Ecuația diferențială liniară (LDE) de ordinul 2 are următoarea formă:
unde , și - funcții predefinite, continuu pe intervalul pe care se cauta solutia. Presupunând că a 0 (x) ≠ 0, împărțim (2.1) la și, după introducerea unei noi notații pentru coeficienți, scriem ecuația sub forma:
Să presupunem fără dovezi că (2.2) are o soluție unică pe un interval care satisface orice condiții inițiale , , dacă funcțiile , și sunt continue pe intervalul considerat. Dacă , atunci ecuația (2.2) se numește omogenă, iar ecuația (2.2) se numește neomogenă în caz contrar.
Să luăm în considerare proprietățile soluțiilor la lodu de ordinul 2.
Definiție. O combinație liniară de funcții este o expresie , unde sunt numere arbitrare.
Teorema. Daca si este o solutie lodu
atunci combinația lor liniară va fi de asemenea o soluție a acestei ecuații.
Dovada.
Punem expresia din (2.3) si aratam ca rezultatul este o identitate:
Să rearanjam termenii:
Deoarece funcțiile și sunt soluții ale ecuației (2.3), fiecare dintre parantezele din ultima ecuație este identic egal cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.
Consecința 1. Din teorema demonstrată rezultă că, dacă este o soluție a ecuației (2.3), atunci este și o soluție a acestei ecuații.
Consecința 2. Presupunând , vedem că suma a două soluții la lodu este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.
Cometariu. Proprietatea soluțiilor demonstrată în teoremă rămâne valabilă pentru cazul oricărui ordin.
§3. determinantul lui Vronsky.
Definiție. Un sistem de funcții este numit liniar independent pe un anumit interval dacă niciuna dintre aceste funcții nu poate fi reprezentată ca o combinație liniară a tuturor celorlalte.
În cazul a două funcții, aceasta înseamnă că 
, adică 
. Ultima condiție poate fi rescrisă sub forma sau 
. Determinantul din numărătorul acestei expresii 
se numeşte determinant Wronsky pentru funcţiile şi . Astfel, determinantul Wronsky pentru două funcții liniar independente nu poate fi identic egal cu zero.
Lasa 
este determinantul Wronsky pentru soluțiile și ecuația (2.3) liniar independente. Să verificăm prin substituție că funcția satisface ecuația . (3.1)
Într-adevăr, . Deoarece funcțiile și satisfac ecuația (2.3), atunci , i.e. este soluția ecuației (3.1). Să găsim această soluție: ; . Unde , 
. 
,
, .
În partea dreaptă a acestei formule, trebuie să luați semnul plus, deoarece numai în acest caz se obține o identitate. În acest fel,
(3.2)
Această formulă se numește formula Liouville. S-a arătat mai sus că determinantul Wronsky pentru funcțiile liniar independente nu poate fi identic egal cu zero. Prin urmare, există un punct în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2.3) este diferit de zero. Apoi, din formula Liouville rezultă că funcția va fi diferită de zero pentru toate valorile din intervalul luat în considerare, deoarece ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt non-zero pentru orice valoare.
§4. Structura solutiei generale la lod de ordinul 2.
Teorema. Dacă și sunt soluții liniar independente ale ecuației (2.3), atunci combinația lor liniară 
, unde și sunt constante arbitrare, va fi soluția generală a acestei ecuații.
Dovada.
Ce 
este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema privind proprietățile soluțiilor unui lodu de ordinul doi. Trebuie doar să arătăm că soluția 
voi general, adică este necesar să se arate că pentru orice condiții inițiale, se pot alege constante arbitrare și astfel încât să se îndeplinească aceste condiții. Să scriem condiții inițiale la fel de:
Constantele și din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul acestui sistem este valoarea determinantului Wronsky pentru soluții liniar independente la lodu pentru:
,
iar un astfel de determinant, așa cum am văzut în secțiunea anterioară, este diferit de zero. Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. Demonstrați că funcția 
, unde și sunt constante arbitrare, este o soluție generală la lodu .
Soluţie.
Este ușor de verificat prin substituție că funcțiile și satisface ecuația dată. Aceste funcții sunt liniar independente, deoarece 
. Prin urmare, conform teoremei privind structura soluției generale, loda de ordinul 2 
este soluția generală a acestei ecuații.
Instituția de învățământ „Statul Belarus
Academia Agricolă"
Catedra de Matematică Superioară
Instrucțiuni
privind studiul temei „Ecuații diferențiale liniare de ordinul doi” de către studenții departamentului de contabilitate a formei de corespondență de învățământ (NISPO)
Gorki, 2013
Liniar ecuatii diferentiale
ordinul doi cu constantăcoeficienți
Ecuații diferențiale liniare omogene
Ecuație diferențială liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți se numește ecuație de formă
acestea. o ecuație care conține funcția dorită și derivatele ei doar până la primul grad și nu conține produsele acestora. În această ecuație 
Și 
sunt niște numere și funcția 
dat pe un anumit interval 
.
Dacă 
pe interval 
, atunci ecuația (1) ia forma
,
(2)
și a sunat liniar omogen . În caz contrar, se numește ecuația (1). liniar neomogen .
Luați în considerare funcția complexă
,
(3)
Unde 
Și 
sunt funcții reale. Dacă funcția (3) este o soluție complexă a ecuației (2), atunci partea reală 
, și partea imaginară 
solutii 
individual sunt soluții ale aceleiași ecuație omogenă. Astfel, orice soluție complexă a ecuației (2) generează două soluții reale ale acestei ecuații.
Soluții omogene ecuație liniară au proprietati:
Dacă 
este o soluție a ecuației (2), apoi funcția 
, Unde DIN- o constantă arbitrară, va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
Dacă 
Și 
sunt soluții ale ecuației (2), apoi funcția 
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2);
Dacă 
Și 
sunt soluții ale ecuației (2), apoi combinația lor liniară 
va fi, de asemenea, o soluție a ecuației (2), unde 
Și 
sunt constante arbitrare.
Funcții 
Și 
numit dependent liniar
pe interval 
dacă există astfel de numere 
Și 
, care nu sunt egale cu zero în același timp, că pe acest interval egalitatea
Dacă egalitatea (4) este valabilă numai când 
Și 
, apoi funcțiile 
Și 
numit liniar independent
pe interval 
.
Exemplul 1
. Funcții 
Și 
sunt liniar dependente, deoarece 
de-a lungul întregii drepte numerice. În acest exemplu 
.
Exemplul 2
. Funcții 
Și 
sunt liniar independente pe orice interval, din moment ce egalitatea 
posibil numai dacă și 
, Și 
.
Construirea unei soluții generale a unui omogen liniar
ecuații
Pentru a găsi o soluție generală a ecuației (2), trebuie să găsiți două dintre soluțiile sale liniar independente 
Și 
. Combinație liniară a acestor soluții 
, Unde 
Și 
sunt constante arbitrare și vor da soluția generală a unei ecuații liniare omogene.
Soluțiile liniar independente ale ecuației (2) vor fi căutate sub forma
,
(5)
Unde 
- un număr. Apoi 
,
. Să substituim aceste expresii în ecuația (2):
Sau 
.
pentru că 
, apoi 
. Deci funcția 
va fi o soluție a ecuației (2) dacă 
va satisface ecuația
.
(6)
Ecuația (6) se numește ecuație caracteristică pentru ecuația (2). Această ecuație este o ecuație algebrică pătratică.
Lasa 
Și 
sunt rădăcinile acestei ecuații. Ele pot fi fie reale și diferite, fie complexe, fie reale și egale. Să luăm în considerare aceste cazuri.
Lasă rădăcinile 
Și 
ecuație caracteristică valabil si diferit. Atunci soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile 
Și 
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece egalitatea 
poate fi efectuat numai atunci când 
, Și 
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
,
Unde 
Și 
sunt constante arbitrare.
Exemplul 3
.
Soluţie
. Ecuația caracteristică pentru această diferență va fi 
. Rezolvarea ecuație pătratică, găsiți-i rădăcinile 
Și 
. Funcții 
Și 
sunt soluții ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma 
.
număr complex 
se numește expresie a formei 
, Unde 
Și 
- numere reale, dar 
se numește unitatea imaginară. Dacă 
, apoi numărul 
se numește pur imaginar. Dacă 
, apoi numărul 
este identificat cu un număr real 
.
Număr 
se numește partea reală a numărului complex și 
- partea imaginară. Dacă două numere complexe diferă unul de celălalt doar prin semnul părții imaginare, atunci ele se numesc conjugate: 
,
.
Exemplul 4
. Rezolvați o ecuație pătratică 
.
Soluţie
. Ecuația discriminantă 
. Apoi . De asemenea, 
. Astfel, această ecuație pătratică are rădăcini complexe conjugate.
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie complexe, i.e. 
,
, Unde 
. Soluțiile ecuației (2) pot fi scrise ca 
,
sau 
,
. Conform formulelor lui Euler
,
.
Apoi , . După cum se știe, dacă o funcție complexă este o soluție a unei ecuații liniare omogene, atunci soluțiile acestei ecuații sunt atât părțile reale, cât și cele imaginare ale acestei funcții. Astfel, soluțiile ecuației (2) vor fi funcțiile 
Și 
. De la egalitate
poate fi efectuat numai dacă 
Și 
, atunci aceste soluții sunt liniar independente. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma
Unde 
Și 
sunt constante arbitrare.
Exemplul 5
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie
. Ecuația 
este caracteristic pentru diferenţialul dat. O rezolvăm și obținem rădăcini complexe 
,
. Funcții 
Și 
sunt soluții liniar independente ale ecuației diferențiale. Soluția generală a acestei ecuații are forma .
Fie rădăcinile ecuației caracteristice să fie reale și egale, adică. 
. Atunci soluțiile ecuației (2) sunt funcțiile 
Și 
. Aceste soluții sunt liniar independente, deoarece expresia poate fi identic egală cu zero numai atunci când 
Și 
. Prin urmare, soluția generală a ecuației (2) are forma 
.
Exemplul 6
. Aflați soluția generală a ecuației diferențiale 
.
Soluţie
. Ecuație caracteristică 
are rădăcini egale 
. În acest caz, soluțiile liniar independente ale ecuației diferențiale sunt funcțiile 
Și 
. Soluția generală are forma 
.
§ 9. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienţi constanţi
Determinarea LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți
Ecuația caracteristică:
Cazul 1. Discriminant mai mare decât zero
Cazul 2. Discriminantul este zero
Cazul 3. Discriminant mai mic decat zero
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți
§ 10. Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienţi constanţi
Determinarea LIDE de ordinul doi cu coeficienți constanți
Metoda variației constante
Metodă de rezolvare a LIDE cu o parte dreaptă specială
Teoremă privind structura soluției generale a LIDE
1. Funcție r (X) este un polinom de grad T
2. Funcția r (X) este produsul unui număr prin functie exponentiala
3. Funcție r (X) - suma funcții trigonometrice
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale pentru LIDE cu o parte dreaptă specială
Apendice
§ nouă. Ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți
Se numește ecuația diferențială de ordinul doi ecuație diferențială liniară omogenă (LODE) cu coeficienți constanți daca arata asa:
Unde pȘi q
Pentru a găsi o soluție generală la LODE, este suficient să găsiți două dintre soluțiile sale particulare diferite și . Apoi soluția generală a LODE va avea forma
Unde DIN 1 și DIN
Leonhard Euler a propus să caute soluții speciale ale LODE în formă
Unde k- un număr.
Diferențierea acestei funcții de două ori și înlocuirea expresiilor pentru la, la"Și la"în ecuație, obținem:
Ecuația rezultată se numește ecuație caracteristică LODU. Pentru a-l compila, este suficient să înlocuiți în ecuația originală la", la"Și la respectiv pe k 2 , k si 1:
După rezolvarea ecuației caracteristice, i.e. găsirea rădăcinilor k 1 și k 2, vom găsi, de asemenea, soluții speciale pentru LODE original.
Ecuația caracteristică este o ecuație pătratică, rădăcinile ei se găsesc prin discriminant
În acest caz, sunt posibile următoarele trei cazuri.
Cazul 1. Discriminant mai mare decât zero , de aici rădăcinile k 1 și k 2 valide și diferite:
k 1¹ k 2
Unde DIN 1 și DIN 2 sunt constante independente arbitrare.
Cazul 2. Discriminantul este zero , de aici rădăcinile k 1 și k 2 reale și egale:
k 1 = k 2 = k
În acest caz, soluția generală a LODE are forma
Unde DIN 1 și DIN 2 sunt constante independente arbitrare.
Cazul 3. Discriminant mai mic decat zero . În acest caz, ecuația nu are rădăcini reale:
Nu există rădăcini.
În acest caz, soluția generală a LODE are forma
Unde DIN 1 și DIN 2 sunt constante arbitrare independente,
Astfel, găsirea unei soluții generale a unei LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți se reduce la găsirea rădăcinilor ecuației caracteristice și utilizarea formulelor pentru soluția generală a ecuației (fără a recurge la calcularea integralelor).
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți:
1. Aduceți ecuația la forma , unde pȘi q sunt niste numere reale.
2. Compuneți o ecuație caracteristică.
3. Aflați discriminantul ecuației caracteristice.
4. Folosind formulele (vezi Tabelul 1), în funcție de semnul discriminantului, notează soluția generală.
tabelul 1
Tabel cu posibile soluții generale
Ecuații diferențiale de ordinul 2
§unu. Metode de scădere a ordinului unei ecuații.
Ecuația diferențială de ordinul 2 are forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( sau Diferențial" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">ecuație diferențială de ordinul 2). Problemă Cauchy pentru ecuația diferențială de ordinul 2 (1..gif" width="85" height= "25 src= ">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Lasă ecuația diferențială de ordinul 2 să arate astfel: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Astfel, ecuația de ordinul 2 https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Rezolvând-o, obținem integrala generală a ecuației diferențiale inițiale, în funcție de două constante arbitrare: DIV_ADBLOCK219">
Exemplul 1 Rezolvați ecuația diferențială https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.
Aceasta este o ecuație diferențială separabilă: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e..gif" width= "96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width="99" înălțime ="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.
2..gif" width="117" height="25 src=">, adică..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">
Soluţie.
ÎN ecuația datăÎn mod clar, a doua comandă nu include funcția dorită https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src="> care este o ecuație liniară..gif" width="109" height="36 src=">..gif " width ="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> din orice funcții..gif" width="25" height="25 src=">.gif" width= "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – Ordinea ecuației a fost retrogradată.
§2. Ecuație diferențială liniară de ordinul 2.
Ecuația diferențială liniară (LDE) de ordinul 2 are următoarea formă:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> și, după introducerea unei noi notații pentru coeficienți, scriem ecuația sub forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> continuu..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – numere arbitrare.
Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - soluția este
https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> va fi, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.
Dovada.
Să punem expresia https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.
Să rearanjam termenii:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.
Consecința 2. Presupunând că https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> este, de asemenea, o soluție a acestei ecuații.
Cometariu. Proprietatea soluțiilor demonstrată în teoremă rămâne valabilă pentru cazul oricărui ordin.
§3. determinantul lui Vronsky.
Definiție. Sistem de funcții https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> ecuații (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">. (3.1)
Într-adevăr, ..gif" width="18" height="25 src="> satisface ecuația (2..gif" width="42" height="25 src="> este o soluție a ecuației (3.1). .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> este identic. Astfel,
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, în care determinantul pentru soluțiile liniar independente ale ecuației (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> Ambii factori din partea dreaptă a formulei (3.2) sunt diferite de zero.
§4. Structura solutiei generale la lod de ordinul 2.
Teorema. Dacă https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale ecuației (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">este o soluție a ecuației (2.3), rezultă din teorema proprietăților soluțiilor lodu de ordinul 2..gif " width="85 "height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Constantele https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> din acest sistem de ecuații algebrice liniare sunt determinate în mod unic, deoarece determinantul lui acest sistem este https: //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Conform paragrafului anterior, solutia generala a lodu-ului de ordinul 2 se determina usor daca se cunosc doua solutii partiale liniar independente ale acestei ecuatii.O metoda simpla pentru a găsi soluții parțiale la o ecuație cu coeficienți constanți propusă de L. Euler..gif" width="25" height="26 src=">, obținem ecuație algebrică, care se numește caracteristică:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> va fi o soluție a ecuației (5.1) numai pentru acele valori ale lui k care sunt rădăcinile ecuației caracteristice (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> și soluția generală (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Verificați dacă această funcție satisface ecuația (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Înlocuind aceste expresii în ecuația (5.1), obținem
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, deoarece.gif" width="137" height="26 src=" >.
Soluțiile private https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> sunt liniar independente, deoarece.gif" width="166" height= "26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height =" 25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Ambele paranteze din partea stângă a acestei egalități sunt identice egale cu zero..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> este soluția ecuației (5.1) ..gif" width="129" height="25 src="> va arăta astfel:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
reprezentată ca suma soluției generale https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
și orice soluție anume https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> va fi o soluție a ecuației (6.1)..gif" width=" 272" height="25 src="> f(x). Această egalitate este o identitate deoarece..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Prin urmare.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width= "138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> sunt soluții liniar independente ale acestei ecuații. În acest fel:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, iar un astfel de determinant, așa cum am văzut mai sus, este diferit de zero..gif" width="19" height="25 src="> de sistem de ecuații (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> va fi soluția ecuației
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> în ecuația (6.5), obținem
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7,1)
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> din ecuația (7.1) în cazul în care partea dreaptă f(x) are o specială Această metodă se numește metoda coeficienților nedeterminați și constă în selectarea unei anumite soluții în funcție de forma laturii drepte a lui f(x).Se consideră partea dreaptă a următoarei forme:
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src="> poate fi zero. Să indicăm forma în care trebuie luată soluția particulară în acest caz.
a) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height=" 25 src =">.
Soluţie.
Pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= " >.
Scurtăm ambele părți prin https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> în părțile din stânga și din dreapta ale egalității
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Din sistemul de ecuații rezultat găsim: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src=">, iar soluția generală ecuația dată mânca:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Soluţie.
Ecuația caracteristică corespunzătoare are forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. În sfârșit avem următoarea expresie pentru soluția generală:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> excelent de la zero. Să indicăm forma unei anumite soluții în acest caz.
a) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> este rădăcina ecuației caracteristice pentru ecuație (5..gif" lățime ="229 "height="25 src=">,
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Soluţie.
Rădăcinile ecuației caracteristice pentru ecuația https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height="25 src=">.
Partea dreaptă a ecuației din exemplul 3 are o formă specială: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Pentru a defini https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > și înlocuiți în ecuația dată:
Aducând termeni similari, coeficienți echivalenti la https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height= "25 src=">.
Soluția generală finală a ecuației date este: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47 " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> respectiv, iar unul dintre aceste polinoame poate fi egal cu zero. Să indicăm forma unei anumite soluții în acest general caz.
a) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
unde https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Dacă numărul este https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, atunci o anumită soluție va arăta astfel:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. În expresia (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
Exemplul 4 Indicați tipul de soluție particulară pentru ecuație
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Soluția generală la lod are forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Alți coeficienți https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > există o soluție specială pentru ecuația cu partea dreaptă f1(x) și Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variații ale constantelor arbitrare (metoda Lagrange).
Găsirea directă a unei anumite soluții la o dreaptă, cu excepția cazului unei ecuații cu coeficienți constanți și, în plus, cu termeni speciali speciali, prezintă mari dificultăți. Prin urmare, pentru a găsi soluția generală a lindu-ului, se utilizează de obicei metoda de variație a constantelor arbitrare, care face întotdeauna posibilă găsirea soluției generale a lindu-ului în cuadraturi, dacă sistem fundamental soluții ale ecuației omogene corespunzătoare. Această metodă este după cum urmează.
Conform celor de mai sus, soluția generală a ecuației liniare omogene este:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – nu constante, dar unele, încă necunoscute, funcții ale lui f(x). . trebuie luat din interval. De fapt, în acest caz, determinantul Wronsky este diferit de zero în toate punctele intervalului, adică în întregul spațiu - rădăcină complexă ecuație caracteristică..gif" width="20" height="25 src="> soluții parțiale liniar independente de forma:
În formula generală a soluției, această rădăcină corespunde unei expresii a formei.
În acest articol, vom analiza principiile pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale omogene liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți, unde p și q sunt numere reale arbitrare. Mai întâi, să ne oprim pe teorie, apoi să aplicăm rezultatele obținute în rezolvarea exemplelor și problemelor.
Dacă întâlniți termeni nefamiliari, atunci consultați definițiile și conceptele teoriei ecuațiilor diferențiale.
Să formulăm o teoremă care să indice sub ce formă să găsim soluția generală a LODE.
Teorema.
Soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți continui pe intervalul de integrare X este dată de combinație liniară 
, Unde 
sunt soluții parțiale liniar independente ale LODE pe X și sunt constante arbitrare.
Astfel, soluția generală a unei ecuații diferențiale liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 constante arbitrare. Rămâne să înveți cum să găsești soluții particulare y 1 și y 2 .
Euler a sugerat să se caute soluții speciale în forma .
Dacă luăm ca soluție particulară o LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți, atunci când înlocuim această soluție în ecuație, ar trebui să obținem identitatea: 
Așa că am primit așa-zisul ecuație caracteristică ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul doi cu coeficienți constanți. Soluțiile k 1 și k 2 ale acestei ecuații caracteristice determină, de asemenea, soluții particulare ale LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți.
În funcție de coeficienții p și q, rădăcinile ecuației caracteristice pot fi:
În primul caz soluțiile parțiale liniar independente ale ecuației diferențiale inițiale sunt și , soluția generală a LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți este .
Funcțiile și sunt într-adevăr liniar independente, deoarece determinantul Wronsky este diferit de zero pentru orice x real pentru .
În al doilea caz o soluție specială este funcția . Ca a doua soluție particulară este luată. Să arătăm care este cu adevărat o soluție particulară a LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți și să demonstrăm independență liniară y 1 și y 2 .
Deoarece k 1 \u003d k 0 și k 2 \u003d k 0 sunt aceleași rădăcini ale ecuației caracteristice, atunci are forma. Prin urmare, este ecuația diferențială liniară omogenă inițială. Înlocuiește-l și asigură-te că ecuația se transformă într-o identitate: 
Astfel, este o soluție specială pentru ecuația originală.
Să arătăm independența liniară a funcțiilor și . Pentru a face acest lucru, calculăm determinantul Wronsky și ne asigurăm că este diferit de zero. 
Concluzie: soluțiile parțiale liniar independente ale LODE de ordinul doi cu coeficienți constanți sunt și , iar soluția generală este la .
În al treilea caz avem o pereche de soluții particulare complexe pentru LODE și . Soluția generală se scrie ca 
. Aceste soluții particulare pot fi înlocuite cu două funcții reale 
şi corespunzătoare realului şi părți imaginare. Acest lucru se vede clar dacă transformăm soluția generală , folosind formule din teoria funcţiilor unei variabile complexe drăguț : 
unde C 3 și C 4 sunt constante arbitrare.
Deci haideți să rezumam teoria.
Algoritm pentru găsirea unei soluții generale la o ecuație diferențială omogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți.
Luați în considerare exemple pentru fiecare caz.
Exemplu.
Găsiți o soluție generală pentru o ecuație diferențială omogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți 
.