Dacă axele sunt centrale, atunci axele de moment vor arăta astfel:

15.Relație între momente de inerție la rotirea axelor:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Unghiul a>0, dacă trecerea de la vechiul sistem de coordonate la cel nou are loc în sens invers acelor de ceasornic. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Se numesc valori extreme (maximum și minim) ale momentelor de inerție principalele momente de inerție. Se numesc axele față de care momentele axiale de inerție au valori extreme axele principale de inerție. Principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare. Momentele de inerție centrifuge în jurul axelor principale = 0, i.e. axe principale de inerție - axe față de care momentul de inerție centrifugal = 0. Dacă una dintre axe coincide sau ambele coincid cu axa de simetrie, atunci ele sunt principale. Unghi care definește poziția axelor principale: , dacă a 0 >0 Þ axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic. Axa maximului face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor, față de care momentul de inerție are o valoare mai mare. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate principalele axe centrale de inerție. Momente de inerție asupra acestor axe:

J max + J min = J x + J y . Momentul de inerție centrifugal față de principal axele centrale de inerție este 0. Dacă se cunosc momentele principale de inerție, atunci formulele pentru trecerea la axele rotite sunt:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Scopul final al calculării caracteristicilor geometrice ale secțiunii este determinarea principalului momente centrale inerţia şi poziţiile principalelor axe centrale de inerţie. Raza de inerție - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Dacă J x și J y sunt momentele principale de inerție, atunci i x și i y - razele principale de rotație. Se numește o elipsă construită pe razele principale de inerție ca pe semiaxe elipsa de inertie. Folosind elipsa de inerție, puteți găsi grafic raza de rotație i x 1 pentru orice axă x 1. Pentru a face acest lucru, trageți o tangentă la elipsă paralelă cu axa x 1 și măsurați distanța de la această axă la tangentă. Cunoscând raza de inerție, puteți găsi momentul de inerție al secțiunii despre axa x 1:. Pentru secțiuni cu mai mult de două axe de simetrie (de exemplu: un cerc, un pătrat, un inel etc.), momentele axiale de inerție în jurul tuturor axelor centrale sunt egale între ele, J xy \u003d 0, elipsa lui inerția se transformă într-un cerc de inerție.

Adesea, la rezolvarea problemelor practice, este necesar să se determine momentele de inerție ale unei secțiuni în raport cu axele orientate în diferite moduri în planul ei. În acest caz, este convenabil să se utilizeze valorile deja cunoscute ale momentelor de inerție ale întregii secțiuni (sau părți individuale ale acesteia) în raport cu alte axe, date în literatura tehnică, cărți de referință și tabele speciale, precum și calculate folosind formulele disponibile. Prin urmare, este foarte important să se stabilească relația dintre momentele de inerție ale aceleiași secțiuni față de diferite axe.

În cel mai general caz, trecerea de la orice vechi la oricare sistem nou coordonatele pot fi considerate ca două transformări succesive ale vechiului sistem de coordonate:

1) prin transferul paralel al axelor de coordonate într-o nouă poziție și

2) prin rotirea lor în raport cu noua origine. Luați în considerare prima dintre aceste transformări, adică. transfer paralel axele de coordonate.

Să presupunem că momentele de inerție ale unei secțiuni date în raport cu axele vechi (Fig. 18.5) sunt cunoscute.

Să luăm un nou sistem de coordonate ale cărui axe sunt paralele cu cele vechi. Fie a și b coordonatele punctului (adică noua origine) în vechiul sistem de coordonate

Considerăm o zonă elementară.Coordonatele ei în vechiul sistem de coordonate sunt y și . În noul sistem sunt egali

Să înlocuim aceste valori de coordonate în expresia pentru momentul axial de inerție în jurul axei

În expresia rezultată, momentul de inerție, momentul static al secțiunii în jurul axei este egal cu aria F a secțiunii.

Prin urmare,

Dacă axa z trece prin centrul de greutate al secțiunii, atunci momentul static și

Din formula (25.5) se poate observa că momentul de inerție în jurul oricărei axe care nu trece prin centrul de greutate este mai mare decât momentul de inerție în jurul axei care trece prin centrul de greutate, cu o valoare care este întotdeauna pozitivă. . Prin urmare, dintre toate momentele de inerție relativ la axe paralele momentul de inerție axial are cea mai mică valoare raportat la axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii.

Moment de inerție în jurul axei [prin analogie cu formula (24.5)]

În cazul particular când axa y trece prin centrul de greutate al secțiunii

Formulele (25.5) și (27.5) sunt utilizate pe scară largă în calcul momente axiale inerția secțiunilor complexe (compozite).

Să substituim acum valorile în expresia pentru momentul de inerție centrifugal în jurul axelor

Să determinăm relația dintre diferitele momente de inerție ale secțiunii față de două axe paralele (Fig. 6.7), legate prin dependențe

1. Pentru momentele statice de inerție

In cele din urma,

2. Pentru momentele axiale de inerție

Prin urmare,

Dacă axa z trece prin centrul de greutate al secțiunii, apoi

Dintre toate momentele de inerție în jurul axelor paralele, momentul de inerție axial are cea mai mică valoare în jurul axei care trece prin centrul de greutate al secțiunii.

La fel și pentru axă

Când axa y trece prin centrul de greutate al secțiunii

3. Pentru momente centrifuge inerția pe care o primim

În sfârșit, poți scrie

Când originea sistemului de coordonate yz se află în centrul de greutate al secțiunii, obținem

În cazul în care una sau ambele axe sunt axe de simetrie,

6.7. Modificarea momentelor de inerție la rotirea axelor

Să fie date momentele de inerție ale secțiunii în raport cu axele de coordonate zy.

Este necesar să se determine momentele de inerție ale aceleiași secțiuni în raport cu axele rotite printr-un anumit unghi față de sistemul de coordonate zy(Fig. 6.8).

Un unghi este considerat pozitiv dacă vechiul sistem de coordonate trebuie rotit în sens invers acelor de ceasornic pentru a trece la cel nou (pentru un sistem de coordonate dreptunghiular carteziene). Nou și vechi zy sistemele de coordonate sunt conectate prin dependențe care decurg din Fig. 6.8:

1. Să definim expresiile pentru momentele axiale de inerție despre axele noului sistem de coordonate:

La fel și pentru axă

Dacă adăugăm valorile momentelor de inerție față de axe și atunci obținem

adică, atunci când axele sunt rotite, suma momentelor axiale de inerție este o valoare constantă.

2. Să derivăm formule pentru momentele de inerție centrifuge.

.

6.8. Momentele principale de inerție. Axele principale de inerție

Valorile extreme ale momentelor axiale de inerție ale secțiunii se numesc momente principale de inerție.

Două axe reciproc perpendiculare, față de care momentele axiale de inerție au valori extreme, se numesc axe principale de inerție.

Pentru a afla momentele principale de inerție și poziția axelor principale de inerție, determinăm derivata întâi față de unghiul momentului de inerție, determinat prin formula (6.27)

Setați acest rezultat la zero:

unde este unghiul de rotire a axelor de coordonate yȘi z astfel încât acestea să coincidă cu axele principale.

Comparând expresiile (6.30) și (6.31), putem stabili că

,

Prin urmare, în raport cu axele principale de inerție, momentul de inerție centrifugal este zero.

Axele reciproc perpendiculare, dintre care una sau ambele coincid cu axele de simetrie ale secțiunii, sunt întotdeauna principalele axe de inerție.

Rezolvăm ecuația (6.31) în raport cu unghiul:

.

Dacă >0, atunci pentru a determina poziția uneia dintre axele principale de inerție pentru sistemul de coordonate dreptunghiular carteziene din dreapta (stânga), axa z rotiți un unghi în sens invers acelor de ceasornic (în sensul de rotație) în sensul acelor de ceasornic. Dacă<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz rotiți cu un unghi în sensul de rotație (contra sensului de rotație) în sensul acelor de ceasornic.

Axa maximă face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor ( y sau z), în raport cu care momentul axial de inerție are o importanță mai mare (Fig. 6.9).

Axa maximă este îndreptată într-un unghi față de axa () dacă () și este situată în sferturi pare (impare) ale axelor dacă ().

Să determinăm principalele momente de inerție și. Folosind formule din trigonometrie, conectând funcții,,, cu funcții, din formula (6.27) obținem

,

Luați în considerare definiția momentelor de inerție ale unei figuri plate (Fig.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

unde $(S_x)$ - momentul static al figurii în jurul axei $X$.

În mod similar, cu privire la axa $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor $(X_1)$ și $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a) ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Cel mai adesea, se folosește trecerea de la axele centrale (axele proprii ale unei figuri plate) la cele arbitrare, paralele. Atunci $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, deoarece axele $X$ și $Y$ sunt centrale. În sfârșit avem

Unde , - propriile momente de inerție, adică momente de inerție despre propriile lor axe centrale;

$a$, $b$ - distante de la axele centrale la cele luate in considerare;

$A$ este aria figurii.

De remarcat că la determinarea momentului de inerție centrifugal în mărimile $a$ și $b$ trebuie luat în considerare semnul, adică sunt, de fapt, coordonatele centrului de greutate al figurii. în axele considerate. La determinarea momentelor axiale de inerție, aceste mărimi sunt înlocuite modulo (sub formă de distanțe), deoarece încă se ridică la pătrat.

Cu ajutorul formulelor de translație paralelă, este posibil să se efectueze tranziția de la axele centrale la cele arbitrare sau invers- din axe centrale arbitrare. Prima tranziție se efectuează cu semnul „+”. A doua tranziție se efectuează cu semnul "- ".

Exemple de utilizare a formulelor de tranziție între axe paralele

Secțiune dreptunghiulară

Să determinăm momentele centrale de inerție ale dreptunghiului cu momente de inerție cunoscute în jurul axelor $Z$ și $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

În mod similar $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

sectiune triunghiulara

Să determinăm momentele centrale de inerție ale triunghiului cu un moment de inerție cunoscut în jurul bazei $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

În ceea ce privește axa centrală $(Y_c)$, triunghiul are o configurație diferită, deci luați în considerare următoarele. Momentul de inerție al întregii figuri în jurul axei $(Y_c)$ este egal cu suma momentului de inerție al triunghiului $ABD$ în jurul axei $(Y_c)$ și a momentului de inerție al triunghiului $CBD $ despre axa $(Y_c)$, adică

.

Determinarea momentului de inerție al unei secțiuni compozite

Considerăm că secțiunea este compusă, este formată din elemente individuale ale căror caracteristici geometrice sunt cunoscute. Aria, momentul static și momentele de inerție ale unei figuri compozite sunt egale cu suma caracteristicilor corespunzătoare ale componentelor lor. Dacă o secțiune poate fi formată prin tăierea unei figuri dintr-o alta, se scad caracteristicile geometrice ale figurii tăiate. De exemplu, momentele de inerție ale figurii compozite prezentate în Fig. va fi definit ca

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12) )) = 72\.300$cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\.490\.000$cm 4

Modificarea momentelor de inerție ale tijei cu translația paralelă a axelor.

Pe lângă momentele statice, luați în considerare următoarele trei integrale:

Unde, ca mai înainte, x și y reprezintă coordonatele curente ale zonei elementare dF într-un sistem de coordonate arbitrar xOy. Se numesc primele 2 integrale momentele axiale de inerție ale secțiunii despre axele x și respectiv y. A treia integrală se numește momentul de inerție centrifugal al secțiuniiîn raport cu x, y. Momentele axiale sunt întotdeauna pozitive, deoarece aria dF este considerată pozitivă. Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv sau negativ, în funcție de locația secțiunii în raport cu axele x, y.

Să derivăm formulele de transformare a momentelor de inerție cu deplasarea paralelă a axelor. (vezi poza). Vom presupune că ni se dau momentele de inerție și momentele statice în jurul axelor x 1 și y 1 . Este necesar să se determine momentele în jurul axelor x2 și y2.

Înlocuind aici x 2 \u003d x 1 -a și y 2 \u003d y 1 -b Găsim

Extindem parantezele, avem.

Dacă axele x 1 și y 1 sunt centrale, atunci S x 1 \u003d S y 1 \u003d 0 și expresiile rezultate sunt simplificate:

Cu o translație paralelă a axelor (dacă una dintre axe este centrală), momentele de inerție axiale se modifică cu o valoare egală cu produsul dintre aria secțiunii transversale și pătratul distanței dintre axe.