DEFINIȚIE

Momentul de inerție axial (sau ecuatorial). secțiunea relativă la axă se numește valoare, care este definită ca:

Expresia (1) înseamnă, pentru a calcula momentul axial de inerție, suma produselor ariilor infinit de mici () înmulțite cu pătratele distanțelor de la acestea la axa de rotație este luată pe întreaga suprafață S:

Suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii față de axele reciproc perpendiculare (de exemplu, despre axele X și Y din Sistemul cartezian coordonate) dați momentul polar de inerție () relativ la punctul de intersecție al acestor axe:

DEFINIȚIE

moment polar de inerție se numește momentul de inerție ca secțiune față de un anumit punct.

Momentele axiale de inerție sunt întotdeauna mai mari decât zero, deoarece în definițiile lor (1) sub semnul integral se află valoarea ariei ariei elementare (), care este întotdeauna pozitivă și pătratul distanței de la această zonă. la axa.

Dacă avem de-a face cu o secțiune de formă complexă, atunci adesea în calcule se utilizează faptul că momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe față de axă este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale pieselor. a acestei secțiuni relativ la aceeași axă. Cu toate acestea, trebuie amintit că este imposibil să rezumați momentele de inerție care se găsesc în raport cu diferite axe și puncte.

Momentul axial de inerție în jurul axei care trece prin centrul de greutate al secțiunii are cea mai mică valoare a tuturor momentelor în jurul axelor paralele cu acesta. Momentul de inerție față de orice axă () cu condiția ca aceasta să fie paralelă cu axa care trece prin centrul de greutate este:

unde este momentul de inerție al secțiunii în raport cu axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii; - arie a secțiunii transversale; - distanta intre axe.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Sarcina	Care este momentul de inerție axial al unei secțiuni triunghiulare isoscelă în jurul axei Z care trece prin centrul de greutate () al triunghiului, paralel cu baza acestuia? Înălțimea triunghiului este .
Soluţie	Selectăm o zonă elementară dreptunghiulară pe o secțiune triunghiulară (vezi Fig. 1). Este situat la o distanță de axa de rotație, lungimea uneia dintre laturile sale, cealaltă parte. Din fig. 1 rezultă că: Aria dreptunghiului selectat, luând în considerare (1.1), este egală cu: Pentru a găsi momentul axial de inerție, folosim definiția acestuia sub forma:
Răspuns

EXEMPLUL 2

Sarcina	Aflați momentele axiale de inerție în jurul axelor perpendiculare X și Y (Fig. 2) ale secțiunii sub forma unui cerc al cărui diametru este d.
Soluţie	Pentru a rezolva problema, este mai convenabil să începeți prin a găsi momentul polar relativ la centrul secțiunii (). Împărțim întreaga secțiune în inele de grosime infinit de subțiri, a căror rază este notă cu . Apoi găsim zona elementară ca:

Luați în considerare câteva caracteristici geometrice ale figurilor plane. Una dintre aceste caracteristici se numește axial sau ecuatorial moment de inerție. Această caracteristică faţă de axele şi
(Fig.4.1) ia forma:

;
. (4.4)

Principala proprietate a momentului de inerție axial este că acesta nu poate fi mai mic sau egal cu zero. Acest moment de inerție este întotdeauna mai mare decât zero:
;
. Unitatea de măsură a momentului axial de inerție este (lungimea 4).

Conectați originea coordonatelor cu un segment de linie dreaptă cu o zonă infinitezimală
și notează acest segment prin literă (Fig.4.4). Momentul de inerție al figurii față de pol - originea - se numește momentul polar de inerție:

. (4.5)

Acest moment de inerție, ca și cel axial, este întotdeauna mai mare decât zero (
) și are dimensiunea – (lungime 4).

Să scriem condiție de invarianță sumele momentelor de inerție ecuatoriale în jurul a două axe reciproc perpendiculare. Figura 4.4 arată că
.

Inlocuim aceasta expresie in formula (4.5), obtinem:

Condiția de invarianță este formulată după cum urmează: suma momentelor axiale de inerție în jurul oricăror două axe reciproc perpendiculare este o valoare constantă și egală cu momentul polar de inerție în jurul punctului de intersecție al acestor axe.

Se numește momentul de inerție al unei figuri plane în jurul a două axe reciproc perpendiculare simultan biaxiale sau centrifugal moment de inerție. Momentul de inerție centrifugal are următoarea formă:

. (4.7)

Momentul de inerție centrifugal are dimensiunea - (lungime 4). Poate fi pozitiv, negativ sau zero. Se numesc axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero axele principale de inerție. Să demonstrăm că axa de simetrie a unei figuri plane este axa principală.

Luați în considerare figura plată prezentată în Figura 4.5.

Alegem la stânga și la dreapta axei de simetrie două elemente cu o zonă infinitezimală
. Centrul de greutate al întregii figuri se află în punctul C. Să plasăm originea în punctul C și să notăm coordonatele verticale ale elementelor selectate cu litera „ ”, pe orizontală – pentru elementul din stânga “
”, pentru elementul potrivit “ ". Să calculăm suma momentelor de inerție centrifuge pentru elementele selectate cu o suprafață infinit mică în raport cu axele Și :

Dacă integrăm expresia (4.8) în stânga și în dreapta, obținem:

, (4.9)

întrucât dacă axa este o axă de simetrie, atunci pentru orice punct situat la stânga acestei axe, va exista întotdeauna unul simetric.

Analizând soluția obținută ajungem la concluzia că axa de simetrie este axa principală de inerție. axa centrală este și axa principală, deși nu este o axă de simetrie, deoarece momentul de inerție centrifugal a fost calculat simultan pentru două axe. Și și s-a dovedit a fi zero.

Dacă trasăm axe de coordonate prin punctul O, atunci față de aceste axe, momentele centrifuge de inerție (sau produsele de inerție) sunt mărimile definite de egalitățile:

unde sunt masele punctelor; - coordonatele acestora; în timp ce este evident că etc.

Pentru corpurile solide, formulele (10), prin analogie cu (5), iau forma

Spre deosebire de momentele de inerție centrifuge axiale, acestea pot fi atât valori pozitive, cât și negative și, în special, cu axele alese într-un anumit mod, ele pot dispărea.

Axele principale de inerție. Considerăm un corp omogen cu o axă de simetrie. Să desenăm axele de coordonate Oxyz astfel încât axa să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie (Fig. 279). Apoi, din cauza simetriei, fiecărui punct al corpului cu masa mk și coordonate îi va corespunde un punct cu un indice diferit, dar cu aceeași masă și cu coordonatele egale cu . Ca rezultat, obținem că, întrucât în ​​aceste sume toți termenii sunt identici în perechi ca valoare absolută și opuși ca semn; prin urmare, ținând cont de egalitățile (10), găsim:

Astfel, simetria în distribuția maselor în jurul axei z este caracterizată prin dispariția a două momente de inerție centrifuge. Axa Oz, pentru care momentele de inerție centrifuge care conțin denumirea acestei axe în indicii lor, sunt egale cu zero, se numește axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.

Din cele de mai sus rezultă că dacă corpul are o axă de simetrie, atunci această axă este axa principală de inerție a corpului pentru oricare dintre punctele sale.

Axa principală de inerție nu este neapărat axa de simetrie. Se consideră un corp omogen cu un plan de simetrie (în Fig. 279, planul de simetrie al corpului este planul). Să desenăm în acest plan câteva axe și o axă perpendiculară pe acestea.Atunci, din cauza simetriei, fiecărui punct cu masă și coordonate îi va corespunde un punct cu aceeași masă și coordonate egale cu . Ca urmare, ca și în cazul precedent, constatăm că sau de unde rezultă că axa este axa principală de inerție pentru punctul O. Astfel, dacă corpul are un plan de simetrie, atunci orice axă perpendiculară pe acest plan va fi axa principală de inerție a corpului pentru punctul O, în care axa intersectează planul.

Egalitățile (11) exprimă condițiile ca axa să fie axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (originea coordonatelor).

În mod similar, dacă atunci axa Oy va fi axa principală de inerție pentru punctul O. Prin urmare, dacă toate momentele de inerție centrifuge sunt egale cu zero, i.e.

atunci fiecare dintre axele de coordonate este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (originea coordonatelor).

De exemplu, în fig. 279 toate cele trei axe sunt pentru punctul O axele principale de inerție (axa ca axă de simetrie, iar axele Ox și Oy ca perpendiculare pe planurile de simetrie).

Momentele de inerție ale corpului față de principalele axe de inerție se numesc momente principale de inerție ale corpului.

Principalele axe de inerție construite pentru centrul de masă al corpului sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului. Din cele de mai sus rezultă că dacă corpul are o axă de simetrie, atunci această axă este una dintre principalele axele centrale inerția corpului, deoarece centrul de masă se află pe această axă. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci axa perpendiculară pe acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului va fi, de asemenea, una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.

În exemplele date au fost luate în considerare corpuri simetrice, ceea ce este suficient pentru a rezolva problemele cu care ne vom confrunta. Totuși, se poate dovedi că cel puțin trei astfel de axe reciproc perpendiculare pot fi trase prin orice punct al oricărui corp, pentru care se vor îndeplini egalitățile (11), adică care vor fi principalele axe de inerție ale corpului pentru acest punct. .

Conceptul principalelor axe de inerție joacă rol importantîn dinamică corp solid. Dacă axele de coordonate Oxyz sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin zero și ecuațiile sau formulele corespunzătoare sunt simplificate semnificativ (vezi § 105, 132). De asemenea, legată de acest concept este rezolvarea problemelor privind ecuația dinamică a corpurilor în rotație (vezi § 136), asupra centrului de impact (vezi § 157), etc.

CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLATE.

După cum arată experiența, rezistența tijei la diferite deformații depinde nu numai de dimensiunile secțiunii transversale, ci și de formă.

Dimensiunile și forma secțiunii transversale sunt caracterizate de diverse caracteristici geometrice: aria secțiunii transversale, momente statice, momente de inerție, momente de rezistență etc.

1. Momentul static al zonei(momentul de inerție de gradul I).

Momentul static de inerție aria relativă la orice axă, este suma produselor suprafețelor elementare aflate la distanță de această axă, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1)

Fig.1

Proprietăți ale momentului static al zonei:

1. Momentul static al ariei se măsoară în unități de lungime de gradul trei (de exemplu, cm 3).

2. Momentul static poate fi mai mic decât zero, mai mare decât zero și, prin urmare, egal cu zero. Axele față de care momentul static este egal cu zero trec prin centrul de greutate al secțiunii și se numesc axe centrale.

Dacă x cȘi Y c sunt coordonatele centrului de greutate, atunci

3. Momentul static de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor statice ale componentelor secțiuni simple cam aceeași axă.

Conceptul momentului static de inerție în știința forței este folosit pentru a determina poziția centrului de greutate al secțiunilor, deși trebuie amintit că în secțiunile simetrice centrul de greutate se află la intersecția axelor de simetrie.

2. Momentul de inerție secțiuni plate(cifre) (momente de inerție de gradul doi).

dar) axial(ecuatorial) moment de inerție.

Momentul axial de inerție aria unei figuri în raport cu orice axă este suma produselor ariilor elementare pe pătrat a distanței până la această axă de distribuție pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului axial de inerție.

1. Momentul axial de inerție al zonei se măsoară în unități de lungime a celei de-a patra puteri (de exemplu, cm 4).

2. Momentul axial de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul axial de inerție al unei secțiuni complexe față de orice axă este egal cu suma momentelor axiale ale secțiunilor simple constitutive față de aceeași axă:

4. Valoarea momentului de inerție axial caracterizează capacitatea unei tije (grindă) de o anumită secțiune transversală de a rezista la încovoiere.

b) Momentul polar de inerție.

Momentul polar de inerție Aria unei figuri în raport cu un pol este suma produselor suprafețelor elementare pe pătrat a distanței până la pol, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1).

Proprietățile momentului polar de inerție:

1. Momentul polar de inerție al zonei se măsoară în unități de lungime ale puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul polar de inerție este întotdeauna mai mare decât zero.

3. Momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de orice pol (centru) este egal cu suma momentelor polare ale componentelor secțiunilor simple față de acest pol.

4. Momentul polar de inerție al unei secțiuni este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale acestei secțiuni față de două axe reciproc perpendiculare care trec prin pol.

5. Mărimea momentului polar de inerție caracterizează capacitatea unei tije (grindă) cu o anumită formă de secțiune transversală de a rezista la torsiune.

c) momentul de inerție centrifugal.

MOMENTUL CENTRIFUG DE INERȚIE al ariei figurii în raport cu orice sistem de coordonate este suma produselor ariilor elementare prin coordonate, extinsă pe întreaga zonă (Fig. 1)

Proprietăți ale momentului de inerție centrifugal:

1. Momentul de inerție centrifugal al zonei se măsoară în unități de lungime ale puterii a patra (de exemplu, cm 4).

2. Momentul de inerție centrifugal poate fi mai mare decât zero, mai mic decât zero și egal cu zero. Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal este zero se numesc axe principale de inerție. Două axe reciproc perpendiculare, dintre care cel puțin una este o axă de simetrie, vor fi axele principale. Axele principale care trec prin centrul de greutate al zonei sunt numite axe centrale principale, iar momentele axiale de inerție ale zonei sunt numite principale. punctele centrale inerţie.

3. Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe în orice sistem de coordonate este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale figurilor constitutive din aceeași schemă de coordonate.

MOMENTE DE INERTIE RELATIVE LA AXELE PARALELE.

Fig.2

Date: topoare X y- centrală;

acestea. momentul axial de inerție într-o secțiune în jurul unei axe paralele cu cea centrală este egal cu momentul axial în jurul axei sale centrale plus produsul ariei și pătratul distanței dintre axe. Rezultă că momentul de inerție axial al secțiunii față de axa centrală are o valoare minimă în sistemul de axe paralele.

Făcând calcule similare pentru momentul de inerție centrifugal, obținem:

Jx1y1=Jxy+Aab

acestea. momentul de inerție centrifug al secțiunii despre axe paralele cu sistemul de coordonate central este egal cu momentul centrifug din sistemul de coordonate central plus produsul ariei și distanța dintre axe.

MOMENTE DE INERTIE ÎNTR-UN SISTEM DE COORDONATE ROTAT

acestea. suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii este o valoare constantă, nu depinde de unghiul de rotație al axelor de coordonate și este egală cu momentul polar de inerție în jurul originii. Momentul de inerție centrifugal își poate schimba valoarea și poate trece la „0”.

Axele în jurul cărora momentul centrifug este egal cu zero vor fi axele principale de inerție, iar dacă trec prin centrul de greutate, atunci se numesc axe principale de inerție și se notează " u" și "".

Momentele de inerție în jurul axelor centrale principale se numesc momente de inerție centrale principale și sunt notate , iar principalele momente centrale de inerție au valori extreme, i.e. unul este "min" și celălalt este "max".

Fie ca unghiul „a 0” să caracterizeze poziția axelor principale, atunci:

în funcţie de această dependenţă, determinăm poziţia axelor principale. Valoarea momentelor principale de inerție după unele transformări este determinată de următoarea dependență:

EXEMPLE DE DETERMINARE A MOMENTELOR DE INERTIE AXIALE, MOMENTE DE INERTIE POLARE SI MOMENTE DE REZISTENTA A FIGURILOR SIMPLE.

1. Secțiune dreptunghiulară

topoare X iar y - aici și în alte exemple - principalele axe centrale de inerție.

Să determinăm momentele axiale de rezistență:

2. Secțiune solidă rotundă. momente de inerție.

Să presupunem că există un sistem de coordonate cu originea în punctul O și axele OX; OY; oz. În raport cu aceste axe, momentele de inerție centrifuge (produse de inerție) se numesc mărimi, care sunt determinate de egalitățile:

unde sunt masele puncte materialeîn care corpul este spart; - coordonatele punctelor materiale corespunzătoare.

Momentul de inerție centrifugal are o proprietate de simetrie, aceasta rezultă din definiția sa:

Momentele centrifuge ale corpului pot fi pozitive și negative, cu o anumită alegere a axelor OXYZ, pot dispărea.

Pentru momentele de inerție centrifuge, există un analog al teoremei lui Steinberg. Dacă luăm în considerare două sisteme de coordonate: și . Unul dintre aceste sisteme are originea coordonatelor la centrul de masă al corpului (punctul C), axele sistemelor de coordonate sunt paralele perechi (). Fie în sistemul de coordonate coordonatele centrului de masă al corpului sunt (), atunci:

unde este masa corpului.

Principalele axe de inerție ale corpului

Fie ca un corp omogen să aibă o axă de simetrie. Să construim axele de coordonate astfel încât axa OZ să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie a corpului. Apoi, ca o consecință a simetriei, fiecărui punct al corpului cu masă și coordonate îi corespunde un punct care are un indice diferit, dar aceeași masă și coordonate: . Ca rezultat, obținem că:

întrucât în ​​aceste sume toți termenii au egală în mărime, dar opuse în pereche de semne. Expresiile (4) sunt echivalente cu scrierea:

Am obținut că simetria axială a distribuției de masă față de axa OZ este caracterizată de zeroul a două momente de inerție centrifuge (5), care conțin denumirea acestei axe printre indicii lor. În acest caz, axa OZ este numită axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.

Axa principală de inerție nu este întotdeauna axa de simetrie a corpului. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci orice axă care este perpendiculară pe acest plan este axa principală de inerție pentru punctul O, la care axa intersectează planul luat în considerare. Egalitățile (5) reflectă condițiile că axa OZ este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (originea coordonatelor). Daca sunt indeplinite conditiile:

atunci axa OY va fi axa principală de inerție pentru punctul O.

Dacă egalitățile sunt îndeplinite:

atunci toate cele trei axe de coordonate ale sistemului de coordonate OXYZ sunt principalele axe de inerție ale corpului pentru origine.

Momentele de inerție ale corpului față de principalele axe de inerție se numesc momente de inerție principale ale corpului. Principalele axe de inerție, care sunt construite pentru centrul de masă al corpului, sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului.

Dacă corpul are o axă de simetrie, atunci aceasta este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă este situat pe această axă. În cazul în care corpul are un plan de simetrie, atunci axa normală cu acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.

Conceptul de axe principale de inerție în dinamica unui corp rigid este esențial. Dacă axele de coordonate OXYZ sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin egale cu zero, în timp ce formulele care ar trebui utilizate în rezolvarea problemelor de dinamică sunt mult simplificate. Conceptul de axe principale de inerție este legat de rezolvarea problemelor privind ecuația dinamică a unui corp în rotație și pe centrul de impact.

Momentul de inerție al unui corp (inclusiv centrifugal) în sistemul internațional de unități se măsoară în:

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni (figura plană) în jurul a două axe reciproc normale (OX și OY) este o valoare egală cu:

Expresia (8) spune că momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare () cu distanțele de la acestea la axele considerate, pe întreaga suprafață S.

Unitatea de măsură a momentelor de inerție a unei secțiuni în SI este:

Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe față de oricare două axe reciproc normale este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în raport cu aceste axe.

Exemple de rezolvare a problemelor

EXEMPLUL 1

Sarcina

Obțineți o expresie pentru momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni dreptunghiulare în jurul axelor (X,Y).

Soluţie

Să facem un desen. Pentru a determina momentul de inerție centrifugal, selectăm din dreptunghiul existent un element din aria sa (Fig. 1), aria lui care este egală cu: În prima etapă de rezolvare a problemei, găsim momentul de inerție centrifugal () al unei benzi verticale având o înălțime și lățime , care este situată la distanță de axa Y (se ține cont că la integrarea pentru toate site-urile din bandă verticală selectată, valoarea este constantă):