Deoarece masa punctului este constantă, iar accelerația sa, ecuația (2), care exprimă legea de bază a dinamicii, poate fi reprezentată ca

Ecuația (32) exprimă simultan teorema privind modificarea impulsului unui punct în formă diferențială: derivata în timp a impulsului unui punct este egală cu suma forțelor care acționează asupra punctului.

Fie că punctul în mișcare are o viteză la un moment de timp și o viteză la un moment, apoi înmulțim ambele părți ale egalității (32) cu și luăm din ele integrale definite. În acest caz, în dreapta, unde integrarea este în timp, vor fi limitele integralei iar în stânga, unde este integrată viteza, limitele integralei vor fi valorile corespunzătoare ale vitezei.

Deoarece integrala lui este egală, ca rezultat obținem

Integralele din dreapta, după cum rezultă din formula (30), reprezintă impulsurile forțelor care acționează. Prin urmare, va fi în sfârșit

Ecuația (33) exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct în forma sa finală: modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor tuturor forțelor care acționează asupra punctului. în aceeași perioadă de timp.

La rezolvarea problemelor, în loc de ecuația vectorială (33), sunt adesea folosite ecuații din proiecții. Proiectând ambele părți ale egalității (33) pe axele de coordonate, obținem

Când mișcare rectilinie care apare de-a lungul axei teoremei este exprimată prin prima dintre aceste ecuații.

Rezolvarea problemelor. Ecuațiile (33) sau (34) permit, știind cum se modifică viteza sa atunci când un punct se mișcă, să se determine impulsul forțelor care acționează (prima problemă a dinamicii) sau, cunoscând impulsurile forțelor care acționează, să se determine modul în care viteza a punctului se modifică la deplasare (a doua problemă de dinamică). La rezolvarea celei de-a doua probleme, când forțele sunt date, este necesar să se calculeze momentele acestora.După cum se vede din egalitățile (30) sau (31), acest lucru se poate face numai când forțele sunt constante sau depind doar de timp.

Astfel, ecuațiile (33), (34) pot fi utilizate direct pentru rezolvarea celei de-a doua probleme de dinamică, când numărul de date și mărimile necesare în problemă includ: forțele care acționează, timpul de mișcare a punctului și inițialul acestuia. și vitezele finale (adică, cantitățile), iar forțele trebuie să fie constante sau să depindă numai de timp.

Problema 95

Decizie. Conform teoremei privind modificarea impulsului sistemului, geometric diferența dintre aceste mărimi de mișcare (Fig. 222), găsim din triunghiul dreptunghic obținut.

Dar, în funcție de condițiile problemei, prin urmare,

Pentru un calcul analitic, folosind primele două dintre ecuațiile (34), putem găsi

Problema 96. O sarcină care are o masă și se află pe un plan orizontal i se dă (prin împingere) viteza inițială.Mișcarea ulterioară a sarcinii este încetinită de o forță constantă F. Stabiliți cât timp se va opri sarcina,

Decizie. Conform datelor problemei, este clar că teorema dovedită poate fi folosită pentru a determina timpul de mișcare. Înfățișăm sarcina într-o poziție arbitrară (Fig. 223). Este afectat de forța gravitației Р, reacția planului N și forța de frânare F. Prin direcționarea axei în direcția mișcării, compunem prima dintre ecuațiile (34)

În acest caz - viteza în momentul opririi) și . Dintre forțe, doar forța F dă proiecția pe axă, deoarece este constantă, unde este timpul de frânare. Înlocuind toate aceste date în ecuația (a), obținem timpul dorit din

Deoarece masa unui punct este constantă și accelerația sa, ecuația care exprimă legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Ecuația exprimă simultan teorema privind modificarea impulsului unui punct în formă diferențială: derivată în timp pe impulsul punctului este egal cu suma geometrică forte care actioneaza asupra punctului.

Să integrăm această ecuație. Lăsați punctul de masă m, deplasându-se sub acţiunea unei forţe (Fig. 15), are în momentul de faţă t\u003d 0 viteză, iar în acest moment t 1 - viteza.

Fig.15

Atunci să înmulțim ambele părți ale egalității cu și să luăm integrale definite din ele. În acest caz, în dreapta, unde integrarea este în timp, limitele integralelor vor fi 0 și t 1, iar în stânga, unde viteza este integrată, limitele integralei vor fi valorile corespunzătoare ale vitezei și . Întrucât integrala lui is , apoi ca rezultat obținem:

.

Integralele din dreapta sunt impulsurile forțelor care acționează. Așa că ajungem cu:

.

Ecuația exprimă teorema privind modificarea impulsului unui punct în forma finală: modificarea impulsului unui punct într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma geometrică a impulsurilor tuturor forțelor care acționează asupra punctului în aceeași perioadă de timp ( orez. cincisprezece).

La rezolvarea problemelor, în loc de o ecuație vectorială, sunt adesea folosite ecuații din proiecții.

În cazul mișcării rectilinie de-a lungul axei Oh teorema este exprimată prin prima dintre aceste ecuații.

Întrebări pentru autoexaminare

Formulați legile de bază ale mecanicii.

Ce ecuație se numește ecuația de bază a dinamicii?

Care este măsura inerției corpurilor solide în mișcare de translație?

Greutatea corpului depinde de locația corpului pe Pământ?

Ce cadru de referință se numește inerțial?

Care corp este supus forței de inerție? punct materialși care este modulul și direcția lui?

Explicați diferența dintre conceptele de „inerție” și „forță de inerție”?

La ce corpuri se aplică forța de inerție, cum este direcționată și prin ce formulă se poate calcula?

Care este principiul kinetostaticei?

Care sunt modulele și direcțiile forțelor tangențiale și normale de inerție ale unui punct material?

Ce este greutatea corporală? Care este unitatea SI pentru măsurarea masei?

Care este măsura inerției unui corp?

Scrieți legea de bază a dinamicii în formă vectorială și diferențială?

O forță constantă acționează asupra unui punct material. Cum se mișcă punctul?

Ce accelerație va primi punctul dacă asupra lui acționează o forță egală cu dublul forței gravitației?

După ciocnirea a două puncte materiale cu mase m 1 =6 kg și m 2 \u003d 24 kg, primul punct a primit o accelerație de 1,6 m / s. Care este accelerația obținută de al doilea punct?

La ce mișcare a unui punct material este forța sa tangențială de inerție egală cu zero și la ce este normală?

Ce formule sunt folosite pentru a calcula modulele de rotație și forța centrifugă inerția unui punct aparținând unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe?

Cum este formulată legea de bază a dinamicii punctelor?

Dați formularea legii independenței acțiunii forțelor.

Scrieți ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material în formă vectorială și de coordonate.

Formulați esența primei și a doua sarcini principale ale dinamicii punctului.

Dați condițiile din care se determină constantele de integrare a ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct material.

Ce ecuații de dinamică se numesc ecuații naturale ale mișcării unui punct material?

Care sunt cele două probleme principale ale dinamicii punctului care se rezolvă cu ajutorul mișcărilor diferențiale ale unui punct material?

Ecuații diferențiale ale mișcării unui punct material liber.

Cum se determină constantele atunci când se integrează ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material?

Determinarea valorilor constantelor arbitrare care apar la integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării unui punct material.

Care sunt legile cădere liberă corp?

Care sunt legile care guvernează mișcarea orizontală și verticală a unui corp aruncat în unghi față de orizont în vid? Care este traiectoria mișcării sale și în ce unghi are corpul cea mai mare rază de zbor?

Cum se calculează impulsul unei forțe variabile pe o perioadă finită de timp?

Care este impulsul unui punct material?

Cum se exprimă munca elementara forțe prin traseul elementar al punctului de aplicare a forței și cum - prin creșterea coordonatei arcului acestui punct?

Pe ce deplasări este munca gravitației: a) pozitivă, b) negativă, c) egală cu zero?

Cum se calculează puterea unei forțe aplicate unui punct material care se rotește în jurul unei axe fixe cu o viteză unghiulară?

Formulați o teoremă privind modificarea impulsului unui punct material.

În ce condiții nu se modifică impulsul unui punct material? În ce condiții nu se modifică proiecția sa pe o anumită axă?

Dați formularea teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui punct material în formă diferențială și finită.

Ce se numește momentul impulsului unui punct material în raport cu: a) centru, b) axă?

Cum este formulată teorema despre modificarea momentului unghiular al unui punct față de centru și față de axă?

În ce condiții momentul unghiular al unui punct în jurul unei axe rămâne neschimbat?

Cum se determină momentele de impuls ale unui punct material față de centru și față de axă? Care este relația dintre ei?

În ce locație a vectorului moment al unui punct material este momentul său relativ la axă egal cu zero?

De ce traiectoria unui punct material care se mișcă sub acțiunea unei forțe centrale se află într-un singur plan?

Ce mișcare a unui punct se numește rectilinie? scrie ecuație diferențială mișcarea rectilinie a unui punct material.

Scrieți ecuațiile diferențiale pentru mișcarea plană a unui punct material.

Ce mișcare a unui punct material este descrisă de ecuațiile diferențiale de primul fel ale lui Lagrange?

În ce cazuri un punct material este numit non-liber și care sunt ecuațiile diferențiale de mișcare ale acestui punct?

Dați definiții ale constrângerilor staționare și nestaționare, holonomice și nonholonomice.

Ce sunt relațiile bidirecționale? Unilateral?

Care este esența principiului eliberării de legături?

Ce formă au ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct material neliber în forma Lagrange? Ce este multiplicatorul Lagrange?

Dați formularea teoremei Coriolis dinamice.

Care este esența principiului relativității Galileo-Newton?

Numiți mișcările în care forța de inerție Coriolis este zero.

Care este magnitudinea și direcția forțelor de translație și de inerție Coriolis?

Care este diferența dintre ecuațiile diferențiale ale mișcărilor relative și absolute ale unui punct material?

Cum sunt determinate forțele de inerție portabile și Coriolis în diferite cazuri de mișcare portabilă?

Care este esența principiului relativității mecanicii clasice?

Ce sisteme de referință se numesc inerțiale?

Care este condiția pentru restul relativ al unui punct material?

În ce puncte suprafața pământului gravitaţia are cea mai mare şi cea mai mică valoare?

Ce explică abaterea corpurilor în cădere spre est?

În ce direcție este deviat un corp aruncat vertical în sus?

O găleată este coborâtă în mină cu accelerație A\u003d 4 m/s 2. Gravitația cuvei G=2 kN. Determinați tensiunea în frânghia care susține cada?

Două puncte de material se deplasează în linie dreaptă cu viteze constante de 10 și 100 m/s. Se poate argumenta că în aceste puncte sunt aplicate sisteme echivalente de forțe?

1) este imposibil;

Forțe egale sunt aplicate la două puncte materiale cu masa de 5 și 15 kg. Comparați valorile numerice ale accelerației acestor puncte?

1) accelerațiile sunt aceleași;

2) accelerația unui punct cu masa de 15 kg este de trei ori mai mică decât accelerația unui punct cu masa de 5 kg.

Este posibil să se rezolve probleme de dinamică folosind ecuații de echilibru?

În mod similar, ca și pentru un punct material, derivăm o teoremă privind modificarea impulsului pentru sistem în diferite forme.

Transformăm ecuația (teorema privind mișcarea centrului de masă al unui sistem mecanic)

in felul urmator:

;

;

Ecuația rezultată exprimă teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială: derivata în timp a impulsului unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al forțelor externe care acționează asupra sistemului. .

În proiecțiile pe axe de coordonate carteziene:

; ; .

Luând în timp integralele ambelor părți ale ultimelor ecuații, obținem o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic în formă integrală: modificarea impulsului unui sistem mecanic este egală cu impulsul vectorului principal al forțe externe care acționează asupra sistemului .

.

Sau în proiecții pe axele de coordonate carteziene:

; ; .

Consecințele teoremei (legile conservării impulsului)

Legea conservării impulsului se obține ca cazuri speciale ale teoremei privind modificarea impulsului pentru un sistem în funcție de caracteristicile sistemului de forțe externe. Forțele interne pot fi orice, deoarece nu afectează schimbările de impuls.

Sunt posibile două cazuri:

1. Dacă suma vectorială a tuturor forțelor externe aplicate sistemului este egală cu zero, atunci impulsul sistemului este constant în mărime și direcție

2. Dacă proiecţia vectorului principal al forţelor externe pe oricare axa de coordonateși/sau și/sau , atunci proiecția cantității de mișcare pe aceleași axe este o valoare constantă, adică. și/sau și/sau respectiv.

Înregistrări similare pot fi făcute pentru un punct material și pentru un punct material.

Sarcina. De la un pistol a cărui masă M, un proiectil de masă zboară în direcție orizontală m cu viteza v. Găsiți viteza V pistoale după tragere.

Decizie. Toate forțe externe acționând asupra sistem mecanic pistol-proiectil, vertical. Prin urmare, pe baza corolarului teoremei privind modificarea impulsului sistemului, avem: .

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic înainte de împușcare:

Cantitatea de mișcare a sistemului mecanic după lovitură:

.

Echivalând părțile corecte ale expresiilor, obținem asta

.

Semnul „-” din formula rezultată indică faptul că, după împușcare, pistolul se va rostogoli înapoi în direcția opusă axei Bou.

EXEMPLU 2. Un jet de lichid cu o densitate curge cu viteza V dintr-o conductă cu o secțiune transversală F și lovește un perete vertical în unghi. Determinați presiunea fluidului pe perete.

DECIZIE. Aplicăm teorema privind modificarea impulsului în formă integrală la volumul lichidului cu masă m lovind un perete într-o perioadă de timp t.

ECUAȚIA MESHCHERSKY

(ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă)

În tehnologia modernă, apar cazuri când masa unui punct și a unui sistem nu rămâne constantă în procesul de mișcare, ci se modifică. Deci, de exemplu, în timpul zborului rachetelor spațiale, din cauza ejectării produselor de combustie și a părților individuale inutile ale rachetelor, modificarea masei ajunge la 90-95% din valoarea inițială totală. Dar nu numai tehnologia spațială poate fi un exemplu de dinamică a mișcării unei mase variabile. În industria textilă, există o schimbare semnificativă a masei diferitelor fusuri, bobine, role la viteze moderne ale mașinii și ale mașinii.

Luați în considerare principalele caracteristici asociate cu o modificare a masei, folosind exemplul mișcării de translație a unui corp de masă variabilă. Legea de bază a dinamicii nu poate fi aplicată direct unui corp de masă variabilă. Prin urmare, obținem ecuații diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă, aplicând teorema privind modificarea impulsului sistemului.

Lasă un punct de masă m+dm se mișcă cu viteză. Apoi are loc o detașare din punctul unei particule cu o masă dm deplasându-se cu viteză.

Cantitatea de mișcare a corpului înainte de desprinderea particulei:

Cantitatea de mișcare a unui sistem format dintr-un corp și o particulă detașată după detașarea acestuia:

Atunci modificarea impulsului este:

Pe baza teoremei privind modificarea impulsului sistemului:

Să notăm valoarea - viteza relativă a particulei:

Denota

valoarea R numită forță reactivă. Forța jetului este împingerea motorului, datorită eliberării de gaz din duză.

În sfârșit, obținem

-

Această formulă exprimă ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă (formula lui Meshchersky). Din ultima formulă rezultă că ecuațiile diferențiale ale mișcării unui punct de masă variabilă au aceeași formă ca și pentru un punct de masă constantă, cu excepția forței reactive suplimentare aplicate punctului datorită modificării masei.

Ecuația de bază a dinamicii unui corp de masă variabilă indică faptul că accelerația acestui corp se formează nu numai din cauza forțelor externe, ci și datorită forței reactive.

Forța reactivă este o forță asemănătoare cu cea resimțită de o persoană care împușcă - atunci când trage un pistol, este simțită de mână; când trage de la pușcă, este perceput de umăr.

Prima formulă a lui Ciolkovski (pentru o rachetă cu o singură etapă)

Lasă un punct de masă variabilă sau o rachetă să se miște în linie dreaptă sub acțiunea unei singure forțe reactive. Deoarece pentru multe motoare cu reacție moderne, unde este forța reactivă maximă permisă de proiectarea motorului (împingerea motorului); - forta gravitatiei care actioneaza asupra motorului, situata pe suprafata pamantului. Acestea. cele de mai sus permit ca componenta din ecuația Meshchersky să fie neglijată și pentru o analiză ulterioară să accepte această ecuație sub forma: ,

Denota:

Rezervă de combustibil (pentru motoarele cu reacție cu propulsie lichidă - masa uscată a rachetei (masa rămasă după arderea întregului combustibil);

Masa de particule separate de rachetă; considerată ca o variabilă variind de la la .

Să scriem ecuația mișcării rectilinie a unui punct de masă variabilă în următoarea formă:

Deoarece formula pentru determinarea masei variabile a unei rachete

Prin urmare, ecuațiile de mișcare ale unui punct Luând integralele ambelor părți, obținem

Unde - viteza caracteristica- aceasta este viteza pe care o dobândește racheta sub acțiunea împingerii după erupția tuturor particulelor din rachetă (pentru motoarele cu reacție cu propulsie lichidă - după ce tot combustibilul s-a ars).

Scos din semnul integral (ceea ce se poate face pe baza binecunoscutului matematica superioara teorema valorii medii) este viteza medie particule ejectate din rachetă.

Constând din n puncte materiale. Să evidențiem un punct din acest sistem Mj cu masa mj. Se știe că forțele externe și interne acționează în acest punct.

Aplica la un punct Mj rezultatul tuturor forțe interne F j iși rezultanta tuturor forțelor externe F j e(Figura 2.2). Pentru punctul material selectat Mj(ca și pentru un punct liber) scriem teorema privind modificarea impulsului în formă diferențială (2.3):

Scriem ecuații similare pentru toate punctele sistemului mecanic (j=1,2,3,…,n).

Figura 2.2

Să punem totul împreună n ecuatii:

∑d(m j ×V j)/dt = ∑F j e + ∑F j i, (2.9)

d∑(m j ×V j)/dt = ∑ F j e + ∑ F j i. (2.10)

Aici ∑mj ×Vj =Q este impulsul sistemului mecanic;
∑ F j e = R e – vector principal toate forțele externe care acționează asupra sistemului mecanic;
∑ F j i = R i =0- vectorul principal al forțelor interne ale sistemului (după proprietatea forțelor interne, este egal cu zero).

În final, pentru sistemul mecanic, obținem

dQ/dt = Re. (2.11)

Expresia (2.11) este o teoremă privind modificarea impulsului unui sistem mecanic sub formă diferențială (în expresie vectorială): derivata temporală a vectorului moment al unui sistem mecanic este egală cu vectorul principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Proiectând egalitatea vectorială (2.11) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema privind modificarea impulsului unui sistem mecanic într-o expresie de coordonate (scalare):

dQ x /dt = R x e;

dQ y /dt = R y e;

dQ z /dt = R z e, (2.12)

acestea. derivata în timp a proiecției impulsului unui sistem mecanic pe orice axă este egală cu proiecția pe această axă a vectorului principal al tuturor forțelor externe care acționează asupra acestui sistem mecanic.

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (2.12) cu dt, obținem teorema într-o altă formă diferențială:

dQ = R e ×dt = δS e, (2.13)

acestea. diferența de impuls al unui sistem mecanic este egală cu impulsul elementar al vectorului principal (suma impulsurilor elementare) al tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului.

Integrarea egalității (2.13) în intervalul de timp de la 0 la t, obținem o teoremă asupra modificării impulsului unui sistem mecanic într-o formă finită (integrală) (în expresie vectorială):

Q - Q 0 \u003d S e,

acestea. modificarea cantității de mișcare a unui sistem mecanic într-o perioadă finită de timp este egală cu impulsul total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe care acționează asupra sistemului în aceeași perioadă de timp..

Proiectând egalitatea vectorială (2.14) pe axele de coordonate carteziene, obținem expresii pentru teorema în proiecții (într-o expresie scalară):

acestea. modificarea proiecției impulsului sistemului mecanic pe orice axă pe o perioadă finită de timp este egală cu proiecția pe aceeași axă a impulsului total al vectorului principal (suma impulsurilor totale) a tuturor forțelor externe. acţionând asupra sistemului mecanic pentru aceeaşi perioadă de timp.

Din teorema considerată (2.11) - (2.15) urmează următoarele corolare:

1. În cazul în care un R e = ∑ F j e = 0, apoi Q = const– avem legea conservării vectorului moment al sistemului mecanic: dacă vectorul principal Re dintre toate forțele externe care acționează asupra unui sistem mecanic este egal cu zero, atunci vectorul impuls al acestui sistem rămâne constant în mărime și direcție și egal cu valoarea sa inițială Q0, adică Q = Q0.
2. În cazul în care un R x e = ∑X j e =0 (R e ≠ 0), apoi Q x = const- avem legea conservării proiecției pe axa impulsului sistemului mecanic: dacă proiecția vectorului principal a tuturor forțelor care acționează asupra sistemului mecanic pe orice axă este nulă, atunci proiecția pe aceeași axă a vectorul moment al acestui sistem va fi o valoare constantă și egală cu proiecția pe această axă vectorul impuls inițial, i.e. Qx = Q0x.

Forma diferențială a teoremei privind modificarea impulsului unui sistem de materiale are aplicații importante și interesante în mecanica continuumului. Din (2.11) se poate obține teorema lui Euler.

Mărimea mișcării sistemului, ca mărime vectorială, este determinată de formulele (4.12) și (4.13).

Teorema. Derivata în timp a cantității de mișcare a sistemului este egală cu suma geometrică a tuturor forțelor externe care acționează asupra acestuia.

În proiecțiile axelor carteziene, obținem ecuații scalare.

Puteți scrie un vector

(4.28)

și ecuații scalare

Care exprimă teorema privind modificarea impulsului sistemului în formă integrală: modificarea impulsului sistemului într-o anumită perioadă de timp este egală cu suma impulsurilor pentru aceeași perioadă de timp. La rezolvarea problemelor se folosesc mai des ecuațiile (4.27).

Legea conservării impulsului

Schimbă teorema impuls unghiular

Teorema privind modificarea momentului unghiular al unui punct față de centru: derivata în timp a momentului unghiular al unui punct față de un centru fix este egală cu momentul vectorial care acționează asupra punctului de forță față de același centru.

sau (4.30)

Comparând (4.23) și (4.30), vedem că momentele vectorilor și sunt conectate prin aceeași dependență ca și vectorii înșiși și sunt conectate (Fig. 4.1). Dacă proiectăm egalitatea pe axa care trece prin centrul O, obținem

(4.31)

Această egalitate exprimă teorema momentului de impuls al unui punct în jurul unei axe.

Orez. 4.1.

Teorema privind modificarea momentului principal al impulsului sau a momentului cinetic al unui sistem mecanic față de centru: derivata în timp a momentului cinetic al sistemului față de un centru fix este egală cu suma momentelor de toate forțele externe față de același centru.

(4.32)

Dacă proiectăm expresia (4.32) pe axa care trece prin centrul O, atunci obținem o egalitate care caracterizează teorema privind modificarea momentului unghiular în jurul axei.

(4.33)

Înlocuind (4.10) în egalitate (4.33) se poate scrie ecuația diferențială a unui corp rigid rotativ (roți, osii, arbori, rotoare etc.) în trei forme.

(4.34)

(4.35)

(4.36)

Astfel, este recomandabil să folosiți teorema privind modificarea momentului cinetic pentru a studia mișcarea unui corp rigid, care este foarte comună în tehnologie, rotația acestuia în jurul unei axe fixe.

Legea conservării momentului unghiular al sistemului

1. Fie în expresia (4.32) .

Apoi din ecuația (4.32) rezultă că , i.e. dacă suma momentelor tuturor forţelor externe aplicate sistemului este relativă la acest centru este egal cu zero, atunci momentul unghiular al sistemului relativ la acest centru va fi numeric și în direcție va fi constant.

2. Dacă , atunci . Astfel, dacă suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra sistemului față de o anumită axă este egală cu zero, atunci momentul cinetic al sistemului față de această axă va fi o valoare constantă.

Aceste rezultate exprimă legea conservării momentului unghiular.

În cazul unui corp rigid rotativ, din egalitatea (4.34) rezultă că dacă , atunci . De aici ajungem la următoarele concluzii:

Dacă sistemul este imuabil (absolut solid), atunci , prin urmare, și și corpul rigid se rotește în jurul unei axe fixe cu o viteză unghiulară constantă.

Dacă sistemul este modificabil, atunci . Cu o creștere (atunci elementele individuale ale sistemului se îndepărtează de axa de rotație), viteza unghiulară scade, deoarece , și crește odată cu descreșterea, astfel, în cazul unui sistem variabil, cu ajutorul forțelor interne, este posibilă modificarea vitezei unghiulare.

A doua sarcină D2 munca de control este dedicat teoremei privind modificarea momentului cinetic al sistemului în jurul axei.

Sarcina D2

O platformă orizontală omogenă (rotunda cu raza R sau dreptunghiulară cu laturile R și 2R, unde R = 1,2 m) cu masa kg se rotește cu o viteză unghiulară în jurul axei verticale z, care este distanțată de centrul de masă C al platformei la o distanță OC = b (Fig. D2.0 – D2.9, tabel D2); dimensiunile pentru toate platformele dreptunghiulare sunt prezentate în fig. D2.0a (vedere de sus).

În momentul de față, o sarcină D cu o masă de kg începe să se deplaseze de-a lungul jgheabului platformei (sub acțiunea forțelor interne) conform legii , unde s este exprimat în metri, t este în secunde. În același timp, o pereche de forțe cu un moment M (dat în newtonometre) încep să acționeze pe platforme; la M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).

Determinați, neglijând masa arborelui, dependența i.e. viteza unghiulară a platformei în funcție de timp.

În toate figurile, sarcina D este afișată într-o poziție în care s > 0 (când s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.

Directii. Sarcina D2 - privind aplicarea teoremei asupra modificării momentului unghiular al sistemului. Când se aplică teorema unui sistem format dintr-o platformă și o sarcină, momentul unghiular al sistemului în jurul axei z este definit ca suma momentelor platformei și a sarcinii. În acest caz, trebuie luat în considerare faptul că viteza absolută a sarcinii este suma relativă și viteze portabile, adică . Prin urmare, cantitatea de mișcare a acestei încărcături . Apoi putem folosi teorema Varignon (statică), conform căreia ; aceste momente se calculează în același mod ca și momentele forțelor. Cursul soluției este explicat mai detaliat în exemplul D2.

Când rezolvați problema, este util să reprezentați pe desenul auxiliar o vedere a platformei de sus (de la capătul z), așa cum se face în Fig. D2.0,a - D2.9,a.

Momentul de inerție al unei plăci cu masa m în jurul axei Cz, perpendicular pe placă și care trece prin centrul ei de masă, este egal cu: pentru o placă dreptunghiulară cu laturile și

;

Pentru o inserție rotundă cu raza R

Numărul condiției	b	s = F(t)	M
	R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2	-0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5	4t -6 -8t -9 6 -10 12

	Orez. D2.0		Orez. D2.0a

	Orez. D2.1		Orez. D2.1a

	Orez. D2.2		Orez. D2.2a

	Orez. D2.3		Orez. D2.3a

	Orez. D2.4
		Orez. D2.4a

		Orez. D2.5a
	Orez. D2.5

	Orez. D2.6		Orez. D2.6a

	Orez. D2.7		Orez. D2.7a

	Orez. D2.8		Orez. D2.8a

	Orez. D2.9		Orez. D2.9a

	Orez. D 2

Exemplul D2. O platformă orizontală omogenă (dreptunghiulară cu laturile 2l și l), având o masă, este fixată rigid de un arbore vertical și se rotește odată cu aceasta în jurul unei axe z cu viteza unghiulara (Fig. E2a ). În momentul de față, un cuplu M începe să acționeze asupra arborelui, îndreptat opus ; în același timp încărcătură D masa situata in jgheab AB la punct CU, incepe sa se deplaseze de-a lungul jgheabului (sub actiunea fortelor interne) conform legii s = CD = F(t).

Dat: m 1 \u003d 16 kg, t 2= 10 kg, l\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - în metri, t - în secunde), M= kt, Unde k=6 Nm/s. Definiți: - legea schimbării viteză unghiulară platforme.

Decizie. Luați în considerare un sistem mecanic format dintr-o platformă și o sarcină D. Pentru a determina w, aplicăm teorema privind modificarea momentului unghiular al sistemului în jurul axei z:

(1)

Să descriem forțele externe care acționează asupra sistemului: forțele gravitaționale ale reacției și cuplul M. Deoarece forțele și sunt paralele cu axa z, iar reacțiile intersectează această axă, momentele lor față de axa z sunt egale. la zero. Apoi, luând în considerare direcția pozitivă pentru moment (adică, în sens invers acelor de ceasornic), obținem iar ecuația (1) va lua această formă.