Proiectia unui punct pe un plan este o ecuatie. Proiecția punctului

Proiecția unui punct pe un plan este un caz special al problemei generale de găsire a proiecției unui punct pe o suprafață. Datorită simplității calculării proiecției unui punct pe un plan tangent la suprafață, este folosit ca aproximare zero în rezolvarea problemei generale.

Luați în considerare problema proiectării unui punct pe un plan dat de vectorul rază

Vom presupune că vectorii nu sunt coliniari. Să presupunem că, în cazul general, vectorii nu sunt ortogonali și au lungime neuniformă. Planul trece prin punctul în care parametrii sunt egali cu zero, iar vectorii definesc direcțiile parametrice. Punctul dat are o proiecție unică pe plan (4.6.1). Să construim o unitate normală cu planul

Orez. 4.6.1. Proiecția unui punct pe planul s(u, v)

Să calculăm vectorul rază al proiecției punctului pe plan ca diferență între vectorul rază al punctului proiectat și componenta vectorului paralel cu normala planului,

(4.6.4)

Pe fig. 4.6.1 prezintă vectorii planului său punct de startși proiecția punctului dat.

Parametrii și lungimile proiecțiilor sunt relaționați prin ecuații

unde cosinusul unghiului dintre vectori este determinat de formula (1.7.13).

Din sistemul acestor ecuații, găsim parametrii proiecției unui punct pe un plan

(4.6.6)

unde sunt coeficienții primei forme pătratice de bază a planului (1.7.8), sunt și componente covariante ale tensorului de suprafață metric, sunt componentele contravariante ale tensorului de suprafață metric. Dacă vectorii sunt ortogonali, atunci formulele (4.6.6) și (4.6.7) iau forma

Distanța de la un punct la proiecția acestuia pe un plan este în general calculată ca lungimea unui vector. Distanța de la un punct la proiecția acestuia pe un plan poate fi determinată fără a calcula proiecția punctului, ci prin calcularea proiecției vectorului pe normala la plan.

(4.6.8)

Cazuri speciale.

Proiecțiile unui punct pe unele suprafețe analitice pot fi găsite fără a folosi metode numerice. De exemplu, pentru a găsi proiecția unui punct pe suprafața unui cilindru circular, con, sferă sau tor, trebuie să traduceți punctul proiectat în sistemul local de coordonate al suprafeței, unde este ușor să găsiți parametrii de proiecție. În mod similar, pot fi găsite proiecții pe suprafețele de extrudare și rotație. În unele cazuri particulare, pozițiile punctului proiectat al proiecției sale pot fi găsite cu ușurință și pe alte suprafețe.

Caz general.

Luați în considerare problema proiectării unui punct pe o suprafață în cazul general. Să fie necesar să se găsească toate proiecțiile unui punct pe o suprafață. Fiecare punct dorit al suprafeței satisface sistemul de două ecuații

Sistemul de ecuații (4.6.9) conține două mărimi necunoscute - parametrii u și v. Această problemă este rezolvată în același mod ca și problema găsirii proiecțiilor unui punct dat pe o curbă.

În prima etapă, determinăm aproximațiile zero ale parametrilor de suprafață pentru proiecțiile unui punct, iar în a doua etapă, găsim valorile exacte ale parametrilor care determină proiecțiile unui punct dat pe suprafață.

Să trecem peste suprafața cu pași calculați prin formulele (4.2.4) și (4.2.5), descrise mai sus prin modul de deplasare de-a lungul regiunii parametrice. Să notăm parametrii punctelor prin care vom trece . În fiecare punct, vom calcula produsele scalare ale vectorilor

(4.6.10)

Dacă soluția dorită se află în apropierea unui punct cu parametrii , atunci vom avea semne diferite, precum și și va avea semne diferite. Schimbarea semnelor produselor scalare indică faptul că soluția dorită este în apropiere. Pentru aproximarea zero a parametrilor, luăm valori Pornind de la aproximarea zero a parametrilor, una dintre metodele de rezolvare a ecuațiilor neliniare va găsi o soluție a problemei cu o precizie dată. De exemplu, în metoda lui Newton, la iterații, incrementele parametrilor de proiecție pot fi găsite din sistemul de ecuații liniare

unde sunt derivatele parțiale ale vectorului rază în raport cu parametrii. următoarea aproximare parametrii de proiecție punctuali sunt egali cu . Procesul de rafinare a parametrilor va fi finalizat când inegalitățile sunt îndeplinite la următoarea iterație, unde este eroarea specificată. În același mod, găsim toate celelalte rădăcini ale sistemului de ecuații (4.6.9).

Dacă trebuie să găsiți doar cea mai apropiată proiecție a unui punct dat pe suprafață, atunci puteți trece prin aceleași puncte ale unui obiect geometric și îl puteți selecta pe cel mai apropiat de punctul dat. Parametrii celui mai apropiat punct și ar trebui să fie aleși ca aproximare zero a soluției problemei.

Proiecția unui punct pe o suprafață într-o direcție dată.

În anumite cazuri, se pune problema determinării proiecției unui punct pe o suprafață nu de-a lungul normalului acestuia, ci de-a lungul unei direcții date. Fie direcția de proiecție dată de un vector cu lungimea unitară q. Să construim o linie dreaptă

(4.6.12)

trecând prin punct datși având direcția vectorului dat. Definim proiecțiile unui punct pe o suprafață într-o direcție dată ca punctele de intersecție ale suprafeței cu o dreaptă (4.6.12) care trece printr-un punct dat într-o direcție dată.

Proiecție vectorială algebrică pe orice axă este egal cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre axă și vector:

Dreapta a b = |b|cos(a,b) sau

Unde a b este produsul scalar al vectorilor , |a| - modulul vectorului a .

Instruire. Pentru a găsi proiecția vectorului Пp a b online, trebuie să specificați coordonatele vectorilor a și b . În acest caz, vectorul poate fi dat în plan (două coordonate) și în spațiu (trei coordonate). Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word. Dacă vectorii sunt dați prin coordonatele punctelor, atunci trebuie să utilizați acest calculator.

Clasificarea proiecției vectoriale

Tipuri de proiectii prin definitie proiectie vectoriala

Proiecția geometrică a vectorului AB pe axă (vector) se numește vector A"B", începutul căruia A' este proiecția începutului A pe axă (vector), iar capătul B' este proiecția capătului B pe aceeași axă.
Proiecția algebrică a vectorului AB pe axă (vector) se numește lungimea vectorului A"B", luată cu semnul + sau -, în funcție de faptul că vectorul A"B" are aceeași direcție ca și axa ( vector).

Tipuri de proiecții după sistemul de coordonate

Proprietăți de proiecție vectorială

Proiecția geometrică a unui vector este un vector (are o direcție).
Proiecția algebrică a unui vector este un număr.

Teoreme de proiecție vectorială

Teorema 1. Proiecția sumei vectorilor pe orice axă este egală cu proiecția termenilor vectorilor pe aceeași axă.

AC"=AB"+B"C"

Teorema 2. Proiecția algebrică a unui vector pe orice axă este egală cu produsul dintre lungimea vectorului și cosinusul unghiului dintre axă și vector:

Pr a b = |b| cos(a,b)

Tipuri de proiectii vectoriale

proiecție pe axa OX.
proiecție pe axa OY.
proiecție pe un vector.

Proiecție pe axa OX	Proiecție pe axa OY	Proiecție la vector
Dacă direcția vectorului A'B' coincide cu direcția axei OX, atunci proiecția vectorului A'B' are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A'B' coincide cu direcția axei OY, atunci proiecția vectorului A'B' are semn pozitiv.	Dacă direcția vectorului A'B' coincide cu direcția vectorului NM, atunci proiecția vectorului A'B' are semn pozitiv.
Dacă direcția vectorului este opusă direcției axei OX, atunci proiecția vectorului A'B' are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A'B' este opusă direcției axei OY, atunci proiecția vectorului A'B' are semn negativ.	Dacă direcția vectorului A'B' este opusă direcției vectorului NM, atunci proiecția vectorului A'B' are semn negativ.
Dacă vectorul AB este paralel cu axa OX, atunci proiecția vectorului A'B' este egală cu modulul vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu axa OY, atunci proiecția vectorului A'B' este egală cu modulul vectorului AB.	Dacă vectorul AB este paralel cu vectorul NM, atunci proiecția vectorului A'B' este egală cu modulul vectorului AB.
Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OX, atunci proiecția lui A'B' este egală cu zero (vector zero).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe axa OY, atunci proiecția lui A'B' este egală cu zero (un vector nul).	Dacă vectorul AB este perpendicular pe vectorul NM, atunci proiecția lui A'B' este egală cu zero (un vector nul).

1. Întrebare: Proiectia unui vector poate avea semn negativ. Răspuns: Da, proiecțiile vectoriale pot fi negative. În acest caz, vectorul are direcția opusă (vezi cum sunt direcționate axa OX și vectorul AB)
2. Întrebare: Poate proiecția unui vector să coincidă cu modulul vectorului. Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorii sunt paraleli (sau se află pe aceeași linie).
3. Întrebare: Poate fi proiecția unui vector egală cu zero (vector zero). Răspuns: Da, se poate. În acest caz, vectorul este perpendicular pe axa corespunzătoare (vector).

Exemplul 1. Vectorul (Fig. 1) formează un unghi de 60 o cu axa OX (este dat de vectorul a). Dacă OE este o unitate de scară, atunci |b|=4, deci .

Într-adevăr, lungimea vectorului ( proiecție geometrică b) este egal cu 2, iar direcția este aceeași cu direcția axei OX.

Exemplul 2 . Vectorul (Fig. 2) formează un unghi cu axa OX (cu vectorul a) (a,b) = 120 o . Lungimea |b| vectorul b este egal cu 4, deci pr a b=4 cos120 o = -2.

Într-adevăr, lungimea vectorului este egală cu 2, iar direcția este opusă direcției axei.

La hotărâre probleme geometriceîn spațiu, se pune adesea problema determinării distanței dintre un plan și un punct. În unele cazuri, acest lucru este necesar pentru solutie completa. Această valoare poate fi calculată prin găsirea proiecției pe planul punctului. Să luăm în considerare această problemă mai detaliat în articol.

Ecuație pentru a descrie un avion

Înainte de a continua să luați în considerare întrebarea cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan, ar trebui să vă familiarizați cu tipurile de ecuații care o definesc pe acestea din urmă în spațiul tridimensional. Mai multe detalii mai jos.

O ecuație generală care definește toate punctele care aparțin unui plan dat este următoarea:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Primii trei coeficienți sunt coordonatele vectorului, care se numește ghid pentru plan. Coincide cu normalul pentru el, adică este perpendicular. Acest vector este notat cu n¯(A; B; C). Coeficientul liber D este determinat în mod unic din cunoașterea coordonatelor oricărui punct aparținând planului.

Conceptul proiecției unui punct și calculul acestuia

Să presupunem că un punct P(x 1 ; y 1 ; z 1) și un plan sunt date. Este definit de ecuația în vedere generala. Dacă trasăm o dreaptă perpendiculară de la P la avion dat, atunci este evident că îl va intersecta pe acesta din urmă într-un punct specific Q (x 2 ; y 2 ; z 2). Q se numește proiecția lui P pe planul luat în considerare. Lungimea segmentului PQ se numește distanța de la punctul P la plan. Deci PQ în sine este perpendicular pe plan.

Cum poți găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan? Nu este greu să faci asta. Mai întâi trebuie să întocmiți o ecuație pentru o dreaptă care va fi perpendiculară pe plan. Îi va aparține punctul P. Deoarece vectorul normal n¯(A; B; C) al acestei drepte trebuie să fie paralel, ecuația pentru acesta în forma corespunzătoare poate fi scrisă după cum urmează:

(x; y; z) = (x1; y1; z1) + X*(A; B; C).

unde λ - numar real, care este de obicei numit un parametru al ecuației. Schimbându-l, puteți obține orice punct al liniei.

După ce a fost scrisă ecuația vectorială pentru o dreaptă perpendiculară pe plan, este necesar să se găsească un punct de intersecție comun pentru obiectele geometrice considerate. Coordonatele sale vor fi proiecția P. Deoarece trebuie să satisfacă ambele egalități (pentru dreaptă și pentru plan), problema se reduce la rezolvarea sistemului de ecuații liniare corespunzător.

Conceptul de proiecție este adesea folosit în studiul desenelor. Ele descriu proiecțiile laterale și orizontale ale piesei pe planurile zy, zx și xy.

Calcularea distanței de la un plan la un punct

După cum sa menționat mai sus, cunoașterea coordonatelor proiecției pe planul punctului vă permite să determinați distanța dintre ele. Folosind notația introdusă în paragraful anterior, obținem că distanța dorită este egală cu lungimea segmentului PQ. Pentru a-l calcula, este suficient să găsiți coordonatele vectorului PQ¯ și apoi să calculați modulul acestuia folosind o formulă binecunoscută. Expresia finală pentru distanța d dintre punctul P și plan devine:

d = |PQ¯| \u003d √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Valoarea rezultată a lui d este prezentată în unități în care este specificat sistemul de coordonate carteziene curent xyz.

Exemplu de sarcină

Să presupunem că există un punct N(0; -2; 3) și un plan, care este descris de următoarea ecuație:

Ar trebui să găsiți punctele de proiecție pe plan și să calculați distanța dintre ele.

În primul rând, vom formula ecuația unei drepte care intersectează planul la un unghi de 90 o. Noi avem:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + X*(2; -1; 1).

Scriind această egalitate în mod explicit, ajungem la următorul sistem de ecuații:

Înlocuind valorile coordonatelor din primele trei egalități în a patra, obținem valoarea λ, care determină coordonatele punctului comun al dreptei și ale planului:

2*(2*λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0
λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Înlocuim parametrul găsit în și găsim coordonatele proiecției punctului de plecare pe plan:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Pentru a calcula distanța dintre obiectele geometrice specificate în enunțul problemei, aplicăm formula pentru d:

d = √((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

În această problemă, am arătat cum să găsim proiecția unui punct pe un plan arbitrar și cum să calculăm distanța dintre ele.

Se va construi atunci când perpendiculara pe planul dat care trece prin punctul este restabilită și se construiește punctul de intersecție al perpendicularei cu planul:
Linie și plan;
Intersecția unei drepte cu un plan

Se va construi atunci când se reface perpendiculara pe planul dat, se coboară din punct în plan și se construiește punctul de intersecție al perpendicularei cu planul. Aceste construcții se realizează atunci când distanța de la un punct la un plan este determinată prin metoda unui triunghi dreptunghic.

Date de proiecție: puncte A(A`, A") și avion α (α H , α V). Găsiți distanța de la punct A până la avion α metoda triunghiului dreptunghic.

Cod tabel HTML, exemple

Sarcina nr. 4 este construită în lucrarea grafică nr. 2 pentru două puncte ale segmentului EF: lucrare grafică 2

Construiți o diagramă a punctului B simetric A față de dreapta m

Iată una dintre multele modalități de a rezolva această problemă.
1. Folosiți proiecția oblică cu direcția S paralelă cu o dreaptă m dată:
a) Desenați o dreaptă n prin punctul A și găsiți urmele nH, mH și nV, mV;
b) găsiți urmele planului α prin urmele liniilor paralele ale generatoarelor sale nH, mH și nV, mV;
c) găsiți urmele kH și kV ale dreptei k simetrice față de dreapta m pe urmele cu același nume din planul α.
2. Prin punctul A trasăm un plan β perpendicular pe dreptele paralele m, n și k ale planului α:
a) Prin punctul A trasăm o orizontală și una frontală a planului β;
b) Aflați urmele orizontalei și frontalei planului β;
c) Desenați urmele planului β prin urmele orizontalei h și f frontale ale acestuia.
3. Aflați punctul B de întâlnire a dreptei k cu planul β:
a) Aflați dreapta de intersecție a 1 - 2 plane α și β;
b) Aflați punctul dorit B la intersecția dreptei 1-2 cu dreapta k.

Găsiți un unghi ascuțit între diagonalele unui paralelogram construit pe vectori

5) Determinați coordonatele vectorului c, îndreptate de-a lungul bisectoarei unghiului dintre vectorii a și b, dacă vectorul c \u003d 3 rădăcini din 42. a \u003d (2; -3; 6), b \ u003d (-1; 2; -2)

Sa gasim vector unitar e_a co-directional cu a:

în mod similar e_b = b/|b|,

atunci vectorul dorit va fi dirijat în același mod ca suma vectoriala e_a+e_b, deoarece (e_a+e_b) este diagonala rombului, care este yavl. bisectoarea unghiului său.

Se notează (e_a+e_b)=d,

Să găsim un vector unitar care este direcționat de-a lungul bisectoarei: e_c = d/|d|

Dacă |c| = 3*sqrt(42), apoi c = |c|*e_c. Asta e tot.

A găsi dependență liniarăîntre patru vectori necoplanari dați: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Din primele trei egalități, încercați să exprimați `a,b,c` în termeni de `p,q,r` (începeți prin a adăuga a doua și a treia ecuație). Apoi înlocuiți `b` și `c` în ultima ecuație cu expresiile găsite prin `p,q,r`.

13) Aflați ecuația planului care trece prin punctele A(2, -1, 4) și B(3, 2, -1) perpendiculare pe planul x + y + 2z - 3 = 0. Ecuația dorită a planului are forma: Ax + By + Cz + D = 0, vectorul normal la acest plan (A, B, C). Vectorul (1, 3, -5) aparține planului. Planul dat nouă, perpendicular pe cel dorit, are un vector normal (1, 1, 2). pentru că punctele A și B aparțin ambelor plane, iar planurile sunt reciproc perpendiculare, atunci, astfel, vectorul normal este (11, -7, -2). pentru că punctul A apartine planului dorit, atunci coordonatele lui trebuie sa satisfaca ecuatia acestui plan, i.e. 11x2 + 7x1 - 2x4 + D = 0; D = -21. În total, obținem ecuația planului: 11x - 7y - 2z - 21 = 0.

14) Ecuația unui plan care trece printr-o dreaptă paralelă cu un vector.

Lasă planul dorit să treacă prin dreapta (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 paralel cu dreapta (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z -z2)/c2.

Atunci vectorul normal al planului este produsul încrucișat al vectorilor de direcție ai acestor drepte:

Lasă coordonatele produs vectorial(A;B;C). Planul dorit trece prin punctul (x1;y1;z1). Vectorul normal și punctul prin care trece planul - determină în mod unic ecuația planului dorit:

A (x-x1) + B (y-y1) + C (z-z1) = 0

17) Aflați ecuația dreptei care trece prin punctul A(5, -1) perpendicular pe dreapta 3x - 7y + 14 = 0.

18) Compuneți ecuația unei drepte care trece prin punctul M perpendicular pe planul dat M(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - punctul tău M(4,3,1)

(n, m, p) - vector de direcție al unei linii drepte, este și un vector normal pentru o suprafață dată (1, 3, 5) (coeficienți la variabilele x,y,zîn ecuația plană)

Aflați proiecția unui punct pe un plan

Punctul M(1,-3,2), plan 2x+5y-3z-19=0