Fie funcția y=f(x) continuă pe segmentul . După cum se știe, o astfel de funcție atinge maximul. și denumirea valorile. Funcția poate lua aceste valori fie în punctul interior al segmentului, fie la limita segmentului, adică. cu =a sau =b. Dacă , atunci punctul ar trebui căutat printre punctele critice ale funcției date.

Obținem următoarea regulă pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe:

1) găsiți punctele critice ale funcției pe intervalul (a,b);

2) calculați valorile funcției la punctele critice găsite;

3) calculați valorile funcției la capetele segmentului, adică în punctele x=a și x=b;

4) dintre toate valorile calculate ale funcției, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Note:

1. Dacă funcția y=f(x) de pe segment are un singur punct critic și este punctul maxim (minim), atunci în acest punct funcția ia cea mai mare (cea mai mică) valoare.

2. Dacă funcția y=f(x) de pe segment nu are puncte critice, atunci aceasta înseamnă că funcția este monoton crescător sau descrescător pe acesta. Prin urmare, ei cea mai mare valoare(M) funcția preia un capăt al segmentului, iar cel mai mic (m) - pe celălalt.

60. Numere complexe. formule Moivre.
număr complex Nume o expresie ca z = x + iy, unde x și y sunt numere reale, iar i este așa-numitul. unitate imaginară, . Dacă x=0, atunci se numește numărul 0+iy=iy. număr imaginar; daca y=0, atunci numarul x+i0=x este identificat cu numarul real x, ceea ce inseamna ca multimea R a tuturor este valabila. numere yavl. submulțimea mulțimii C a tuturor numere complexe, adică . Număr x nume. parte reală z,. Două numere complexe și sunt numite egale (z1=z2) dacă și numai dacă părțile lor reale sunt egale și părțile lor imaginare sunt egale: x1=x2, y1=y2. În special, numărul complex Z=x+iy este egal cu zero dacă și numai dacă x=y=0. Conceptele de „mai mare decât” și „mai puțin decât” pentru numerele complexe nu sunt introduse. Două numere complexe z=x+iy și , care diferă doar prin semnul părții imaginare, se numesc conjugate.

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe.

Orice număr complex z = x + iy poate fi reprezentat printr-un punct M(x,y) al planului Oxy astfel încât x=Re z, y=Im z. Și invers, fiecare punct M(x;y) plan de coordonate poate fi privit ca imaginea unui număr complex z = x + iy. Planul pe care sunt reprezentate numerele complexe se numește plan complex, deoarece numerele reale z = x + 0i = x se află pe el. Axa y se numește axa imaginară, deoarece numerele complexe pur imaginare z = 0 + iy se află pe ea. Numărul complex Z=x+iy poate fi specificat folosind vectorul rază r=OM=(x,y). Lungimea unui vector r reprezentând un număr complex z se numește modulul acestui număr și se notează cu |z| sau r. Unghiul dintre pozitiv Direcția axei reale și a vectorului r care reprezintă un număr complex se numește argumentul acestui număr complex, notat cu Arg z sau . Argumentul numărului complex Z=0 este nedefinit. Argumentul unui număr complex este o valoare cu mai multe valori și se determină până la termenul în care arg z este valoarea principală a argumentului conținut în intervalul (), i.e. - (uneori valoarea aparținând intervalului (0; ) este luată ca valoare principală a argumentului).

Scrierea numărului z sub forma z=x+iy se numește forma algebrică număr complex.

Operații pe numere complexe

Plus. Suma a două numere complexe z1=x1+iy1 și z2=x2+iy2 este un număr complex definit de egalitatea: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Adunarea numerelor complexe are proprietăți comutative și asociative: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Scădere. Scăderea este definită ca inversul adunării. Diferența numerelor complexe z1 și z2 este un astfel de număr complex z, care, adăugat la z2, dă numărul z1, adică. z=z1-z2 dacă z+z2=z1. Dacă z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, atunci este ușor să obțineți z din această definiție: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Multiplicare. Produsul numerelor complexe z1=x1+iy1 și z2=x2+iy2 este numărul complex definit de egalitatea z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). De aici, în special, rezultă: . Dacă sunt date numere în formă trigonometrică: .

Când numerele complexe sunt înmulțite, modulele lor sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate. formula De Moivre(dacă există n factori și toți sunt la fel): .

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.

Înregistrarea participanților este deschisă. Ia-ți biletul către Marte la acest link.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete Și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și se încarcă automat versiuni proaspete Mathjax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript de la terți, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie, acolo articol interesant, care conține exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la mai multe exemple complexe fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. Pe când în cazul obișnuitului figură geometrică(nu un fractal), când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou aceeași formă complexă, care cu fiecare creștere se va repeta iar și iar.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, în articolul său Fractals and Art for Science a scris: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii, precum sunt în forma lor generală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca întregul, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.

Extremul unei funcții este o proprietate a localului, caracter local(vezi definiția). Nu trebuie să amestecați valoarea maximă (minima) cu cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției într-o zonă închisă D.

Definiție. Să spunem funcția z = f(X y) este definită și continuă într-un anumit domeniu D, are derivate parțiale finite în această regiune. Apoi, în această regiune există puncte în care funcția ajunge cel mai mare și cel mai puțin valorile altor valori. Aceste puncte se pot afla în interiorul regiunii sau la limita acesteia.

Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții într-o zonă închisă, aveți nevoie de:

1) Găsiți puncte staționare situate în interiorul regiunii și calculați valorile funcției în aceste puncte.

Cometariu. Atașați punctelor staționare punctele în care derivatele sunt infinite sau nu există (dacă există).

2) Găsiți puncte staționare la limita regiunii și calculați valorile funcției în aceste puncte.

3) Găsiți valorile funcției la punctele de colț - punctele de intersecție ale liniilor de delimitare.

4) Dintre toate valorile găsite, alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Exemplul 1.22. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

z= 2X 2 – xy ++ y 2 + 7Xîntr-o zonă închisă D: –3 X 3, –3 y 3 (Fig. 1.3).

Orez. 1.3. Domeniu de studiu D

Soluţie. 1) Găsiți puncte staționare

De aici la = –1, X= –2, punct staționar M 0 (–2, –1) D, z(M 0) = –7.

2) Investigăm funcția de la limita regiunii, care constă din segmente AB, DC, CB, AD.

a) în linie dreaptă AB: la= 3, iar funcția are forma

z = 2X 2 + 3X + 9 + 7X =

= 2X 2 + 10X + 9, X [–3, 3].

Aceasta este o funcție a unei variabile independente.

Să determinăm punctele staționare ale acestei funcții:

Prin urmare, X = –2,5.

Noi definim z la X = –2,5, precum și la capetele segmentului [-3, 3]:

z (–2,5; –3) = –3,5; z(– 3, –3) = –3; z(3, –3) = 57,

deci = 3,5, a = 57.

b) Luați în considerare segmentul soare:X = 3.

z = y 2 – 3y + 39; la [–3, 3],

= 2y - 3; 2y - 3 = 0 y= 3/2.

Găsim z(3, 3/2) = , z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39.

c) pe segment CD: y= 3, z= 2X 2 + 4x + 9; la [–3, 3],

= –4X + 4 = 0 Þ X = –1; z(–1, 3) = 7, z(– 3, 3) = 15, z(3, 3) = 39;

Teorema 1.5 Fie într-un domeniu închis D funcția este dată z=z(x,y) , care are derivate parțiale continue de ordinul întâi. Frontieră G zone D este netedă pe bucăți (adică este format din bucăți de curbe sau linii drepte „netede la atingere”). Apoi în zonă D funcţie z (X y) atinge cel mai înalt nivel M si cel putin m valorile.

Fără dovezi.

Puteți sugera următorul plan de găsire M Și m .
1. Construim un desen, selectăm toate părțile marginii zonei D și găsiți toate punctele de „colț” ale graniței.
2. Găsiți puncte staționare în interior D .
3. Găsiți puncte staționare pe fiecare dintre granițe.
4. Calculăm la toate punctele staționare și de colț, apoi alegem cel mai mare M si cel putin m valorile.

Exemplul 1.14 Găsiți cel mai mare M si cel putin m valorile funcției z = 4x2-2xy+y2-8x într-o zonă închisă D , limitat: X = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Să construim zona D (Fig. 1.5) pe plan Ohu .

puncte de colt: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Frontieră G zone D constă din trei părți:

2. Găsiți puncte staționare în interiorul zonei D :

3. Puncte staţionare pe limite l 1 , l 2 , l 3 :

4. Calculați șase valori:

Exemple

Exemplul 1

Această funcție definit pentru toate valorile variabilelor X Și y , cu excepția originii, unde numitorul dispare.

Polinom x2+y2 este continuă peste tot și, prin urmare, rădăcina pătrată a unei funcții continue este de asemenea continuă.

Fracția va fi continuă peste tot, cu excepția punctelor în care numitorul este egal cu zero. Adică funcția considerată este continuă pe întregul plan de coordonate Ohu excluzând originea.

Exemplul 2

Investigați continuitatea unei funcții z=tg (X y) . Tangenta este definită și continuă pentru toate valorile finite ale argumentului, cu excepția valorilor egale cu un număr impar de mărime π /2 , adică cu excepţia punctelor în care

Pentru fiecare fix "k" ecuația (1.11) definește o hiperbolă. Prin urmare, funcția în cauză este funcție continuă X și y , excluzând punctele situate pe curbe (1.11).

Exemplul 3

Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor u=z-xy , z > 0 .

Exemplul 4

Arată acea funcție

satisface identitatea:

– această egalitate este valabilă pentru toate punctele M(x; y; z) , cu excepția punctului M 0 (a; b; c) .

Se consideră funcția z=f(x, y) a două variabile independente și se setează sens geometric variabile private z"x=f"x (X y) Și z" y=f" y (X y) .

În acest caz, ecuația z=f (X y) este ecuația unei suprafețe (fig.1.3). Desenați un avion y = const . În secţiunea acestui plan a suprafeţei z=f (X y) obține niște rânduri l 1 intersecție, de-a lungul căreia se schimbă doar cantitățile X Și z .

Derivată parțială z" x (sensul său geometric decurge direct din sensul geometric cunoscut al derivatei unei funcții a unei variabile) este numeric egal cu tangentei unghiului α înclinare, în raport cu axa Oh , tangentă L1 la curbă l 1 , obtinut in sectiunea transversala a suprafetei z=f (X y) avion y = const la punct M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

În secțiunea transversală a suprafeței z=f (X y) avion X = const obțineți o linie de intersecție l 2 , de-a lungul căruia doar cantitățile la Și z . Apoi derivata parțială z" y egal numeric cu tangentei unghiului β înclinație față de axă OU , tangentă L2 la linia specificată l 2 punct de intersecție M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Exemplul 5

Ce unghi face cu axa Oh tangentă la linie:

la punct M(2,4,5) ?

Folosim sensul geometric al derivatei parțiale în raport cu o variabilă X (la constanta la ):

Exemplul 6

Conform (1.31):

Exemplul 7

Presupunând că ecuația

definește implicit o funcție

a găsi z" x , z" y .

prin urmare, conform (1.37), obținem răspunsul.

Exemplul 8

Explorează până la extrem:

1. Găsiți puncte staționare prin rezolvarea sistemului (1.41):

adică se găsesc patru puncte staţionare.
2.

prin teorema 1.4 la un punct este un minim.

Și

4. Calculați șase valori:

Din cele șase valori obținute, o alegem pe cea mai mare și pe cea mai mică.

Bibliografie:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. matematica superioara pentru economiști. Semestrul I: Curs expres. - M.: Cunoștințe noi, 2002. - 140 p.

ü Gusak A. A.. Analiza matematicăși ecuații diferențiale.- Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Matematică superioară. Tutorial pentru studenți în 2 volume. - Mn., 1998. - 544 p. (1 vol.), 448 p. (2 tone).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematică superioară pentru economiști: manual pentru licee / Ed. prof. N. Sh. Kremer. - M .: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. și alții. Matematică superioară. Curs general: Manual / Sub general. ed. S. A. Samalya.– Mn.: Vysh. şcoală, 2000. - 351 p.

Fie definită și continuă funcția $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis mărginit $D$. Fie ca funcția dată să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi în această regiune (cu excepția posibilă a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ în domeniul închis $D$.

1. Găsiți punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ care aparțin regiunii $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
2. Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$ prin găsirea punctelor de valori maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
3. Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, alegeți cel mai mare și cel mai mic.

Care sunt punctele critice? arată ascunde

Sub puncte critice implică puncte în care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.

Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.

Exemplul #1

Găsiți valorile maxime și minime ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ în regiunea închisă delimitată de liniile $x=3$, $y=0$ și $y=x +1$.

Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenul unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Ne este dat ecuații de trei linii drepte, care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa y (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi o dreaptă $y=x+1$ să găsim două puncte prin care trasăm această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ se intersectează cu liniile $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom așeza câteva păsări dintr-o piatră: vom obține două puncte pentru construirea dreptei $y=x+1$ și, în același timp, vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte drepte care delimitează linia dată. zonă. Linia $y=x+1$ intersectează dreapta $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ - în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera cursul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.

Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată ascunde

Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei cât și celei de-a doua linii, așa că pentru a găsi coordonate necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Rezolvarea unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.

Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Din nou, compunem și rezolvăm sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa absciselor).

Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:

Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul se vede din figură. Cu toate acestea, merită să ne amintim că desenul nu poate servi drept dovadă. Figura este doar o ilustrare pentru claritate.

Zona noastră a fost stabilită folosind ecuațiile de linii care o limitează. Este evident că aceste linii definesc un triunghi, nu-i așa? Sau nu chiar evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:

Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza prezentată este greșită. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Ne interesează partea de plan situată sub linia $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, deci $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități se combină ușor într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Aceste inegalități definesc domeniul $D$ și îl definesc în mod unic, fără ambiguități. Dar cu ce ne ajută acest lucru la întrebarea de la începutul notei de subsol? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Asa de:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ambele inegalități sunt adevărate. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.

Acum este rândul să investighem comportamentul funcției la limita domeniului, adică. mergi la. Să începem cu linia dreaptă $y=0$.

Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuiți $y=0$ în funcţie dată$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funcția de substituție rezultată a unei variabile $x$ va fi notată ca $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Găsiți derivata acestei funcții și egalați-o cu zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că adăugăm și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. la punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului în cauză, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.

Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. O voi descrie în detaliu:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)

Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de intrări detaliate, iar în viitor vom începe să scriem toate calculele într-un mod mai scurt:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Acum să ne întoarcem la linia dreaptă $x=3$. Această linie delimitează domeniul $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Înlocuiți $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al unei astfel de substituții, obținem funcția $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pentru funcția $f_2(y)$, trebuie să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Găsiți derivata acestei funcții și egalați-o cu zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că adăugăm $M_5(3;3)$ la punctele găsite mai devreme. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. la punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. În punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea lui $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ la punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)

Și, în sfârșit, luați în considerare ultima limită a $D$, adică. linia $y=x+1$. Această linie delimitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou, trebuie să găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe segmentul $-1 ≤ x ≤ 3$. Găsiți derivata funcției $f_(3)(x)$ și egalați-o cu zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Al doilea pas al soluției este finalizat. Avem șapte valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Să ne întoarcem la. Alegând cele mai mari și mai mici valori dintre acele numere care au fost obținute în al treilea paragraf, vom avea:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exemplul #2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.

Să construim mai întâi un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de limită a zonei date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ 25$ satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.

Vom acţiona. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. găsiți puncte staționare.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aliniat) \right.$$

Avem un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$, care definește domeniul nostru $D$, este valabilă. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este satisfăcută. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține regiunii $D$.

Astfel, nu există puncte critice în interiorul $D$. Să trecem mai departe, la. Trebuie să investigăm comportamentul funcției la limita zonei date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Puteți, desigur, să exprimați $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuiți expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația cercului obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil în această situație să se aplice metoda Lagrange. Ne interesează doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, vom obține puncte la care și vom examina funcția $z$ pentru valorile minime și maxime.

Compunem funcția Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(aliniat) \ dreapta. \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aliniat)\dreapta.$$

Pentru a rezolva acest sistem, să indicăm imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Contradicția rezultată $0=6$ spune că valoarea $\lambda=-1$ este invalidă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)

Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în ​​numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul este $1+\lambda\neq 0$.

Să substituim expresiile obținute pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Prin urmare, avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)

Deci, avem două puncte ale unui posibil extremum condiționat, adică. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Găsiți valorile funcției $z$ la punctele $M_1$ și $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)

Ar trebui să alegem cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în acest caz, alegerea este mică :) Avem:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.