Echivalarea în ecuațiile canonice ale dreptei fiecare dintre fracții la un parametru t:

Obținem ecuații care exprimă coordonatele curente ale fiecărui punct al dreptei prin parametru t.

astfel, ecuațiile parametrice ale dreptei au forma:

Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date.

Fie două puncte M 1 (x1,y1,z1)și M2 (x2,y2,z2). Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date se obțin în același mod ca o ecuație similară pe un plan. Prin urmare, dăm imediat forma acestei ecuații.

O linie dreaptă la intersecția a două plane. Ecuația generală a unei drepte în spațiu.

Dacă luăm în considerare două plane neparalele, atunci intersecția lor va fi o dreaptă.

Dacă vectorii normali și necoliniare.

Mai jos, când luăm în considerare exemple, vom arăta o modalitate de a transforma astfel de ecuații în linie dreaptă în ecuații canonice.

5.4 Unghiul dintre două linii drepte. Condiție de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Un unghi între două linii drepte în spațiu este oricare dintre unghiurile formate din două linii drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Fie două drepte date de ecuațiile lor canonice.

Pentru unghiul dintre două drepte vom lua unghiul dintre vectorii de direcție.

și

Condiția de perpendicularitate a două drepte se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor lor de direcție și , adică la egalitatea la zero a produsului scalar: sau sub formă de coordonate: .

Condiția de paralelism a două drepte se reduce la condiția de paralelism a vectorilor lor de direcție și

5.5 Aranjament reciproc drept și plan.

Să fie date ecuațiile dreptei:

si avioane. Unghiul dintre linie și plan va fi oricare dintre cele două unghiuri adiacente formate de linie și proiecția acesteia pe plan (Figura 5.5).

Figura 5.5

Dacă linia este perpendiculară pe plan, vectorul de direcție al dreptei și vectorul normal pe plan sunt coliniare. Astfel, condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția vectorilor coliniari

În cazul paralelismului unei drepte și a unui plan, vectorii lor indicați mai sus sunt reciproc perpendiculari. Prin urmare, condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan se reduce la condiția de perpendicularitate a vectorilor; acestea. lor produs scalar zero sau sub formă de coordonate: .

Mai jos sunt exemple de rezolvare a problemelor legate de subiectul capitolului 5.

Exemplul 1:

Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctul A (1,2,4) perpendicular pe dreapta dată de ecuația:

Decizie:

Folosim ecuația planului care trece prin punct dat perpendicular pe vectorul dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, luăm punctul A (1,2,4), prin care planul trece prin condiția.

Cunoscând ecuațiile canonice ale dreptei, cunoaștem vectorul paralel cu dreapta.

Datorită faptului că, prin condiție, linia este perpendiculară pe planul dorit, vectorul direcție poate fi luat ca vector normal al planului.

Astfel, obținem ecuația planului sub forma:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Exemplul 2:

Găsiți în avion 4x-7y+5z-20=0 un punct P pentru care OP face unghiuri egale cu axele de coordonate.

Decizie:

Să facem un desen schematic. (Figura 5.6)

la

Figura 5.6

Punctul gol Р are coordonate. Deoarece vectorul formează aceleași unghiuri cu axele de coordonate, cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt egale între ele

Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci cosinusurile de direcție ale acestui vector sunt ușor de găsit.

Din egalitatea cosinusurilor direcției rezultă egalitatea:

x p \u003d y p \u003d z p

întrucât punctul P se află pe plan, înlocuirea coordonatelor acestui punct în ecuația planului îl transformă într-o identitate.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Respectiv: y r=10; z p=10.

Astfel, punctul dorit P are coordonatele P (10; 10; 10)

Exemplul 3:

Avand doua puncte A (2, -1, -2) si B (8, -7,5). Aflați ecuația planului care trece prin punctul B, perpendicular pe segmentul AB.

Decizie:

Pentru a rezolva problema, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ca punct, folosim punctul B (8, -7.5), iar ca vector perpendicular pe plan, vector. Să găsim proiecțiile vectorului:

atunci obținem ecuația planului sub forma:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Exemplul 4:

Aflați ecuația unui plan paralel cu axa OY și care trece prin punctele K(1,-5,1) și M(3,2,-2).

Decizie:

Deoarece planul este paralel cu axa OY, vom folosi ecuația incompletă a planului.

Ax+Cz+D=0

Datorită faptului că punctele K și M se află pe plan, obținem două condiții.

Să exprimăm din aceste condiții coeficienții A și C în termenii lui D.

Înlocuim coeficienții găsiți în ecuația incompletă a planului:

deoarece , atunci reducem D:

Exemplul 5:

Aflați ecuația unui plan care trece prin trei puncte M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Decizie:

Să folosim ecuația unui plan care trece prin 3 puncte date.

înlocuind coordonatele punctele M, K, R ca primul, al doilea și al treilea obținem:

extinde determinantul de-a lungul primei linii.

Exemplul 6:

Aflați ecuația planului care trece prin punctele M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) și perpendicular pe plan 3x+5y-7z-21=0

Decizie:

Să facem un desen schematic (Figura 5.7)

Figura 5.7

Notăm planul dat P 2 și planul dorit P 2. . Din ecuație avion datР 1 determinăm proiecțiile vectorului perpendicular pe planul Р 1.

Mod vectorial transfer paralel poate fi mutat în planul P 2, deoarece, conform condiției problemei, planul P 2 este perpendicular pe planul P 1, ceea ce înseamnă că vectorul este paralel cu planul P 2.

Să găsim proiecțiile vectorului situat în planul Р 2:

acum avem doi vectori si situati in planul R 2 . În mod evident, vectorul este egal cu produsul vectorial al vectorilor și va fi perpendicular pe planul P2, deoarece este perpendicular și, prin urmare, vectorul său normal pe planul P2.

Vectorii și sunt dați de proiecțiile lor, prin urmare:

În continuare, folosim ecuația unui plan care trece printr-un punct dat perpendicular pe vector. Ca punct, puteți lua oricare dintre punctele M 1 sau M 2, de exemplu M 1 (8, -3,1); Ca vector normal al planului Р 2 luăm .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Exemplul 7:

O linie dreaptă este definită de intersecția a două plane. Găsiți ecuațiile canonice ale dreptei.

Decizie:

Avem o ecuație sub forma:

Trebuie să găsesc un punct x 0, y 0, z 0) prin care trece linia dreaptă și vectorul direcție.

Alegem una dintre coordonate în mod arbitrar. De exemplu, z=1, atunci obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

Astfel, am găsit un punct situat pe dreapta dorită (2,0,1).

Ca vector de direcție al dreptei dorite, luăm produsul încrucișat al vectorilor și , care sunt vectori normali deoarece , ceea ce înseamnă paralel cu linia dorită.

Astfel, vectorul direcție al dreptei are proiecții . Folosind ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu un vector dat:

Deci ecuația canonică dorită are forma:

Exemplul 8:

Aflați coordonatele punctului de intersecție al unei drepte si avionul 2x+3y+3z-8=0

Decizie:

Să scriem pentru ecuația dată direct la forma parametrica.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

fiecărui punct al dreptei îi corespunde o singură valoare a parametrului t. Pentru a găsi parametrul t corespunzător punctului de intersecție al dreptei și al planului, substituim expresia în ecuația planului x, y, z prin intermediul parametrului t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

apoi coordonatele punctului dorit

punctul de intersecție dorit are coordonatele (1;1;1).

Exemplul 9:

Aflați ecuația unui plan care trece prin drepte paralele.

Să facem un desen schematic (Figura 5.9)

Figura 5.9

Din ecuațiile date de drepte și determinăm proiecțiile vectorilor direcționari ai acestor drepte. Găsim proiecțiile vectorului situat în planul P și luăm punctele și din ecuațiile canonice ale dreptelor M 1 (1, -1,2) și M 2 (0,1, -2).

Ecuațiile parametrice ale unei drepte sunt obținute elementar din ecuația canonică a acestei drepte, care are forma . Să luăm ca parametru valoarea cu care se pot înmulți părțile din stânga și din dreapta ecuației canonice.

Deoarece unul dintre numitori este în mod necesar diferit de zero, iar numărătorul corespunzător poate lua orice valoare, aria de modificare a parametrilor este întreaga axă numere reale: .

Vom primi sau în sfârșit

Ecuațiile (1) sunt ecuațiile parametrice dorite ale dreptei. Aceste ecuații permit interpretarea mecanică. Dacă presupunem că parametrul este timpul măsurat dintr-un moment inițial, atunci ecuațiile parametrice determină legea mișcării punct materialîn linie dreaptă cu viteză constantă (o astfel de mișcare are loc prin inerție).

Exemplul 1 Compuneți pe un plan ecuațiile parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct și având un vector de direcție.

Decizie. Înlocuim datele punctului și ale vectorului direcție din (1) și obținem:

Adesea în probleme este necesară transformarea ecuațiilor parametrice ale unei linii drepte în alte tipuri de ecuații, iar din ecuații de alte tipuri se obține ecuații parametrice ale unei linii drepte. Să ne uităm la câteva astfel de exemple. Pentru conversie ecuații parametrice direct la ecuația generală a unei drepte mai întâi ar trebui reduse la forma canonică, iar apoi din ecuația canonică pentru a obține ecuația generală a dreptei

Exemplul 2 Scrieți ecuația unei drepte

în general.

Decizie. În primul rând, aducem ecuațiile parametrice ale dreptei la ecuația canonică:

Transformări ulterioare aduc ecuația la forma generală:

Este ceva mai dificil să convertiți o ecuație generală în ecuații parametrice ale unei linii drepte, dar se poate elabora și un algoritm clar pentru această acțiune. În primul rând, putem transforma ecuația generală în ecuația panteiși găsiți din el coordonatele unui punct aparținând dreptei, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Când se cunosc coordonatele punctului și ale vectorului direcție (din ecuația generală), se pot scrie ecuațiile parametrice ale dreptei.

Exemplul 3 Scrieți ecuația unei drepte sub formă de ecuații parametrice.

Decizie. Aducem ecuația generală a unei drepte într-o ecuație cu pantă:

Găsim coordonatele unui punct aparținând dreptei. Dați uneia dintre coordonatele punctului o valoare arbitrară

Din ecuația unei drepte cu pantă, obținem o altă coordonată a punctului:

Astfel, cunoaștem punctul și vectorul direcție. Substituim datele lor în (1) și obținem ecuațiile parametrice dorite ale dreptei:

Exemplul 4 Aflați panta unei drepte dată de ecuații parametrice

Decizie. Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte trebuie mai întâi convertite în ecuația canonică, apoi în generală și, în final, în ecuația pantei.

Astfel, panta unei drepte date:

Exemplul 5 Alcătuiți ecuații parametrice ale unei drepte care trece printr-un punct și o dreaptă perpendiculară

Linia dreaptă împreună cu punctul sunt elemente importante ale geometriei, cu ajutorul cărora se construiesc multe figuri în spațiu și în plan. Acest articol discută în detaliu parametrii și relația acestuia cu alte tipuri de ecuații pentru acest element geometric.

Linie dreaptă și ecuații pentru a o descrie

O linie dreaptă în geometrie este o colecție de puncte care conectează arbitrare două puncte din spațiu printr-un segment cu lungimea cea mai mică. Acest segment face parte dintr-o linie dreaptă. Orice alte curbe care leagă două puncte fixe în spațiu vor avea o lungime mare, deci nu sunt linii drepte.

Imaginea de mai sus prezintă două puncte negre. Linia albastră care le leagă este dreaptă, iar linia roșie este curbă. Evident, linia roșie dintre punctele negre este mai lungă decât cea albastră.

Există mai multe tipuri de ecuații de linie dreaptă care pot fi folosite pentru a descrie o linie dreaptă în spatiu tridimensional sau în două dimensiuni. Mai jos sunt denumirile acestor ecuații:

• vector;
• parametrice;
• pe segmente;
• simetric sau canonic;
• tip general.

În acest articol, vom lua în considerare ecuația parametrică a unei linii drepte, dar o vom deriva din cea vectorială. De asemenea, vom arăta relația dintre ecuațiile parametrice și simetrice sau canonice.

ecuație vectorială

Este clar că toate tipurile de ecuații de mai sus pentru elementul geometric considerat sunt interconectate. Cu toate acestea, ecuația vectorială este de bază pentru toate acestea, deoarece rezultă direct din definiția unei linii drepte. Să luăm în considerare modul în care este introdus în geometrie.

Să presupunem că ni se dă un punct în spațiul P(x 0 ; y 0 ; z 0). Se știe că acest punct aparține dreptei. Câte linii pot fi trase prin el? Set infinit. Prin urmare, pentru a putea desena o singură linie dreaptă, este necesar să se stabilească direcția acesteia din urmă. Direcția, după cum știți, este determinată de vector. Să-l notăm v¯(a; b; c), unde simbolurile dintre paranteze sunt coordonatele sale. Pentru fiecare punct Q(x; y; z), care se află pe dreapta luată în considerare, putem scrie egalitatea:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Aici simbolul α este un parametru care ia absolut orice valoare reală (înmulțirea unui vector cu un număr nu poate decât să-și schimbe modulul sau direcția în sens opus). Această egalitate se numește ecuație vectorială pentru o linie dreaptă în spațiul tridimensional. Schimbând parametrul α, obținem toate punctele (x; y; z) care formează această dreaptă.

Vectorul v¯(a; b; c) din ecuație se numește vector de direcție. O linie dreaptă nu are o direcție anume, iar lungimea ei este infinită. Aceste fapte înseamnă că orice vector obţinut din v¯ prin înmulţirea cu numar real, va fi, de asemenea, un ghid pentru linia dreaptă.

În ceea ce privește punctul P(x 0; y 0; z 0), în loc de acesta, un punct arbitrar poate fi înlocuit în ecuație, care se află pe o dreaptă, iar aceasta din urmă nu se va schimba.

Figura de mai sus prezintă o linie dreaptă (linie albastră) care este definită în spațiu printr-un vector de direcție (segment de linie roșie).

Nu este dificil să se obțină o egalitate similară pentru cazul bidimensional. Folosind un raționament similar, ajungem la expresia:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Vedem că este complet la fel cu cel precedent, sunt folosite doar două coordonate în loc de trei pentru a specifica puncte și vectori.

Ecuație parametrică

În primul rând, obținem o ecuație parametrică a unei linii drepte în spațiu. Mai sus, când s-a scris egalitatea vectorială, s-a menționat deja despre parametrul care este prezent în acesta. Pentru a obține o ecuație parametrică, este suficient să extindeți cea vectorială. Primim:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Setul acestor trei egalități liniare, fiecare dintre ele având o coordonată variabilă și un parametru α, se numește de obicei ecuația parametrică a unei linii drepte în spațiu. De fapt, nu am făcut nimic nou, ci pur și simplu am înregistrat în mod explicit sensul expresiei vectoriale corespunzătoare. Notăm un singur punct: numărul α, deși este arbitrar, este același pentru toate cele trei egalități. De exemplu, dacă α \u003d -1,5 pentru prima egalitate, atunci aceeași valoare ar trebui înlocuită în a doua și a treia egalitate atunci când se determină coordonatele punctului.

Ecuația parametrică a unei linii drepte pe un plan este similară cu cea pentru cazul spațial. Este scris ca:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b

Astfel, pentru a compune o ecuație parametrică a unei linii drepte, ar trebui să scrieți ecuația vectorială pentru aceasta într-o formă explicită.

Obținerea ecuației canonice

După cum sa menționat mai sus, toate ecuațiile care definesc o linie dreaptă în spațiu și pe un plan sunt obținute una din cealaltă. Să arătăm cum să obținem o linie dreaptă canonică dintr-o ecuație parametrică. Pentru cazul spațial avem:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × c

Să exprimăm parametrul în fiecare egalitate:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / c

Deoarece părțile din stânga sunt aceleași, atunci părțile din dreapta ale egalităților sunt, de asemenea, egale între ele:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Aceasta este ecuația canonică pentru o linie dreaptă în spațiu. Valoarea numitorului din fiecare expresie este coordonata corespunzătoare.Valorile din numărător care se scad din fiecare variabilă sunt coordonatele unui punct de pe acea dreaptă.

Ecuația corespunzătoare pentru cazul de pe plan ia forma:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Ecuația unei drepte prin 2 puncte

Se știe că două puncte fixe, atât în ​​plan, cât și în spațiu, definesc în mod unic o linie dreaptă. Să presupunem că sunt date următoarele două puncte din plan:

Cum se scrie ecuația unei linii drepte prin ele? Primul pas este definirea unui vector de direcție. Coordonatele sale sunt următoarele:

PQ¯(x 2 - x 1 ; y 2 ​​​​- y 1)

Acum puteți scrie ecuația în oricare dintre cele trei forme care au fost discutate în paragrafele de mai sus. De exemplu, ecuația parametrică a unei linii drepte ia forma:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

În formă canonică, îl puteți rescrie astfel:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Se poate observa că ecuația canonică include coordonatele ambelor puncte, iar aceste puncte pot fi modificate la numărător. Deci, ultima ecuație poate fi rescrisă după cum urmează:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Toate expresiile scrise se numesc ecuații ale unei linii drepte prin 2 puncte.

Problema cu trei puncte

Sunt date coordonatele următoarelor trei puncte:

Este necesar să se determine dacă aceste puncte se află sau nu pe aceeași linie.

Această problemă ar trebui rezolvată după cum urmează: mai întâi, întocmește o ecuație a unei linii drepte pentru oricare două puncte, apoi înlocuiește coordonatele celui de-al treilea în ea și verifică dacă satisfac egalitatea rezultată.

Compunem o ecuație în termeni de M și N în formă parametrică. Pentru aceasta aplicam formula obtinuta in paragraful de mai sus, pe care o generalizam la cazul tridimensional. Noi avem:

x = 5 + α × (-3);

y = 3 + α × (-1);

z = -1 + α × 1

Acum să substituim coordonatele punctului K în aceste expresii și să găsim valoarea parametrului alfa care le corespunde. Primim:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Am aflat că toate cele trei egalități vor fi valabile dacă fiecare dintre ele ia o valoare diferită a parametrului α. Ultimul fapt contrazice condiția ecuației parametrice a unei linii drepte, în care α trebuie să fie egală pentru toate ecuațiile. Aceasta înseamnă că punctul K nu aparține dreptei MN, ceea ce înseamnă că toate cele trei puncte nu se află pe aceeași dreaptă.

Problema liniilor paralele

Două ecuații de drepte sunt date în formă parametrică. Acestea sunt prezentate mai jos:

x = -1 + 5 × α;

x = 2 - 6 × λ;

y = 4 - 3,6 × λ

Este necesar să se determine dacă liniile sunt paralele. Cea mai ușoară modalitate de a determina paralelismul a două linii este utilizarea coordonatele vectorilor de direcție. Referindu-ne la formula generală a ecuației parametrice în spațiul bidimensional, obținem că vectorii de direcție ai fiecărei drepte vor avea coordonate:

Doi vectori sunt paraleli dacă unul dintre ei poate fi obținut prin înmulțirea celuilalt cu un anumit număr. Împărțim coordonatele vectorilor în perechi, obținem:

Înseamnă că:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Vectorii de direcție v 2 ¯ și v 1 ¯ sunt paraleli, ceea ce înseamnă că dreptele din enunțul problemei sunt și ele paralele.

Să verificăm dacă nu sunt aceeași linie. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți coordonatele oricărui punct din ecuație cu altul. Luați punctul (-1; 3), înlocuiți-l în ecuație pentru a doua dreaptă:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Adică liniile sunt diferite.

Problema perpendicularității liniilor

Sunt date ecuațiile a două drepte:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

Aceste drepte sunt perpendiculare?

Două drepte vor fi perpendiculare dacă produsul scalar al vectorilor lor de direcție este zero. Să scriem acești vectori:

Să găsim produsul lor scalar:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Astfel, am aflat că dreptele considerate sunt perpendiculare. Sunt prezentate în imaginea de mai sus.

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane ne referim la unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . Asa de . pentru că și , apoi

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiție de paralelism a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Prin urmare, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumător vectorul acestei linii.

Deci, lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t coordonatele se schimbă X, yși zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lasa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observație 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, cum ar fi axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bouși Oi sau axă paralelă Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l poți să iei produs vectorial vectori normali:

.

Exemplu. Conduce ecuații generale Drept la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

În mod evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

O ecuație care, pe lângă o cantitate necunoscută, conține și o altă cantitate suplimentară care poate lua diferite valori dintr-o anumită regiune se numește parametrice. Această mărime suplimentară din ecuație se numește parametru. De fapt, cu fiecare ecuație parametrică pot fi scrise multe ecuații. Vom lua în considerare modulul unei ecuații parametrice și soluția ecuațiilor parametrice simple.

Sarcina 1 Rezolvați ecuații în raport cu $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x ​​​​= x + b$
F) $ax = 3a$

Decizie:

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, adică s-a găsit soluția acestei ecuații.
Pentru diferite valori ale parametrilor, soluțiile sunt $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x ​​​​\Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$

D) $ax = 5$, când a este diferit de 0 putem împărți ambele părți la a și obținem $x = 5$
Dacă $a = 0$ obținem o ecuație ca $0.x = 5$ care nu are soluție;

E) $a – x ​​​​= x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$

F) Când a = 0, ecuația ax = 3a este 0.x = 0
Prin urmare, orice x este o soluție. Dacă a este diferit de 0 atunci
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$

Sarcina 2 Dacă a este un parametru, rezolvați ecuația:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Decizie:

A) Dacă $a + 1$ este diferit de 0, adică $a \neq -1$,
atunci $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
dacă $a + 1 = 0$, adică. $a = - 1$
ecuația devine $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, care nu are soluție;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Dacă $(1 – a) \neq 0$, atunci un $\neq 1$; decizia va
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Dacă $a = 1$ ecuația devine $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, care nu are soluție

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \Săgeată stânga$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Dacă $a - 1 \neq 0$ și $a + 1 \neq 0$, adică $a \neq 1, -1$,
soluția este $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Dacă $a = 1$ sau $a = -1$, ecuația devine este $0\cdot x = \pm 1$, care nu are soluție

D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
În acest caz $a^2 + 1 \neq 0$ pentru orice $a$ deoarece este suma unui număr pozitiv (1) și a unui număr negativ
$(a^2 \geq 0)$ deci $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Sarcina 3 Dacă a și b sunt parametri, rezolvați ecuațiile:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 - a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Decizie:

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Dacă $a \neq 0$ atunci soluția este $x = -\frac(b)(a)$.
Dacă $a = 0, b \neq 0$, ecuația devine $0\cdot x = -b$ și nu are soluție.
Dacă $a = 0$ și $b = 0$, ecuația devine $0\cdot x = 0$ și orice $x$ este o soluție;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Dacă $a - 1 \neq 0$, adică. $a \neq 1$, soluția este $x = -\frac(2b)(a-1)$
Dacă $a - 1 = 0$, adică $a = 1$, și $b \neq 0$, ecuația devine $0\cdot x = - 2b$ și nu are soluție

C) Dacă $b - 1 \neq 0$, adică $b \neq 1$,
solutia este $y = \frac(1-a)(b-1)$
Dacă $b - 1 = 0$, adică $b = 1$, dar $1 este un \neq 0$,
adică $a \neq 1$, ecuația devine $0\cdot y = 1 – a$ și nu are soluție.
Dacă $b = 1$ și $a = 1$ ecuația devine $0\cdot y = 0$ și orice $y$ este o soluție

D) $b^2 + 1 \neq 0$ pentru orice $b$ (de ce?), deci
$y = \frac(a+2)(b^2)$ este soluția ecuației.

Problema $4$ Pentru ce valori ale lui $x$ următoarele expresii au semnificații egale:
A) $5x + a$ și $3ax + 4$
B) $2x - 2$ și $4x + 5a$

Decizie:

Pentru a obține aceleași valori, trebuie să găsim soluții la ecuații
$5x + a = 3ax + 4$ și $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – o \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 - a$
Dacă $5 - 3a \neq 0$, adică $a \neq \frac(5)(3)$, soluțiile sunt $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Dacă $5 - 3a = 0$, adică $a = \frac(5)(3)$, ecuația devine $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, care nu are soluție

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Sarcina 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Decizie:

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ sau $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ sau $ax = - 6$
Dacă $a \neq 0$, ecuațiile devin $x = \frac(2)(a)$ sau $x = -\frac(6)(a)$
Dacă $a = 0$, ecuația nu are soluție

B) Dacă $a Dacă $a > 0$, aceasta este echivalentă cu $2x + 1 = 3a$
sau $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ sau
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ sau $ax + 2a = - 3$,
și găsim $ax = 3 - 2a$ sau $ax = -3 - 2a$
Dacă a = 0 atunci nu există soluții dacă $a \neq 0$
soluțiile sunt: ​​$x = \frac(3-2a)(a)$ și $x = -\frac(3+2a)(a)$

Sarcina 6 Rezolvați ecuația $2 - x = 2b - 2ax$, unde a și b sunt parametri reali. Aflați pentru ce valori ale a are ecuația ca soluție numar natural, dacă $b = 7$

Decizie:

Reprezentăm această ecuație în următoarea formă: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Sunt posibile următoarele opțiuni:
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, ecuația are o soluție unică
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Dacă $a = \frac(1)(2)$ și $b = 1$, ecuația devine $0\cdot x = 0$ și orice $x$ este o soluție
Dacă $a = \frac(1)(2)$ și $b \neq 1$, obținem $0\cdot x = 2(b - 1)$, unde $2(b - 1) \neq 0$
În acest caz, ecuația nu are soluție.
Dacă $b = 7$ și $a \neq \frac(1)(2)$ este singura soluție
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Dacă a este un număr întreg, atunci $2a - 1$ este, de asemenea, un număr întreg și soluția este
$x = \frac(12)(2a-1)$ este un număr natural când
$2a - 1$ este un divizor pozitiv pentru $12$.
Pentru ca a să fie un număr întreg, divizorul de $12$ trebuie să fie impar. Dar numai $1$ și $3$ sunt numere impare pozitive divizibile cu 12
Prin urmare, $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ sau $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ sau $2a - 1 = 1 \Săgeată stânga a = 1$

Sarcina 7 Rezolvați ecuația $|ax - 2 – a| = 4$, unde a este un parametru. Aflați pentru ce valori ale a rădăcinile ecuației sunt numere întregi negative.

Decizie:

Din definiția modulului obținem
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 - x = 4$ sau $ax - 2 - x = - 4$
Din prima egalitate obținem $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Din a doua egalitate obținem $(a - 1)x = -2$
Dacă $a - 1 = 0$, adică. $a = 1$, ultima ecuație nu are soluție.
Dacă $a \neq 1$ aflăm că $x = \frac(6)(a-1)$ sau $x = -\frac(2)(a-1)$
Pentru ca aceste rădăcini să fie numere întregi negative, trebuie să respecte următoarele:
Pentru primul, $a - 1$ trebuie să fie un divizor negativ de 6, iar pentru al doilea, un divizor pozitiv de 2
Atunci $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ sau $a - 1 = 1; 2$
Se obține $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
sau $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Atunci $a = -5; -2; -unu; 0; 2; 3$ sunt soluții la problemă.

Sarcina 8 Rezolvați ecuația:
A) $3ax - a = 1 - x$, unde a este un parametru;
B) $2ax + b = 2 + x$ unde a și b sunt parametri

Decizie:

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Dacă $3a + 1 \neq 0$, adică $a \neq -11 /3 /3$ , există o soluție
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Dacă $a = -\frac(1)(3)$ ecuația devine $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, care nu are soluție.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ este soluția.
Dacă $a = \frac(1)(2)$ ecuația devine $0.x = 2 – b$
Atunci dacă $b = 2$, orice x este o soluție, dacă $b \neq 2$, ecuația nu are soluție.

Sarcina 9 Este dată ecuația $6(kx - 6) + 24 = 5kx$, unde k este un număr întreg. Găsiți pentru ce valori ale lui k ecuația:
A) are rădăcina $-\frac(4)(3)$
B) nu are soluție;
C) are rădăcina ca număr natural.

Decizie:

Rescrie ecuația ca $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Dacă $x = -\frac(4)(3)$, pentru k obținem ecuația $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Ecuația $kx = 12$ nu are soluție când $k = 0$

C) Când $k \neq 0$ este rădăcina $x = \frac(12)(k)$ și este un număr natural, dacă k este un întreg pozitiv divizibil cu 12, i.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Sarcina 10 Rezolvați ecuația:
A) $2ax + 1 = x + a$, unde a este un parametru;
B) $2ax + 1 = x + b$, unde a și b sunt parametri.

Decizie:

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, singura soluție a ecuației este
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Dacă $2a - 1 = 0$, adică $a = \frac(1)(2)$, ecuația devine
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, care nu are soluție

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Dacă $2a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(2)$, soluția este
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Dacă $a = \frac(1)(2)$, ecuația este echivalentă cu $0.x = b - 1$
Dacă b = 1 orice x este o soluție, dacă $b \neq 1$ atunci nu există soluție.

Sarcina 11 Este dată ecuația $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, unde parametrul este un număr întreg. Aflați pentru ce valori ale ecuației are drept rădăcini:
A) $\left(-\frac(2)(3)\right)$
B) un număr întreg
C) numărul natural

Decizie:

A) Dacă $x = -\frac(2)(3)$ este o soluție a ecuației, atunci trebuie să fie adevărată
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Dacă $a \neq 0$ soluția este $x = \frac(8)(a)$, este un număr întreg, dacă a este un divizibil cu $8$.
Asa de; $±2; ±4; ±8$
Dacă $a=0$, ecuația nu are soluție

C) Pentru a obține un număr natural (întreg pozitiv) pentru această soluție $x=\frac(8)(a)$ numărul ar trebui să fie: $a=1, 2, 4, 8$

Sarcina 12 Este dată ecuația $2 – x = 2b – 2ax$, unde $a$ și $b$ sunt parametri. Aflați pentru ce valori ale ecuației are soluții sub forma unui număr natural dacă $b = 7$

Decizie:

Inlocuim $b = 7$ in ecuatie si obtinem $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Dacă $2a -1 \neq 0$, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, ecuația devine
$x = \frac(12)(2a-1)$ și va fi un număr natural dacă numitorul $2a - 1$ este un divizibil pozitiv $12$ și pe lângă faptul că este un număr întreg, este necesar ca $2a - 1$ era un număr impar.
Deci $2a - 1$ poate fi $1$ sau $3$
De la $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ și $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Sarcina 13 Având în vedere o funcție $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, unde a este un parametru. Găsiți pentru ce valori ale unui graficul funcției:
A) traversează axa x;
B) traversează axa x

Decizie:

Pentru ca graficul funcției să traverseze axa x, este necesar ca
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ a avut o soluție și nu a avut nicio soluție pentru neîncrucișarea axei x.
Din ecuație obținem $(3a - 1)x = 2a - 1$
Dacă $3a - 1 \neq 0$, adică $a \neq \frac(1)(3)$, ecuația are soluții
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, deci graficul funcției traversează axa x.
Dacă $a = \frac(1)(3)$, obținem $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, care nu au solutii.
Prin urmare, dacă $a = \frac(1)(3)$, graficul funcției nu traversează axa x.

Sarcina 14 Rezolvați ecuația parametrică:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2 dolari

Decizie:

A) Dacă $a 0$ obținem:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ sau $x - 2 = -a$
De la $x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, iar de la
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Dacă $a = 0$ atunci $x - 2 = 0$ sau $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ sau $ax - 1 = -3$
de unde $ax = 4$ sau $ax = - 2$
Dacă $a \neq 0$ soluțiile sunt: ​​$x = \frac(4)(a)$ sau $x = -\frac(2)(a)$
Dacă $a = 0$, nu există nicio soluție aici

C) Dacă $a - 2 Dacă $a - 2 > 0$, i.e. $a > 2$ primim
$|ax - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ sau $ax - 1 = 2 – a$
Deci obținem $ax = a - 1$ sau $ax = 3 – a$
Deoarece $a > 2, a \neq 0$, prin urmare
$x = \frac(a-1)(a)$ sau $x = \frac(3-a)(a)$.
Dacă $a = 2$, ecuațiile sunt echivalente
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$

Sarcina 15 Aflați pentru ce valori ale parametrului m (a), cele două ecuații sunt echivalente:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ și $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 - m$ și $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ și $ax + 2a = 1 + x$ dacă $x > 3$

Decizie:

A) Să rezolvăm a doua ecuație. Să o scriem sub forma:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​+ 2x + 1 - 1 = x^2 \Săgeată la stânga$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Pentru primul îl primim
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Aceste două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași rădăcini, adică.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$

B) Pentru prima ecuație, soluția este $x = 2 - 3m$ și pentru a doua obținem
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Au aceleași rădăcini când
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$

C) Deoarece $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 - x) = x - $3
Prima ecuație va arăta astfel: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 ​​​​- 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ sau $x = 4$
Cu condiția ca $x > 3$, deci doar $x = 4$ este o soluție. Pentru a doua ecuație, obținem
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Dacă $a - 1 = 0$ nu există nicio soluție (De ce?), dacă $a - 1 \neq 0$, adică. $a \neq 1$, există o soluție
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Aceste două ecuații sunt egale dacă $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \ Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$