Am aflat că comportamentul funcțiilor trigonometrice și funcțiile y = sin x în special, pe întreaga linie numerică (sau pentru toate valorile argumentului X) este complet determinată de comportamentul său în interval 0 < X < π / 2 .

Prin urmare, în primul rând, vom reprezenta grafic funcția y = sin x exact in acest interval.

Să facem următorul tabel de valori ale funcției noastre;

Prin marcarea punctelor corespunzătoare pe planul de coordonate și conectându-le cu o linie netedă, obținem curba prezentată în figură

Curba rezultată ar putea fi, de asemenea, construită geometric fără a compila un tabel cu valorile funcției y = sin x .

1. Primul sfert de cerc cu raza 1 este împărțit în 8 părți egale.Ordinele punctelor de împărțire ale cercului sunt sinusurile unghiurilor corespunzătoare.

2. Primul sfert de cerc corespunde unghiurilor de la 0 la π / 2 . Prin urmare, pe axă X Luați un segment și împărțiți-l în 8 părți egale.

3.Să desenăm linii drepte paralele cu axa X, iar din punctele de împărțire restabilim perpendicularele la intersecția cu liniile orizontale.

4. Conectați punctele de intersecție cu o linie netedă.

Acum să ne uităm la interval π / 2 < X < π .
Fiecare valoare de argument X din acest interval poate fi reprezentat ca

X = π / 2 + φ

Unde 0 < φ < π / 2 . Conform formulelor de reducere

păcat( π / 2 + φ ) = cos φ = păcat ( π / 2 - φ ).

Punctele axei X cu abscisă π / 2 + φ și π / 2 - φ simetrice între ele în jurul punctului axei X cu abscisă π / 2 , iar sinusurile din aceste puncte sunt aceleași. Acest lucru vă permite să obțineți un grafic al funcției y = sin x în intervalul [ π / 2 , π ] prin simpla afișare simetrică a graficului acestei funcții în intervalul relativ la linia dreaptă X = π / 2 .

Acum folosind proprietatea funcţie impară y \u003d sin x,

păcat(- X) = -sin X,

este ușor să reprezentați această funcție în intervalul [- π , 0].

Funcția y \u003d sin x este periodică cu o perioadă de 2π ;. Prin urmare, pentru a construi întregul grafic al acestei funcții, este suficient să continuați periodic curba prezentată în figură la stânga și la dreapta cu o perioadă 2π .

Curba rezultată se numește sinusoid . Este graficul funcției y = sin x.

Figura ilustrează bine toate acele proprietăți ale funcției y = sin x , care au fost anterior dovedite de noi. Amintiți-vă aceste proprietăți.

1) Funcție y = sin x definit pentru toate valorile X , astfel încât domeniul său este mulțimea tuturor numerelor reale.

2) Funcția y = sin x limitat. Toate valorile necesare sunt între -1 și 1, inclusiv acele două numere. Prin urmare, domeniul acestei funcții este determinat de inegalitatea -1 < la < 1. Când X = π / 2 + 2k π funcția ia cele mai mari valori egale cu 1, iar pentru x = - π / 2 + 2k π - cele mai mici valori egale cu - 1.

3) Funcția y = sin x este impar (sinusoida este simetrică față de origine).

4) Funcția y = sin x periodic cu perioada 2 π .

5) În intervalele 2n π < X < π + 2n π (n este orice număr întreg) este pozitiv și în intervale π + 2k π < X < 2π + 2k π (k este orice număr întreg) este negativ. Pentru x = k π funcția ajunge la zero. Prin urmare, aceste valori ale argumentului x (0; ± π ; ±2 π ; ...) se numesc zerouri ale funcției y = sinx

6) În intervale - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funcţie y = sin X creste monoton, si in intervale π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π scade monoton.

Acordați o atenție deosebită comportamentului funcției y = sinx aproape de punct X = 0 .

De exemplu, sin 0,012 ≈ 0,012; păcat (-0,05) ≈ -0,05;

sin2° = sin π 2 / 180=sin π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că pentru orice valoare a lui x

| păcat X| < | x | . (1)

Într-adevăr, să fie raza cercului prezentat în figură egală cu 1,
A / AOB = X.

Apoi păcatul X= AC. Dar AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Lungimea acestui arc este evident egală cu X, deoarece raza cercului este 1. Deci, pentru 0< X < π / 2

sin x< х.

Prin urmare, din cauza ciudățeniei funcției y = sinx este ușor să arăți că atunci când - π / 2 < X < 0

| păcat X| < | x | .

În cele din urmă, la X = 0

| sin x | = | x |.

Astfel, pentru | X | < π / 2 inegalitatea (1) este dovedită. De fapt, această inegalitate este valabilă și pentru | X | > π / 2 datorită faptului că | | păcat X | < 1, a π / 2 > 1

Exerciții

1.Conform programului de funcționare y = sinx determina: a) sin 2; b) sin 4; c) păcatul (-3).

2.Funcția de planificare y = sinx determinați ce număr din interval
[ - π / 2 , π / 2 ] are un sinus egal cu: a) 0,6; b) -0,8.

3. Funcție programată y = sinx determinați ce numere au un sinus,
egal cu 1/2.

4. Aflați aproximativ (fără a folosi tabele): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) păcat (-2°30").

„Colegiul de Tehnologii de Servicii Yoshkar-Ola”

Construirea și studiul graficului funcției trigonometrice y=sinx în foaia de calculDOMNIȘOARĂ excela

/dezvoltare metodologica/

Yoshkar - Ola

Subiect. Construirea și studiul graficului unei funcții trigonometricey = sinx în foaia de calcul MS Excel

Tipul de lecție– integrat (dobândirea de noi cunoștințe)

Obiective:

Scopul didactic - explorați comportamentul graficelor unei funcții trigonometricey= sinxîn funcţie de coeficienţi folosind un calculator

Tutoriale:

1. Aflați modificarea graficului funcției trigonometrice y= păcat X in functie de coeficienti

2. Arătați introducerea tehnologiei informatice în predarea matematicii, integrarea a două discipline: algebră și informatică.

3. Să-și formeze abilitățile de utilizare a tehnologiei computerului în lecțiile de matematică

4. Întăriți abilitățile de cercetare a funcțiilor și de a reprezenta graficele acestora

În curs de dezvoltare:

1. Să dezvolte interesul cognitiv al studenților pentru disciplinele academice și capacitatea de a-și aplica cunoștințele în situații practice

2. Dezvoltați capacitatea de a analiza, compara, evidenția principalul lucru

3. Contribuie la îmbunătățirea nivelului general de dezvoltare a elevilor

educatorilor :

1. Cultivați independența, acuratețea, diligența

2. Promovarea unei culturi a dialogului

Forme de lucru în lecție - combinate

Echipament și echipament didactic:

1. Calculatoare

2. Proiector multimedia

4. Fișă

5. Diapozitive de prezentare

În timpul orelor

eu. Organizarea începutului lecției

Salutăm studenții și oaspeții

· Pregătiți-vă pentru lecție

II. Stabilirea obiectivelor și actualizarea subiectului

Este nevoie de mult timp pentru a studia o funcție și a-i construi graficul, trebuie să efectuați o mulțime de calcule greoaie, acest lucru nu este convenabil, tehnologiile informatice vin în ajutor.

Astăzi vom învăța cum să construim grafice ale funcțiilor trigonometrice în mediul de foi de calcul MS Excel 2007.

Tema lecției noastre este „Construirea și studiul graficului unei funcții trigonometrice y= sinxîntr-o foaie de calcul"

Din cursul algebrei, cunoaștem schema pentru studierea unei funcții și construirea graficului acesteia. Să ne amintim cum să o facem.

slide 2

Schema de studiu a funcției

1. Domeniul funcțional (D(f))

2. Zona valorică a funcției Е(f)

3. Definiția parității

4. Periodicitatea

5. Zerourile funcției (y=0)

6. Intervale de semn constant (y>0, y<0)

7. Intervale de monotonitate

8. Extreme ale funcției

III. Asimilarea primară a noului material educațional

Deschideți MS Excel 2007.

Să reprezentăm grafic funcția y=sin X

Trasarea într-o foaie de calculDOMNIȘOARĂ excela 2007

Graficul acestei funcții va fi construit pe segment XЄ [-2π; 2π]

Vom lua valorile argumentului cu un pas , pentru a face graficul mai precis.

Deoarece editorul lucrează cu numere, să convertim radianii în numere, știind asta P ≈ 3,14 . (tabel de traducere din fișă).

1. Găsiți valoarea funcției în punct x \u003d -2P. În rest, editorul calculează automat valorile funcției corespunzătoare pentru valorile corespunzătoare ale argumentului.

2. Acum avem un tabel cu valori ale argumentelor și ale funcției. Cu aceste date, trebuie să trasăm această funcție folosind Chart Wizard.

3. Pentru a construi un grafic, trebuie să selectați intervalul de date dorit, rândurile cu valorile argumentului și funcțiile

4..jpg" width="667" height="236 src=">

Concluziile le scriem într-un caiet (diapozitivul 5)

Concluzie. Graficul funcției de forma y=sinx+k se obține din graficul funcției y=sinx folosind translația paralelă de-a lungul axei y cu k unități

Dacă k >0, atunci graficul este deplasat în sus cu k unități

Dacă k<0, то график смещается вниз на k единиц

Construcția și studiul funcției de vederey=k*sinx,k- const

Sarcina 2. La locul de muncă Foaia 2 reprezentați funcțiile într-un singur sistem de coordonate y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, pe intervalul (-2π; 2π) și vedeți cum se modifică graficul.

(Pentru a nu reseta valoarea argumentului, să copiem valorile existente. Acum trebuie să setați formula și să construiți un grafic folosind tabelul rezultat.)

Comparam graficele obtinute. Analizăm împreună cu elevii comportamentul graficului funcției trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitivul 6)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , pe intervalul (-2π; 2π) și vedeți cum se modifică graficul.

Comparam graficele obtinute. Analizăm împreună cu elevii comportamentul graficului funcției trigonometrice în funcție de coeficienți. (Diapozitivul 8)

https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">

Concluziile le scriem într-un caiet (diapozitivul 11)

Concluzie. Graficul funcției de forma y \u003d sin (x + k) este obținut din graficul funcției y \u003d sinx folosind translația paralelă de-a lungul axei OX cu k unități

Dacă k >1, atunci graficul este deplasat la dreapta de-a lungul axei OX

Daca 0

IV. Consolidarea primară a cunoştinţelor dobândite

Fișe diferențiate cu sarcina de a construi și studia o funcție folosind un grafic

	Y=6*păcat(x)	Y=1-2 păcatX	Y=- păcat(3x+)
1. Domeniu
2. Sfera valorii
3. Paritate
4. Periodicitate
5. Intervale de constanță
6. golurimonotonie
Funcția crește
Funcţie in scadere
7. Extreme ale funcției
Minim
Maxim

V. Organizarea temelor

Trasează funcția y=-2*sinх+1 , investigați și verificați corectitudinea construcției în mediul de calcul Microsoft Excel. (Diapozitivul 12)

VI. Reflecţie

Cum se trasează funcția y=sin x? În primul rând, luați în considerare graficul sinusului pe interval.

Luăm un singur segment cu o lungime de 2 celule dintr-un caiet. Marcam unitatea pe axa Oy.

Pentru comoditate, rotunjim numărul π/2 la 1,5 (și nu la 1,6, așa cum este cerut de regulile de rotunjire). În acest caz, un segment de lungime π/2 corespunde la 3 celule.

Pe axa Ox, marchem nu segmente individuale, ci segmente de lungime π / 2 (la fiecare 3 celule). În consecință, un segment de lungime π corespunde la 6 celule, un segment de lungime π/6 corespunde unei celule.

Cu această alegere a unui singur segment, graficul reprezentat pe o foaie de caiet într-o cutie corespunde pe cât posibil graficului funcției y=sin x.

Să facem un tabel cu valorile sinusului pe interval:

Punctele rezultate sunt marcate pe planul de coordonate:

Deoarece y=sin x este o funcție impară, graficul sinus este simetric față de origine - punctul O(0;0). Ținând cont de acest fapt, continuăm să trasăm graficul la stânga, apoi punctele -π:

Funcția y=sin x este periodică cu perioada T=2π. Prin urmare, graficul funcției, luat pe intervalul [-π; π], se repetă de un număr infinit de ori la dreapta și la stânga.

Întinderea graficului y=sinx de-a lungul axei y. Este dată funcția y=3sinx. Pentru a construi graficul său, trebuie să Întindeți graficul y=sinx astfel încât E(y): (-3; 3).

Poza 7 din prezentarea „Grafic o funcție” la lecții de algebră pe tema „Graficul unei funcții”

Dimensiuni: 960 x 720 pixeli, format: jpg. Pentru a descărca gratuit o imagine pentru o lecție de algebră, faceți clic dreapta pe imagine și faceți clic pe „Salvează imaginea ca...”. Pentru a afișa imagini în lecție, puteți descărca gratuit prezentarea completă „Construiți un grafic al unei funcții.ppt” cu toate imaginile într-o arhivă zip. Dimensiunea arhivei - 327 KB.

Descărcați prezentarea

Graficul funcției

„Reprezentați graficul funcției” - Cuprins: Întinderea graficului y=sinx de-a lungul axei y. Este dată funcția y=3sinx. Este dată funcția y=sinx+1. Este dată funcția y=3cosx. Trasează graficul funcției. Graficul funcției y= m*cos x. Completat de: Cadet al grupei 52 de studiu Alexey Levin. Graficul decalează pe verticală y=cosx. Pentru a accesa exemple de sarcini, faceți clic pe l. butonul mouse-ului.

„Sistemul de coordonate în spațiu” - șurubul este închis. Înălțime, lățime, adâncime. Sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu. Coordonatele unui punct din spațiu. Lucrarea lui M. Escher reflectă ideea introducerii unui sistem de coordonate dreptunghiulare în spațiu. Ox este axa absciselor, Oy este axa ordonatelor, Oz este axa aplicată. Ascultați sfere de sonată cu Pitagora, Atomii contează mult timp, ca și Democrit.

„Planul de coordonate Clasa 6” - U. Matematică Clasa 6. 1. Găsiți și notați coordonatele punctelor A, B, C, D: O. X. Planul de coordonate. -3. unu.

„Funcțiile și graficele lor” - Exemple de funcții impare: y = x3; y = x3 + x. (y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)). 3. Dacă k? 0 și b? 0, atunci y = kx + b. Funcția este definită pe mulțimea tuturor numerelor reale. O funcție liniară de forma y = kx se numește proporționalitate directă. Putere. y = sinx. Periodicitate.

„Cercetarea funcției” - Funcții. Dorokhova Yu.A. Să ne amintim... Planul de lucru al lecției. Folosind schema de cercetare a funcției, finalizați sarcina: p. 24; nr. 296 (a; b), nr. 299 (a; b). Știați că... Scopul lecției: Aplicarea derivatului. Exercițiu. Lucrare de verificare: Efectuați oral: Pentru funcția f (x) \u003d x3, determinați D (f), paritatea, creșterea, scăderea.

„Mărirea și scăderea funcției” - Funcții de creștere și scădere. Să ne uităm la un exemplu de funcții crescătoare și descrescătoare. Datorită periodicității funcției sinus, demonstrația este suficientă de efectuat pentru segmentul [-? / 2; ?/2]. Să luăm în considerare încă un exemplu. Dacă -?/2 ? t1< t2 ? ?/2, то точка Pt2 имеет ординату большую, чем точка Pt1. Докажем, что синус возрастает на промеждутках [-?/2+2?n ; ?/2+2?n], n - целое.

Există 25 de prezentări în total în subiect

Lecție și prezentare pe tema: "Funcția y=sin(x). Definiții și proprietăți"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online „Integral” pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini de construcție interactive pentru clasele 7-10
Mediul software „1C: constructor matematic 6.1”

Ce vom studia:

• Proprietățile funcției Y=sin(X).
• Graficul funcției.
• Cum se construiește un grafic și scara acestuia.
• Exemple.

proprietăţile sinusului. Y=sin(X)

Băieți, ne-am întâlnit deja cu funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric. Îți amintești de ei?

Să aruncăm o privire mai atentă la funcția Y=sin(X).

Să notăm câteva proprietăți ale acestei funcții:
1) Domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale.
2) Funcția este impară. Să ne amintim definiția unei funcții impare. O funcție se numește impară dacă egalitatea este adevărată: y(-x)=-y(x). După cum ne amintim din formulele fantomă: sin(-x)=-sin(x). Definiția este satisfăcută, deci Y=sin(X) este o funcție impară.
3) Funcția Y=sin(X) crește pe interval și scade pe intervalul [π/2; π]. Când ne deplasăm de-a lungul primului sfert (în sens invers acelor de ceasornic), ordonata crește, iar când ne deplasăm de-a lungul celui de-al doilea sfert, aceasta scade.

4) Funcția Y=sin(X) este mărginită de jos și de sus. Această proprietate provine din faptul că
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Cea mai mică valoare a funcției este -1 (pentru x = - π/2+ πk). Cea mai mare valoare a funcției este 1 (pentru x = π/2+ πk).

Să folosim proprietățile 1-5 pentru a reprezenta grafic funcția Y=sin(X). Ne vom construi graficul secvenţial, aplicând proprietăţile noastre. Să începem să construim un grafic pe segment.

O atenție deosebită trebuie acordată scalei. Pe axa ordonatelor, este mai convenabil să luați un singur segment egal cu 2 celule, iar pe axa absciselor - un singur segment (două celule) să fie luat egal cu π / 3 (vezi figura).

Trasarea funcției sine x, y=sin(x)

Să calculăm valorile funcției pe segmentul nostru:

Să construim un grafic pentru punctele noastre, ținând cont de a treia proprietate.

Tabel de conversie pentru formule fantomă

Să folosim a doua proprietate, care spune că funcția noastră este impară, ceea ce înseamnă că poate fi reflectată simetric față de origine:

Știm că sin(x+ 2π) = sin(x). Aceasta înseamnă că pe intervalul [- π; Graficul π] arată la fel ca pe segmentul [π; 3π] sau sau [-3π; - pi] și așa mai departe. Ne rămâne să redesenăm cu atenție graficul din figura anterioară pe toată axa x.

Graficul funcției Y=sin(X) se numește sinusoid.

Să mai scriem câteva proprietăți conform graficului construit:
6) Funcția Y=sin(X) crește pe orice segment de forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k este un număr întreg și scade pe orice segment de forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k este un număr întreg.
7) Funcția Y=sin(X) este o funcție continuă. Să ne uităm la graficul funcției și să ne asigurăm că funcția noastră nu are întreruperi, asta înseamnă continuitate.
8) Interval de valori: segment [- 1; unu]. Acest lucru este, de asemenea, clar vizibil din graficul funcției.
9) Funcția Y=sin(X) este o funcție periodică. Să ne uităm din nou la grafic și să vedem că funcția ia aceleași valori la anumite intervale.

Exemple de probleme cu sine

1. Rezolvați ecuația sin(x)= x-π

Rezolvare: Să construim 2 grafice ale funcției: y=sin(x) și y=x-π (vezi figura).
Graficele noastre se intersectează într-un punct A(π; 0), acesta este răspunsul: x = π

2. Trasează funcția y=sin(π/6+x)-1

Rezolvare: Graficul dorit se obține prin mutarea graficului funcției y=sin(x) cu π/6 unități la stânga și 1 unitate în jos.

Rezolvare: Să construim un grafic al funcției și să considerăm segmentul nostru [π/2; 5π/4].
Graficul funcției arată că cele mai mari și cele mai mici valori sunt atinse la capetele segmentului, în punctele π/2 și, respectiv, 5π/4.
Răspuns: sin(π/2) = 1 este cea mai mare valoare, sin(5π/4) = cea mai mică valoare.

Probleme sinus pentru soluție independentă

• Rezolvați ecuația: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Trasează funcția y=sin(π/3+x)-2
• Trasează funcția y=sin(-2π/3+x)+1
• Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe segment
• Aflați cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției y=sin(x) pe segmentul [- π/3; 5π/6]