Și pentru a o rezolva, aveți nevoie de cunoștințe minime despre subiect. Următorul an universitar se termină, toată lumea vrea să plece în vacanță, iar pentru a apropia acest moment, trec imediat la treabă:

Să începem cu zona. Zona la care se face referire în condiție este limitat închis set de puncte din plan. De exemplu, un set de puncte mărginite de un triunghi, inclusiv TOTUL triunghi (dacă de la frontiere„Scoate” cel puțin un punct, apoi zona nu va mai fi închisă). În practică, există și zone dreptunghiulare, rotunde și puțin mai multe forme complexe. Trebuie remarcat faptul că în teorie analiză matematică sunt date definiții stricte limitări, izolare, limite etc., dar cred că toată lumea este conștientă de aceste concepte la nivel intuitiv și nu este nevoie de mai mult acum.

Zona plată este desemnată standard cu litera , și, de regulă, este specificată analitic - prin mai multe ecuații (nu neapărat liniar); mai rar inegalități. O schimbare verbală tipică: „zonă închisă limitată de linii”.

O parte integrantă a sarcinii luate în considerare este construcția zonei pe desen. Cum să o facă? Este necesar să desenați toate liniile enumerate (în acest caz 3 Drept) și analizați ce s-a întâmplat. Zona dorită este de obicei ușor hașurată, iar marginea sa este evidențiată cu o linie îndrăzneață:


Aceeași zonă poate fi setată inegalități liniare: , care din anumite motive sunt scrise mai des ca o listă de enumerare, și nu sistem.
Deoarece granița aparține regiunii, atunci toate inegalitățile, desigur, nestrict.

Și acum miezul problemei. Imaginează-ți că axa merge direct la tine de la originea coordonatelor. Luați în considerare o funcție care continuu în fiecare punct de zonă. Graficul acestei funcții este suprafaţă, iar mica fericire este că, pentru a rezolva problema de astăzi, nu trebuie să știm deloc cum arată această suprafață. Poate fi situat deasupra, dedesubt, traversează avionul - toate acestea nu sunt importante. Și următorul lucru este important: conform teoreme Weierstrass, continuuîn limitat închis zonă, funcția atinge maximul (din „cel mai înalt”) si cel putin (din „cel mai jos”) valori de găsit. Aceste valori sunt atinse sauîn punctele staţionare, aparținând regiuniiD , sauîn punctele care se află la limita acestei regiuni. Din care urmează un algoritm de soluție simplu și transparent:

Exemplul 1

Într-o zonă închisă limitată

Soluţie: În primul rând, trebuie să descrii zona pe desen. Din păcate, din punct de vedere tehnic îmi este dificil să fac un model interactiv al problemei și, prin urmare, voi oferi imediat ilustrația finală, care arată toate punctele „suspecte” găsite în timpul studiului. De obicei, sunt puse jos una după alta pe măsură ce se găsesc:

Pe baza preambulului, decizia poate fi împărțită convenabil în două puncte:

I) Să găsim puncte staţionare. Aceasta este o acțiune standard pe care am efectuat-o în mod repetat în lecție. despre extrema mai multor variabile:

Punct staționar găsit aparține zone: (marcați-l pe desen), ceea ce înseamnă că ar trebui să calculăm valoarea funcției la un punct dat:

- ca in articol Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment, voi evidenția rezultatele importante cu caractere aldine. Într-un caiet, este convenabil să le încercuiești cu un creion.

Atenție la a doua noastră fericire - nu are rost să verificăm condiție suficientă pentru un extremum. De ce? Chiar dacă în punctul în care funcția ajunge, de exemplu, minim local , atunci aceasta NU ÎNSEMNĂ că valoarea rezultată va fi minimîn întreaga regiune (vezi începutul lecției despre extreme necondiționate) .

Ce se întâmplă dacă punctul staționar NU aparține zonei? Aproape nimic! Trebuie remarcat faptul că și treceți la paragraful următor.

II) Investigam granița regiunii.

Deoarece granița constă din laturile unui triunghi, este convenabil să împărțiți studiul în 3 paragrafe. Dar este mai bine să nu o faci oricum. Din punctul meu de vedere, este mai avantajos să luăm în considerare mai întâi segmentele paralele cu axele de coordonate, și, în primul rând, cei culcați pe topoare înșiși. Pentru a surprinde întreaga secvență și logica acțiunilor, încercați să studiați finalul „într-o singură respirație”:

1) Să ne ocupăm de partea inferioară a triunghiului. Pentru a face acest lucru, înlocuim direct în funcție:

Ca alternativă, puteți proceda astfel:

Geometric, asta înseamnă că plan de coordonate (care este dat și de ecuație)„decupat” din suprafete parabola „spațială”, al cărei vârf cade imediat sub suspiciune. Să aflăm unde este ea:

- valoarea rezultată „lovită” în zonă și poate fi că la punctul respectiv (marca pe desen) funcția atinge cea mai mare sau cea mai mică valoare din întreaga zonă. Oricum, hai să facem calculele:

Alți „candidați” sunt, desigur, capetele segmentului. Calculați valorile funcției în puncte (marca pe desen):

Aici, apropo, puteți efectua o mini-verificare orală a versiunii „dezbrăcate”:

2) Pentru a studia partea dreaptă a triunghiului, o înlocuim în funcție și „punem lucrurile în ordine acolo”:

Aici efectuăm imediat o verificare brută, „sunând” capătul deja procesat al segmentului:
, perfect.

Situația geometrică este legată de punctul anterior:

- valoarea rezultată a „intrat și în sfera intereselor noastre”, ceea ce înseamnă că trebuie să calculăm cu ce este egală funcția în punctul care a apărut:

Să examinăm al doilea capăt al segmentului:

Folosind funcția , sa verificam:

3) Probabil că toată lumea știe cum să exploreze partea rămasă. Înlocuim în funcție și efectuăm simplificări:

Se termină linia au fost deja investigate, dar pe proiect mai verificăm dacă am găsit corect funcția :
– a coincis cu rezultatul de la primul paragraf;
– a coincis cu rezultatul al doilea paragraf.

Rămâne să aflăm dacă există ceva interesant în interiorul segmentului:

- mânca! Înlocuind o linie dreaptă în ecuație, obținem ordonata acestui „interesant”:

Marcam un punct pe desen și găsim valoarea corespunzătoare a funcției:

Să controlăm calculele în funcție de versiunea „buget”. :
, Ordin.

Și pasul final: Uită-te cu ATENȚIE prin toate numerele „grase”, recomand chiar și începătorilor să facă o singură listă:

din care alegem cele mai mari si cele mai mici valori. Răspuns scrie în stilul problemei găsirii cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe interval:

Voi comenta din nou pentru orice eventualitate. sens geometric rezultat:
– aici este cel mai înalt punct al suprafeței din regiune ;
- aici este punctul cel mai de jos al suprafeței din zonă.

În problema analizată, am găsit 7 puncte „suspecte”, dar numărul acestora variază de la sarcină la sarcină. Pentru o regiune triunghiulară, „setul de explorare” minim constă în trei puncte. Acest lucru se întâmplă atunci când funcția, de exemplu, se setează avion– este destul de clar că nu există puncte staționare, iar funcția poate atinge maximul / cele mai mici valori numai la vârfurile triunghiului. Dar nu există astfel de exemple o dată, de două ori - de obicei trebuie să te confrunți cu un fel de suprafata de ordinul 2.

Dacă rezolvi puțin astfel de sarcini, atunci triunghiurile îți pot face capul să se învârtească și, prin urmare, am pregătit exemple neobișnuite pentru ca tu să-l faci pătrat :))

Exemplul 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă delimitate de linii

Exemplul 3

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă mărginită.

Acordați o atenție deosebită ordinii raționale și tehnicii de studiu a graniței zonei, precum și lanțului de verificări intermediare, care vor evita aproape complet erorile de calcul. În general, puteți rezolva așa cum doriți, dar în unele probleme, de exemplu, în același Exemplu 2, există toate șansele să vă complicați semnificativ viața. Un exemplu aproximativ de finalizare a sarcinilor la sfârșitul lecției.

Sistematizăm algoritmul de soluție, altfel, cu diligența mea de păianjen, s-a pierdut cumva într-un fir lung de comentarii ale primului exemplu:

- La primul pas, construim o zonă, este de dorit să o umbrim și să evidențiem chenarul cu o linie îndrăzneață. În timpul rezolvării, vor apărea puncte care trebuie puse pe desen.

– Găsiți puncte staționare și calculați valorile funcției numai în acelea, care apartin zonei . Valorile obținute sunt evidențiate în text (de exemplu, încercuite cu un creion). Dacă punctul staționar NU aparține zonei, atunci notăm acest fapt cu o pictogramă sau verbal. Dacă nu există deloc puncte staționare, atunci tragem o concluzie scrisă că acestea sunt absente. În orice caz, acest articol nu poate fi omis!

– Explorarea zonei de frontieră. În primul rând, este avantajos să se ocupe de linii drepte care sunt paralele cu axele de coordonate (Dacă există). Sunt evidențiate și valorile funcției calculate în punctele „suspecte”. S-au spus multe despre tehnica soluției de mai sus și altceva se va spune mai jos - citiți, recitiți, aprofundați!

- Din numerele selectate, selectați cele mai mari și cele mai mici valori și dați un răspuns. Uneori se întâmplă ca funcția să atingă astfel de valori în mai multe puncte deodată - în acest caz, toate aceste puncte ar trebui să fie reflectate în răspuns. Să, de exemplu, și s-a dovedit că aceasta este cea mai mică valoare. Apoi scriem asta

Exemplele finale sunt dedicate altor idei utile care vor fi utile în practică:

Exemplul 4

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă .

Am păstrat formularea autorului, în care aria este dată ca o dublă inegalitate. Această condiție poate fi scrisă într-un sistem echivalent sau într-o formă mai tradițională pentru această problemă:

Vă reamintesc că cu neliniară am întâlnit inegalități pe , iar dacă nu înțelegeți semnificația geometrică a intrării, atunci vă rugăm să nu amânați și să clarificați situația chiar acum ;-)

Soluţie, ca întotdeauna, începe cu construcția zonei, care este un fel de „talpă”:

Hmm, uneori trebuie să roade nu numai granitul științei....

I) Găsiți puncte staționare:

Sistemul de vis al idiotului :)

Punctul staționar aparține regiunii, și anume, se află la limita sa.

Și așa, nu este nimic... lecția distractivă a mers - asta înseamnă să bei ceaiul potrivit =)

II) Investigam granița regiunii. Fără alte prelungiri, să începem cu axa x:

1) Dacă , atunci

Aflați unde este vârful parabolei:
- Apreciați astfel de momente - „loviți” până la obiect, din care totul este deja clar. Dar nu uitați să verificați:

Să calculăm valorile funcției la capetele segmentului:

2) Ne vom ocupa de partea inferioară a „tălpii” „într-o singură ședință” - fără complexe, o înlocuim în funcție, în plus, ne va interesa doar segmentul:

Control:

Acum, acest lucru aduce deja o oarecare revigorare călătoriei monotone pe o pistă moletă. Să găsim punctele critice:

Noi decidem ecuație pătratică iti amintesti de asta? ... Totuși, amintiți-vă, desigur, altfel nu ați citi aceste rânduri =) Dacă în cele două exemple anterioare calculele ar fi convenabile în fracții zecimale(ceea ce, apropo, este rar), atunci aici așteptăm fracțiile obișnuite. Găsim rădăcinile „x” și, folosind ecuația, determinăm coordonatele „joc” corespunzătoare punctelor „candidate”:


Să calculăm valorile funcției în punctele găsite:

Verificați singur funcția.

Acum studiem cu atenție trofeele câștigate și notăm Răspuns:

Iată „candidații”, deci „candidații”!

Pentru solutie independenta:

Exemplul 5

Găsiți cel mai mic și cea mai mare valoare funcții într-o zonă închisă

O intrare cu acolade arată astfel: „un set de puncte astfel încât”.

Uneori în exemple similare utilizare Metoda multiplicatorului Lagrange, dar nevoia reală de a-l folosi este puțin probabil să apară. Deci, de exemplu, dacă este dată o funcție cu aceeași zonă "de", atunci după substituție în ea - cu o derivată fără dificultăți; în plus, totul este întocmit într-o „o singură linie” (cu semne) fără a fi nevoie să se ia în considerare separat semicercurile superioare și inferioare. Dar, desigur, sunt mai multe cazuri dificile, unde fără funcția Lagrange (unde, de exemplu, este aceeași ecuație de cerc) e greu să te descurci – cât de greu este să te descurci fără o odihnă bună!

Toate cele bune pentru a trece de sesiune și ne vedem în curând în sezonul viitor!

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluţie: desenați zona pe desen:

Definiția 1.11 Să fie dată o funcție a două variabile z=z(x,y), (x,y) D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 ) - punctul intern al zonei D .

Dacă în D există un astfel de cartier UM 0 puncte M 0 , care pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punctul maxim local. Dar sensul în sine z(M 0 ) - maxim local.

Dar dacă pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punctul minim local al funcției z(x,y) . Dar sensul în sine z(M 0 ) - minim local.

Maximul local și minimul local se numesc extreme locale ale funcției z(x,y) . Pe fig. 1.4 explică semnificația geometrică a maximului local: M 0 este punctul maxim, deoarece la suprafață z=z(x,y) punctul său corespunzător C 0 este deasupra oricărui punct vecin C (aceasta este localitatea maximului).

Rețineți că există puncte pe suprafață în ansamblu (de exemplu, ÎN ) care sunt deasupra C 0 , dar aceste puncte (de exemplu, ÎN ) nu sunt „adiacente” punctului C 0 .

În special, punctul ÎN corespunde conceptului de maxim global:

Minimul global este definit în mod similar:

Găsirea maximelor și minimelor globale va fi discutată în Secțiunea 1.10.

Teorema 1.3 ( conditiile necesare extremum).

Lasă funcția z =z (x, y), (x, y) D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 D - punctul extremum local.

Dacă în acest moment există z" X Și z" y , apoi

Dovada geometrică este „evidentă”. Dacă la punct C 0 pe (Fig. 1.4) pentru a desena un plan tangent, atunci acesta va trece „în mod natural” pe orizontală, adică într-un unghi 0° la axa Oh si la axa OU .

Apoi, în conformitate cu semnificația geometrică a derivatelor parțiale (Fig. 1.3):

Q.E.D.

Definiția 1.12.

Dacă la punct M 0 sunt îndeplinite condițiile (1.41), atunci se numește punct staționar al funcției z (x,y) .

Teorema 1.4 (condiții suficiente pentru un extremum).

Lăsa z =z (x, y), (x, y) D , care are derivate parțiale de ordinul doi într-o vecinătate a punctului M 0 (X 0 ,y 0 ) D . Și M 0 - punct staționar (adică sunt îndeplinite condițiile necesare (1.41). Să calculăm:

Demonstrarea teoremei folosește subiecte (formula lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile și teoria formelor pătratice) care nu sunt tratate în acest tutorial.

Exemplul 1.13.

Explorați până la extrem:

1. Găsiți puncte staționare prin rezolvarea sistemului (1.41):

adică se găsesc patru puncte staţionare. 2.

prin teorema 1.4 la un punct este un minim. Și

prin teorema 1.4 la punctul

Maxim. Și

§10 Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă

Teorema 1.5 Fie într-un domeniu închis D funcția este dată z=z(x,y) , care are derivate parțiale continue de ordinul întâi. Frontieră G zone D este netedă pe bucăți (adică constă din bucăți de curbe sau linii drepte „netede la atingere”). Apoi în zonă D funcţie z(x,y) atinge cel mai înalt nivel M si cel putin m valorile.

Fără dovezi.

Puteți sugera următorul plan de găsire M Și m . 1. Construim un desen, selectăm toate părțile marginii zonei D și găsiți toate punctele de „colț” ale graniței. 2. Găsiți puncte staționare în interior D . 3. Găsiți puncte staționare pe fiecare dintre granițe. 4. Calculăm la toate punctele staționare și de colț, apoi alegem cel mai mare M si cel putin m valorile.

Exemplul 1.14 Găsiți cel mai mare M si cel putin m valorile funcției z = 4x2-2xy+y2-8x într-o zonă închisă D , limitat: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Să construim zona D (Fig. 1.5) pe plan Ohu .

Puncte de colț: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Frontieră G zone D constă din trei părți:

2. Găsiți puncte staționare în interiorul zonei D :

3. Puncte staţionare pe limite l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Calculați șase valori:

Din cele șase valori obținute, o alegem pe cea mai mare și pe cea mai mică.

Valori maxime și minime

O funcție delimitată într-o regiune închisă mărginită își atinge valorile maxime și minime fie în puncte staționare, fie în puncte situate la limita regiunii.

Pentru a găsi cele mai mari sau mai mici valori ale unei funcții, trebuie să:

1. Găsiți puncte staționare care se află în interiorul regiunii date și calculați valoarea funcției din ele.

2. Găsiți cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției la limita regiunii.

3. Comparați toate valorile obținute ale funcției: cea mai mare (mai mică) și va fi cea mai mare (mai mică) valoare a funcției din zona dată.

Exemplul 2. Găsiți cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției: într-un cerc.

Soluţie.

punctul este staționar; .

2 . Limita acestei zone închise este un cerc sau , unde .

Funcția de la limita regiunii devine o funcție a unei variabile: , unde . Să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții.

Pentru x=0 ; (0,-3) și (0,3) sunt puncte critice.

Calculați valorile funcției la capetele segmentului

3 . Comparând valorile, obținem

În punctele A și B.

În punctele C și D.

Exemplul 3 Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției în zona închisă dată de inegalitatea:

Soluţie. Aria este un triunghi mărginit de axele de coordonate și de dreapta x+y=1.

1. Găsiți puncte staționare în interiorul zonei:

; ; y \u003d - 1/ 8; x = 1/8.

Punctul staționar nu aparține zonei luate în considerare, deci valoarea lui z în el nu este calculată.

2 .Investigați funcția pe graniță. Deoarece granița constă din trei secțiuni descrise de trei ecuații diferite, studiem funcția pe fiecare secțiune separat:

dar) în secţiunea 0A: y=0 - ecuaţia 0A, atunci ; din ecuaţie rezultă clar că funcţia creşte cu 0A de la 0 la 1. Prin urmare .

b) în secţiunea 0B: x=0 - ecuaţia 0B, atunci ; –6y+1=0; - punct critic.

în) pe linia x+y = 1: y=1-x, atunci obținem funcția

Să calculăm valoarea funcției z în punctul B(0,1).

3 .Comparând numerele obținem asta

Pe linia dreaptă AB.

La punctul B.

Teste pentru autocontrolul cunoștințelor.

unu . Extremul funcției este

a) derivatele sale de ordinul întâi

b) ecuaţia acesteia

c) programul ei

d) maximul sau minimul acestuia

2. Extremul unei funcții de mai multe variabile poate fi atins:

a) numai în punctele care se află în domeniul său de definiție, în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mari decât zero

b) numai în punctele care se află în domeniul său de definiție, la care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mici decât zero

c) numai în punctele aflate în interiorul domeniului său de definiție, la care toate derivatele parțiale de ordinul întâi nu sunt egale cu zero

d) numai în punctele care se află în domeniul său de definiție, la care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero

3. O funcție care este continuă într-o zonă închisă mărginită își atinge valorile maxime și minime:

a) în punctele staţionare

b) fie în puncte staționare, fie în puncte situate la limita regiunii

c) în punctele situate la limita regiunii

d) în toate punctele

4. Punctele staționare pentru o funcție a mai multor variabile se numesc puncte:

a) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi nu sunt egale cu zero

b) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mari decât zero

c) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero

d) în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt mai mici decât zero

Cursul 28 Extremum condiționat al funcțiilor mai multor variabile.

Studiul funcțiilor multor variabile pentru un extremum este o procedură mult mai complicată decât o procedură similară pentru funcțiile unei variabile. Prin urmare, ne limităm să luăm în considerare această problemă pe cel mai simplu și mai ilustrativ exemplu de funcție a două variabile (vezi Fig. 1). Aici M1(x1; y 1), M2(x2; y2), M3(x 3 ; y 3) sunt punctele extreme ale acestei funcții. Și anume punctele M 1Și M 3 - punctele minime ale funcției și punctul M 2 este punctul său maxim. Figura 1 prezintă o funcție cu trei puncte extreme, dar aceste puncte, desigur, pot fi mai mult sau mai puțin.

Să definim mai precis ce sunt punctele extreme pentru o funcție a două variabile.

Definiție. Funcția are maxim(minim) într-un punct, dacă pentru orice punct situat într-un anumit cartier - o vecinătate a punctului, (). - vecinătatea poate fi reprezentată printr-o mulţime de puncte ale căror coordonate satisfac condiţia , unde este un număr pozitiv suficient de mic.

Se numesc maximele și minimele unei funcții extreme, dar - punct extrem.

Lasa M0(x 0 ; y 0) este un punct al unui extremum (punct maxim sau punct minim) al funcției . Apoi

Teorema 1.

Dacă în punctul extrem M0(x 0 ; y 0) există derivate parțiale Și , atunci ambele sunt egale cu zero:

2) Luați în considerare acum funcția . pentru că este valoarea extremă a acestei funcții, apoi derivata acestei funcții la y = y0, dacă există, este egal cu zero:

(3)

Teorema a fost demonstrată.

Rețineți că condițiile (1) sunt numai necesar condiții extreme la punctul respectiv M0(x 0 ; y 0) a funcției diferențiabile în acest punct. Adică aceste condiții nu sunt conditii suficiente ce este la punct M0(x 0 ; y 0) funcția va avea un extremum (maxim sau minim). Cu alte cuvinte, punct M0(x 0 ; y 0), în care ambele egalități (1) sunt valabile, este doar suspect până la punctul extrem pentru funcția . Concluzia finală despre natura unui astfel de punct extremum suspect poate fi făcută folosind următoarea teoremă (o prezentăm fără derivare):

Teorema 2.(Condiții suficiente pentru un extremum)

Lasa M0(x 0 ; y 0) este un astfel de punct din regiune D determinând funcţia că sunt îndeplinite pentru aceasta condiţiile necesare (1) pentru extremul acestei funcţii. i.e M0(x 0 ; y 0) este un punct suspect pentru un extremum. Să găsim numere în acest moment

(4)

1) Dacă > 0 și > 0 (sau С>0 la A=0), apoi M0(x 0 ; y 0) – punct minim al funcției .

2) Dacă > 0 și < 0 (sau DIN<0 la A=0), apoi M0(x 0 ; y 0) – funcția punct maxim .

3) Dacă < 0 apoi punct M0(x 0 ; y 0) – nu extremul funcției .

4) Dacă = 0, întrebarea rămâne deschisă - sunt necesare cercetări suplimentare.

Exemplul 1 Lasa XȘi la- cantitatea de două bunuri produsă; p 1 = 8 frecați. Și p 2 = 10 freci. - preţul unitar al fiecăruia dintre aceste bunuri, respectiv; C= 0,01(x 2 + xy + y 2) este o funcție a costurilor (în ruble) pentru producția acestor bunuri. Apoi venituri R din vânzarea mărfurilor vor fi R = 8x+10y(frec.), și profit P va fi (în ruble)

P \u003d R - C \u003d 8x + 10y- 0,01(x2+xy+y2).

Să găsim volume XȘi la bunuri pentru care profitul P va fi maxim.

1) Mai întâi, găsiți valorile ( X y), suspect de un extremum pentru funcție P:

2) Acum examinăm suspectul găsit pentru extremul pentru funcție P punct M 0(200; 400). Pentru a face acest lucru, găsim în acest moment valorile determinate de expresiile (4). pentru că

iar acest lucru este valabil pentru orice X; la), și, prin urmare, și la punct M 0(200; 400), atunci

De la un punct M 0(200; 400) – punctul maxim al funcției P. Asta este profitul P din vânzări va fi maxim la x = 200(unitate)Și y= 400(unitate)și este egal cu 2800 de ruble.

Exemplul 2 Găsiți puncte extreme și valori extreme ale unei funcții

Soluţie. Această funcție este o funcție a două variabile definite pentru oricare XȘi la, adică pe întregul avion cum, și având derivate parțiale de ordinul întâi în fiecare dintre punctele sale:

Mai întâi, găsiți punctele avionului cum, suspect pentru un extremum pentru această funcție:

Apoi, după ce au găsit derivatele parțiale de ordinul doi ale funcției, scriem expresiile pentru:

Calculând acum valorile numerice ale acestor mărimi pentru fiecare dintre cele patru puncte suspecte de un extrem, obținem următoarele concluzii despre aceste puncte:

Punct min.

Punct max.

Nu este un punct extrem.

Nu este un punct extrem.

Acum să găsim două valori extreme (maxime) ale funcției care determină înălțimea celor două vârfuri ale graficului acestei funcții:

Determinarea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o zonă închisă.

Luați în considerare următoarea problemă. Fie o funcție continuă a două variabile considerate într-un domeniu închis, unde este interiorul domeniului și G- marginea acestuia (Fig. 8.6).

Faptul că funcția este continuă în domeniu înseamnă că graficul acestei funcții (o suprafață în spațiu) este o suprafață continuă (fără discontinuități) pentru toate . Adică, conceptul de continuitate a unei funcții a două variabile este similar cu conceptul de continuitate a unei funcții a unei variabile. Ca și funcțiile unei variabile, funcțiile a două variabile formate din funcții elementare sunt continue pentru toate valorile argumentelor lor pentru care sunt definite. Acest lucru se aplică și funcțiilor de trei, patru sau mai multe variabile.

Să revenim la fig. 2. Să ne punem următoarea întrebare: în ce puncte ale regiunii funcția își atinge valorile maxime și minime z cele mai multeȘi z nume? Și care sunt aceste valori? Rețineți că această problemă este similară cu cea care a fost luată în considerare pentru o funcție a unei variabile luate în considerare pe un interval închis [ A; b] axa Oh.

Este evident că punctele dorite ale regiunii, în care funcția își atinge valorile maxime și minime, fie sunt printre punctele extreme ale acestei funcții, situate în interiorul regiunii (în regiune), fie sunt situate undeva la graniță. G aceasta zona. Într-o regiune închisă, astfel de puncte există cu siguranță (teorema Weierstrass). Și într-o zonă deschisă (fără graniță G) este posibil ca astfel de puncte să nu existe.

Din cele de mai sus rezultă următoarele. schema de găsire a acestor puncte, similar cu cel care a fost declarat pentru funcțiile unei variabile.

1. Găsim toate punctele funcției suspecte pentru extremum situate în zonă D. Acestea sunt punctele în care ambele derivate parțiale și sunt egale cu zero (fie una este egală cu zero, iar cealaltă nu există; fie ambele nu există).

2. Găsim toate punctele extreme suspecte ale funcției situate la graniță G zone. În acest caz, folosim ecuația la graniță G.

3. Fără a examina punctele suspecte găsite la punctele 1 și 2 (acest lucru este redundant), găsim valorile funcției în toate punctele suspecte găsite și le selectăm pe cele în care z va fi cel mai mare și cel mai mic.

Exemplul 3 A găsi z cele mai multeȘi z nume funcție considerată într-o zonă închisă, care este o placă triunghiulară cu vârfuri O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1) (Fig. 3).

Soluţie. Să facem diagrama de mai sus.

1. Găsiți în interiorul triunghiului (în zonă D) puncte suspectate a fi un extremum pentru funcția noastră z. Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi derivatele parțiale de ordinul întâi și:

Aceste derivate există (pot fi calculate) pentru oricare (X y). În consecință, numai acele puncte pentru care ambele derivate parțiale sunt egale cu zero vor fi puncte suspecte de un extremum:

Punctul aparține, evident, zonei D(triunghiul luat în considerare). Adică, este un punct extremum suspect pentru o funcție dată zîn interiorul triunghiului și este singurul de acolo.

2. Să găsim acum punctele care sunt suspecte de un extremum la granița triunghiului.

a) Mai întâi examinăm site-ul OA frontiere ( la= 0; 0 £ X 1 lire sterline). Pe această secțiune este o funcție a unei variabile X. Derivatul său există pentru toți XО . Prin urmare, funcția z poate avea fie în punctul în care , adică în punctul , fie la capetele segmentului OA, adică la puncte DESPRE(0; 0) și DAR(1; 0).

b) Acum explorăm site-ul OV chenarele triunghiulare (acolo X= 0; 0 £ la 1 lire sterline). Pe acest segment, funcția (0 £ la£ 1) este o funcție a unei variabile la. Repetând raționamentul paragrafului (a), ajungem la concluzia că valorile sale extreme ale funcției z poate avea fie la punctul sau la capetele segmentului OV, adică la puncte DESPRE(0; 0) și B(0; 1).

c) În cele din urmă, explorați site-ul AB frontiere. De atunci AB(asigură-te de asta) y = - x + 1 (0 £ X£ 1), apoi acolo funcția z ia forma: (0 £ X 1 lire sterline). Derivatul său este, prin urmare, funcția sa de valori extreme z poate ajunge numai în punctul în care , adică în punctul , sau la capetele segmentului AB, adică la puncte DARȘi ÎN.

Deci, setul complet de puncte extreme suspecte ale funcției
într-un triunghi OAB este:

; ; ; ; ; ; .

3. Acum să găsim valorile funcției zîn toate punctele suspecte găsite și alegeți dintre aceste valori cea mai mare valoare z cele mai multeși cea mai mică valoare z nume:

În acest fel, z max = 3 și se realizează prin funcție zîntr-un triunghi OABîn două puncte deodată - la vârfurile sale DARȘi ÎN. Și și se realizează prin funcție zîntr-un triunghi OABîn punctul său interior.

Exemplul 4 Bugetul orașului are posibilitatea de a cheltui nu mai mult de 600 de milioane de ruble pe locuințe sociale, având în același timp proiecte și terenuri pentru 10 case cu cinci etaje cu 90 de apartamente fiecare și pentru 8 case cu nouă etaje cu 120 de apartamente fiecare. Costul mediu estimat al unui apartament într-o clădire cu cinci etaje este de 400 de mii de ruble, iar într-o clădire cu nouă etaje 500 de mii de ruble. Câte clădiri cu cinci etaje și câte nouă etaje ar trebui să construiască orașul pentru a obține numărul maxim de apartamente?

Soluţie. Lasa X- numărul dorit de case cu cinci etaje, y - cu nouă etaje și z- numărul total de apartamente din aceste clădiri:

z= 90x + 120y

Costul tuturor apartamentelor din clădiri cu cinci etaje va fi de 90 × 0,4 X = 36X milioane de ruble, iar în clădiri cu nouă etaje 120 × 0,5 la = 60la milioane de ruble. În funcție de condițiile problemei, avem:

0 £ X 10 GBP; 0 £ la 8 GBP; 36 X + 60la 600 GBP

Aceste inegalități restrictive sunt în mod evident satisfăcute în pentagon (Fig. 4). În această zonă închisă, trebuie să găsiți un punct M(x; y), pentru care funcția z= 90x + 120y capătă cea mai mare valoare z cele mai multe.

Implementăm schema de mai sus pentru a rezolva astfel de probleme.

1. Găsiți puncte din interiorul pentagonului care sunt suspecte de un extremum pentru funcție z. pentru că , iar aceste derivate parțiale nu sunt în mod evident egale cu zero, atunci nu există puncte în interiorul pentagonului suspecte pentru un extremum.

2. Să găsim punctele suspecte pentru un extremum la granițele pentagonului. Pe fiecare dintre cele cinci segmente care alcătuiesc limita pentagonului, funcția z este o funcție liniară a formei z = ax + byși, în consecință, își atinge valorile maxime și minime la limitele segmentelor. Adică valoarea maximă dorită z cele mai multe funcţie z ajunge la unul dintre punctele de colț (O; A; M1; M2; B). Calcularea valorii zîn aceste puncte, obținem:

z(DESPRE) = 0; z( A) = 960; z( M1) = 1260; z( M2) = 1380; z( B) = 900.

În acest fel z naimb= 1380 și se ajunge la punctul M2(10; 4). Adică, cel mai mare număr de apartamente (1380) se va obține dacă se construiesc 10 case cu cinci etaje și 4 case cu nouă etaje.

Exemplul 5. Demonstrați că dintre toate triunghiurile cu un perimetru dat 2p, triunghiul echilateral are cea mai mare arie M(2p/3, 2p/3), deoarece punctele rămase nu satisfac sensul problemei: nu poate exista un triunghi a cărui latură să fie egală cu jumătate din perimetru.

Investigați punctul extremum M(2p/3, 2p/3):

∂ 2 f/∂x 2 = -2p(p-y); ∂ 2 f/∂x∂y = p(2x+2y-3p); ∂ 2 f/∂y 2 = -2p(p-x);

D=AC-B2 =;

D>0, și de când DAR<0 , atunci funcția atinge maximul în punctul studiat. Deci, într-un singur punct staționar, funcția atinge maximul său, și deci cea mai mare valoare; astfel, când x=2p/3, y=2p/3 funcția își atinge valoarea maximă. Dar apoi z=2p-x-y=2p/3. Și de când x=y=z, atunci triunghiul este echilateral.

Fie funcția y=f(x) continuă pe segmentul . După cum se știe, o astfel de funcție atinge maximul. și denumirea valorile. Funcția poate lua aceste valori fie în punctul interior al segmentului, fie la limita segmentului, adică. cu =a sau =b. Dacă , atunci punctul ar trebui căutat printre punctele critice ale funcției date.

Obținem următoarea regulă pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe:

1) găsiți punctele critice ale funcției pe intervalul (a,b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică în punctele x=a și x=b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Note:

1. Dacă funcția y=f(x) de pe segment are un singur punct critic și este punctul maxim (minim), atunci în acest punct funcția ia cea mai mare (cea mai mică) valoare.

2. Dacă funcția y=f(x) pe un segment nu are puncte critice, atunci aceasta înseamnă că funcția este monoton crescător sau descrescător pe acesta. În consecință, funcția ia cea mai mare valoare (M) la un capăt al segmentului și cea mai mică (m) la celălalt.

60. Numere complexe. formule Moivre.
număr complex Nume o expresie de forma z = x + iy, unde x și y sunt numere reale, iar i este așa-numitul. unitate imaginară, . Dacă x=0, atunci se numește numărul 0+iy=iy. număr imaginar; daca y=0, atunci numarul x+i0=x este identificat cu numarul real x, ceea ce inseamna ca multimea R a tuturor este valabila. numere yavl. o submulțime a mulțimii C a tuturor numerelor complexe, adică . Număr x nume. parte reală a lui z, . Două numere complexe și sunt numite egale (z1=z2) dacă și numai dacă părțile lor reale sunt egale și părțile lor imaginare sunt egale: x1=x2, y1=y2. În special, numărul complex Z=x+iy este egal cu zero dacă și numai dacă x=y=0. Conceptele de „mai mare decât” și „mai puțin decât” pentru numerele complexe nu sunt introduse. Două numere complexe z=x+iy și , care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Orice număr complex z = x + iy poate fi reprezentat printr-un punct M(x,y) al planului Oxy astfel încât x=Re z, y=Im z. În schimb, fiecare punct M(x;y) al planului de coordonate poate fi considerat ca imaginea unui număr complex z = x + iy. Planul pe care sunt reprezentate numerele complexe se numește plan complex, deoarece numerele reale z = x + 0i = x se află pe el. Axa y se numește axa imaginară, deoarece numerele complexe pur imaginare z = 0 + iy se află pe ea. Numărul complex Z=x+iy poate fi specificat folosind vectorul rază r=OM=(x,y). Lungimea unui vector r reprezentând un număr complex z se numește modulul acestui număr și se notează cu |z| sau r. Unghiul dintre pozitiv Direcția axei reale și a vectorului r care reprezintă un număr complex se numește argumentul acestui număr complex, notat cu Arg z sau . Argumentul numărului complex Z=0 este nedefinit. Argumentul unui număr complex este o valoare cu mai multe valori și se determină până la termenul în care arg z este valoarea principală a argumentului conținut în intervalul (), i.e. - (uneori valoarea aparținând intervalului (0; ) este luată ca valoare principală a argumentului).

Scrierea numărului z sub forma z=x+iy se numește forma algebrică a unui număr complex.

Operații pe numere complexe

Plus. Suma a două numere complexe z1=x1+iy1 și z2=x2+iy2 este un număr complex definit de egalitatea: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Adunarea numerelor complexe are proprietăți comutative și asociative: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Scădere. Scăderea este definită ca inversul adunării. Diferența numerelor complexe z1 și z2 este un astfel de număr complex z, care, adăugat la z2, dă numărul z1, adică. z=z1-z2 dacă z+z2=z1. Dacă z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, atunci este ușor să obțineți z din această definiție: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Multiplicare. Produsul numerelor complexe z1=x1+iy1 și z2=x2+iy2 este numărul complex definit de egalitatea z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). De aici, în special, rezultă: . Dacă numerele sunt date sub formă trigonometrică: .

Când numerele complexe sunt înmulțite, modulele lor sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate. Formula De Moivre(dacă există n factori și toți sunt la fel): .