Problema găsirii unei funcții antiderivate nu are întotdeauna o soluție, în timp ce putem diferenția orice funcție. Aceasta explică lipsa metoda universala integrare.

În acest articol, ne vom uita la exemple cu decizii detaliate metode de bază pentru găsirea integralei nedefinite. De asemenea, grupăm tipurile de integranți caracteristice fiecărei metode de integrare.

Navigare în pagină.

Integrare directă.

Fără îndoială, principala metodă de găsire a funcției antiderivate este integrarea directă folosind tabelul de antiderivate și proprietățile integralei nedefinite. Toate celelalte metode sunt folosite numai pentru a aduce integrala originală într-o formă tabelară.

Exemplu.

Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției.

Soluţie.

Să scriem funcția în forma .

Întrucât integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor, atunci

Coeficientul numeric poate fi scos din semnul integral:

Prima dintre integrale este redusă la formă tabelară, deci din tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială avem .

Pentru a găsi a doua integrală, folosim tabelul de antiderivate pentru funcția de putere si guverneaza . adică .

Prin urmare,

Unde

Integrarea prin metoda substituției.

Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimăm integrandul în termenii acestei variabile și, ca rezultat, ajungem la o formă tabelară (sau mai simplă) a integralei.

Foarte des, metoda substituției ajută la integrarea funcțiilor trigonometrice și a funcțiilor cu radicali.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Să introducem o nouă variabilă. Să exprimăm x în termeni de z:

Efectuăm înlocuirea expresiilor obținute în integrala originală:

Din tabelul de antiderivate avem .

Rămâne să revenim la variabila inițială x:

Răspuns:

Foarte des metoda substituției este utilizată în integrarea funcțiilor trigonometrice. De exemplu, utilizarea unei substituții trigonometrice universale permite să se transforme integrandul într-o formă fracțională rațională.

Metoda substituției ne permite să explicăm regula integrării .

Introducem o nouă variabilă, atunci

Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală:

Dacă acceptăm și revenim la variabila inițială x, atunci obținem

Aducerea sub semnul diferenţialului.

Metoda de subsumare sub semnul diferenţial se bazează pe reducerea integrandului la formă . În continuare, se aplică metoda substituției: se introduce o nouă variabilă, iar după găsirea antiderivatei pentru noua variabilă, revenim la variabila inițială, adică

Pentru comoditate, puneți sub ochi sub formă de diferențiale, astfel încât să fie mai ușor să transformați integrandul, precum și tabelul de antiderivate, pentru a vedea în ce formă ar trebui convertit integrandul.

De exemplu, să găsim setul de antiderivate ale funcției cotangente.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită.

Soluţie.

Integrandul poate fi convertit folosind formule de trigonometrie:

Privind tabelul derivatelor, ajungem la concluzia că expresia din numărător poate fi adusă sub semnul diferențial , de aceea

i.e .

Lasă atunci . Din tabelul cu antiderivate, vedem că . Revenind la variabila inițială .

Fără explicații, soluția se scrie după cum urmează:

Integrare pe părți.

Integrarea pe părți se bazează pe prezentarea integrandului ca produs și apoi aplicarea formulei. Această metodă este un instrument de integrare foarte puternic. În funcție de integrand, metoda de integrare pe părți trebuie uneori aplicată de mai multe ori la rând până se obține un rezultat. De exemplu, să găsim setul de antiderivate ale funcției arctangente.

Exemplu.

Calculați integrala nedefinită.

Soluţie.

Lasă atunci

Trebuie remarcat că la găsirea funcției v(x), nu se adaugă o constantă arbitrară C.

Acum aplicăm formula pentru integrarea pe părți:

Ultima integrală se calculează prin metoda subsumării sub semnul diferenţialului.

De atunci . De aceea

Prin urmare,

Unde .

Răspuns:

Principalele dificultăți în integrarea pe părți sunt generate de alegerea: care parte a integrandului trebuie luată ca funcție u(x) și care ca diferențială d(v(x)) . Cu toate acestea, există o serie de linii directoare standard cu care vă recomandăm să vă familiarizați în secțiunea Integrare prin piese.

La integrarea expresiilor de putere, de exemplu sau , ele folosesc formule recurente care vă permit să scădeți gradul de la pas la pas. Aceste formule sunt obținute prin integrare multiplă succesivă pe părți. Vă recomandăm să vă familiarizați cu secțiunea privind integrarea folosind formule recurente.

În concluzie, aș dori să rezum întregul material al acestui articol. Baza fundamentelor este metoda integrării directe. Metodele de substituire, aducând sub semnul diferenţialului şi metoda de integrare pe părţi fac posibilă aducerea integralei originale la cele tabulare.

Este prezentată o prezentare generală a metodelor de calcul integrale nedefinite. Sunt luate în considerare principalele metode de integrare, care includ integrarea sumei și diferenței, scoaterea constantei din semnul integral, schimbarea variabilei și integrarea pe părți. De asemenea, sunt luate în considerare metodele și tehnicile speciale de integrare a fracțiilor, rădăcinilor, trigonometrice și funcții exponențiale.

Conţinut

Regula de integrare a sumei (diferenței).

Scoaterea constantei din semnul integral

Fie c o constantă independentă de x. Apoi poate fi scos din semnul integral:

Substituție variabilă

Fie x o funcție a unei variabile t , x = φ(t) , atunci
.
Sau invers, t = φ(x) ,
.

Cu ajutorul unei schimbări de variabilă, puteți nu numai să calculați integrale simple, ci și să simplificați calculul celor mai complexe.

Regula integrării pe părți

Integrarea fracțiilor (funcții raționale)

Să introducem o notație. Fie P k (x), Q m (x), R n (x) să desemneze polinoame de grade k, m, n , respectiv, în raport cu variabila x .

Considerăm o integrală formată dintr-o fracție de polinoame (așa-numita funcție rațională):

Dacă k ≥ n, atunci mai întâi trebuie să selectați partea întreagă a fracției:
.
Integrala polinomului S k-n (x) se calculează din tabelul de integrale.

Integrala rămâne:
, unde m< n .
Pentru a-l calcula, integrandul trebuie descompus în fracții simple.

Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile ecuației:
Q n (x) = 0 .
Folosind rădăcinile obținute, trebuie să reprezentați numitorul ca un produs al factorilor:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Aici s este coeficientul pentru x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... .

După aceea, descompuneți fracția în cea mai simplă:

Integrand se obtine o expresie formata din integrale mai simple.
Integrale ale formei

sunt reduse la substituție tabulară t = x - a .

Luați în considerare integrala:

Să transformăm numărătorul:
.
Înlocuind în integrand, obținem o expresie care include două integrale:
,
.
În primul rând, substituția t \u003d x 2 + ex + f se reduce la un tabel.
Al doilea, conform formulei de reducere:

se reduce la integrală

Aducem numitorul său la suma pătratelor:
.
Apoi, prin substituție, integrala

este de asemenea dat în tabel.

Integrarea funcțiilor iraționale

Să introducem o notație. Fie R(u 1 , u 2 , ... , u n) o funcție rațională a variabilelor u 1 , u 2 , ... , u n . i.e
,
unde P, Q sunt polinoame în variabilele u 1 , u 2 , ... , u n .

Iraționalitate liniară fracțională

Luați în considerare integralele de forma:
,
unde sunt numere raționale, m 1 , n 1 , ..., m s , n s sunt numere întregi.
Fie n numitorul comun al numerelor r 1 , ..., r s .
Atunci integrala se reduce la integrala funcțiilor raționale prin substituție:
.

Integrale din binoame diferențiale

Luați în considerare integrala:
,
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b sunt numere reale.
Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.

1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N , unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n .
2) Dacă este un număr întreg. Înlocuirea a x n + b = t M , unde M este numitorul lui p .
3) Dacă este un număr întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M , unde M este numitorul lui p .

Dacă niciunul dintre cele trei numere nu este un întreg, atunci prin teorema lui Cebyshev integralele de această formă nu pot fi exprimate printr-o combinație finită functii elementare.

În unele cazuri, poate fi util să reduceți mai întâi integrala la valori mai convenabile ale lui m și p. Acest lucru se poate face folosind formulele de turnare:
;
.

Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat

Aici luăm în considerare integralele de forma:
,

substituții lui Euler

Astfel de integrale pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a > 0 ;
, pentru c > 0 ;
, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.

Substituții trigonometrice și hiperbolice

Metode directe

În cele mai multe cazuri, substituțiile Euler au ca rezultat calcule mai lungi decât metodele directe. Folosind metode directe, integrala este redusă la unul dintre următoarele tipuri.

eu scriu

Integrala formei:
,
unde P n (x) este un polinom de grad n.

Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați, folosind identitatea:

Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i .

tip II

Integrala formei:
,
unde P m (x) este un polinom de gradul m.

Înlocuirea t = (x - α) -1 această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția ar trebui să aibă o parte întreagă.

tipul III

Al treilea și cel mai dificil tip:
.

Aici trebuie să faceți o înlocuire:
.
Atunci integrala va lua forma:
.
În plus, constantele α, β trebuie alese astfel încât coeficienții la t să dispară:
B = 0, B1 = 0.
Apoi integrala se descompune în suma de integrale de două tipuri:
;
,
care sunt integrate, respectiv, prin substituții:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Caz general

Integrarea funcțiilor transcendentale (trigonometrice și exponențiale).

Menționăm în prealabil că acele metode care sunt aplicabile funcțiilor trigonometrice sunt aplicabile și funcțiilor hiperbolice. Din acest motiv, nu vom lua în considerare integrarea funcțiilor hiperbolice separat.

Integrarea funcțiilor trigonometrice raționale ale cos x și sin x

Luați în considerare integralele funcțiilor trigonometrice de forma:
,
unde R este o funcție rațională. Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, care ar trebui convertite prin sinusuri și cosinus.

Atunci când integrați astfel de funcții, este util să aveți în vedere trei reguli:
1) dacă R( cosx, sinx)înmulțit cu -1 din modificarea semnului în fața uneia dintre cantități cos x sau sin x, atunci este util să-l notăm pe celălalt dintre ele cu t .
2) dacă R( cosx, sinx) nu se schimbă de la schimbarea semnului în același timp înainte cos xȘi sin x, atunci este util să punem tan x = t sau ctg x = t.
3) substituția în toate cazurile conduce la o integrală a unei fracții raționale. Din păcate, această înlocuire are ca rezultat calcule mai lungi decât cele anterioare, dacă este cazul.

Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Luați în considerare integralele de forma:

Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre permutările t = sin x sau t= cos x integrala se reduce la integrala a binom diferenţial.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integralele se calculează prin integrare pe părți. Aceasta are ca rezultat următoarele formule arunca:

;
;
;
.

Integrare pe părți

Aplicarea formulei Euler

Dacă integrandul este liniar în raport cu una dintre funcții
cos ax sau sinax, atunci este convenabil să aplicați formula Euler:
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1 ),
înlocuind această funcție cu eiaxși evidențierea realului (la înlocuire cos ax) sau parte imaginară(la înlocuire sinax) din rezultat.

Referinte:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Culegere de sarcini pe matematica superioara, „Lan”, 2003.

Vezi si:

Deoarece acum vom vorbi doar despre integrala nedefinită, vom omite termenul „nedefinit” pentru concizie.

Pentru a învăța cum să calculezi integralele (sau, după cum se spune, să integrezi funcții), trebuie mai întâi să înveți tabelul integralelor:

Tabelul 1. Tabelul integralelor

2. ( ), u>0. 2a. (α=0); 2b. (α=1); 2c. (α= ). 3. 3a. 4. 5. 5a) 6a. 7. 7a.

8. 9. 10. 10a. 11. 11a. 12. 13. 13a.

În plus, veți avea nevoie de capacitatea de a calcula derivata a funcţie dată, ceea ce înseamnă că trebuie să vă amintiți regulile de diferențiere și tabelul derivatelor principalelor funcții elementare:

Tabelul 2. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere:

6.a .

(păcat Și) = cos Și  Și (cos u) = – sin Și Și

Și avem nevoie și de capacitatea de a găsi diferența unei funcții. Amintiți-vă că diferența funcției
găsi prin formulă
, adică diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul argumentului ei. Este util să aveți în vedere următoarele relații cunoscute:

Tabelul 3. Tabelul diferenţialelor

1. (b= Const) 2. ( ) 3. 4. 5. (b= Const) 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 14. 15. 16. 17.

Mai mult, puteți folosi aceste formule, atât citindu-le de la stânga la dreapta, cât și de la dreapta la stânga.

Să luăm în considerare succesiv trei metode de bază de calcul a integralei. Primul se numește metoda integrarii directe. Se bazează pe utilizarea proprietăților integralei nedefinite și include două tehnici principale: extinderea unei integrale într-o sumă algebrică mai simplu şi aducând sub semnul diferenţialului, iar aceste metode pot fi utilizate atât independent, cât și în combinație.

DAR) Considera descompunerea sumelor algebrice- această tehnică presupune utilizarea transformărilor identice ale integrandului și proprietăților de liniaritate ale integralei nedefinite:
Și .

Exemplul 1 Găsiți integrale:

dar)
; b)
;

în)
G)

e)
.

Soluţie.

dar)Transformăm integrandul împărțind termen cu termen numărător la numitor:

Aici se utilizează proprietatea gradelor:
.

b) Mai întâi, transformăm numărătorul fracției, apoi împărțim numărătorul la numitor termen cu termen:

Proprietatea gradelor este folosită și aici:
.

Iată proprietatea folosită:
,
.

.

Formulele 2 și 5 din tabelul 1 sunt utilizate aici.

Exemplul 2 Găsiți integrale:

dar)
; b)
;

în)
G)

e)
.

Soluţie.

dar)Transformăm integrandul folosind identitatea trigonometrică:

.

Aici, împărțirea termen cu termen a numărătorului după numitor și formulele 8 și 9 din Tabelul 1 sunt din nou utilizate.

b) În mod similar, transformăm folosind identitatea
:

.

c) Mai întâi, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen și scoatem constantele din semnul integral, apoi folosim identitatea trigonometrică
:

d) Aplicați formula de scădere a gradului:

,

e) Folosind identități trigonometrice, transformăm:

B) Luați în considerare tehnica de integrare, care se numește p scăzând sub semnul diferenţialului. Această tehnică se bazează pe proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:

dacă
, apoi pentru orice funcție diferențiabilă Și = Și(X) apare:
.

Această proprietate vă permite să extindeți semnificativ tabelul celor mai simple integrale, deoarece, în virtutea acestei proprietăți, formulele din tabelul 1 sunt valabile nu numai pentru variabila independentă Și, dar și în cazul când Și este o funcție diferențiabilă a unei alte variabile.

De exemplu,
, dar deasemenea
, Și
, Și
.

Sau
Și
, Și
.

Esența metodei este de a extrage diferența unei anumite funcții într-un integrand dat, astfel încât acest diferențial distins, împreună cu restul expresiei, să formeze o formulă tabelară pentru această funcție. Dacă este necesar, constantele pot fi adăugate corespunzător pentru o astfel de transformare. De exemplu:

(în ultimul exemplu se scrie ln(3 + X 2) în loc de ln|3 + X 2 | , deoarece expresia 3 + X 2 este întotdeauna pozitiv).

Exemplul 3 Găsiți integrale:

dar)
; b)
; în)
;

G)
; e)
; e)
;

g)
; h)
.

Soluţie.

dar) .

Aici se folosesc formulele 2a, 5a și 7a din tabelul 1, ultimele două fiind obținute doar prin înlocuirea sub semnul diferențial:

Integrarea funcțiilor de vizualizare
apare foarte des în calculul integralelor funcţiilor mai complexe. Pentru a nu repeta de fiecare dată pașii descriși mai sus, vă recomandăm să vă amintiți formulele corespunzătoare date în Tabelul 1.

.

Formula 3 din tabelul 1 este utilizată aici.

c) În mod similar, ținând cont de faptul că , transformăm:

.

Formula 2 din tabelul 1 este utilizată aici.

G)

.

e) ;

e)

.

g);

h)

.

Exemplul 4 Găsiți integrale:

dar)
b)

în)
.

Soluţie.

a) Să transformăm:

Formula 3 din tabelul 1 este de asemenea folosită aici.

b) Folosiți formula de reducere
:

Formulele 2a și 7a din tabelul 1 sunt utilizate aici.

Aici, împreună cu formulele 2 și 8 din tabelul 1, se folosesc și formulele din tabelul 3:
,
.

Exemplul 5 Găsiți integrale:

dar)
; b)

în)
; G)
.

Soluţie.

a) Lucrarea
poate fi completat (vezi formulele 4 și 5 din Tabelul 3) la diferența funcției
, Unde darȘi b- orice constante,
. Într-adevăr, unde
.

Atunci noi avem:

.

b) Folosind formula 6 din tabelul 3, avem
, precum și
, ceea ce înseamnă că prezența în integrand a produsului
înseamnă un indiciu: sub semnul diferențial, trebuie să adăugați o expresie
. Prin urmare, primim

c) Ca la paragraful b), produsul
poate fi completată cu diferenţialul funcţiei
. Atunci obținem:

.

d) În primul rând, folosim proprietățile de liniaritate ale integralei:

Exemplul 6 Găsiți integrale:

dar)
; b)
;

în)
; G)
.

Soluţie.

dar)Dat fiind
(formula 9 din tabelul 3), transformăm:

b) Folosind formula 12 din tabelul 3, obținem

c) Ținând cont de formula 11 din tabelul 3, transformăm

d) Folosind formula 16 din tabelul 3, obținem:

.

Exemplul 7 Găsiți integrale:

dar)
; b)
;

în)
; G)
.

Soluţie.

dar)Toate integralele prezentate în acest exemplu au o caracteristică comună: integrandul conține un trinom pătrat. Prin urmare, metoda de calcul a acestor integrale se va baza pe aceeași transformare - selecția pătratului complet din acest trinom pătrat.

.

b)

.

în)

G)

Metoda însumării sub semnul diferenţialului este o implementare orală a unei metode mai generale de calcul a integralei, numită metoda substituţiei sau schimbarea variabilei. Într-adevăr, de fiecare dată, alegând formula potrivită din Tabelul 1 funcției obținute ca urmare a aducerii acesteia sub semnul diferențial, am înlocuit mental cu litera Și functia sub semnul diferential. Prin urmare, dacă integrarea prin subsumare sub semnul diferenţialului nu funcţionează foarte bine, puteţi face direct o schimbare de variabilă. Mai multe despre asta în paragraful următor.

Integrare directă

Se numește calculul integralelor nedefinite folosind tabelul integralelor și proprietățile lor de bază integrare directă.

Exemplul 1 Să găsim integrala

.

Aplicând a doua și a cincea proprietăți ale integralei nedefinite, obținem

.(*)

Apoi, folosind formuleleII, W,IV, VIIItabele și a treia proprietate a integralelor, găsim fiecare dintre termenii integralelor separat:

= ,

,

Înlocuim aceste rezultate cu (*) și, notând suma tuturor constantelor(Z DIN 1 +7DIN 2 +4DIN 3 +2DIN 4 +DIN 5) scrisoare DIN, în sfârșit obținem:

Să verificăm rezultatul prin diferențiere. Găsiți derivata expresiei rezultate:

Am obținut integrandul, care demonstrează că integrarea este corectă.

Exemplul 2 . Sa gasim

.

Tabelul de integrale arată corolarulIIIdar din formula III:

Pentru a folosi acest corolar, găsim diferența funcției în exponent:

Pentru a crea această diferență, este suficient să înmulțiți numitorul fracției de sub integrală cu număr 2 (evident, pentru ca fracția să nu se schimbe, este necesar să se înmulțească cu 2 și numărător). După scoaterea factorului constant din semnul integral, acesta devine gata pentru aplicarea formulei tabelareIIIdar:

.

Examinare:

deci integrarea este corectă.

Exemplul 3 . Sa gasim

Deoarece diferența unei funcții pătratice poate fi construită din expresia din numărător, următoarea funcție ar trebui să fie distinsă la numitor:

.

Pentru a-și crea diferența este suficient să înmulțim numărătorul cu 4 (înmulțim și numitorul cu 4 și scoateți acest factor al numitorului din integrală). Ca urmare, vom putea folosi formula tabelarăX:

Examinare:

,

acestea. integrarea este corectă.

Exemplul 4 . Sa gasim

Rețineți că acum funcția pătratică a cărei diferență este poate fi creat în numărător, este o expresie radicală. Prin urmare, ar fi rezonabil să scrieți integrandu-ul ca funcție de putere pentru a utiliza formulaeutabele integrale:

Examinare:

Concluzie: integrala este găsită corect.

Exemplu 5. Sa gasim

Rețineți că integrandu-ul conține

funcţie ; și diferența sa. Dar fracția este și diferența întregii expresii radicale (până la un semn):

Prin urmare, este rezonabil să se reprezinte fracția în formă grade:

Apoi, după înmulțirea numărătorului și numitorului cu (-1) obținem integrala de putere (formula tabelarăeu):

Prin diferențierea rezultatului, ne asigurăm că integrarea este realizată corect.

Exemplul 6 Sa gasim

Este ușor de observat că în această integrală din expresie diferența funcției radicale nu poate fi obținută folosind coeficienți numerici. Într-adevăr,

,

Unde k -constant. Dar, din experiență exemplu 3 , se poate construi o integrală care coincide ca formă cu formulaXdin tabelul de integrale:

Exemplu 7. Sa gasim

Să acordăm atenție faptului că în numărător este ușor de creat diferența funcției cubiced(X 3 ) = 3 X 2 dx. Apoi avem ocazia de a folosi formula tabelarăVI:

Exemplul 8 Sa gasim

Se știe că derivata funcției arc sin X este o fracție

apoi

.

Aceasta ne conduce la concluzia că integrala dorită are forma unei integrale de putere: , in careși = arc sin X, care înseamnă

Exemplu 9 . Pentru găsire

utilizați aceeași foaie de calcul formulă eu si faptul ca

obține

Exemplul 10 . Sa gasim

Deoarece expresia este diferența funcției , atunci, folosind formula eu tabele de integrale, obținem

Exemplul 11. Pentru a găsi integrala

utilizați în ordine: formula trigonometrică

,

faptul că

si formula IItabele integrale:

Exemplul 12 . Sa gasim

.

Din moment ce expresia

este diferența funcției , apoi folosind aceeași formulăII, primim

Exemplu 13 . Să găsim integrala

Rețineți că gradul variabilei în numărător este cu unul mai mic decât în ​​numitor. Acest lucru vă permite să creați o diferență în numărătornumitor. Sa gasim

.

După ce scoatem factorul constant din semnul integral, înmulțim numărătorul și numitorul integrandului cu (-7), obținem:

(Aici am folosit aceeași formulăIIdin tabelul integralelor).

Exemplul 14 Să găsim integrala

.

Să reprezentăm numărătorul într-o formă diferită: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+ x 2 și efectuați o împărțire termen cu termen, după care folosim a cincea proprietate a integralelor și formulaeuȘi VIII Mese:

Exemplul 15 Sa gasim

Scoatem factorul constant din semnul integral, scădem și adunăm 5 în numărător, apoi efectuăm împărțirea termen cu termen a numărătorului la numitor și folosim a cincea proprietate a integralei:

Pentru a calcula prima integrală, folosim a treia proprietate a integralelor și reprezentăm a doua integrală într-o formă convenabilă pentru aplicarea formuleiIX:

Exemplul 16 Sa gasim

Rețineți că exponentul variabilei în numărător este cu unul mai mic decât în ​​numitor (ceea ce este tipic pentru derivată), ceea ce înseamnă că diferența numitorului poate fi construită în numărător. Să găsim diferența expresiei în numitor:

d(x2- 5)=(X 2 - 5)" dx= 2 xdx .

Pentru a obține diferența numitorului în numărător, nu există suficient factor constant 2. Înmulțim și împărțim integrandul cu 2 și scoatem factorul constant -

pentru semnul integral

noi suntem aici folositIIintegrală tabelară.

Luați în considerare o situație similară în exemplul următor.

Exemplul 17. Sa gasim

.

Calculați diferența numitorului:

.

Să-l creăm în numărător folosind a patra proprietate a integralelor:

=

O situație mai complexă va fi luată în considerare în exemplul 19.

Exemplul 18, Sa gasim

.

Selectăm un pătrat complet la numitor:

obține

.

După selectarea pătratului complet la numitor, am obținut o integrală similară ca formă cu formuleleVIIIȘi IXtabele de integrale, dar în numitorul formuleiVIIItermenii pătratelor pline au aceleași semne, iar în numitorul integralei noastre semnele termenilor sunt diferite, deși nu coincid cu semnele formulei a noua. Obțineți coincidența completă a semnelor termenilor din numitor cu semnele din formulăIXreușește prin scoaterea coeficientului (-1) din integrală. Deci pentru a aplica formulaIXtabele de integrale, vom desfășura următoarele activități:

1) scoateți (-1) din paranteze la numitor și apoi din integrală;

2) găsiți diferența expresiei

3) creați diferența găsită în numărător;

4) reprezentați numărul 2 într-o formă convenabilă pentru aplicarea formuleiIX Mese:

Apoi

Folosind IXformula tabelului de integrale, obținem

Exemplul 19. Sa gasim

.

Folosind experiența acumulată în găsirea integralelor în cele două exemple precedente și rezultatele obținute în acestea, vom avea

.

Să generalizăm câteva experiențe obținute ca urmare a soluției exemplele 17,18,19.

Deci, dacă avem o integrală a formei

(exemplul 18 ), apoi, evidențiind pătratul complet la numitor, puteți ajunge la una dintre formulele tabelareVIII sau IX.

O integrală a formei

(exemplul 19 ) după crearea derivatei numitorului în numărător, se descompune în două integrale: prima este de forma

( exemplul 17 ), formulăP, iar al doilea este de formă

(exemplul 18 ), luate după una dintre formuleVIII sau IX.

Exemplul 20 . Sa gasim

.

Integrala formei

poate fi redusă la forma unor formule tabelareX sau XI, evidențiind pătratul complet în expresia radicală. ÎN cazul nostru

= .

Expresia rădăcină are forma de expresie

Același lucru se face întotdeauna când se calculează integralele formei

,

dacă unul dintre exponenți este un număr impar pozitiv și celălalt este un arbitrar numar real (exemplul 23 ).

Exemplu 23 . Sa gasim

Folosind experiența exemplului anterior și identitatea

2 sin 2 φ \u003d l - cos 2 φ,2 cos 2 φ \u003d l + cos 2 φ

Înlocuind suma rezultată sub integrală, obținem

Nu putem calcula întotdeauna funcțiile antiderivate, dar problema diferențierii poate fi rezolvată pentru orice funcție. De aceea, nu există o metodă unică de integrare care să poată fi utilizată pentru orice tip de calcul.

În cadrul acestui material, vom analiza exemple de rezolvare a problemelor legate de găsirea unei integrale nedefinite și vom vedea pentru ce tipuri de integranți este potrivită fiecare metodă.

Metoda de integrare directă

Principala metodă de calcul a funcției antiderivate este integrarea directă. Această acțiune se bazează pe proprietățile integralei nedefinite, iar pentru calcule avem nevoie de un tabel de antiderivate. Alte metode pot ajuta doar aducerea integralei originale într-o formă tabelară.

Exemplul 1

Calculați mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Soluţie

Mai întâi, să schimbăm forma funcției în f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 .

Știm că integrala sumei funcțiilor va fi egală cu suma acestor integrale, ceea ce înseamnă:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Deducem un coeficient numeric dincolo de semnul integral:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Pentru a găsi prima integrală, va trebui să ne referim la tabelul cu antiderivate. Luăm din el valoarea ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Pentru a găsi a doua integrală, avem nevoie de un tabel de antiderivate pentru funcția de putere ∫ x p d x = x p + 1 p + 1 + C , precum și de regula ∫ f k x + b d x = 1 k F (k x + b) + C .

Prin urmare, ∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Avem următoarele:

∫ f (x) dx = ∫ 2 xdx + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 dx = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

unde C = C 1 + 3 2 C 2

Răspuns:∫ f (x) d x = 2 x log 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Am dedicat un articol separat integrării directe folosind tabele de antiderivate. Vă recomandăm să aruncați o privire la el.

Metoda de înlocuire

O astfel de metodă de integrare constă în exprimarea integrandului în termenii unei noi variabile introduse special în acest scop. Ca rezultat, ar trebui să obținem o formă tabelară a integralei sau doar o integrală mai puțin complexă.

Această metodă este foarte utilă atunci când trebuie să integrați funcții cu radicali sau funcții trigonometrice.

Exemplul 2

Calculați integrala nedefinită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Să mai adăugăm o variabilă z = 2 x - 9 . Acum trebuie să exprimăm x în termeni de z:

z 2 \u003d 2 x - 9 ⇒ x \u003d z 2 + 9 2 ⇒ d x \u003d d z 2 + 9 2 \u003d z 2 + 9 2 "d z \u003d 1 2 z d z \u003d

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Luăm tabelul antiderivatelor și aflăm că 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Acum trebuie să revenim la variabila x și să obținem răspunsul:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Răspuns:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Dacă trebuie să integrăm funcții cu iraționalitate de forma x m (a + b x n) p , unde valorile lui m , n , p sunt numere rationale, atunci este important să compuneți corect o expresie pentru introducerea unei noi variabile. Citiți mai multe despre acest lucru în articolul despre integrare funcții iraționale.

După cum am spus mai sus, metoda de înlocuire este convenabilă de utilizat atunci când trebuie să integrați functie trigonometrica. De exemplu, folosind o substituție universală, puteți aduce o expresie într-o formă fracțională rațională.

Această metodă explică regula de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C .

Mai adăugăm o variabilă z = k · x + b . Obținem următoarele:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k "d z = d z k

Acum luăm expresiile rezultate și le adăugăm la integrala dată în condiția:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Dacă luăm C 1 k = C și revenim la variabila inițială x , atunci obținem:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Metoda însumării sub semnul diferenţialului

Această metodă se bazează pe transformarea integrandului într-o funcție de forma f (g (x)) d (g (x)) . După aceea, efectuăm o substituție, introducând o nouă variabilă z = g (x) , găsim antiderivata acesteia și revenim la variabila inițială.

∫ f(g(x)) d(g(x)) = g(x) = z = ∫ f(z) d(z) == F(z) + C = z = g(x) = F( g(x)) + C

Pentru a rezolva probleme mai rapid folosind această metodă, păstrați un tabel de derivate sub formă de diferențiale și un tabel de antiderivate la îndemână pentru a găsi expresia la care va fi redus integrandul.

Să analizăm problema în care este necesar să se calculeze setul de antiderivate ale funcției cotangente.

Exemplul 3

Calculați integrala nedefinită ∫ c t g x d x .

Soluţie

Transformăm expresia originală sub integrală folosind formulele trigonometrice de bază.

c t g x d x = cos s d x sin x

Ne uităm la tabelul derivatelor și vedem că numărătorul poate fi adus sub semnul diferenţialului cos x d x = d (sin x), ceea ce înseamnă:

c t g x d x \u003d cos x d x sin x \u003d d sin x sin x, adică. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Să presupunem că sin x = z , caz în care ∫ d sin x sin x = ∫ d z z . Conform tabelului de antiderivate, ∫ d z z = ln z + C . Acum reveniți la variabila inițială ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Întreaga soluție poate fi scrisă pe scurt după cum urmează:

∫ c t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Răspuns: ∫ cu t g x d x = ln sin x + C

Metoda semnului diferențial este foarte des folosită în practică, așa că vă sfătuim să citiți un articol separat dedicat acesteia.

Metoda de integrare pe părți

Această metodă se bazează pe transformarea integrandului într-un produs de forma f (x) dx = u (x) v "xdx = u (x) d (v (x)) , după care formula ∫ u (x) d ( v (x)) \u003d u (x) v (x) - ∫ v (x) du (x) Aceasta este o metodă de rezolvare foarte convenabilă și comună. Uneori, integrarea parțială într-o singură problemă trebuie aplicată de mai multe ori înainte de a obține rezultatul dorit.

Să analizăm problema în care este necesar să se calculeze mulțimea de antiderivate ale arc-tangentei.

Exemplul 4

Calculați integrala nedefinită ∫ a r c t g (2 x) d x .

Soluţie

Să presupunem că u (x) = a r c t g (2 x) , d (v (x)) = d x , în acest caz:

d (u (x)) = u "(x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Când calculăm valoarea funcției v (x), nu ar trebui să adăugăm o constantă arbitrară C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Integrala rezultată se calculează folosind metoda însumării sub semnul diferenţial.

Deoarece ∫ arctan (2 x) dx = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x arctan (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2, atunci 2 xdx = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ arctg (2 x) dx = x arctg (2 x) - ∫ 2 xdx 1 + 4 x 2 = = x arctg (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x arctg (2 x ) - 1 4 log 1 + 4 x 2 + C

Răspuns:∫ a r c t g (2 x) d x = x a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Principala dificultate în aplicarea unei astfel de metode este necesitatea de a alege ce parte să ia pentru diferențială și care parte pentru funcția u (x) . În articolul despre metoda de integrare pe părți, sunt oferite câteva sfaturi cu privire la această problemă, pe care ar trebui să le citiți.

Dacă trebuie să găsim mulțimea de antiderivate ale unei funcții raționale fracțional, atunci trebuie mai întâi să reprezentăm integrandul ca sumă de fracții simple și apoi să integrăm fracțiile rezultate. Consultați articolul despre integrarea fracțiilor simple pentru mai multe detalii.

Dacă integrăm o expresie de putere de forma sin 7 x d x sau d x (x 2 + a 2) 8 , atunci ne vor fi utile formule recursive care pot scădea gradat gradul. Ele sunt derivate folosind integrarea multiplă succesivă pe părți. Vă sfătuim să citiți articolul „Integrare folosind formule recurente.

Să rezumam. Pentru a rezolva probleme, este foarte important să cunoașteți metoda integrării directe. Alte metode (aducerea sub semnul diferențial, substituția, integrarea pe părți) fac de asemenea posibilă simplificarea integralei și aducerea acesteia la o formă tabelară.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter