Cursul 6 spațiu vectorial.

Întrebări principale.

1. Spațiu liniar vectorial.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

3. Orientarea spațiului.

4. Descompunerea unui vector în termeni de bază.

5. Coordonatele vectoriale.

1. Spațiu liniar vectorial.

O mulțime formată din elemente de orice natură, în care sunt definite operații liniare: se numesc adunarea a două elemente și înmulțirea unui element cu un număr. spatii, iar elementele lor sunt vectori acest spatiu si se noteaza la fel ca marimile vectoriale in geometrie: . Vectori astfel de spații abstracte, de regulă, nu au nimic în comun cu vectorii geometrici obișnuiți. Elementele spațiilor abstracte pot fi funcții, un sistem de numere, matrice etc., iar într-un caz particular, vectori obișnuiți. Prin urmare, astfel de spații sunt numite spații vectoriale .

Spațiile vectoriale sunt, De exemplu, mulţimea vectorilor coliniari, notat cu V1 , mulţimea vectorilor coplanari V2 , set de vectori obișnuiți (spațiu real). V3 .

Pentru acest caz particular, putem da următoarea definiție a unui spațiu vectorial.

Definiția 1. Mulțimea vectorilor se numește spațiu vectorial, dacă combinația liniară a oricăror vectori ai mulțimii este și un vector al acestei mulțimi. Vectorii înșiși sunt numiți elemente spațiu vectorial.

Mai important atât teoretic cât și aplicativ este conceptul general (abstract) al spațiului vectorial.

Definiția 2. O multime de R elemente , în care pentru oricare două elemente este definită suma și pentru orice element https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> numit vector(sau liniar) spaţiu, iar elementele sale sunt vectori, dacă operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr îndeplinesc următoarele condiții ( axiome) :

1) adăugarea este comutativă, adică gif" width="184" height="25">;

3) există un astfel de element (vector zero) încât pentru orice https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"height="27">;

5) pentru orice vector și și orice număr λ, egalitatea este valabilă;

6) pentru orice vector și orice numere λ și µ egalitatea este valabilă https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> și orice numere λ și µ corect ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Din axiomele care definesc spațiul vectorial urmează cele mai simple consecințe :

1. Într-un spațiu vectorial, există un singur zero - un element - un vector zero.

2. Într-un spațiu vectorial, fiecare vector are un vector opus unic.

3. Pentru fiecare element egalitatea este îndeplinită.

4. Pentru orice număr real λ și zero vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> este un vector care satisface egalitatea https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Deci, într-adevăr, mulțimea tuturor vectorilor geometrici este și un spațiu liniar (vector), întrucât pentru elementele acestei mulțimi sunt definite acțiunile de adunare și înmulțire cu un număr care satisfac axiomele formulate.

2. Baza și dimensiunea spațiului.

Conceptele esențiale ale unui spațiu vectorial sunt conceptele de bază și dimensiune.

Definiție. Mulțimea vectorilor liniar independenți, luați într-o anumită ordine, prin care orice vector al spațiului este exprimat liniar, se numește bază acest spatiu. Vectori. Spațiile care alcătuiesc baza se numesc de bază .

Baza mulțimii de vectori localizați pe o linie arbitrară poate fi considerată una coliniară cu acest vector linie.

Bazat pe avion să numim doi vectori necoliniari pe acest plan, luați într-o anumită ordine https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Dacă vectorii de bază sunt perpendiculari perechi (ortogonali), atunci baza se numește ortogonală, iar dacă acești vectori au lungime egală cu unu, atunci se numește baza ortonormal .

Cel mai mare număr vectori liniar independenți ai spațiului se numesc dimensiune acest spațiu, adică dimensiunea spațiului coincide cu numărul de vectori de bază ai acestui spațiu.

Deci, conform acestor definiții:

1. Spațiu unidimensional V1 este o linie dreaptă, iar baza constă din unul coliniar vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Spațiul obișnuit este spațiu tridimensional V3 , a cărui bază constă în trei necoplanare vectori .

De aici vedem că numărul de vectori de bază pe o dreaptă, pe un plan, în spațiul real coincide cu ceea ce se numește de obicei în geometrie numărul de dimensiuni (dimensiune) unei drepte, plan, spațiu. Prin urmare, este firesc să introducem o definiție mai generală.

Definiție. spațiu vectorial R numit n- dimensional dacă conţine cel mult n vectori liniar independenți și se notează R n. Număr n numit dimensiune spaţiu.

În conformitate cu dimensiunea spațiului sunt împărțite în finite-dimensionaleși infinit-dimensională. Dimensiunea unui spațiu nul este, prin definiție, presupusă a fi zero.

Observație 1.În fiecare spațiu, puteți specifica câte baze doriți, dar toate bazele acestui spațiu constau din același număr de vectori.

Observația 2. LA n- într-un spațiu vectorial dimensional, o bază este orice colecție ordonată n vectori liniar independenți.

3. Orientarea spațiului.

Fie vectorii de bază în spațiu V3 avea început comunși ordonat, adică se indică care vector este considerat primul, care - al doilea și care - al treilea. De exemplu, într-o bază, vectorii sunt ordonați în funcție de indexare.

Pentru pentru a orienta spațiul, este necesar să se stabilească o bază și să îl declare pozitiv .

Se poate arăta că mulțimea tuturor bazelor unui spațiu se încadrează în două clase, adică în două submulțimi care nu se intersectează.

a) toate bazele aparținând unei submulțimi (clase) au aceeași orientare (baze cu același nume);

b) oricare două baze aparținând variat submulţimi (clase), au opus orientare, ( nume diferite baze).

Dacă una dintre cele două clase de baze ale unui spațiu este declarată pozitivă, iar cealaltă este negativă, atunci spunem că acest spațiu orientat .

Adesea, la orientarea spațiului, se numesc niște baze dreapta, în timp ce altele sunt de stânga .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> numit dreapta, dacă la observarea de la sfârșitul celui de-al treilea vector, cea mai scurtă rotație a primului vector https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> Se efectuează în sens invers acelor de ceasornic(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Orez. 1.8. Baza dreapta (a) și baza stângă (b)

De obicei, baza corectă a spațiului este declarată a fi o bază pozitivă

Baza spațiului din dreapta (stânga) poate fi determinată și folosind regula șurubului „dreapta” („stânga”) sau brațului.

Prin analogie cu aceasta, conceptul de dreapta și stânga tripleti vectori necomplementari care trebuie ordonati (Fig. 1.8).

Astfel, în cazul general, două triple ordonate ale vectorilor necoplanari au aceeași orientare (au același nume) în spațiu V3 dacă ambele sunt la dreapta sau ambele la stânga, și - orientare opusă (opus), dacă una dintre ele este dreapta și cealaltă este stânga.

La fel se procedează și în cazul spațiului V2 (avioane).

4. Descompunerea unui vector în termeni de bază.

Pentru simplitatea raționamentului, vom lua în considerare această întrebare folosind exemplul unui spațiu vectorial tridimensional R3 .

Fie https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> să fie un vector arbitrar al acestui spațiu.

UN SPAȚIU VECTOR, un spațiu liniar, peste un câmp K, este un grup abelian E scris aditiv, în care este definită înmulțirea elementelor cu scalari, adică maparea

K × E → E: (λ, x) → λx,

satisfacerea următoarelor axiome (x, y ∈ E, λ, μ, 1 ∈ K):

1) λ(x + y) = λx + λy,

2) (λ + μ)x = λx + μx,

3) (λμ)x = λ(μx),

4) 1 ⋅ x = x.

Axiomele 1)-4) implică următoarele proprietăți importante ale spațiului vectorial (0 ∈ Е):

5) λ ⋅ 0 = 0,

6) 0 ⋅ x = 0,

Elementele V. p. punctele lui V. p., sau vectori, iar elementele câmpului K sunt scalari.

Cele mai utilizate în matematică și aplicații sunt V. p. peste câmpul ℂ numere complexe sau deasupra câmpului ℝ numere reale; ei sunt numiti, cunoscuti respectiv complex V. p. sau real V. p.

Axiomele lui V. p. relevă anumite algebrice proprietăţile multor clase de funcţii întâlnite frecvent în analiză. Dintre exemplele lui V. p., cele mai fundamentale și mai vechi sunt spațiile euclidiene n-dimensionale. Exemple aproape la fel de importante sunt multe spații funcționale: spațiul funcții continue, spațiul funcțiilor măsurabile, spațiul funcțiilor sumabile, spațiul analitic. funcții, spațiul funcțiilor de variație mărginită.

Conceptul de CV este un caz special al conceptului de modul peste un inel, și anume, un CV este un modul unitar peste un câmp. Se mai numește un modul unitar peste un corp necomutativ. spațiu vectorial deasupra corpului; teoria unor astfel de VP-uri este în multe privințe mai complicată decât teoria VP-urilor pe un câmp.

Una dintre problemele importante asociate cu un CP este studiul geometriei unui CP, adică studiul dreptelor într-un CP, al mulțimilor plate și convexe într-un CP, al subspațiilor unui CP și al bazelor într-un CP. V. p.

Un subspațiu vectorial, sau pur și simplu un subspațiu, V. p. E peste câmpul K numit. submulțimea F ⊂ E închisă sub acțiunile de adunare și înmulțire cu un scalar. Un subspațiu considerat separat de spațiul care îl conține este un B.p. peste același câmp.

O dreaptă care trece prin două puncte x și y B. p. E, numită. mulţimea elementelor z ∈ E de forma z = λx + (1 - λ)y, λ ∈ K. Se numeşte mulţimea G ∈ E. o mulțime plată dacă, împreună cu oricare două puncte, conține o dreaptă care trece prin aceste puncte. Fiecare set plat este obținut dintr-un subspațiu cu ajutorul unei deplasări ( transfer paralel): G = x + F; aceasta înseamnă că fiecare element z ∈ G este reprezentabil singura cale sub forma z = x + y, y ∈ F, iar această egalitate oferă o corespondență unu-la-unu între F și G.

Mulțimea tuturor deplasărilor F x = x + F unui subspațiu dat F formează un B.p. peste K, numit. spațiul coeficient E/F dacă definim operațiile după cum urmează:

F x F y = F x+y ; λF x = F λx , λ ∈ K.

Fie М = (х α ) α∈A o mulțime arbitrară de vectori din Е; combinație liniară a vectorilor x α ∈ E numiti. vectorul x definit prin formula

x = ∑ α λ α x α , λ α ∈ K,

în care doar un număr finit de coeficienți diferă de zero. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unei mulțimi date M este cel mai mic subspațiu care conține M și numit. înveliș liniar multimile M. Se numeste o combinatie liniara. trivial dacă toți coeficienții λ α sunt egali cu zero. Setul M a sunat. mulțime liniar independentă dacă toate combinațiile liniare netriviale de vectori din M sunt nenule.

Orice mulțime liniar independentă este conținută într-o mulțime maximă liniar independentă M 0 , adică într-o astfel de mulțime care încetează să mai fie liniar independentă după adăugarea oricărui element din E la ea.

Fiecare element x ∈ E poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de elemente dintr-o mulțime maximă independentă liniar:

x = ∑ α λ α x α , x α ∈ M 0 .

În acest sens, se numește mulțimea maximă liniar independentă. baza unui V. p. (bază algebrică). Toate bazele unui V. p. dat au aceeași cardinalitate, care se numesc. dimensiunea B. p. Dacă această cardinalitate este finită, spațiul se numește. V. p. finit-dimensional; altfel se numeste. infinit-dimensional V. p.

Câmpul K poate fi privit ca un VC unidimensional peste câmpul K; baza acestui V. p. constă dintr-un element; poate fi orice alt element decât zero. Un C. p. finit-dimensional cu o bază de n elemente se numește. spațiu n-dimensional.

În teoria realului și complexului V. p. rol important joaca teoria multimilor convexe. Mulțimea M în V real. p. o mulțime convexă dacă, împreună cu oricare două dintre punctele sale x, y, segmentul tx + (1 - t)y, t ∈ , aparține de asemenea lui M.

Un loc mare în teoria VC-urilor este ocupat de teoria funcționalelor liniare pe VC-uri n și teoria aferentă a dualității. Fie Ε un CV peste un câmp K. Se numește o funcțională liniară pe Ε cartografiere aditivă și omogenă f: E → K:

f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

Mulțimea Ε* a tuturor funcționalelor liniare de pe Ε formează un CV peste câmpul K în raport cu operațiile

(f 1 + f 2)(x) = f 1 (x) + f 2 (x), (λf)(x) = λf(x), x ∈ E, X ∈ K, f 1 , f 2 , f ∈ E*.

Acesta este V. p. spațiu dual (sau dual) (la E). Conceptul de spațiu dual este asociat cu o serie de elemente geometrice termeni. Fie D ⊂ E (respectiv, Γ ⊂ E*); se numeste anihilatorul multimii D, sau complementul ortogonal al multimii D (respectiv multimea G). o multime de

D ⊥ = (f ∈ Е*: f(x) = 0 pentru toate х ∈ D)

(respectiv Г ⊥ = (х ∈ Е: f(x) = 0 pentru toate f ∈ Г)); aici D ⊥ și Г ⊥ sunt subspații ale spațiilor E* și, respectiv, E. uneori hipersubspațiu; se numeste deplasarea unui astfel de subspatiu. hiperplan în E; fiecare hiperplan are forma

(x: f(x) = λ), unde f ≠ 0, f ∈ Е*, λ ∈ K.

Dacă F este un subspațiu al lui B.p. E, atunci există izomorfisme naturale între F* și

E*/F ⊥ și între (E/F)* și F ⊥ .

Se numește submulțimea Г ⊂ E*. o submulțime totală peste E dacă anihilatorul său conține doar elementul zero: Г ⊥ = (0).

Fiecare mulţime liniar independentă (x α ) α∈A ⊂ E poate fi asociată cu o mulţime conjugată (f α ) α∈A ⊂ E*, adică. o astfel de mulțime încât f α (x β) = δ αβ (simbol Kronecker) pentru toate α, β ∈ A. Se numește mulțimea de perechi p (x α , f α ). cu un sistem biortogonal. Dacă mulțimea (x α ) este o bază în E, atunci (f α ) este total peste E.

Teoria lui transformări liniare V. p. Fie E 1, E 2 două V. p. peste același câmp K. O mapare liniară, sau operator liniar, T, mapare V. p. E 1 în V. p. E 2 (sau operator liniar de la E 1 la E 2), numit. maparea aditivă și omogenă a spațiului E 1 în E 2:

T(x + y) = Tx + Tu; Т(λх) = λТ(х); x, y ∈ E 1 .

Un caz special al acestui concept este un funcțional liniar, sau operator liniar de la E 1 la K. O mapare liniară este, de exemplu, o mapare naturală a lui B. p. E pe spațiul coeficient E/F, care atribuie fiecărui element x ∈ E o mulțime plată F x ∈ E/F. Mulțimea ℒ(E 1 , E 2) a tuturor operatorilor liniari T: E 1 → E 2 formează un V. p. în raport cu operațiile

(T 1 + T 2) x \u003d T 1 x + T 2 x; (λТ)х = λТх; x ∈ E 1 ; λ ∈ K; T 1 , T 2 , T ∈ ℒ(E 1 , E 2).

Două V. p. E 1 și E 2 chemați. izomorf V. p., dacă există un operator liniar („izomorfism”), care implementează o corespondență unu-la-unu între elementele lor. E 1 și E 2 sunt izomorfe dacă și numai dacă bazele lor au aceeași cardinalitate.

Fie T un operator liniar care mapează E 1 în E 2 . Operatorul liniar adjunct, sau operatorul liniar dual, în raport cu T, este numit. operator liniar T* de la E* 2 la E* 1 definit prin egalitate

(Т*φ)х = φ(Тх) pentru toate х ∈ Е 1 , φ ∈ Е* 2 .

Există relații T* -1 (0) = ⊥ , T*(E* 2) = [T -1 (0)] ⊥ , de unde rezultă că T* este izomorfism dacă și numai dacă T este izomorfism.

Teoria mapărilor biliniare și a mapărilor multiliniare ale lui V. p. este strâns legată de teoria mapărilor liniare ale lui V. p.

Un grup important de teorii date ale VP este format din probleme de extensie a mapărilor liniare. Fie F un subspațiu al lui B.p. E 1 , E 2 să fie un spațiu liniar peste același câmp ca E 1 , și fie T 0 o mapare liniară a lui F în E 2 ; se cere să se găsească extensia T a mapării T 0 , definită pe ansamblu E 1 şi fiind o mapare liniară a lui E 1 la E 2 . O astfel de extensie există întotdeauna, dar restricții suplimentare asupra funcțiilor (asociate cu structuri suplimentare în C.P., de exemplu, topologia sau relațiile de ordine) pot face problema de nerezolvat. Exemple de rezolvare a problemei continuării sunt teorema Hahn-Banach și teoremele privind continuarea funcționalelor pozitive în spații cu con.

O ramură importantă a teoriei VP-urilor este teoria operațiilor pe VP-uri, adică metode de construire a VP-urilor noi din cele cunoscute. Exemple de astfel de operații sunt operațiunile binecunoscute de luare a unui subspațiu și formare a unui spațiu coeficient dintr-un subspațiu. Alte operații importante sunt construcția sumei directe, a produsului direct și a produsului tensor al V. p.

Fie (E α ) α∈I o familie de C.e. peste câmpul K. Mulțimea E, produsul mulțimilor E α - poate fi transformată într-un C.e. peste câmpul K prin introducerea operațiilor

(xα) + (yα) = (xα + yα); λ(xα) = (λxα); λ ∈ K; x α , y α ∈ E α , α ∈ I;

primit V. p. E sunat. produsul direct al lui V. p. E α și se notează cu P α∈I E α . Se numește subspațiul lui V. p. E, format din toate acele colecții (x α), pentru fiecare dintre care mulțimea (α: x α ≠ 0) este finită. suma directă a lui V. p. E α și se notează cu Σ α E α sau Σ α + E α ; Pentru un număr finit de termeni, aceste definiții coincid; în acest caz se folosește notația:

Fie Е 1 , Е 2 două V. p. peste câmpul K; E" 1 , E" 2 -subspații totale B. p. E* 1 , E* 2 și E 1 □ E 2 -B. care are ca bază colecția tuturor elementelor spațiului Е 1 × Е 2 . Fiecare element x □ y ∈ E 1 □ E 2 este asociat cu o funcție biliniară b = T(x, y) pe E" 1 × E 2 prin formula b(f, g) = f(x)g(y) , f ∈ E " 1 , g ∈ E" 2. Această mapare a vectorilor de bază x □ y ∈ E 1 □ E 2 poate fi extinsă la o mapare liniară T B.p. E 1 □ E 2 în B.p. a tuturor funcționalelor biliniare de pe E" 1 × E" 2. Fie E 0 = T -1 (0). Produsul tensor al lui B. p. E 1 și E 2 este spațiul coeficient E 1 ○ E 2 = (E 1 □ E 2)/E 0 ; imaginea elementului x □ y se notează cu x ○ y. VP E 1 ○ E 2 este izomorfă cu VP de funcționale biliniare pe E 1 × E 2 (vezi Produsul tensor al spațiilor vectoriale).

Lit.: Bourbaki N., Algebră. Structuri algebrice. Algebră liniară și multiliniară, trans. din franceză, Moscova, 1962; Raikov D. A., Spații vectoriale, Moscova, 1962; Day M. M., Spații liniare normate, trad. din engleză, M., 1961; , Edward R., Analiza funcțională, trad. din engleză, M., 1969; Halmos P., Spații vectoriale cu dimensiuni finite, transl. din engleză, M., 1963; Glazman I. M., Lyubich Yu. I., Analiza liniară cu dimensiuni finite în probleme, Moscova, 1969.

M. I. Kadets.

Surse:

1. Enciclopedie matematică. T. 1 (A - D). Ed. colegiu: I. M. Vinogradov (editor șef) [și alții] - M., " Enciclopedia Sovietică", 1977, 1152 stb. de la bolnav.

vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un ansamblu de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar -.

1) X+y=y+x ( comutativitatea adunării)

2) X+(y+Z)=(x+Y)+z ( asociativitatea adițională)

3) există un astfel de element 0єV încât x+0=x

4) pentru orice x єV există un astfel de element - x єV , încât x+(-x)=0? numit vector, opus vector x.

5) α(βx)= (αβ)x ( asociativitatea înmulțirii cu un scalar)

7) (α+β)x=αx+βx

8) α(x+y)=αx+αy

1) Vectori liberi în spațiul R 3

2) Matrici de dimensiune nxm

3) Mulțimea tuturor polinoamelor al căror grad nu depășește n

4) Exemple spațiu liniar este un:

5) - spațiul numerelor reale.

6) este mulțimea vectorilor geometrici de pe plan.

7) - spatiu de matrice de dimensiune fixa.

8) - spațiul soluțiilor sistemelor liniare omogene etc.

Definiții de bază

Vector N-dimensional se numește șir de n numere. Aceste numere sunt numite coordonate vector. Se numește numărul de coordonate ale vectorului n dimensiune vector.

Puteți adăuga doar vectori de aceeași dimensiune.

Vectorii sunt egali dacă au aceeași dimensiune și coordonatele corespunzătoare sunt egale.

Orice vector n-dimensional A poate fi înmulțiți cu orice numărλ, în timp ce toate coordonatele sale sunt înmulțite cu acest număr:
λA=(λ*a1, λ*a2,..., λ*an)

Se pot adăuga doi vectori de aceeași dimensiune și se adaugă coordonatele lor corespunzătoare:

Ce este o combinație liniară de vectori?

Combinație liniară de vectori a1,a2,…,an numită o expresie ca:

Unde a1,a2,…,an - numere arbitrare

Ce vectori sunt numiți liniar dependenți (independenți)?

Vectori nenuli a1,a2,…,an numit dependent liniar, dacă o combinație liniară netrivială a acestor vectori este egală cu vectorul zero:

Vectori nenuli a1,a2,…,an numit liniar independent, cu excepția cazului în care combinația liniară trivială a acestor vectori este egală cu vectorul nul.

Exemple de vectori liniar independenți

Cum este problema dependență liniară vectori?

Teorema 1. Pentru ca un sistem de vectori să fie dependent liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre ei să fie reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți.

Teorema 2.În spațiul n-dimensional, orice sistem care conține mai mult de n vectori este dependent liniar.

Teorema 3.Dacă determinantul, compus din coordonatele vectorilor, este diferit de zero, atunci sistemul de vectori este liniar independent. Dacă aceste teoreme nu răspund la întrebarea dependenței liniare sau a independenței vectorilor, atunci este necesar să se rezolve sistemul de ecuații în raport cu , sau să se determine rangul sistemului de vectori.

Care este raportul dintre coordonatele a doi vectori dependenți liniar?

Dați un exemplu de doi vectori dependenți liniar

: Vectori și sunt coliniari atunci când există un astfel de număr , care este egalitatea:
.

Definirea bazei unui spațiu liniar

O mulțime de n elemente liniar independente într-un spațiu de dimensiune n se numește o bază a acestui spațiu.

Determinarea dimensiunii unui spațiu liniar.

Definiție 3.1. spațiu liniar R se numește n-dimensional dacă conține n elemente liniar independente și orice ( n+1) elementele sunt deja dependente liniar. În același timp, numărul n se numește dimensiunea spațiului R.

Dimensiunea spațiului este notă cu simbolul dim.

Definiție 3.2. spațiu liniar R se numește infinit-dimensional dacă conține orice număr de elemente liniar independente.

Teorema 3.4. Lăsați spațiul liniar R are o bază constând din n elemente. Apoi dimensiunea R este egal cu n(dim R=n).

Conceptul de spațiu n-dimensional

Un spațiu liniar V se numește spațiu n-dimensional dacă conține un sistem de n elemente liniar independente și orice n+1 elemente sunt dependente liniar.

Formule care conectează vectorii bazelor vechi și noi

În articolul despre vectorii n-dimensionali, am ajuns la conceptul de spațiu liniar generat de o mulțime de vectori n-dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte nu mai puțin importante, cum ar fi dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de liniar sistem dependent vectori, deci este recomandat în plus să vă amintiți și de elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial- numărul corespunzător numărul maxim vectori liniar independenți în acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial- un set de vectori liniar independenți, ordonați și în număr egal cu dimensiunea spațiului.

Se consideră un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este, respectiv, egală cu n . Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1 , 0 , . . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Să folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi unitate cu dimensiunea n cu n . Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistemul vectorial e (1) , e (2) , . . . , e (n) este liniar independent. În același timp, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-l încălca. independență liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este n, atunci dimensiunea spațiului de vectori n-dimensionali este n și vectori unitari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția obținută, concluzionăm: orice sistem de vectori n-dimensionali, în care numărul de vectori este mai mic decât n, nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să compunem o matrice, luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi egal cu n . Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e (n) este liniar independent și este o bază a unui spațiu vectorial n-dimensional.

Rearanjand alți vectori în sistemul original, obținem încă o bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari, iar acesta va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali cu număr n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Orice trei vectori necoplanari vor servi ca bază a spațiului tridimensional.

Luați în considerare aplicarea acestei teorii pe exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii specificați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Decizie

Pentru a rezolva problema, studiem sistemul dat de vectori pentru o dependență liniară. Să facem o matrice, unde rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii dați de condiția problemei sunt liniar independenți, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: acești vectori stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul indicat de vectori poate fi baza unui spațiu tridimensional.

Decizie

Sistemul de vectori specificat în condiția problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, acest sistem de vectori nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul de vectori indicat nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Pot fi ele baza unui spațiu cu patru dimensiuni?

Decizie

Compuneți o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Prin urmare, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza spațiului vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați stau la baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu cu 4 dimensiuni?

Decizie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el este insuficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector în termeni de bază

Acceptăm că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar în termenii celorlalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în termenii altor vectori.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional este descompus în mod unic în termeni de bază.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

stabiliți baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Demonstrăm acum că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că acesta nu este cazul și că există o altă extindere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Scădeți din părțile din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, părțile din stânga și din dreapta ale egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e (n) este liniar independent; Prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura modalitate de a extinde un vector în termeni de bază.

În acest caz, coeficienții x 1 , x 2 , . . . , x n se numesc coordonate ale vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „se dă un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt date în vreo bază. De asemenea, este clar că același vector într-o bază diferită a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

Vectorul x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) +... + x ~ n e n (n))

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va arăta astfel:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A , iar coloanele ei să fie vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, determinată în orice mod convenabil: de exemplu, prin metoda Cramer sau metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n al vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria avută în vedere pe un exemplu concret.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt dați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) servește și ca bază a spațiului dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x în baza dată. .

Decizie

Sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A , ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1) , e (2) , e (3) .

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1) , e (2) , e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → din bază să aibă coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . Legătura acestor coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rezolvăm sistemul de ecuații prin metoda Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Deci, vectorul x → în baza e (1) , e (2) , e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

Răspuns: x = (1 , 1 , 1)

Legătura între baze

Să presupunem că într-o anumită bază a unui spațiu vectorial n-dimensional, sunt date două sisteme de vectori liniar independenți:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele spațiului dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sub forma unei matrice, sistemul poate fi afișat după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași notație pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Egalitățile matriceale sunt combinate într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina relația vectorilor a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e (1) , e (2) , . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e(3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . ,c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi, este clar că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

acestea. matricele de tranziție sunt reciproc inverse.

Să luăm în considerare teoria pe un exemplu concret.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să specificați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Decizie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si ia:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definiți relația coordonatelor vectorului x → :

să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , atunci:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

pentru că părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si ia:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația coordonatelor vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Fie V o mulțime nevidă ale cărei elemente le vom numi vectori și vor fi notate cu... și așa mai departe. Să fie date și determinate într-un fel două operații pe V. Prima operație este o operație aditivă binară (sau, aproximativ vorbind, o operație de adunare). Această operație va fi notată prin semnul + (totuși, nu este necesar ca această operație să fie definită 100% în același mod în care este definită operația de adunare pentru numere obișnuite, nu studiem acum numere, ci vectori, deci această operație de adunare vectorială poate fi notat și de unii cu semnul său special, de exemplu: ().A doua operație este înmulțirea unui vector cu un element? al unei astfel de mulțimi, care este un câmp, în urma căruia o nouă se obtine vectorul (). Elementele campului se mai numesc si scalari.(Cui ii este prea lene sa se uite la ce un astfel de camp, voi spune ca multimea numerelor reale sau si complexe poate servi drept exemple de campuri algebrice.) (4)

Deci, să formulăm axiomele spațiului vectorial. (3)

1. a) suma oricăror două elemente ale lui V și b) produsul unui scalar și al unui element arbitrar al lui V sunt unele elemente ale lui V (vectori).

2. adăugarea oricăror trei elemente din V respectă legea combinației (sau, după cum se spune, adunarea vectorială este asociativă):

3. adăugarea oricăror două elemente din V respectă legea comutativă (adunarea vectorială este comutativă): .

4. există un astfel de element din V (vector zero) încât pentru orice.

5. pentru orice element din V există un element din V a cărui sumă cu elementul inițial este egală, adică. (.

Pentru orice scalari (numere)? și? și pentru oricare doi vectori din V

subspațiu vectorial

Un subspațiu vectorial, sau pur și simplu un subspațiu, un spațiu vectorial E peste un câmp K este o mulțime care este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Un subspațiu considerat separat de spațiul care îl conține este un spațiu vectorial peste același câmp. (5)

O dreaptă care trece prin două puncte x și y ale spațiului vectorial E este o mulțime de elemente de forma ??. O mulțime G se numește multime plată dacă, împreună cu oricare două, conține o dreaptă care trece prin aceste puncte. Fiecare mulțime plată este obținută dintr-un subspațiu folosind o deplasare (translație paralelă): G=x+F, ceea ce înseamnă că fiecare element al lui z poate fi reprezentat în mod unic sub formă de y , iar egalitatea oferă o corespondență unu-la-unu între F și G.

Mulțimea tuturor deplasărilor unui subspațiu dat F formează un spațiu vectorial peste K, se numește spațiu coeficient E/F, dacă determinantul operației este următorul:

Fie M = o mulțime arbitrară de vectori E; o combinație liniară de vectori este un vector x definit prin formulă

în care doar un număr finit de coeficienți sunt nenuli. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unei mulțimi date M este cel mai mic subspațiu care conține M și se numește intervalul liniar al mulțimii M. O combinație liniară se numește trivială dacă toți coeficienții sunt egali cu zero. O mulțime M se numește o mulțime dependentă liniar dacă toate combinațiile liniare netriviale de vectori din M sunt nenule.

Teoria mulțimilor convexe joacă un rol important în teoria spațiilor vectoriale reale și complexe. O mulțime M într-un spațiu vectorial real se numește mulțime convexă dacă, împreună cu oricare dintre două puncte ale sale x, y, segmentul aparține și lui M.

Un loc mare în teoria spațiilor vectoriale este ocupat de teoria funcționalelor liniare pe un spațiu vectorial și teoria aferentă dualității. Fie E un spațiu vectorial peste un câmp K. O funcțională liniară pe E este o mapare aditivă și omogenă, iar E este un spațiu vectorial peste un câmp K. O funcțională liniară pe E este o mapare aditivă și omogenă

Mulțimea tuturor funcționalelor liniare de pe E formează un spațiu vectorial peste câmpul K în raport cu operațiile

Acest spațiu vectorial se numește spațiu dual (sau dual) (la E). O serie de termeni geometrici sunt asociați cu conceptul de spațiu dual. Fie D?E (respectiv, mulțimea Г) să fie numită mulțime

(respectiv); aici și sunt subspații ale spațiilor și, respectiv, E. Dacă f este un element diferit de zero, atunci ( f) este un subspațiu liniar propriu maximal al lui E, numit uneori hipersubspațiu; deplasarea unui astfel de subspațiu se numește hiperplan în E; fiecare hiperplan are forma

{x: f(x)=??), Unde f? 0, f, LA.

O submulțime se numește submulțime totală peste E dacă anihilatorul său conține doar elementul zero =(0).

Fiecare mulțime liniar independentă poate fi asociată cu o submulțime conjugată, adică. un set astfel încât (simbolul Kronecker) pentru toți. Setul de perechi se numește sistem biortogonal. Dacă o mulțime este o bază în E, atunci este total peste E.

Un loc semnificativ în teoria spațiilor vectoriale este ocupat de teoria transformărilor liniare ale unui spațiu vectorial. Fie două spații vectoriale peste același câmp K. O mapare liniară, sau un operator liniar, T, care mapare un spațiu vectorial într-un spațiu vectorial (sau un operator liniar din a.

Două spații vectoriale și se numesc spații vectoriale izomorfe dacă există un operator liniar ("izomorfism") care realizează o corespondență unu-la-unu între elementele lor și.

Teoria mapărilor biliniare și a mapărilor multiliniare ale unui spațiu vectorial este strâns legată de teoria mapărilor liniare ale unui spațiu vectorial.

Un grup important de probleme din teoria spațiului vectorial este format din problemele de extensie a mapărilor liniare. Fie F un subspațiu al unui spațiu vectorial - un spațiu liniar peste același câmp ca și fie - o mapare liniară a lui F în; este necesar să se găsească o extensie T a unei mapări care este definită pe tot și este o mapare liniară la. O astfel de extensie există întotdeauna, dar restricții suplimentare asupra funcțiilor (asociate cu structuri suplimentare în spațiul vectorial, cum ar fi topologia sau relațiile de ordine) pot face problema de nerezolvat. Exemple de rezolvare a problemei continuării sunt teorema Hahn-Banach și teoremele privind continuarea funcționalelor pozitive în spații cu con.

O ramură importantă a teoriei spațiilor vectoriale este teoria operațiilor asupra spațiilor vectoriale, i.e. modalităţi de a construi noi spaţii vectoriale din cele cunoscute. Exemple de astfel de operații sunt operațiunile binecunoscute de luare a unui subspațiu și formare a unui spațiu coeficient dintr-un subspațiu. Alte operații importante sunt construirea sumei directe, a produsului direct și a produsului tensor al unui spațiu vectorial.