la 0 la 2π.

Prin urmare

3. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului L dacă L este arcul cicloidului

SARCINA PE TEMA „CURVILINEAR INTEGRAL”

Opțiunea 1

Unde L este un segment de linie dreaptă A (0;-2) și B (4;0) aparținând planului XOY.

De-a lungul poliliniei L:OAB, unde O(0,0), A(2,0), B(4,5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

După coordonate, dacă L este un arc de elipsă situat în cadranul I.

Unde L este conturul unui triunghi cu vârfurile A(1,1), B(2,2), C(1,3). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

, și găsește-l.

7. Câmpul de forță este format din forța F(x,y), egală cu distanța punctului de aplicare a acestuia de la originea coordonatelor și îndreptată către originea coordonatelor. Găsiți munca forței de câmp cheltuită pentru deplasare punct material masa unitară de-a lungul arcului parabolei y 2 \u003d 8x de la punctul (2; 4) până la punctul (4; 4).

Opțiunea 2

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un segment de linie care leagă punctele O (0; 0) și A (1; 2).

2. Calculați integrala curbilinie , dacă L este un arc de parabolă de la punctul A(-1;1) până la punctul B(1,1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este un arc de cerc situată în 1 și 2 pătrate. Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala , unde L este un contur format dintr-o linie și un segment al axei OX când conturul este ocolit în sens invers acelor de ceasornic.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al câmpului de forță, forța are direcția semiaxei negative a ordonatei și este egală cu pătratul abscisei punctului de aplicare. Găsiți lucrul de câmp când mutați o unitate de masă de-a lungul unei parabole de la punctul (1.0) la punctul (0.1).

Opțiunea 3

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

1. unde L este arcul parabolei trunchiat de parabolă.

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este un segment de dreaptă, legătura punctului A (0,1), B (2,3). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul primului arc al cicloidei. Înconjurați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este o elipsă Parcurgerea conturului în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă este îndeplinită condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Calculați lucrul forței atunci când deplasați un punct material de-a lungul jumătății superioare a elipsei de la punctul A (a, 0), la punctul B (-a, 0).

Opțiunea 4.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

1. unde L este conturul unui pătrat

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul parabolei punctului A (0,0), până la punctul B (1,1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este jumătatea superioară a elipsei Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este conturul unui triunghi cu vârfurile A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Stabiliți dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită și găsiți-o.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al cercului se aplică o forță ale cărei proiecții pe axele de coordonate se află Determinați munca efectuată de forță atunci când deplasați un punct material de-a lungul unui cerc. De ce munca este egală cu zero?

Opțiunea 5.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un segment de linie dreaptă care leagă punctele 0 (0,0) și A (4; 2)

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul curbei care leagă punctul A(0,1), cu punctul B (-1,e). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este primul sfert de cerc Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este conturul, mărginit și Traversați conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă este îndeplinită condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Câmpul este format din forța / / = direcția care face un unghi cu direcția razei - vectorul punctului de aplicare a acestuia. Găsiți lucrul de câmp când mutați un punct material de masă m de-a lungul unui arc de cerc de la punctul (a, 0) la punctul (0, a).

Opțiunea 6.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un sfert de cerc situat în cadranul I.

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este o linie întreruptă ABC, A(1;2), B(1;5), C(3;5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este jumătatea superioară a cercului Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este un contur, limitat , Ocolind conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Stabiliți dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită și găsiți-o.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Aflați lucrul forței elastice, îndreptată spre origine, dacă punctul de aplicare al forței descrie un sfert din elipsă în sens invers acelor de ceasornic situată în cadranul I. Mărimea acestei forțe este proporțională cu distanța punctului de la origine.

Opțiunea 7.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este partea parabolei de la punctul (1, 1/4) la punctul (2;1).

2. Calculați integrala curbilinie unde L este un segment de dreaptă care leagă punctele В(1;2) și В (2;4). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este primul arc al cicloidei Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă este îndeplinită condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Un punct material al unei unități de masă se deplasează de-a lungul unui cerc sub acțiunea unei forțe ale cărei proiecții pe coordonatele axei sunt . Trasează forța la începutul fiecărui cerc. Găsiți de lucru pe contur.

Opțiunea 8.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este conturul unui dreptunghi cu vârfuri în punctele 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul unei parabole de la punctul A (0;0) la punctul B (1;2). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este partea cercului situată în pătrat 1. Parcurgerea în sensul acelor de ceasornic a conturului.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala în care L este conturul unui triunghi cu vârfuri A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Ocoli conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Stabiliți dacă condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală este îndeplinită și găsiți-o.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. Punctul material se deplasează de-a lungul elipsei sub acțiunea unei forțe, a cărei valoare este egală cu distanța punctului la centrul elipsei și este îndreptată spre centrul elipsei. Calculați munca efectuată de forță dacă punctul se învârte în jurul întregii elipse.

Opțiunea 9.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este arcul parabolei situat între puncte

A, B (2; 2).

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este un segment de dreaptă care leagă punctele A(5;0) și B(0,5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este un arc de elipsă între punctele corespunzătoare Traversează conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, calculați integrala unde L este un cerc Traversați conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă este îndeplinită condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al curbei se aplică o forță, ale cărei proiecții pe axele de coordonate sunt Determinați lucrul forței la deplasarea unui punct material al unei unități de masă de-a lungul curbei din punctul M (-4; 0) până la punctul N (0; 2).

Opțiunea 10.

1. Calculați integrala curbilinie pe lungimea arcului (coordonate carteziane).

Unde L este un segment de dreaptă care leagă punctele A

2. Calculați integrala curbilinie dacă L este arcul curbei de la punctul А(1;0) la В(е,5). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

3. Calculați integrala curbilinie dacă L este un arc de cerc situat în pătratul 1U. Traversați conturul în sensul acelor de ceasornic.

4. Aplicând formula lui Green, se calculează integrala unde L este conturul unui triunghi cu vârfurile A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Ocoliți conturul în sens invers acelor de ceasornic.

5. Determinați dacă este îndeplinită condiția de independență a integralei față de calea de integrare pentru integrală , și găsește-l.

6. Verificați dacă expresia dată este diferența totală a funcției U(x,y) și găsiți-o.

7. În fiecare punct al dreptei se aplică o forță, ale cărei proiecții pe axele de coordonate Calculați munca efectuată de forță atunci când deplasați un punct material de-a lungul liniei de la M (1; 0) la punctul N (0; 3).

Definiție. Regiunea G spatiu tridimensional se numește conectat superficial. dacă orice contur închis aflat în această regiune poate fi acoperit de o suprafață care se află în întregime în regiunea G. De exemplu, interiorul unei sfere sau întregul spațiu tridimensional sunt regiuni pur și simplu conectate la suprafață; interiorul unui tor sau al unui spațiu tridimensional, din care este exclusă linia, nu sunt regiuni pur și simplu conectate la suprafață. Fie dat un câmp vectorial continuu într-un domeniu simplu conectat la suprafață G. Atunci este valabilă următoarea teoremă. Teorema 9. Pentru ca integrala curbilinie din câmpul vectorului a să nu depindă de calea de integrare, ci să depindă doar de punctele inițiale și finale ale căii (A și B), este necesar și suficient ca circulația vectorului a de-a lungul oricărui contur închis L situat în regiunea G a fost egală cu zero. 4 Necesitatea. Fie m-integrala de asemenea independentă de calea de integrare. Să arătăm că atunci pentru orice contur închis L este egal cu zero. Considerăm un contur închis arbitrar L în câmpul vectorului a și luăm punctele arbitrare A și B pe acesta (Fig. 35). După condiție, avem - diferite căi care leagă exact A și B \ de unde exact se află conturul închis ales L. Suficiență. Fie L pentru orice contur închis Să arătăm că în acest caz integrala nu depinde de calea de integrare. Să luăm două puncte A și B din câmpul vectorului a, să le conectăm prin drepte arbitrare L1 și L2 și să arătăm că Pentru simplitate, ne limităm la cazul în care dreptele L1 și L2 nu se intersectează. În acest caz, îmbinarea formează o buclă închisă simplă L (Fig. 36). Prin condiția a, prin proprietatea aditivității. Independenţă integrală curbilinie din calea integrării Câmp potențial Calculul integralei curbilinii în câmpul potențial Calculul potențialului în coordonate carteziene De unde rezultă valabilitatea egalității (2). Teorema 9 exprimă condițiile necesare și suficiente pentru independența integralei curbilinie față de forma traseului, dar aceste condiții sunt greu de verificat. Să prezentăm un criteriu mai eficient. Teorema 10. Pentru ca integrala curbilinie sa fie independenta de calea de integrare L este necesar si suficient ca campul vectorial sa fie irrotational.M) este simplu conectat superficial. Cometariu. În virtutea teoremei 9, independența integralei curbilinie față de calea de integrare este echivalentă cu egalitatea la zero a circulației vectorului a de-a lungul oricărui contur închis. Folosim această împrejurare în demonstrarea teoremei. Nevoie. Fie integrala curbilinie independentă de forma traseului sau, ceea ce este același, circulația vectorului a de-a lungul oricărui contur închis L este egală cu zero. Apoi, adică, în fiecare punct al câmpului, proiecția vectorului putregai a pe orice direcție este egală cu zero. Aceasta înseamnă că vectorul putregai a în sine este egal cu zero în toate punctele câmpului, Suficiență. Suficiența condiției (3) rezultă din formula Stokes, deoarece dacă rot a = 0, atunci circulația vectorului de-a lungul oricărei bucle închise L este egală cu zero: rotorul unui câmp plat este egal cu care ne permite să formulăm următoarea teoremă pentru un câmp plat. Teorema 11. Pentru ca integrala curbilinie dintr-un câmp plan simplu conexat să fie independentă de forma dreptei L, este necesar și suficient ca relația să se țină identic în întreaga regiune luată în considerare. Dacă domeniul nu este pur și simplu conectat, atunci îndeplinirea condiției, în general, nu asigură independența integralei curbilinii de forma liniei. Exemplu. Să considerăm integrala Este clar că integrandul nu are sens în punctul 0(0,0). Prin urmare, excludem acest punct. În restul planului (aceasta nu va mai fi o regiune pur și simplu conexă!) Coordonatele vectorului a sunt continue, au derivate parțiale continue și Să considerăm integrala (6) de-a lungul unei curbe închise L - un cerc de rază. R centrat la origine: Atunci Diferența de circulație față de zero arată că integrala (6) depinde de forma căii de integrare. §zece. Câmp potențial Definiție. Câmpul vectorului a(M) se numește potențial dacă există functie scalara u(M) astfel încât Aici funcția u(M) se numește potențial de câmp; suprafețele sale de nivel se numesc suprafețe echipotențiale. atunci relația (1) este echivalentă cu următoarele trei egalități scalare: Rețineți că potențialul câmpului este determinat până la un termen constant: dacă, deci, este un număr constant. Exemplul 1. Câmpul vectorului rază r este potențial, deoarece reamintim că potențialul câmpului vectorului rază este, prin urmare. Exemplul 2. Câmpul vectorial este potențial. Fie funcția astfel încât să fie găsită. Atunci și de unde De aici, este potențialul domeniului. Teorema 12. Pentru ca vectorul a să fie potențial, este necesar și suficient ca acesta să fie irrotațional, adică ca rotorul său să fie egal cu zero în toate punctele câmpului. În acest caz, se presupune continuitatea tuturor derivatelor parțiale ale coordonatelor vectorului a și pur și simplu conexiunea la suprafață a regiunii în care este dat vectorul a. Nevoie. Necesitatea condiției (2) se stabilește prin calcul direct: dacă câmpul este potențial, adică în virtutea independenței derivatelor mixte de ordinea diferențierii. Adecvarea. Fie câmpul vectorial să fie irrotațional (2). Pentru a demonstra potențialul acestui câmp, construim potențialul său u(M). Din condiția (2) rezultă că integrala curbilinie nu depinde de forma dreptei L, ci depinde doar de punctele sale inițiale și finale. Să fixăm punctul de pornire și să schimbăm punctul final Mu, z). Atunci integrala (3) va fi o funcție a punctului. Să notăm această funcție cu u(M) și să demonstrăm că în cele ce urmează vom scrie integrala (3), indicând doar punctele de început și de sfârșit ale căii de integrare, Egalitatea este echivalentă cu trei egalități scalare Independența integralei curbilinii față de calea de integrare Câmp potențial Potențial în coordonate carteziene Să demonstrăm prima dintre ele, a doua și a treia egalități sunt dovedite în mod similar. Prin definiția derivatei parțiale, avem Să considerăm un punct apropiat de punct Deoarece funcția u(M) este determinată de relația (4), în care integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare, alegem calea de integrare ca indicat în Fig.37. Apoi De aici ultima integrală este luată ca mol al unui segment al dreptei MM) paralel cu axa Ox. Pe acest segment, coordonata x poate fi luată ca parametru: Aplicând teorema valorii medii la integrala din dreapta (6), se obține Din formula (7) rezultă că De atunci, datorită continuității funcției, obținem În mod similar, se demonstrează că Corolar. Un câmp vectorial este potențial dacă și numai dacă integrala curbilinie din el este independentă de cale. Calculul unei integrale curbilinii într-un câmp potențial Teorema 13. Integrală într-un câmp potențial a(M) este egală cu diferența valorile potențialului u(M) al câmpului în u finit puncte de plecare mod de integrare.Anterior s-a demonstrat că funcţia este potenţialul câmpului. Într-un câmp potențial, un intefal curbiliniu nu depinde de punctul de intefație. Prin urmare, alegând traseul punctului M\ spre punctul M2 astfel încât acesta să treacă prin punctul Afo (Fig. 38), obţinem sau, schimbând orientarea traseului în primul intefal din dreapta, Deoarece potenţialul câmpului. este determinată într-un termen constant, atunci orice potențial al câmpurilor considerate poate fi scris ca unde c este o constantă. Făcând substituția u - c în formula (10), obținem formula necesară pentru un potențial arbitrar v (M) Exemplul 3. În exemplul 1, s-a arătat că potențialul câmpului vectorului rază r este funcția Calculul potențialului în coordonate carteziene Să fie dat câmpul potențial. Anterior, s-a arătat că funcția potențial „(M) poate fi găsită prin formula Integrala (11) se calculează cel mai convenabil astfel: se fixează punctul de plecare și se conectează-l la un punct curent destul de apropiat M(x, y ,z) o linie întreruptă ale cărei legături sunt paralele cu axele de coordonate, . În acest caz, doar o coordonată se modifică pe fiecare legătură a poliliniei, ceea ce face posibilă simplificarea semnificativă a calculelor. Într-adevăr, pe segmentul M0M\ avem: Pe segment. Orez. 39. Pe tăietură. Prin urmare, potențialul este unde sunt coordonatele punctului curent de pe legăturile poliliniei, de-a lungul cărora se realizează integrarea. Exemplul 4. Demonstrați că câmpul vectorial k este potențial și găsiți potențialul acestuia. 4 Să verificăm dacă câmpul vectorului a(Af) este potențial. În acest scop, calculăm rotorul câmpului. Avem Câmpul este potențial. Găsim potențialul acestui câmp folosind formula (12). Să luăm originea coordonatelor 0 ca punct inițial A/o (acest lucru se face de obicei dacă câmpul a(M) este definit la originea coordonatelor). Apoi obținem So, unde c este o constantă arbitrară. Potențialul acestui domeniu poate fi găsit în alt mod. Prin definiție, potențialul u(x, y, z) este o funcție scalară pentru care grad = a. Această egalitate vectorială este echivalentă cu trei egalități scalare: integrând (13) peste x, obținem (17) prin y, găsim - o funcție z. Înlocuind (18) în (16), obținem. Diferențiând ultima egalitate nr z și ținând cont de relația (15), obținem o ecuație de unde

Din calea integrării.

Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L- puncte de legătură curbe Mși N. Lasă funcțiile P(x, y)și Q(x, y) au derivate parțiale continue într-un anumit domeniu D, care conține întreaga curbă L. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie considerată nu depinde de forma curbei L, dar numai pe locația punctelor Mși N.

Desenați două curbe arbitrare MPNși MQN, întins în zonă Dși puncte de legătură Mși N(Fig. 1).

M N Orez. unu.

Să ne prefacem că , adică

Atunci unde L- un contur închis, compus din curbe MPNși NQM(prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția de independență a integralei curbilinie de al 2-lea fel față de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.

Biletul numărul 34.Integrală de suprafață de primul fel (peste suprafața) Aplicații (masa suprafeței materialului, coordonatele centrului de greutate, momentele, zona suprafeței curbe).

Luați în considerare o suprafață deschisă S, delimitat de contur L, și împărțiți-l după niște curbe în părți S 1 , S 2 ,…, S n. Alegem un punct în fiecare parte M iși proiectați această parte pe un plan tangent la suprafața care trece prin acest punct. Obținem în proiecție o figură plată cu o zonă T i. Să numim ρ cea mai mare distanță dintre două puncte ale oricărei părți a suprafeței S.

Definiție 12.1. Hai sa sunăm zonă S suprafete limita sumei zonei T i la

Integrală de suprafață de primul fel.

Luați în considerare o suprafață S, delimitat de contur L, și rupeți-l în bucăți S 1 , S 2 ,…, S p(în acest caz, se va nota și aria fiecărei părți S p). Fie în fiecare punct al acestei suprafețe valoarea funcției f(x, y, z). Alegeți în fiecare parte Si punct M i (x i , y i , z i)și faceți o sumă integrală

. (12.2)

Definiție 12.2. Dacă există o limită finită la suma integrală (12.2), care nu depinde de metoda de împărțire a suprafeței în părți și de alegerea punctelor M i, atunci se numește integrală de suprafață a primului tip de funcție f(M) = f(x, y, z) la suprafață S și notat

Cometariu. O integrală de suprafață de primul fel are proprietățile obișnuite ale integralelor (liniaritate, însumarea integralelor unei funcții date pe părți separate ale suprafeței luate în considerare etc.).

Geometric și sens fizic integrală de suprafață de primul fel.

Dacă integrand f(M)≡ 1, atunci din Definiția 12.2 rezultă că este egală cu aria suprafeței luate în considerare S.

. (12.4)

Aplicarea integralei de suprafață de primul fel.

1. Aria unei suprafețe curbe a cărei ecuație este z = f(x, y), poate fi găsit sub forma:

(14.21)

(Ω este proiecția Sîn avionul O hu).

2. Masa de suprafață

(14.22)

3. Momente:

Momentele statice ale suprafeței relativ la planuri de coordonate O X y, O xz, O yz;

Momentele de inerție ale suprafeței în raport cu axele de coordonate;

Momentele de inerție ale suprafeței în raport cu planurile de coordonate;

- (14.26)

Momentul de inerție al suprafeței față de origine.

4. Coordonatele centrului de masă al suprafeței:

. (14.27)

Biletul numărul 35. Calculul integralei de suprafață de primul fel (reducerea acesteia la multiplu).

Ne restrângem la cazul în care suprafața S este specificat explicit, adică printr-o ecuație de formă z = φ(x, y). Din definirea suprafeţei rezultă că

Si =, unde ∆ eu - zona de proiectie Siîn avionul O hu, A γ i este unghiul dintre axa O zși normal la suprafață S la punct M i. Se știe că

Unde ( x i , y i , z i) – coordonatele punctului M i. Prin urmare,

Înlocuind această expresie în formula (12.2), obținem că

În cazul în care însumarea din dreapta este efectuată pe domeniul Ω al planului O hu, care este proiecția pe acest plan al suprafeței S(Fig. 1).

S: z=φ(x,y)

ΔσiΩ

În același timp, în partea dreaptă, se obține o sumă integrală pentru o funcție a două variabile pe o regiune plată, care în limita la dă o integrală dublă.

Cometariu. Să clarificăm încă o dată că în partea stângă a formulei (12.5) se află suprafaţă integral, iar în dreapta - dubla.

Biletul numărul 36.Integrală de suprafață de al doilea fel. curgere câmp vectorial. Conexiune între integralele de suprafață de primul și al doilea fel.

Fluxul câmpului vectorial.

Luați în considerare câmpul vectorial DAR (M), definit în domeniul spațial g, suprafata neteda orientata S Gși câmpul normal al unității P (M) pe partea selectată a suprafeței S.

Definiție 13.3. Integrală de suprafață de primul fel

, (13.1)

Unde Un – produs scalar vectori corespunzători și A p este proiecția vectorială DAR în direcția normalului se numește flux de câmp vectorial A.M) prin partea selectată a suprafeței S .

Observație 1. Dacă alegem cealaltă parte a suprafeței, atunci normalul și, în consecință, curgerea își va schimba semnul.

Observaţia 2. Dacă vectorul DAR stabilește debitul de fluid într-un punct dat, apoi integrala (13.1) determină cantitatea de fluid care curge pe unitatea de timp prin suprafață Sîntr-o direcție pozitivă (de unde și termenul comun „flux”).

Al 2-lea fel din calea de integrare

Să considerăm o integrală curbilinie de al 2-lea fel, unde L este o curbă care leagă punctele M și N. Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) să aibă derivate parțiale continue într-un domeniu D, în care curba L se află în întregime. Să determinăm condițiile în care integrala curbilinie considerată nu depinde de forma curbei L, ci doar de locația punctelor M și N.

Să desenăm două curbe arbitrare MSN și MTN, situate în regiunea D și conectând punctele M și N (Fig. 14).

Să presupunem că, adică

unde L este un contur închis compus din curbe MSN și NTM (prin urmare, poate fi considerat arbitrar). Astfel, condiția ca o integrală curbilinie de al 2-lea fel să fie independentă de calea de integrare este echivalentă cu condiția ca o astfel de integrală peste orice contur închis să fie egală cu zero.

Teorema 5 (teorema lui Green). Fie funcțiile P(x, y) și Q(x, y) și derivatele lor parțiale u continue în toate punctele unui domeniu D. Apoi, pentru ca orice contur închis L situat în domeniul D să satisfacă condiția

este necesar și suficient ca = în toate punctele domeniului D.

Dovada.

1) Suficiență: lasă condiția = să fie îndeplinită. Luați în considerare un contur închis arbitrar L în regiunea D, care mărginește regiunea S și scrieți formula verde pentru acesta:

Deci, suficiența este dovedită.

2) Necesitate: să presupunem că condiția este îndeplinită în fiecare punct al regiunii D, dar există cel puțin un punct în această regiune în care - ? 0. Fie, de exemplu, în punctul P(x0, y0) avem: - > 0. Deoarece există o funcție continuă în partea stângă a inegalității, va fi ea pozitivă și mai mare decât unele? > 0 într-o regiune mică D` care conține punctul P. Prin urmare,

Prin urmare, prin formula lui Green, obținem asta

unde L` este conturul care delimitează regiunea D`. Acest rezultat contrazice condiția. Prin urmare, = în toate punctele domeniului D, care urma să fie demonstrat.

Observație 1. În mod similar, pentru un spațiu tridimensional, se poate demonstra că necesarul și conditii suficiente independenţa integralei curbilinie

din calea integrării sunt:

Observația 2. În condițiile (52), expresia Pdx + Qdy + Rdz este diferența totală a unei funcții u. Acest lucru ne permite să reducem calculul integralei curbilinii la determinarea diferenței dintre valorile și la punctele finale și inițiale ale conturului de integrare, deoarece

În acest caz, funcția și poate fi găsită prin formula

unde (x0, y0, z0) este un punct din D și C este o constantă arbitrară. Într-adevăr, este ușor de verificat că derivatele parțiale ale funcției și date prin formula (53) sunt egale cu P, Q și R.

Exemplul 10

Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

de-a lungul unei curbe arbitrare care leagă punctele (1, 1, 1) și (2, 3, 4).

Să ne asigurăm că sunt îndeplinite condițiile (52):

Prin urmare, funcția există. Să o găsim prin formula (53), stabilind x0 = y0 = z0 = 0. Atunci

Astfel, funcția și este determinată până la un termen constant arbitrar. Să luăm С = 0, atunci u = xyz. Prin urmare,

Cursul 4

Subiect: Formula lui Green. Condiții pentru independența integralei curbilinii de calea integrării.

Formula lui Green.

Formula lui Green stabilește o legătură între o integrală curbilinie peste un contur închis Г pe un plan și o integrală dublă peste o regiune delimitată de acest contur.

Integrala curbată de-a lungul unui contur închis Г este notată cu simbolul Contur închis Г începe într-un punct B al acestui contur și se termină în punctul B. Integrala de-a lungul unui contur închis nu depinde de alegerea punctului B.

Definiția 1. Parcurgerea conturului Г este considerată pozitivă dacă regiunea D rămâne pe stânga în timpul parcurgerii conturului Г. G + - conturul G este ocolit în sens pozitiv, G - - conturul este ocolit în sens negativ, adică. în sens invers

G+

X= x 1 (y)

X= x 2 (y)

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Luați în considerare integrala dublă

În mod similar, se demonstrează că:

Din egalitățile (1) și (2) obținem:

Prin urmare,

Formula lui Green sub ipotezele făcute este dovedită.

Observație 1. Formula lui Green rămâne valabilă dacă granița Γ a domeniului D este niște linii drepte, paralel cu axa 0X sau 0Y se intersectează în mai mult de două puncte. În plus, formula lui Green este valabilă și pentru regiuni n-conectate.

Condiții de independență a integralei curbilinii față de calea de integrare pe plan.

În această secțiune, aflăm condițiile în care integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare, ci depinde de punctele inițiale și finale de integrare.

Teorema 1. Pentru integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare într-o regiune pur și simplu conectată, este necesar și suficient ca această integrală preluată de orice contur neted închis în bucăți din această regiune să fie egală cu zero.

Dovada: Necesitatea. Având în vedere: nu depinde de calea integrării. Este necesar să se demonstreze că integrala curbilinie peste orice contur neted închis în bucăți este egală cu zero.

Să fie luat un contur închis arbitrar neted Γ în regiunea D luată în considerare. Pe conturul Γ, luăm punctele arbitrare B și C.

Din moment ce nu depinde de calea de integrare, atunci

, adică

Adecvarea. Dat: integrală curbilinie de-a lungul oricărui contur închis în bucăți, neted este egal cu zero.

Se cere să se demonstreze că integrala nu depinde de calea integrării.

Luați în considerare o integrală curbilinie peste două contururi netede pe bucăți care leagă punctele B și C. După condiție:

Acestea. curbilinii

integrala nu depinde de calea integrării.

Teorema 2. Fie continuă împreună cu derivate parțiale și într-un domeniu simplu conexat D. Pentru ca integrala curbilinie să fie independentă de calea de integrare, este necesar și suficient ca în domeniul D identitatea

Dovada: Suficiență. Dat: . Se cere să se demonstreze că nu depinde de calea de integrare. Pentru aceasta, este suficient să demonstrăm că este egal cu zero de-a lungul oricărui contur închis în bucăți. Conform formulei lui Green, avem:

Nevoie. Dat: Prin teorema 1, integrala curbilinie nu depinde de calea de integrare. Se cere să se demonstreze că