1.Momente axiale inerția față de axele reciproc perpendiculare x0y (coincidend cu laturile triunghiului) (Fig. 2.17).
Pentru a determina momentul de inerție în jurul unei axe X Să selectăm o zonă elementară sub forma unei benzi de lățime infinitezimală dу, axa paralela X, la distanta la de la ea. Zona site-ului
. Lungimea benzii de) determinăm din asemănarea triunghiurilor cu baze de)Și b,
Unde 
. Apoi 
. Înlocuind aceasta raport în expresie pentru Ix(2.21) și stabilirea limitelor de integrare „0- h", primim
.
Definit în mod similar eu y.
2. Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor x0y (coincide cu laturile triunghiului)
Momentul de inerție centrifugal, conform definiției, este egal cu
Folosim aceeași platformă elementară ca înainte (vezi Fig. 2.17). Ca o coordonată X să luăm coordonatele centrului de greutate al platformei elementare
.
Inlocuim aceasta expresie, precum si formula pentru dA sub integrală și se integrează în intervalul de la 0 la h
Astfel, formulele pentru momentele de inerție ale secțiunii, în formă triunghi dreptunghic, raportat la axele care coincid cu picioarele, au forma
Rețineți că pentru secțiunea luată în considerare, momentele de inerție în jurul axelor centrale (CO) paralele cu catetele triunghiului prezintă un interes mai mare.
3. Momente de inerție față de centrele reciproc perpendiculare x cu sy cu (paralel cu laturile triunghiului)
Formule pentru momentele de inerție ale unui triunghi dreptunghic în jurul axelor x cu sy cu(vezi Fig. 2.17) poate fi obținut cu ușurință folosind expresiile (2.24), precum și teorema despre transfer paralel axe, conform cărora:
momente axiale de inerție 
; 
;
moment de inerție centrifugal 
.
Aici: A, e– coordonatele centrului de greutate al secțiunii din sistemul de coordonate x0y
Înlocuind aceste expresii, precum și relațiile (2.24) în formulele de mai sus, obținem
(2.25)
Rețineți că orientarea secțiunii în raport cu axele afectează semnul momentului de inerție centrifugal. Pentru orientarea luată în considerare s-a dovedit că<0. Действительно, на рис.2.17 видно, что большая часть сечения лежит в области с отрицательным произведением координат X´ la(al doilea și al patrulea trimestru de coordonate). Aceasta determină semnul negativ al momentului de inerție centrifugal rezultat. Mai jos sunt diagrame cu orientări diferite ale unui triunghi dreptunghic față de centrele paralele cu laturile pentru care este indicat semnul.
Când verificăm rezistența unor părți ale structurilor, trebuie să întâlnim secțiuni de forme destul de complexe, pentru care este imposibil să calculăm momentul de inerție într-un mod atât de simplu cum am folosit pentru un dreptunghi și un cerc.
O astfel de secțiune ar putea fi, de exemplu, o bară în T (Fig. 5 A) secțiune inelară a unei țevi supusă îndoirii (structuri de aeronave) (Fig. 5, b), secțiune inelară a fusului arborelui sau secțiuni chiar mai complexe. Toate aceste secțiuni pot fi împărțite în unele simple, precum dreptunghiuri, triunghiuri, cercuri etc. Se poate arăta că momentul de inerție al unei figuri atât de complexe este suma momentelor de inerție ale părților în care o împărțim.
Fig.5. Secțiuni de tip T - a) și inel b)
Se știe că momentul de inerție al oricărei figuri în raport cu axa la— la egal cu:
Unde z— distanța tampoanelor elementare față de axă la—la.
Să împărțim zona luată în patru părți: , , și . Acum, atunci când calculați momentul de inerție, puteți grupa termenii în funcția integrand astfel încât să efectuați separat însumarea pentru fiecare dintre cele patru zone selectate și apoi adăugați aceste sume. Acest lucru nu va schimba valoarea integralei.
Integrala noastră va fi împărțită în patru integrale, fiecare dintre ele va acoperi una dintre zone, și:
Fiecare dintre aceste integrale reprezintă momentul de inerție al părții corespunzătoare a ariei în raport cu axa la— la; De aceea
unde este momentul de inerție față de axă la — la zonă, - la fel pentru zonă etc.
Rezultatul obţinut poate fi formulat astfel: momentul de inerţie al unei figuri complexe egal cu suma momentele de inerție ale părților sale constitutive. Astfel, trebuie să putem calcula momentul de inerție al oricărei figuri în raport cu orice axă situată în planul său.
Soluția la această problemă este conținutul acestui și al următoarelor două interviuri.
Momente de inerție față de axele paralele.
Sarcina de a obține cele mai simple formule pentru calcularea momentului de inerție al oricărei figuri în raport cu orice axă va fi rezolvată în mai multe etape. Dacă luăm o serie de axe paralele între ele, se dovedește că putem calcula cu ușurință momentele de inerție ale unei figuri în raport cu oricare dintre aceste axe, cunoscându-i momentul de inerție față de o axă care trece prin centrul de greutate al figurii. paralel cu axele alese.
Fig.1. Model de calcul pentru determinarea momentelor de inerție pentru axe paralele.
Vom numi axele care trec prin centrul de greutate axele centrale. Să luăm (Fig. 1) o cifră arbitrară. Să desenăm axa centrală OU, vom numi momentul de inerție în jurul acestei axe . Să desenăm o axă în planul figurii paralel topoare la la distanţă de ea. Să găsim relația dintre și - momentul de inerție față de axă. Pentru a face acest lucru, vom scrie expresii pentru și . Să împărțim aria figurii în zone; distanţele fiecărei astfel de platforme faţă de axe lași hai să sunăm și . Apoi
Din fig. 1 avem:
Prima dintre aceste trei integrale este momentul de inerție în jurul axei centrale OU. Al doilea este momentul static pe aceeași axă; este egal cu zero, deoarece axa la trece prin centrul de greutate al figurii. În cele din urmă, a treia integrală este egală cu aria figurii F. Prin urmare,
| (1) |
adică momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu momentul de inerție în jurul axei centrale paralele cu cea dată, plus produsul dintre aria figurii și pătratul distanței dintre axe.
Aceasta înseamnă că sarcina noastră a fost acum redusă la calcularea doar a momentelor centrale de inerție; dacă le cunoaștem, putem calcula momentul de inerție față de orice altă axă. Din formula (1) rezultă că central momentul de inerție este cel mai mic dintre momentele de inerție față de axele paralele și pentru aceasta obținem:
Să găsim și momentul de inerție centrifugal în jurul axelor paralele cu cele centrale, dacă se cunoaște (Fig. 1). Deoarece prin definiţie
unde: , apoi urmează
Deoarece ultimele două integrale reprezintă momente statice de arie în jurul axelor centrale OUȘi Oz apoi dispar și, prin urmare:
| (2) |
Momentul de inerție centrifugal față de un sistem de axe reciproc perpendiculare paralele cu cele centrale este egal cu momentul de inerție centrifugal față de aceste axe centrale plus produsul dintre suprafața figurii și coordonatele centrului său de greutate raportat la noile axe.
Relația dintre momentele de inerție la rotirea axelor.
Puteți desena câte axe centrale doriți. Se pune întrebarea dacă este posibil să se exprime momentul de inerție despre orice axă centrală în funcție de momentul de inerție despre una sau două anumit topoare. Pentru a face acest lucru, să vedem cum momentele de inerție se vor schimba în jurul a două axe reciproc perpendiculare atunci când sunt rotite cu un unghi.
Să luăm o figură și să o desenăm prin centrul de greutate DESPRE două axe reciproc perpendiculare OUȘi Oz(Fig.2).
Fig.2. Model de calcul pentru determinarea momentelor de inerție pentru axele rotite.
Să ne cunoaștem momentele de inerție axiale despre aceste axe, precum și momentul de inerție centrifugal. Să desenăm un al doilea sistem de axe de coordonate și înclinat față de primul într-un unghi; vom lua în considerare direcția pozitivă a acestui unghi la rotirea axelor în jurul punctului DESPREîn sens invers acelor de ceasornic. Origine DESPRE Salvați. Să exprimăm momentele relativ la cel de-al doilea sistem de axe de coordonate și , prin momentele de inerție cunoscute și .
Să scriem expresii pentru momentele de inerție despre aceste axe:
De asemenea:
Pentru a rezolva probleme, este posibil să aveți nevoie de formule pentru trecerea de la o axă la altele pentru momentul de inerție centrifugal. La rotirea axelor (Fig. 2) avem:
unde și sunt calculate folosind formulele (14.10); Apoi
După transformări obținem:
| (7) |
Astfel, pentru a calcula momentul de inerție față de orice axă centrală, trebuie să cunoașteți momentele de inerție despre sistemul oricăror două axe centrale reciproc perpendiculare. OUȘi Oz, momentul de inerție centrifugal față de aceleași axe și unghiul de înclinare al axei față de axă la.
Pentru a calcula valorile >, trebuie să alegeți astfel de axele laȘi zși împărțiți aria figurii în astfel de părți componente încât să puteți face acest calcul folosind numai formule pentru tranziția de la axele centrale ale fiecăreia dintre ele. componente la axe paralele cu acestea. Cum să faceți acest lucru în practică va fi prezentat mai jos folosind un exemplu. Rețineți că în acest calcul, figurile complexe trebuie împărțite în astfel de părți elementare pentru care, dacă este posibil, sunt cunoscute valorile momentelor centrale de inerție în raport cu sistemul de axe reciproc perpendiculare.
Rețineți că progresul derivării și rezultatele obținute nu s-ar fi schimbat dacă originea coordonatelor ar fi fost luată nu în centrul de greutate al secțiunii, ci în orice alt punct. DESPRE. Astfel, formulele (6) și (7) sunt formule pentru trecerea de la un sistem de axe reciproc perpendiculare la altul, rotite cu un anumit unghi, indiferent dacă acestea sunt sau nu axe centrale.
Din formulele (6) se poate obține o altă relație între momentele de inerție la rotirea axelor. Adăugând expresiile pentru și obținem
adică suma momentelor de inerție în jurul oricăror axe reciproc perpendiculare laȘi z nu se schimbă atunci când sunt rotite. Înlocuind ultima expresie în loc de și valorile acestora, obținem:
unde este distanța site-urilor dF din punct DESPRE. Mărimea este, după cum se știe deja, momentul polar de inerție al secțiunii față de punct DESPRE.
Astfel, momentul polar de inerție al unei secțiuni în raport cu orice punct este egal cu suma momentelor de inerție axiale raportate la axele reciproc perpendiculare care trec prin acest punct. Prin urmare, această sumă rămâne constantă atunci când axele sunt rotite. Această dependență (14.16) poate fi folosită pentru a simplifica calculul momentelor de inerție.
Deci, pentru un cerc:
Deoarece prin simetrie pentru un cerc atunci
care a fost obţinut mai sus prin integrare.
În mod similar, pentru o secțiune inelară cu pereți subțiri se poate obține:
Axele principale de inerție și momentele principale de inerție.
După cum se știe deja, cunoscând momentele centrale de inerție, și pentru o cifră dată, puteți calcula momentul de inerție față de orice altă axă.
În acest caz, este posibil să luăm ca sistem principal de axe un astfel de sistem în care formulele sunt simplificate semnificativ. Și anume, este posibil să găsim un sistem de axe de coordonate pentru care momentul de inerție centrifugal este egal cu zero. De fapt, momentele de inerție sunt întotdeauna pozitive, ca suma termenilor pozitivi, dar momentul centrifug
poate fi atât pozitiv, cât și negativ, deoarece termenii zydF poate fi semn diferit in functie de semne zȘi la pentru un site sau altul. Aceasta înseamnă că poate fi egal cu zero.
Se numesc axele în jurul cărora dispare momentul de inerție centrifugal axele principale inerţie. Dacă începutul unui astfel de sistem este plasat în centrul de greutate al figurii, atunci acestea vor fi axele centrale principale. Vom nota aceste axe și ; pentru ei
Să aflăm în ce unghi sunt înclinate axele principale față de axele centrale y și z (Fig. 198).
Fig.1. Model de calcul pentru determinarea poziției principalelor axe de inerție.
ÎN expresie celebră a trece de la axe yz la axe, pentru momentul de inerție centrifugal dăm unghiului valoarea; atunci axele și vor coincide cu cele principale, iar momentul de inerție centrifugal va fi egal cu zero:
| (1) |
Această ecuație este satisfăcută de două valori ale lui , care diferă cu 180°, sau două valori ale lui , care diferă cu 90°. Deci această ecuație ne oferă poziția două axe, formând un unghi drept între ele. Acestea vor fi principalele axe centrale și , pentru care .
Folosind această formulă, le puteți folosi pe cele cunoscute pentru a obține formule pentru momentele principale de inerție și . Pentru a face acest lucru, folosim din nou expresiile pentru momentele axiale de inerție pozitia generala. Ele determină valorile și dacă înlocuim
| (2) |
Relațiile rezultate pot fi folosite pentru a rezolva probleme. Unul dintre principalele momente de inerție este, altul.
Formulele (2) pot fi transformate într-o formă fără valoarea . Exprimând și prin și substituind valorile lor în prima formulă (2), obținem, în timp ce facem simultan substituția din formula (1):
Înlocuind aici fracția din formula (1) cu
primim
| (3) |
La aceeași expresie se poate ajunge făcând o transformare similară a celei de-a doua formule (3).
Pentru sistemul principal de axe centrale, din care se poate trece la oricare altul, se poate lua OUȘi Oz, și axele principale și ; atunci momentul de inerție centrifugal () nu va apărea în formule. Să notăm unghiul făcut de axa , (Fig. 2) cu axa principală, prin . Pentru a calcula , și , deplasându-vă de la axele și , trebuie să înlocuiți unghiul prin , a , și în expresiile găsite anterior pentru , și , și , și . Ca rezultat obținem:
În aparență, aceste formule sunt complet similare cu formulele pentru tensiunile normale și de forfecare de-a lungul a două zone reciproc perpendiculare într-un element supus tensiunii în două direcții. Vom indica doar o formulă care ne permite să selectăm din două valori unghiulare pe cea care corespunde abaterii primei axa principală(oferind max J) din poziţia iniţială a axei la:
Acum putem formula în sfârșit ce trebuie făcut pentru a putea calcula în cel mai simplu mod momentul de inerție al unei figuri în raport cu orice axă. Este necesar să desenați axe prin centrul de greutate al figurii OUȘi Oz astfel încât, împărțind figura în părțile sale cele mai simple, putem calcula cu ușurință momentele care trec la distanță (Fig. 2) de centrul de greutate:
În multe cazuri, este posibil să desenați imediat axele principale ale figurii; dacă o figură are o axă de simetrie, atunci aceasta va fi una dintre axele principale. De fapt, la derivarea formulei, ne-am ocupat deja de integrală, care este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele. laȘi z; s-a dovedit că dacă axa Oz este axa de simetrie, această integrală dispare.
Prin urmare, în acest caz axele OUȘi Oz sunt principal axele centrale de inerție ale secțiunii. Prin urmare, axa de simetrie- intotdeauna axa centrala principala; al doilea Acasă axa centrală trece prin centrul de greutate perpendicular pe axa de simetrie.
Exemplu. Aflați momentele de inerție ale dreptunghiului (Fig. 3) în raport cu axele și sunt egale cu:
Momentele de inerție față de axe și sunt egale cu:
Momentul de inerție centrifugal este egal cu.
Momentul de inerție axial (sau ecuatorial) al unei secțiuni în raport cu o anumită axă este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga sa arie F de pătratele distanțelor lor față de această axă, adică.
Momentul polar de inerție al unei secțiuni în raport cu un anumit punct (pol) este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga sa arie F de pătratele distanțelor lor față de acest punct, adică.
Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni în raport cu două axe reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare luate pe întreaga ei zonă F și a distanțelor acestora față de aceste axe, de exemplu.
Momentele de inerție sunt exprimate în etc.
Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive, deoarece expresiile lor sub semnele integrale includ valorile ariilor (întotdeauna pozitive) și pătratele distanțelor acestor zone de la o axă sau pol dat.
În fig. 9.5, a prezintă o secțiune cu aria F și arată axele y și z. Momentele axiale de inerție ale acestei secțiuni în raport cu axele y:
Suma acestor momente de inerție
prin urmare
Astfel, suma momentelor de inerție axiale ale unei secțiuni în raport cu două axe reciproc perpendiculare este egală cu momentul polar de inerție al acestei secțiuni în raport cu punctul de intersecție al acestor axe.
Momentele de inerție centrifuge pot fi pozitive, negative sau zero. De exemplu, momentul de inerție centrifugal al secțiunii prezentate în Fig. 9.5, a, în raport cu axele y și este pozitivă, deoarece pentru partea principală a acestei secțiuni, situată în primul cadran, valorile lui și, prin urmare, sunt pozitive.
Dacă schimbați direcția pozitivă a axei y sau direcția opusă (Fig. 9.5, b) sau rotiți ambele axe cu 90° (Fig. 9.5, c), atunci momentul de inerție centrifugal va deveni negativ (sa valoarea absolută nu se va modifica), deoarece partea principală a secțiunii va fi apoi situată într-un cadran pentru care coordonatele y sunt pozitive și coordonatele z sunt negative. Dacă schimbați direcțiile pozitive ale ambelor axe în sens opus, acest lucru nu va schimba nici semnul, nici mărimea momentului de inerție centrifugal.
Să considerăm o figură care este simetrică față de una sau mai multe axe (Fig. 10.5). Să desenăm axele astfel încât cel puțin una dintre ele (în acest caz, axa y) să coincidă cu axa de simetrie a figurii. În acest caz, fiecare platformă situată la dreapta axei corespunde aceleiași platforme situate simetric față de prima, dar la stânga axei y. Momentul de inerție centrifugal al fiecărei perechi de astfel de platforme situate simetric este egal cu:
Prin urmare,
Astfel, momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele, dintre care una sau ambele coincid cu axele sale de simetrie, este egal cu zero.
Momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe față de o anumită axă este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale părților sale constitutive față de aceeași axă.
În mod similar, momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe față de oricare două axe reciproc perpendiculare este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în raport cu aceleași axe. De asemenea, momentul polar de inerție al unei secțiuni complexe față de un anumit punct este egal cu suma momentelor polare de inerție ale părților sale constitutive față de același punct.
Trebuie avut în vedere că momentele de inerție calculate pe diferite axe și puncte nu pot fi însumate.
Corpuri m pe pătrat de distanță d intre axe:
J = J c + m d 2 , (\displaystyle J=J_(c)+md^(2),)Unde m- greutatea corporală totală.
De exemplu, momentul de inerție al unei tije față de o axă care trece prin capătul ei este egal cu:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\right)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)Momentele axiale de inerție ale unor corpuri
| Corp | Descriere | Poziția axei A | Moment de inerție J a |
|---|---|---|---|
| Masa punctuală a materialului m | La distanta r dintr-un punct, staționar | ||
| Cilindru gol cu pereți subțiri sau inel cu rază rși mase m | Axa cilindrului | m r 2 (\displaystyle mr^(2)) | |
| Cilindru solid sau disc cu rază rși mase m | Axa cilindrului | 1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2)) | |
| Cilindru de masă gol cu pereți groși m cu raza exterioară r 2 și raza interioară r 1 | Axa cilindrului | m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2))+r_(1)^(2))(2))) | |
| Lungimea cilindrului solid l, raza rși mase m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 4)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | ||
| Lungimea cilindrului (inel) cu pereți subțiri l, raza rși mase m | Axa este perpendiculară pe cilindru și trece prin centrul său de masă | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \over 2)m\cdot r^(2)+(1 \over 12)m\cdot l^(2)) | |
| Tija de lungime subțire dreaptă lși mase m | Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin centrul său de masă | 1 12 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2)) | |
| Tija de lungime subțire dreaptă lși mase m | Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin capătul acesteia | 1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2)) | |
| Sferă cu rază cu pereți subțiri rși mase m | Axa trece prin centrul sferei | 2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2)) | |
| Bilă cu rază rși mase m | Axa trece prin centrul mingii | 2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2)) | |
| Con de rază rși mase m | Axa conului | 3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2)) | |
| Triunghi isoscel cu altitudinea h, baza A si masa m | Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin vârf | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2))) | |
| Triunghi regulat cu latura A si masa m | Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin centrul de masă | 1 12 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2)) | |
| Patrat cu latura A si masa m | Axa este perpendiculară pe planul pătratului și trece prin centrul de masă | 1 6 m a 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2)) | |
| Dreptunghi cu laturi AȘi b si masa m | Axa este perpendiculară pe planul dreptunghiului și trece prin centrul de masă | 1 12 m (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2))) | |
| N-gon regulat de rază r si masa m | Axa este perpendiculară pe plan și trece prin centrul de masă | m r 2 6 [ 1 + 2 cos (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\left) | |
| Torus (gol) cu raza cercului de ghidare R, raza cercului generator r si masa m | Axa este perpendiculară pe planul cercului de ghidare a torusului și trece prin centrul de masă | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\right)) |
Formule derivate
Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)
Derivarea formulei
Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Să împărțim un cilindru cu pereți subțiri în elemente cu masă dmși momente de inerție dJ i. Apoi
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1) . (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) se transformă în forma
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)Cilindru cu pereți groși (inel, cerc)
Derivarea formulei
Să existe un inel omogen cu o rază exterioară R, raza interioara R 1, gros h iar densitatea ρ. Să-l rupem în inele subțiri groase dr. Masa și momentul de inerție al unui inel cu rază subțire r va fi
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)Să găsim momentul de inerție al inelului gros ca integrală
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2) (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle =2\pi\rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2) )-R_(1)^(2)\dreapta)\stanga(R^(2)+R_(1)^(2)\dreapta).)Deoarece volumul și masa inelului sunt egale
V = π (R 2 − R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h,)obţinem formula finală pentru momentul de inerţie al inelului
J = 12 m (R2 + R12). (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\left(R^(2)+R_(1)^(2)\dreapta).)Disc omogen (cilindru solid)
Derivarea formulei
Considerând un cilindru (disc) ca un inel cu raza internă zero ( R 1 = 0 ), obținem formula momentului de inerție al cilindrului (discului):
J = 12 m R2. (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)Con solid
Derivarea formulei
Să spargem conul în discuri subțiri cu o grosime dh, perpendicular pe axa conului. Raza unui astfel de disc este egală cu
r = R h H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H)),)Unde R– raza bazei conului, H– înălțimea conului, h– distanța de la vârful conului până la disc. Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\right)^(4)dh;)Integrarea, obținem
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(aliniat)))Minge solidă omogenă
Derivarea formulei
Să spargem mingea în discuri subțiri de grosime dh, perpendicular pe axa de rotație. Raza unui astfel de disc situat la o înălțime h din centrul sferei, o găsim folosind formula
r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 − h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left(R^(2)-h^(2)\right)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\dreapta)dh.)Găsim momentul de inerție al mingii prin integrare:
J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(aligned)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\dreapta)\dreapta|_(0)^( R)=\pi \rho \left(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\right) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \right) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(aligned)))Sferă cu pereți subțiri
Derivarea formulei
Pentru a deduce acest lucru, folosim formula pentru momentul de inerție al unei bile omogene cu rază R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)Să calculăm cât de mult se va schimba momentul de inerție al mingii dacă, la o densitate constantă ρ, raza ei crește cu infinit cantitate mică dR .
J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 mR2. (\displaystyle (\begin(aligned)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\dreapta)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(aliniat)))Tijă subțire (axa trece prin centru)
Derivarea formulei
Să spargem tija în mici fragmente de lungime dr. Masa și momentul de inerție ale unui astfel de fragment sunt egale cu
d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)Integrarea, obținem
J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\left.(\frac (r^(3))(3))\right|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)Tijă subțire (axa trece prin capăt)
Derivarea formulei
Când axa de rotație se mișcă de la mijlocul tijei până la capătul acesteia, centrul de greutate al tijei se mișcă față de axă cu o distanță l ⁄ 2. Conform teoremei lui Steiner, noul moment de inerție va fi egal cu
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\right)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)Momente de inerție fără dimensiuni ale planetelor și sateliților
Momentele lor de inerție fără dimensiuni sunt de mare importanță pentru studiile structurii interne a planetelor și a sateliților lor. Moment fără dimensiuni inerția unui corp de rază rși mase m egal cu raportul momentul său de inerție față de axa de rotație față de momentul de inerție punct material aceeași masă relativă axă fixă rotatie situata la distanta r(egal cu Domnul 2). Această valoare reflectă distribuția masei pe adâncime. Una dintre metodele de măsurare a acestuia în apropierea planetelor și a sateliților este de a determina deplasarea Doppler a semnalului radio transmis de un AMS care zboară în apropierea unei planete sau satelit dat. Pentru o sferă cu pereți subțiri, momentul de inerție adimensional este de 2/3 (~0,67), pentru o bilă omogenă este de 0,4 și, în general, cu cât este mai mică, cu atât masa corpului este concentrată în centrul său. De exemplu, Luna are un moment de inerție adimensional apropiat de 0,4 (egal cu 0,391), deci se presupune că este relativ omogenă, densitatea ei se modifică puțin cu adâncimea. Momentul de inerție adimensional al Pământului este mai mic decât cel al unei bile omogene (egal cu 0,335), ceea ce este un argument în favoarea existenței unui nucleu dens.
Momentul de inerție centrifugal
Momentele de inerție centrifuge ale unui corp în raport cu axele unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare sunt următoarele mărimi:
J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _((V))xy\ rho dV,) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV,) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV,)Unde X , yȘi z- coordonatele unui element mic al corpului cu volum dV, densitatea ρ și masa dm .
Se numește axa OX axa principală de inerție a corpului, dacă momentele centrifuge de inerție J xyȘi J xz sunt simultan egale cu zero. Prin fiecare punct al corpului pot fi trasate trei axe principale de inerție. Aceste axe sunt reciproc perpendiculare între ele. Momente de inerție ale corpului relativ trei principale axele de inerție trasate într-un punct arbitrar O corpurile sunt numite principalele momente de inerție corp dat.
Se numesc principalele axe de inerție care trec prin centrul de masă al corpului principalele axe centrale de inerție ale corpului, iar momentele de inerție despre aceste axe sunt ale sale principal punctele centrale inerţie. Axa de simetrie a unui corp omogen este întotdeauna una dintre principalele sale axe centrale de inerție.
Momente geometrice de inerție
Momentul geometric de inerție al volumului
J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)unde, ca înainte r- distanta fata de element dV la axa A .
Momentul geometric de inerție al ariei relativ la axă - o caracteristică geometrică a corpului, exprimată prin formula:
J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)unde integrarea se realizează pe suprafaţă S, A dS- element al acestei suprafeţe.
Dimensiune JSa- lungimea la a patra putere ( d i l J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (dim) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)) )), respectiv, unitatea de măsură SI este 4. În calcule de construcție, literatură și sortimente de metal laminat, este adesea indicat în cm 4.
Prin moment geometric Inerția zonei este exprimată prin momentul de rezistență al secțiunii:
W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)Aici rmax- distanta maxima de la suprafata la axa.
| Momentele geometrice de inerție ale zonei unor figuri | |
|---|---|
| Înălțimea dreptunghiului h (\displaystyle h)și lățimea b (\displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12)))
J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12))) |
| Secțiune cutie dreptunghiulară cu înălțime și lățime de-a lungul contururilor externe H (\displaystyle H)Și B (\displaystyle B), și pentru intern h (\displaystyle h)Și b (\displaystyle b) respectiv | J z = B H 3 12 - b h 3 12 = 1 12 (B H 3 - b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3)))
J y = H B 3 12 - h b 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^() 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3))) |
| Diametrul cercului d (\displaystyle d) | J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64))) |
Momentul de inerție față de plan
Moment de inerție solid relativ la un anumit plan, o mărime scalară se numește egală cu suma produselor masei fiecărui punct al corpului cu pătratul distanței de la acest punct la planul în cauză.
Dacă printr-un punct arbitrar O (\displaystyle O) desenați axele de coordonate x , y , z (\displaystyle x,y,z), apoi momentele de inerție relativ la planuri de coordonate x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)Și z O x (\displaystyle zOx) vor fi exprimate prin formulele:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\.)În cazul unui corp solid, însumarea este înlocuită de integrare.
Momentul central de inerție
Momentul central de inerție (moment de inerție față de punctul O, moment de inerție față de pol, moment polar de inerție) J O (\displaystyle J_(O)) este cantitatea determinată de expresia:
J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV,)Momentul central de inerție poate fi exprimat în termeni de momente de inerție axiale principale, precum și în termeni de momente de inerție față de plane:
J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \dreapta),) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)Tensor de inerție și elipsoid de inerție
Momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară care trece prin centrul de masă și are o direcție specificată de vectorul unitar s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x), s_(y), s_(z)\dreapta\Vert ^(T),\left\vert (\vec (s) )\dreapta\vert =1), poate fi reprezentat sub forma unei forme patratice (bilineare):
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)unde este tensorul de inerție. Matricea tensorului de inerție este simetrică și are dimensiuni 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)și constă din componente ale momentelor centrifuge:
Prin alegerea sistemului de coordonate adecvat, matricea tensorului de inerție poate fi redusă la formă diagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați problema cu valori proprii pentru matricea tensorială J ^ (\displaystyle (\pălărie (J))):
Unde Q ^ (\displaystyle (\pălărie (Q)))- matricea ortogonală de tranziție la baza proprie a tensorului de inerție. În baza corectă, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale ale tensorului de inerție și, de asemenea, coincid cu semiaxele principale ale elipsoidului tensorului de inerție. Cantitati J X , J Y , J Z (\displaystyle J_(X),J_(Y),J_(Z))- principalele momente de inerție. Expresia (1) în propriul sistem de coordonate are forma:
din care obţinem ecuaţia elipsoidului în coordonatele proprii. Împărțirea ambelor părți ale ecuației cu eu s (\displaystyle I_(s))
și efectuarea de înlocuiri:
ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y) ) \over (\sqrt (I_(s)))),\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))),)obţinem forma canonică a ecuaţiei elipsoidului în coordonate ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):
ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)Distanța de la centrul elipsoidului până la un anumit punct este legată de valoarea momentului de inerție al corpului de-a lungul unei drepte care trece prin centrul elipsoidului și acest punct.
Să introducem un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular O xy . Să considerăm o secțiune arbitrară în planul de coordonate ( zonă închisă) cu zona A (Fig. 1).
Momente statice
Punctul C cu coordonatele (x C , y C)
numit centrul de greutate al secțiunii.
Dacă axele de coordonate trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci momentele statice ale secțiunii sunt egale cu zero:
Momentele axiale de inerție secțiunile relativ la axele x și y se numesc integrale de forma:
Momentul polar de inerție secțiunea față de originea coordonatelor se numește integrală de forma:
Momentul de inerție centrifugal secțiunea se numește integrală de forma:
Principalele axe de inerție ale secțiunii se numesc două axe reciproc perpendiculare, raportate la care I xy = 0. Dacă una dintre axele reciproc perpendiculare este axa de simetrie a secțiunii, atunci I xy =0 și, prin urmare, aceste axe sunt principalele. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii principalele axe centrale de inerție ale secțiunii
2. Teorema Steiner-Huygens privind translația paralelă a axelor
Teorema lui Steiner-Huygens (teorema lui Steiner).
Momentul axial de inerție al secțiunii I față de o axă fixă arbitrară x este egal cu suma momentului de inerție axial al acestei secțiuni I cu axa relativă x * paralelă cu aceasta, care trece prin centrul de masă al secțiunii, iar produsul ariei secțiunii transversale A cu pătratul distanței d dintre cele două axe.
Dacă momentele de inerție I x și I y față de axele x și y sunt cunoscute, atunci în raport cu axele ν și u rotite cu un unghi α, momentele de inerție axiale și centrifuge sunt calculate folosind formulele:
Din formulele de mai sus reiese clar că
Acestea. suma momentelor de inerție axiale la rotirea axelor reciproc perpendiculare nu se modifică, adică axele u și v, față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero, iar momentele de inerție axiale I u și I v au extreme valorile max sau min, se numesc axele principale ale secțiunii. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale ale secțiunii. Pentru secțiunile simetrice, axele lor de simetrie sunt întotdeauna principalele axe centrale. Poziția axelor principale ale secțiunii față de alte axe este determinată folosind relația:
unde α 0 este unghiul cu care axele x și y trebuie rotite astfel încât să devină principalele (un unghi pozitiv este de obicei setat în sens invers acelor de ceasornic, un unghi negativ este setat în sensul acelor de ceasornic). Momentele axiale de inerție în jurul axelor principale se numesc principalele momente de inerție:
Semnul plus din fața celui de-al doilea termen se referă la momentul maxim de inerție, semnul minus la minim.