În acest articol, vom oferi o definiție a unui mănunchi de plane, vom obține ecuația unui mănunchi de plane în raport cu un sistem de coordonate dreptunghiular dat și vom analiza în detaliu soluțiile la probleme tipice legate de conceptul de pachet de plane. .

Navigare în pagină.

Un mănunchi de avioane - definiție.

Din axiomele geometriei rezultă că spatiu tridimensional Există un singur plan printr-o linie și un punct nu este pe ea. Și din această afirmație rezultă că există infinit de planuri care conțin o linie predeterminată. Să argumentăm acest lucru.

Să ni se dea o linie dreaptă a . Să luăm un punct M 1 care nu se află pe dreapta a. Apoi prin dreapta a și punctul M 1 putem desena un plan, și numai unul. Să-l desemnăm. Acum să luăm un punct M 2 care nu se află în plan. Prin dreapta a și punctul M 2 trece singurul plan. Dacă luăm un punct M3 care nu se află nici în plan, nici în plan, atunci putem construi un plan care trece prin dreapta a și punctul M3. Evident, acest proces de construire a planurilor care trec printr-o dreaptă dată a poate fi continuat la infinit.

Astfel am ajuns la definiția unui mănunchi de avioane.

Definiție.

pachet de avion este mulțimea tuturor planurilor din spațiul tridimensional care trec printr-o dreaptă dată.

Linia dreaptă, care este cuprinsă de toate planurile mănunchiului, se numește centrul acestui mănunchi de planuri. Astfel, are loc expresia „un mănunchi de plane cu centrul a”.

Un anumit pachet de planuri poate fi definit fie prin specificarea centrului său, fie prin specificarea oricăror două planuri ale acestui pachet, care este în esență același lucru. Pe de altă parte, oricare două planuri care se intersectează definesc un anumit pachet de planuri.

Ecuația unui fascicul de plane - rezolvarea problemelor.

În scopuri practice, nu interesează atât un mănunchi de planuri în forma sa geometrică, ci mai degrabă.

Să răspundem imediat la întrebarea logică: „Care este ecuația unui fascicul de plane”?

Pentru a face acest lucru, vom presupune că Oxyz este introdus în spațiul tridimensional și se specifică un mănunchi de planuri prin specificarea a două planuri și din acesta. Fie planul să corespundă ecuației generale a planului formei, iar planul - al formei. Deci, ecuația unui fascicul de planuri este o ecuație care definește ecuațiile tuturor planurilor acestui fascicul.

Apare următoarea întrebare logică: „Care este ecuația unui fascicul de plane într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz”?

Forma ecuației pentru un creion de avioane este dată de următoarea teoremă.

Teorema.

Planul aparține unui creion de plane, care este definit de două plane care se intersectează și , dat de ecuațiile și respectiv, dacă și numai dacă ecuația sa generală are forma , unde și sunt numere reale arbitrare care nu sunt egale cu zero la în același timp (ultima condiție este echivalentă cu inegalitatea).

Dovada.

Pentru a dovedi suficientă, trebuie să arătați:

Să rescriem ecuația sub forma . Ecuația rezultată este ecuație generală plan, dacă expresiile și nu sunt egale cu zero în același timp.

Să demonstrăm că ele într-adevăr nu dispar în același timp prin contradicție. Să ne prefacem că. Atunci dacă , atunci , dacă , atunci . Egalitățile rezultate înseamnă că vectorii și sunt legate prin relații sau (dacă este necesar, vezi articolul ), prin urmare, și deține. Deoarece este vectorul normal al planului, - vectorul normal al planului , iar vectorii și sunt coliniari, apoi planele și sunt paralele sau coincid (vezi articolul condiția paralelismului a două plane). Și acest lucru nu poate fi, deoarece planurile definesc un mănunchi de planuri și, prin urmare, se intersectează.

Deci, ecuația este într-adevăr ecuația generală a planului. Să arătăm că planul definit de această ecuație trece prin linia de intersecție a planelor și .

Dacă acest lucru este adevărat, atunci sistemul de ecuații de formă are un număr infinit de soluții. (Dacă sistemul de ecuații scris are o soluție unică, atunci planurile din care sistemul este compus din ecuații au un singur punct comun, prin urmare, planul intersectează dreapta definită de planurile care se intersectează și. Dacă sistemul scris de ecuații nu are soluții, atunci nu există niciun punct care să aparțină simultan tuturor celor trei planuri, prin urmare, planul este paralel cu dreapta dată de planele care se intersectează și ).

Deoarece prima ecuație a sistemului scris de ecuații este o combinație liniară a celei de-a doua și a treia ecuații, este redundantă și poate fi exclusă din sistem fără consecințe (am vorbit despre asta în articol). Adică, sistemul original de ecuații este echivalent cu un sistem de ecuații de forma . Și acest sistem are un număr infinit de soluții, deoarece planele și au infinit de puncte comune datorită faptului că se intersectează.

Suficiența a fost dovedită.

Să trecem la dovada necesității.

Pentru a demonstra necesitatea, este necesar să se arate că, oricare ar fi planul predeterminat care trece prin linia de intersecție a planurilor și , este determinat de ecuația pentru unele valori ale parametrilor și .

Luați un avion care trece printr-un punct iar prin linia de intersecție a planelor și (M 0 nu se află pe linia de intersecție a acestor plane). Să arătăm că este întotdeauna posibil să alegeți astfel de valori și parametri și , la care coordonatele punctului M 0 vor satisface ecuația , adică egalitatea va fi adevărată. Acest lucru se va dovedi suficient.

Să substituim coordonatele punctului М 0 : în ecuație. Deoarece planele și nu trec simultan prin punctul M 0 (altfel aceste planuri ar coincide), atunci cel puțin una dintre expresii sau diferit de zero. Dacă , atunci ecuația poate fi rezolvată în raport cu parametrul ca și, dând parametrului o valoare arbitrară diferită de zero, calculăm . Dacă , atunci dând parametrului o valoare arbitrară diferită de zero, calculăm .

Teorema este complet demonstrată.

Deci se pare ca. Definește toate planurile fasciculului. Dacă luăm o pereche de valori și înlocuiți-le în ecuația unui mănunchi de plane, apoi obținem ecuația generală a unui plan din acest pachet.

Deoarece parametrii și nu sunt egali cu zero în ecuația fasciculului de plane, acesta poate fi scris sub forma , dacă , și sub forma , dacă .

Cu toate acestea, aceste ecuații nu sunt echivalente cu ecuația unui fascicul de planuri de formă, deoarece pentru orice valoare este imposibil să se obțină o ecuație a unui plan de formă din ecuație și din ecuație pentru orice valoare. este imposibil să se obțină o ecuație a unui plan de forma .

Să trecem la rezolvarea exemplelor.

Exemplu.

Scrieți ecuația pentru mănunchiul plan, care în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz este dat de două plane care se intersectează și .

Soluţie.

Ecuația dată a planului în segmente este echivalentă cu ecuația generală a planului de forma . Acum putem nota ecuația necesară pentru mănunchiul de planuri: .

Răspuns:

Exemplu.

Planul aparține unui mănunchi de planuri cu centru , ?

Soluţie.

Dacă un avion aparține unui creion, atunci linia care este centrul creionului se află în acest plan. Astfel, se pot lua două puncte distincte ale unei linii și se pot verifica dacă se află în plan. Dacă da, atunci avionul aparține pachetului de avioane specificat, dacă nu, atunci nu.

Ecuațiile parametrice ale unei linii drepte în spațiu facilitează determinarea coordonatelor punctelor aflate pe ea. Să luăm două valori ale parametrului (de exemplu și ) și să calculăm coordonatele a două puncte M 1 și M 2 ale dreptei:

În primul rând, vom spune că avionul

există o combinație liniară de planuri

dacă ecuația (1) este o combinație liniară a ecuațiilor (2) și (3), adică dacă există astfel și , astfel încât identitatea

Din identitatea (4) rezultă că orice punct ) care satisface ambele ecuații (2) și (3) satisface și ecuația (1) - orice punct aparținând ambelor plane (2) și (3) aparține și planului (1) . Cu alte cuvinte:

Avionul care este combinație liniară două plane date care se intersectează (2) și (3) trec prin linia de intersecție a acestor plane. Să demonstrăm că, invers, orice plan (1) care trece prin linia de intersecție d a două plane date (2) și (3) este o combinație liniară a acestor plane.

Fără pierderea generalității, putem presupune că planul (1) nu coincide cu niciunul dintre planurile (2) și (3). Dovada este exact aceeași ca și în cazul liniilor (Capitolul V, §5).

Planul care trece prin dreapta d va fi complet definit dacă indicăm câteva dintre punctele sale (Fig. 122) care nu se află pe dreapta d.

Să luăm un astfel de punct pe planul nostru (1) și să scriem o ecuație cu două necunoscute și:

Deoarece, prin presupunere, punctul nu se află pe dreapta d, atunci cel puțin unul dintre parantezele din partea stângă a ecuației (5) este diferit de zero; din această ecuație (5) raportul este determinat în mod unic

Fie acum și câteva numere care satisfac proporția (6). Atunci egalitatea (5) este valabilă, ceea ce înseamnă că punctul se află pe plan

Dar acest plan, fiind o combinație liniară de planuri (2) și (3), trece prin dreapta d și conține un punct aparținând planului (-adică că planul (1) coincide cu planul (7) și este o combinație liniară. a planurilor (2) şi (3) Afirmaţia este dovedită.

Deci, pentru ca planul (1) să treacă prin linia de intersecție a două plane (2) și (3), este necesar și suficient ca ecuația (1) să fie o combinație liniară a ecuațiilor (2) și (3) .

Acum să fie planele (2) și (3) paralele. Exact în același mod ca în § 5 din capitolul V, suntem convinși că orice plan care este o combinație liniară de planuri (2) și (3) va fi paralel cu acestea și că, invers, orice plan paralel cu doi (paralel). unul față de celălalt) planurile (2) și (3) este combinația lor liniară.

Să numim colecția tuturor planurilor care trec printr-o linie dată d un creion propriu-zis de plane cu o axă.Să numim un creion impropriu de plane colecția tuturor planurilor paralele (în sensul larg al cuvântului) cu unul dintre unele plane. În cele din urmă, numim mulțimea tuturor planurilor care sunt combinații liniare ale oricăror două planuri și , o varietate unidimensională de planuri generate de cele două elemente ale sale și . Am demonstrat că orice creion de planuri (propriu sau impropriu) este o varietate unidimensională generată de oricare două dintre elementele sale.

În schimb, orice varietate unidimensională de plane (generată de două plane și 62) este un mănunchi de plane - propriu dacă planurile și 62 se intersectează, impropriu dacă sunt paralele.

În capitolul XXIII al acestor „Prelegeri” vom construi un spațiu proiectiv, după ce am completat spațiul obișnuit cu puncte infinit îndepărtate (improprii) în așa fel încât totalitatea acestor puncte infinit îndepărtate să formeze un plan infinit (impropriu) îndepărtat;

Toate liniile aflate în acest plan vor fi, de asemenea, numite la infinit sau improprii. Fiecare plan „propriu” (adică, obișnuit) al spațiului se intersectează cu un plan impropriu de-a lungul unei drepte necorespunzătoare - de-a lungul singurei drepte necorespunzătoare a unui plan propriu dat. Se dovedește că două plane proprii sunt paralele dacă și numai dacă se intersectează de-a lungul liniei lor comune la infinit. Astfel, într-un spațiu proiectiv, distincția dintre creioane proprii și improprii de avioane dispare: un creion impropriu este un creion de plane a cărui axă este una dintre liniile improprie ale spațiului proiectiv.

Articolul tratează definițiile unui creion de linii centrate într-un punct dat din plan. Dezasamblat soluție detaliată folosind definiția, se iau în considerare probleme pentru compilarea ecuației unui creion de linii, găsirea coordonatelor.

Un creion de linii este definit într-un plan, dar nu în spațiul tridimensional. Axioma geometriei spune că dacă există două puncte non-coincidente situate pe un plan, atunci doar o singură dreaptă poate fi trasată prin ele. Dacă un punct M 0 și M 1 sunt date pe planul γ, atunci putem trage o dreaptă prin ele. Când mai există un punct M 2 care nu se află pe linia M 0 M 1, atunci puteți trage o linie M 0 M 2. Dacă notăm un punct M 3 care nu aparține niciunei drepte trasate, putem trage prin el și o linie care trece prin M 0 .

Aceasta implică faptul că în planul γ se poate trasa un set de linii prin punct dat. Acest lucru a condus la definirea unui creion de linii.

Definiția 1

Un plan dat γ cu mulțimea tuturor dreptelor care se află în planul γ și trec prin punctul M 0 se numește creion de drepte centrate în punctul M 0 .

Pe baza definiției, avem că oricare două linii din acest creion se vor intersecta în centrul acestui creion de linii. Un fascicul este definit dacă este specificat centrul acestui fascicul.

Ecuația pachetului de linii - rezolvarea problemelor

Pentru a rezolva probleme, se folosește ecuația unui creion de linii, adică creionul în sine este considerat relativ la sistemul de coordonate O x y pe plan.

Când avem un sistem de coordonate dreptunghiular O x y pe planul cu liniile de intersectare indicate a 1 și a 2, fasciculul definește aceste drepte. Ecuația generală a unei linii drepte este responsabilă pentru sistemul de coordonate O x y, care are forma A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sau A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0.

Să introducem desemnarea intersecției dreptelor ca punct M 0 cu coordonatele x 0 și y 0 . Rezultă că punctul M are coordonatele M 0 (x 0 , y 0) .

Pentru a determina forma ecuației utilizate în snopi, luați în considerare teorema.

Teorema

Având în vedere două drepte care se intersectează a 1 și a 2, există drepte care sunt incluse în creionul de linii formate în sistemul de coordonate O x y. Ecuațiile lor sunt de forma A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 dacă și numai dacă ecuația dreptei α (A 1 x + B 1 y + C 1 = 0) + β (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 îi corespunde, iar α și β sunt numere reale, nu este egal cu zero. Această condiție se scrie după cum urmează: α 2 + β 2 ≠ 0.

Dovada

Începem luarea în considerare a dovezii considerând linia a din creionul indicat, după care demonstrăm că aceasta poate fi specificată folosind ecuația α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β (A 2 x + B). 2 y + C 2 ) = 0 .

Luăm centrul fasciculului ca punct cu coordonatele M 0 = (x 0 , y 0) .

De aici obținem că n → = (A 1 , B 1) este vectorul normal al dreptei A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, atunci n 2 → = (A 2 , B 2) este normalul vector pentru dreapta A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Obținem că n → 1 și n 2 → sunt vectori necoliniari, deoarece linia a 1 și a 2 nu au puncte de intersecție comune. Prin urmare, este necesar să se extindă vectorul normal n → în două necoliniare n 1 → și n 2 →. Descompunerea trebuie efectuată după formula n → = α · n 1 → + β · n 2 → . Ca rezultat, obținem că n → = (α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2) .

După calcule, obținem coordonatele vectorului normal al dreptei a egale cu n → = α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2 . Coordonatele punctului care se intersectează cu dreapta a în punctul M 0 (x 0, y 0) se scriu folosind ecuația generală a dreptei a. Apoi obținem o expresie ca:

α A 1 + β A 2 x - x 0 + α B 1 + β B 2 y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ α (A 1 x + B 1 y - A 1 x 0 + B 1 y 0) + β A 2 x + B 2 y - A 2 x 0 - B 2 y 0 = 0

Prin - A 1 x 0 - B 1 y 0 \u003d C 1 și - A 2 x 0 - B 2 y 0 \u003d C 2 obținem ecuația generală a dreptei a, care are forma α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Necesitatea de mai sus a fost dovedită.

Rămâne de găsit dovada suficienței.

Prin urmare, este necesar să se demonstreze expresia α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, unde avem α și β prin câteva numere reale nenule. , există o ecuație din creion de drepte cu punctul de intersecție M 0 (x 0 , y 0) . O astfel de ecuație este definită folosind două drepte care se intersectează A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Scriem ecuația α (A 1 x + B 1 y + C 1) + β A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ca α A 1 + β A 2 x + α B 1 + β B 2 y + α C 1 + β C 2 = 0 .

Ecuația va fi considerată generală dacă condiția este îndeplinită când α · A 1 + β · A 2 și α · B 1 + β · B 2 sunt nenule. În caz contrar, obținem o expresie de forma α A 1 + β A 2 = 0 ⇔ A 1 = - β α A 2 și α B 1 + β B 2 = 0 ⇔ B 1 = - β α B 2 sau α A 1 + β A 2 = 0 ⇔ A 2 = - α β A 1 și α B 1 + β B 2 = 0 ⇔ B 2 = - α β B 1. Aceasta ar însemna că vectorii nu sunt coliniari.

Acest lucru este imposibil în acest caz, deoarece n 1 → și n 2 → sunt vectori normali ai dreptelor a 1 și a 2 care se intersectează.

Avem că ecuația α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 este ecuația generală a unei drepte. În continuare, trebuie să demonstrați satisfacția coordonatelor punctului atunci când acestea se intersectează, adică coordonatele punctului M 0 (x 0, y 0) . Să demonstrăm dacă egalitatea α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 este adevărată.

M 0 (x 0 , y 0) este punctul de intersecție al dreptelor, ceea ce înseamnă că coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuațiile ambelor drepte care se intersectează.

Când A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, rezultă că α A 1 x + B 1 y + C 1 + β A 2 x + B 2 y + C 2 = α 0 + β 0 = 0 .

Q.E.D.

Putem concluziona că ecuația care are forma α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 este ecuația fasciculului.

Valorile lui α și β sunt necesare pentru a determina liniile care se află în acest pachet, cu ecuațiile A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Este necesar ca cel puțin unul dintre parametri să fie diferit de zero, atunci expresia poate fi simplificată. Cu condiția ca α ≠ 0, obținem o expresie de forma A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 cu λ = α β .

Pentru β ≠ 0, expresia devine μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 cu μ = α β .

Ele nu sunt echivalente cu ecuația unui creion de linii legate de forma α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Ecuația A 1 x + B 1 y + C 1 + λ A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 pentru orice valoare a lui λ nu va face posibilă obținerea unei ecuații de forma A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Ecuația μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 pentru orice valoare a lui μ nu va avea ca rezultat A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 .

Să aruncăm o privire mai atentă la exemplele de rezolvare.

Exemplul 1

Scrieți ecuația unei grinzi drepte cu un centru dat în punctul M 0 (- 1 , 4) , k = 3 .

Soluţie

Este necesar să se formuleze o ecuație pentru o dreaptă care va trece printr-un punct dat cu coordonatele M 0 (- 1, 4) cu o pantă egală cu 3. Apoi scriem ecuația unei drepte cu pantă și obținem y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7 .

Răspuns: y = 3 x + 7 .

Exemplul 2

Aflați coordonatele centrului creionului de drepte în O x y dacă se cunosc două ecuații ale dreptelor care se intersectează x - 4 2 = y + 3 0 și x 2 3 + y - 1 = 1.

Soluţie

Pentru a găsi coordonatele centrului fasciculului, este necesar să găsiți punctele de intersecție x - 4 2 = y + 3 0 și x 2 3 + y - 1 = 1 .

Înțelegem asta ecuație canonică o linie dreaptă pe planul x - 4 2 = y + 3 0 este echivalentă cu x 2 3 + y - 1 = 1 , iar ecuația din segmentele x 2 3 + y - 1 = 1 este echivalentă cu ecuația generală a lui dreapta 3 2 x - y - 1 = 0 .

Acum compunem un sistem de ecuații care include ecuațiile de linii.

Înțelegem asta

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

Obținem că - 4 3 , - 3 sunt coordonatele punctului central unde se intersectează toate liniile.

Răspuns: - 4 3 , - 3 .

Exemplul 3

Compilați ecuația unui creion de linii în O x y, care este dată de liniile 3 x - 2 y + 1 \u003d 0 și x \u003d - 2 + 2 · λ y = 5 · λ având un punct de intersecție comun.

Soluţie

Mai întâi trebuie să obțineți ecuația generală a unei linii drepte. Este definit ecuație parametrică x = - 2 + 2 λ y = 5 λ .

De aici rezultă că

x = - 2 + 2 λ y = 5 λ ⇔ λ = x + 2 2 λ = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 (x + 2) = 2 y ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Să scriem ecuația unui creion de linii și să obținem α (3 x - 2 y + 1) + β (5 x - 2 y + 10) = 0, iar α și β sunt numere reale, unde α 2 + β 2 este considerată o condiție prealabilă ≠ 0 .

Răspuns:α (3 x - 2 y + 1) + β (5 x - 2 y + 10) = 0 .

Exemplul 4

Scrieți ecuația unei drepte care trece prin punctul M 1 (2, - 1) și aparținând unui creion de drepte cu ecuația α · (5 x + y - 19) + β · (2 ​​​​x - 3 y + 6) = 0 .

Soluţie

Problema este rezolvată în două moduri.

Prima metodă începe cu definirea lui M 0 , care este centrul intersecției. Apoi trebuie să găsiți punctele de intersecție ale ecuațiilor 5 x + y - 19 = 0 și 2 x - 3 y + 6 = 0 , iar rezultatul lor va fi coordonatele pentru M 0 .

Determinăm coordonatele rezolvând sistemul rezultat:

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x x = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Deci punctul M 0 are coordonatele (3, 4) . Aceasta este scrisă ca M 0 (3 , 4) . Pentru a obține ecuația dorită care trece prin puncte cu coordonatele M 0 (3, 4) și M 1 (2, - 1) . Ca rezultat, obținem:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = y - 4 5

A doua metodă începe cu faptul că este necesară determinarea parametrilor α și β, astfel încât ecuația α (5 x + y - 19) + β 2 x - 3 y + 6 = 0 să fie ecuația unei linii drepte care trece prin M 1 (2, - unu) . Pentru a face acest lucru, găsim coordonatele M 1 și obținem asta

α 5 2 + (- 1) - 19 + β 2 2 - 3 (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 α + 13 β = 0 ⇔ α = 13 β 10

Luăm valoarea β = 10, dacă doriți, puteți alege orice altă astfel de valoare a lui β, ceea ce oferă un calcul simplu al lui α. Obținem α \u003d 13 β 10 \u003d 13 10 10 \u003d 13.

Când înlocuim valorile α = 13 și β = 10 în ecuația fasciculului dată, transformăm:

13 (5 x + y - 19) + 10 (2 x - 3 y + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 y - 187 = 0 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Este necesar să se verifice echivalența ecuațiilor rezultate.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 x - 3 = 1 y - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

De aici rezultă că totul este hotărât corect.

Răspuns: 5 x - y - 11 = 0 .

Exemplul 5

Stabiliți dacă linia 3 x - y + 5 = 0 aparține creionului dreptelor α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Soluţie

Soluția se face în două moduri.

Prima modalitate de rezolvare începe cu găsirea centrelor de coordonate ale ecuației fasciculului dat și verificarea acestora:

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 y - 4 y = 0 ⇔ x = 2 0 - 4 y = 0 ⇔ x = - 4 y = 0 3 (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

Obținem că înlocuirea coordonatelor centrului în ecuația dreptei 3 x - y + 5 = 0 dă o egalitate incorectă. Concluzionam că linia nu intersectează centrul grinzilor și, prin urmare, nu îi aparține.

A doua metodă începe prin deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari α · (x - 2 y + 4) + β · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 .

Când linia 3 x - y + 5 = 0 aparține unui creion de linii, atunci există valori α și β astfel încât cele două ecuații α + β x - 2 α + β y + 4 α + 4 β = 0 și 3 x - y + 5 = 0 sunt echivalente.

Apoi obținem un sistem format din trei ecuații α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 .

Pentru a-l transforma este necesar să echivalăm coeficienții în fața variabilelor x și y și termenii liberi ai ecuațiilor existente α + β x - 2 α + β y + 4 α + 4 β = 0 și 3 x - y + 5 = 0 pentru a obține rezultatul soluției .

Pentru verificare este necesar să se aplice teorema Kronecker-Capelli.

Pentru a face acest lucru, este necesar să scrieți matricele principale și extinse pentru sistemul de ecuații compilat. Obținem că A = 1 1 2 1 4 4 și T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 .

Rezultatul găsirii rangului matricei augmentate este 3 deoarece 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0 .

Avem deci că sistemul de ecuații α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 nu este definit, adică are soluții. Deoarece nu există soluții, linia nu trece prin centrul liniei creioanelor de linii existente.

Răspuns: nu, linia 3 x - y + 5 = 0 nu aparține creionului dat de linii scrise printr-o ecuație de forma α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Un creion propriu de avioane este ansamblul tuturor planurilor care trec printr-o linie dreaptă.

Un creion necorespunzător de avioane este un set de toate planurile paralele.

Teorema 1. Pentru ca cele trei plane date de ecuaţiile generale

raportat la sistemul de coordonate carteziene comun, aparținând aceluiași fascicul, propriu sau impropriu, este necesar și suficient ca rangul matricei

era egal cu doi sau cu unul.

dovada de necesitate. Fie trei planuri (1) să aparțină aceluiași mănunchi. Se cere să se demonstreze că

Să presupunem mai întâi că cele trei planuri date aparțin propriului creion. Atunci sistemul (1) are un set infinit de soluții (deoarece prin definiția unui creion propriu-zis: trei planuri aparțin unui creion dacă trec printr-o linie dreaptă); aceasta va fi dacă și numai dacă, deoarece dacă, atunci sistemul (1) fie are o soluție unică, fie este inconsecvent, în funcție de faptul dacă determinantul compus din coeficienții necunoscutelor este diferit de zero sau egal cu zero.

Dacă trei planuri date aparțin unui snop impropriu, atunci rangul matricei

este egal cu 1, ceea ce înseamnă că rangul matricei M egal fie cu doi, fie cu unul.

Dovada de suficiență. Dat: Este necesar să se demonstreze că trei avioane date aparțin aceluiași creion.

Dacă, atunci și. Lăsa. Atunci sistemul (1) este consecvent, are un număr infinit de soluții, iar între aceste plane există și planuri care se intersectează (pentru că dacă nu ar exista unele care se intersectează, toate ar fi paralele și rangul matricei ar fi egal cu 1), deci trei avioane date aparțin pachetului propriu.

În cazul în care un; , atunci toate planurile sunt coliniare (două dintre ele sunt neapărat paralele, iar al treilea poate coincide cu unul dintre planurile paralele).

Dacă, atunci și, și toate planurile coincid.

Teorema 2. Să în general Sistemul cartezian coordonatele sunt date două plane diferite și ecuații generale: ; .

Pentru al treilea plan, dat tot de ecuația generală

față de același sistem de coordonate, aparținea creionului definit de planuri și, este necesar și suficient ca partea stângă a ecuației planului să fie o combinație liniară a laturilor stângi ale ecuațiilor planelor și.

dovada de necesitate. Având în vedere: planul aparține mănunchiului de planuri definit de planurile u. Este necesar să se demonstreze că există numere și astfel încât identitatea să fie adevărată pentru toate valorile X, la, z:

Într-adevăr, dacă trei avioane și aparțin unui singur pachet, atunci unde

Primele două rânduri ale acestei matrice sunt liniar independente (deoarece planurile și sunt diferite), iar din moment ce al treilea rând este o combinație liniară a primelor două, i.e. există numere și așa încât

Înmulțirea ambelor părți ale primei egalități cu X, ambele părți ale celui de-al doilea on la, ambele părți ale a treia pe zși adăugând termen cu termen egalități obținute și egalitate, obținem identitatea de demonstrat.

Dovada de suficiență. Lasă identitatea

valabil pentru toate valorile X, lași z. Se cere să se dovedească că avionul aparține creionului definit de planurile u.

Din această identitate urmează relațiile

deci al treilea rând al matricei M este o combinație liniară a primelor două și, prin urmare. Ch.t.d.

Ecuația unde și nu sunt egale cu zero în același timp, se numește ecuația unui mănunchi de plane, definită de două plane diferite și, ale cărei ecuații într-un sistem de coordonate carteziene comun sunt următoarele:

După cum s-a dovedit, ecuația oricărui plan al unui fascicul definit de planuri diferite și poate fi scrisă sub forma

În schimb, dacă o ecuație în care cel puțin unul dintre numere și nu este egal cu zero este o ecuație de gradul întâi, atunci este o ecuație a unui plan aparținând creionului definit de planurile u. Într-adevăr, al treilea rând al matricei M, compus din coeficienții ecuațiilor și are forma

acestea. este o combinație liniară a celorlalte două, prin urmare.

Dacă planele și se intersectează și și nu sunt egale cu zero simultan, atunci toți coeficienții de la X, la, zîn ecuație nu poate fi egal cu zero, deoarece dacă relațiile

atunci planurile ar fi coliniare, contrar presupunerii.

Dar dacă planele și sunt paralele, atunci există astfel de numere și, dintre care cel puțin unul nu este egal cu zero și astfel încât în ​​ecuație toți coeficienții de la X, lași z sunt egale cu zero. Dar atunci va fi un creion nepotrivit și, la fel ca în cazul unui creion cu linii drepte, aici trebuie să fii foarte atent.