Teorema demonstrată în § 89 este valabilă pentru oricare dintre punctele sistemului. Prin urmare, dacă luăm în considerare un punct al sistemului cu o masă având o viteză, atunci pentru acest punct va fi

unde sunt lucrările elementare ale exteriorului şi forțe interne. Compunând astfel de ecuații pentru fiecare dintre punctele sistemului și adunându-le termen cu termen, constatăm că

Egalitatea (49) exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului în formă diferențială. Integrând ambele părți ale acestei egalități în limitele corespunzătoare mișcării sistemului dintr-o poziție inițială, unde energia cinetică este egală cu poziția în care valoarea energiei cinetice devine egală cu , obținem

Această ecuație exprimă teorema privind modificarea energiei cinetice într-o formă diferită (integrală): modificarea energiei cinetice a sistemului cu o anumită deplasare este egală cu suma muncii asupra acestei deplasări a tuturor forțelor externe și interne aplicate la sistemul.

Spre deosebire de teoremele anterioare, forțele interne din ecuațiile (49) sau (50) nu sunt excluse. Într-adevăr, dacă - forțele de interacțiune între punctele sistemului (Fig. 309), atunci

Dar, în același timp, punctul se poate deplasa spre și punctul - spre k Lucrul fiecăreia dintre forțe va fi atunci pozitiv și suma muncii nu va fi zero. De exemplu, atunci când sunt trase (a se vedea problema 127 în § 112), forțele de presiune ale gazelor pulbere, care sunt interne pentru proiectilul sistemului - piese de rulare, lucrează și conferă viteză corpurilor sistemului.

Să luăm în considerare două cazuri speciale importante.

1. Sistem imuabil. Vom numi un sistem mecanic imuabil, în care distanța dintre fiecare două puncte care interacționează rămâne constantă pe tot parcursul mișcării.

Luați în considerare două puncte ale unui sistem imuabil prieten actor asupra unui prieten cu forţe (vezi Fig. 309). Atunci, deoarece mișcarea segmentului ar trebui să fie (vezi § 55), atunci și deoarece sunt, respectiv, vitezele și deplasările elementare ale punctelor. Ca urmare, pentru suma muncii elementare a acestor forțe, obținem

Același lucru se va întâmpla pentru toate celelalte puncte de interacțiune ale sistemului. Ca urmare, ajungem la concluzia că, în cazul unui sistem neschimbător, suma muncii tuturor forțelor interne este egală cu zero și ecuațiile (49) sau (50) iau forma

2. Sistem cu conexiuni ideale. Să luăm în considerare un sistem asupra căruia sunt impuse constrângeri care nu se modifică în timp. Să împărțim toate forțele externe și interne care acționează asupra punctelor sistemului în active și reacții ale conexiunilor. Atunci ecuația (49) poate fi reprezentată ca

unde este munca elementară a forțelor active externe și interne care acționează asupra punctului sistemului și este munca elementară a reacțiilor impuse în același punct de conexiuni externe și interne.

După cum puteți vedea, modificarea energiei cinetice a sistemului depinde de munca și forțele active și reacțiile legăturilor. Cu toate acestea, este posibil să se introducă conceptul de astfel de sisteme mecanice „ideale”, în care prezența legăturilor nu afectează modificarea energiei cinetice a sistemului în timpul mișcării sale. Pentru astfel de conexiuni, evident, starea

Dacă pentru legăturile care nu se modifică în timp, suma muncii tuturor reacțiilor în timpul unei deplasări elementare a sistemului este egală cu zero, atunci astfel de legături sunt ideale. Să indicăm o serie de tipuri de legături ideale cunoscute nouă.

În § 89, s-a stabilit că, dacă legătura este o suprafață fixă ​​(sau curbă), frecarea pe care poate fi neglijată, atunci când corpurile alunecă de-a lungul unei astfel de suprafețe (curbă), lucrul de reacție N este egal cu zero. Apoi, în § 122, se arată că dacă neglijăm deformațiile, atunci când un corp se rostogolește fără alunecare pe o suprafață rugoasă, lucrul reacției normale N și a forței de frecare (adică componenta tangențială a reacției) este egală. la zero. În plus, lucrul de reacție R al balamalei (vezi Figurile 10 și 11), dacă frecarea este neglijată, va fi de asemenea egal cu zero, deoarece punctul de aplicare al forței R rămâne staționar în timpul oricărei mișcări a sistemului. În sfârșit, dacă în fig. 309 considerați punctele materiale ca fiind legate printr-o tijă rigidă (inextensibilă), atunci forțele vor fi reacțiile tijei; munca fiecăreia dintre aceste reacții în timpul deplasării sistemului nu este egală cu zero, dar suma acestor lucrări, conform celor demonstrate, dă zero. Astfel, toate linkurile enumerate pot fi considerate ideale, tinand cont de rezervarile facute.

Pentru sistem mecanic, asupra cărora se impun doar conexiuni ideale care nu se schimbă în timp, vor fi

Astfel, modificarea energiei cinetice a unui sistem cu legături ideale care nu se modifică în timp în timpul nici una dintre deplasările sale este egală cu suma muncii asupra acestei deplasări a forțelor active externe și interne aplicate sistemului.

Toate teoremele anterioare au făcut posibilă excluderea forțelor interne din ecuațiile de mișcare, dar toate forțele externe, inclusiv reacțiile constrângerilor externe necunoscute în prealabil, au fost păstrate în ecuații. Valoarea practică a teoremei privind modificarea energiei cinetice constă în faptul că, cu constrângeri ideale care nu se modifică în timp, ne permite să excludem din ecuațiile de mișcare toate reacțiile de constrângeri necunoscute anterior.

Vedere: acest articol a fost citit de 49915 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Materialul complet este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Două cazuri de conversie mișcare mecanică punct material sau sisteme de puncte:

1. mișcarea mecanică este transferată de la un sistem mecanic la altul ca mișcare mecanică;
2. mișcarea mecanică este transformată într-o altă formă de mișcare a materiei (în forma energie potențială, căldură, electricitate etc.).

Când transformarea mișcării mecanice este considerată fără tranziția acesteia la o altă formă de mișcare, măsura mișcării mecanice este vectorul moment al unui punct material sau al unui sistem mecanic. Măsura acțiunii forței în acest caz este vectorul impuls al forței.

Când mișcarea mecanică este transformată într-o altă formă de mișcare a materiei, energia cinetică a unui punct material sau a unui sistem mecanic acționează ca o măsură a mișcării mecanice. Măsura acțiunii unei forțe în transformarea mișcării mecanice într-o altă formă de mișcare este opera forței

Energie kinetică

Energia cinetică este capacitatea unui corp de a depăși obstacolele în timpul mișcării.

Energia cinetică a unui punct material

Energia cinetică a unui punct material este o mărime scalară, care este egală cu jumătate din produsul dintre masa punctului și pătratul vitezei sale.

Energie kinetică:

• caracterizează atât mișcările de translație, cât și de rotație;
• nu depinde de direcția de mișcare a punctelor sistemului și nu caracterizează schimbarea în aceste direcții;
• caracterizează acţiunea atât a forţelor interne cât şi a celor externe.

Energia cinetică a unui sistem mecanic

Energia cinetică a sistemului este egală cu suma energiilor cinetice ale corpurilor sistemului. Energia cinetică depinde de tipul de mișcare al corpurilor sistemului.

Determinarea energiei cinetice a unui corp solid la tipuri diferite mișcări de mișcare.

Energia cinetică a mișcării de translație
În mișcarea de translație, energia cinetică a corpului este egală cu T=m V2/2.

O măsură a inerției unui corp în mișcare de translație este masa.

Energia cinetică a mișcării de rotație a corpului

În timpul mișcării de rotație a corpului, energia cinetică este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție al corpului în jurul axei de rotație și pătratul vitezei sale unghiulare.

O măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație este momentul de inerție.

Energia cinetică a unui corp nu depinde de direcția de rotație a corpului.

Energia cinetică a mișcării plan-paralele a corpului

Cu o mișcare plan-paralelă a corpului, energia cinetică este egală cu

Munca de forță

Lucrul forței caracterizează acțiunea forței asupra corpului la o anumită deplasare și determină modificarea modulului de viteză al punctului de mișcare.

Munca elementară de forță

Munca elementară a unei forțe este definită ca o valoare scalară egală cu produsul dintre proiecția forței pe tangente la traiectorie, îndreptată în direcția mișcării punctului, și deplasarea infinitezimală a punctului, îndreptată de-a lungul acestei tangente. .

Lucrul forței asupra deplasării finale

Munca forței asupra deplasării finale este egală cu suma muncii acesteia asupra secțiunilor elementare.

Lucrul forței asupra deplasării finale M 1 M 0 este egal cu integrala de-a lungul acestei deplasări din munca elementara.

Lucrarea forței asupra deplasării lui M 1 M 2 este descrisă de aria figurii delimitată de axa absciselor, curba și ordonatele corespunzătoare punctelor M 1 și M 0.

Unitatea de măsură a muncii forței și energiei cinetice în sistemul SI este 1 (J).

Teoreme despre munca forței

Teorema 1. Lucrul forței rezultante pe o anumită deplasare este egal cu suma algebrică a muncii forțelor componente pe aceeași deplasare.

Teorema 2. Munca unei forțe constante asupra deplasării rezultate este egală cu suma algebrică a muncii acestei forțe asupra deplasărilor componente.

Putere

Puterea este o mărime care determină munca efectuată de o forță pe unitatea de timp.

Unitatea de putere este 1W = 1 J/s.

Cazuri de determinare a muncii forţelor

Munca forțelor interne

Suma muncii forțelor interne ale unui corp rigid asupra oricăreia dintre deplasările sale este egală cu zero.

Lucrarea gravitației

Lucrul forței elastice

Lucrul forței de frecare

Lucrul forțelor aplicate unui corp în rotație

Lucrul elementar al forțelor aplicate unui corp rigid care se rotește în jurul unei axe fixe este egal cu produsul dintre momentul principal al forțelor externe în jurul axei de rotație și creșterea unghiului de rotație.

rezistență la rostogolire

În zona de contact dintre cilindrul staționar și plan are loc o deformare locală a compresiei de contact, tensiunile sunt distribuite după o lege eliptică, iar linia de acțiune a rezultantei N a acestor tensiuni coincide cu linia de acțiune. a forței de sarcină asupra cilindrului Q. Când cilindrul se rostogolește, distribuția sarcinii devine asimetrică cu un maxim deplasat spre mișcare. Rezultatul N este deplasat cu valoarea k - brațul forței de frecare de rulare, care se mai numește și coeficientul de frecare de rulare și are dimensiunea lungimii (cm)

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui punct material

Modificarea energiei cinetice a unui punct material la o parte din deplasarea sa este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor care acționează asupra punctului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic la o anumită deplasare este egală cu suma algebrică a forțelor interne și externe care acționează asupra punctelor materiale ale sistemului la aceeași deplasare.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui corp rigid

Modificarea energiei cinetice a unui corp rigid (sistem invariabil) la o anumită deplasare este egală cu suma forțelor externe ale robotului care acționează asupra punctelor sistemului la aceeași deplasare.

eficienţă

Forțe care acționează în mecanisme

Forțele și perechile de forțe (momente) care sunt aplicate unui mecanism sau mașină pot fi împărțite în grupuri:

1. Forțe motrice și momente care efectuează un lucru pozitiv (aplicate la legăturile de antrenare, de exemplu, presiunea gazului pe un piston într-un motor cu ardere internă).

2. Forțe și momente de rezistență care fac muncă negativă:

• rezistență utilă (efectuează munca cerută de la mașină și sunt aplicate pe legăturile antrenate, de exemplu, rezistența sarcinii ridicate de mașină),
• forțe de rezistență (de exemplu, forțe de frecare, rezistență a aerului etc.).

3. Forțele gravitaționale și forțele elastice ale arcurilor (atât lucru pozitiv, cât și negativ, în timp ce munca pentru un ciclu complet este zero).

4. Forțe și momente aplicate corpului sau rafturii din exterior (reacția fundației etc.), care nu fac lucru.

5. Forțe de interacțiune între legături care acționează în perechi cinematice.

6. Forțele de inerție ale legăturilor, datorită masei și mișcării legăturilor cu accelerație, pot efectua muncă pozitivă, negativă și nu face muncă.

Lucrarea forțelor în mecanisme

În starea staționară a mașinii, energia sa cinetică nu se modifică, iar suma muncii forțelor motrice și a forțelor de rezistență aplicate acesteia este zero.

Munca depusă la punerea în mișcare a mașinii este cheltuită pentru depășirea rezistențelor utile și dăunătoare.

eficienta mecanismului

Eficiența mecanică în mișcare constantă este egală cu raportul dintre munca utilă a mașinii și munca cheltuită la punerea în mișcare a mașinii:

Elementele mașinii pot fi conectate în serie, în paralel și mixte.

Eficiență în conexiune în serie

Când mecanismele sunt conectate în serie, eficiența globală este mai mică decât cea mai scăzută eficiență a unui mecanism individual.

Eficiență în conexiune în paralel

Când mecanismele sunt conectate în paralel, eficiența globală este mai mare decât cea mai mică și mai mică decât cea mai mare eficiență a unui mecanism separat.

Format: pdf

Limba: rusă, ucraineană

Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. S-au efectuat alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a problemei de îndoire a fasciculului
În exemplu, sunt reprezentate diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, se găsește o secțiune periculoasă și se selectează o grindă I. În problemă a fost analizată construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale, analiza comparativa diferite secțiuni transversale ale fasciculului.

Un exemplu de rezolvare a problemei torsiunii arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore de oțel pentru un diametru, material și tensiuni admisibile date. În timpul soluției, sunt construite diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a problemei de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei tije de oțel la solicitări admisibile date. În timpul soluției, se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, solicitărilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a barei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei de conservare a energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a problemei de aplicare a teoremei privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Valoarea scalară T, egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sistemului, se numește energia cinetică a sistemului.

Energia cinetică este o caracteristică a mișcării de translație și rotație a sistemului. Schimbarea sa este afectată de acțiunea forțelor externe și, deoarece este scalar, nu depinde de direcția de mișcare a părților sistemului.

Să găsim energia cinetică pentru diferite cazuri de mișcare:

1.mișcare de translație

Vitezele tuturor punctelor sistemului sunt egale cu viteza centrului de masă. Apoi

Energia cinetică a sistemului în timpul mișcării de translație este egală cu jumătate din produsul masei sistemului și pătratul vitezei centrului de masă.

2. mișcare de rotație(Fig. 77)

Viteza oricărui punct al corpului: . Apoi

sau folosind formula (15.3.1):

Energia cinetică a unui corp în timpul rotației este egală cu jumătate din produsul momentului de inerție al corpului în jurul axei de rotație și pătratul vitezei sale unghiulare.

3. Mișcare plan-paralelă

La o mișcare dată, energia cinetică este suma energiei mișcărilor de translație și rotație

Cazul general al mișcării oferă o formulă similară celei din urmă pentru calcularea energiei cinetice.

Definiția muncii și puterii am făcut-o în paragraful 3 al capitolului 14. Aici vom lua în considerare exemple de calcul a muncii și puterii forțelor care acționează asupra unui sistem mecanic.

1.Lucrarea gravitației. Fie , coordonatele poziției inițiale și finale ale punctului k al corpului. Lucrul forței gravitaționale care acționează asupra acestei particule de greutate va fi . Atunci treaba completă este:

unde P este greutatea sistemului de puncte materiale, este deplasarea verticală a centrului de greutate C.

2. Lucrul forțelor aplicate unui corp în rotație.

Conform relației (14.3.1), putem scrie , dar ds conform Figura 74, din cauza micimii infinite, poate fi reprezentat ca - un unghi infinit de mic de rotație al corpului. Apoi

Valoare numit cuplu.

Formula (19.1.6) poate fi rescrisă ca

Lucrul elementar este egal cu produsul cuplului și rotația elementară.

Când trecem la unghiul final, avem:

Dacă cuplul este constant, atunci

iar puterea este determinată din relația (14.3.5)

ca produs dintre cuplul și viteza unghiulară a corpului.

Teorema privind modificarea energiei cinetice demonstrată pentru un punct (§ 14.4) va fi valabilă pentru orice punct din sistem

Compunând astfel de ecuații pentru toate punctele sistemului și adăugându-le termen cu termen, obținem:

sau, conform (19.1.1):

care este o expresie a teoremei asupra energiei cinetice a sistemului sub formă diferenţială.

Integrând (19.2.2) obținem:

Teorema privind modificarea energiei cinetice în forma finală: modificarea energiei cinetice a sistemului cu o parte din deplasarea sa finală este egală cu suma muncii efectuate asupra acestei deplasări a tuturor forțelor externe și interne aplicate sistemului .

Subliniem că forțele interne nu sunt excluse. Pentru un sistem neschimbător, suma muncii tuturor forțelor interne este zero și

Dacă legăturile impuse sistemului nu se modifică în timp, atunci forțele, atât externe, cât și interne, pot fi împărțite în active și reacții ale legăturilor, iar ecuația (19.2.2) se poate scrie acum:

În dinamică, este introdus un astfel de concept ca sistem mecanic „ideal”. Acesta este un astfel de sistem, prezența legăturilor în care nu afectează modificarea energiei cinetice, adică

Asemenea legături care nu se modifică în timp și suma muncii cărora pe o deplasare elementară este egală cu zero se numesc ideale, iar ecuația (19.2.5) se va scrie:

Energia potențială a unui punct material într-o poziție M dată este o valoare scalară P, egală cu munca pe care o vor face forțele câmpului atunci când punctul se deplasează din poziția M la zero.

P = A (lun) (19.3.1)

Energia potențială depinde de poziția punctului M, adică de coordonatele acestuia

P = P(x, y, z) (19.3.2)

Să explicăm aici că un câmp de forță este o parte a volumului spațial, în fiecare punct al căruia o particulă este afectată de o forță determinată în valoare și direcție absolută, în funcție de poziția particulei, adică de coordonatele x , y, z. De exemplu, câmpul gravitațional al Pământului.

Se numește o funcție U de coordonate a cărei diferență este egală cu lucru functie de putere. Un câmp de forță pentru care există o funcție de forță se numește câmp de forță potențial, și forțele care acționează în acest domeniu, - forțe potențiale.

Fie punctele zero pentru două funcții de forță П(х,у,z) și U(x,y,z) coincid.

Prin formula (14.3.5) obținem , i.e. dA = dU(x,y,z) și

unde U este valoarea funcţiei de forţă în punctul M. Prin urmare

P(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Energia potențială în orice punct al câmpului de forță este egală cu valoarea funcției de forță în acest punct, luată cu semnul opus.

Adică, când se consideră proprietățile câmpului de forță, în loc de funcția de forță, se poate lua în considerare energia potențială și, în special, ecuația (19.3.3) va fi rescrisă ca

Munca forței potențiale este egală cu diferența dintre valorile energiei potențiale a punctului în mișcare în pozițiile inițiale și finale.

În special, munca gravitației:

Fie ca toate forțele care acționează asupra sistemului să fie potențiale. Atunci pentru fiecare punct k al sistemului, lucrul este egal cu

Atunci pentru toate forțele, atât externe, cât și interne, va fi

unde este energia potențială a întregului sistem.

Inlocuim aceste sume in expresia pentru energia cinetica (19.2.3):

sau in sfarsit:

Când se deplasează sub acțiunea forțelor potențiale, suma energiei cinetice și potențiale a sistemului în fiecare dintre pozițiile sale rămâne constantă. Aceasta este legea conservării energiei mecanice.

O sarcină de 1 kg face vibratii libere conform legii x = 0.1 sinl0t. Constanta arcului c = 100 N/m. Determinați energia mecanică totală a sarcinii la x \u003d 0,05 m, dacă la x \u003d 0 energia potențială este zero . (0,5)

O sarcină de masă m = 4 kg, căzând în jos, cu ajutorul unui filet, rotește un cilindru cu raza R = 0,4 m. Momentul de inerție al cilindrului în jurul axei de rotație este I = 0,2. Determinați energia cinetică a sistemului de corpuri în momentul când viteza sarcinii este v = 2m/s . (10,5)

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem cu corpuri rigide, blocuri, scripete și un arc.

Conţinut

Sarcina

Sistemul mecanic este format din greutăți 1 și 2, scripete treptat 3 cu raze de pas R 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 mși raza de rotație față de axa de rotație ρ 3 = 0,2 m, blocul 4 cu raza R 4 = 0,2 mși blocul mobil 5. Blocul 5 este considerat a fi un cilindru omogen continuu. Coeficientul de frecare al sarcinii 2 în jurul planului f = 0,1 . Corpurile sistemului sunt legate între ele prin fire aruncate peste blocuri și înfășurate pe scripetele 3. Secțiunile firelor sunt paralele cu planurile corespunzătoare. La blocul mobil 5 este atașat un arc cu un coeficient de rigiditate c = 280 N/m.

Sub acțiunea unei forțe F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, în funcție de deplasarea s a punctului de aplicare a acestuia, sistemul intră în mișcare dintr-o stare de repaus. Deformarea arcului în momentul începerii mișcării este egală cu zero. La deplasare, scripetele 3 este supus unui moment constant M = 1,6 Nm forțe de rezistență (de la frecare în rulmenți). Masele corpurilor: m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg.

Determinați valoarea centrului de masă al corpului 5 V C 5 în momentul în care deplasarea s a sarcinii 1 devine egală cu s 1 = 0,2 m.

indicaţie. Când rezolvați o problemă, utilizați teorema privind modificarea energiei cinetice.

Rezolvarea problemei

Dat: R 3 \u003d 0,3 m, r 3 \u003d 0,1 m, ρ 3 = 0,2 m, R 4 = 0,2 m, f = 0,1 , s = 280 N/m, m 1 = 0 , m 2 = 5 kg, m 3 = 6 kg, m 4 = 0 , m 5 = 4 kg, F = f (s) = 80(6 + 7 s) N, s 1 = 0,2 m.

A găsi: VC 5 .

Notație variabilă

R 3, r 3- razele treptelor scripetelui 3;
ρ 3 - raza de inerție a scripetelui 3 față de axa de rotație;
R 5 - bloc raza 5;
V 1 , V 2 - vitezele corpurilor 1 si 2;
ω 3 - viteza unghiulara de rotatie a scripetelui 3;
VC 5 - viteza centrului de masă C 5 blocul 5;
ω 5 - viteza unghiulara de rotatie a blocului 5;
s 1 , s 2 - miscarea corpurilor 1 si 2;
φ 3 - unghiul de rotatie al scripetelui 3;
s C 5 - deplasarea centrului de masa C 5 blocul 5;
s A , s B - deplasarea punctelor A și B.

Stabilirea relaţiilor cinematice

Să stabilim relații cinematice. Deoarece greutățile 1 și 2 sunt legate printr-un fir, vitezele lor sunt egale:
V 2 = V1.
Deoarece greutățile de conectare a firului 1 și 2 sunt înfășurate pe treapta exterioară a scripetei 3, punctele treptei exterioare a scripetei 3 se mișcă cu o viteză V 2 = V1. Apoi viteza unghiulară de rotație a scripetelui:
.
Viteza centrului de masă V C 5 blocul 5 este egal cu viteza punctelor treptei interioare a scripetelui 3:
.
Viteza punctului K este zero. Prin urmare, este centrul instantaneu de viteze al blocului 5. Viteza unghiulară de rotație a blocului 5:
.
Viteza punctului B - capătul liber al arcului - este egală cu viteza punctului A:
.

Să exprimăm vitezele în termeni de V C 5 .
;
;
.

Acum hai să instalăm relațiile dintre mișcările corpului și unghiurile de rotație scripete și bloc. Deoarece vitezele și vitezele unghiulare sunt derivate în timp ale deplasărilor și unghiurilor de rotație
,
atunci aceleași conexiuni vor fi între deplasări și unghiuri de rotație:
s 2 = s1;
;
;
.

Determinarea energiei cinetice a unui sistem

Să găsim energia cinetică a sistemului. Cargo 2 se angajează mișcare înainte cu viteza V 2 . Scripetele 3 se comite mișcare de rotație cu viteza unghiulara ω 3 . Blocul 5 efectuează o mișcare plan-paralelă. Se rotește cu o viteză unghiulară ω 5 iar centrul său de masă se mișcă cu o viteză V C 5 . Energia cinetică a sistemului:
.

Deoarece este dată raza de rotație a scripetelui în raport cu axa de rotație, momentul de inerție al scripetelui în raport cu axa de rotație este determinat de formula:
J 3 = m 3 ρ 2 3.
Deoarece blocul 5 este un cilindru solid omogen, momentul său de inerție în jurul centrului de masă este
.

Folosind relațiile cinematice, exprimăm toate vitezele în termeni de V C 5 și înlocuiți expresiile pentru momentele de inerție în formula pentru energia cinetică.
,
unde am introdus constanta
kg.

Deci, am găsit dependența energiei cinetice a sistemului de viteza centrului de masă V C 5 bloc în mișcare:
, unde m = 75 kg.

Determinarea sumei muncii forțelor externe

Luați în considerare forțele externe acționând asupra sistemului.
În acest caz, nu luăm în considerare forțele de tensiune ale firelor, deoarece firele sunt inextensibile și, prin urmare, nu produc lucru. Din acest motiv, nu luăm în considerare tensiuni interne acţionând în corpuri, deoarece sunt absolut solide.
O forță dată F acționează asupra corpului 1 (cu masă zero).
Forța gravitațională P acționează asupra sarcinii 2 2 = m 2 g 2 și forța de frecare F T .
Scrietul 3 este afectat de gravitația P 3 = m 3 g, forța de presiune a axei N 3 și momentul forței de frecare M .
Rola 4 (cu masă zero) este supusă forței de presiune a axei N 4 .
Blocul mobil 5 este afectat de gravitația P 5 = m 5 g, forța arcului F y și forța de întindere a firului T K în punctul K .

Munca pe care o face forța la deplasarea punctului de aplicare a acesteia la o deplasare mică este egală cu produsul scalar al vectorilor, adică produsul modulelor vectorilor F și ds și cosinusul unghiului dintre ei. Setați Forța, aplicat corpului 1, este paralel cu mișcarea corpului 1. Prin urmare, munca efectuată de forță la deplasarea corpului 1 la distanța s 1 este egal cu:


J.

Luați în considerare sarcina 2. Este afectată de gravitația P 2 , forța de presiune a suprafeței N 2 , forțele de tensiune a firului T 23 , T 24 și forța de frecare F T . Deoarece sarcina nu se mișcă în direcția verticală, proiecția accelerației sale pe axa verticală este zero. Prin urmare, suma proiecțiilor forțelor pe axa verticală este zero:
N 2 - P 2 = 0;
N 2 \u003d P 2 \u003d m 2 g.
Forța de frecare:
F T = f N 2 = f m 2 g.
forțe P 2 si n 2 perpendicular pe deplasarea s 2 deci nu fac nicio treabă.
Lucrul forței de frecare:
J.

Dacă luăm în considerare sarcina 2 ca un sistem izolat, atunci trebuie să luăm în considerare munca efectuată de forțele de întindere ale firelor T 23 Si t 24 . Totuși, ne interesează întregul sistem format din corpurile 1, 2, 3, 4 și 5. Pentru un astfel de sistem, forțele de tensionare a firului sunt forțe interne. Și deoarece firele sunt inextensibile, suma muncii lor este zero. În cazul sarcinii 2, este necesar să se țină seama și de forțele de întindere ale filetelor care acționează asupra scripetelui 3 și blocului 4. Acestea sunt egale ca mărime și opuse ca direcție forțelor T. 23 Si t 24 . Prin urmare, munca efectuată de forțele de întindere ale firelor 23 și 24 asupra sarcinii 2 este egală ca mărime și semn opus muncii efectuate de forțele de întindere ale acestor fire peste scripetele 3 și blocul 4. Ca urmare, suma muncii efectuate de forțele de întindere ale firelor este zero.

Luați în considerare scripetele 3. Deoarece centrul său de masă nu se mișcă, lucrul de greutate P 3 este egal cu zero.
Din moment ce axa C 3 este staționară, apoi forța de presiune a axei N 3 nu produce muncă.
Munca produsă de momentul forțelor se calculează în mod similar cu munca produsă de forță:
.
În cazul nostru, vectorii momentului forțelor de frecare și unghiul de rotație al scripetelui sunt direcționați de-a lungul axei de rotație a scripetelui, dar opus în direcție. Prin urmare, munca momentului forțelor de frecare:
J.

Luați în considerare blocul 5.
Deoarece viteza punctului K este egală cu zero, atunci forța T K nu produce muncă.
Centrul de greutate al blocului C 5 deplasat pe o distanță s C 5 sus. Prin urmare, munca efectuată de gravitația blocului este:
J.
Lucrarea forței elastice a arcului este egală cu modificarea energiei potențiale a arcului cu semnul minus. Din moment ce arcul nu este deformat la început, atunci
J.

Suma muncii tuturor forțelor:

J.

Aplicarea teoremei asupra modificării energiei cinetice a sistemului

Aplicam teorema privind modificarea energiei cinetice a sistemului in forma integrala.
.
Deoarece sistemul era în repaus la început, energia sa cinetică la începutul mișcării
T 0 = 0 .
Apoi
.
De aici
Domnișoară.

Energia cinetică a unui sistem mecanic este suma energiilor cinetice ale tuturor punctelor sale:

Diferențiând fiecare parte a acestei egalități în funcție de timp, obținem

Folosind legea de bază a dinamicii pentru la-al-lea punct al sistemului m k 2i k= Fj., ajungem la egalitate

Se numește produsul scalar al forței F și al vitezei v a punctului de aplicare a acesteia puterea de forta si denota R:

Folosind această nouă notație, reprezentăm (11.6) sub următoarea formă:

Egalitatea rezultată exprimă forma diferențială a teoremei privind modificarea energiei cinetice: viteza de modificare a energiei cinetice a unui sistem mecanic este egală cu suma j a puterilor tuturor cm care acționează asupra sistemului.

Reprezentând derivata fîn (8.5) sub forma unei fracții -- și făcând

apoi separarea variabilelor, obținem:

Unde dT- diferenţială de energie cinetică, adică schimbarea sa pe un interval de timp infinitezimal dr, dr k = k dt - deplasare elementară la- al-lea punct al sistemului, adică mișcare în timp dt.

Produsul scalar al forței F și deplasarea elementară dr punctele sale de aplicare sunt numite munca elementara forţe şi reprezintă dA:

Utilizarea proprietăților produs punctual munca elementară a forţei poate fi reprezentată şi sub formă

Aici ds = dr- lungimea arcului traiectoriei punctului de aplicare a forței, corespunzătoare deplasării sale elementare c/g; dar - unghiul dintre direcțiile vectorului forță F și vectorului elementar de deplasare c/r; F „ F y , F,- proiecţii ale vectorului forţă F pe axele carteziene; dx, dy, dz proiectii pe axele carteziene ale vectorului elementar de deplasare s/r.

Ținând cont de notația (11.9), egalitatea (11.8) poate fi reprezentată în următoarea formă:

acestea. diferența energiei cinetice a sistemului este egală cu suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra sistemului. Această egalitate, ca și (11.7), exprimă forma diferențială a teoremei privind modificarea energiei cinetice, dar diferă de (11.7) prin aceea că folosește nu derivate, ci incremente infinitezimale - diferențiale.

Efectuând integrarea termen cu termen a egalității (11.12), obținem

unde ca limite de integrare se folosesc: 7 0 - energia cinetică a sistemului în momentul de timp? 0; 7) - energia cinetică a sistemului în momentul de timp t x .

Integrale definite după interval de timp sau A(F):

Observație 1. Pentru a calcula munca, uneori este mai convenabil să se folosească o parametrizare fără arc a traiectoriei Domnișoară), si coordonata M(x(t), y(/), z(f)). În acest caz, este firesc să luăm reprezentarea (11.11) pentru lucrarea elementară și integrală curbilinie prezent sub forma:

Ținând cont de denumirea (11.14) de lucru pe o deplasare finită, egalitatea (11.13) ia forma

și reprezintă forma finală a teoremei privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic.

Teorema 3. Modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic atunci când acesta se deplasează din poziţia iniţială în cea finală este egală cu suma muncii tuturor forţelor care acţionează asupra punctelor sistemului în timpul acestei mişcări.

cometariu 2. Partea dreaptă a egalității (11.16) ține cont de lucrări toate fortele acționând asupra sistemului, atât extern cât și intern. Cu toate acestea, există astfel de sisteme mecanice pentru care munca totală a tuturor forțelor interne este egală cu zero. Ego-ul așa numit sisteme imuabile, pentru care distanțele dintre punctele materiale care interacționează nu se modifică. De exemplu, sistemul solide conectate prin balamale fără frecare sau fire flexibile inextensibile. Pentru astfel de sisteme, în egalitate (11.16) este suficient să se țină cont doar de munca forțelor externe, i.e. teorema (11.16) ia forma: