Muncă forțe interne la deplasarea finală este zero.

Lucrul unei forțe care acționează asupra unui corp în mișcare translațională este egal cu produsul acestei forțe și incrementul deplasării liniare.

Lucrul forței care acționează asupra unui corp în rotație este egal cu produsul dintre momentul acestei forțe în jurul axei de rotație și creșterea unghiului de rotație: ; . Putere:
.

Energie kinetică sistem mecanic pentru diferite tipuri de mișcare.

Energia cinetică a unui sistem mecanic- un scalar egal cu suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sistemului: .

La mișcare înainte:

La mișcare de rotație:

Cu mișcare plan-paralelă: , unde d este distanța de la centrul de masă la MCS

27. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material.

Energie kinetică punct material - un scalar egal cu jumătate din produsul masei unui punct și pătratul vitezei acestuia.

Ecuația de bază a dinamicii: , înmulțiți cu deplasarea elementară: ; ; . Integrarea expresiei rezultate:

Teorema: modificarea energiei cinetice a unui punct material la o anumită deplasare este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic.

Deoarece munca forțelor interne este zero, atunci:
.

Teorema: modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic la o deplasare finită este egală cu suma muncii forțelor externe la aceeași deplasare.

Principiul deplasărilor posibile pentru un sistem mecanic.

; , fie constrângerile impuse punctelor sistemului mecanic să fie bifațe, staționare, holonomice și ideale, atunci: .

Principiul mișcărilor posibile - Principiul Lagrange- pentru echilibrul unui sistem mecanic cu constrângeri bifețe, staționare, holonomice și ideale, este necesar și suficient ca suma algebrică a muncii forțelor date asupra posibila mutare a fost egal cu zero.

principiul lui d'Alembert pentru un punct material.

Suma geometrică a tuturor forțelor aplicate unui punct material în mișcare și a forțelor de inerție ale acestui punct este egală cu zero

Principiul lui d'Alembert pentru un sistem mecanic neliber.

Într-un sistem mecanic neliber în mișcare pentru fiecare punct material în orice moment de timp suma geometrică forțele aplicate acestuia, reacțiile de cuplare și forțele de inerție sunt egale cu zero. Înmulțind ambele părți ale expresiei cu r i obținem: ;
.

, suma momentelor forțelor date, a reacțiilor de cuplare și a forțelor de inerție în jurul axelor de coordonate este egală cu zero.

Aducerea forțelor de inerție a punctelor corp solid la cea mai simplă formă.

La sistemul de forțe de inerție a punctelor unui corp rigid se poate aplica metoda Punchon, considerată în statică. Atunci orice sistem de forțe de inerție poate fi redus la vectorul principal al forțelor de inerție și momentul principal al forțelor de inerție.

În mișcarea de translație: Ф=-ma (în mișcarea de translație a unui corp rigid, forțele de inerție ale punctelor sale sunt reduse la vectorul principal al forțelor de inerție egal în valoare absolută cu produsul masei corpului, prin accelerația centru de masă aplicat în acest centru și îndreptat spre accelerația opusă centrului de masă).

În timpul mișcării de rotație: M = -Iε (în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid, forțele de inerție ale punctelor sale sunt reduse la momentul principal al forțelor de inerție egal cu produsul momentului de inerție al corpului față de forțele de rotație iar acceleraţia unghiulară.Acest moment este îndreptat spre acceleraţia unghiulară opusă).

Pentru mișcarea plană: Ф=-ma M=-Iε (pentru mișcarea plană a unui corp rigid, forțele de inerție ale punctelor sale se reduc la vectorul principal și la momentul principal al forțelor de inerție).

Ecuația generală a dinamicii. principiul d'Alembert-Lagrange.

principiul d'Alembert: å(P i + R i + Ф i) = 0; å(P i + R i + Ф i)Dr i = 0, presupunem. că constrângerile impuse sistemului mecanic sunt bidirecționale, staționare, holonomice și ideale, atunci: å(R i × Dr i) = 0;

å(P i + Ф i)Dr i = 0 - ecuație generală difuzoare- pentru deplasarea unui sistem mecanic cu constrângeri bidirecționale, staționare, holonomice și ideale, suma muncii forțelor date și a forțelor de inerție ale punctelor sistemului pe orice deplasare posibilă este egală cu zero.

Vedere: acest articol a fost citit de 49920 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Materialul complet este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Două cazuri de conversie mișcare mecanică punct material sau sistem de puncte:

1. mișcarea mecanică este transferată de la un sistem mecanic la altul ca mișcare mecanică;
2. mișcarea mecanică este transformată într-o altă formă de mișcare a materiei (în forma energie potențială, căldură, electricitate etc.).

Când transformarea mișcării mecanice este considerată fără tranziția acesteia la o altă formă de mișcare, măsura mișcării mecanice este vectorul moment al unui punct material sau al unui sistem mecanic. Măsura acțiunii forței în acest caz este vectorul impuls al forței.

Când mișcarea mecanică este transformată într-o altă formă de mișcare a materiei, energia cinetică a unui punct material sau a unui sistem mecanic acționează ca o măsură a mișcării mecanice. Măsura acțiunii forței în transformarea mișcării mecanice într-o altă formă de mișcare este forta de munca

Energie kinetică

Energia cinetică este capacitatea unui corp de a depăși obstacolele în timpul mișcării.

Energia cinetică a unui punct material

Energia cinetică a unui punct material este o mărime scalară, care este egală cu jumătate din produsul dintre masa punctului și pătratul vitezei sale.

Energie kinetică:

• caracterizează atât mișcările de translație, cât și de rotație;
• nu depinde de direcția de mișcare a punctelor sistemului și nu caracterizează schimbarea în aceste direcții;
• caracterizează acţiunea atât a forţelor interne cât şi a celor externe.

Energia cinetică a unui sistem mecanic

Energia cinetică a sistemului este egală cu suma energiilor cinetice ale corpurilor sistemului. Energia cinetică depinde de tipul de mișcare al corpurilor sistemului.

Determinarea energiei cinetice a unui corp solid la tipuri diferite mișcări de mișcare.

Energia cinetică a mișcării de translație
În mișcarea de translație, energia cinetică a corpului este egală cu T=m V2/2.

O măsură a inerției unui corp în mișcare de translație este masa.

Energia cinetică a mișcării de rotație a corpului

În timpul mișcării de rotație a corpului, energia cinetică este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție al corpului în jurul axei de rotație și pătratul vitezei sale unghiulare.

O măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație este momentul de inerție.

Energia cinetică a unui corp nu depinde de direcția de rotație a corpului.

Energia cinetică a mișcării plan-paralele a corpului

Cu o mișcare plan-paralelă a corpului, energia cinetică este egală cu

Munca de forță

Lucrul forței caracterizează acțiunea forței asupra corpului la o anumită deplasare și determină modificarea modulului de viteză al punctului de mișcare.

Munca elementară de forță

Munca elementară a unei forțe este definită ca o valoare scalară egală cu produsul dintre proiecția forței pe tangente la traiectorie, îndreptată în direcția mișcării punctului, și deplasarea infinitezimală a punctului, îndreptată de-a lungul acestei tangente. .

Lucrul forței asupra deplasării finale

Munca forței asupra deplasării finale este egală cu suma muncii acesteia asupra secțiunilor elementare.

Lucrul forței asupra deplasării finale M 1 M 0 este egal cu integrala de-a lungul acestei deplasări din munca elementară.

Lucrarea forței asupra deplasării lui M 1 M 2 este descrisă de aria figurii delimitată de axa absciselor, curba și ordonatele corespunzătoare punctelor M 1 și M 0.

Unitatea de măsură a muncii forței și energiei cinetice în sistemul SI este 1 (J).

Teoreme despre munca forței

Teorema 1. Lucrul forței rezultante pe o anumită deplasare este egal cu suma algebrică a muncii forțelor componente pe aceeași deplasare.

Teorema 2. Munca unei forțe constante asupra deplasării rezultate este egală cu suma algebrică a muncii acestei forțe asupra deplasărilor componente.

Putere

Puterea este o mărime care determină munca efectuată de o forță pe unitatea de timp.

Unitatea de putere este 1W = 1 J/s.

Cazuri de determinare a muncii forţelor

Munca forțelor interne

Suma muncii forțelor interne ale unui corp rigid asupra oricăreia dintre deplasările sale este egală cu zero.

Lucrarea gravitației

Lucrul forței elastice

Lucrul forței de frecare

Lucrul forțelor aplicate unui corp în rotație

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe în jurul axei de rotație și creșterea unghiului de rotație.

rezistență la rostogolire

În zona de contact dintre cilindrul staționar și plan are loc o deformare locală a compresiei de contact, tensiunile sunt distribuite după o lege eliptică, iar linia de acțiune a rezultantei N a acestor tensiuni coincide cu linia de acțiune. a forței de sarcină asupra cilindrului Q. Când cilindrul se rostogolește, distribuția sarcinii devine asimetrică cu un maxim deplasat spre mișcare. Rezultatul N este deplasat cu valoarea k - umărul forței de frecare de rulare, care se mai numește și coeficientul de frecare de rulare și are dimensiunea lungimii (cm)

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material

Modificarea energiei cinetice a unui punct material la o parte din deplasarea sa este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic la o anumită deplasare este egală cu suma algebrică a forțelor interne și externe care acționează asupra punctelor materiale ale sistemului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui corp rigid

Modificarea energiei cinetice a unui corp rigid (sistem invariabil) la o anumită deplasare este egală cu suma forțelor externe ale robotului care acționează asupra punctelor sistemului la aceeași deplasare.

eficienţă

Forțe care acționează în mecanisme

Forțele și perechile de forțe (momente) care sunt aplicate unui mecanism sau mașină pot fi împărțite în grupuri:

1. Forțe motrice și momente care efectuează un lucru pozitiv (aplicate la legăturile de antrenare, de exemplu, presiunea gazului pe un piston într-un motor cu ardere internă).

2. Forțe și momente de rezistență care fac muncă negativă:

• rezistență utilă (efectuează munca cerută de la mașină și sunt aplicate pe legăturile antrenate, de exemplu, rezistența sarcinii ridicate de mașină),
• forțe de rezistență (de exemplu, forțe de frecare, rezistență a aerului etc.).

3. Forțele gravitaționale și forțele elastice ale arcurilor (atât lucru pozitiv, cât și negativ, în timp ce munca pentru un ciclu complet este zero).

4. Forțe și momente aplicate corpului sau rafturii din exterior (reacția fundației etc.), care nu fac lucru.

5. Forțe de interacțiune între legături care acționează în perechi cinematice.

6. Forțele de inerție ale legăturilor, datorită masei și mișcării legăturilor cu accelerație, pot efectua muncă pozitivă, negativă și nu face muncă.

Lucrarea forțelor în mecanisme

În starea staționară a mașinii, energia sa cinetică nu se modifică, iar suma muncii forțelor motrice și a forțelor de rezistență aplicate acesteia este egală cu zero.

Munca depusă la punerea în mișcare a mașinii este cheltuită pentru depășirea rezistențelor utile și dăunătoare.

eficienta mecanismului

Eficiența mecanică în mișcare constantă este egală cu raportul dintre munca utilă a mașinii și munca cheltuită la punerea în mișcare a mașinii:

Elementele mașinii pot fi conectate în serie, în paralel și mixte.

Eficiență în conexiune în serie

Când mecanismele sunt conectate în serie, eficiența globală este mai mică decât cea mai scăzută eficiență a unui mecanism individual.

Eficiență în conexiune în paralel

Când mecanismele sunt conectate în paralel, eficiența globală este mai mare decât cea mai mică și mai mică decât cea mai mare eficiență a unui mecanism separat.

Format: pdf

Limba: rusă, ucraineană

Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. S-au efectuat alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a problemei de îndoire a fasciculului
În exemplu, sunt reprezentate diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, se găsește o secțiune periculoasă și se selectează o grindă I. În problemă a fost analizată construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale, analiza comparativa diferite secțiuni transversale ale fasciculului.

Un exemplu de rezolvare a problemei torsiunii arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore de oțel pentru un diametru, material și tensiuni admisibile date. În timpul soluției, sunt construite diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a problemei de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei tije de oțel la solicitări admisibile date. În timpul soluției, se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, solicitărilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a barei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei de conservare a energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a problemei de aplicare a teoremei privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Teorema: munca gravitației nu depinde de tipul de traiectorie și este egală cu produsul dintre modulul de forță și deplasarea verticală a punctului de aplicare a acesteia .

Lasă materialul să arate M se deplasează sub influența gravitației G iar pentru o anumită perioadă de timp se mută de la poziție M 1 în poziție M 2 , trecând pe drum s (Fig. 4).
Pe traiectoria unui punct M selectați o zonă infinitezimală ds , care poate fi considerat drept rectiliniu și trasează linii drepte de la capete, paralel cu axele coordonate, dintre care una verticală și cealaltă orizontală.
Din triunghiul umbrit, obținem asta

dy = ds cos α.

Munca elementară de forță G pe un drum ds este egal cu:

dW = F ds cos α.

Munca totală a gravitației G pe un drum s este egal cu

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Deci, munca gravitației este egală cu produsul forței și deplasarea verticală a punctului de aplicare:

Teorema a fost demonstrată.

Un exemplu de rezolvare a problemei determinării muncii gravitației

O sarcină: Matrice dreptunghiulară uniformă ABCD greutate m = 4080 kg are dimensiunile indicate pe orez. cinci.
Determinați munca de făcut pentru a rula matricea în jurul marginii D .

Soluţie.
Este evident că munca dorită va fi egală cu munca de rezistență efectuată de gravitația matricei, în timp ce deplasarea verticală a centrului de greutate al matricei atunci când se rostogolește peste margine. D este calea care determină cantitatea de muncă efectuată de gravitație.

Mai întâi, să definim gravitatea matricei: G=mg = 4080 × 9,81 = 40.000 N = 40 kN.

Pentru a determina mișcarea verticală h centrul de greutate al unui tablou omogen dreptunghiular (este situat în punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului), folosim teorema lui Pitagora, pe baza căreia:

KO 1 \u003d OD - KD \u003d √ (OK 2 + KD 2) - KD \u003d √ (3 2 +4 2) - 4 \u003d 1 m.

Pe baza teoremei asupra muncii gravitației, determinăm munca dorită necesară pentru a răsturna matricea:

W \u003d G × KO 1 \u003d 40.000 × 1 \u003d 40.000 J \u003d 40 kJ.

Problema rezolvata.

Lucrul unei forțe constante aplicate unui corp în rotație

Imaginează-ți un disc care se rotește în jurul unei axe fixe sub acțiunea unei forțe constante F (Fig. 6), al cărui punct de aplicare se deplasează cu discul. Să descompunăm forța F în trei componente reciproc perpendiculare: F1 - forta circumferentiala F2 – forta axiala, F3 este forța radială.

Când discul este rotit printr-un unghi infinit de mic dφ putere F va efectua un lucru elementar, care, pe baza teoremei asupra lucrului rezultantei, va fi egal cu suma muncii componentelor.

Evident, munca componentelor F2 Și F3 va fi egal cu zero, deoarece vectorii acestor forțe sunt perpendiculari pe deplasarea infinitezimală ds puncte de aplicare M , deci munca elementară a forței F este egală cu munca componentei sale F1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Când rotiți discul la unghiul final φ forta de munca F este egal cu

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

unde este unghiul φ exprimată în radiani.

Din momentele alegătorilor F2 Și F3 despre axa z sunt egale cu zero, atunci, pe baza teoremei Varignon, momentul forței F despre axa z este egal cu:

M z (F) \u003d F 1 R.

Momentul de forță aplicat discului în jurul axei de rotație se numește cuplu și, conform standardului ISO, notat cu litera T :

T \u003d M z (F), Prin urmare, W = Tφ .

Lucrul unei forțe constante aplicate unui corp în rotație este egal cu produsul dintre cuplul și deplasarea unghiulară.

Exemplu de rezolvare a problemei

O sarcină: muncitorul rotește cu forță mânerul troliului F = 200 N, perpendicular pe raza de rotație.
Găsiți de lucru petrecut în timp t = 25 de secunde dacă lungimea mânerului r = 0,4 m, și viteza sa unghiulară ω = π/3 rad/s.

Soluţie.
În primul rând, definim deplasarea unghiulară φ manere de troliu 25 de secunde:

φ = ωt \u003d (π / 3) × 25 \u003d 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Putere

Munca efectuată de orice forță poate fi pentru diferite perioade de timp, adică la viteze diferite. Pentru a caracteriza cât de repede se lucrează, există un concept în mecanică putere , care este de obicei notat cu litera P .

Lucrul elementar al unei forțe asupra deplasării (Fig. 3.22) este produsul scalar al forței și deplasarea elementară a punctului de aplicare a acesteia:

unde a este unghiul dintre direcțiile vectorilor și

pentru că atunci putem scrie o altă expresie a muncii elementare:

Pentru munca elementară, puteți scrie mai multe expresii:

Din formulele elementare de lucru rezultă că această mărime poate fi pozitivă (unghiul a este acut), negativă (unghiul a este obtuz) sau egală cu zero (unghiul a este drept).

Munca deplină a forțelor. Pentru a determina munca totală a unei forțe la deplasarea dintr-un punct M 0 la M Să împărțim această mișcare în n deplasări, fiecare din ele în limită devine elementară. Apoi munca forței DAR:

Unde dA k- lucrează la k-a deplasare elementară.

Suma scrisă este integrală și poate fi înlocuită integrală curbilinie luate de-a lungul curbei la deplasare M 0 M. Apoi

sau

unde este timpul t=0 corespunde unui punct M 0 și timpul t- punct M.

Din definiția lucrării elementare și complete rezultă:

1) lucrul forței rezultante asupra oricărei deplasări este egal cu suma algebrică a muncii forțelor componente asupra acestei deplasări;

2) lucrul forțelor pe o deplasare completă este egal cu suma muncii aceleiași forțe asupra deplasărilor componente, în care întreaga deplasare este împărțită în orice fel.

Puterea puterii. Puterea unei forțe este munca efectuată pe unitatea de timp.

sau având în vedere că

Puterea forței este o valoare egală cu produsul scalar al forței și viteza punctului de aplicare a acesteia.

Astfel, la putere constantă, o creștere a vitezei duce la o scădere a forței și invers. Unitatea de putere este Watt: 1W=1J/s.

Dacă se aplică o forță unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe, atunci puterea sa este egală cu

Puterea unei perechi de forțe este determinată în mod similar.

3.3.4.3. Exemple de calcul al muncii unei forțe

Munca totală a forței

Unde h- înălțimea la care a căzut punctul.

Astfel, munca efectuată de gravitație este pozitivă când punctul este descendent și negativ când punctul este în sus. Munca gravitației nu depinde de forma traiectoriei dintre puncte M 0 și M 1 .

Lucrul forței liniare de elasticitate. Forța liniară a elasticității se numește forța care acționează conform legii lui Hooke (Fig. 3.24):

unde este vectorul rază trasat de la punctul de echilibru, unde forța este zero, până la punctul considerat M; din – factor constant rigiditate.

Lucrul unei forțe asupra deplasării dintr-un punct M 0 la punct M 1 este determinat de formula

Prin integrare, obținem

(3.27)

Orez. 3.25

Conform formulei (3.27), lucrul forței elastice liniare a arcurilor se calculează atunci când se deplasează pe orice cale de la punctul M 0 , unde deformarea sa inițială este egală cu exact M 1, unde deformarea este, respectiv, egală cu În noua notație, formula (3.27) ia forma

Lucrul unei forțe aplicate unui corp rigid rotativ. Când un corp rigid se rotește în jurul unei axe fixe, viteza unui punct M poate fi calculat folosind formula Euler, vezi fig. 3.25:

Atunci munca elementară a forței este determinată de formula

Folosind proprietatea mixtă produs vectorial
primim

pentru că - momentul de forță în jurul punctului DESPRE. Dat fiind - momentul de forta in jurul axei de rotatie Ozși ω dt=dφ, obținem în sfârșit:

dA=Mzdφ.

Lucrul elementar al unei forțe aplicate oricărui punct al unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul forței în jurul axei de rotație și diferența dintre unghiul de rotație al corpului.

Munca completa:

În cazul particular când , lucrul este determinat de formula

unde j este unghiul de rotație al corpului asupra căruia se calculează munca forței.

Orez. 3.26

Lucrarea forțelor interne ale unui corp rigid. Să demonstrăm că munca forțelor interne ale unui corp rigid este egală cu zero pentru oricare dintre deplasările sale. Este suficient să demonstrăm că suma muncii elementare a tuturor forțelor interne este egală cu zero. Luați în considerare oricare două puncte ale corpului M 1 și M 2 (Fig. 3.26). Deoarece forțele interne sunt forțele de interacțiune ale punctelor corpului, atunci:

Să vă prezentăm vector unitarîndreptată cu forţa Apoi

Suma muncii elementare a forțelor și este egală cu

revelatoare produse punctate vectori în paranteză, obținem

Deoarece s-a dovedit în cinematică că proiecțiile vitezelor oricăror două puncte ale unui corp rigid pe direcția unei drepte care leagă aceste puncte sunt egale între ele pentru orice mișcare a unui corp rigid, atunci diferența dintre paranteze în expresia rezultată este diferența de valori identice, adică o valoare egală cu zero.

3.3.4.4. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct

Pentru un punct material cu masă m, deplasându-se sub acţiunea unei forţe, legea de bază a dinamicii poate fi reprezentată ca

Înmulțind ambele părți ale acestei relații scalar cu diferența vectorului rază a punctului, avem

sau

Dat fiind - munca elementara de forta,

(3.28)

Formula (3.28) exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice pentru un punct în formă diferențială.

Diferența energiei cinetice a unui punct este egală cu munca elementară a forței care acționează asupra punctului.

Dacă ambele părți ale egalității (3.28) sunt integrate din punct M 0 la punct M(vezi Fig. 3.22), obținem o teoremă privind modificarea energiei cinetice a unui punct în formă finită:

Modificarea energiei cinetice a unui punct la orice deplasare este egală cu munca forței care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

3.4.4.5. Teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului

Pentru fiecare punct al sistemului, teorema privind modificarea energiei cinetice poate fi exprimată sub forma:

Însumând părțile din dreapta și din stânga acestor relații peste toate punctele sistemului și luând semnul diferențialei din semnul sumei, obținem:

sau

Unde este energia cinetică a sistemului; sunt opera elementară a forțelor externe și, respectiv, interne.

Formula (3.29) exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului în formă diferențială.

Diferența față de energia cinetică a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor externe și interne care acționează asupra sistemului.

Dacă ambele părți ale (3.29) sunt integrate între două poziții ale sistemului - inițială și finală, în care energia cinetică este egală cu T 0 și T, atunci, prin schimbarea ordinii de însumare și integrare, avem:

sau

Unde este lucrarea unei forțe externe pentru un punct al sistemului Mkîn timp ce se deplasează de la poziția de început la poziția finală Mk; este lucrarea forței interne care acționează asupra punctului Mk.

Formula (3.30) exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului în formă finită sau integrală.

Modificarea energiei cinetice a sistemului atunci când se deplasează dintr-o poziție în alta este egală cu suma muncii tuturor forțelor externe și interne care acționează asupra sistemului asupra deplasărilor corespunzătoare ale punctelor sistemului cu aceeași deplasare de sistemul.