Luați în considerare un sistem mecanic format din puncte materiale, asupra caruia actioneaza fortele Fie sistemul are s grade de libertate si pozitia lui este determinata de coordonatele generalizate (104). Să spunem sistemului atât de independent posibilă deplasare, la care coordonatele sunt incrementate, iar coordonatele rămase nu se modifică. Apoi fiecare dintre vectorii cu rază ai punctelor sistemului va primi un increment elementar. Deoarece, conform egalității (106), , și numai coordonatele se modifică în timpul deplasării considerate (restul rămân constante), atunci se calculează ca diferenţial privatși, prin urmare
Folosind această egalitate și formula (42) din § 87, calculăm suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează asupra deplasării considerate, pe care o notăm
Luând factorul comun din paranteze, găsim în sfârșit
unde este indicat
Prin analogie cu egalitatea care determina munca elementara a fortei F, valoarea se numeste forta generalizata corespunzatoare coordonatei
Informarea sistemului despre o altă deplasare posibilă independentă, în care se schimbă doar coordonatele, obținem pt munca elementara a tuturor forțelor care acționează asupra acestei deplasări, expresia
Mărimea este o forță generalizată corespunzătoare coordonatei și așa mai departe.
Evident, dacă sistemul este informat despre o astfel de posibilă deplasare, în care toate coordonatele sale generalizate se schimbă simultan, atunci suma lucrărilor elementare ale forțelor aplicate asupra acestei deplasări este determinată de egalitate.
Formula (112) oferă o expresie pentru lucrul elementar total al tuturor forțelor care acționează asupra sistemului în coordonate generalizate. Din această egalitate se poate observa că forțele generalizate sunt mărimi egale cu coeficienții în incrementele coordonatelor generalizate în expresia pentru lucrul elementar total al forțelor care acționează asupra sistemului.
Dacă toate constrângerile impuse sistemului sunt ideale, atunci numai forțele active efectuează lucru cu posibile deplasări, iar mărimile vor fi forțe active generalizate ale sistemului.
Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate corespunzătoare. Întrucât produsul a are deci dimensiunea lucrării, atunci
adică dimensiunea forței generalizate este egală cu dimensiunea muncii împărțită la dimensiunea coordonatei generalizate corespunzătoare. Aceasta arată că dacă q este o mărime liniară, atunci Q are dimensiunea unei forțe obișnuite (în SI se măsoară în newtoni), dacă q este un unghi (o mărime adimensională), atunci Q va fi măsurat în și are dimensiunea de un moment; dacă q este un volum (de exemplu, poziția unui piston într-un cilindru poate fi determinată de volumul spațiului pistonului), atunci Q va fi măsurat în și are dimensiunea presiunii etc.
După cum putem vedea, prin analogie cu viteza generalizată, conceptul de forță generalizată acoperă toate mărimile care au fost întâlnite anterior ca măsurători ale interacțiunii mecanice. corpuri materiale(forță, moment de forță, presiune).
Vom calcula forțele generalizate folosind formule de forma (108), (110), care se reduce la calculul posibilului lucru elementar (vezi § 140). În primul rând, ar trebui să determinați numărul de grade de libertate ale sistemului, să selectați coordonatele generalizate și să reprezentați pe desen toate forțele active și forțele de frecare aplicate sistemului (dacă funcționează). Apoi, pentru a determina, este necesar să se informeze sistemul despre o astfel de posibilă deplasare, în care doar coordonatele se modifică, primind o creștere pozitivă, se calculează pe această deplasare suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor care acționează conform formulelor (101) și prezentați expresia rezultată sub forma (108). Apoi coeficientul la și dă valoarea dorită. The
Exemplul 1. Să calculăm forța generalizată pentru sistemul prezentat în fig. 366, unde sarcina A în greutate va traversa de-a lungul unui plan înclinat neted, iar sarcina B în greutate - de-a lungul unui plan orizontal brut, al cărui coeficient de frecare este egal cu
Greutățile sunt legate printr-un fir aruncat peste blocul O. Neglijăm masa firului și a blocului. Sistemul are un grad de libertate, poziția este determinată de coordonată (direcția de referință pozitivă este indicată de o săgeată). Pentru a determina, spunem sistemului posibila deplasare la care calculăm lucrul elementar al forțelor pe această deplasare, forțele rămase nu efectuează lucru. De atunci
Prin urmare,
Exemplul 2. Neglijând frecarea, găsim forțele generalizate pentru sistemul prezentat în fig. 367. Tijă omogenă A B are lungimea l și greutatea P și se poate roti în jurul axei A într-un plan vertical. Mingea M înșirată pe ea are o greutate . Lungimea arcului AM este egală în stare netensionată, iar rigiditatea este c.
Sistemul are două grade de libertate (mișcarea mingii de-a lungul tijei și rotația tijei în jurul axei A sunt independente). Ca coordonate generalizate, alegem unghiul și distanța mingii de la capătul arcului netensionat, direcțiile pozitive ale coordonatelor sunt afișate prin săgeți.
Mai întâi informăm sistemul despre posibila deplasare, la care unghiul primește un increment . Pe această mișcare, munca este făcută de „forțe. Conform celei de-a doua formule (101) găsim (semnul minus aici deoarece direcția momentului este opusă direcției )
Prin urmare,
Acum spunem sistemului o posibilă mișcare, în care doar coordonatele se schimbă, primind un increment , iar unghiul . La această deplasare, munca este efectuată de forța gravitațională și forța de elasticitate, al căror modul este Atunci
Mecanica analitica. Clasificarea conexiunilor. Exemple. Mișcări posibile.
Conexiune- acesta este raportul dintre coordonatele și vitezele punctelor sistemului care sunt interconectate și sunt reprezentate ca egalități sau inegalități.
Clasificare:
Geometric– impune restricții numai asupra coordonatele punctelor sistemului (nu sunt incluse vitezele)
Cinematic– vitezele sunt incluse în ecuații. Dacă vitezele pot fi eliminate, atunci conexiunea este integrabilă.
Conexiuni holonomice sunt constrângeri diferențiale geometrice și integrabile.
Se numește conexiunea reține(impuse sau restricțiile rămân în orice poziție a sistemului) și neretinere, care nu posedă această proprietate (din astfel de conexiuni, după cum se spune, sistemul se poate „elibera”
Posibila mutare
Orice mental
Infinitezimal
Mutarea punctelor sistemului este permisă
În acest moment
conexiuni impuse sistemului.
Deplasarea reală- depinde de forte, timp, legaturi, conditii initiale.
Mișcare posibilă - depinde doar de conexiuni.
Pentru legăturile staționare, deplasarea reală este una dintre cele posibile.
Conexiuni ideale. Principiul mișcărilor posibile.
Ideal se numesc legături pentru care suma lucrărilor elementare a tuturor reacțiilor lor la orice posibilă deplasare este egală cu 0.
Principiul mișcărilor posibile.
Pentru echilibru sistem mecanic cu legături staționare ideale, este necesar și suficient ca suma lucrărilor elementare ale tuturor forțelor active pe orice deplasare posibilă să fie egală cu 0. În acest caz, pentru suficiență, viteza inițială trebuie să fie egală cu zero. Sold necesar => Suficient => sold.
Coordonate generalizate. Numărul de grade de libertate ale sistemului. Forțe generalizate, metode de calcul a acestora. Condiții de echilibru pentru un sistem cu constrângeri holonomice, exprimate în termeni de forțe generalizate.
Coordonate generalizate este un parametru independent care determină complet poziția sistemului și prin care pot fi exprimate toate coordonatele carteziene ale punctelor sistemului.
Numărul de grade de libertate este determinat de numărul de coordonate generalizate
Numărul de mărimi scalare independente care determină în mod unic poziția unui sistem mecanic în spațiu se numește numărul de grade de libertate.
Coordonatele generalizate ale unui sistem mecanic sunt orice mărime geometrică independentă reciproc care determină în mod unic poziția sistemului în spațiu.
Q i = δA j /δq j sau δA j = Q i ⋅ δq j .
Forța generalizată- aceasta este o astfel de forță care face același lucru asupra unei posibile mișcări de-a lungul coordonatei sale generalizate ca toate forțele aplicate sistemului, asupra mișcării corespunzătoare a punctelor de aplicare a acestora.
Pentru a găsi forța generalizată, dăm o posibilă deplasare de-a lungul coordonatei sale generalizate, lăsând celelalte coordonate neschimbate. Apoi găsim munca tuturor forțelor aplicate sistemului și împărțim la deplasarea posibilă.
Principiul deplasărilor posibile în termeni de forţe generalizate.
Deoarece la echilibru suma muncii elementare asupra oricărei posibile deplasări ( bA=bq j , care nu depind unele de altele, atunci aceasta trebuie să fie adevărată: Q 1 =0; Q2 =0; Q K =0
Fig.71
Fig.70
Fig.69
Poziția punctelor mecanismului manivela (Fig. 70) poate fi determinată prin setarea unghiului de rotație al manivelei sau prin distanță s, care determină poziția glisorului ÎN(la ).
Poziția pendulului sferic (Fig. 71) se determină prin setarea a doi parametri, unghiuri și .
Numărul minim de coordonate generalizate independente unele de altele, care sunt suficiente pentru a determina complet și unic poziția tuturor punctelor sistemului, se numește numărul de grade de libertate acest sistem.
În general, mai multe coordonate generalizate pot fi atribuite oricărui sistem material. De exemplu, mecanismul manivela (Fig. 70) are două coordonate generalizate și . Dar asta nu înseamnă că mecanismul are două grade de libertate, deoarece o coordonată poate fi definită printr-o alta:
Dar pendulul (Fig. 71) are două grade de libertate, deoarece poziţia sa este determinată de două coordonate generalizate independente. Apropo, dacă lungimea pendulului se modifică, atunci pentru a determina poziția punctului M este necesar încă un parametru - coordonatele generalizate l, lungimea firului. Iar pendulul va avea trei grade de libertate.
Coordonatele generalizate în cazul general vor fi notate prin literă q.
Lasă sistemul material să aibă s grade de libertate. Poziția sa este determinată de coordonatele generalizate: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k,…, q s . .
Este ușor să verifici asta coordonate carteziene n Punctele sistemului pot fi definite ca funcții ale coordonatelor generalizate și ale timpului:
Deci la pendul (Fig. 71) coordonatele punctului M
există funcții de coordonate l, și , și timp t, dacă l = l(t).
În consecință, vectorul rază al punctelor sistemului poate fi definit și ca o funcție a coordonatelor generalizate și a timpului:
Pentru fiecare coordonată generalizată, se poate calcula forța generalizată corespunzătoare Q k.
Calculul se face conform acestei reguli.
Pentru a determina forța generalizată Q k corespunzătoare coordonatei generalizate q k, trebuie să dați acestei coordonate o creștere (creșteți coordonatele cu această sumă), lăsând toate celelalte coordonate neschimbate, calculați suma muncii tuturor forțelor aplicate sistemului asupra deplasărilor corespunzătoare ale punctelor și împărțiți-o la increment a coordonatei:
unde este deplasarea i-acel punct al sistemului obtinut prin schimbare k– acea coordonată generalizată.
Forța generalizată se determină folosind munca elementară. Prin urmare, această forță poate fi calculată diferit:
Și deoarece există o creștere a vectorului rază datorită creșterii coordonatelor cu coordonatele rămase și timpul neschimbat t, raportul poate fi definit ca o derivată parțială a . Apoi
unde coordonatele punctului sunt funcții ale coordonatelor generalizate (5).
Dacă sistemul este conservator, adică mișcarea are loc sub acțiunea forțelor câmp potențial, ale căror proiecții sunt , unde , iar coordonatele punctelor sunt funcții de coordonate generalizate, atunci
Forța generalizată a unui sistem conservator este o derivată parțială a energiei potențiale în raport cu coordonatele generalizate corespunzătoare cu semnul minus.
Desigur, atunci când se calculează această forță generalizată energie potențială ar trebui definit ca o functie de coordonate generalizate
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Observatii.
Primul. La calcularea forțelor de reacție generalizate nu sunt luate în considerare legăturile ideale.
Al doilea. Dimensiunea forței generalizate depinde de dimensiunea coordonatei generalizate. Deci, dacă dimensiunea [ q] este un metru, apoi dimensiunea
Nm/m = Newton dacă [ q] este un radian, atunci = Nm; dacă [ q] = m 2 , atunci etc.
Exemplul 23. Un inel alunecă de-a lungul unei tije care oscilează într-un plan vertical M cântărind R(fig.72). Se presupune că lanseta este fără greutate. Să definim forțele generalizate.
Definiţia generalized forces
Pentru un sistem cu un grad de libertate, forța generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate q, se numește valoarea determinată de formulă
unde D q este o mică creștere a coordonatei generalizate; este suma muncii elementare a forțelor sistemului asupra posibilei sale deplasări.
Reamintim că posibila deplasare a sistemului este definită ca deplasarea sistemului într-o poziție infinit apropiată permisă de constrângeri la un moment dat de timp (pentru detalii, vezi Anexa 1).
Se știe că suma muncii forțelor de reacție ale legăturilor ideale la orice posibilă deplasare a sistemului este egală cu zero. Prin urmare, pentru un sistem cu conexiuni ideale, expresia ar trebui să ia în considerare doar munca forțelor active ale sistemului. Dacă legăturile nu sunt ideale, atunci forțele lor de reacție, de exemplu forțele de frecare, sunt considerate condiționat forțe active (a se vedea mai jos instrucțiunile din diagrama din Fig. 1.5). B include munca elementară a forțelor active și munca elementară a momentelor perechilor de forțe active. Să scriem formule pentru determinarea acestor locuri de muncă. Să spunem forța ( Fkx, Fky, Fkz) se aplică la punct LA, al cărui vector rază este ( xk ,yk ,zk), și posibila deplasare - (d x k , d da k, d zk). Lucrul elementar al unei forțe asupra unei posibile deplasări este egal cu produs punctual, in care formă analitică se potrivește cu expresia
d DAR( ) = F la d r la cos(), (1.3a)
iar sub formă de coordonate, expresia
d DAR( ) = Fkx d x k + F ky d y k + F kz d zk. (1.3b)
Dacă o pereche de forţe cu un moment M aplicat unui corp rotativ, a carui coordonata unghiulara este j, iar posibila deplasare este dj, atunci lucrarea elementara a momentului M pe o posibilă deplasare dj este determinată de formula
d A.M) = ± M d j. (1,3v)
Aici semnul (+) corespunde cazului în care momentul M si posibila deplasare dj coincid in directie; semnul (–) când sunt opuse în direcție.
Pentru a putea determina forța generalizată prin formula (1.3), este necesar să se exprime posibilele deplasări ale corpurilor și punctelor în termeni de mic increment al coordonatei generalizate d. q, folosind dependențe (1)…(7) adj. unu.
Definirea forței generalizate Q corespunzătoare coordonatei generalizate alese q, se recomandă să o faceți în următoarea ordine.
· Arată pe diagrama de proiect toate forțele active ale sistemului.
Dați un mic increment coordonatei generalizate d q > 0; arătați pe diagrama de proiectare deplasările corespunzătoare posibile ale tuturor punctelor în care se aplică forțe și posibilele deplasări unghiulare ale tuturor corpurilor cărora li se aplică momente de perechi de forțe.
Compuneți o expresie pentru munca elementară a tuturor forțelor active ale sistemului asupra acestor deplasări, posibile deplasări în expres prin d q.
· Determinați forța generalizată prin formula (1.3).
Exemplul 1.4 (vezi condiția pentru Fig. 1.1).
Să definim forța generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate s(Fig. 1.4).
Forțele active care acționează asupra sistemului sunt: P- greutatea încărcăturii; G– greutatea tamburului și cuplul M.
Planul înclinat brut este pentru sarcină DAR conexiune imperfectă. forța de frecare de alunecare F tr acționând asupra sarcinii A din partea acestei conexiuni, este egal cu F tr \u003d f N.
Pentru a determina puterea N presiunea normală a sarcinii pe plan în timpul mișcării, folosim principiul d'Alembert: dacă, pe lângă forțele și forțele active ale reacțiilor legăturilor, aplicăm o forță condiționată de inerție fiecărui punct al sistemului, atunci se va echilibra setul format de forțe și ecuațiilor de dinamică li se poate da forma ecuațiilor de echilibru ale staticii. Urmând metoda binecunoscută de aplicare a acestui principiu, descriem toate forțele care acționează asupra sarcinii A(Fig. 1.5), - și , unde - forța de tensionare a cablului.
Orez. 1.4 Fig. 1.5
Să adăugăm forța de inerție, unde este accelerația sarcinii. Ecuația principiului d'Alembert în proiecția pe axă y are forma N-Pcos A = 0.
De aici N = P cos A. Forța de frecare de alunecare poate fi acum determinată de formulă F tr \u003d f P cos A.
Oferim coordonatele generalizate s increment mic d s > 0. În acest caz, sarcina (Fig. 1.4) se va deplasa în sus pe planul înclinat la o distanță d s, iar toba se va roti în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi de dj.
Folosind formule precum (1.3a) și (1.3c), compunem o expresie pentru suma muncii elementare ale momentului M, forțe PȘi F tr:
exprimă în această ecuație dj în termeni d s: , apoi
definim forța generalizată prin formula (1.3)
luăm în considerare formula scrisă anterior pentru F trși în sfârșit obținem
Dacă în același exemplu luăm unghiul j ca coordonată generalizată, atunci forța generalizată Qj exprimat prin formula
1.4.2. Determinarea forțelor generalizate ale sistemului
cu două grade de libertate
Dacă sistemul are n grade de libertate, poziția sa este determinată n coordonate generalizate. Fiecare coordonată qi(i = 1,2,…,n) corespunde forţei sale generalizate Q i, care este determinat de formula
unde este suma muncii elementare a forţelor active asupra i-a deplasare posibilă a sistemului când d q i > 0, iar restul coordonatelor generalizate sunt neschimbate.
La determinare, este necesar să se țină cont de instrucțiunile pentru determinarea forțelor generalizate conform formulei (1.3).
Se recomandă ca forțele generalizate ale unui sistem cu două grade de libertate să fie determinate în următoarea ordine.
· Arată pe diagrama de proiect toate forțele active ale sistemului.
Determinați prima forță generalizată Î1. Pentru a face acest lucru, dați sistemului prima mișcare posibilă când d q 1 > 0 și d q 2 =q 1 posibile deplasări ale tuturor corpurilor și punctelor sistemului; compune - o expresie a muncii elementare a forțelor sistemului asupra primei deplasări posibile; posibile deplasări în expres prin d q 1; a găsi Î1 prin formula (1.4), presupunând i = 1.
Determinați a doua forță generalizată Q2. Pentru a face acest lucru, dați sistemului a doua mișcare posibilă, când d q 2 > 0 și d q 1 = 0; arata pe schema de calcul corespunzator d q2 posibile deplasări ale tuturor corpurilor și punctelor sistemului; compune - o expresie a muncii elementare a forțelor sistemului asupra celei de-a doua deplasări posibile; posibile deplasări în expres prin d q2; a găsi Q2 prin formula (1.4), presupunând i = 2.
Exemplul 1.5 (vezi condiția pentru Fig. 1.2)
Să definim Î1Și Q2, corespunzătoare coordonatelor generalizate x DȘi x A(Fig. 1.6, dar).
Trei forțe active acționează asupra sistemului: PA = 2P, P B = P D = P.
Definiție Î1. Să dăm sistemului prima deplasare posibilă când d x D > 0, d x A = 0 (Fig. 1.6, dar). În același timp, încărcătura D x D, bloc B rotiți în sens invers acelor de ceasornic după unghiul dj B, axa cilindrului A rămâne staționar, cilindrul Aîntoarce în jurul axei A pe colt dj Aîn sensul acelor de ceasornic. Compuneți suma lucrului pe deplasările indicate:
defini
Să definim Q2. Să dăm sistemului a doua deplasare posibilă când d x D = 0, d x A > 0 (Fig. 1.6, b). În acest caz, axa cilindrului A deplasați-vă vertical pe o distanță d x A, cilindru Aîntoarce în jurul axei Aîn sensul acelor de ceasornic la unghiul dj A, bloc B si marfa D va rămâne nemișcat. Compuneți suma lucrului pe deplasările indicate:
defini
Exemplul 1.6 (vezi condiția pentru Fig. 1.3)
Să definim Î1Și Q2, corespunzătoare coordonatelor generalizate j, s(Fig. 1.7, dar). Asupra sistemului acționează patru forțe active: greutatea tijei P, greutatea mingii , forța arcului și .
Învățăm asta. Modulul forțelor elastice este determinat de formula (a).
Rețineți că punctul de aplicare al forței F2 este nemișcată, prin urmare munca acestei forțe asupra oricărei posibile deplasări a sistemului este egală cu zero, în expresia forțelor generalizate, forța F2 nu va intra.
Definiție Î1. Să dăm sistemului prima mișcare posibilă când dj > 0, d s= 0 (Fig. 1.7, dar). În același timp, lanseta ABîntoarce în jurul axei zîn sens invers acelor de ceasornic după unghiul dj, posibile mișcări ale mingii Dși centru E tijele sunt îndreptate perpendicular pe segment ANUNȚ, lungimea arcului nu se va schimba. Compune în formă de coordonate [vezi. formula (1.3b)]:
(Rețineți că, prin urmare, lucrul acestei forțe asupra primei deplasări posibile este zero).
Să exprimăm deplasările d x Eși d x D prin dj. Pentru a face acest lucru, mai întâi scriem
Apoi, în conformitate cu formula (7) adj. 1 găsi
Înlocuind valorile găsite în , obținem
Prin formula (1.4), ținând cont de faptul că , definim
Definiție Q2. Să dăm sistemului a doua mișcare posibilă când dj = 0, d s > 0 (Fig. 1.7, b). În același timp, lanseta AB rămâne staționar, iar mingea M se va deplasa de-a lungul tijei cu o distanta d s. Compuneți suma lucrului pe deplasările indicate:
defini
înlocuind valoarea forței F1 din formula (a), obținem
1.5. Exprimarea energiei cinetice a sistemului
în coordonate generalizate
Energia cinetică a sistemului este egală cu suma energiilor cinetice ale corpurilor și punctelor sale (Anexa 2). Pentru a obţine T expresia (1.2), vitezele tuturor corpurilor și punctelor sistemului ar trebui exprimate în termeni de viteze generalizate folosind metodele cinematicii. În acest caz, sistemul este considerat a fi într-o poziție arbitrară, toate vitezele sale generalizate sunt considerate pozitive, adică direcționate în direcția de creștere a coordonatelor generalizate.
Exemplul 1 7 (vezi condiția pentru Fig. 1.1)
Să determinăm energia cinetică a sistemului (Fig. 1.8), luând distanța ca coordonată generalizată s,
T = T A + T B.
După formulele (2) și (3) adj. 2 avem: .
Înlocuirea acestor date în Tși ținând cont de asta, obținem
Exemplul 1.8(vezi condiția pentru Fig. 1.2)
Să determinăm energia cinetică a sistemului din fig. 1.9, luând ca coordonate generalizate mărimile x DȘi x A,
T = T A + T B + T D.
După formulele (2), (3), (4) adj. 2 notează
Expres V A , V D , w Bși W A peste:
La determinarea w A considerat că punctul O(Fig. 1.9) - centrul de viteze instantaneu al cilindrului AȘi V k = V D(vezi explicațiile relevante pentru exemplul 2 anexa 2).
Înlocuind rezultatele obţinute în Tși având în vedere că
defini
Exemplul 1.9(vezi condiția pentru Fig. 1.3)
Să determinăm energia cinetică a sistemului din fig. 1.10, luând drept coordonate generalizate j și s,
T = T AB + T D.
După formulele (1) și (3) adj. 2 avem
Exprima w ABȘi VD prin și:
Unde - viteza portabila minge D, modulul său este determinat de formulă
Dirijată perpendicular pe segment ANUNȚîn direcția creșterii unghiului j; este viteza relativă a mingii, modulul acesteia este determinat de formula , este îndreptată în direcția de creștere a coordonatei s. Rețineți că este perpendicular, deci
Înlocuirea acestor rezultate în Tși având în vedere că
1.6. Redactarea ecuatii diferentiale
deplasarea sistemelor mecanice
Pentru a obține ecuațiile dorite, este necesar să înlocuim în ecuațiile Lagrange (1.1) expresia găsită anterior pentru energia cinetică a sistemului în coordonate generalizate și forțele generalizate. Q 1 , Q 2 , … , Qn.
La găsirea derivatelor parțiale Tîn ceea ce priveşte coordonatele generalizate şi vitezele generalizate, trebuie avut în vedere că variabilele q 1 , q 2 , … , qn; sunt considerate independente unele de altele. Aceasta înseamnă că prin definirea derivatei parțiale T pentru una dintre aceste variabile, toate celelalte variabile din expresia for T ar trebui tratate ca constante.
La efectuarea operației, toate variabilele incluse în variabilă trebuie diferențiate în funcție de timp.
Subliniem că ecuațiile Lagrange sunt scrise pentru fiecare coordonată generalizată qi (i = 1, 2,…n) sisteme.
În mecanica analitică, împreună cu conceptul de forță ca mărime vectorială care caracterizează impactul asupra corp dat din alte corpuri materiale, folosiți conceptul de forta generalizata. Pentru determinare forta generalizata luați în considerare munca virtuală a forțelor aplicate punctelor sistemului.
Dacă i se impune un sistem mecanic cu constrângeri holonomice h conexiuni are s=3n-h grade de libertate ,
atunci se determină poziţia acestui sistem 
( i = s)
coordonate generalizate și (2.11) :
Conform (2.13), (2.14) deplasarea virtuală k- al-lea punct
(2.13)
(2.14)
Înlocuind (2.14): în formula pentru munca virtuală a forțelor
(2.24), obținem
valoare scalară 
= (2.26)
numit forta generalizata corespunzător i-a coordonata generalizata.
putere generalizată,corespunzătoare i-a-a coordonată generalizată, se numește valoarea egală cu multiplicatorul în variația acestei coordonate generalizate în exprimarea lucrului virtual al forțelor care acționează asupra sistemului mecanic.
munca virtuala determinat din
¾ setați forțele active, independent de restricții și
¾ reacții ale legăturilor (dacă legăturile nu sunt ideale, atunci pentru a rezolva problema, este necesar să se stabilească suplimentar dependența fizică T j din N j, ( T j ¾ este, de regulă, forțele de frecare sau momentele de rezistență la frecare la rulare, pe care le putem determina).
În general forta generalizata este o funcție de coordonate generalizate, viteze ale punctelor sistemului și timp. Din definiţie rezultă că forta generalizata¾ este o valoare scalară care depinde de coordonatele generalizate alese pentru un sistem mecanic dat. Aceasta înseamnă că, odată cu modificarea setului de coordonate generalizate care determină poziția unui sistem dat, forţe generalizate.
Exemplul 2.10. 
Pentru un disc cu o rază r si greutate m, care se rostogolește fără alunecare de-a lungul unui plan înclinat (Fig. 2.9), se poate lua coordonatele generalizate:
¾ sau q = s¾ deplasarea centrului de masă al discului,
¾ sau q= j ¾ unghiul de rotație al discului. Dacă rezistența la rulare este neglijată, atunci:
¾ în primul caz forta generalizata voi
Orez. 2.9 Q s = mg sina, a
¾ în al doilea caz ¾ Q j = mg r cosa.
Coordonata generalizată determină și unitatea de măsură a corespondentei putere generalizată. Din expresie (2.25)
(2.27)
rezultă că unitatea de măsură forta generalizata este egală cu unitatea de măsură a muncii împărțită la unitatea de măsură a coordonatei generalizate.
Dacă ca o coordonată generalizată q Accept q = s¾ deplasarea oricărui punct, apoi unitatea de măsură forta generalizata Q s ¾ va fi [newton] ,
Dacă, ca q= j ¾ va fi luat ca unghi de rotație (în radiani) al corpului, apoi unitatea de măsură forta generalizata Q j ¾ va fi [ newton metru].