Suma unghiurilor unui triunghi- o temă importantă, dar destul de simplă, care se predă în clasa a VII-a la geometrie. Tema constă dintr-o teoremă, o scurtă demonstrație și mai multe consecințe logice. Cunoașterea acestei teme ajută la rezolvarea problemelor geometrice în studiul ulterioar al subiectului.

Teorema - care sunt unghiurile unui triunghi arbitrar pliat împreună?

Teorema spune - dacă luați orice triunghi, indiferent de tipul său, suma tuturor unghiurilor va fi invariabil de 180 de grade. Acest lucru se dovedește după cum urmează:

• de exemplu, luați triunghiul ABC, trageți o linie dreaptă prin punctul B situat în partea de sus și desemnați-l drept „a”, în timp ce linia dreaptă „a” este strict paralelă cu latura AC;
• între dreapta „a” și laturile AB și BC desemnează unghiurile, marcându-le cu numerele 1 și 2;
• unghiul 1 este recunoscut ca fiind egal cu unghiul A, iar unghiul 2 este egal cu unghiul C, deoarece aceste unghiuri sunt considerate a fi situate transversal;
• astfel, suma dintre unghiurile 1, 2 și 3 (care este indicată în locul unghiului B) este recunoscută ca fiind egală cu unghiul extins cu vârful B - și este de 180 de grade.

Dacă suma unghiurilor indicate de numere este de 180 de grade, atunci suma unghiurilor A, B și C este recunoscută ca fiind egală cu 180 de grade. Această regulă este valabilă pentru orice triunghi.

Ce rezultă din teorema geometrică

Se obișnuiește să se evidențieze mai multe corolare din teorema de mai sus.

• Dacă problema ia în considerare un triunghi cu un unghi drept, atunci unul dintre unghiurile sale va fi implicit de 90 de grade, iar suma unghiurilor acute va fi, de asemenea, de 90 de grade.
• Dacă vorbim despre un triunghi isoscel dreptunghic, atunci unghiurile sale acute, însumând 90 de grade, vor fi individual egale cu 45 de grade.
• Un triunghi echilateral este format din trei unghiuri egale, respectiv, fiecare dintre ele va fi egal cu 60 de grade, iar în total vor avea 180 de grade.
• Unghiul exterior al oricărui triunghi va fi egal cu suma dintre cele două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Putem deduce următoarea regulă - în oricare dintre triunghiuri există cel puțin două unghiuri ascuțite. În unele cazuri, triunghiul este format din trei unghiuri ascuțite, iar dacă sunt doar două, atunci al treilea unghi va fi obtuz sau drept.

Dovada

Lăsa ABC" este un triunghi arbitrar. Să trecem peste vârf B linie dreaptă paralelă cu linia dreaptă AC (o astfel de linie dreaptă se numește linie dreaptă euclidiană). Marcați un punct pe el D astfel încât punctele A și D stați pe părțile opuse ale unei linii drepte î.Hr.Unghiuri DBCși ACB egală ca culcare interioară în cruce, formată dintr-o secantă î.Hr cu linii paralele ACși BD. Prin urmare, suma unghiurilor unui triunghi la vârfuri Bși DIN egal cu unghiul ABD.Suma tuturor celor trei unghiuri ale unui triunghi este egală cu suma unghiurilor ABDși BAC. Deoarece aceste unghiuri sunt interne unilaterale pentru paralel ACși BD la secant AB, atunci suma lor este 180°. Teorema a fost demonstrată.

Consecințe

Din teoremă rezultă că orice triunghi are două unghiuri ascuțite. Într-adevăr, aplicând demonstrația prin contradicție, să presupunem că triunghiul are un singur unghi ascuțit sau nu are deloc unghiuri ascuțite. Atunci acest triunghi are cel puțin două unghiuri, fiecare dintre ele fiind de cel puțin 90°. Suma acestor unghiuri nu este mai mică de 180°. Dar acest lucru este imposibil, deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°. Q.E.D.

Generalizare la teoria simplex

Unde este unghiul dintre fețele i și j ale simplexului.

Note

• Pe o sferă, suma unghiurilor unui triunghi depășește întotdeauna 180 °, diferența se numește exces sferic și este proporțională cu aria triunghiului.
• În planul Lobachevsky, suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna mai mică de 180°. Diferența este, de asemenea, proporțională cu aria triunghiului.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Taylor
• Podul de jos al lebedelor

Vedeți ce este „Teorema despre suma unghiurilor unui triunghi” în alte dicționare:

Teorema sumei unghiului poligonului- Proprietatea poligoanelor în geometria euclidiană: Suma unghiurilor n ale unui poligon este 180°(n 2). Cuprins 1 Dovada 2 Observație ... Wikipedia

teorema lui Pitagora- Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relatia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Cuprins 1 ... Wikipedia

Aria unui triunghi

teorema lui Pitagora- Teorema lui Pitagora este una dintre teoremele fundamentale ale geometriei euclidiene, stabilind relatia dintre laturile unui triunghi dreptunghic. Cuprins 1 Afirmații 2 Dovezi ... Wikipedia

Teorema cosinusului- Teorema cosinusului este o generalizare a teoremei lui Pitagora. Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale sale fără a dubla produsul acestor laturi cu cosinusul unghiului dintre ele. Pentru un triunghi plat cu laturile a, b, c și unghiul α ... ... Wikipedia

Triunghi- Acest termen are alte semnificații, vezi Triunghi (sensuri). Un triunghi (în spațiul euclidian) este o figură geometrică formată din trei segmente de linie care leagă trei puncte neliniare. Trei puncte, ...... Wikipedia

Semne de egalitate a triunghiurilor- Notație standard Triunghiul este cel mai simplu poligon având 3 vârfuri (colțuri) și 3 laturi; o parte a unui plan delimitată de trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă și trei segmente de linie care leagă aceste puncte în perechi. Vârfurile unui triunghi... Wikipedia

Euclid- Matematician grec antic. A lucrat la Alexandria în secolul al III-lea. î.Hr e. Lucrarea principală „Începuturi” (15 cărți), care conține bazele matematicii antice, geometria elementară, teoria numerelor, teoria generală a relațiilor și o metodă pentru determinarea ariilor și volumelor, ... ... Dicţionar enciclopedic

EUCLID- (a murit între 275 și 270 î.Hr.) matematician antic grec. Informațiile despre momentul și locul nașterii sale nu au ajuns la noi, dar se știe că Euclid a trăit în Alexandria, iar perioada de glorie a activității sale cade în timpul domniei lui Ptolemeu I în Egipt ... ... Dicţionar enciclopedic mare

GEOMETRIE NEEUCLIDANĂ- geometrie asemănătoare cu geometria lui Euclid prin faptul că definește mișcarea figurilor, dar diferă de geometria euclidiană prin faptul că unul dintre cele cinci postulate ale sale (al doilea sau al cincilea) este înlocuit de negația sa. Negarea unuia dintre postulatele euclidiene ...... Enciclopedia Collier

Dovada:

• Este dat triunghiul ABC.
• Desenați o dreaptă DK prin vârful B paralel cu baza AC.
• \angle CBK= \angle C ca interior încrucișat cu paralel DK și AC și secant BC.
• \angle DBA = \angle A intern transversal situat la DK \parallel AC și secanta AB. Unghiul DBK este drept și egal cu
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Deoarece unghiul drept este 180 ^\circ , iar \angle CBK = \angle C și \angle DBA = \angle A , obținem 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Teoremă demonstrată

Consecințele teoremei asupra sumei unghiurilor unui triunghi:

1. Suma unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic este 90°.
2. Într-un triunghi dreptunghic isoscel, fiecare unghi ascuțit este 45°.
3. Într-un triunghi echilateral, fiecare unghi este 60°.
4. În orice triunghi, fie toate unghiurile sunt acute, fie două unghiuri sunt acute, iar al treilea este obtuz sau drept.
5. Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma a două unghiuri interioare care nu sunt adiacente acestuia.

Teorema unghiului exterior al triunghiului

Un unghi exterior al unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri rămase ale triunghiului care nu sunt adiacente acelui unghi exterior.

Dovada:

• Este dat triunghiul ABC, unde BCD este unghiul exterior.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Din egalități, unghiul \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Primim \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180 0 . Aceasta este una dintre axiomele fundamentale ale geometriei lui Euclid. Este această geometrie pe care elevii o studiază. Geometria este definită ca știința care studiază formele spațiale ale lumii reale.

Ce i-a determinat pe grecii antici să dezvolte geometria? Necesitatea de a măsura câmpuri, pajiști - zone ale suprafeței pământului. În același timp, grecii antici au acceptat că suprafața Pământului este orizontală, plată. Având în vedere această ipoteză, au fost create axiomele lui Euclid, inclusiv suma unghiurilor interioare ale unui triunghi la 180 0 .

O axiomă este o afirmație care nu necesită dovezi. Cum ar trebui să fie înțeles acest lucru? Se exprimă o dorință care se potrivește unei persoane și apoi este confirmată prin ilustrații. Dar tot ceea ce nu este dovedit este ficțiune, ceva care nu este în realitate.

Luând suprafața pământului orizontală, grecii antici și-au asumat automat forma Pământului ca fiind plată, dar este diferită - sferică. Nu există planuri orizontale și linii drepte în natură, deoarece gravitația îndoaie spațiul. Liniile drepte și planurile orizontale se găsesc doar în creierul capului uman.

Prin urmare, geometria lui Euclid, care explică formele spațiale ale unei lumi ficționale, este un simulacru - o copie care nu are un original.

Una dintre axiomele lui Euclid afirmă că suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180 0 . De fapt, într-un spațiu real curbat, sau pe suprafața sferică a Pământului, suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este întotdeauna mai mare de 180 0 .

Raționăm așa. Orice meridian de pe glob se intersectează cu ecuatorul la un unghi de 90 0 . Pentru a obține un triunghi, trebuie să mutați un alt meridian departe de meridian. Suma unghiurilor triunghiului dintre meridiane și latura ecuatorului va fi 180 0 . Dar tot va exista un unghi la stâlp. Ca rezultat, suma tuturor unghiurilor și va fi mai mare de 180 0.

Dacă laturile se intersectează la pol la un unghi de 90 0, atunci suma unghiurilor interioare ale unui astfel de triunghi va fi 270 0. Două meridiane care se intersectează cu ecuatorul în unghi drept în acest triunghi vor fi paralele între ele, iar la pol, intersectându-se între ele la un unghi de 90 0, vor deveni perpendiculare. Se dovedește că două drepte paralele de pe același plan nu numai că se intersectează, dar pot fi perpendiculare la pol.

Desigur, laturile unui astfel de triunghi nu vor fi linii drepte, ci convexe, repetând forma sferică a globului. Dar, doar o astfel de lume reală a spațiului.

Geometria spațiului real, ținând cont de curbura acestuia la mijlocul secolului al XIX-lea. dezvoltat de matematicianul german B. Riemann (1820-1866). Dar studenților nu li se spune despre asta.

Deci, geometria euclidiană, care ia forma unui Pământ plat cu o suprafață orizontală, ceea ce nu este de fapt cazul, este un simulacru. Nootic - Geometrie riemanniană care ține cont de curbura spațiului. Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi din el este mai mare decât 180 0 .

Secțiuni: Matematica

Prezentare . (Diapozitivul 1)

Tip de lecție: lecția de învățare a materialelor noi.

Obiectivele lecției:

• Educational:
  • luați în considerare teorema sumei unghiurilor triunghiulare,
  • arata aplicarea teoremei in rezolvarea problemelor.
• Educational:
  • promovarea unei atitudini pozitive a elevilor față de cunoaștere,
  • insufla încredere elevilor prin intermediul unei lecții.
• Educational:
  • dezvoltarea gândirii analitice,
  • dezvoltarea „abilităților de a învăța”: de a folosi cunoștințele, abilitățile și abilitățile în procesul educațional,
  • dezvoltarea gândirii logice, capacitatea de a-și articula clar gândurile.

Echipament: tablă interactivă, prezentare, carduri.

ÎN CURILE CURĂRILOR

I. Moment organizatoric

- Astăzi în lecție ne vom aminti definițiile triunghiurilor dreptunghic, isoscel, echilateral. Să repetăm ​​proprietățile unghiurilor triunghiurilor. Folosind proprietățile unghiurilor interne unilaterale și interne încrucișate, vom demonstra teorema privind suma unghiurilor unui triunghi și vom învăța cum să o aplicăm în rezolvarea problemelor.

II. Oral(Diapozitivul 2)

1) Găsiți triunghiuri dreptunghiulare, isoscele și echilaterale în figuri.
2) Definiți aceste triunghiuri.
3) Formulați proprietățile unghiurilor unui triunghi echilateral și isoscel.

4) În figura KE II NH. (diapozitivul 3)

– Specificați secante pentru aceste linii
– Găsiți unghiuri interne unilaterale, unghiuri interioare încrucișate, denumiți proprietățile lor

III. Explicarea noului material

Teorema. Suma unghiurilor unui triunghi este 180 o

Conform formulării teoremei, băieții construiesc un desen, notează condiția, concluzia. Răspunzând la întrebări, demonstrați independent teorema.

Dat: Dovedi:

Dovada:

1. Desenați o dreaptă BD II AC prin vârful B al triunghiului.
2. Specificați secante pentru drepte paralele.
3. Ce se poate spune despre unghiurile CBD și ACB? (fa un record)
4. Ce știm despre unghiurile CAB și ABD? (fa un record)
5. Înlocuiți unghiul CBD cu unghiul ACB
6. Faceți o concluzie.

IV. Termină oferta.(Diapozitivul 4)

1. Suma unghiurilor unui triunghi este ...
2. Într-un triunghi, unul dintre unghiuri este egal, celălalt, al treilea unghi al triunghiului este egal cu...
3. Suma unghiurilor acute ale unui triunghi dreptunghic este ...
4. Unghiurile unui triunghi dreptunghic isoscel sunt egale cu...
5. Unghiurile unui triunghi echilateral sunt egale...
6. Dacă unghiul dintre laturile unui triunghi isoscel este 1000, atunci unghiurile de la bază sunt ...

V. Un pic de istorie.(Diapozitive 5-7)

Demonstrarea teoremei privind suma unghiurilor unui triunghi „Suma interiorului unghiurile unui triunghi sunt egale cu două unghiuri drepte” atribuite lui Pitagora (580-500 î.Hr.)
Învățatul grec antic Proclus (410-485 d.Hr.),