vector(sau liniar) spaţiu- o structură matematică, care este un set de elemente, numite vectori, pentru care se definesc operațiile de adunare între ele și de înmulțire cu un număr - un scalar. Aceste operații sunt supuse opt axiome. Scalarii pot fi elemente ale unui câmp real, complex sau al oricărui alt câmp numeric. Un caz special al unui astfel de spațiu este spațiul euclidian tridimensional obișnuit, ai cărui vectori sunt utilizați, de exemplu, pentru a reprezenta forțele fizice. Trebuie remarcat faptul că un vector, ca element al unui spațiu vectorial, nu trebuie să fie specificat ca segment direcționat. Generalizarea conceptului de „vector” la un element al unui spațiu vectorial de orice natură nu numai că nu provoacă confuzii de termeni, dar ne permite și să înțelegem sau chiar să anticipăm o serie de rezultate care sunt valabile pentru spații de natură arbitrară. .

Spațiile vectoriale sunt obiectul de studiu în algebra liniară. Una dintre principalele caracteristici ale unui spațiu vectorial este dimensiunea acestuia. Dimensiunea este numărul maxim de elemente liniar independente ale spațiului, adică prin recurgerea la o interpretare geometrică grosieră, numărul de direcții care sunt inexprimabile între ele doar prin operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar. Spațiul vectorial poate fi dotat cu structuri suplimentare, cum ar fi norma sau produsul punctual. Astfel de spații apar în mod natural în calcul, predominant ca spații funcționale cu dimensiuni infinite (Engleză), unde vectorii sunt funcțiile . Multe probleme de analiză necesită a afla dacă o secvență de vectori converge către un vector dat. Luarea în considerare a unor astfel de întrebări este posibilă în spații vectoriale cu structură suplimentară, în majoritatea cazurilor o topologie adecvată, care permite definirea conceptelor de proximitate și continuitate. Astfel de spații vectoriale topologice, în special spațiile Banach și Hilbert, permit un studiu mai profund.

Primele lucrări care au anticipat introducerea conceptului de spațiu vectorial datează din secolul al XVII-lea. Atunci au primit dezvoltarea geometria analitică, doctrina matricelor, sistemele de ecuații liniare și vectorii euclidieni.

Definiție

Liniar sau spațiu vectorial V (F) (\displaystyle V\stanga(F\dreapta)) peste câmp F (\displaystyle F) este un cvadruplu ordonat (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Unde

• V (\displaystyle V)- un set nevid de elemente de natură arbitrară, care sunt numite vectori;
• F (\displaystyle F)- un câmp ale cărui elemente sunt numite scalari;
• Operațiune definită adaosuri vectori V × V → V (\displaystyle V\time V\to V), potrivirea fiecărei perechi de elemente x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) ) seturi V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) chemându-i sumăși notat x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operațiune definită multiplicarea vectorilor cu scalari F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), care se potrivește cu fiecare element λ (\displaystyle \lambda ) câmpuri F (\displaystyle F)și fiecare element x (\displaystyle \mathbf (x) ) seturi V (\displaystyle V) singurul element al setului V (\displaystyle V), notat λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) sau λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Spațiile vectoriale definite pe același set de elemente, dar peste câmpuri diferite vor fi spații vectoriale diferite (de exemplu, setul de perechi de numere reale R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) poate fi un spațiu vectorial bidimensional peste câmpul numerelor reale sau unidimensional - peste câmpul numerelor complexe).

Cele mai simple proprietăți

1. Spațiul vectorial este un grup abelian prin adunare.
2. element neutru 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) pentru oricine .
4. Pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) element opus − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) este singurul care rezultă din proprietățile grupului.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) pentru oricine x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) pentru orice și x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) pentru oricine α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Definiții și proprietăți înrudite

subspațiu

Definiție algebrică: Subspațiu liniar sau subspațiu vectorial este un submult nevid K (\displaystyle K) spațiu liniar V (\displaystyle V) astfel încât K (\displaystyle K) este el însuși un spațiu liniar în raport cu cele definite în V (\displaystyle V) operatiile de adunare si inmultire cu un scalar. Setul tuturor subspațiilor este de obicei notat ca L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Pentru ca o submulțime să fie un subspațiu, este necesar și suficient ca

Ultimele două afirmații sunt echivalente cu următoarele:

Pentru orice vector x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vector α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) a aparținut și K (\displaystyle K) pentru orice α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

În special, un spațiu vectorial format dintr-un singur vector zero este un subspațiu al oricărui spațiu; orice spațiu este un subspațiu al lui însuși. Subspațiile care nu coincid cu aceste două sunt numite proprii sau nebanală.

Proprietăți subspațiu

Combinații liniare

Suma finală a vederii

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n))

Combinația liniară se numește:

Bază. Dimensiune

Vectori x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) numit dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora, a cărei valoare este egală cu zero; adică

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\displaystyle \alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

cu niște coeficienți α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\displaystyle \alpha _(1),\alpha _(2),\ldots,\alpha _(n)\in F,)și cel puțin unul dintre coeficienți α i (\displaystyle \alpha _(i)) diferit de zero.

În caz contrar, acești vectori sunt numiți liniar independent.

Această definiție permite următoarea generalizare: un set infinit de vectori din V (\displaystyle V) numit dependent liniar, dacă unele final subsetul său și liniar independent, dacă este cazul final submulțimea este liniar independentă.

Proprietăți de bază:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\displaystyle \mathbf (x) =\alpha _(1)\mathbf (x) _(1)+\alpha _(2)\mathbf ( x) _(2)+\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)).

Înveliș liniar

Înveliș liniar subseturi X (\displaystyle X) spațiu liniar V (\displaystyle V)- intersecția tuturor subspațiilor V (\displaystyle V) conținând X (\displaystyle X).

Învelișul liniar este un subspațiu V (\displaystyle V).

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat X (\displaystyle X). Se mai spune că intervalul liniar V (X) (\displaystyle (\mathcal (V))(X))- spatiu, întins peste o multime de X (\displaystyle X).

Fie un sistem de vectori din . Înveliș liniar sisteme vectoriale se numește mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai unui sistem dat, i.e.

Proprietăți shell liniare: Dacă , atunci pentru și .

Învelișul liniar are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile liniare (operații de adunare și înmulțire cu un număr).

O submulțime a spațiului care are proprietatea de a fi închis în raport cu operațiile de adunare și înmulțire cu numere se numeștesubspațiul liniar al spațiului .

Spațiul liniar al unui sistem de vectori este un subspațiu liniar al spațiului.

Sistemul de vectori din se numește bază ,dacă

Orice vector poate fi exprimat ca o combinație liniară de vectori de bază:

2. Sistemul de vectori este liniar independent.

Lema Coeficienții de expansiune vectorială sunt definite în mod unic din punct de vedere al bazei.

Vector , compus din coeficienții de dilatare ai vectorului pe baza se numeste vectorul de coordonate al vectorului în bază .

Desemnare . Această intrare subliniază faptul că coordonatele vectorului depind de bază.

Spații liniare

Definiții

Să fie dat un set de elemente de natură arbitrară. Să fie definite două operații pentru elementele acestei mulțimi: adunarea și înmulțirea cu oricare real număr : , și setați închis cu privire la aceste operaţiuni: . Lasă aceste operații să se supună axiomelor:

3. există un vector zero cu proprietate pentru ;

4. pentru fiecare există un vector invers cu proprietatea ;

6. pentru , ;

7. pentru , ;

Atunci se numește un astfel de set spațiu liniar (vector)., elementele sale se numesc vectori, și - pentru a sublinia diferența dintre numerele de la - acestea din urmă sunt numite scalari unu) . Se numește un spațiu format dintr-un singur vector zero banal .

Dacă în axiomele 6 - 8 permitem înmulțirea cu scalari complecși, atunci un astfel de spațiu liniar se numește cuprinzător. Pentru a simplifica raționamentul, peste tot mai jos vom lua în considerare doar spații reale.

Un spațiu liniar este un grup în raport cu operația de adunare și un grup abelian.

Este elementar să se demonstreze unicitatea vectorului zero și unicitatea vectorului invers față de vector: , este denumit în mod obișnuit ca .

Un subset al unui spațiu liniar care este el însuși un spațiu liniar (adică închis sub adunare vectorială și înmulțire cu un scalar arbitrar) se numește subspațiu liniar spatii. Subspații triviale spațiul liniar se numește el însuși și spațiul format dintr-un vector zero.

Exemplu. Spațiul triplelor ordonate ale numerelor reale

operații definite prin egalități:

Interpretarea geometrică este evidentă: un vector în spațiu, „atașat” originii, poate fi dat în coordonatele capătului său. Figura arată și un subspațiu tipic al spațiului: un plan care trece prin origine. Mai exact, elementele sunt vectori care încep de la origine și se termină în puncte din plan. Închiderea unui astfel de set sub adăugarea vectorilor și extinderea lor 2) este evidentă.

Pe baza acestei interpretări geometrice, se vorbește adesea despre vectorul unui spațiu liniar arbitrar ca punct în spațiu. Acest punct este uneori denumit „sfârșitul vectorului”. În afară de comoditatea percepției asociative, acestor cuvinte nu li se dă nici un sens formal: conceptul de „sfârșit vectorial” este absent în axiomatica spațiului liniar.

Exemplu. Pe baza aceluiași exemplu, este posibil să se ofere o altă interpretare a spațiului vectorial (inerent, de altfel, deja în însăși originea cuvântului „vector” 3)) - definește un set de „deplasări” de puncte în spatiul. Aceste deplasări - sau translații paralele ale oricărei figuri spațiale - sunt alese să fie paralele cu planul.

În general, cu astfel de interpretări ale conceptului de vector, totul nu este atât de simplu. Încearcă să facă apel la sensul său fizic - ca obiect care are valoareși direcţie- evoca o respingere corectă din partea matematicienilor stricti. Definiția unui vector ca element al unui spațiu vectorial amintește foarte mult de episodul cu mormintelor din celebra poveste fantastică a lui Stanisław Lem (vezi ☞AICI). Să nu ne agățăm de formalism, ci să explorăm acest obiect neclar în manifestările sale particulare.

Exemplu. O generalizare naturală este spațiul: un spațiu vectorial de rânduri sau o coloană . O modalitate de a defini un subspațiu este definirea unui set de constrângeri.

Exemplu. Mulțimea soluțiilor sistemului de ecuații liniare omogene:

formează un subspațiu liniar al spațiului . Într-adevăr, dacă

Soluția sistemului, deci

Aceeași soluție pentru orice. În cazul în care un

O altă soluție pentru sistem, atunci

Va fi și soluția ei.

De ce o mulțime de soluții de sistem eterogen ecuațiile nu formează un subspațiu liniar?

Exemplu. Generalizând în continuare, putem considera spațiul șirurilor „infinite” sau secvente , care face de obicei obiectul analizei matematice - atunci când se consideră secvențe și serii. Puteți considera șirurile (secvențele) „infinite în ambele direcții” - sunt folosite în TEORIA SEMNALULUI.

Exemplu. Mulțimea de -matrici cu elemente reale cu operațiile de adunare și înmulțire a matricelor cu numere reale formează un spațiu liniar.

Două subspații pot fi distinse în spațiul matricelor de ordin pătrat: subspațiul matricelor simetrice și subspațiul matricelor simetrice. În plus, subspații formează fiecare dintre mulțimile: matrice triunghiulară superioară, triunghiulară inferioară și diagonală.

Exemplu. O mulțime de polinoame de un grad variabil exact egal cu coeficienții din (unde este oricare dintre mulțimi sau ) cu operațiile obișnuite de adunare a polinoamelor și de înmulțire cu un număr din nu se formează spațiu liniar. De ce? - Pentru că nu este închis sub adunare: suma polinoamelor și nu va fi un polinom de gradul al-lea. Dar aici este un set de polinoame de grade nu mai sus

forme spațiale liniare; numai acestei multimi trebuie sa i se dea si un polinom identic nul 4) . Subspațiile evidente sunt . În plus, subspațiile vor fi mulțimea de polinoame pare și mulțimea de polinoame impare de grad cel mult . Mulțimea tuturor polinoamelor posibile (fără restricții de grade) formează, de asemenea, un spațiu liniar.

Exemplu. Generalizarea cazului anterior este spatiul polinoamelor mai multor variabile de grad cel mult cu coeficienti din . De exemplu, mulțimea de polinoame liniare

formează un spațiu liniar. Mulțimea de polinoame (forme) omogene de grad (cu adăugarea unui polinom identic zero la această mulțime) este de asemenea un spațiu liniar.

În ceea ce privește definiția de mai sus, setul de șiruri de caractere cu componente întregi

luate în considerare cu privire la operaţiile de adunare şi înmulţire pe componente prin întreg scalari, nu este un spațiu liniar. Cu toate acestea, toate axiomele 1 - 8 vor fi valabile dacă permitem doar înmulțirea cu scalari întregi. În această secțiune, nu ne vom concentra asupra acestui obiect, dar este destul de util în matematică discretă, de exemplu în ☞ TEORIA CODIFICARII. Spațiile liniare peste câmpuri finite sunt discutate ☞ AICI.

Variabilele sunt izomorfe cu spațiul matricelor simetrice de ordinul al treilea. Izomorfismul se stabileste prin corespondenta, pe care o vom ilustra pentru cazul :

Conceptul de izomorfism este introdus astfel încât studiul obiectelor care apar în diferite zone ale algebrei, dar cu proprietăți „similare” ale operațiilor, să fie efectuat folosind exemplul unui eșantion, elaborând rezultate pe acesta, care pot fi apoi ieftin. replicat. Ce spațiu liniar să ia „pentru eșantion”? - Vezi sfârșitul următorului paragraf

1. Set de polinoame P n (X) grade nu mai mari n.

2. O multime de n-secvențe de termeni (cu adunare și înmulțire pe termeni cu un scalar).

3 . O mulțime de caracteristici C [ A , b ] continuu pe [ A, b] și cu adunarea punctuală și înmulțirea cu un scalar.

4. Setul de funcții definit pe [ A, b] și dispare într-un punct interior fix c: f (c) = 0 și cu operații punctual de adunare și înmulțire cu un scalar.

5. Mulțimea R + dacă X ⊕ y  X  y, ⊙X X  .

§opt. Definiția subspațiului

Lasă decorul W este o submulțime a spațiului liniar V (W  V) și așa încât

a)  X, yW  X ⊕ yW;

b)  XW,    ⊙ XW.

Operațiile de adunare și înmulțire aici sunt aceleași ca în spațiu V(se numesc induse de spațiu V).

O asemenea multitudine W se numește subspațiu al spațiului V.

7  . subspațiu Wîn sine este spațiu.

◀ Pentru a o demonstra, este suficient să dovedim existența unui element neutru și a unui element opus. Egalități 0⊙ X=  și (–1)⊙ X = –X dovedesc ceea ce este necesar.

Un subspațiu format doar dintr-un element neutru () și un subspațiu care coincide cu spațiul însuși V, sunt numite subspații triviale ale spațiului V.

§nouă. Combinație liniară de vectori. Intervalul liniar al unui sistem de vectori

Lasă vectorii e 1 ,e 2 , …e n Vși  1 ,  2 , …  n .

Vector x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n = numit liniar combinație de vectori e 1 , e 2 , … , e n cu coeficienți  1 ,  2 , …  n .

Dacă toți coeficienții dintr-o combinație liniară sunt zero, atunci combinația liniară numit banal.

Multe combinații liniare posibile de vectori
se numește interval liniar acest sistem de vectori și este notat cu:

ℒ(e 1 , e 2 , …, e n) = ℒ
.

8  . ℒ(e 1 , e 2 , …, e n

◀ Corectitudinea adunării și înmulțirii cu un scalar rezultă din faptul că ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este mulțimea tuturor combinațiilor liniare posibile. Elementul neutru este o combinație liniară trivială. Pentru element X=
elementul opus este X =
. Sunt satisfăcute și axiomele pe care operațiile trebuie să le îndeplinească. Astfel,ℒ( e 1 , e 2 , …, e n) este un spațiu liniar.

Orice spațiu liniar conține, în cazul general, un număr infinit de alte spații liniare (subspații) - învelișuri liniare

În viitor, vom încerca să răspundem la următoarele întrebări:

Când intervalele liniare ale diferitelor sisteme de vectori constau din aceiași vectori (adică coincid)?

2) Care este numărul minim de vectori care definesc aceeași distanță liniară?

3) Este spațiul original un interval liniar al unui sistem de vectori?

§zece. Sisteme complete de vectori

Dacă în spațiu V există o mulțime finită de vectori
astfel încât,ℒ
 V, apoi sistemul de vectori
numit sistem complet V, iar spațiul se spune că este finit-dimensional. Astfel, sistemul de vectori e 1 , e 2 , …, e n V se numeste complet V sistem, adică dacă

XV   1 ,  2 , …  n astfel încât x=  1 e 1 +  2 e 2 + … +  n e n .

Dacă în spațiu V nu există un sistem complet finit (și un sistem complet există întotdeauna - de exemplu, mulțimea tuturor vectorilor spațiali V), apoi spațiul V se numeste infinit.

9  . În cazul în care un
plin in V sistem de vectori și y V, apoi ( e 1 , e 2 , …, e n , y) este, de asemenea, un sistem complet.

◀ Suficient în combinații liniare y ia egal cu 0.

Fie un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial V peste câmp P.

Definiția 2:Înveliș liniar L sisteme A este mulțimea tuturor combinațiilor liniare de vectori ai sistemului A. Desemnare LA).

Se poate demonstra că pentru oricare două sisteme Ași B,

A exprimată liniar prin B dacă și numai dacă . (unu)

A este echivalent cu B dacă și numai dacă L(A)=L(B). (2)

Dovada rezultă din proprietatea anterioară

3 Spațiul liniar al oricărui sistem de vectori este un subspațiu al spațiului V.

Dovada

Luați oricare doi vectori și LA), având următoarele expansiuni în vectori din A: . Să verificăm fezabilitatea condițiilor 1) și 2) ale criteriului:

Deoarece este o combinație liniară a vectorilor sistemului A.

Deoarece este și o combinație liniară a vectorilor sistemului A.

Luați în considerare acum matricea. Înveliș liniar al rândurilor matricei A se numește spațiul rând al matricei și se notează L r (A). Înveliș liniar al coloanelor matriceale A se numește spațiu coloanei și se notează L c (A). Rețineți că pentru spațiul rând și coloană al matricei A sunt subspații ale diferitelor spații aritmetice P nși P.m respectiv. Folosind afirmația (2), putem ajunge la următoarea concluzie:

Teorema 3: Dacă o matrice este obținută de la alta printr-un lanț de transformări elementare, atunci spațiile rând ale unor astfel de matrici coincid.

Suma și intersecția subspațiilor

Lasa Lși M- două subspații ale spațiului R.

Cantitate L+M se numeste multimea vectorilor x+y , Unde X ∈Lși y ∈M. Evident, orice combinație liniară de vectori din L+M aparține L+M, prin urmare L+M este un subspațiu al spațiului R(poate coincide cu spațiul R).

trecere L∩M subspații Lși M este mulţimea vectorilor care aparţin simultan subspaţiilor Lși M(poate consta doar dintr-un vector nul).

Teorema 6.1. Suma dimensiunilor subspațiilor arbitrare Lși M spațiu liniar finit-dimensional R este egală cu dimensiunea sumei acestor subspații și dimensiunea intersecției acestor subspații:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Dovada. Denota F=L+Mși G=L∩M. Lasa G g-subspațiul dimensional. Alegem o bază în ea. La fel de G⊂Lși G⊂M, de aici baza G poate fi adăugat la bază L iar la bază M. Fie baza subspațiului Lși lasă baza subspațiului M. Să arătăm că vectorii

(6.1) formează baza F=L+M. Pentru ca vectorii (6.1) să formeze baza spațiului F ele trebuie să fie liniar independente și orice vector spațial F poate fi reprezentat printr-o combinație liniară de vectori (6.1).

Să demonstrăm independența liniară a vectorilor (6.1). Fie vectorul spațiu nul F este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori (6.1) cu niște coeficienți:

Partea stângă a (6.3) este vectorul subspațial L, iar partea dreaptă este un vector subspațial M. De aici vectorul

(6.4) aparține subspațiului G=L∩M. Pe de altă parte, vectorul v poate fi reprezentat printr-o combinație liniară a vectorilor de bază ai subspațiului G:

(6.5) Din ecuațiile (6.4) și (6.5) avem:

Dar vectorii sunt baza unui subspațiu M, prin urmare sunt liniar independente și . Atunci (6.2) ia forma:

Datorită independenței liniare a bazei subspațiului L noi avem:

Deoarece toți coeficienții din ecuația (6.2) s-au dovedit a fi zero, vectorii

sunt liniar independente. Dar orice vector z din F(prin definiția sumei subspațiilor) poate fi reprezentată prin suma x+y , Unde X ∈ Ly ∈ M. La randul lui X este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori a y - o combinație liniară de vectori . Prin urmare, vectorii (6.10) generează subspațiul F. Am constatat că vectorii (6.10) formează o bază F=L+M.

Studierea bazelor subspațiilor Lși Mși baza subspațială F=L+M(6.10), avem: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Prin urmare:

dimL+dimM−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Suma directă a subspațiilor

Definiție 6.2. Spaţiu F este o sumă directă a subspațiilor Lși M, dacă fiecare vector X spaţiu F poate fi reprezentat doar ca o sumă x=y+z , Unde y ∈L și z ∈M.

Se notează suma directă L⊕M. Ei spun că dacă F=L⊕M, apoi F se descompune într-o sumă directă a subspațiilor sale Lși M.

Teorema 6.2. Pentru a n-spațiul dimensional R a fost o sumă directă de subspații Lși M, este suficient ca intersectia Lși M conține doar elementul zero și că dimensiunea lui R este egală cu suma dimensiunilor subspațiilor Lși M.

Dovada. Să alegem o bază în subspațiul L și o bază în subspațiul M. Să demonstrăm că

(6.11) este baza spațiului R. Prin ipoteza teoremei, dimensiunea spațiului R n este egală cu suma subspațiilor Lși M (n=l+m). Este suficient să se dovedească independența liniară a elementelor (6.11). Fie vectorul spațiu nul R este reprezentată printr-o combinație liniară de vectori (6.11) cu niște coeficienți:

(6.13)Deoarece partea stângă a (6.13) este un vector subspațial L, iar partea dreaptă este vectorul subspațial Mși L∩M=0 , apoi

(6.14)Dar vectorii și sunt bazele subspațiilor Lși M respectiv. Prin urmare, ele sunt liniar independente. Apoi

(6.15) Am stabilit că (6.12) este valabilă numai în condiția (6.15), iar aceasta demonstrează independența liniară a vectorilor (6.11). Prin urmare, ele formează o bază în R.

Fie x∈R. Îl extindem în ceea ce privește baza (6.11):

(6.16) Din (6.16) avem:

(6.18) Din (6.17) și (6.18) rezultă că orice vector din R poate fi reprezentat prin suma vectorilor X 1 ∈Lși X 2 ∈M. Rămâne de demonstrat că această reprezentare este unică. Fie, pe lângă reprezentarea (6.17), să avem și următoarea reprezentare:

(6.19) Scăzând (6.19) din (6.17), obținem

(6.20) Deoarece , și L∩M=0 , apoi și . Prin urmare și . ■

Teorema 8.4 asupra dimensiunii sumei subspațiilor. Dacă și sunt subspații ale unui spațiu liniar cu dimensiuni finite, atunci dimensiunea sumei subspațiilor este egală cu suma dimensiunilor lor fără dimensiunea intersecției lor ( Formula lui Grassmann):

(8.13)

Într-adevăr, să fie baza intersecției. Să-l suplimentăm cu un set ordonat de vectori până la baza subspațiului și un set ordonat de vectori până la baza subspațiului. O astfel de adăugare este posibilă prin Teorema 8.2. Din aceste trei seturi de vectori, vom compune un set ordonat de vectori. Să arătăm că acești vectori sunt generatori ai spațiului. Într-adevăr, orice vector al acestui spațiu poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori din mulțimea ordonată

Prin urmare, . Să demonstrăm că generatoarele sunt liniar independente și, prin urmare, ele stau la baza spațiului. Într-adevăr, să facem o combinație liniară a acestor vectori și să o echivalăm cu vectorul zero: . Toți coeficienții acestei expansiuni sunt zero: subspațiile unui spațiu vectorial cu formă biliniară sunt mulțimea tuturor vectorilor ortogonali fiecărui vector din . Această mulțime este un subspațiu vectorial, care este de obicei notat cu .

L- intersecție M toate subspațiile L conținând X .

Înveliș liniar este, de asemenea, numit subspațiu generat X. De obicei notat. Se mai spune că intervalul liniar întins peste o multime de X .

Proprietăți

Vezi si

Legături

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Jangar
• Sold de plată

Vedeți ce este „Linear shell” în alte dicționare:

COCASA LINEARĂ- intersectia lui M toate subspatiile continand multimea spatiului Avector E. In acest caz, Mnas. de asemenea, un subspațiu generat de A. M. I. Voitsekhovsky ... Enciclopedie matematică

Anvelopă liniară a vectorilor

Anvelopă liniară a vectorilor- multime de combinatii liniare ale acestor vectori ∑αiai cu toti coeficientii posibili (α1, …, αn) … Dicţionar economic şi matematic

interval liniar al vectorilor- Multimea combinatiilor liniare ale acestor vectori ??iai cu toti coeficientii posibili (?1, ..., ?n). Subiecte economie EN carenă liniară...

algebră liniară- Disciplina matematică, ramură a algebrei, care conține, în special, teoria ecuațiilor liniare, matricelor și determinanților, precum și teoria spațiilor vectoriale (liniare). Dependență liniară „relație de forma: a1x1 + a2x2 + ... + ... ... Manualul Traducătorului Tehnic

Dependență liniară- „o relație de forma: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, unde a1, a2, …, an sunt numere, dintre care cel puțin unul este diferit de zero; x1, x2, …, xn sunt anumite obiecte matematice pentru care sunt definite operații de adunare… Dicţionar economic şi matematic

Coajă- vezi Shell liniar... Dicţionar economic şi matematic

Dependență liniară

Combinație liniară- Spațiul liniar, sau spațiul vectorial este obiectul principal de studiu al algebrei liniare. Cuprins 1 Definiție 2 Proprietăți cele mai simple 3 Definiții și proprietăți înrudite... Wikipedia

GRUP DE LINII este grupul de transformări liniare ale unui spațiu vectorial V de dimensiune finită n peste un corp K. Alegerea unei baze în spațiul V realizează L. r. Enciclopedie matematică

Cărți

• Algebră liniară. Manual și atelier pentru software gratuit Cumpărați pentru 1471 UAH (numai Ucraina)
• Algebră liniară. Manual și atelier pentru bacalaureat academic, Kremer N.Sh.. Acest manual include o serie de concepte noi și întrebări suplimentare, cum ar fi norma unei matrice, metoda de completare a unei baze, izomorfismul spațiilor liniare, subspații liniare, liniare. …