Este absolut imposibil să rezolvi probleme fizice sau exemple de matematică fără cunoștințe despre derivată și metode de calcul. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric Cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?
Sensul geometric și fizic al derivatului
Să existe o funcție f(x) , dat într-un anumit interval (a,b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența valorilor sale x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. Modificarea sau creșterea unei funcții este diferența dintre valorile funcției în două puncte. Definiție derivată:
Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.
Altfel se poate scrie asa:
Ce rost are să găsești o astfel de limită? Dar care:
derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.
sens fizic derivat: derivata în timp a traseului este egală cu viteza mișcării rectilinie.
Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale privată. x=f(t) si timpul t . viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:
Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:
Prima regulă: scoateți constanta
Constanta poate fi scoasă din semnul derivatei. Mai mult, trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați ca regulă - dacă puteți simplifica expresia, asigurați-vă că simplificați .
Exemplu. Să calculăm derivata:
Regula a doua: derivata sumei functiilor
Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.
Nu vom da o demonstrație a acestei teoreme, ci mai degrabă vom lua în considerare un exemplu practic.
Aflați derivata unei funcții:
Regula trei: derivata produsului de funcții
Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:
Exemplu: găsiți derivata unei funcții:
Soluţie: 
Aici este important de spus despre calculul derivatelor funcțiilor complexe. Derivat functie complexa este egal cu produsul derivatei acestei funcții față de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar față de variabila independentă.
În exemplul de mai sus, întâlnim expresia:
În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, luăm în considerare mai întâi derivata funcției externe față de argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar însuși față de variabila independentă.
Regula a patra: derivata coeficientului a două funcții
Formula pentru determinarea derivatei unui cât de două funcții:
Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.
Cu orice întrebare pe acest subiect și alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil control și să vă ocupați de sarcini, chiar dacă nu v-ați mai ocupat niciodată de calculul derivatelor.
Operația de găsire a unei derivate se numește diferențiere.
Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului dintre increment și increment al argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) au fost primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor.
Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu este necesar să se calculeze limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să se utilizeze tabelul a derivatelor şi regulile de diferenţiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.
Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul stroke descompune funcțiile simpleși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. Alte derivate functii elementare găsim în tabelul derivatelor, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.
Exemplul 1 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata sumei funcțiilor este suma derivatelor funcțiilor, adică.
Din tabelul derivatelor, aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:
Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Diferențiem ca derivată a sumei, în care al doilea termen cu factor constant poate fi scos din semnul derivatei:
Dacă există încă întrebări despre unde vine ceva, acestea, de regulă, devin clare după citirea tabelului de derivate și a celor mai simple reguli de diferențiere. Mergem la ei chiar acum.
Tabel de derivate ale funcțiilor simple
| 1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Mereu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des | |
| 2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „x”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut | |
| 3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate într-o putere. | |
| 4. Derivată a unei variabile la puterea lui -1 | |
| 5. Derivat rădăcină pătrată | |
| 6. Derivat sinus | |
| 7. Derivat de cosinus |  |
| 8. Derivată tangentă |  |
| 9. Derivat de cotangente |  |
| 10. Derivată a arcsinusului |  |
| 11. Derivată a arccosinusului |  |
| 12. Derivată de arc tangente |  |
| 13. Derivată a tangentei inverse |  |
| 14. Derivată a logaritmului natural | |
| 15. Derivata unei functii logaritmice |  |
| 16. Derivată a exponentului | |
| 17. Derivată a funcției exponențiale |
Reguli de diferențiere
| 1. Derivată a sumei sau a diferenței |  |
| 2. Derivat al unui produs |  |
| 2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant | |
| 3. Derivată a coeficientului |  |
| 4. Derivată a unei funcții complexe |  |
Regula 1Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, apoi în același punct funcțiile
și
acestea. derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.
Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-o constantă, atunci derivatele lor sunt, adică
Regula 2Dacă funcţiile
sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este, de asemenea, diferențiabil în același punct
și
acestea. derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.
Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:
Consecința 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre factori si a tuturor celorlalti.
De exemplu, pentru trei multiplicatori:
Regula 3Dacă funcţiile
diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment și câtul lor este diferențiabil.u/v și
acestea. derivata unui cât de două funcții este egală cu o fracție al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numărătorului anterior .
Unde să te uiți pe alte pagini
Când găsiți derivata produsului și coeficientul în probleme reale, este întotdeauna necesar să aplicați mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că mai multe exemple despre aceste derivate sunt în articol.„Derivata unui produs și a unui coeficient”.
Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen din sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care apare în stadiul inițial al studiului derivatelor, dar întrucât soluția mai multor exemple cu două componente este deja făcută, elevul obișnuit nu mai face această greșeală.
Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (un astfel de caz este analizat în exemplul 10) .
O altă greșeală comună este soluția mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe dedicat unui articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.
Pe parcurs, nu te poți lipsi de transformări ale expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți în noi manuale Windows Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Acțiuni cu fracții .
Dacă cauți soluții la derivate cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca 
, apoi urmează lecția „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini”.
Dacă aveți o sarcină ca 
, atunci te afli la lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.
Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul
Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Determinăm părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă produsul, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte:
În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă, al doilea termen cu semnul minus. În fiecare sumă, vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „x” se transformă în unu, iar minus 5 - în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:
Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:
Și puteți verifica soluția problemei pe derivată pe .
Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicam formula de diferentiere a unui cat: derivata unui cat de doua functii este egala cu o fractiune al carei numarator este diferenta dintre produsele numitorului si derivata numaratorului si numaratorului si derivata numitorului, si numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:
Am găsit deja derivata factorilor din numărător în Exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător, este luat cu semnul minus în exemplul curent:
Dacă căutați soluții la astfel de probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și grade, cum ar fi, de exemplu, 
atunci bun venit la curs „Derivata sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini” .
Dacă aveți nevoie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altele funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci ai o lecție „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .
Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție, vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, cu derivata căreia ne-am familiarizat în tabelul derivatelor. Conform regulii de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Puteți verifica soluția problemei derivate pe calculator derivat online .
Exemplul 6 Aflați derivata unei funcții
Soluţie. În această funcție, vedem coeficientul, al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Conform regulii de diferențiere a coeficientului, pe care am repetat-o și aplicat în exemplul 4, și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:
Pentru a scăpa de fracția din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .
Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția derivatei unei funcții într-un punct. Să luăm unde X- orice numar real, adică X– orice număr din zona de definire a funcției . Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la: 
De remarcat că sub semnul limitei se obține o expresie, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.
În acest fel, derivata unei functii constanteeste egal cu zero pe întregul domeniu de definiție.
Derivată a unei funcții de putere.
Formula pentru derivata unei funcții putere are forma 
, unde exponentul p este orice număr real.
Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, ...
Vom folosi definiția unei derivate. Să scriem limita raportului dintre incrementul funcției de putere și incrementul argumentului: 
Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială a lui Newton: 
Prin urmare, 
Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.
Derivată a funcției exponențiale.
Deducem formula derivată pe baza definiției:
A ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă și pentru . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază a logaritmului.
Să efectuăm o înlocuire în limita inițială: 
Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, atunci ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale: 
Derivată a unei funcții logaritmice.
Să demonstrăm formula pentru derivata funcției logaritmice pentru toate X din domeniul de aplicare și toate valorile de bază valide A logaritm. Prin definiția derivatei, avem: 
După cum ați observat, în demonstrație, transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitate 
este valabilă datorită celei de-a doua limite remarcabile.
Derivate ale funcţiilor trigonometrice.
Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.
Prin definiția derivatei pentru funcția sinus, avem 
.
Folosim formula pentru diferența de sinusuri: 
Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă: 
Deci derivata funcției sin x mânca cos x.
Formula pentru derivata cosinus este dovedită exact în același mod. 
Prin urmare, derivata funcției cos x mânca –sin x.
Derivarea formulelor pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă se va efectua folosind regulile dovedite de diferențiere (derivată a fracției). 
Derivate ale funcțiilor hiperbolice.
Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei. 
Derivată a funcției inverse.
Pentru ca în prezentare să nu existe confuzie, să notăm în indexul inferior argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) pe X.
Acum formulăm regula pentru aflarea derivatei functiei inverse.
Lasă funcțiile y = f(x)Și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punctul există o derivată finită a funcției inverse g(y), și 
. Într-o altă intrare 
.
Această regulă poate fi reformulată pentru orice X din intervalul , atunci obținem 
.
Să verificăm validitatea acestor formule.
Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural 
(Aici y este o funcție și X- argument). Rezolvarea acestei ecuații pentru X, primim (aici X este o funcție și y argumentul ei). adica 
și funcții reciproc inverse.
Din tabelul derivatelor, vedem că 
Și 
.
Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate: 
După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul de derivate.
Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formule pentru derivatele funcțiilor trigonometrice inverse.
Să începem cu derivata arcsinusului.
. Apoi, prin formula pentru derivata funcției inverse, obținem
Rămâne de realizat transformarea.
Deoarece intervalul arcsinusului este intervalul 
, apoi 
(vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.
Prin urmare, 
. Domeniul de definire al derivatei arcsinusului este intervalul (-1;
1)
.
Pentru arccosin, totul se face exact în același mod: 
Aflați derivata arc-tangentei.
Pentru funcția inversă este 
.
Exprimăm arc-tangente prin arc cosinus pentru a simplifica expresia rezultată.
Lasa arctanx = z, apoi 
Prin urmare, 
În mod similar, derivata tangentei inverse se găsește: 
Dăm fără dovezi formula derivatelor funcțiilor elementare de bază:
1. Funcția de putere: (x n)` =nx n -1 .
2. O funcție exponențială: (a x)` = a x lna (în special, (e x)` = e x).
3. Funcție logaritmică: (în special, (lnx)` = 1/x).
4. Funcții trigonometrice:
(cosx)` = -sinx
(tgх)` = 1/cos 2 x
(ctgх)` = -1/sin 2 x
5. Funcții trigonometrice inverse:
Se poate dovedi că pentru a diferenția o funcție exponențială de putere este necesar să se folosească de două ori formula pentru derivata unei funcții complexe și anume să o diferențieze ca funcție complexă functie de putere, și ca exponențial complex și adăugați rezultatele: (f(x) (x))` =(x)*f(x) (x)-1 *f(x)` +f(x) ( x) *lnf(x)*(x)`.
Derivate de ordin superior
Deoarece derivata unei funcții este ea însăși o funcție, poate avea și o derivată. Conceptul de derivat, care a fost discutat mai sus, se referă la o derivată de ordinul întâi.
derivatn-a comanda se numește derivată a derivatei de ordinul (n-1). De exemplu, f``(x) = (f`(x))` - derivată de ordinul doi (sau derivată a doua), f```(x) = (f``(x))` - derivată de ordinul trei ( sau derivată a treia), etc. Uneori, cifrele arabe romane între paranteze sunt folosite pentru a indica derivate mai mari, de exemplu, f (5) (x) sau f (V) (x) pentru o derivată de ordinul cinci.
Semnificația fizică a derivatelor de ordin superior este definită în același mod ca și pentru prima derivată: fiecare dintre ele reprezintă rata de modificare a derivatei de ordinul precedent. De exemplu, derivata a doua este rata de schimbare a primei, i.e. viteza viteza. Pentru mișcarea rectilinie, înseamnă accelerația unui punct la un moment dat.
Elasticitatea funcției
Elasticitatea funcției E x (y) este limita raportului dintre incrementul relativ al funcției y și incrementul relativ al argumentului x, acesta din urmă tinde spre zero: 
.
Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va schimba funcția y \u003d f (x) atunci când variabila independentă x se modifică cu 1%.
Din punct de vedere economic, diferența dintre acest indicator și derivat este că derivatul are unități de măsură și, prin urmare, valoarea lui depinde de unitățile în care sunt măsurate variabilele. De exemplu, dacă dependența volumului producției de timp este exprimată în tone și, respectiv, luni, atunci derivatul va prezenta creșterea marginală a volumului în tone pe lună; dacă, totuși, acești indicatori sunt măsurați, de exemplu, în kilograme și zile, atunci atât funcția în sine, cât și derivata ei vor fi diferite. Elasticitatea este în esență o valoare adimensională (măsurată în procente sau fracții) și, prin urmare, nu depinde de scara indicatorilor.
Teoreme de bază privind funcțiile diferențiabile și aplicațiile acestora
teorema lui Fermat. Dacă o funcție diferențiabilă pe un interval își atinge valoarea maximă sau minimă într-un punct interior al acestui interval, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero.
Fără dovezi.
Semnificația geometrică a teoremei lui Fermat este aceea că în punctul cu cea mai mare sau mai mică valoare atinsă în decalaj, tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor (Figura 3.3).
teorema lui Rolle. Fie funcția y \u003d f (x) să îndeplinească următoarele condiții:
2) diferențiabil pe intervalul (a, b);
3) ia valori egale la capetele segmentului, adică. f(a)=f(b).
Apoi există cel puțin un punct în interiorul segmentului în care derivata funcției este egală cu zero.
Fără dovezi.
Sensul geometric al teoremei lui Rolle este că există cel puțin un punct în care tangenta la graficul funcției va fi paralelă cu axa x (de exemplu, există două astfel de puncte în Figura 3.4).
Dacă f(a) =f(b) = 0, atunci teorema lui Rolle poate fi formulată diferit: între două zerouri succesive ale unei funcții diferențiabile există cel puțin un zero al derivatei.
Teorema lui Rolle este un caz special al teoremei lui Lagrange.
teorema lui Lagrange. Fie funcția y \u003d f (x) să îndeplinească următoarele condiții:
1) este continuă pe segmentul [a, b];
2) este diferențiabilă pe intervalul (a, b).
Apoi, în interiorul segmentului există cel puțin un astfel de punct c la care derivata este egală cu câtul incrementului funcțiilor împărțit la incrementul argumentului de pe acest segment: 
.
Fără dovezi.
Pentru a înțelege semnificația fizică a teoremei lui Lagrange, observăm că 
nu este altceva decât rata medie de modificare a funcției pe întreg intervalul [a, b]. Astfel, teorema afirmă că în interiorul segmentului există cel puțin un punct în care rata de modificare „instantanee” a funcției este egală cu rata medie a modificării acesteia pe întregul segment.
Sensul geometric al teoremei lui Lagrange este ilustrat în Figura 3.5. Rețineți că expresia 
este panta dreptei pe care se află coarda AB. Teorema afirmă că există cel puțin un punct pe graficul unei funcții la care tangenta la aceasta va fi paralelă cu această coardă (adică panta tangentei - derivata - va fi aceeași).
Corolar: dacă derivata unei funcții este egală cu zero pe un anumit interval, atunci funcția este identic constantă pe acest interval.
De fapt, să luăm un interval pe acest interval. După teorema lui Lagrange, există un punct c în acest interval pentru care 
. Prin urmare f(a) - f(x) = f`(с)(a - x) = 0; f(x) = f(a) = const.
Regula lui L'Hopital. Limita raportului a două funcții infinit de mici sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor (finite sau infinite), dacă aceasta din urmă există în sensul indicat.
Cu alte cuvinte, dacă există o incertitudine a formei 
, apoi 
.
Fără dovezi.
Aplicarea regulii L'Hospital de a găsi limite va fi tratată în exerciții practice.
O condiție suficientă pentru creșterea (scăderea) unei funcții. Dacă derivata unei funcții diferențiabile este pozitivă (negativă) într-un anumit interval, atunci funcția crește (descrește) pe acest interval.
Dovada. Luați în considerare două valori x 1 și x 2 din intervalul dat (fie x 2 > x 1). După teorema lui Lagrand, pe [x 1 , x 2 ] există un punct c în care Teorema a fost demonstrată. Interpretarea geometrică a condiției de monotonitate a funcției: dacă tangentele la curbă într-un anumit interval sunt îndreptate în unghiuri ascuțite față de axa absciselor, atunci funcția crește, iar dacă la unghiuri obtuze, atunci ea scade (vezi Figura 3.6) . Observație: condiția necesară pentru monotonitate este mai slabă. Dacă funcția crește (descrește) pe un anumit interval, atunci derivata este nenegativă (nepozitivă) pe acest interval (adică, în anumite puncte, derivata unei funcții monotone poate fi egală cu zero). Calculul derivatului se găsește adesea în atribuțiile USE. Această pagină conține o listă de formule pentru găsirea derivatelor.
. Prin urmare, f (x 2) -f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 -x 1). Atunci pentru f`(c) > 0, partea stângă a inegalității este pozitivă, adică f(x 2) > f(x 1), iar funcția este în creștere. La f`(s)< 0 левая часть неравенства
отрицательна, т.е.f(х 2)
Reguli de diferențiere
Vă sfătuim să salvați linkul, deoarece acest tabel poate fi necesar de mai multe ori.