Plan:

1. Integrarea celor mai simple fracții raționale.
2. Integrarea unor funcții iraționale.
3. Substituție trigonometrică universală.

1. Integrarea fracțiilor raționale simple

Amintiți-vă că o funcție a formei P (x) \u003d a o x p + a 1 x p-1 + a 2 x p-2 + ... + a p-1 x p + a p, Unde , a o, a 1 ... a p - coeficienți constanți se numesc polinom sau functie rationala . Număr P numit gradul polinom .

Funcția fracțională-rațională se numeste functie egala cu raportul a doua polinoame, i.e. .

Luați în considerare câteva integrale simple ale funcțiilor raționale fracționale:

1.1. Pentru a găsi integrale ale formei (A - const) vom folosi integralele unora funcții complexe: = .

Exemplul 20.1. Găsiți integrala.

Decizie. Să folosim formula de mai sus = . Obținem că = .

1.2. Pentru a găsi integrale ale formei (A - const) vom aplica metoda de selecție în numitorul pătratului plin. Integrala originală ca rezultat al transformărilor va fi redusă la una dintre cele două integrale de tabel: sau .

Să luăm în considerare calculul unor astfel de integrale folosind un exemplu specific.

Exemplul 20.2. Găsiți integrala.

Decizie. Să încercăm să selectăm un pătrat întreg la numitor, adică vin cu o formulă (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 .

Pentru aceasta 4 X reprezintă ca produs dublu 2∙2∙ X. Prin urmare, la expresia X 2 + 4X pentru a obține un pătrat complet, adăugați pătratul numărului doi, adică. 4: X 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 . x + 2) 2 scade 4. Obținem următorul lanț de transformări:

x + 2 = și, apoi . Substitui șiși dxîn integrala rezultată: = = . Să folosim integrala tabelului: , Unde A= 3. Obținem că = . Înlocuiește în loc de și expresie x+ 2:

Răspuns: = .

1.3. Pentru a găsi integrale ale formei (M, N - const) vom aplica următoarele algoritm :

1. Selectați un pătrat complet la numitor.

2. Expresia dintre paranteze va fi notata cu o noua variabila t. Sa gasim X, dxși pune-le împreună cu tîn integrala originală (obținem o integrală care conține doar variabila t).

3. Să împărțim integrala rezultată în suma a două integrale, fiecare dintre ele calculată separat: o integrală se rezolvă prin metoda substituției, a doua se reduce la una dintre formule sau .

Exemplul 20.3. Găsiți integrala.

Decizie. 1. Să încercăm să selectăm un pătrat întreg la numitor . Pentru aceasta 6 X reprezintă ca produs dublu 2∙3∙ X. Apoi la expresie X 2 - 6X ar trebui adăugat pătratul numărului trei, adică. numarul 9: X 2 – 6X + 9 = (X - 3) 2 . Dar pentru ca expresia din numitor să nu se schimbe, este necesar de la ( X- 3) 2 scade 9. Obținem un lanț de transformări:

2. Să introducem următoarea substituție: lit x-3=t(mijloace , X=t+ 3), apoi . Substitui t, x, dxîn integrală:

3. Să reprezentăm integrala rezultată ca sumă a două integrale:

Le vom gasi separat.

3.1 Prima integrală se calculează prin metoda substituției. Să notăm numitorul fracției, atunci . De aici. Substitui șiși dtîn integrală și aduceți-o la forma: = = = ln|u|+C= =ln|t 2+16|+C. Rămâne să revenim la variabilă X. De atunci ln|t2+16| + C \u003d ln | x 2 - 6X+25|+C.

3.2 A doua integrală se calculează cu formula: (Unde a= 4). Atunci = = .

3.3 Integrala inițială este egală cu suma integralelor găsite la paragrafele 3.1 și 3.2: = ln | x 2 - 6X+25|+ .

Răspuns: =ln | x 2 - 6X+25|+ .

Metodele de integrare a altor funcții raționale sunt acoperite în întregul curs analiză matematică(a se vedea, de exemplu, Note scrise de curs D.T. despre matematica superioara, partea 1 - M .: Iris-press, 2006.).

1. Integrarea unor funcții iraționale.

Luați în considerare găsirea integralelor nedefinite ale următoarele tipuri funcții iraționale: și ( a, b, c sunt const). Pentru a le găsi, vom folosi metoda selectării unui pătrat complet într-o expresie irațională. Atunci integralele considerate pot fi reduse la următoarele forme: ,

Să analizăm găsirea integralelor unor funcții iraționale folosind exemple specifice.

Exemplul 20.4. Găsiți integrala.

Decizie. Să încercăm să selectăm un pătrat complet la numitor . Pentru aceasta 2 X reprezintă ca produs dublu 2∙1∙ X. Apoi la expresie X 2 +2X adăugați pătratul unității ( X 2 + 2X + 1 = (x + 1) 2) și scade 1. Obținem un lanț de transformări:

Calculăm integrala rezultată prin metoda substituției. Sa punem x + 1 = și, apoi . Substitui și, dx , Unde A= 4. Înțelegem asta . Înlocuiește în loc de și expresie x+ 1:

Răspuns: = .

Exemplul 20.5. Găsiți integrala.

Decizie. Să încercăm să selectăm un pătrat complet sub semnul rădăcinii . Pentru aceasta 8 X reprezintă ca produs dublu 2∙4∙ X. Apoi la expresie X 2 -8X adăugați un pătrat de patru ( X 2 - 8X + 16 = (X - 4) 2) și scădeți. Obținem un lanț de transformări:

Calculăm integrala rezultată prin metoda substituției. Sa punem X - 4 = și, apoi . Substitui și, dxîn integrala rezultată: = . Să folosim integrala tabelului: , Unde A= 3. Înțelegem asta . Înlocuiește în loc de și expresie X- 4:

Răspuns: = .

1. Substituție trigonometrică universală.

Dacă trebuie să găsești integrala definita dintr-o funcţie care conţine sinxși cosx, care sunt legate numai prin adunare, scădere, înmulțire sau împărțire, puteți utiliza substituție trigonometrică universală .

Esența acestei substituții este aceea că sinxși cosx poate fi exprimat în termeni de tangente a unui semiunghi astfel: , . Atunci, dacă introducem substituția , atunci sinxși cosx va fi exprimat prin tîn felul următor: , . Rămâne de exprimat X prin t si gaseste dx.

Daca atunci . Sa gasim dx: = .

Deci, pentru a aplica substituția universală, este suficient să notăm sinxși cosx prin t(formulele sunt evidențiate în casetă) și dx scrie ca . Ca urmare, sub semnul integral, ar trebui să se obțină o funcție rațională, a cărei integrare a fost luată în considerare la paragraful 1. De obicei, metoda de aplicare a substituției universale este foarte greoaie, dar duce întotdeauna la un rezultat.

Luați în considerare un exemplu de aplicare a substituției trigonometrice universale.

Exemplul 20.6. Găsiți integrala.

Decizie. Aplicați substituția universală , apoi , , dx=. Prin urmare, = = = = = ., atunci sunt luate ").

Există multe integrale numite " neluat „. Astfel de integrale nu sunt exprimate în termeni obișnuiți functii elementare. Deci, de exemplu, nu se poate lua integrala , deoarece nu există nicio funcţie elementară a cărei derivată ar fi egală cu . Dar unele dintre integralele „neluate” sunt de mare importanță practică. Deci integrala se numește integrală Poisson și este utilizată pe scară largă în teoria probabilităților.

Există și alte integrale „neluate” importante: - logaritmul integral (utilizat în teoria numerelor) și - integralele Fresnel (utilizate în fizică). Pentru ei, au fost compilate tabele detaliate de valori pentru diferite valori ale argumentului X.

Întrebări de test:

Integrale complexe

Acest articol completează subiectul integrale nedefinite, și include integrale pe care le consider destul de complexe. Lecția a fost creată la solicitarea repetată a vizitatorilor care și-au exprimat dorința ca pe site să fie analizate exemple mai dificile.

Se presupune că cititorul acestui text este bine pregătit și știe să aplice tehnicile de bază ale integrării. Manichinii și oamenii care nu sunt foarte încrezători în integrale ar trebui să se refere la prima lecție - Integrală nedefinită. Exemple de soluții unde poți învăța subiectul aproape de la zero. Studenții mai experimentați se pot familiariza cu tehnicile și metodele de integrare, care nu au fost încă întâlnite în articolele mele.

Ce integrale vor fi luate în considerare?

În primul rând, luăm în considerare integralele cu rădăcini, pentru soluția cărora o folosim succesiv substituție variabilăși integrare pe părți. Adică, într-un exemplu, două metode sunt combinate simultan. Și încă mai mult.

Apoi ne vom familiariza cu un interesant și original metoda de reducere a integralei la sine. Nu atât de puține integrale sunt rezolvate în acest fel.

Al treilea număr al programului va fi integrale ale fracțiilor complexe, care au trecut peste casa de marcat în articolele anterioare.

În al patrulea rând, vor fi analizate integrale suplimentare din funcțiile trigonometrice. În special, există metode care evită înlocuirea trigonometrică universală, consumatoare de timp.

(2) În integrand, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen.

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite. În ultima integrală, imediat aduceți funcția sub semnul diferenţialului.

(4) Luăm integralele rămase. Rețineți că puteți utiliza paranteze în logaritm și nu în modul, deoarece .

(5) Efectuăm substituția inversă, exprimând din substituția directă „te”:

Studenții masochiști pot diferenția răspunsul și pot obține integrandul original, așa cum tocmai am făcut eu. Nu, nu, am făcut verificarea în sensul corect =)

După cum puteți vedea, în cursul soluției, au trebuit folosite chiar și mai mult de două metode de soluție, așa că pentru a face față unor astfel de integrale, aveți nevoie de abilități de integrare încrezătoare și nu cea mai mică experiență.

În practică, desigur, rădăcina pătrată este mai comună, iată trei exemple pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Aceste exemple sunt de același tip, așa că soluția completă de la sfârșitul articolului va fi doar pentru Exemplul 2, în Exemplele 3-4 - un singur răspuns. Ce înlocuitor să folosiți la începutul deciziilor cred că este evident. De ce am ales același tip de exemple? Deseori găsite în rolurile lor. Mai des, poate, doar ceva de genul .

Dar nu întotdeauna, când sub arc tangentă, sinus, cosinus, exponent și alte funcții există o rădăcină a funcție liniară, este necesar să se aplice mai multe metode deodată. Într-un număr de cazuri, este posibil să „coborâți ușor”, adică imediat după înlocuire, se obține o integrală simplă, care este luată elementar. Cea mai ușoară dintre sarcinile propuse mai sus este Exemplul 4, în care, după înlocuire, se obține o integrală relativ simplă.

Metoda de reducere a integralei la sine

Metodă inteligentă și frumoasă. Să aruncăm o privire la clasicii genului:

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

Există un binom pătrat sub rădăcină, iar atunci când încercați să integrați acest exemplu, ceainicul poate suferi ore întregi. O astfel de integrală este luată pe părți și se reduce la ea însăși. În principiu, nu este dificil. Dacă știi cum.

Să notăm integrala considerată printr-o literă latină și să începem soluția:

Integrarea pe părți:

(1) Pregătim integrantul pentru împărțirea termen cu termen.

(2) Împărțim termenul integrand cu termen. Poate că nu toată lumea înțelege, voi scrie mai detaliat:

(3) Folosim proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite.

(4) Luăm ultima integrală (logaritmul „lung”).

Acum să ne uităm la începutul soluției:

Iar pentru final:

Ce s-a întâmplat? Ca urmare a manipulărilor noastre, integrala s-a redus la sine!

Echivalează începutul și sfârșitul:

Ne transferăm în partea stângă cu o schimbare de semn:

Și dărâmăm zeul în partea dreaptă. Ca urmare:

Constanta, strict vorbind, ar fi trebuit adăugată mai devreme, dar am adăugat-o la sfârșit. Recomand cu tărie să citiți care este severitatea aici:

Notă: Mai strict, etapa finală a soluției arată astfel:

Prin urmare:

Constanta poate fi redenumită cu . De ce poți redenumi? Pentru că mai trebuie orice valori, iar în acest sens nu există nicio diferență între constante și.
Ca urmare:

Un truc similar cu redenumirea constantă este utilizat pe scară largă în ecuatii diferentiale. Și acolo voi fi strict. Și aici astfel de libertăți sunt permise de mine doar pentru a nu te confunda cu lucruri inutile și a te concentra pe însăși metoda de integrare.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită

O altă integrală tipică pentru soluție independentă. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției. Diferența cu răspunsul din exemplul anterior va fi!

Dacă sub rădăcină pătrată se găsește un trinom pătrat, apoi soluția în orice caz se reduce la cele două exemple analizate.

De exemplu, luați în considerare integrala . Tot ce trebuie să faci este în avans selectați un pătrat complet:
.
În continuare, se efectuează o înlocuire liniară, care gestionează „fără consecințe”:
, rezultând o integrală . Ceva familiar, nu?

Sau acest exemplu, cu un binom pătrat:
Selectarea unui pătrat complet:
Și, după o înlocuire liniară, obținem integrala, care este rezolvată și de algoritmul deja considerat.

Luați în considerare încă două exemple tipice despre cum să reduceți o integrală la sine:
este integrala exponentului înmulțită cu sinusul;
este integrala exponentului înmulțită cu cosinusul.

În integralele enumerate pe părți, va trebui să integrați deja de două ori:

Exemplul 7

Aflați integrala nedefinită

Integrandul este exponentul înmulțit cu sinusul.

Integram de două ori pe părți și reducem integrala la sine:

Ca rezultat al dublei integrări pe părți, integrala se reduce la sine. Echivalează începutul și sfârșitul soluției:

Ne transferăm în partea stângă cu o schimbare de semn și ne exprimăm integrala:

Gata. Pe parcurs, este de dorit să pieptănați partea dreaptă, adică. scoateți exponentul din paranteze și puneți sinusul și cosinusul între paranteze într-o ordine „frumoasă”.

Acum să revenim la începutul exemplului sau, mai degrabă, la integrarea pe părți:

Căci am desemnat expozantul. Apare întrebarea, exponentul este întotdeauna notat cu ? Nu este necesar. De fapt, în integrala considerată fundamental nicio diferenta, pentru ce să notăm, se poate merge în altă direcție:

De ce este posibil acest lucru? Deoarece exponentul se transformă în sine (la diferențiere și la integrare), sinusul și cosinusul se transformă reciproc (din nou, atât la diferențiere, cât și la integrare).

Adică se poate nota și funcția trigonometrică. Dar, în exemplul considerat, acest lucru este mai puțin rațional, deoarece vor apărea fracții. Dacă doriți, puteți încerca să rezolvați acest exemplu în al doilea mod, răspunsurile trebuie să fie aceleași.

Exemplul 8

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Înainte de a decide, gândiți-vă la ce este mai profitabil să desemnați în acest caz, funcție exponențială sau trigonometrică? Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și, desigur, nu uitați că majoritatea răspunsurilor din această lecție sunt destul de ușor de verificat prin diferențiere!

Exemplele au fost considerate ca nu cele mai dificile. În practică, integralele sunt mai frecvente, unde constanta este atât în ​​exponent, cât și în argumentul funcției trigonometrice, de exemplu: . Mulți oameni vor trebui să se încurce într-o astfel de integrală, iar eu însumi deseori mă confund. Faptul este că în soluție există o probabilitate mare de apariție a fracțiilor și este foarte ușor să pierzi ceva din cauza neatenției. În plus, există o probabilitate mare de eroare în semne, rețineți că există un semn minus în exponent, iar acest lucru introduce o dificultate suplimentară.

În etapa finală, de multe ori se dovedește ceva de genul:

Chiar și la sfârșitul soluției, ar trebui să fii extrem de atent și să tratați corect fracțiile:

Integrarea fracțiilor complexe

Ne apropiem încet de ecuatorul lecției și începem să luăm în considerare integralele fracțiilor. Din nou, nu toate sunt super complexe, doar dintr-un motiv sau altul, exemplele au fost puțin „off topic” în alte articole.

Continuând tema rădăcinilor

Exemplul 9

Aflați integrala nedefinită

În numitorul de sub rădăcină există un trinom pătrat plus în afara rădăcinii „apendice” sub forma „X”. O integrală a acestei forme este rezolvată folosind o substituție standard.

Noi decidem:

Înlocuirea aici este simplă:

Privind viața după înlocuire:

(1) După înlocuire, reducem termenii de sub rădăcină la un numitor comun.
(2) O scoatem de sub rădăcină.
(3) Reducem numărătorul și numitorul cu . În același timp, sub rădăcină, am rearanjat termenii într-o ordine convenabilă. Cu ceva experiență, pașii (1), (2) pot fi săriți prin efectuarea orală a acțiunilor comentate.
(4) Integrala rezultată, după cum vă amintiți din lecție Integrarea unor fracții, este rezolvată metoda de selecție a pătratului complet. Selectați un pătrat complet.
(5) Prin integrare, obținem un logaritm „lung” obișnuit.
(6) Efectuăm înlocuirea inversă. Dacă inițial , apoi înapoi: .
(7) Acțiunea finală vizează coafarea rezultatului: sub rădăcină, aducem din nou termenii la un numitor comun și îi scoatem de sub rădăcină.

Exemplul 10

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Aici, se adaugă o constantă la singurul x, iar înlocuirea este aproape aceeași:

Singurul lucru care trebuie făcut suplimentar este să exprimați „x” din înlocuire:

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Uneori într-o astfel de integrală poate exista un binom pătrat sub rădăcină, asta nu schimbă modul în care se rezolvă soluția, va fi chiar și mai simplu. Simte diferenta:

Exemplul 11

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 12

Aflați integrala nedefinită

Scurte soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției. Trebuie remarcat faptul că Exemplul 11 ​​este exact integrală binomială, a cărui metodă de rezolvare a fost luată în considerare în lecție Integrale ale funcțiilor iraționale.

Integrală a unui polinom necompunebil de gradul 2 la grad

(polinom la numitor)

O formă mai rară, dar, totuși, care apare în exemple practice a integralei.

Exemplul 13

Aflați integrala nedefinită

Dar să revenim la exemplul cu numărul norocos 13 (sincer, nu am ghicit). Această integrală este și din categoria celor cu care poți suferi destul de mult dacă nu știi să rezolvi.

Soluția începe cu o transformare artificială:

Cred că toată lumea înțelege deja cum se împarte numărătorul la numitor termen cu termen.

Integrala rezultată este luată în părți:

Pentru o integrală a formei ( – numar natural) derivate recurent formula de retrogradare:
, Unde este o integrală de grad inferior.

Să verificăm validitatea acestei formule pentru integrala rezolvată.
În acest caz: , , folosim formula:

După cum puteți vedea, răspunsurile sunt aceleași.

Exemplul 14

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluția eșantion utilizează formula de mai sus de două ori consecutiv.

Dacă sub gradul este necompusa trinom pătrat, atunci soluția este redusă la un binom prin extragerea pătratului complet, de exemplu:

Ce se întâmplă dacă există un polinom suplimentar în numărător? În acest caz, se utilizează metoda coeficienților nedeterminați, iar integrandul este extins într-o sumă de fracții. Dar în practica mea a unui astfel de exemplu niciodată întâlnit, așa că am omis acest caz în articol Integrale ale unei funcții fracționale-raționale, îl voi omite acum. Dacă o astfel de integrală încă apare, consultați manualul - totul este simplu acolo. Nu consider oportună includerea materialului (chiar simplu), probabilitatea de întâlnire cu care tinde spre zero.

Integrarea funcţiilor trigonometrice complexe

Adjectivul „dificil” pentru majoritatea exemplelor este din nou în mare măsură condiționat. Să începem cu tangente și cotangente în grade înalte. Din punct de vedere al metodelor folosite pentru rezolvarea tangentei și cotangentei sunt aproape aceleași, așa că voi vorbi mai mult despre tangentă, adică metoda demonstrată de rezolvare a integralei este valabilă și pentru cotangente.

În lecția de mai sus, ne-am uitat la substituție trigonometrică universală pentru a rezolva un anumit tip de integrale din funcții trigonometrice. Dezavantajul substituției trigonometrice universale este că aplicarea acesteia duce adesea la integrale greoaie cu calcule dificile. Și în unele cazuri, înlocuirea trigonometrică universală poate fi evitată!

Luați în considerare un alt exemplu canonic, integrala unității împărțită la sinus:

Exemplul 17

Aflați integrala nedefinită

Aici puteți folosi substituția trigonometrică universală și puteți obține răspunsul, dar există o modalitate mai rațională. Voi oferi o soluție completă cu comentarii pentru fiecare pas:

(1) Folosim formula trigonometrică pentru sinusul unui unghi dublu.
(2) Efectuăm o transformare artificială: La numitor împărțim și înmulțim cu .
(3) Conform formulei binecunoscute din numitor, transformăm fracția într-o tangentă.
(4) Aducem funcția sub semnul diferenţialului.
(5) Luăm integrala.

Câteva exemple simple de rezolvat singur:

Exemplul 18

Aflați integrala nedefinită

Sugestie: Primul pas este utilizarea formulei de reducere și efectuați cu atenție acțiuni similare cu exemplul anterior.

Exemplul 19

Aflați integrala nedefinită

Ei bine, acesta este un exemplu foarte simplu.

Soluții complete și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Cred că acum nimeni nu va avea probleme cu integralele:
etc.

Care este ideea din spatele metodei? Ideea este că, cu ajutorul transformărilor, formule trigonometrice organizaţi în integrand numai tangentele şi derivata tangentei. Adică vorbim despre înlocuirea: . În exemplele 17-19, am folosit de fapt această înlocuire, dar integralele au fost atât de simple încât s-a făcut cu o acțiune echivalentă - aducerea funcției sub semnul diferențial.

Raționament similar, așa cum am menționat deja, poate fi efectuat pentru cotangentă.

Există, de asemenea, o condiție prealabilă formală pentru aplicarea înlocuirii de mai sus:

Suma puterilor cosinusului și sinusului este un număr întreg negativ PAR, De exemplu:

pentru o integrală, un număr întreg negativ PAR.

! Notă : dacă integrandul conține DOAR sinus sau DOAR cosinus, atunci integrala se ia par cu un grad impar negativ (cele mai simple cazuri sunt în Exemplele nr. 17, 18).

Luați în considerare câteva sarcini mai semnificative pentru această regulă:

Exemplul 20

Aflați integrala nedefinită

Suma gradelor de sinus și cosinus: 2 - 6 \u003d -4 - un număr întreg negativ PAR, ceea ce înseamnă că integrala poate fi redusă la tangente și derivata sa:

(1) Să transformăm numitorul.
(2) Conform formulei binecunoscute, obținem .
(3) Să transformăm numitorul.
(4) Folosim formula .
(5) Aducem funcția sub semnul diferențial.
(6) Efectuăm înlocuirea. Este posibil ca studenții mai experimentați să nu efectueze înlocuirea, dar totuși este mai bine să înlocuiți tangenta cu o singură literă - există mai puțin risc de confuzie.

Exemplul 21

Aflați integrala nedefinită

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Stai, încep rundele de campionat =)

Adesea, în integrand există un „mezul”:

Exemplul 22

Aflați integrala nedefinită

Această integrală conține inițial o tangentă, care sugerează imediat un gând deja familiar:

Voi lăsa transformarea artificială chiar de la început și restul pașilor fără comentarii, deoarece totul a fost deja spus mai sus.

Câteva exemple creative pentru o soluție independentă:

Exemplul 23

Aflați integrala nedefinită

Exemplul 24

Aflați integrala nedefinită

Da, în ele, bineînțeles, puteți scădea gradele sinusului, cosinusului, folosiți substituția trigonometrică universală, dar soluția va fi mult mai eficientă și mai scurtă dacă este trasată prin tangente. Soluție completă și răspunsuri la sfârșitul lecției

Clasa de funcții iraționale este foarte largă, așa că pur și simplu nu poate exista o modalitate universală de a le integra. În acest articol, vom încerca să identificăm cele mai caracteristice tipuri de integranți iraționali și să le punem în corespondență cu metoda integrării.

Există cazuri când este oportun să se folosească metoda de subsumare sub semnul diferențial. De exemplu, când se găsesc integrale nedefinite de formă, unde p este o fracție rațională.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Decizie.

Nu este greu să vezi asta. Prin urmare, însumăm sub semnul diferențial și folosim tabelul de antiderivate:

Răspuns:

.

13. Substituție liniară fracțională

Integrale de tipul în care a, b, c, d sunt numere reale, a, b, ..., d, g sunt numere naturale, sunt reduse la integrale ale unei funcții raționale prin substituție în care K este cel mai mic multiplu comun al numitori ai fracțiilor

Într-adevăr, din înlocuire rezultă că

adică x și dx sunt exprimate în termeni de funcții raționale ale lui t. Mai mult, fiecare putere a fracției este exprimată în termenii unei funcții raționale a lui t.

Exemplul 33.4. Găsiți integrala

Rezolvare: Cel mai mic multiplu comun al numitorilor lui 2/3 și 1/2 este 6.

Prin urmare, presupunem x + 2 \u003d t 6, x \u003d t 6 -2, dx \u003d 6t 5 dt, Prin urmare,

Exemplul 33.5. Specificați o substituție pentru găsirea integralelor:

Rezolvare: Pentru I 1 substituție x=t 2 , pentru I 2 substituție

14. Substituția trigonometrică

Integralele de tip sunt reduse la integrale ale funcțiilor care depind rațional de funcțiile trigonometrice folosind următoarele substituții trigonometrice: x=a sint pentru prima integrală; x=a tgt pentru a doua integrală; pentru a treia integrală.

Exemplul 33.6. Găsiți integrala

Rezolvare: Fie x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Apoi

Aici integrandul este o funcție rațională în raport cu x și Indicând un pătrat complet sub radical și făcând o substituție, integralele de tipul indicat sunt reduse la integrale de tipul deja considerat, adică la integrale de tipul Aceste integrale pot fi calculate folosind substituțiile trigonometrice adecvate.

Exemplul 33.7. Găsiți integrala

Rezolvare: Deoarece x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, atunci x+1=t, x=t-1, dx=dt. Asa de Sa punem

Notă: tip integral este oportun să se găsească folosind substituția x=1/t.

15. Integrală definită

Să fie dată o funcție pe un segment și să aibă o antiderivată asupra acestuia. Diferența se numește integrala definita funcţii pe interval şi denotă. Asa de,

Diferența este scrisă ca, atunci . Se numesc numere limite de integrare .

De exemplu, unul dintre antiderivate pentru o funcție. Asa de

16 . Dacă с este un număr constant și funcția ƒ(х) este integrabilă pe , atunci

adică factorul constant c poate fi scos din semnul unei integrale definite.

▼Compuneți suma integrală pentru funcție cu ƒ(x). Noi avem:

Atunci Aceasta implică faptul că funcția ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și formula (38.1) este valabilă.▲

2. Dacă funcțiile ƒ 1 (х) și ƒ 2 (х) sunt integrabile pe [а;b], atunci este integrabilă pe [а; b] suma lor u

adică, integrala sumei este egală cu suma integralelor.

▼
▲

Proprietatea 2 se extinde la suma oricărui număr finit de termeni.

3.

Această proprietate poate fi acceptată prin definiție. Această proprietate este confirmată și de formula Newton-Leibniz.

4. Dacă funcţia ƒ(x) este integrabilă pe [a; b] și a< с < b, то

adică, integrala pe întregul segment este egală cu suma integralelor pe părțile acestui segment. Această proprietate se numește aditivitatea unei integrale definite (sau proprietatea aditivității).

La împărțirea segmentului [a;b] în părți, includem punctul c în numărul de puncte de împărțire (acest lucru se poate face deoarece limita sumei integrale este independentă de metoda de împărțire a segmentului [a; b] în părți). Dacă c \u003d x m, atunci suma integrală poate fi împărțită în două sume:

Fiecare dintre sumele scrise este integrală, respectiv, pentru segmentele [a; b], [a; s] și [s; b]. Trecând la limita în ultima egalitate ca n → ∞ (λ → 0), obținem egalitatea (38.3).

Proprietatea 4 este valabilă pentru orice aranjament al punctelor a, b, c (presupunem că funcția ƒ (x) este integrabilă pe cel mai mare dintre segmentele rezultate).

Deci, de exemplu, dacă a< b < с, то

(se folosesc proprietățile 4 și 3).

5. „Teorema valorii medii”. Dacă funcția ƒ(x) este continuă pe segmentul [a; b], atunci există o linie subțire cu є [a; b] astfel încât

▼ Conform formulei Newton-Leibniz, avem

unde F "(x) \u003d ƒ (x). Aplicând teorema Lagrange (teorema incrementului finit al unei funcții) la diferența F (b) - F (a), obținem

F (b) -F (a) \u003d F "(c) (b-a) \u003d ƒ (c) (b-a). ▲

Proprietatea 5 („teorema valorii medii”) pentru ƒ (x) ≥ 0 are o simplă sens geometric: valoarea unei integrale definite este, pentru unele c є (a; b), aria unui dreptunghi cu înălțimea ƒ (c) și baza b-a (vezi Fig. 170). Număr

se numește valoarea medie a funcției ƒ(x) pe segmentul [a; b].

6. Dacă funcţia ƒ (x) îşi păstrează semnul pe segmentul [a; b], unde a< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Conform „teoremei medii” (proprietatea 5)

unde c є [a; b]. Și deoarece ƒ(х) ≥ 0 pentru toate x О [а; b], atunci

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Prin urmare, ƒ(c) (b-a) ≥ 0, i.e. ▲

7. Inegalitatea între funcțiile continue pe intervalul [a; b], (a

▼Deoarece ƒ 2 (х)-ƒ 1 (x)≥0, atunci la o< b, согласно свойству 6, имеем

Sau, conform proprietății 2,

Rețineți că este imposibil să diferențiezi inegalitățile.

8. Estimarea integralei. Dacă m și M sunt, respectiv, cea mai mică și, respectiv, cea mai mare valoare a funcției y \u003d ƒ (x) pe segmentul [a; b], (a< b), то

▼Deoarece pentru orice x є [а;b] avem m≤ƒ(х)≤М, atunci, conform proprietății 7, avem

Aplicând proprietatea 5 integralelor extreme, obținem

▲

Dacă ƒ(x)≥0, atunci proprietatea 8 este ilustrată geometric: aria unui trapez curbiliniu este închisă între zonele dreptunghiurilor a căror bază este , iar înălțimile sunt egale cu m și M (vezi Fig. 171).

9. Modulul unei integrale definite nu depășește integrala modulului integrandului:

▼Aplicând proprietatea 7 inegalităților evidente -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, obținem

De aici rezultă că

▲

10. Derivata unei integrale definite fata de limita superioara variabila este egala cu integrandul in care variabila de integrare este inlocuita cu aceasta limita, i.e.

Calcularea ariei unei figuri este una dintre cele mai provocatoare probleme din teoria ariei. La cursul de geometrie a școlii, am învățat cum să găsim zonele formelor geometrice de bază, cum ar fi un cerc, triunghi, romb etc. Cu toate acestea, mult mai des trebuie să vă ocupați de calculul ariilor unor cifre mai complexe. Când rezolvați astfel de probleme, trebuie să recurgeți la calculul integral.

În acest articol, vom lua în considerare problema calculării ariei unui trapez curbiliniu și o vom aborda într-un sens geometric. Acest lucru ne va permite să aflăm relația directă dintre integrala definită și aria unui trapez curbiliniu.

Lasă funcția y = f(x) continuu pe segment și nu își schimbă semnul (adică non-negativ sau non-pozitiv). figura G delimitate de linii y = f(x), y = 0, x = ași x = b, numit trapez curbiliniu. Să notăm zona sa S(G).

Să abordăm problema calculării ariei unui trapez curbiliniu după cum urmează. În secțiunea cifrelor la pătrat, am aflat că un trapez curbiliniu este o figură la pătrat. Dacă împărțim segmentul pe n părți cu puncte și desemnați , și alegeți punctele astfel încât la, atunci cifrele corespunzătoare sumelor Darboux inferioare și superioare să poată fi considerate primite Pși îmbrățișând Q forme poligonale pentru G.

Astfel, și cu o creștere a numărului de puncte de partiție n, ajungem la inegalitatea , unde este un număr pozitiv arbitrar mic și sși S sunt sumele Darboux inferioare și superioare pentru o anumită partiție a segmentului . Într-o altă intrare . Prin urmare, revenind la conceptul de integrală Darboux definită, obținem .

Ultima egalitate înseamnă că integrala definită pentru o funcție continuă și nenegativă y = f(x) reprezintă în sens geometric aria trapezului curbiliniu corespunzător. Acesta este ceea ce constă sensul geometric al integralei definite.

Adică, calculând integrala definită, vom găsi aria figurii mărginită de linii. y = f(x), y = 0, x = ași x = b.

Cometariu.

Dacă funcţia y = f(x) nepozitiv pe segment , atunci aria trapezului curbiliniu poate fi găsită ca .

Exemplu.

Calculați aria unei figuri delimitate de linii .

Decizie.

Să construim o figură pe un plan: o linie dreaptă y=0 coincide cu axa absciselor, linii drepte x=-2și x=3 sunt paralele cu axa y, iar curba poate fi construită folosind transformări geometrice ale graficului funcției.

Astfel, trebuie să găsim aria trapezului curbiliniu. Sensul geometric al integralei definite ne indică faptul că aria dorită este exprimată printr-o integrală definită. Prin urmare, . Această integrală definită poate fi calculată folosind formula Newton-Leibniz.

În această secțiune, vom lua în considerare o metodă de integrare a funcțiilor raționale. 7.1. Informatie scurta despre funcțiile raționale Cea mai simplă funcție rațională este un polinom de gradul al-lea, adică. o functie de forma in care sunt constante reale si a0 4 0. Un polinom Qn(x) al carui coeficient a0 = 1 se numeste redus. Un număr real b se numește rădăcină a polinomului Qn(z) dacă Q„(b) = 0. Se știe că fiecare polinom Qn(x) cu coeficienți reali este descompus în mod unic în factori reali de forma în care p, q sunt coeficienți reali, iar factorii pătratici nu au rădăcini reale și, prin urmare, nu pot fi descompuși în factori liniari reali. Combinând factori identici (dacă există) și presupunând, pentru simplitate, polinomul Qn(x) redus, putem nota factorizarea acestuia sub forma în care sunt numere naturale. Deoarece gradul polinomului Qn(x) este egal cu n, atunci suma tuturor exponenților a, /3, ..., A, adăugată la suma dublată a tuturor exponenților u, ..., q, este egală. la n: Rădăcina a a polinomului se numește simplă sau simplă, dacă a = 1, și multiplă dacă a > 1; numărul a se numește multiplicitatea rădăcinii a. Același lucru este valabil și pentru alte rădăcini polinomiale. O funcție rațională f(x) sau o fracție rațională este raportul a două polinoame și se presupune că polinoamele Pm(x) și Qn(x) nu au factori comuni. O fracție rațională este numită proprie dacă gradul polinomului din numărător este mai mic decât gradul polinomului din numitor, adică . Dacă m p, atunci fracția rațională se numește fracție improprie, iar în acest caz, împărțind numărătorul la numitor conform regulii de împărțire a polinoamelor, ea poate fi reprezentată ca unde sunt unele polinoame, iar ^^ este o fracție rațională proprie . Exemplul 1. O fracție rațională este o fracție improprie. Împărțind printr-un „colț”, vom avea Hence. Aici. și o fracție adecvată. Definiție. Cele mai simple (sau elementare) fracții se numesc fracții raționale de următoarele patru tipuri: unde - numere reale, k este un număr natural mai mare sau egal cu 2, iar trinomul pătrat x2 + px + q nu are rădăcini reale, deci -2 _2 discriminantul său În algebră se demonstrează următoarea teoremă. Teorema 3. O fracție rațională propriu-zisă cu coeficienți reali al cărei numitor Qn(x) are forma se descompune în mod unic într-o sumă de fracții simple după regula Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea iraționalelor funcții Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler În această expansiune, unele constante reale, dintre care unele pot fi egale cu zero. Pentru a găsi aceste constante, partea dreaptă a egalității (I) este redusă la un numitor comun, iar apoi coeficienții la aceleași puteri ale lui x din numărătorii părților stângi și drepte sunt echivalați. Acest lucru dă sistemul ecuatii lineare, din care se găsesc constantele dorite. . Această metodă de găsire a constantelor necunoscute se numește metoda coeficienților nedeterminați. Uneori este mai convenabil să se aplice o altă modalitate de a găsi constante necunoscute, care constă în faptul că după echivalarea numărătorilor, se obține o identitate pentru x, în care argumentului x i se dau niște valori, de exemplu, valorile a rădăcinilor, rezultând ecuații pentru găsirea constantelor. Este convenabil mai ales dacă numitorul Q„(x) are doar rădăcini simple reale. Exemplul 2. Descompuneți o fracție rațională în fracții simple.Această fracție este regulată. Descompunem numitorul în factori: Deoarece rădăcinile numitorului sunt reale și diferite, atunci, pe baza formulei (1), descompunerea unei fracții în cele mai simple va avea forma Aduceți onoarea corectă a „aceei egalitate la un comun. numitorul și echivalând numărătorii și părțile lui stânga și dreapta, obținem identitatea sau Coeficientul necunoscut A. 2?, C găsim în două moduri. Prima cale. Echivalarea coeficienților la aceleași puteri ale lui x, t.v. cu (termen liber), iar părțile din stânga și din dreapta sunt identice, obținem sistem liniar ecuații pentru găsirea coeficienților necunoscuți A, B, C: Acest sistem are o soluție unică C A doua cale. Deoarece rădăcinile numitorului sunt rupte svv în i 0, obținem 2 \u003d 2A, de unde A * 1; g i 1, obținem -1 * -B, de unde 5 * 1; x i 2, obținem 2 = 2C. de unde C» 1, iar expansiunea dorită are forma Numitorul are două rădăcini duale diferite: x\ \u003d 0 cu o multiplicitate de multiplicitate 3. Prin urmare, expansiunea acestei fracții nesimple are forma Reducerea părții drepte la un numitor comun, găsim sau Prima metodă. Echivalarea coeficienților la aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ultimei identități. obţinem un sistem liniar de ecuaţii.Acest sistem are o soluţie unică iar expansiunea dorită va fi a doua metodă. În identitatea rezultată, punând x = 0, obținem 1 a A2, sau A2 = 1; câmp * gay x = -1, obținem -3 i B), sau Bj i -3. La înlocuirea valorilor găsite ale coeficienților A\ și B) și identitatea va lua forma sau Punând x = 0, iar apoi x = -I. constatăm că = 0, B2 = 0 și. prin urmare, B\ \u003d 0. Astfel, obținem din nou Exemplul 4. Extindeți fracția rațională 4 în fracții simple. Numitorul fracției nu are rădăcini reale, deoarece funcția x2 + 1 nu dispare pentru nicio valoare reală de x. Prin urmare, expansiunea în fracții simple ar trebui să aibă forma De aici obținem sau. Echivalând coeficienții la puterile Schinack ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ultimei egalități, vom avea de unde găsim și, prin urmare, Trebuie remarcat că în unele cazuri expansiunile în fracții simple se pot obține mai rapid și mai ușor, acționând în într-un alt mod, fără a utiliza metoda coeficienților nedeterminați. De exemplu, pentru a obține expansiunea fracției din exemplul 3, puteți adăuga și scădea la numărătorul 3x2 și efectuați împărțirea, așa cum este indicat mai jos. 7.2. Integrarea fracțiilor simple După cum sa menționat mai sus, orice fracție rațională improprie poate fi reprezentată ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise (§7), iar această reprezentare este unică. Integrarea unui polinom nu este dificilă, așa că luați în considerare problema integrării unei fracții raționale adecvate. Deoarece orice fracție rațională proprie poate fi reprezentată ca o sumă de fracții simple, integrarea ei se reduce la integrarea fracțiilor simple. Să luăm acum în considerare problema integrării lor. III. Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al treilea tip, selectăm y trinom pătrat pătratul plin al binomului: Deoarece al doilea termen este, îl setăm egal cu a2, unde și apoi facem o substituție. Apoi, având în vedere proprietăți liniare integrală, găsim: Exemplul 5. Aflați integrala 4 Integrandul este cea mai simplă fracție de al treilea tip, deoarece trinomul pătrat x1 + Ax + 6 nu are rădăcini reale (discriminantul său este negativ: , iar numărătorul este un polinom de gradul I. Așadar, procedăm astfel: 1) selectăm pătratul complet la numitor 2) facem o substituție (aici 3) găsim o integrală Pentru a găsi integrala celei mai simple fracții de al patrulea tip, punem , ca mai sus, . Apoi obținem Integrala pe partea dreaptă, notată cu A și o transformăm astfel: Integram pe partea dreaptă pe părți, stabilind de unde sau Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea de funcții iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Am obținut așa-numita formulă recurentă, care ne permite să găsim integrala Jk pentru orice k = 2, 3,... . Într-adevăr, integrala J\ este tabelară: Presupunând în formula recursivă, găsim Cunoscând și presupunând A = 3, găsim ușor Jj și așa mai departe. În rezultatul final, înlocuind peste tot în loc de t și a expresiile lor în termeni de x și coeficienții p și q, obținem pentru integrala inițială o expresie pentru aceasta în termeni de x și numerele date M, LG, p, q . Exemplul 8. Aflați integrala aceasta înseamnă că numitorul nu are rădăcini reale, iar numărătorul este un polinom de gradul I. 1) Selectăm un pătrat plin la numitor 2) Facem o substituție: Integrala va lua forma: Punând în formula recursivă * = 2, a3 = 1. vom avea, și, prin urmare, integrala dorită este egală Revenind la variabila x, obținem în final 7.3. Caz general Din rezultatele Secs. 1 și 2 din această secțiune urmează imediat o teoremă importantă. Teoremă! 4. O integrală nedefinită a oricărei funcții raționale există întotdeauna (pe intervale în care numitorul fracției Q„(x) φ 0) și se exprimă în termeni de un număr finit de funcții elementare, și anume, este o sumă algebrică. , fracții raționale, logaritmi naturali și arctangente. Deci, pentru a găsi integrala nedefinită a unei funcții fracționale-raționale, trebuie procedat în felul următor: 1) dacă fracția rațională nu este corectă, atunci partea întreagă este separată prin împărțirea numărătorului la numitor, adică. funcţie dată reprezentat ca suma unui polinom și a unei fracții raționale propriu-zise; 2) atunci numitorul fracției proprii obținute se descompune în produsul factorilor liniari și pătratici; 3) această fracție proprie se descompune în suma fracțiilor simple; 4) folosind liniaritatea integralei și formula articolului 2, găsim integralele fiecărui termen separat. Exemplul 7. Aflați integrala M Deoarece numitorul este un polinom de gradul trei, integrandul este o fracție improprie. Evidențiem întreaga parte din ea: Prin urmare, vom avea. Numitorul unei fracții proprii are phi rădăcini reale diferite: și de aceea descompunerea ei în fracții simple are forma De aici găsim. Dând argumentului x valori egale cu rădăcinile numitorului, aflăm din această identitate că: Prin urmare, integrala dorită va fi egală cu Exemplul 8. Aflați integrala 1 a multiplicității 3, Prin urmare, expansiunea lui integrand în fracții simple are forma Aducând partea dreaptă a acestei egalități la un numitor comun și reducând ambele părți ale egalității cu acest numitor, obținem sau. Echivalăm coeficienții la aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta acestei identități: De aici găsim. Înlocuind valorile găsite ale coeficienților în expansiune, vom avea Integrarea, găsim: Exemplul 9. Aflați integrala 4 Numitorul fracției nu are rădăcini reale. Prin urmare, expansiunea în fracții mai simple ale integrandului are forma Prin urmare sau Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta acestei identități, vom avea de unde găsim și, deci, Observație. În exemplul de mai sus, integrandul poate fi reprezentat ca o sumă de fracții mai simple peste într-un mod simplu , și anume, la numărătorul fracției selectăm bin din numitor, iar apoi facem împărțirea după termen: §8. Integrarea funcțiilor iraționale O funcție de forma în care Pm și u2 sunt polinoame de tip grade, respectiv, în variabilele u1,2,... se numește funcție rațională în ubu2j... constante reale, iar Exemplul 1, Funcția este o funcție rațională a variabilelor r și y, deoarece reprezintă atât raportul dintre un polinom de gradul al treilea, cât și un polinom de gradul al cincilea, iar funcția de tisă nu este. În cazul în care variabilele, la rândul lor, sunt funcții ale variabilei x: atunci funcția ] se numește funcție rațională a funcțiilor din Exemplu. O funcție este o funcție rațională a lui r și rvdikvl Pr 3. O funcție de formă nu este o funcție rațională a lui x și a radicalului y/r1 + 1, dar este o funcție rațională a funcțiilor După cum arată exemplele, integralele lui iraționale funcțiile nu sunt întotdeauna exprimate în termeni de funcții elementare. De exemplu, integralele întâlnite adesea în aplicații nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare; aceste integrale sunt numite integrale eliptice de primul și, respectiv, al doilea fel. Să luăm în considerare acele cazuri când integrarea funcțiilor iraționale poate fi redusă cu ajutorul unor substituții la integrarea funcțiilor raționale. 1. Fie necesar să se găsească integrala în care R(x, y) este o funcție rațională a argumentelor sale x și y; m £ 2 este un număr natural; a, b, c, d sunt constante reale care satisfac condiția ad - bc ^ O (pentru ad - be = 0, coeficienții a și b sunt proporționali cu coeficienții c și d și, prin urmare, raportul nu depinde de x; prin urmare, în acest caz, funcția integrand va fi o funcție rațională a variabilei x, a cărei integrare a fost considerată mai devreme). Facem o schimbare de variabilă în această integrală setând De aici exprimăm variabila x printr-o nouă variabilă Avem x = - o funcție rațională a lui t. În plus, găsim sau, după simplificare, Prin urmare, unde L1 (t) este o funcție rațională a lui *, deoarece funadiumul rațional al unei funcții raționale, precum și produsul funcțiilor raționale, sunt funcții raționale. Putem integra funcții raționale. Fie Atunci integrala dorită egală cu Când. Treceți la integrala 4 Integrandul* este o funcție rațională a. Prin urmare, punem t = Atunci Integrarea funcțiilor raționale Informații scurte despre funcțiile raționale Integrarea fracțiilor simple Caz general Integrarea funcțiilor iraționale Prima substituție Euler A doua substituție Euler A treia substituție Euler Astfel, obținem Primar 5. Aflați integrala Numitorul comun al exponenților fracționali ai lui x este 12, deci integrandul poate fi reprezentat ca 1 _ 1_ de unde se vede că este o funcție rațională a: Având în vedere acest lucru, punem. Prin urmare, 2. Se consideră intephs de forma în care funcția subintegrală este astfel încât înlocuind radicalul \/ax2 + bx + c în ea cu y, obținem funcția R(x) y) - rațională în raport cu ambele argumente x și y. Această integrală este redusă la integrala unei funcții raționale a unei alte variabile prin substituții Euler. 8.1. Prima substituție Euler Fie coeficientul a > 0. Punem sau De aici găsim x ca funcție rațională a lui u, deci, Astfel, substituția indicată se exprimă rațional în termeni de *. Prin urmare, vom avea unde Observație. Prima substituție Euler poate fi luată și sub forma Exemplul 6. Aflați integrala pe care o vom găsi Prin urmare, vom avea dx substituție Euler, arătați că Y 8.2. A doua substituție a lui Euler Fie trinomul ax2 + bx + c să aibă rădăcini reale diferite R] și x2 (coeficientul poate avea orice semn). În acest caz, presupunem Deoarece obținem Deoarece x, dxn y / ax2 + be + c sunt exprimate rațional în termeni de t, atunci integrala inițială se reduce la integrala unei funcții raționale, adică unde Problemă. Folosind prima substituție lui Euler, arătați că este o funcție rațională a lui t. Exemplul 7. Găsiți integrala dx M funcția ] - x1 are rădăcini reale diferite. Prin urmare, aplicăm a doua substituție Euler. De aici găsim Substituirea expresiilor găsite în Dat? obținem 8,3. A treia substare a lui Euler Fie coeficientul c > 0. Facem o schimbare de variabilă prin setare. Rețineți că pentru a reduce integrala la integrala unei funcții raționale, prima și a doua substituție Euler sunt suficiente. Într-adevăr, dacă discriminantul b2 -4ac > 0, atunci rădăcinile trinomului pătrat ax + bx + c sunt reale, iar în acest caz se aplică a doua substituție Euler. Dacă, atunci semnul trinomului ax2 + bx + c coincide cu semnul coeficientului a, și întrucât trinomul trebuie să fie pozitiv, atunci a > 0. În acest caz, se aplică prima substituție Euler. Pentru a găsi integrale ale formei indicate mai sus, nu este întotdeauna oportun să folosiți substituții Euler, deoarece pentru acestea pot fi găsite și alte metode de integrare, conducând la obiectiv mai rapid. Să luăm în considerare unele dintre aceste integrale. 1. Pentru a afla integralele formei, se alege un pătrat drept din pătratul trinomului al treilea: unde După aceea se face și se obține o înlocuire unde coeficienții a și P au semne diferite sau ambele sunt pozitive. Când, precum și când a > 0, și integrala se vor reduce la un logaritm, dar dacă - la arcsinus. La. Găsiți imtegrel 4 De atunci. presupunând, obținem Prmmar 9. Găsiți. Am presupus x -, vom avea 2. O integrală a formei se reduce la integrala y din paragraful 1 după cum urmează. Având în vedere că derivata ()" = 2, o selectăm la numărător: gradul al-lea, poate fi găsită prin metoda coeficienților nedeterminați, care constă în următoarele: Să presupunem că egalitatea are loc Exemplul 10. Coeficienți integrali puternici, avem diferențiem ambele părți ale (1): Apoi reducem partea dreaptă a egalității (2) la un numitor comun egal cu numitorul părții stângi, adică y/ax2 + bx + c, reducând ambele părți ale (2) cu care , obținem o identitate în ambele părți din care sunt polinoame de grad n. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x în părțile din stânga și din dreapta ale (3), obținem n + 1 ecuații, din care găsim coeficienții necesari. j4*(fc = 0,1,2,..., n ) Înlocuind valorile lor în partea dreaptă a (1) și găsind integrala + c obținem răspunsul pentru această integrală. Exemplul 11. Găsiți integrala Setăm Diferențiând ambele culori de egalitate, vom avea Aducerea laturii drepte la un numitor comun și reducând ambele părți cu acesta, obținem identitatea sau. Echivalând coeficienții la aceleași puteri ale lui x, ajungem la un sistem de ecuații din care aflăm = Apoi găsim integrala din dreapta egalității (4): Prin urmare, integrala dorită va fi egală cu

Nu există o modalitate universală de a rezolva ecuații iraționale, deoarece clasa lor diferă ca număr. Articolul va evidenția tipurile caracteristice de ecuații cu substituție folosind metoda integrării.

Pentru a folosi metoda integrare directă este necesar să se calculeze integrale nedefinite de tipul ∫ k x + b p d x , unde p este o fracție rațională, k și b sunt coeficienți reali.

Exemplul 1

Găsiți și calculați funcțiile antiderivate y = 1 3 x - 1 3 .

Decizie

Conform regulii de integrare, este necesar să se aplice formula ∫ f (k x + b) d x \u003d 1 k F (k x + b) + C, iar tabelul de antiderivate spune că există solutie la cheie această funcție. Înțelegem asta

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + C

Răspuns:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Există cazuri în care se poate folosi metoda de subsumare sub semnul diferenţialului. Aceasta se rezolvă prin principiul găsirii integralelor nedefinite de forma ∫ f „(x) (f (x)) p d x, când valoarea lui p este considerată o fracție rațională.

Exemplul 2

Aflați integrala nedefinită ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Decizie

Rețineți că d x 3 + 5 x - 7 \u003d x 3 + 5 x - 7 "d x \u003d (3 x 2 + 5) d x. Atunci este necesar să aducem sub semnul diferențial folosind tabele de antiderivate. Obținem că

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Răspuns:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Soluția integralelor nedefinite oferă o formulă de forma ∫ d x x 2 + p x + q , unde p și q sunt coeficienți reali. Apoi este necesar să selectați un pătrat complet de sub rădăcină. Înțelegem asta

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Aplicând formula situată în tabelul integralelor nedefinite, obținem:

∫ d x x 2 ± α = log x + x 2 ± α + C

Apoi se calculează integrala:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Exemplul 3

Aflați o integrală nedefinită de forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Decizie

Pentru a calcula, trebuie să scoateți numărul 2 și să-l plasați în fața radicalului:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Faceți o selecție a pătratului complet în expresia radicală. Înțelegem asta

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Apoi obținem o integrală nedefinită a formei

Răspuns: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

Integrarea funcțiilor iraționale se face într-un mod similar. Aplicabil pentru funcțiile de forma y = 1 - x 2 + p x + q .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Decizie

Mai întâi trebuie să derivați pătratul numitorului expresiei de sub rădăcină.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

Integrala tabelului arată ca ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, atunci obținem că ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 + C

Răspuns:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C .

Procesul de găsire a funcțiilor iraționale antiderivate de forma y \u003d M x + N x 2 + p x + q, unde M, N, p, q disponibili sunt coeficienți reali și sunt similari cu integrarea celor mai simple fracții ale al treilea tip. Această transformare are mai multe etape:

însumând diferența sub rădăcină, evidențiind pătratul complet al expresiei sub rădăcină, folosind formule tabulare.

Exemplul 5

Aflați funcțiile antiderivate y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 .

Decizie

Din condiția avem că d (x 2 - 3 x + 1) \u003d (2 x - 3) d x și x + 2 \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2, apoi (x + 2) d x \u003d 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Calculați integrala: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C

Răspuns:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

Căutarea integralelor nedefinite ale funcției ∫ x m (a + b x n) p d x se realizează folosind metoda substituției.

Pentru rezolvare este necesar să se introducă noi variabile:

1. Când numărul p este un întreg, atunci considerăm că x = z N , iar N este numitorul comun pentru m , n .
2. Când m + 1 n este un număr întreg, atunci a + b x n = z N , iar N este numitorul lui p .
3. Când m + 1 n + p este un număr întreg, atunci a x - n + b = z N este necesar, iar N este numitorul lui p .

Exemplul 6

Aflați integrala definită ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Decizie

Se obține că ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Rezultă că m = - 1 , n = 1 , p = - 1 2 , atunci m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 este un număr întreg. Puteți introduce o nouă variabilă precum - 9 + 2 x = z 2 . Este necesar să se exprimă x prin z . La ieșire, obținem

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 "d z = z d z - 9 + 2 x = z

Este necesar să se efectueze o înlocuire în integrala dată. Avem asta

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2

Răspuns:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Pentru a simplifica rezolvarea ecuațiilor iraționale se folosesc principalele metode de integrare.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter