Forțele interne. Metoda secțiunii

Forțele externe care acționează asupra unui obiect real sunt cel mai adesea cunoscute. De obicei, este necesar să se determine forțele interne (rezultatul interacțiunii dintre părțile individuale corp dat) care sunt necunoscute ca mărime și direcție, dar a căror cunoaștere este necesară pentru calculele de rezistență și deformare. Definirea forțelor interne se realizează folosind așa-numitul metoda secțiunii, a cărui esență este următoarea:

Tăiați mental corpul de-a lungul secțiunii care ne interesează.

Aruncați una dintre părți (indiferent de care).

Acțiunea părții aruncate a corpului este înlocuită cu sistemul de forțe rămase, care în acest caz devin externe. Conform principiului acțiunii și reacției, forțele elastice sunt întotdeauna reciproce și reprezintă un sistem de forțe distribuite continuu pe secțiunea transversală. Valoarea și orientarea lor în fiecare punct al secțiunii sunt arbitrare, în funcție de orientarea secțiunii față de corp, de mărimea și direcția forțelor externe și de dimensiunile geometrice ale corpului. Forțele interne pot fi reduse la vectorul principal R și momentul principal M. Centrul de greutate al secțiunii este de obicei luat ca punct de referință. După ce am ales sistemul de coordonate X, Y, Z (Z este axa longitudinală de-a lungul normalei la secțiunea transversală, X și Y sunt în planul acestei secțiuni) și originea sistemului în centrul de greutate, notăm proiecțiile vectorului principal R pe axele de coordonate prin N, Q x , Q y , și proiecțiile momentului principal M - M x, M y, M k . Aceste trei forțe și trei momente sunt numite factori de forță interni în secțiune:

N - forța longitudinală,

Q x , Q y - forțe transversale,

M k - cuplu,

M x , M y sunt momente încovoietoare.

4. Deoarece forțele interne sunt în echilibru cu forțele externe, ele pot fi determinate din ecuațiile de echilibru ale staticii:

P z =0, P y =0, P x =0,

 M x =0, M y =0, M z =0.

Orice factor de forță intern din secțiune este egal cu suma algebrică a factorilor de forță externi corespunzători care acționează pe o parte a secțiunii.

Factorul forței interne în secțiune este numeric egal cu suma integrală a forțelor sau momentelor interne elementare corespunzătoare pe întreaga suprafață a secțiunii:

Clasificarea principalelor tipuri de încărcare este legată de factorul de forță intern care apare în secțiune. Deci, dacă în secțiunile transversale apare doar forța longitudinală N, iar alți factori de forță interni dispar, atunci în această secțiune are loc tensiune sau compresie, în funcție de direcția forței N. Încărcare, când numai forța transversală Q are loc în secțiunea transversală, numită deplasare.

Dacă în secțiune transversală apare doar cuplul M k, atunci tija funcționează în torsiune. În cazul în care doar un moment încovoietor M x (sau M y) apare din forțele externe aplicate tijei, atunci acest tip de încărcare se numește încovoiere pură în planul yz (sau xz). Dacă în secțiune transversală, împreună cu un moment încovoietor (de exemplu, M x), apare o forță transversală Q y, atunci acest tip de încărcare se numește îndoire transversală plată (în planul yz). Tipul de încărcare, când în secțiunea transversală a tijei apar numai momentele încovoietoare M x și M y, se numește îndoire oblică (plană sau spațială). Sub acțiunea unei forțe normale N în secțiunea transversală și momentele încovoietoare M x și M y, are loc o încărcare, numită încovoiere complexă cu compresie de tensiune sau tensiune excentrică (compresie). Sub acțiunea unui moment încovoietor și a unui cuplu în secțiune are loc o îndoire cu torsiune.

Cazul general de încărcare este cazul când toți cei șase factori de forță interni apar în secțiunea transversală.

Prăbușirea ar trebui să fie atribuită unor tipuri speciale de încărcare, atunci când deformarea este de natură locală, nu se extinde pe întregul corp și flambaj(un caz special al fenomenului general de pierdere a stabilității).

Conceptul de stres

LA valoarea factorilor de forță interni nu reflectă intensitatea
stare de stres a corpului, apropierea de o stare periculoasă (distrugere). Pentru aprecierea intensității forțelor interne se introduce un criteriu (măsură numerică), numit stres. Dacă în secțiune transversală F a unui corp, selectăm aria elementară F, Fig. 1.1, în cadrul căreia se dezvăluie forța internă R, atunci raportul poate fi luat ca efort mediu pe aria F:

Efortul real într-un punct poate fi determinat prin reducerea ariei:

LA cantitatea vectorială R este stresul total la punct. Dimensiunea tensiunii este luată în Pa (Pascal) sau MPa (Megapascal). Tensiunea totală nu este de obicei folosită în calcule, dar componenta sa normală la secțiunea transversală este determinată  - efort normal, iar  ,   - tensiuni tangenţiale (Fig. 1.2). Tensiunile totale pe unitate de suprafață pot fi exprimate în termeni de tensiuni normale și de forfecare:

Există următoarea relație între tensiunile care acționează și factorii de forță interni:

;

Tensiunile normale și de forfecare sunt o funcție a factorilor de forță interni și caracteristici geometrice secțiuni. Aceste tensiuni, calculate după formulele corespunzătoare, pot fi numite efective sau de lucru.

Cea mai mare valoare a tensiunilor reale este limitată de solicitarea finală la care materialul este distrus sau apar deformații plastice inacceptabile. Prima dintre aceste limite există în orice material fragil și se numește rezistență la tracțiune ( in,  in), a doua apare numai în materiale plastice și se numește limită de curgere ( t,  t). Sub acțiunea tensiunilor în schimbare ciclică, distrugerea are loc atunci când este atinsă așa-numita limită de anduranță ( R,  R), care este mult mai mică decât limitele de rezistență corespunzătoare.

Probleme și metode de rezistență a materialelor

Rezistența materialelor- știința metodelor de inginerie pentru calcularea rezistenței, rigidității și stabilității structurilor, structurilor, mașinilor și mecanismelor.

Putere- capacitatea unei structuri, a părților și părților sale de a rezista la o anumită sarcină fără a se prăbuși.

Rigiditate- capacitatea structurii și a elementelor sale de a rezista la deformare (schimbare de formă și dimensiune).

Durabilitate- capacitatea unei structuri și a elementelor sale de a menține o anumită formă inițială de echilibru elastic.

Pentru ca structurile în ansamblu să îndeplinească cerințele de rezistență, rigiditate și stabilitate, este necesar să se confere elementelor lor forma cea mai rațională și să se determine dimensiunile adecvate. Rezistența materialelor rezolvă aceste probleme, pe baza datelor teoretice și experimentale.

Metodele sunt utilizate pe scară largă în rezistența materialelor mecanică teoreticăși analiză matematică, sunt folosite date de la secțiuni de fizică care studiază proprietățile diferitelor materiale, știința materialelor și alte științe. În plus, rezistența materialelor este o știință experimental-teoretică, deoarece folosește pe scară largă datele experimentale și studiile teoretice.

Modele de fiabilitate de forță

Evaluarea fiabilității rezistenței unui element structural începe cu alegerea model de proiectare(sistem). Model numit un set de reprezentări, condiții și dependențe care descriu un obiect, fenomen.

modele materiale.

În calculele fiabilității rezistenței, materialul piesei este reprezentat ca un mediu continuu omogen, ceea ce ne permite să considerăm corpul ca un mediu continuu și să aplicăm metodele de analiză matematică.

Sub omogenitate materialul este înțeles ca independența proprietăților sale față de dimensiunea volumului alocat.

Modelul de calcul al materialului este dotat cu astfel de proprietăți fizice precum elasticitatea, ductilitatea și fluajul.

Elasticitate- proprietatea unui corp (piesă) de a-și restabili forma după îndepărtarea sarcinii exterioare.

Plastic- proprietatea caroseriei de a reține, după descărcare, total sau parțial, deformația obținută în timpul încărcării.

Târî- proprietatea corpului de a creste deformarea in timp sub actiunea fortelor externe.

Modele de formulare.

Construcțiile în cele mai multe cazuri au o formă complexă, ale cărei elemente individuale pot fi reduse la principalele tipuri:

1. tijă sau cherestea numit corp în care două dimensiuni sunt mici în comparație cu a treia.

Tijele pot fi cu axe rectilinie și curbilinie, precum și cu secțiune constantă sau variabilă.

Tijele drepte includ grinzi, osii, arbori; la curbe - cârlige de ridicare, zale etc.

2. Coajă- un corp delimitat de două suprafețe curbe, distanța dintre care este mică în comparație cu alte dimensiuni.

Cojile sunt cilindrice, conice, sferice. Carcasele includ tancuri cu pereți subțiri, cazane, cupole de clădiri, corpuri de nave, piei de fuzelaj, aripi etc.

3. farfurie- un corp delimitat de doua suprafete plane sau usor curbate, avand o grosime mica.

Plăcile sunt funduri plate și capace ale rezervoarelor, podelelor structurilor de inginerie etc.

4. matrice sau corp masiv- un corp în care toate cele trei dimensiuni sunt de aceeași ordine.

Acestea includ: fundații ale structurilor, ziduri de sprijin etc.

Încărcarea modelelor.

Forțe sunt o măsură a interacțiunii mecanice a elementelor structurale. Forțele sunt externe și interne.

Forțele exterioare sunt forțele de interacțiune dintre elementul structural luat în considerare și corpurile asociate acestuia.

Forțele externe sunt atât volumetrice, cât și de suprafață.

Forțele corpului sunt forțele de inerție și gravitație. Acţionează asupra fiecărui element de volum infinitezimal.

Forțele de suprafață sunt găsite în timpul interacțiunii de contact a unui corp dat cu alte corpuri.

Forțele de suprafață sunt concentrate și distribuite.

R- forta concentrata, N. Actioneaza pe o mica parte a suprafetei corpului.

q este intensitatea sarcinii distribuite, N/m.

Forțele externe pot fi reprezentate ca un moment concentrat M(Nm) sau cuplu distribuit m(Nm/m).

În funcție de natura schimbării în timp, sarcina este împărțită în statică și variabilă.

Static se numește sarcină care crește încet de la zero la valoarea sa nominală și rămâne constantă în timpul funcționării piesei.

variabil se numeste sarcina care variaza periodic in timp.

modele de distrugere.

Modelele de sarcină corespund modelelor de rupere - ecuații (condiții) care leagă parametrii de performanță ai unui element structural în momentul defectării cu parametrii care asigură rezistența.

În funcție de condițiile de încărcare, se iau în considerare modelele de fractură: static, cu ciclu scăzutși oboseală(multiciclu).

Forțele interne. Metoda secțiunii

Interacțiunea dintre părți (particule) din interiorul unui element structural este caracterizată de forțe interne.

forțe interne sunt forțele de interacțiune interatomică (legături) care apar atunci când sarcinile externe acționează asupra corpului.

Practica arată că forțele interne determină fiabilitatea rezistenței piesei (corpului).

Pentru a găsi forțele interne folosiți metoda secțiunii. Pentru aceasta, corpul este tăiat mental în două părți, o parte este aruncată, cealaltă este considerată împreună cu forțele externe. Forțele interne sunt distribuite pe secțiune într-un mod complex. Prin urmare, sistemul de forțe interne este adus la centrul de greutate al secțiunii, astfel încât să putem determina vector principalși punctul principal M forțe interne care acționează asupra secțiunii transversale. Apoi descompunem vectorul principal și momentul principal în componente de-a lungul a trei axe și obținem factori de rezistență interni sectiune: componenta Nz numit normal, sau forță longitudinalăîn secțiune transversală, rezistență Qxși Q y numit forțe transversale, moment Mz(sau M la) se numește cuplu, și momentele M xși Ale mele - momente de încovoiere despre topoare Xși y, respectiv.

Astfel, dacă forțe externe sunt dați, apoi factorii de forță interni sunt calculați ca sumele algebrice ale proiecțiilor forțelor și momentelor care acționează asupra părții tăiate mental a corpului.

După determinarea valorilor numerice ale forțelor interne se construiesc diagrame- grafice (diagrame) care arată cum se modifică forțele interne în timpul trecerii de la secțiune la secțiune.

Interacțiunea dintre părțile unei structuri (corp) se caracterizează prin forțe interne care apar în interiorul acesteia sub acțiunea sarcinilor externe.

Forțele interne se determină folosind metoda secțiunii. Esența metodei secțiunii este următoarea: dacă sub acțiunea forțelor externe corpul se află într-o stare de echilibru, atunci orice parte tăiată a corpului, împreună cu forțele externe și interne care cad asupra acestuia, vor fi de asemenea. în echilibru, prin urmare, ecuațiile de echilibru îi sunt aplicabile. Adică nu afectează condițiile de echilibru ale corpului, deoarece sunt autoechilibrate.

Să considerăm un corp căruia i se aplică un sistem de forțe externe F 1 , F 2 , …, F n, care satisface condițiile de echilibru, adică. sub acţiunea acestor forţe externe, corpul se află într-o stare de echilibru. Dacă este necesar, definiți susține reacțiile din ecuațiile de echilibru (luăm obiectul, aruncăm legăturile, înlocuim legăturile aruncate cu reacții, compunem ecuațiile de echilibru și ). Reacțiile pot fi omise dacă nu sunt incluse în numărul de forțe externe aplicate pe o parte a secțiunilor luate în considerare.

Tăiem mental corpul cu o secțiune arbitrară, aruncăm partea stângă a corpului și luăm în considerare echilibrul părții rămase.

Dacă nu ar exista forțe interne, partea dezechilibrată rămasă a corpului ar începe să se miște sub influența forțelor externe. Pentru a menține echilibrul, acțiunea părții aruncate a corpului este înlocuită cu forțe interne aplicate fiecărei particule a corpului.

Din mecanica teoretică se știe că orice sistem de forțe poate fi adus în orice punct al spațiului sub forma vectorului principal de forțe \vec(R) și a momentului principal de forțe \vec(M) (teorema lui Poinsot). Modulul și direcția acestor vectori sunt necunoscute.

Cel mai convenabil este să definiți acești vectori în termenii proiecțiilor lor pe axele x,y,z. $$\vec(R) = \vec(N) + \vec(Q_x)+\vec(Q_y), \ \ \vec(M) = \vec(M_k) + \vec(M_x)+\vec(M_y ) $$ sau

Proiecțiile vectorilor \vec(R) și \vec(M) au următoarele denumiri:

• N - forța longitudinală,
• Q x și Q y - forțe transversale (de tăiere) de-a lungul axelor x și, respectiv,
• M k - cuplul (uneori notat cu litera T),
• M x , M y - momentele încovoietoare în jurul axelor x, respectiv y

În cazul general, pentru a determina forțele interne, avem 6 necunoscute, care pot fi determinate din 6 ecuații de echilibru.

unde \sum F_i, \sum M(F)_i sunt forțe și momente exterioare care acționează asupra părții rămase a corpului.

După ce am rezolvat un sistem de 6 ecuații cu 6 necunoscute, determinăm toate forțele interne. Secțiunea poate să nu conțină toate cele șase interne
factori de forță în același timp - depinde de tipul de sarcină externă și de metoda de aplicare a acesteia.

Exemplu: pentru tijă

Regula generală pentru determinarea oricărui efort intern este:

Forțele Q x , Q y , N sunt egale cu suma algebrică a proiecțiilor tuturor forțelor situate pe o parte a secțiunii selectate, respectiv, pe axele x, y sau z.

Momentele M x , M y , M k sunt egale cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor situate pe o parte a secțiunii selectate, respectiv, în raport cu axele x, y sau z care trec prin centrul de greutate al secțiunea selectată.

Atunci când se utilizează regula de mai sus, este necesar să se adopte regula semnelor pentru forțele interne.

Regula semnelor

• Forța normală de întindere (direcționată departe de secțiune) este considerată pozitivă, iar forța de compresiune este negativă.
• Cuplul în secțiune, îndreptat în sens invers acelor de ceasornic, este considerat pozitiv, în sensul acelor de ceasornic - negativ.
• Un moment de încovoiere pozitiv corespunde fibrelor comprimate de sus, unul negativ - de jos.
• Este convenabil să se determine semnul forței transversale după direcția în care sarcina transversală rezultată încearcă să rotească partea tăiată a grinzii în raport cu secțiunea luată în considerare: dacă în sensul acelor de ceasornic, forța este considerată pozitivă, inversă, negativă. .

1 Graficul schimbării efortului intern de către axa specificată corpul se numește complot.

In echilibru sub influenta .

Se consideră o tijă prismatică perfect elastică de secțiune transversală dreptunghiulară (Fig. 1.2, a).

Să selectăm în interiorul tijei oricare două particule K și L situate la o distanță infinitezimală una de cealaltă. Pentru o mai mare claritate, să presupunem că între aceste particule există un arc care le ține la o anumită distanță unele de altele. Lăsați tensiunea arcului să fie zero.

Să aplicăm acum o forță de tracțiune tijei (Fig. 1.2, b). Fie ca urmare a deformării tijei, particula K se va muta în poziția , iar particula L-în poziție. Conectarea acestor particule primăvarăîn timp ce se întinde. După ce sarcina externă este îndepărtată, particulele vor reveni la poziția inițială. Kși L datorita fortei care s-a ivit primavara. Forța care a apărut între particule (într-un arc) ca urmare a deformării este ideală tija elastica, se numesc forta sau Forta interioara. Poate fi găsit prin metoda secțiunii.

Pașii metodei secțiunii

Metoda secțiunii constă din patru etape succesive: tăiați, aruncați, înlocuiți, echilibrați.

Să tăiem tija, care se află în echilibru sub acțiunea unui anumit sistem de forțe (Fig. 1.3, a) în două părți printr-un plan perpendicular pe axa sa z.

Să aruncăm una dintre părțile tijei și să luăm în considerare partea rămasă.

Întrucât noi, parcă, tăiem prin nenumărate arcuri care legau particulele infinit apropiate ale corpului, acum împărțite în două părți, în fiecare punct al secțiunii transversale a tijei, este necesar să se aplice forțe elastice care au apărut între aceste particule. în timpul deformării corpului. Cu alte cuvinte, să înlocuim acțiunea piesei aruncate (Fig. 1.3, b).

Forțele interne în metoda secțiunii

Conform regulilor mecanicii teoretice, sistemul infinit de forțe rezultat poate fi redus la centrul de greutate al secțiunii transversale. Ca rezultat, obținem vectorul principal R și momentul principal M (Fig. 1.3, c).

Să descompunăm vectorul principal și momentul principal în componente de-a lungul axelor x, y (principal axele centrale) și z.

Să luăm 6 factori de forță interni care apar în secțiunea transversală a tijei în timpul deformării acesteia: trei forțe (Fig. 1.3, d) și trei momente (Fig. 1.3, e).

Forța N - forța longitudinală

- forte transversale,

moment în jurul axei z () - cuplul

momente în jurul axelor x, y () - momente încovoietoare.

Să scriem ecuațiile de echilibru pentru partea stângă a corpului (echilibru):

Din ecuații se determină forțele interne care apar în secțiunea transversală considerată a tijei.

În interiorul oricărui material există forțe interatomice interne, a căror prezență determină capacitatea corpului de a percepe forțele externe care acționează asupra acestuia, de a rezista distrugerii, modificării formei și dimensiunii. Aplicarea unei sarcini externe asupra corpului determină o modificare a forțelor interne. În rezistența materialelor, sunt studiate forțe interne suplimentare. În rezistența materialelor, ele sunt pur și simplu denumite forțe interne.

Forțe interne - forțe de interacțiune între elemente structurale individuale sau între părți individuale ale elementului, care apar sub acțiunea forțelor externe.

Pentru a determina numeric mărimea forțelor interne, se utilizează metoda secțiunilor.

Metoda secțiunii se reduce la patru etape:

Orez. 7

Orice parte tăiată a corpului este aruncată (de preferință cea mai complexă), iar efectul său asupra părții rămase este înlocuit cu forțe interne, astfel încât partea rămasă a corpului studiată să fie în echilibru (Fig. 8);

Orez. opt

Forțele rezultate (N, Qy, Qz) (Fig. 9) și momentele (Mk, My, Mz) se numesc factori de forță interni în secțiune

Orez. 9

Următoarele denumiri sunt acceptate pentru factorii de forță interni:

-forță longitudinală sau axială;

și -forțe transversale;

-cuplu;

și
-momente de încovoiere.

Factorii de forță interni sunt găsiți prin compilarea a șase ecuații de echilibru static pentru partea corpului disecat luată în considerare.

Voltaj

Dacă selectăm o zonă infinit de mică în secțiune
și presupunem că forțele interne aplicate diferitelor sale puncte sunt aceleași ca mărime și direcție, apoi rezultanta lor
va trece prin centrul de greutate al elementului
(Fig. 10).

Orez. zece

proiecții
pe osie ,și va exista o forță longitudinală elementară
, și forțe transversale elementare
și
.

Să le împărtășim forțe elementare Spre piata
, obținem mărimi numite tensiuni în punctul secțiunii desenate.

;
;
,

Unde - tensiune normala; - efort de forfecare.

Voltaj - Forta interioara, referit la suprafața unității la un punct dat al secțiunii luate în considerare.

Tensiunea este măsurată în unități de stres - pascali (Pa) și multipli ai acesteia - (kPa, MPa)

Uneori, pe lângă tensiunile normale și de forfecare, se ia în considerare și efortul total.

Conceptul de " Voltaj» joacă un rol foarte important în calculele puterii. Prin urmare, o parte semnificativă a cursului de rezistență a materialelor este dedicată studiului metodelor de calcul a tensiunilor. și .

Tensiune și compresie

Întindere centrală (compresie) se numește acest tip de deformare, în care în secțiunea transversală a grinzii apare doar o forță longitudinală (de tracțiune și compresiune), iar toți ceilalți factori de forță interni sunt egali cu zero.

Forțele longitudinale sunt determinate prin metoda secțiunii.

Exemplu

Să fie o tijă în trepte încărcată cu forțe
,
și
de-a lungul axei tijei prezentate în fig. 11, a. Determinați mărimea forțelor longitudinale.

Soluţie. Tija poate fi împărțită în secțiuni în funcție de locurile în care sunt aplicate sarcinile și în funcție de locurile în care se modifică secțiunea transversală.

Prima secțiune este limitată de punctele de aplicare a forțelor și . Să direcționăm axa (începutul primei secțiuni). Disectați mental prima secțiune cu o secțiune transversală la distanță de la începutul primei secțiuni. Mai mult, coordonata poate fi luată în interval
, Unde - lungimea primei secțiuni.

;
, kN

Semnul pozitiv al forței longitudinale indică faptul că prima secțiune este întinsă.

Valoarea forței longitudinale nu depinde de coordonată , prin urmare, pe întreaga secțiune, valoarea forței longitudinale este constantă și egală cu .

Orez. unsprezece

A doua secțiune este limitată de punctele de aplicare a forțelor și . Să direcționăm axa de-a lungul axei secțiunii în sus cu originea în punctul de aplicare a forței (începutul celei de-a doua secțiuni).

Disectați mental a doua secțiune cu o secțiune transversală la distanță de la începutul celei de-a doua secțiuni. Mai mult, coordonata poate fi luată în interval
, Unde - lungimea celei de-a doua secțiuni.

Luați în considerare echilibrul părții inferioare a tijei, înlocuind acțiunea părții superioare asupra părții inferioare a tijei cu forța longitudinală
, având în prealabil direcționat-o în direcția de întindere a piesei luate în considerare.

Din starea de echilibru a staticii:

;

Semnul minus indică faptul că a doua secțiune este comprimată.

La fel pentru a treia secțiune:

;

Pentru o mai mare claritate, este mai convenabil să prezentați rezultatele obținute sub forma unui grafic ( diagrameN), care arată modificarea forței longitudinale de-a lungul axei tijei. Pentru a face acest lucru, desenăm o linie zero (bază) paralelă cu axa tijei, perpendiculară pe care vom reprezenta pe o scară valorile forțelor axiale (Fig. 1.11, e). Punem valori pozitive pe de o parte, negative pe de alta. Parcela este hașurată perpendicular pe linia zero, iar semnul valorii de trasat este plasat în interiorul parcelei. Valorile cantităților în așteptare sunt indicate în apropiere. În dreptul diagramei, numele diagramei („N”) este indicat între ghilimele și, separate prin virgule, unitățile de măsură (kN)