Ipoteze în îndoire. Strat neutru, raza de curbură, curbură, distribuția deformațiilor și a tensiunilor normale de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a tijei. Tensiuni de forfecare la plat îndoire transversală tije. Calculul grinzilor pentru rezistența la încovoiere. Mișcări de îndoire.

Tensiuni normale cu o curbă dreaptă curată. Deoarece tensiunile normale depind numai de momentele încovoietoare, derivarea formulei de calcul se poate face în raport cu încovoierea pură. Rețineți că metodele teoriei elasticității pot fi utilizate pentru a obține o dependență exactă pentru solicitările normale în încovoiere pură, dar dacă această problemă este rezolvată prin metode de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.

Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:

1) ipoteza secțiuni plate(ipoteza lui Bernoulli) - secțiunile plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. În acest caz, fibrele fasciculului, aflate pe o parte a axei neutre, vor fi întinse, iar pe cealaltă, comprimate; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;

2) ipoteza constanței tensiunilor normale - tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;

3) ipoteza absenţei presiunilor laterale - fibrele longitudinale învecinate nu se apasă unele pe altele.

Orez. 28. Conjectura lui Bernoulli

Problemă de îndoire a planului static. Momentul încovoietor în secțiune este suma momentelor tuturor forțelor normale interne elementare σ.dA care apar pe zonele elementare ale secțiunii transversale a grinzii (Fig. 29), în raport cu axa neutră: .

Această expresie reprezintă partea statică a problemei de îndoire plană. Dar nu poate fi folosit pentru a determina tensiunile normale, deoarece legea distribuției tensiunilor pe secțiunea transversală este necunoscută.

Orez. 29. Partea statică a problemei

Latura geometrică a problemei de îndoire a planului. Să evidențiem elementul grinda de lungime dz cu două secțiuni transversale. Sub sarcină, axa neutră este îndoită (raza de curbură ρ), iar secțiunile sunt rotite față de liniile lor neutre cu un unghi dθ. Lungimea segmentului de fibre ale stratului neutru rămâne neschimbată (Fig. 30, b):

Orez. 30. Partea geometrică a problemei:
a - element grindă; b - curbura axei neutre; c - diagrama σ.dA; d - graficul ε

Să determinăm lungimea segmentului de fibre distanțat de stratul neutru la distanța y

dz 1 = (ρ + y)dθ .

Alungirea relativă în acest caz va fi

Dependența reflectă latura geometrică a problemei îndoirii plane, din care se poate observa că deformațiile fibrelor longitudinale se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare.

Setul de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când fasciculul este îndoit se numește strat neutru.

Linia în care secțiunea transversală a fasciculului se intersectează cu stratul neutru al grinzii se numește linie de secțiune neutră.

Partea fizică a problemei îndoirii planului. Folosind legea lui Hooke pentru tensiune axiala, primim

Substituind valoarea σ în expresia care reflectă latura statică a problemei de îndoire plană, obținem

Înlocuind valoarea în formula originală, obținem

(13)

Această expresie reflectă partea fizică a problemei de îndoire plană, ceea ce face posibilă calcularea tensiunilor normale de-a lungul înălțimii secțiunii.

Deși această expresie a fost obținută pentru cazul îndoirii pure, dar așa cum arată teoretic și studii experimentale, poate fi folosit și pentru îndoirea plană transversală.

Linie neutră. Poziția liniei neutre este determinată din condiția de egalitate la zero a forței normale în secțiunile fasciculului cu îndoire pură

Deoarece M x ≠ 0 și I x ≠ 0, este necesar ca integrala să fie egală cu zero. Această integrală reprezintă momentul static al secțiunii în jurul axei neutre. Deoarece momentul static al secțiunii este zero numai în raport cu axa centrală, prin urmare, linia neutră pentru îndoirea plană coincide cu axa centrală principală de inerție a secțiunii.

Tensiuni de forfecare. Tensiunile de forfecare care apar în secțiunile grinzii cu încovoiere transversală plană sunt determinate de dependența:

(14)

unde Q este forța transversală în secțiunea grinzii luate în considerare; S xo - momentul static al zonei părții tăiate a secțiunii în raport cu axa neutră a fasciculului; b - lăţimea secţiunii în stratul considerat; Ix este momentul de inerție al secțiunii față de axa neutră.

Tensiunile de forfecare sunt egale cu zero în fibrele extreme ale secțiunii și sunt maxime în fibrele stratului neutru.

Calculul grinzilor pentru rezistența la încovoiere. Rezistența grinzii va fi asigurată dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

(15)

Tensiunile maxime normale de încovoiere apar în secțiunile în care acționează momentul maxim încovoietor, în punctele secțiunii cele mai îndepărtate de axa neutră.

Tensiunile de forfecare maxime apar în secțiunile grinzii, unde acționează forța transversală maximă

Tensiunile de forfecare τmax sunt de obicei mici în comparație cu σmax și, de regulă, nu sunt luate în considerare în calcule. Testarea efortului de forfecare se efectuează numai pentru grinzi scurte.

Mișcări de îndoire. Prin calculul rigidității se înțelege aprecierea complianței elastice a grinzii sub acțiunea sarcinilor aplicate și selectarea unor astfel de dimensiuni transversale la care deplasările să nu depășească limitele stabilite de standarde.

Condiție de rigiditate la încovoiere

Deplasarea centrului de greutate al secțiunii într-o direcție perpendiculară pe axa fasciculului se numește deformare. Deformarea este indicată de litera W.

Cea mai mare deformare în travee sau pe consola grinzii se numește săgeată de deviere și este indicată prin litera ƒ.

Colţ q, prin care fiecare secțiune se rotește față de poziția inițială și este unghiul de rotație.

Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic

Unghiul de rotație al secțiunii este egal cu valoarea derivatei deviației de-a lungul coordonatei Z în aceeași secțiune, adică:

Ecuația liniei elastice a fasciculului

(16)

Există trei metode de rezolvare a ecuației diferențiale a liniei elastice a unei grinzi. Aceasta este metoda integrare directă, metoda Clebsch și metoda parametrilor inițiali.

Metoda de integrare directă. După ce a integrat pentru prima dată ecuația liniei elastice a grinzii, se obține o expresie pentru determinarea unghiurilor de rotație:

Integrându-se a doua oară, ei găsesc expresii pentru determinarea deflexiunilor:

Valorile constantelor de integrare C și D sunt determinate din condiții inițiale pe suporturi de grinzi

metoda Clebsch. Pentru a elabora ecuații, trebuie îndeplinite următoarele condiții de bază:

• originea coordonatelor, pentru toate secțiunile, trebuie să fie situată la extremitatea stângă a fasciculului;
• integrarea ecuației diferențiale a liniei elastice a grinzii trebuie efectuată fără deschiderea consolelor;
• când în ecuație se include un moment concentrat extern M, acesta trebuie înmulțit cu (Z - a), unde a este coordonata secțiunii în care se aplică momentul;
• în cazul unei ruperi a sarcinii distribuite, aceasta este extinsă până la capătul grinzii, iar pentru a restabili condițiile reale de încărcare se introduce o sarcină „compensatoare” de sens opus.

Metoda parametrilor inițiali

Pentru unghiuri de rotație

(17)

Pentru coturi:

(18)

unde θ este unghiul de rotație al secțiunii; w - deformare; θo - unghiul de rotație la origine; w0 - deformare la origine; dі este distanța de la originea coordonatelor până la i-lea sprijin al grinzii; ai este distanța de la originea coordonatelor până la punctul de aplicare a momentului concentrat Mi; bi este distanța de la originea coordonatelor până la punctul de aplicare a forței concentrate Fi; сi - distanța de la originea coordonatelor până la începutul secțiunii sarcinii distribuite qi; Ri și Mpi - reacția și momentul reactiv în suporturile grinzii.

Determinarea devierii pentru cazuri simple

Orez. 31. Exemple de sarcini pe grinzi

Calculul deplasărilor prin metoda lui Mohr

Dacă nu trebuie să cunoașteți ecuația liniei curbe a grinzii, dar trebuie să determinați numai deplasările liniare sau unghiulare ale unei secțiuni individuale, este cel mai convenabil să utilizați metoda Mohr. Pentru grinzi și cadre plate, Integrala Mohr are forma:

unde δ este deplasarea necesară (liniară sau unghiulară); M p , M i - expresii analitice ale momentelor încovoietoare, respectiv, dintr-o forță dată și unitară; EJ x - rigiditatea secțiunii grinzii în planul de încovoiere. La determinarea deplasărilor, trebuie luate în considerare două stări ale sistemului: 1 - stare reală, cu o sarcină externă aplicată; 2 - o stare auxiliară în care fasciculul este eliberat de sarcina externă și se aplică o forță unitară secțiunii, a cărei deplasare este determinată, dacă se determină deplasarea liniară, sau un moment unitar, dacă se determină deplasarea unghiulară ( Fig. 32).

Orez. 32. Definiția mișcărilor:
a - starea actuală; b, c - stări auxiliare

Formula lui Mohr poate fi obținută, de exemplu. folosind principiul deplasărilor posibile.

Orez. 33. Diagrama cadru:
a - sub influența forței; b - eforturi interne

Luați în considerare schema (Fig. 33a), când se aplică o forță unitară în punctul A în direcția deplasării dorite ΔA, provocând factori de forță interni în secțiunea transversală a sistemului (Fig. 33, b). În conformitate cu principiul posibilelor deplasări, munca acestor factori de forță internă asupra oricăror posibile deplasări ar trebui să fie egală cu munca unei forțe unitare pe o posibilă deplasare δΔA:

Alege posibile mișcări proporțional cu cele reale:

Și după înlocuire obținem:

Având în vedere că

ajungem la formula lui Mohr

(19)

care serveşte la determinarea oricăror deplasări generalizate în sistemele de tije.

În cazul în care grinda funcționează numai pentru îndoire (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), expresia (1) ia forma:

(20)

regula lui Vereșchagin vă permite să înlocuiți integrarea directă în formulele lui Mohr cu așa-numita multiplicare a diagramelor. Metoda de calcul a integralei Mohr prin înlocuirea integrării directe prin înmulțirea diagramelor corespunzătoare se numește metoda (sau regulă) Vereshchagin, care constă în următoarele: pentru a înmulți două diagrame, dintre care cel puțin una este rectilinie, trebuie să înmulțiți aria unei diagrame cu ordonata celeilalte diagrame situată sub centrul de greutate prima (ordonatele sunt folosite numai din diagramele rectilinii). Diagramele de formă complexă pot fi împărțite într-un număr de unele simple: un dreptunghi, un triunghi, o parabolă pătratică etc. (Fig. 34).

Orez. 34. Cele mai simple diagrame

Valabilitatea regulii lui Vereshchagin.

Orez. 35. Schema de multiplicare a diagramei:
a - diagramă arbitrară; b - rectiliniu

Sunt date două diagrame ale momentelor încovoietoare, dintre care una Mk are o formă arbitrară, iar cealaltă Mi este rectilinie (Fig. 35). Se presupune că secțiunea transversală a tijei este constantă. În acest caz

Valoarea lui Mkdz este aria elementară dω a diagramei Mk (umbrită). Primim

Dar Mi = ztg α, prin urmare,

Expresia este momentul static al ariei diagramei Mk relativ la axa y care trece prin punctul O, egal cu ωkΖc, unde ωk este aria diagramei momentului; Ζс - distanța de la axa y până la centrul de greutate al diagramei M k . Din figură reiese clar:

z c \u003d M i /tg α,

unde Mi este ordonata diagramei Mi, situată sub centrul de greutate al diagramei Mk (sub punctul C).

(21)

Formula (21) reprezintă regula de calcul a integralei Mohr: integrala este egală cu produsul dintre aria diagramei curbilinii și ordonata luată din diagrama rectilinie și situată sub centrul de greutate al diagramei curbilinii.

Diagramele curbilinii întâlnite în practică pot fi împărțite într-un număr de unele simple: un dreptunghi, un triunghi, o parabolă pătratică simetrică etc.

Prin împărțirea diagramelor în părți, este posibil să se realizeze ca, atunci când sunt multiplicate, toate diagramele să aibă o structură simplă.

Exemplu de calcul al deplasării. Este necesar să se determine deformarea în mijlocul travei și unghiul de rotație al secțiunii de susținere din stânga a grinzii încărcate cu o sarcină distribuită uniform (Fig. 36, a) folosind metoda Mohr-Vereshchagin.

Se consideră 3 stări ale grinzii: starea de sarcină (sub acțiunea unei sarcini distribuite q;) corespunde diagramei Mq (Fig. 36, b), și două simple: sub acțiunea forței aplicate în punctul C ( diagramă, Fig. 36, c) și momentul aplicat în punctul B (grafic, Fig. 36, d).

Deformarea fasciculului în mijlocul travei:

Rețineți că înmulțirea diagramelor se realizează pentru jumătate din fascicul, iar apoi, din cauza simetriei), rezultatul este dublat. Când se calculează unghiul de rotație al secțiunii în punctul B, aria diagramei Mq este înmulțită cu ordonata diagramei situată sub centrul său de greutate (1/2, Fig. 9, d), deoarece plotul se schimbă în linie dreaptă:

Orez. 36. Exemplu de calcul:
a - schema de fascicul dat; b - diagrama de încărcare a momentelor;
in - diagramă unică dintr-o singură forță; d - dintr-un singur moment

În cazul general (bară de secțiune transversală variabilă, un sistem complexîncărcărilor) integrala Mohr este determinată prin integrare numerică. În multe cazuri practic importante, când rigiditatea secțiunii este constantă pe lungimea tijei, integrala Mohr poate fi calculată folosind regula Vereshchagin. Luați în considerare definiția integralei Mohr în secțiunea de la a la 6 (Fig. 9.18).

Orez. 9.18. Regula lui Vereshchagin pentru calcularea integralei Mohr

Diagramele de moment dintr-un singur factor de forță constau din segmente drepte. Fără a pierde generalitatea, presupunem că în interiorul zonei

unde A și B sunt parametrii dreptei:

Integrala Mohr pe secțiunea de secțiune transversală constantă luată în considerare are forma

unde F este aria de sub curbă (aria graficului momentelor încovoietoare de la forțe externe pe secțiunea z).

unde este abscisa centrului de greutate al zonei.

Egalitatea (109) este valabilă atunci când nu își schimbă semnul în cadrul parcelei și poate fi considerată ca un element al suprafeței parcelei. Acum din relațiile (107) -(109) obținem

Moment de la o singură sarcină în secțiune

Un tabel auxiliar pentru utilizarea regulii Vereshchagin este dat în Fig. 9.19.

Observatii. 1. Dacă diagrama din acțiunea forțelor externe asupra locului este liniară (de exemplu, sub acțiunea forțelor și momentelor concentrate), atunci regula poate fi aplicată în formă inversă: aria diagramei dintr-o unitate factorul de forță se înmulțește cu ordonata diagramei corespunzătoare centrului de greutate al zonei. Aceasta rezultă din dovada de mai sus.

2. Regula lui Vereshchagin poate fi extinsă la integrala Mohr în vedere generala(Ecuația (103)).

Orez. 9.19. Arii și poziția centrelor de greutate ale diagramelor de moment

Orez. 9.20. Exemple de determinare a deformarii și a unghiurilor de rotație conform regulii Vereshchagin

Principala cerință în acest caz este următoarea: în cadrul secțiunii, factorii de forță interni de la o singură sarcină trebuie să fie funcții liniare de-a lungul axei tijei (liniaritatea diagramelor!).

Exemple. 1. Să se determine deformarea în punctul A a tijei cantilever sub acţiunea unui moment concentrat M (Fig. 9.20, a).

Deformarea în punctul A este determinată de formula (pentru concizie, indicele este omis)

Semnul minus se datorează faptului că au semne diferite.

2. Determinați deformarea în punctul A din bara cantilever sub acțiunea unei sarcini distribuite.

Deformarea este determinată de formula

Diagramele momentului încovoietor M și forței tăietoare Q de la sarcina externă sunt prezentate în fig. 9.20, b, mai jos în această figură sunt diagrame sub acțiunea unei forțe unitare. În continuare găsim

3. Determinați deformarea în punctul A și unghiul de rotație în punctul B pentru o grindă cu două rezemare încărcată cu un moment concentrat (Fig. 9.20.).

Deformarea este determinată de formula (deformarea prin forfecare este neglijată)

Deoarece diagrama momentului dintr-o unitate de forță nu este reprezentată de o singură linie; atunci integrala este împărțită în două secțiuni:

Unghiul de rotație în punctul B este egal cu

Cometariu. Din exemplele de mai sus, se poate observa că metoda lui Vereshchagin în cazuri simple vă permite să determinați rapid deviațiile și unghiurile de rotație. Este important doar să aplicăm o regulă cu un singur semn pentru Dacă suntem de acord să trasăm diagrame de moment încovoietor pe o „fibră întinsă” atunci când îndoiți o tijă (vezi Fig. 9.20), atunci este imediat ușor să vedem valorile momentelor pozitive și negative.

Un avantaj special al regulii lui Vereshchagin este că poate fi folosit nu numai pentru tije, ci și pentru rame (Sec. 17).

Limitări pentru aplicarea regulii Vereshchagin.

Aceste restricții rezultă din derivarea formulei (110), dar să le acordăm încă o dată atenție.

1. Diagrama momentului încovoietor de la o singură sarcină ar trebui să fie sub forma unei singure linii drepte. Pe fig. 9.21, se arată un caz când această condiție nu este îndeplinită. Integrala Mohr trebuie calculată separat pentru segmentele I și II.

2. Momentul încovoietor de la o sarcină externă din secțiune trebuie să aibă un singur semn. Pe fig. 9.21, b arată cazul în care regula Vereshchagin ar trebui aplicată pentru fiecare secțiune separat. Această limitare nu se aplică momentului de la o singură sarcină.

Orez. 9.21. Limitări la utilizarea regulii lui Vereshchagin: a - diagrama are o pauză; b - parcela are semne diferite; c - tija are secțiuni diferite

3. Rigiditatea tijei în secțiune trebuie să fie constantă, altfel integrarea ar trebui extinsă separat la secțiuni cu rigiditate constantă. Constrângerile privind rigiditatea constantă pot fi evitate prin grafic.

2013_2014 an universitar II semestru Prelegerea nr. 2.6 pagina 12

Deformarea grinzilor în timpul îndoirii. Ecuația diferențială a axei îndoite a grinzii. Metoda parametrilor inițiali. Ecuația universală a unei linii elastice.

6. Deformarea grinzilor în îndoire plană

6.1. Concepte de bază și definiții

Luați în considerare deformarea unei grinzi sub îndoire plată. Axa grinzii sub acțiunea sarcinii este îndoită în planul de acțiune al forțelor (planul X 0y), în timp ce secțiunile transversale sunt rotite și deplasate cu o anumită cantitate. Axa curbată a grinzii în timpul îndoirii se numește axă curbată sau linie elastică.

Deformarea grinzilor în timpul îndoirii va fi descrisă prin doi parametri:

abatere(y) - deplasarea centrului de greutate al secțiunii grinzii pe direcția perpendiculară pe

orez. 6.1 la axa sa.

Nu confundați deviația y cu coordonata y puncte de secțiune a fasciculului!

Cea mai mare abatere a fasciculului se numește săgeată de deviere ( f= y max);

2) unghiul de rotație al secțiunii() - unghiul cu care secțiunea se rotește față de poziția inițială (sau unghiul dintre tangenta la linia elastică și axa inițială a grinzii).

În cazul general, deviația fasciculului într-un punct dat este o funcție a coordonatei z și poate fi scrisă ca următoarea ecuație:

Apoi unghiul dintre tangenta la axa îndoită a fasciculului și axa X se va determina din următoarea expresie:

.

Deoarece unghiurile și deplasările sunt mici, putem presupune că

unghiul de rotație al secțiunii este prima derivată a deformarii fasciculului de-a lungul abscisei secțiunii.

6.2. Ecuația diferențială a axei curbe a fasciculului

Pe baza naturii fizice a fenomenului de încovoiere, putem afirma că axa curbă a unui fascicul continuu trebuie să fie o curbă continuă și netedă (fără întreruperi). În acest caz, deformarea uneia sau alteia secțiuni a fasciculului este determinată de curbura liniei sale elastice, adică de curbura axei fasciculului.

Anterior, am obținut o formulă pentru determinarea curburii unei grinzi (1/ρ) în timpul îndoirii

.

Pe de altă parte, de la curs matematica superioara Se știe că ecuația pentru curbura unei curbe plane este următoarea:

.

Echivalând părțile corecte ale acestor expresii, obținem ecuație diferențială axa îndoită a grinzii, care se numește ecuația exactă a axei îndoite a grinzii

În sistemul de coordonate al deviațiilor z0 y când axa y este îndreptată în sus, semnul momentului determină semnul derivatei a doua a y pe z.

Integrarea acestei ecuații prezintă, evident, unele dificultăți. Prin urmare, de obicei este scris într-o formă simplificată, neglijând valoarea dintre paranteze în comparație cu unitatea.

Apoi ecuația diferențială a liniei elastice a grinziiîl vom considera sub forma:

(6.1)

Găsim soluția ecuației diferențiale (6.1) integrând ambele părți ale acesteia în raport cu variabila z:

(6.2)

(6.3)

Constante de integrare C 1 , D 1 se găsește din condițiile la limită - condițiile de fixare a grinzii, în timp ce pentru fiecare secțiune a grinzii se vor determina constantele acestora.

Luați în considerare procedura de rezolvare a acestor ecuații folosind un exemplu specific.

D un nu:

Lungimea grinzii în consolă l, încărcat cu forță transversală F. Materialul fasciculului ( E), forma și dimensiunile secțiunii sale ( eu X) sunt de asemenea considerate cunoscute.

O limită legea modificării unghiului de rotație ( z) și deformare y(z) grinzi de-a lungul lungimii sale și valorile acestora în secțiuni caracteristice.

Soluţie

a) definiţi reacţiile în terminare

b) folosind metoda secțiunii, determinăm momentul încovoietor intern:

c) determina unghiul de rotatie al sectiunilor grinzii

Permanent C 1 aflăm din condițiile de fixare și anume, într-un atașament rigid, unghiul de rotație este egal cu zero, atunci


(0) = 0  C 1 =0.

Aflați unghiul de rotație al capătului liber al grinzii ( z = l) :

Semnul minus indică faptul că secțiunea s-a rotit în sensul acelor de ceasornic.

d) determinați deviațiile fasciculului:

Permanent D 1 aflăm din condițiile de fixare, și anume, într-un atașament rigid, deformarea este egală cu zero, atunci

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Găsiți deformarea capătului liber al grinzii ( X= l)

.

Semnul minus indică faptul că secțiunea a scăzut.

La dispozitia ta. Dar axiomele: „dacă vrei ca munca să fie făcută bine, fă-o singur” nu a fost încă anulată. Faptul este că în diverse tipuri de cărți de referință și manuale există uneori greșeli de tipar sau erori, așa că utilizarea formulelor gata făcute nu este întotdeauna bună.

11. Determinarea unghiului de rotație.

Deformarea structurii unei clădiri, și în cazul nostru grinzilor, este singura valoare care este cel mai ușor de determinat empiric și cel mai dificil teoretic. Când am aplicat o sarcină pe riglă (apăsat-o cu un deget sau cu puterea intelectului nostru), am văzut cu ochiul liber că rigla s-a lăsat:

Figura 11.1. Deplasarea centrului de greutate al secțiunii transversale a grinzii în centrul grinzii și unghiul de rotație al axei longitudinale care trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale pe unul dintre suporturi.

Dacă am dori să determinăm empiric cantitatea de deviere, atunci ar fi suficient să măsuram distanța de la masa pe care se află cărțile (nu este prezentată în figură) până la partea de sus sau de jos a riglei, apoi aplicați o sarcină și măsurați. distanța de la masă până la partea de sus sau de jos a riglei. Diferența de distanțe este devierea necesară (în fotografie, valoarea de deviere este indicată printr-o linie portocalie):

Fotografie 1.

Dar să încercăm să ajungem la același rezultat, urmând drumul spinos al teoriei sopromatului.

Deoarece fasciculul este îndoit (în sensul bun al cuvântului), se dovedește că axa longitudinală care trece prin centrele de greutate ale secțiunilor transversale ale tuturor punctelor grinzii și înainte de aplicarea sarcinii, a coincis cu axa. X, mutat. Aceasta este deplasarea centrului de greutate al secțiunii transversale de-a lungul axei la numită abatere a fasciculului f. În plus, este evident că pe suport această axă cea mai longitudinală se află acum la un anumit unghi θ la axa X, iar în punctul de acțiune al sarcinii concentrate unghiul de rotație = 0, deoarece sarcina este aplicată la mijloc și grinda este îndoită simetric. Unghiul de rotație este de obicei notat " θ "și devierea" f„(în multe cărți de referință despre rezistența materialelor, deformarea este desemnată ca" ν ", "w „sau orice alte caractere, dar pentru noi, ca practicieni, este mai convenabil să folosim denumirea „ f„acceptat în SNiP-uri).

Încă nu știm cum să determinăm această deformare, dar știm că sarcina care acționează asupra grinzii creează un moment de încovoiere. Iar momentul încovoietor creează tensiuni interne normale de compresiune și tracțiune în secțiunile transversale ale grinzii. Acestea la fel tensiuni interne duce la faptul că în partea superioară a grinzii este comprimată, iar în partea inferioară este întinsă, în timp ce lungimea grinzii de-a lungul axei care trece prin centrele de greutate ale secțiunilor transversale rămâne aceeași, în partea superioară lungimea grinzii scade, iar în partea inferioară crește, iar cu cât punctele secțiunilor transversale sunt mai îndepărtate de axa longitudinală, cu atât deformația va fi mai mare. Putem determina tocmai această deformare folosind o altă caracteristică a materialului - modulul de elasticitate.

Dacă luăm o bucată de cauciuc de bandaj și încercăm să o întindem, vom constata că cauciucul se întinde foarte ușor, iar științific vorbind, se deformează într-o cantitate semnificativă atunci când este expus chiar și la o sarcină mică. Dacă încercăm să facem același lucru cu rigla noastră, atunci este puțin probabil să o putem întinde chiar și cu zecimi de milimetru cu mâinile noastre, chiar dacă aplicăm o sarcină de zeci de ori mai mare riglei decât cauciucului de bandaj. Această proprietate a oricărui material este descrisă de modulul lui Young, adesea denumit simplu modul de elasticitate. sens fizic Modulul Young la sarcina maximă admisă a structurii calculate este aproximativ următorul: Modulul Young arată raportul tensiunilor normale, (care, la încărcarea maximă admisă, sunt egale cu rezistența de proiectare a materialului la deformarea relativă sub o astfel de încărcare:

E = R/∆ (11.1.1)

și aceasta înseamnă că, pentru lucrul materialului în zona deformațiilor elastice, valoarea tensiunilor normale interne, care acționează nu în mod abstract, ci pe o zonă a secțiunii transversale bine definite, ținând cont de deformația relativă, nu ar trebui să depășește valoarea modulului de elasticitate:

E ≥ N/ΔS (11.1.2)

în cazul nostru, grinda are o secțiune dreptunghiulară, deci S = b h, unde b este lățimea grinzii, h este înălțimea grinzii.

Modulul Young se măsoară în Pascals sau kgf/m2. Pentru marea majoritate a materialelor de construcție, modulele elastice sunt determinați empiric; puteți afla valoarea modulului pentru un anumit material dintr-o carte de referință sau masă rotativă .

Determinarea cantității de deformare a unei secțiuni transversale căreia i se aplică o sarcină uniform distribuită sau o forță concentrată la centrul de greutate al secțiunii transversale este foarte simplă. Într-o astfel de secțiune apar tensiuni normale de compresiune sau de tracțiune, egale ca valoare cu forța care acționează, direcționate opus și constante pe toată înălțimea grinzii (conform uneia dintre axiome). mecanică teoretică):

Figura 507.10.1

și atunci nu este dificil să se determine deformația relativă, dacă se cunosc parametrii geometrici ai grinzii (lungime, lățime și înălțime), cele mai simple transformări matematice cu formula (11.1.2) dau următorul rezultat:

Δ = Q/(S· E)(11.2.1) sau Δ = q h/(S· E) (11.2.2)

Deoarece rezistența calculată arată ce capacitate maximă poate fi aplicat pe o anumită zonă, atunci în acest caz putem lua în considerare acțiunea unei sarcini concentrate asupra întregii secțiuni transversale a structurii noastre. În unele cazuri, este important să se determine deformațiile la punctul de aplicare a unei sarcini concentrate, dar acum nu luăm în considerare aceste cazuri. Pentru a determina deformația totală, trebuie să înmulțiți ambele părți ale ecuației cu lungimea grinzii:

Δl = Q l/(b h E)(11.2.3) sau Δl = q h l/(b h E) (11.2.4)

Dar în cazul pe care îl luăm în considerare, secțiunile transversale ale grinzii nu sunt afectate de o forță concentrată aplicată centrului de greutate al secțiunii transversale, ci de un moment încovoietor, care poate fi reprezentat ca următoarea sarcină:

Figura 149.8.3

Cu o astfel de sarcină, tensiunile interne maxime și, în consecință, deformațiile maxime vor avea loc în părțile superioare și inferioare ale grinzii și nu vor exista deformații în mijloc. Am găsit rezultanta pentru o astfel de sarcină distribuită și umărul de acțiune al forței concentrate în partea anterioară (), când am determinat momentul de rezistență al grinzii. Prin urmare, acum, fără prea multe dificultăți, putem determina deformația totală în părțile superioare și inferioare ale grinzii:

Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E) (11.3.1)

Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

deoarece W \u003d b h 2 / 6 (10.6)

Putem obține aceeași formulă în alt mod. După cum știm, modulul secțiunii transversale a fasciculului trebuie să îndeplinească următoarea condiție:

W ≥ L / R (10.3)

Dacă considerăm această dependență ca o ecuație și înlocuim valoarea R cu ΔE în această ecuație, obținem următoarea ecuație:

W=M/ΔE (11.4.1)

M = WΔE(11.4.2) a Δ = M/(W E)(11.4.5) și în consecință Δx \u003d M x / (W E) (11.3.2)

Ca rezultat al deformării pe care tocmai am definit-o, fasciculul nostru ar putea arăta astfel:

Figura 11.2. Se presupune (pentru claritate) deformarea fasciculului

adică, ca urmare a deformărilor, punctele cele mai sus și cele mai inferioare ale secțiunii transversale se vor deplasa cu Δx. Și asta înseamnă că știind mărimea deformării și înălțimea grinzii, putem determina unghiul de rotație θ al secțiunii transversale pe suportul grinzii. Din cursul școlii de geometrie, știm că raportul picioarelor triunghi dreptunghic(în cazul nostru, catetele Δх și h/2) este egală cu tangentei unghiului θ:

tgφ = Δх/(h/2) (11.5.1)

tgφ \u003d 2 M x / (h W E) (11.5.3)

Dacă ne amintim că momentul de inerție este momentul de rezistență al secțiunii transversale, înmulțit cu distanța de la centrul de greutate până la punctul extrem al secțiunii, sau invers, momentul de rezistență este momentul de inerție împărțit la distanța de la centrul de greutate până la punctul extrem al secțiunii:

W = I/(h/2)(10.7) sau I = Wh/2 (10.7.2)

atunci putem înlocui momentul de rezistență cu momentul de inerție:

tgφ \u003d M x / (I E) (11.5.4)

deși nu a fost necesar să facem acest lucru, dar în acest fel am obținut formula pentru unghiul de rotație aproape aceeași cu cea dată în toate manualele și cărțile de referință privind rezistența materialelor. Principala diferență este că, de obicei, vorbim despre unghiul de rotație, și nu despre tangenta unghiului. Și, deși pentru deformații mici, valorile tangentei unghiului și unghiului sunt comparabile, totuși, unghiul și tangentei unghiului sunt lucruri diferite (cu toate acestea, în unele cărți de referință, de exemplu: Fesik S.P. " Manual privind rezistența materialelor" Kiev: Budivelnik. - 1982 este menționată trecerea de la tangentă la unghi, deși fără explicații suficiente în opinia mea). Mai mult, pentru a fi foarte precis, în acest fel determinăm raportul deformației longitudinale la înălțimea grinzii

Elementele calculate nu au întotdeauna o secțiune transversală dreptunghiulară, ca rigla noastră considerată. Diferite profile laminate la cald, bușteni tăiați și neciopliți și orice altceva pot fi folosite ca grinzi și buiandrugi. Cu toate acestea, înțelegerea principiilor de calcul al momentului de inerție vă permite să determinați momentul de inerție pentru o secțiune transversală a oricărei forme geometrice, chiar și foarte complexe. În marea majoritate a cazurilor, nu este necesar să se calculeze momentul de inerție în sine; pentru profilele metalice de secțiune complexă (colțuri, canale, grinzi în I etc.), momentul de inerție, precum și momentul de rezistență , este determinat de sortiment . Pentru elementele unei secțiuni ovale rotunde, triunghiulare și alte tipuri de secțiuni, momentul de inerție poate fi determinat din corespunzătoare masa .

Dacă luăm în considerare deformarea totală a întregului fascicul, i.e. pe toata lungimea l , atunci este evident că deformația totală sub sarcinile noastre nu poate fi doar pe o parte a grinzii, așa cum se arată în Figura 11.3.a:

Figura 11.3.

Deoarece sarcina este aplicată pe grinda noastră în mijloc, în urma căreia reacțiile pe suporturi rezultate din acțiunea sarcinii sunt egale între ele și fiecare este egală cu jumătate din sarcina aplicată, este mai probabil ca în aceste condiții deformația totală va arăta ca cea prezentată în figura 11.3.b și apoi, în cazul nostru particular, unghiul de înclinare a secțiunii transversale pe fiecare dintre suporturi va fi:

tgθ = M x/(2IE) (11.5.5)

Până acum am determinat tangenta unghiului de rotație printr-o metodă grafico-analitică simplă, iar în cazul în care sarcina este aplicată pe grinda din mijloc, am procedat bine. Dar există tot felul de opțiuni pentru aplicarea sarcinilor pe grinda și, deși deformația totală va fi întotdeauna egală cu Δl, dar unghiul de înclinare a secțiunilor transversale pe suporturi poate fi diferit. Dacă ne uităm mai atent la formulele (11.5.4) și (11.5.5), vom vedea că înmulțim valoarea momentului la un moment dat cu valoarea X, care din punctul de vedere al mecanicii teoretice nu se deosebește cu nimic de conceptul - „umărul forței”. Se dovedește că pentru a determina tangenta unghiului de rotație, trebuie să înmulțim valoarea momentului cu umărul acțiunii momentului, ceea ce înseamnă că conceptul de „umăr” poate fi aplicat nu numai forței, ci și de asemenea la moment. Când am folosit conceptul de umăr al acțiunii unei forțe, descoperit de Arhimede, am presupus și cât de departe ne-ar putea duce aceasta. Metoda prezentată în figura 5.3 ne-a dat valoarea brațului de moment = x/2. Acum să încercăm să determinăm umărul momentului într-un mod diferit (metoda grafic-analitică). Aici vom avea nevoie de diagrame construite pentru o grindă pe suporturi cu balamale:

Figura 149.7.1 Figura 149.7.2

Teoria rezistenței materialelor ne permite să considerăm tensiunile normale interne, caracterizate prin diagrama „M” din Figura 149.7.1 pentru o grindă cu rigiditate constantă, ca un fel de sarcină fictică externă. Apoi, zona diagramei „M” de la începutul grinzii până la mijlocul travei este o reacție fictivă de sprijin a materialului grinzii la o sarcină în schimbare uniformă. Iar momentul încovoietor fictiv este aria diagramei „M” înmulțită cu distanța de la centrul de greutate al diagramei „M” la punctul considerat. Deoarece valoarea momentului încovoietor în mijlocul deschiderii este Ql/4, aria unei astfel de figuri va fi Ql/4(l/2)(1/2) = Ql 2 /16. Și dacă această valoare este împărțită la rigiditatea EI, atunci obținem valoarea tangentei unghiului de rotație.

Privind în viitor, determinăm valoarea devierii. Distanța de la centrul de greutate al diagramei triunghiulare „M” până la mijlocul travei este l/6, atunci momentul încovoietor fictiv va fi (Ql 2 /16)l/2 - (Ql 2 /16)l/ 6 = Ql 3 /48. Atunci devierea f = Ql 3 /48EI. Și deoarece diagrama momentului este situată sub fascicul, o astfel de sarcină fictivă va da în cele din urmă sens negativ unghiul de rotație și deformare, care este în general logic, deoarece sub o astfel de acțiune de sarcină, deformarea - deplasarea centrului de greutate al secțiunii transversale va avea loc în jos pe axa y.

O trăsătură caracteristică a metodei grafico-analitice este că numărul de calcule poate fi redus și mai mult. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți aria diagramei unei sarcini fictive cu distanța de la centrul de greutate al diagramei până la originea coordonatelor și nu până la punctul considerat de pe axă. De exemplu, pentru cazul de mai sus (Ql2/16)l/3 = Ql3/48

Cu o sarcină distribuită uniform, este descrisă diagrama momentului parabolă pătratică, este mai dificil să se determine aria unei astfel de figuri și distanța până la centrul de greutate, dar pentru aceasta avem nevoie de cunoștințe de geometrie, astfel încât să putem determina aria oricărei figuri și poziţia centrului de greutate al unei astfel de figuri.

Astfel, se dovedește că pentru un fascicul asupra căruia o sarcină concentrată acționează în mijlocul fasciculului la x = l / 2:

tgθ \u003d M (x / 2) / (EI) \u003d ((Ql / 4) (l / 4)) / (EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.1)

Ceea ce tocmai am făcut se numește integrare, deoarece dacă înmulțim valoarea diagramei „Q” (Figura 149.7.1) cu lungimea sarcinii, determinăm astfel aria unui dreptunghi cu laturile „Q” și x, în timp ce aria acestui dreptunghi este egală cu valoarea grafică „M” în punctul X.

Teoretic, rezultă că putem determina valoarea tangentei unghiului de rotație prin integrarea uneia dintre ecuațiile de moment compilate pentru fasciculul nostru. Valoare maximă tangenta unghiului de rotație pentru o grindă pe două suporturi articulate, pe care acționează o sarcină concentrată în mijloc (Figura 149.7.1), va fi la x \u003d l / 2

tgθ = ∫Mdx/(EI)= ∫Axdx/(EI)\u003d Ax 2 / (2EI) \u003d (Q / 2) (l / 2) 2 / (2EI) \u003d Ql 2 / (16EI) (11.6.2)

Unde DAR este reacția de sprijin Q/2

Cu o sarcină distribuită, integrarea ecuației momentelor: q(l/2) x - qx 2 /2 pentru partea stângă a fasciculului dă următorul rezultat:

tgθ =∫Mdx/(EI)\u003d q (l / 2) (l / 2) 2 / (2EI) -q (l / 2) 3 / (6EI) \u003d ql 3 / (24EI) (11.6.3)

Același rezultat îl vom obține atunci când folosim metoda analitică grafică.

Când am determinat unghiul de rotație, pentru claritate, am presupus că grinda a fost deformată așa cum se arată în Figura 5.2, apoi așa cum se arată în Figura 11.3.b, apoi am aflat că dacă nu exista un al doilea sprijin, atunci grinda s-a întors. primii sprijini, dar in realitate exista un al doilea suport si prin urmare grinda nu poate fi deformata in acest fel (cu sarcina noastra pe grinda). Deoarece nu există un cuplu pe suport și, în consecință, nu există solicitări interne care pot modifica forma geometrică a grinzii, forma geometrică a grinzii pe suport rămâne neschimbată, iar tensiunile interne, care cresc de-a lungul grinzii, deformează grinda din ce în ce mai mult, iar acest lucru duce la faptul că grinda se rotește în jurul suporturilor articulate și acest unghi de rotație este egal cu unghiul de înclinare al secțiunii transversale θ (deoarece luăm în considerare un fascicul paralelipiped):

Figura 11.4. Deformarea fasciculului real.

Dacă pur și simplu trasăm unghiurile de rotație pentru un fascicul cu o sarcină concentrată în mijloc conform ecuațiilor pentru părțile din stânga și din dreapta ale fasciculului, atunci diagrama va arăta astfel:

Figura 11.5.

Această diagramă ar fi corectă numai pentru fasciculul prezentat în Figura 5.3.a. Evident, în cazul nostru, diagrama nu poate arăta astfel, iar pentru a construi diagrama corectă, trebuie să se țină cont de faptul că secțiunile transversale ale grinzii au o pantă pe ambii suporturi, iar această pantă este aceeași ca valoare. , dar diferită ca direcție și panta secțiunii transversale a fasciculului în mijloc \u003d 0. Dacă coborâm diagrama la Ql 2 /16EI, pe care o obținem prin integrarea ecuației momentelor pentru partea stângă a grinzii și care arată unghiul de înclinare a secțiunii transversale precis pe suport, atunci obținem diagrama urmatoarea forma:

Figura 11.6.

Această diagramă arată absolut exact modificarea unghiului de rotație a secțiunilor transversale de-a lungul întregului fascicul, iar valoarea tangentei unghiului de rotație pe suportul din stânga al grinzii nu este altceva decât o anumită constantă. De la 1, pe care îl obținem dacă integrarea este efectuată corect. Și apoi ecuația unghiului de rotație pentru grinda la o sarcină dată pe secțiune 0 va arata asa:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) (11.6.5)

Diagrama unghiurilor de rotație pentru o grindă cu sarcină distribuită vizual nu diferă în niciun fel de diagrama unghiurilor de rotație pentru o grindă cu sarcină concentrată, singura diferență este că diagrama unghiurilor de rotație pentru o grindă cu o sarcină distribuită este o parabolă cubică. Ecuația unghiului de rotație pentru un fascicul cu o sarcină distribuită uniform va arăta astfel:

tgθ x \u003d - tgθ A + Ax 2 / (2EI) - qx 3 / (6EI) (11.6.6)

Despre semnele din această ecuație. „-” înseamnă că termenul considerat al ecuației, așa cum ar fi, încearcă să rotească fasciculul în sens invers acelor de ceasornic în raport cu secțiunea transversală considerată, iar „+” - în sensul acelor de ceasornic. Cu toate acestea, din diagrama unghiurilor de rotație se poate observa că valoarea tgθ A trebuie să fie negativ. Astfel, dacă secțiunea are o pantă în sensul acelor de ceasornic în raport cu axa x, atunci va fi negativă, iar dacă este în sens invers acelor de ceasornic, atunci va fi pozitivă.

Ei bine, acum cel mai important lucru, am avut nevoie de toate aceste dezasamblari cu unghiul de rotație al secțiunii transversale pentru a determina deformarea fasciculului.

12. Definiţia deflection.

După cum putem vedea din figura 11.4, triunghiul cu catetele h/2 și Δx este similar cu triunghiul cu catetul X iar al doilea picior, egal cu f+y, ceea ce înseamnă că acum putem determina valoarea deflexiunii:

tgθ = (f + y)/X (12.1)

f + y = tgθ X(12.2.1) sau f + y \u003d M x X / (2EI) (12.2)

pentru valori mici X sens la aproape de 0, dar în puncte mai îndepărtate ale secțiunii, valoarea la crește. Sens la- aceasta este influența asupra mărimii deflexiunii prezenței celui de-al doilea suport. Rețineți că această valoare la arată diferența dintre panta reală a axei longitudinale a grinzii și panta axei longitudinale a grinzii, dacă grinda a fost rotită pur și simplu în jurul suportului și se dovedește că valoarea la depinde de unghiul de rotatie. În plus, am obținut din nou o ecuație în care valoarea deflexiunii la un moment dat depinde de tangenta unghiului de rotație (12.2.1) și astfel rezultă că unghiul de rotație are și un „umăr de acțiune” . De exemplu, cu y \u003d f / 2 (dacă vă uitați la partea stângă a fotografiei 1, atunci în mijlocul fasciculului va fi undeva) vom obține următoarea formulă pentru a determina deformarea:

f \u003d M x 2 / (3EI) (12.3.1)

Dar nu vom presupune nimic, ci vom folosi integrarea. Dacă integrăm ecuația momentului pentru partea stângă a grinzii, obținem valoarea la(complot pentru la prezentată cu turcoaz în fotografia 1):

y \u003d ∫ ∫ ∫ (Q / 2) dx \u003d 2 (Q / 2) (l / 2) 3 / 6EI \u003d Ql 3 / (96EI) (12.3.2)

sau aria diagramei violet pentru partea stângă a fasciculului (Figura 5.5), dar avem nevoie de aria diagramei albastre din secțiunea din stânga a fasciculului (Figura 5.6), care este de 2 ori suprafața a diagramei violet. În acest fel:

f =2∫∫∫(Q/2)dх =2 (Q/2) (l/2) 3 /6EI = Ql 3 /(48EI) (12.3.3)

De ce aria diagramei albastre este de 2 ori mai mare decât aria diagramei violet este foarte ușor de explicat. Aria unui triunghi este egală cu 1/2 din aria unui dreptunghi cu aceleași laturi, aria unei figuri descrise de o parabolă pătrată este 1/3 din aria unui dreptunghi cu aceleasi laturi. Dacă am desfășura diagrama violet, am obține un dreptunghi format din diagramele albastru și violet. În consecință, dacă scădem 1/3 din aria dreptunghiului, atunci obținem 2/3. Această serie logică are o continuare - aria figurii descrise de o parabolă cubică este 1/4 din aria unui dreptunghi cu aceleași laturi și așa mai departe.

Putem găsi valoarea deflexiunii într-un alt mod. Din figura 11.4 și formulele (12.2) rezultă că:

f x = - tgθx + ∫tgθdx (12.3.4)

f l / 2 \u003d - (Ql 2 / 16EI) l / 2 + (Ql 3 / 96EI) \u003d - (Ql 3 / 48EI) (12.3.5)

În acest caz, semnul „-” indică faptul că centrul secțiunii transversale a fasciculului se va deplasa în jos de-a lungul axei la despre axa X. Și acum înapoi la fotografia 1. Un diagramă este afișat sub axa longitudinală a fasciculului la, aceasta este valoarea din punctul l/2 pe care am scăzut-o când am rezolvat ecuația (12.3.3). Mai mult, se dovedește că raportul dintre fși la depinde de coeficientul integrării anterioare, i.e. y = kf sau f = y/k. Când am integrat ecuația forțelor, am obținut coeficientul 1/2. Totuși, am obținut aceeași valoare când am determinat pârghia momentului. Dacă continuăm această serie logică, se dovedește că atunci când se determină deviația de la o sarcină distribuită, trebuie să folosim coeficientul 1/3, adică putem calcula deviația în mijlocul grinzii folosind următoarea formulă:

f= 2∫∫∫(ql/2)dx - 3∫∫∫∫ qdx \u003d (2 (qlx 3 / 6) - 3 (qx 4 / 24)) / EI \u003d 5ql 4 / (384EI) (12.4.4)

f x = - ∫tgθdx + ∫∫∫(ql/2)dx -∫∫∫∫qdx (12.4.5)

f l / 2 \u003d (- ql 3 x / 24 + (qlx 3 / 6) - (qx 4 / 24)) / EI \u003d - 5ql 4 / (384EI) (12.4.6)

În acest caz, semnul „-” înseamnă că centrul de greutate al secțiunii transversale se mișcă în jos de-a lungul axei la.

Notă: Metoda propusă pentru determinarea deformației este oarecum diferită de cele general acceptate, deoarece am încercat să mă concentrez pe claritate.

Dacă deformarea este determinată prin metoda grafico-analitică, atunci aria sarcinii fictive - diagrama momentului descrisă printr-o parabolă pătrată, va fi (conform tabelului 378.1) (2ql 2 / (8 3)) l / 2 = ql 3 / 24. Iar distanța de la centrul de greutate al diagramei până la origine este 5/8. Atunci momentul fictiv este (ql3/24)(5l/(8 2)) = 5ql 4 /384.

Desigur, o sarcină concentrată poate fi aplicată unei grinzi care nu este în mijloc, o sarcină distribuită nu poate fi doar distribuită uniform și nu poate acționa pe toată lungimea grinzii, iar opțiunile de atașare a grinzii la suporturi sunt diferite. Dar de aceea există formule gata preparate pentru a le folosi.

Permite-mi! - Veți spune, - Toate acestea sunt bune, dar ce rămâne cu tensiunile de forfecare? La urma urmei, ele acționează de-a lungul axei y și, prin urmare, trebuie să afecteze cumva deviația!

În regulă. Tensiunile de forfecare afectează deformarea, cu toate acestea, pentru grinzile cu un raport l / h > 10, acest efect este foarte nesemnificativ și, prin urmare, este permisă utilizarea metodei descrise în acest articol pentru a determina deformarea.

Dar asta nu este tot, așa cum am spus deja, este destul de simplu să determinați empiric valoarea deflexiunii folosind metoda descrisă chiar la începutul articolului. Deoarece nu era nimic mai bun la îndemână, am luat o riglă de lemn, prototipul căruia l-am descris atât de mult timp (vezi fotografia 1). Rigla din lemn avea dimensiuni de aproximativ 91,5 cm, lățimea b=4,96 cm și înălțimea h=0,32 cm (înălțimea și lățimea au fost determinate cu șubler). Apoi am pus rigla pe suporturi, in timp ce distanta dintre suporti a fost de aproximativ 90 cm si a primit astfel o grinda cu o deschidere de l = 90 cm.Sub influenta propriei greutati, rigla, bineinteles, s-a indoit putin. , dar o abatere atât de mică nu m-a interesat. Am măsurat cu o bandă de măsurare (precizie de până la 1 mm) distanța de la podea până la fundul riglei (77,65 cm), apoi am aplicat o încărcătură concentrată condiționat în mijloc (am pus o cană de măsurat cântărind aproximativ 52 de grame cu 250 de grame). grame de apă la mijloc) și a măsurat distanța de la podea până la fundul riglei sub sarcină (75,5 cm). Diferența dintre aceste două măsurători a fost deformarea dorită. Astfel, mărimea deformației determinată empiric a fost de 77,65 - 75,5 = 2,15 cm. Rămâne doar să găsiți modulul de elasticitate pentru lemn, să determinați momentul de inerție pentru o anumită secțiune și să calculați cu exactitate sarcina. Modulul de elasticitate E pentru lemn = 10 5 kgf / cm 2, momentul de inerție al unei secțiuni dreptunghiulare I z = bh 3 /12 = 4,98 0,32 3 /12 = 0,01359872 cm 4, sarcină maximă - 0,302 kg.

Calculul deformarii dupa formula a dat: f = Ql 3 / (48EI) = 0,302 90 3 / (48 10 5 0,0136) = 3,37 cm.Sa va reamintesc ca deformarea determinata empiric a fost: f = 2,15 cm. Poate că ar fi trebuit să ia în considerare influența asupra devierii primei derivate a funcției - tangenta unghiului de rotație? La urma urmei, unghiul de înclinare, judecând după fotografie, este destul de mare.

Verificați: tgθ = Ql 2 /(16EI) = 0,302 90 2 /(16 10 5 0,0136) = 0,11233. Apoi conform formulei (542,12) f = 3,37/((1 + 0,112 2) 3/2) = 3,307 cm. există cu siguranță o influență, dar nu depășește 2% sau 0,63 mm.

Rezultatul m-a surprins la început, dar apoi au existat mai multe explicații pentru o astfel de discrepanță, în special, în mijloc, secțiunea transversală a riglei nu era dreptunghiulară, deoarece rigla a fost deformată de timp și, respectiv, de expunerea la apă, momentul de inerție pentru o astfel de secțiune este mai mare decât pentru una dreptunghiulară, în plus, rigla nu este făcută din pin, ci dintr-o specie de lemn mai dur, pentru care modulul de elasticitate ar trebui luat mai mare. Și din punct de vedere științific, un rezultat nu este absolut suficient pentru a vorbi despre orice regularitate. După aceea, am verificat valoarea deflexiunii pentru o bară de lemn cu un moment de inerție I = 2,02 cm 4, mai mult de 2 m lungime cu o deschidere de 2 m sub o sarcină de 2 kg aplicată în mijlocul barei și apoi valoarea deformarii, determinata teoretic si empiric, a coincis cu zecimi de milimetru. Desigur, ar fi posibil să continui experimentele, dar s-a întâmplat că sute de alți oameni au făcut deja asta înaintea mea și au obținut rezultate în practică foarte apropiate de cele teoretice. Și dacă luăm în considerare că materialele ideal izotrope există doar în teorie, atunci acestea sunt rezultate foarte bune.

Determinarea unghiului de rotație prin deformare.

Determinați valoarea unghiului de rotație pentru o grindă articulată, care este afectată doar de un moment încovoietor M pe unul dintre suporturi, de exemplu pe suport DAR pare a fi la fel de simplu ca:

tgθ x \u003d - tgθ A + Mx / (EI) - Ax 2 / (2EI) (13.1.1)

Unde A \u003d M / l, (B = - M/l), dar pentru aceasta trebuie să cunoașteți unghiul de rotație pe suport DAR, dar nu o știm, totuși, ajută să o calculăm înțelegând că deformarea pe suporturi va fi zero și apoi:

f A = tg0Bl - Bl3/(6EI) = 0; tgθ B = - Ml 3 /(6l 2 EI) = - Ml/(6EI) (13.1.2)

f B \u003d tgθ A l + Ml 2 / (2EI) - Al 3 / (6EI) \u003d 0; tgθ A = - Ml/(3EI) (13.1.3)

După cum puteți vedea, unghiul de rotație pe suportul căruia i se aplică momentul încovoietor este de două ori unghiul de rotație pe suportul opus, acesta este un model foarte important, care ne va fi foarte util în viitor.

Când o sarcină concentrată nu este aplicată grinzii pe centrul de greutate sau sarcina distribuită este neuniformă, atunci unghiurile de rotație pe suporturi sunt determinate prin deformare, ca în exemplul de mai sus. Cu alte cuvinte, valorile parametrilor inițiali sunt determinate în timpul soluției

TEMA 6

DETERMINAREA DEPLĂCĂRILOR ÎN CUBOARE. CALCULUL GRIZIILOR PENTRU RIGIDITATE

6.1. Conceptul de linie elastică. Deformarea și unghiul de rotație. Ecuația diferențială a unei linii elastice. Condiție de rigiditate la încovoiere

Pentru a judeca funcționarea grinzilor îndoite, nu este suficient să cunoaștem doar tensiunile care apar în secțiunile grinzii de la o sarcină dată. Tensiunile calculate vă permit să verificați rezistența sistemului. Cu toate acestea, grinzile foarte puternice pot fi inutilizabile din cauza rigidității insuficiente. Dacă fasciculul se îndoaie puternic sub sarcină, atunci în timpul funcționării unei structuri cu grinzi flexibile, vor apărea dificultăți și, în plus, pot apărea oscilații ale fasciculului cu amplitudini mari și, în același timp, solicitări suplimentare semnificative.

Sub rigiditate ar trebui înțeles capacitatea elementelor structurale și a pieselor mașinii de a rezista la sarcini externe fără deformații vizibile. Calculul pentru rigiditate consta in aprecierea compliantei elastice a grinzii sub actiunea sarcinilor aplicate si selectarea unor astfel de dimensiuni de sectiune transversala pentru care deplasarile sa nu depaseasca limitele stabilite de standarde. Pentru a efectua un astfel de calcul, este necesar să învățați cum să calculați deplasările secțiunilor fasciculului sub acțiunea oricărei sarcini externe.

Luați în considerare deformarea unei grinzi sub îndoire simplă. Axa grinzii (Fig. 6.1, a) sub acțiunea unei sarcini situate într-unul dintre planurile principale de inerție (în planul DIV_ADBLOCK65 ">

Punct https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" width="13" height="15">.gif" width="24" height="19 src=">.gif "width="13" height="15">. Dacă într-un punct este desenată o tangentă la axa unei grinzi curbe, atunci aceasta va fi rotită cu un unghi față de poziția inițială a axei. În același timp timp, secțiunea din punct se va roti cu același unghi.Astfel, trei mărimi- , și sunt componentele de deplasare ale unei secțiuni transversale arbitrare a fasciculului. Deplasarea centrului de greutate al secțiunii într-o direcție perpendiculară pe axa fasciculului se numește abatere. Deviația cea mai mare se numește sagși este marcat cu o literă.

Unghi https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" width="24" height="19 src=">.

Font-weight:normal"> Fig.6.1

Verificarea rigidității grinzilor se rezumă la cerința ca deformarea maximă să fie font-weight:normal"> .

Numărul https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" width="17" height="15 src="> este luat egal cu 1000.

Acest lucru arată că deflexiunile de îndoire sunt de obicei mici în comparație cu deschiderea grinzii. Acest lucru permite realizarea unor simplificări. În primul rând, cu deviații mici font-weight:normal">font-weight:normal">În al doilea rând, deplasările orizontale pot fi neglijate, deoarece sunt semnificativ mai mici https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5. gif" width="45" height="15 src=">). În acest sens, în calcule vom folosi schema de deplasare condiționată prezentată în Fig. 6.1, b. Conform acestei scheme, fiecare punct se deplasează perpendicular pe axa longitudinală a fasciculului.

Pentru a determina imaginea completă a deformațiilor, este necesar să se obțină ecuația unei linii elastice

Pe baza naturii fizice a axei curbe a grinzii, putem afirma că linia elastică trebuie să fie o curbă continuă și netedă, prin urmare, funcția și prima sa derivată trebuie să fie continue pe toată axa grinzii. Deviațiile și unghiurile de rotație sunt deplasările secțiunilor grinzii în timpul îndoirii. Deformarea uneia sau alteia secțiuni a fasciculului este determinată de curbura acesteia.

Când am obținut formula pentru tensiunile normale de încovoiere, am obținut o relație între curbură și momentul încovoietor:

font-weight:normal"> Din cursul de matematică superioară, se cunoaște următoarea ecuație pentru curbura unei curbe plane:

Font-weight:normal"> Înlocuind valoarea curburii în ecuația (6.2) și înlocuind coordonatele cu deviația , obținem ecuația diferențială exactă a liniei elastice a fasciculului:

Font-weight:normal">Integrarea acestei ecuații diferențiale neliniare este asociată cu mari dificultăți. Având în vedere că în practică trebuie să se confrunte cu deviații mici și că tangentele unghiurilor de înclinare ale tangentei la axă vor fi mic, pătratul primei derivate https://pandia.ru/ text/79/355/images/image024_4.gif" width="101 height=48" height="48"> (6,5)

Cele două semne din ecuația (6.5) sunt setate deoarece semnul curburii poate să nu coincidă cu semnul momentului încovoietor. Semnul curburii depinde de direcția axelor de coordonate. Semnul momentului încovoietor a fost ales în funcție de locul unde se află fibrele întinse. Deci, de exemplu, pentru cazul în care axa este îndreptată în sus, unui moment pozitiv (Fig. 6.2, a) îi corespunde o curbură pozitivă, iar un moment negativ corespunde unei curburi negative.

Dimensiunea fontului: 14.0pt"> Fig 6.2

Astfel, în cazul în care axa este îndreptată în sus, semnele de curbură și momentul încovoietor coincid. Prin urmare, în ecuația diferențială se ia semnul“ + ” . Dacă axa este EN-US" style="font-size: 14.0pt">“- ” .

6.2. Metoda de integrare directă a ecuației diferențiale aproximative (de bază) a unei linii elastice

Rezolvând problema prin metoda analitică, unghiurile de rotație și deviații se calculează prin integrarea succesivă a ecuației diferențiale aproximative (6.5). Integrând ecuația (6.5) pentru prima dată, obținem o expresie pentru unghiul de rotație:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" width="12" height="23">

unde font-family:Symbol">- constanta de integrare.

Integrând a doua oară, obținem expresia pentru deviație:

font-size:14.0pt">.gif" width="17" height="17 src=">- constante de integrare.

Pentru a calcula integralele din (6.6) și (6.7), trebuie mai întâi să scrieți expresii analitice pentru momentul încovoietor și rigiditatea. Constante de integrare se găsesc din condiţiile la limită, care depind de condițiimutarea limitelor secțiunilor de grinzi.

Să luăm în considerare câteva exemple de aplicare a metodei de integrare directă a ecuației aproximative a liniei elastice a unei grinzi.

Exemplul 6.1.Determinați deformarea și unghiul de rotație al secțiunii B a grinzii prezentate în Fig. 6.3.

Dimensiunea fontului: 14.0pt"> Fig.6.3

Soluţie:

; .

- La dreapta.

.

Semnează „+”

5. Integram pentru prima data ecuatia. Primim:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(A)

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(b)

Deoarece deformarea și unghiul de rotație în încastre sunt egale cu zero, pentru a determina constantele de integrare condiţiile de frontieră arată ca:

Cu https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" width="37" height="19 src=">font-size:14.0pt"> Ecuația (a) arată că constanta este unghiul de rotație la origine (secțiunea A). Fixând în ecuația (a), găsim . Din ecuația (b) rezultă că font-size constantă: 14.0pt; font-family:Symbol">-deformare la origine..gif" width="43" height="19 src=">.

Astfel, obținem următoarele expresii pentru deformarea și unghiul de rotație:

,

.

Înlocuind în prima ecuație, găsim săgeata de deviere:

.

Înlocuind în a doua ecuație, găsim unghiul maxim de rotație

Semn " - " la deformare indică faptul că direcția sa nu coincide cu direcția pozitivă a axei. Semn“ - ” în expresia pentru unghiul de rotație arată că secțiunea B s-a rotit nu în sens invers acelor de ceasornic, ci în sensul acelor de ceasornic.

Exemplul 6.2.Determinați deformarea grinzii cu două suporturi și unghiurile de rotație ale secțiunilor de sprijin A și B (Fig. 6.4).

Dimensiunea fontului: 14.0pt"> Fig.6.4

Soluţie:

1. Din condițiile de echilibru determinăm reacțiile de suport:

2. Selectăm originea coordonatelor la capătul stâng al fasciculului, combinând-o cu punctul A. Îndreptăm axa în sus, axa- La dreapta.

3. Compunem ecuația momentului încovoietor în secțiune:

.

4. Presupunând că rigiditatea grinzii este constantă, scriem ecuația diferențială aproximativă a liniei elastice a grinzii:

.

Semnează „+” în ecuaţia liniei elastice s-a luat deoarece axa este îndreptată în sus.

5. Integram pentru prima data ecuatia. Primim:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(în)

Integrând din nou, obținem ecuația pentru deviația în secțiunea:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(G)

Găsim constantele integrării din condițiile la limită:

Cu https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">font-size:14.0pt"> Înlocuind în ecuația (d) și echivalând devierea zero, obținem; înlocuind în aceeași ecuație https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" width="16" height="19">:

Înlocuim valorile găsite ale constantelor de integrare în ecuațiile (c) și (d) și obținem ecuațiile pentru unghiurile de rotație și deformații:

;

.

Înlocuind https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src="> în prima ecuație, obținem unghiurile de rotație ale secțiunilor A și B, respectiv:

; .

Datorită simetriei sarcinii, maximul deformarea va fi în mijlocul fasciculului. Înlocuirea font-size:14.0pt"> în a doua ecuație .

Ca și în exemplul precedent, semnul“ - ” la deformare indică faptul că direcția sa nu coincide cu direcția pozitivă a axei EN-US style="font-size:14.0pt"">“- ” în expresia unghiului de rotație arată că secțiunea A s-a întors nu împotriva semnului, ci în sensul acelor de ceasornic.“ + ” în expresia unghiului de rotație font-size:14.0pt">Exemplu 6.3. De câte ori deformarea din secțiunea B la capătul grinzii prezentată în Fig. 6.5 este mai mare decât deformarea din secțiunea C în mijlocul grinzii?

EN-US" style="font-size:14.0pt"> Fig.6.5

Soluţie:

Să folosim rezultatele obținute în Exemplul 6.1. Să scriem expresia finală pentru abatere:

și înlocuiți coordonatele punctelor C și B în această ecuație. Se obține:

La https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" width="264" height="101 src=">;