Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După un studiu atent al acestui articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest gen de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să construiești un grafic al unei funcții, munca este voluminoasă, necesitând atenție maximă și acuratețe a calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bun venit în lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au un anumit interval de schimbare. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Se obișnuiește să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte plan de coordonate unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.

Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să iei notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniu.
2. Continuitate.
3. Par sau impar.
4. Periodicitate.
5. Asimptote.
6. Zerouri.
7. Constanţă.
8. Urcând și coborând.
9. Extreme.
10. Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Acesta poate fi scris ca xОR.

Continuitate

Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).

Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Unul dintre cele mai evidente exemple ale unui astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imaginea din aceasta sectiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:

• o funcție este definită la un punct dat;
• limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
• limita este egală cu valoarea funcției în punctul x0.

Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).

În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Chiar ciudat

Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:

• modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
• x pătrat (parabolă);
• cosinus x (undă cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.

Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:

• hiperbolă;
• parabolă cubică;
• sinusoid;
• tangentă și așa mai departe.

Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza celor spuse în această secțiune a articolului, o funcție pară și impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.

Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.

Asimptote

Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:

• verticală, adică axe paralele y;
• orizontală, adică paralelă cu axa x;
• oblic.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:

• decalaj;
• capete ale domeniului.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). În acest caz, y=a este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o studiem.

O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote oblice.

Zerourile funcției

Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important să rețineți că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții are loc nu numai în studiul și reprezentarea grafică a unei funcții, ci și ca sarcină independentă, și ca o modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. Dacă să vorbească limbaj simplu, atunci zeroul funcției este valoarea variabilei x, la care y=0. Dacă căutați zerourile unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.

Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:

constanța semnului

Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnului. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim la ce intervale funcția ia o valoare pozitivă și la ce intervale ia o valoare negativă. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să construim o linie dreaptă (separat de grafic) și să distribuim zerourile funcției de-a lungul ei în ordinea corectă de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.

În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Sens negativ:

• de la minus infinit la 1;
• de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).

Funcția Crescător și Descrescător

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să aflăm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).

Funcția crește numai dacă valoarea mai mare a variabilei x corespunde valorii mai mari a lui y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:

• domeniul de aplicare (o avem deja);
• derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
• rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valori ale variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!

Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă cu zero și rezolvăm ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune al graficului trebuie să fie neted și moale, nu ar trebui să existe colțuri ascuțite.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai precisă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.

Complot

Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.

Una dintre schemele posibile pentru studierea unei funcţii şi construirea graficului acesteia se descompune în următoarele etape de rezolvare a problemei: 1. Domeniul funcţiilor (O.O.F.). 2. Punctele de întrerupere ale unei funcții, natura lor. Asimptote verticale. 3. Funcție pară, impară, periodică. 4. Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate. 5. Comportarea funcției la infinit. Asimptote orizontale și oblice. 6. Intervale de monotonitate a unei funcţii, puncte de maxim şi minim. 7. Direcțiile convexității curbei. Puncte de inflexiune. 8. Graficul funcției. Exemplul 1. Trasează funcția y \u003d 1. (vereiora sau bucla a Mariei Anieei). - întreaga axă numerică. 2. Nu există puncte de pauză; nu există asimptote verticale. 3. Funcția este pară: astfel încât graficul său să fie simetric față de axa Oy \ neperiodic. Din paritatea funcției rezultă că este suficient să-i trasezi graficul pe semi-linia x ^ 0 și apoi să-l oglindim pe axa y. 4. Pentru x = 0, avem Yx, astfel încât graficul funcției se află în semiplanul superior y > 0. Schemă de construire a graficului funcției Investigarea funcțiilor până la extremum folosind derivate de ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor pe care graficul are o asimptotă orizontală y \u003d O, nu există asimptote oblice. Deci funcția crește pe măsură ce și scade când. Punctul x = 0 este critic. Când x trece prin punctul x \u003d 0, derivata y "(x) își schimbă semnul din minus în plus. Prin urmare, punctul x \u003d 0 este punctul maxim, y (Q) \u003d I. Acest rezultat este destul de evident: / (x) \u003d T ^ IV *. Derivata a doua dispare în punctele x \u003d. Studiem punctul x \u003d 4- (denumit în continuare argumentul simetriei). La avem. curba este convexă în jos; la obținem (curba este convexă în sus). Prin urmare, punctul x \u003d \u003d - este graficul punctului de inflexiune al funcției. Rezultatele studiului sunt rezumate într-un tabel: Punct de inflexiune max Punct de inflexiune - întregul real axa, excluzand punctul 2. Punctul de discontinuitate al functiei.Deci avem linia dreapta x = 0 - asimptota verticala.3. Funcția nu este nici pară, nici impară [funcția în poziție generală), neperiodică.Presumând obținem graficul funcției intersectează axa Ox în punctul (-1,0), nu există asimptote oblice și orizontale. unde este punctul critic. A doua derivată a funcției este într-un punct, deci x = este punctul minim. A doua derivată se transformă în uul într-un punct și își schimbă semnul la trecerea prin acest punct. Prin urmare, punctul este punctul de inflexiune al curbei. Căci) avem e. convexitatea curbei este îndreptată în jos; pentru -Eu avem. convexitatea curbei este îndreptată în sus. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Nu există Nu există Punct de inflexiune Nu există. Asimptota verticală a derivatei torusului dispare la x = e,/2. iar când x trece prin acest punct, y „schimbă semnul Prin urmare, este abscisa punctului de inflexiune al curbei. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Punct de inflexiune. Graficul funcției este prezentat în Fig. 37. Exemplu 4. Reprezentați grafic funcția întregii axe numerice, excluzând punctul Discontinuitatea punctului punct al celui de-al doilea fel de funcție.De la Km , atunci asimptota verticală directă a graficului funcției.Funcția este în poziție generală, non- periodic.Setând y \u003d 0, avem, de unde astfel încât graficul funcției intersectează axa x în punctul Prin urmare, graficul funcției are o asimptotă oblică Din condiția obținem - un punct critic. derivată a funcției y" \u003d D\u003e 0 peste tot în domeniul definiției, în special, în punctul - punctul minim al funcției. 7. Întrucât, peste tot în domeniul definirii funcției, convexitatea graficului acesteia este îndreptată în jos. Rezumăm rezultatele studiului într-un tabel: Nu există Nu există Nu există. x \u003d 0 - asimptotă verticală Graficul funcției este prezentat în fig. Exemplul 5. Reprezentați grafic funcția întregii axe a numerelor. 2. Continuă peste tot. Nu există asimptote verticale. 3. pozitia generala, neperiodică. 4. Funcția dispare la 5. Astfel, graficul funcției are o asimptotă oblică.Derivata dispare într-un punct și nu există la. Când x trece prin punctul) derivata nu își schimbă semnul, deci nu există un extremum în punctul x = 0. Când punctul x trece prin punct, derivata) își schimbă semnul din „+” în Deci, funcția are un maxim. Când x trece prin punctul x \u003d 3 (x\u003e I), derivata y "(x) își schimbă semnul, adică în punctul x \u003d 3, funcția are un minim. 7. Găsiți derivata a doua a de ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metode ale coardelor și tangentelor Derivata a doua y „(x) nu există în punctul x = 0 și când x trece prin punctul x = 0 y” își schimbă semnul din + în astfel încât punctul (0,0) al curbei este un punct nu există punct de inflexiune cu tangentă verticală Nu există inflexiune în punctul x = 3. Peste tot în semiplanul x > 0 convexitatea curbei este îndreptată în sus 39. § 7. Investigarea funcţiilor până la un extrem cu ajutorul derivatelor de ordin superior Pentru a găsi punctele de maxim şi minim ale funcţiilor se poate folosi formula lui Taylor. ki xq are o derivată de ordinul n, continuă în punctul x 0. Fie 0. Atunci dacă numărul n este impar, atunci funcția f (x) în punctul x0 nu are extremum; când n este par, atunci în punctul x0 funcția f(x) are un maxim dacă f(n)(x0)< 0, и минимум, если /. В силу определения точек максимума и минимума вопрос о том, имеет ли функция f(x) в точке х0 экстремум, сводится к тому, существует ли такое <5 >0, care se află în interval, diferența - /(x0) își păstrează semnul. Prin formula Taylor ca prin condiție, atunci din (1) obținem functie continua există astfel încât în ​​intervalul () nu se modifică și coincide cu semnul /(n)(ho). Luați în considerare cazurile posibile: 1) n este un număr par și / Atunci I, prin urmare, în virtutea (2) . Conform definiției, aceasta înseamnă că punctul o este punctul de minim al funcției f(r). 2) n este par și. Atunci vom avea i împreună cu acesta și Prin urmare, punctul i va fi în acest caz punctul de maxim al funcției f(r). 3) n este un număr impar, /- Atunci, pentru x > x0, semnul > va coincide cu semnul lui /(n)(ro), iar pentru r, va fi opus. Prin urmare, pentru 0 arbitrar mic, semnul diferenței f(r) - f(r0) nu va fi același pentru toate x e (r0 - 6, r0 + t). În consecință, în acest caz funcția f(r) nu are un stremum în punctul th. Exemplu. Să luăm în considerare funcțiile A. Este ușor de observat că punctul x = 0 este un punct critic al ambelor funcții. Pentru funcția y = x4, prima dintre derivatele nenule în punctul x = 0 este derivata de ordinul 4: Astfel, aici n = 4 este un u par. Prin urmare, în punctul x = 0, funcția y = x4 are un minim. Pentru funcția y = x), prima dintre derivatele nenule în punctul x = 0 este derivata de ordinul trei. Deci, în acest caz, n = 3 este impar, iar în punctul x = 0 funcția y = x3 nu are extremă. Cometariu. Folosind formula Taylor, se poate demonstra următoarea teoremă, care exprimă conditii suficiente puncte de inflexiune. „Teorema 12. Fie funcția /(r) dintr-o vecinătate a punctului r0 să aibă o derivată de ordinul n, continuă în punctul xq. Mo(x0, f(xo)) este punctul de inflexiune al graficului al funcției y = f(x).Cel mai simplu exemplu este oferit de funcția § 8. Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor Problema constă în găsirea rădăcinii reale a ecuației Să presupunem că următoarele condiții sunt îndeplinite: 1) funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, 6]; 2) numerele /(a) și f(b) sunt opuse în semn: 3) pe segmentul [a, 6] există derivate f "(x) și f "(x) care păstrează un semn constant pe acest interval. Din condițiile 1) și 2), în virtutea teoremei Bolzano-Cauchy (p. 220), rezultă că funcția f(x) dispare cel puțin într-un punct £ € ( a, b), adică, ecuația (1) are cel puțin o rădăcină reală £ în intervalul (a, b). semn, atunci f(x) este monotonă pe [a, b] și, prin urmare, în int rvale (a, b) ecuația (1) are o singură rădăcină reală Să considerăm o metodă de calcul a valorii aproximative a acestei rădăcini reale unice £ € (a, 6) a ecuației (I) cu orice grad de precizie. Sunt posibile patru cazuri (Fig. 40): 1) Fig. 40 Pentru certitudine, să luăm cazul când f \ x) > 0, f "(x) > 0 pe segmentul [a, 6) (Fig. 41). Să conectăm punctele A (a, / (a) ) și B (b, f(b)) printr-o coardă A B. Acesta este un segment al unei linii drepte care trece prin punctele A și B, a cărei ecuație y \u003d 0, găsim Din Fig. 41 este ușor pentru a vedea că punctul a \ va fi întotdeauna situat pe partea față de care semnele f (x) și f "(x) sunt opuse. Să tragem acum o tangentă la curba y \u003d f (x) în punctul B (b, f(b)), adică la acel capăt al arcului ^AB la care f(x) și /"(x) au același semn. Aceasta este o condiție esențială: fără el, punctul de intersecție tangent la este posibil ca axa x să nu ofere deloc o aproximare a rădăcinii necesare. Punctul b\, în care tangenta intersectează axa x, este situat între t și b de aceeași parte cu 6 și este o aproximare mai bună pentru decât b. Această tangentă este determinată de ecuația Presupunând în (3) y = 0, găsim Funcții Investigarea funcțiilor până la un extrem folosind derivate de ordin superior Calculul rădăcinilor ecuațiilor prin metodele coardelor și tangentelor. Astfel, avem Fie dată în prealabil eroarea de aproximare absolută C a rădăcinii £. Pentru eroarea absolută a valorilor aproximative ale lui aj și 6, rădăcina £, putem lua valoarea |6i - ai|. Dacă această eroare este mai mare decât cea admisibilă, atunci, luând segmentul drept original, găsim următoarele aproximări rădăcină unde. Continuând acest proces, obținem două secvențe de valori aproximative.Secvențele (an) și (bn) sunt monotone și mărginite și, prin urmare, au limite. Fie Se poate arăta că dacă sunt îndeplinite condițiile formulate mai sus 1 este singura rădăcină a ecuației / Exemplu. Aflați rădăcina (ecuațiile r2 - 1 = 0 pe segment. Astfel, sunt îndeplinite toate condițiile care asigură existența unei singure rădăcini (ecuațiile x2 - 1 = 0 pe segment . iar metoda ar trebui să funcționeze. 8 în cazul nostru). a = 0, b = 2. Când n \u003d I din (4) și (5) găsim Când n \u003d 2 obținem ceea ce oferă o aproximare a valorii exacte a rădăcinii (cu eroare absolută Exerciții Grafice funcții: Găsiți cel mai mare și cea mai mică valoare funcții pe intervale date: Explorați comportamentul funcțiilor în cartiere puncte date folosind derivate de ordin superior: Răspunsuri

Dacă în problemă este necesar să se efectueze un studiu complet al funcției f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 cu construcția graficului său, atunci vom lua în considerare acest principiu în detaliu.

Pentru a rezolva o problemă de acest tip, ar trebui să folosiți proprietățile și graficele principale functii elementare. Algoritmul de cercetare include următorii pași:

Găsirea domeniului definiției

Deoarece cercetarea se efectuează pe domeniul funcției, este necesar să începem cu acest pas.

Exemplul 1

Exemplul dat implică găsirea zerourilor numitorului pentru a le exclude din DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

Ca rezultat, puteți obține rădăcini, logaritmi și așa mai departe. Atunci ODZ poate fi căutată pentru rădăcina unui grad par de tip g (x) 4 prin inegalitatea g (x) ≥ 0 , pentru logaritmul log a g (x) prin inegalitatea g (x) > 0 .

Investigarea limitelor ODZ și găsirea asimptotelor verticale

Există asimptote verticale la limitele funcției, când limitele unilaterale în astfel de puncte sunt infinite.

Exemplul 2

De exemplu, considerați punctele de frontieră egale cu x = ± 1 2 .

Apoi este necesar să se studieze funcția pentru a găsi limita unilaterală. Atunci obținem că: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Aceasta arată că limitele unilaterale sunt infinite, ceea ce înseamnă că liniile x = ± 1 2 sunt asimptotele verticale ale graficului.

Investigarea funcției și pentru par sau impar

Când condiția y (- x) = y (x) este îndeplinită, funcția este considerată a fi pară. Aceasta sugerează că graficul este situat simetric în raport cu O y. Când condiția y (- x) = - y (x) este îndeplinită, funcția este considerată impară. Aceasta înseamnă că simetria merge în raport cu originea coordonatelor. Dacă cel puțin o inegalitate eșuează, obținem funcția vedere generala.

Îndeplinirea egalității y (- x) = y (x) indică faptul că funcția este pară. La construcție, este necesar să se țină cont de faptul că va exista simetrie față de O y.

Pentru a rezolva inegalitatea, se folosesc intervale de creștere și descreștere cu condițiile f „(x) ≥ 0 și, respectiv, f” (x) ≤ 0.

Definiția 1

Puncte staționare sunt puncte care transformă derivata la zero.

Puncte critice sunt puncte interioare din domeniul în care derivata funcției este egală cu zero sau nu există.

Atunci când luați o decizie, trebuie luate în considerare următoarele aspecte:

• pentru intervalele existente de creștere și scădere a inegalității de forma f „(x) > 0, punctele critice nu sunt incluse în soluție;
• punctele la care funcția este definită fără o derivată finită trebuie incluse în intervalele de creștere și scădere (de exemplu, y \u003d x 3, unde punctul x \u003d 0 face ca funcția să fie definită, derivata are valoarea infinitului în acest moment, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 este inclus în intervalul de creștere);
• pentru a evita neînțelegerile, se recomandă utilizarea literaturii matematice, care este recomandată de Ministerul Educației.

Includerea punctelor critice în intervalele de creștere și scădere în cazul în care acestea satisfac domeniul funcției.

Definiția 2

Pentru determinand intervalele de crestere si scadere a functiei, este necesar sa se gaseasca:

• derivat;
• puncte critice;
• spargeți domeniul definiției cu ajutorul punctelor critice în intervale;
• determinați semnul derivatei la fiecare dintre intervale, unde + este o creștere și - este o scădere.

Exemplul 3

Aflați derivata pe domeniul f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Soluţie

Pentru a rezolva ai nevoie de:

• găsiți puncte staționare, acest exemplu are x = 0 ;
• găsiți zerourile numitorului, exemplul ia valoarea zero la x = ± 1 2 .

Expunem puncte de pe axa numerică pentru a determina derivata pe fiecare interval. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați orice punct din interval și să faceți un calcul. Dacă rezultatul este pozitiv, desenăm + pe grafic, ceea ce înseamnă o creștere a funcției și - înseamnă scăderea acesteia.

De exemplu, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, ceea ce înseamnă că primul interval din stânga are semnul +. Luați în considerare numărul linia.

Răspuns:

• are loc o creştere a funcţiei pe intervalul - ∞ ; - 1 2 și (- 1 2 ; 0 ] ;
• are loc o scădere a intervalului [ 0 ; 1 2) și 1 2 ; +∞ .

În diagramă, folosind + și -, sunt prezentate pozitivitatea și negativitatea funcției, iar săgețile indică scăderea și creșterea.

Punctele extreme ale unei funcții sunt punctele în care funcția este definită și prin care derivata își schimbă semnul.

Exemplul 4

Dacă luăm în considerare un exemplu în care x \u003d 0, atunci valoarea funcției din aceasta este f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Când semnul derivatei se schimbă de la + la - și trece prin punctul x \u003d 0, atunci punctul cu coordonatele (0; 0) este considerat punctul maxim. Când semnul este schimbat de la - la +, obținem punctul minim.

Convexitatea și concavitatea se determină prin rezolvarea inegalităților de forma f "" (x) ≥ 0 și f "" (x) ≤ 0 . Mai rar folosesc denumirea de umflare în jos în loc de concavitate și umflare în loc de bombare.

Definiția 3

Pentru determinarea golurilor de concavitate si convexitate necesar:

• găsiți derivata a doua;
• găsiți zerourile funcției derivatei a doua;
• rupe domeniul definirii prin punctele care apar pe intervale;
• determina semnul decalajului.

Exemplul 5

Găsiți derivata a doua din domeniul definiției.

Soluţie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Găsim zerourile numărătorului și numitorului, unde, folosind exemplul nostru, avem că zerourile numitorului x = ± 1 2

Acum trebuie să puneți puncte pe dreapta numerică și să determinați semnul derivatei a doua din fiecare interval. Înțelegem asta

Răspuns:

• funcţia este convexă din intervalul - 1 2 ; 12;
• funcţia este concavă din golurile - ∞ ; - 1 2 și 1 2 ; +∞ .

Definiția 4

punct de inflexiune este un punct de forma x 0 ; f(x0). Când are o tangentă la graficul funcției, atunci când trece prin x 0, funcția își schimbă semnul opus.

Cu alte cuvinte, acesta este un astfel de punct prin care derivata a doua trece și își schimbă semnul, iar în punctele în sine este egală cu zero sau nu există. Toate punctele sunt considerate a fi domeniul funcției.

În exemplu, s-a văzut că nu există puncte de inflexiune, deoarece derivata a doua își schimbă semnul în timp ce trece prin punctele x = ± 1 2 . Ele, la rândul lor, nu sunt incluse în domeniul definiției.

Găsirea asimptotelor orizontale și oblice

Când definiți o funcție la infinit, trebuie să căutați asimptote orizontale și oblice.

Definiția 5

Asimptote oblice reprezentate prin linii drepte dat de ecuaţie y = k x + b , unde k = lim x → ∞ f (x) x și b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Pentru k = 0 și b nu este egal cu infinitul, aflăm că asimptota oblică devine orizontală.

Cu alte cuvinte, asimptotele sunt liniile pe care graficul funcției se apropie la infinit. Aceasta contribuie la construirea rapidă a graficului funcției.

Dacă nu există asimptote, dar funcția este definită la ambele infinitate, este necesar să se calculeze limita funcției la aceste infinitități pentru a înțelege cum se va comporta graficul funcției.

Exemplul 6

Ca exemplu, luați în considerare asta

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

este o asimptotă orizontală. După ce ați cercetat funcția, puteți începe să o construiți.

Calcularea valorii unei funcții în puncte intermediare

Pentru a face graficul cel mai precis, se recomandă să găsiți mai multe valori ale funcției în puncte intermediare.

Exemplul 7

Din exemplul pe care l-am luat în considerare, este necesar să găsim valorile funcției în punctele x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Deoarece funcția este pară, obținem că valorile coincid cu valorile din aceste puncte, adică obținem x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Să scriem și să rezolvăm:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pentru a determina maximele și minimele funcției, punctele de inflexiune, punctele intermediare, este necesar să se construiască asimptote. Pentru o desemnare convenabilă, intervalele de creștere, scădere, convexitate, concavitate sunt fixe. Luați în considerare figura de mai jos.

Este necesar să trasați linii grafice prin punctele marcate, ceea ce vă va permite să vă apropiați de asimptote, urmând săgețile.

Aceasta încheie studiul complet al funcției. Există cazuri de construire a unor funcții elementare pentru care se folosesc transformări geometrice.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

In regula? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:

Găsite? Comparaţie:

A fost de acord? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Control răspunsuri:

1. , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. pentru că nu poți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...

Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:

observat? Cuvântul „doar” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degete.

Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . Când, înlocuim această valoare în „regula” noastră și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Cert este că, atunci când calculăm, avem un singur joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înțeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus unde locuiește într-o conversație:

De acord, este destul de real că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să locuiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. i.e un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.

Să vă testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înțeles? Și iată răspunsuri:

• Funcția este - B,E.
• Nu este o funcție - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

În toate cifrele, cu excepția ÎN)Și E) sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, să spuneți ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, să determinați sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?

Modalități de a seta o funcție

Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Mod analitic de definire a unei funcții

Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.

Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru, va arăta astfel:

Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, la.

Sunt sigur că la început, te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , dacă
2. , dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Iată cum l-am construit.

Cu ce ​​ecuație am ajuns?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa este, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Mod tabelar de definire a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina „gândește foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:

Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!

Mod grafic de a construi o funcție

Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de a specifica o funcție pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Asa? Da, foarte usor!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „sunt atât de multe funcții complexe pe care pur și simplu este imposibil să-l întrebați verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecărei valori naturale a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum luați în considerare modul în care descrierea noastră verbală a funcției este implementată în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la cele mai interesante - vom lua în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat/lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și le da descriere scurta. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

Funcția formei în care, - numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, deci construcția funcție liniară se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de pantă.

Domeniul de aplicare al funcției (denumit și intervalul de argumente) - .

Gama de valori este .

funcţie pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.

Multe proprietăți funcţie pătratică depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori este .

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - variabilă, sau argument;
• - valoare dependentă - se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după unii anumită formulă, reflectând dependența unei cantități de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.

3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.

4. Există 4 moduri de a seta funcția:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.

Destul de des conștient analiză matematică puteți găsi o sarcină cu următoarea formulare: „explorează funcția și complotul”. Această formulare vorbește de la sine și împarte sarcina în două etape:

• Etapa 1: cercetarea funcției;
• Etapa 2: reprezentarea grafică a funcției investigate.

Prima etapă este cea mai voluminoasă și include găsirea domeniilor de definiție și de valori, extreme ale funcției, puncte de inflexiune ale graficului etc.

Planul complet de cercetare a funcției $y=f(x)$, care precede scopul de a reprezenta un grafic, are următoarele puncte:

• Găsirea domeniului de aplicare al funcției $D_(y)$ și domeniul valorilor valide $E_(y)$ ale funcției.
• Determinarea tipului de funcție: par, impar, general.
• Determinarea punctelor de intersecție a graficului funcției cu axele de coordonate.
• Găsirea asimptotelor graficului funcției (vertical, oblic, orizontal).
• Găsirea intervalelor de monotonitate a unei funcții și a punctelor extreme.
• Găsirea intervalelor de convexitate, concavitate a graficului și puncte de inflexiune.

Căutarea domeniului funcţiei $D_(y) $ presupune găsirea intervalelor pe care funcţie dată există (definit). De regulă, această sarcină se reduce la găsirea ODZ (gama de valori acceptabile), pe baza căreia se formează $D_(y) $.

Exemplul 1

Găsiți domeniul funcției $y=\frac(x)(x-1) $.

Să găsim ODZ a funcției considerate, i.e. valorile variabilei pentru care numitorul nu merge la zero.

ODZ: $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$

Să scriem domeniul definiției: $D_(y) =\( x\in R|x\ne 1\) $.

Definiția 1

Funcția $y=f(x)$ este chiar dacă următoarea egalitate $f(-x)=f(x)$ $\forall x\in D_(y) $ este valabilă.

Definiția 2

Funcția $y=f(x)$ este impară dacă este valabilă următoarea egalitate $f(-x)=-f(x)$ $\forall x\in D_(y) $.

Definiția 3

O funcție care nu este nici pară, nici impară se numește funcție generală.

Exemplul 2

Determinați tipul funcțiilor: 1) $y=\frac(x)(x-1) $, 2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $; 3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

1) $y=\frac(x)(x-1)$

$f(-x)\ne f(x);f(-x)\ne -f(x)$, prin urmare, avem o funcție generală.

2) $y=\frac(x^(2) )(x^(2) -1) $

$f(-x)=f(x)$, prin urmare, avem o funcție pară.

3) $y=\frac(x)(x^(2) -1) $.

$f(-x)\ne -f(x)$, prin urmare, avem o funcție impară.

Determinarea punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate include găsirea punctelor de intersecție: cu axa OX ($y=0$), cu axa OY ($x=0$).

Exemplul 3

Aflați punctele de intersecție cu axele de coordonate ale funcției $y=\frac(x+2)(x-1) $.

1. cu axa OX ($y=0$)

$\frac(x+2)(x-1) =0\Rightarrow x+2=0\Rightarrow x=-2$; obține un punct (-2;0)

1. cu axa OY ($x=0$)

$y(0)=\frac(0+2)(0-1) =-2$, obținem punctul (0;-2)

Pe baza rezultatelor obtinute in stadiul studiului functiei se construieste un grafic. Uneori, punctele obținute în prima etapă nu sunt suficiente pentru a reprezenta graficul funcției, atunci este necesar să găsiți puncte suplimentare.

Exemplul 4

Explorează funcția și construiește graficul acesteia: $y=x^(3) -6x^(2) +2x+1$.

1. Domeniul definiției: $D_(y) =\( x|x\in R\) $.
2. Interval: $E_(y) =\( y|y\in R\) $.
3. Funcții pare, impare :\ \

Funcția generală, adică nu este nici par, nici impar.

4) Intersecția cu axele de coordonate:

cu axa OY: $y(0)=0^(3) -6\cdot 0^(2) +2\cdot 0+1=1$, prin urmare, graficul trece prin punctul (0;1).

cu axa OX: $x^(3) -6x^(2) +2x+1=0$ ( rădăcini raționale Nu)

5) Asimptotele grafice:

Nu există asimptote verticale, deoarece $D_(y) =\( x|x\in R\) $

Asimptotele oblice vor fi căutate sub forma $y=kx+b$.

$k=\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(y(x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty ) \frac(x^ (3) -6x^(2) +2x+1)(x) =\infty $. Prin urmare, nu există asimptote oblice.

6) Funcție crescătoare, descrescătoare; extreme:

\ \[\begin(array)(l) (y"=0\Rightarrow 3x^(2) -12x+2=0) \\ (D=144-24=120) \\ (x_(1,2) =\frac(12\pm \sqrt(120) )(6) ) \end(matrice)\]

Marcăm punctele pe axa numerelor, plasăm semnele derivatei întâi și notăm comportamentul funcției:

Poza 1.

Funcția crește cu $\left(-\infty ;\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right]$ și $\left[\frac(12+\sqrt(120) )(6) ; \ infty \right)$, scade cu $\left[\frac(12-\sqrt(120) )(6) ;\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right]$.

$x=\frac(12-\sqrt(120) )(6) $ - punct maxim; $y\left(\frac(12-\sqrt(120) )(6) \right)=1.172$

$x=\frac(12+\sqrt(120) )(6) $ - punct minim; $y\left(\frac(12+\sqrt(120) )(6) \right)=-23.172$

7) Convexitatea, concavitatea graficului:

\ \[\begin(array)(l) (y""=(3x^(2) -12x+2)"=6x-12) \\ (y""=0\Rightarrow 6x-12=0\Rightarrow x=2) \end(matrice)\]

Marcăm punctele pe axa numerelor, plasăm semnele derivatei a doua și notăm comportamentul graficului funcției:

Figura 2.

Graficul este convex în sus cu $(-\infty ;2]$, în jos cu $

8) Graficul funcției:

Figura 3